初中竞赛数学第9讲统计与概率

第九讲统计与概率【趣题引路】1991年1月美国人塞望(M.Savan)女士在《检阅》杂志上刊登了一则趣题,•当时曾引来了从小学生到大学教授上万封来信讨论.题目是:主持人指着三扇关闭的门,•说:“其中两扇门是空的，有一扇门里有１辆车，请你选一扇门，•如果选中了有车的那一扇，就可开走这辆车。

”同时问约翰：“你是否愿意重选另一扇未被打开的门？”请你帮助约翰出个注意。

解析由概率理论应该换，若不换的话得到车的概率是13；若换的话得到车的概率是23。

【知识延伸】自从出现了人类社会，就不可避免地产生社会性的生产活动、经济活动、教育活动和军事活动，这些活动中处处都有数据存在，于是也就出现了各种统计工作，如人口统计、资源统计、经济统计等等。

统计学是一门与数据密切相关的学问，研究如何搜集、整理、计算和分析数据，然后从中找出一些规律。

众数、中位数、平均数都是从不同的侧面反映了一组数据的集中趋势；方差则是反映一组数据波动大小的量；频率分布表和频率分布直方图则是从数和形的角度反映了落在某一范围内数据的大小。

在日常生活中概率也是应用最广的运算。

如早晨如上学，要不要带雨具，就要根据“降水概率”的大小来决定；又如每个家庭除了日常生活开支之外，都要有点积蓄，因为对于一个有学前儿童的家庭来说，儿童从六岁起要进行九年义务教育，需要各种开支，这是必然事件；家庭成员在某种情况下可能会生病，这是随机事件。

不管你是自觉的，还是不自觉的，概率都在我们的头脑中起作用。

事件Ａ的概率(Probability)用P(A)来表示，有0≤P(A)≤1,若A是必然事件，•则它的概率是１，即P(A)=1;若A是不可能事件，则它的概率是０，即P(A)=0。

