最大公约数与最小公倍数

第五讲 最大公约数与最小公倍数

【知识导引】

一、约数的概念与最大公约数

约数又叫因数(在正整数范围内）整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数。最大公约数:如果一个数既是数a 的约数，又是数b 的约数，称为[a,b]的约数。几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

1. 求最大公约数的方法

①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；

②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。例如：21812

39632

，所以(12,18)236=⨯=；

③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)。例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15。

2. 最大公约数的性质

①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；

②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；

③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n 。

3. 求一组分数的最大公约数

先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求

出各个分数的分子的最大公约数b ；b a

即为所求。 二、倍数的概念与最小公倍数

对于整数m ，能被n 整除（n/m ）,那么m 就是n 的倍数。如15能够被3或5整除，我们就说15是3的倍数，也是5的倍数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

1. 求最小公倍数的方法

①分解质因数法求最小公倍数

例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=； ②短除法求最小公倍数 例如：21812

39632

，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=； ③公式法：[,](,)

a b a b a b ⨯= 2. 最小公倍数的性质

①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积。

③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数。

3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤

先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母

的最大公约数b ；b a 即为所求。例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数。例如：[]()1,414,4232,3⎡⎤==⎢⎥⎣⎦

三、最大公约数与最小公倍数的常用性质

1. 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

如果m 为A 、B 的最大公约数，且A ma =，B mb =，那么a b 、互质，所以A 、B 的最小公倍数为mab ，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：

①A B ma mb m mab ⨯=⨯=⨯，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；

②最大公约数是A 、B 、A B +、A B -及最小公倍数的约数。

2. 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积，即(,)[,]a b a b a b ⨯=⨯。

3. 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为：

①奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数，例如：567210⨯⨯=，210就是567的最小公倍数。

②偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍，例如：⨯⨯=，而6,7,8的最小公倍数为3362168

÷=

678336

③几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大。

【例题解析】

【A组——基础夯实】

例1两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？

解：由ab=[a，b]×（a，b）可得：另一个数为，252×4÷28=36

答：另一个数是36。

例2 求437与323最大公约数是多少？

解：运用辗转相除法：437÷323=1…114；323÷114=2…95；114÷95=1…19,95÷19=5，

那么（437,323）=19

答：437与323的最大公约数是19。

例3已知两个数的最大公约数是20，最小公倍数560，符合条件的两个数中差最小的两个数各是多少？

解：由题意可得：560÷20=28=1×28=4×7，显然4与7之间差最小，20×7=140,20×4=80

答：符合条件的两个数中差最小的数是80和140。

例4 有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？

解：最多可以分成(336,252,210)42

=（份）

每份中有苹果336÷42=8（个）

每份中有桔子252÷42=6（个）

每份中有梨210÷42=5（个）

答：最多可以分成42份，每份中有苹果8个，有桔子6个，有梨5个。

【B组——能力提升】

例1已知两个自然数的差为2，它们的最小公倍数与最大公约数之间差为142，求这两个自然数。

解：由题意可得：两个自然数的差为2的自然数的最大公约数只有两种可能：一个为1，一个为2

（1）当两个数互质时，1×（1+142）=1×143=11×13；

（2）当两个自然数最大公约数为2时，2×（142+2）=2×144=16×18，

所以这两个自然数是11和13或者16和18。