中科院研究生院信息工程学院课件数值分析数值分析第三次作业及答案

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数值分析第三次作业及答案

明当h T 0时，它收敛于原初值问题的准确解 y

证：梯形公式为 y n 十 yn+—[f(X n ，y n )+f(X n^1，y n 』] h

由 f (X,y) = —y= y n+ =y n +2( — y n — yn G

=L n = 3 Y y n

」訓 /乂厂 ％

l 2+h <

12 +h 丿 丫

2. (P202(6))写出用四阶经典的龙格一库塔方法求解下列初值问题的计算公式:

y n + =y n + — (k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4)=0.2214x n +1.2214y n +0.0214 6

飞=3y n 心+x n )

2)

” k 2 =3(y n +0.1k 1〃(1+Xn +0.1) )L s =3(yn +0.1k2”(1+Xn +0.1)

k 4 =3(yn +0.2k 3”(1+Xn +0.2) 0 2

yn + =y n +〒(k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4).

1. ( P201 (4))用梯形方法解初值问题

〔爲证明其近似解为y n 偌〕:并证

用 . f 2-h 1 因 yoT " yn F 丿.

用上述梯形公式以步长h 经n 步计算到y n ,故有nh ：=x.

X

◎ T 茹J

f 2—h \n

7 l 2+h 丿

1) ]y =x + y, 0 e x ￡1; ly(0) =1;

2)l y \3%+x)，O *1； [y(0)=1.

解：令h =0.2

k 1 = f (X n , y n )= h k2=f (Xn+；；,yn+-k1)=Xn+- + 2 2 2 h k s = f (X n +；, y n +-k 2)=X n +- +y n +-k 2 =1.11(X n + y n )+0.11

2 2 2 2

X n +y n

h 1)4

h h ??yn +；；k i =1.1(Xn +y n )+0.1 2 2 h . . h .................................. .

2 八 2 J '

k 4 = f(X n +h,y n +hk 3)=X n + h + y n +hk 3 =1.222(X n +y n )+0.222

3. (P202(7))证明对任意参数t，下列龙格库塔—公式是二阶的:

r h

y n 卄yn+^g+G)；

* K i = f (X n, yj；

K2 = f (X n +th, y n +thK i);

[K3 =f(Xn+(1—t)h,yn+(1—t)hK i).

证：由一元函数的泰勒展开有

2 '''"

y(X nG =y(X n) +hy'(X n)弓[f x(X n,y(X n)) +f y(X n,y(X n))f(X n,y(X n))]中严h'

2 3!

又由二元函数的泰勒展开有y n41 =y n +；2(心+K3)=y n +；2[(f(X n,y n) + ￡%区『)也+

f y(X n, y n)thf (X n, Y n)十。(^ )) + ( f ( X., y.)中f x( X n, J n )(1 - t)h + f y(X n,『.)(1 一t )hf ( X., y n)+O(h2))] h2

' ' 3

=y n +hf(X n,y n) +■^[f X CX n/y n)中f y (X n, J n) f (X n, Y n)]中O(h )

为考虑局部截断误差，设y n =y(x n),上式有

h2' ' 3

yn+ =y n +hf (X n, y(X n)) + — [f x(X n,y(X n)) + f y(X n, y(X n)) f (X n, y(X n))] +O(h )

2

Q

比较y(X n卅)与y n十两式，知其局部误差为Rn41 = y(X n卅)- y n出=O ( h )

故对任意参数t,公式是二阶的。

4. (P203 (11))导出具有下列形式的三阶方法:

y n+ =a o y n +a y n_ 才a y2_ +2h(b y n0"b y n」+b1y n_) 2

解：假设y^y(X n)

则y(X n 十)=a o y(X n) + a1y(X n4)+a2y(X2)+h[b o y'(X n) + biy'^n」)+b2y'(X n<)] 将y(X n十)在X n处展开y n十=(a o +印+a2)y(X n)+(—印一2a2 中b o 中d 中b2)hy'(X n)

h2'' h3，“

+佝+4a2 -20 -4b2)—y (X n) +(—a1 -8a2 +30 +12b3)—y (X3)

h4

+(a1+16a2 —40 —32b2)—y⑷(x n) +0(h5)

4! f a o+印+a2 =1 Ip -2a2 +b o+b i + b2 =1

6 +4a2 -2d -4b2 =1

—a1 —8a2 +3b1 +12b3 =1

该公式的三阶方程为

取任一组满足方程组的参数均可。

2

5.

(P236(3))为求方程X 3 -X 2 -1 =0在X o =1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价

”迭代公式X k 出=1 +1/X 2收敛。

/.迭代公式X " = #1 +x 2 ■攵

敛。

2

1

3)X 2= 化X )-= x-1

J x -1 /.迭代公式发散。

J X k -1

问如何将x=?(x)化为适于迭代的形式?

将X =tgx 化为适于迭代的形式，并求 X =4.5 (弧度)附近的根。

解: 形式，并建立相应的迭代公式。 x=1+哭2,迭代公式x k +=1 + /X 2 = 1+x 2

,迭代公式 X y =#1 +X 2

；

1) 2) X 3

1 ___________________ =-,迭代公式 x k-^ = #-1. X -1 ￥

试分析每种迭代公式的收敛性。 3) X 2 ；

1.43 -1.42 -1 = —0.216 <0 1.53 -1.52 -1 =0.125 >0二［1.4,1.5］为有根区间。

1)x=1 +1/X 2

w (x) =1+1/x 2

<二止0.73<1

1.43

2x 1 5 -

<^^/(1 +1.0『止 0.63<1

2)X 3=1+X 2

?(X ) =% +X 2

6. (P236(6))已知x=W(x)在区间［a,b ］内只有一根，而当a

0(x) >k>1,试

解：由反函数微分法则有 故当◎(x)3k ：

>1 时, & 5)=亡

1

Xk+M'(Xk) (k=0,1，川)

有代T(X ))'

<1.

将 X = ?(x) = X

则迭代法是收敛的。

对 X =tgx = X =兀 +arctgx

用搜索法知在［4.45, 4.50］内有根，取

=Xk +=兀中arctgxk

x 0 =4.45 迭代，X ⑸=4.49341。

0(x) = --(X-1) 2 >

2

3

(1.5-1尸—彳

----- -- 止 1.4〉1

2

7.（P237（12））应用牛顿法于方程X3 -a =0，导出求立方根萌的迭代公式，并讨论其收

敛

性。

解：f（x）=x3—a f（X）

=3x2 3

X -a

=x - 3x2

e（x）=2—2a

3 3x3 叭x）

-寻心2a= ◎'苗）=2a 2

or弑0

二为二阶收敛。

因迭代公式为x k^ =2x；+a 3X

k

=X k H!-需=X k - 3x2 心-a 逅=忑_返_（兀-湎（处+価+荷

3x2

两边同除Xk-v a有3—體

3x2

因x：+循X k py a2>0 故由0

3x2

1）当a >0, 二X k > V a或X k

- 2x3+a 1 ,1 . a n1

又由X*W3Xk r+3ap3知7X k3x k

故当a >0,取初值x0>需时，迭代序列｛xj收敛于V a.

2）当a c。，= Xk >-—或X k € v a

2

又由x"x k+a

3X k

斗+钗+貴兰3』3x k g x k启

3 3 3x k Y 3 3 3x k

3X k

故当a <0,取初值x0< “a时，迭代序列｛x k｝收敛于v a.

故综上此为局部收

敛。