一般地，在大量重复进行同一试验时，如果事件Ａ发生的频率总是接近于某个常数，这个常数就叫做事件Ａ的概率，记为P(A).例1 在桌面上掷若干枚硬币,回答下列问题:(1)3枚硬币,第1枚出现正面,•第2枚出现反面,第3枚出现正面的概率是多少?(2)3枚硬币,其中2枚出现正面,1枚出现反面的概率是多少?(3)3枚硬币,第1枚出现正面,第2枚出现反面,问第3枚出现正面的概率是多少? 解析 (1)设“依次掷3枚硬币,第1枚出现正面,第2枚出现反面,第3枚出现正面”这一事件为A,“第1枚出现正面”这一事件为A 1,“第2枚出现反面”这一事件为A 2,“第3枚出现正面”这一事件为A 3,则事件A 的发生过程包含三步:先发生事件A 1,再发生事件A 2,最后发生事件A 3,P(A 1)、P(A 2)、P(A 3)都是12,所以P(A)=P(A 1)×P(•A 2)×P(A 3)= 12×12×12=18. (2)因为掷3枚硬币从其正反面的情况来看共有8种可能:(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).其中“2正1反”的情况共有3种,所以3枚硬币其中2枚出现正面,1枚出现反面的概率是38. (3)因为第3枚出现正面还是反面与前两枚的结果无关,所以第3枚出现正面的概率仍为12. 点评(1)中首先要求事件A 1出现,在这个条件下有事件A 2出现,然后再有事件A 3出现,这三个事件全部先后发生才意味着事件A 出现,所以是相乘关系.(2)(3)两题,虽然3枚硬币的最终情况都是“2正1反”,但题(3)中,由于“第1枚出现正面第2枚出现反面”的前提已经存在,因此只要考虑“第3•枚出现正面”的概率. 例2 已知一组数x 1出现f 1次,x 2出现f 2次,…x k 出现f k 次,且f 1+f 2+…+f k =n, 求f 1(x 1-x )+f 2(x 1-x )+…+f k (x k -x )的值,( x 是这n 个数的平均数). 解析:∵x =112212k k kf x f x f x f f f ++++++=1122k kf x f x f x n +++∴f1x1+f2x2+…+f k x k=n x.∴f1(x1-x)+f2(x2-x)+…+f k(x k-x)=(f1x1+f2x2+…+f k x k)-(f1+f2+…f k) x=n x-n x=0.点评这是应用加权平均数公式,在推导过程注意灵活运用公式和法则.【好题妙解】佳题新题品味例1 (1)五个数3,1,6,3,x的平均数是4,求x;(2)一组数据x1,x2,…,x n的方差是a,则x1-2,x2-2,…,x n-2的方差是多少?(3)某射手在一次射击中,射中10环、9环、8环的概率分别是0.24,0.28,0.19,•求这个射手在这次射击中:①射中10环或9环的概率;②不够8环的概率.解析 (1)由题意知15(1+3+3+6+x)=4,解得x=7;(2)设x1,x2,…,x n的平均数为x,则a=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x n-x)2].数x1-2,x2-2,…,x n-2的平均数为1 n [(x1-2)+(x2-2)+…+(x n-2)]=1n(x1+x2+…+x n)-2=x-2,∴x1-2,x2-2,…,x n-2的方差=1n{[(x1-2)-(x-2)]2+[(x2-2)-(x-2)]2+…+[(x n-2)-(x-2)]2}= 1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x n-x)2]=a;(3)①射中10环或9环的概率=0.24+0.28=0.52,②不够8环的概率=1-(0.•24+•0.28+0.19)=0.29.点评弄清平均数,方差、概率的概念是解题的关键.例2已知样本容量为30,样本频率分布直方图如图,各小长方形的高之比为AE:BF:CG:DH=2:4:3:1.求:(1)第二组的概率; (2)第二小组的频数.数据解析(1)∵小长方形的面积表示相应范围的数据的频率.如设AE=2x,BF=4x,•CG=3x,DH=x.小方形的底长为a,故有从左到右四个范围内的数据频率之比为2xa:•4xa:3xa:xa=2:4:3:1.∴第二小组的频率为41234+++=0.4,第二组的频数为0.4×30=12.点评(1)在频率分布直方图中小长方形的面积为频率,因而这样的小长方形面积之和为1;小长方形的高之比为频率之比.(2)要在给出数据和具体要求下会画频率分布直方图.例3对某工厂生产的大批同类产品进行合格率检查,分别抽取5件、10件、•60件、150件、600件、900件、1200件、1800件,检查结果如下表所示:求该厂产品的合格率.解析从上表的数据可看到,当抽取件数(即重复试验次数)n越大,•“一件产品合格”事件发生的概率mn就越接近常数0.9,所以“一件产品合格”的概率约为0.9,•我们通常说该厂产品的合格率为90%. 点评事件A发生的频率mn接近某个常数,这个常数就是事件A的概率,反映了事件A发生的可能性的大小.中考真题欣赏例1 (2003年福州市中考题)甲,乙两名学生进行射击练习,•两人在相同条件下各射靶10次,将射击结果作统计分析如下:(1)请你填上表中乙学生的相关数据;(2)根据你所学的统计学知识,利用上述某些数据评价甲、乙两人的射击水平.解析 (1)平均数是7,众数是7,方差是1.2;(2)根据甲、乙两学生的射击环数、平均数、众数、方差,用一种数据或多种数据进行合理评价.点评本题综合运用统计学知识来解决实际问题,因未说明从何种角度来考虑,所以这是一道开放性试题.例2 (2002年江苏省徐州市中考题)为了了解高中学生的体能情况,对100•名学生进行了引体向上次数测试,将所得的数据整理后,画出频率分布直方图如图,图中从左到右依次为第1,2,3,4,5组.次数(1)第1组的频率为多少?频数为多少?(2)若次数在5次(含5次)以上为达标,求达标率;(3)这100个数据的众数和中位数一定落在第3组吗?解析 (1)∵对于第一小组而言, 频率组距=0.05,而组距为2,∴频率=0.05×2=0.1,•又∵频数数据总数=0.1,∴频数=0.1×100=10(人);(2)次数在5次或5次以上的频率为(0.175+0.125+0.05)×2=0.65,•达标率为65%;(3)显然,次数出现最多的数不能确定在哪一组,故众数不一定在第三组.又因为引体向上次数由小到大排列,第一组有10个数据,第二组有25个数据,•第三小组有35个数据,前三组共计有70个数据,∴可以断定,中位数一定在第三组内.点评要真正弄清频率与频数的关系,•再弄清频率分布直方图的意义和其中小长方形的意义.竞赛样题展示例1(2001年河北省初中数学创新与知识应用竞赛题)已知数据x1,x2,x3•的平均数为a;y1、y2、y3的平均数为b,则数据2x1+3y1+2x2+3y2,•2x3+•3y3•的平均数为________.解析∵x1,x2,x3的平均数为a,∴3a=x1+x2+x3.y1,y2,y3的平均数为b,∴3b=y1+y2+y3.∴2x1+3y1,2x2+3y2,2x 3+3y 3的平均数x =112233(23)(23)(23)3x y x y x y +++++=1231232()3()3x x x y y y +++++=23333a b ⨯+⨯=2a+3b.点评弄清研究的对象,了解平均数的概念是关键.例2 (第16届江苏省竞赛题)编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A 和B 中,15号弹珠在篮子A 中,把这个弹珠从篮子A 移至篮子B 中,这时篮子A•中的弹珠号码数的平均等于原平均数加14,篮子B 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加14,•问原来在篮子A 中有多少个弹珠?解析 设原来篮子A 中有弹珠x 个,则篮子B 中有弹珠(25-x)个,又设原来A 中弹珠号码数的平均数为a,B 中弹珠号码数的平均数为b,由题意,得(25)1225325,151,14(25)1.264ax x b ax a x b x b x ⎧⎪+-=+++=⎪-⎪-=⎨-⎪-⎪-=⎪-⎩由②,得a=594x +, ④ 由③,得b=344x+. ⑤ 将④⑤代入①得14(x+59)x-14(x+34)x+254(x+34)=325,解得x=9,即原来篮子A•中有9个弹珠. 点评用字母分别表示篮子A 、B 弹珠数及相应的平均数,运用方程、方程组来求解.全能训练A卷1.为了检查库存的500箱袜子的质量,从每箱的100双袜子中抽取2%进行检查,在这个问题中总体、个体、样本、样本容量分别是什么?2.数据a、4、2、5、3的平均数是b,且a、b是方程x2-4x+3=0的两根,求a、b•的值.3.已知样本方差S2=110[2221210x x x+++-160] ,则这个样本的平均数x=______.4.下列事件中哪些是随机事件?哪些是必然事件?(1)在标准大气压下水在0℃时开始结成冰;(2)计划中“神舟8号”太空飞行器能进入预定轨道;(3)把10g白糖放入1kg纯净水中能够全部溶化.5.从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查,结果发现有5个是次品,•那么从中任取1个是次品的概率约为多少?A卷答案1.500箱袜子的质量,500箱袜子中每双袜子质量,被抽取的1000双袜子的质量,1,000.2.解方程x2-4x+3=0,得a=1,b=3或a=3,b=1,由题意知a<b,故a=3,b=1应舍去.3.∵S2=1n(x12+x22+…+x n2-nx2), x是这n个数的平均数,当n=10时,S2=1n(x12+x22+…x102-10x2), 而10x2=160,∴x=±4.4.(2)是随机事件;(1),(3)是必然事件.5.约为1200.B卷1.已知样本甲为a1,a2,a3,方差为S22;样本乙为b1,b2,b3,方差为S22.若a1-b1=a2-b2=a3-b3,则S2 1和S22的大小关系是______.2.为了从甲、乙、丙三名学生中选拨一人参加射击比赛,•对他们的射击水平进行了测验,三人在相同的条件下各射靶10次,命中环数如下:甲 7 8 6 8 6 5 9 10 7 4,乙 9 5 7 8 6 8 7 6 7 7 ,丙 7 5 7 7 5 6 5 5 7 6.问:应派谁去参加比赛?3.某个学生参加军训,进行打靶训练,必须射击10次,在第6,第7,第8和第9•次射击中,分别得了9.0环,8.4环,8.1环,9,3环,他们前9•次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均数,如果他要使10次射击的平均环数超过8.5环,那么他在第10•次射击中至少要得多少环?(每次射击所得的环数都精确到0.1环).4.一次抽奖活动中印发奖券1000张,其中一等奖20张,二等奖80张,三等奖200张,那么第一位抽奖者(仅买一张奖券)中奖的概率是多少?5.某电视台综艺节目接到热线电话3000个,现要从中抽取“幸运观众”10名,张华同学打通了一次热线电话,那么他成为“幸运观众”的概率为多少?6.小丽拟将1,2,3,…,n这n个数输入电脑求其平均值,当她认为输完时,•电脑上只显示输入(n-1)个数,且平均值为3557,假设这(n-1)个数输入无误,则漏输入的一个数是多少?B 卷答案1.S 12=13[(a-a )+(a-a )+(a-a )], S 22=13[(a 1-k-a +k)2+(a 2-k-a +k)2+(a 3-k-a +k)2] =13[(a 1-a )2+(a 2-a )2+(a 3-a )2],∴S 12=S 22. 2. x 甲=7, x 乙=7, x 丙=6.∵x 甲=x 乙>x 丙,故应在甲、乙两人中考虑谁的稳定性更好.∵S 甲2=3,S 22=1.2,∵S 甲2>S 22,故派乙去参加比赛.3.前5次射击的平均环数小于9.08.48.19.34+++=8.7环, 前9次的总环数至多为8.7×9-0.1=78.•2环,所以第10次射击至少得8.8×10+0.1-78.2=9.9环.4.30%5. 1300。