时间序列分析讲义 第01章 差分方程
第一章 差分方程
差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。
§1.1 一阶差分方程
假设利用变量t y 表示随着时间变量t 变化的某种事件的属性或者结构，则t y 便是在时间t 可以观测到的数据。假设t y 受到前期取值1-t y 和其他外生变量t w 的影响，并满足下述方程：
t t t w y y ++=-110φφ (1.1)
在上述方程当中，由于t y 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值1-t y ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。如果变量t w 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量t w 是随机变量，则此方程是随机差分方程。在下面的分析中，我们假设t w 是确定性变量。
例1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为t m 、t I 、bt r 和ct r ，则可以估计出美国货币需求函数为：
ct bt t t t r r I m m 019.0045.019.072.027.01--++=-
上述方程便是关于t m 的一阶线性差分方程。可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。
1.1.1 差分方程求解：递归替代法
差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。
由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程： 0=t ：01100w y y ++=-φφ
1=t ：10101w y y ++=φφ
M M
t t =：t t t w y y ++=-110φφ
依次进行叠代可以得到：
1011211010110101)()1()(w w y w w y y ++++=++++=--φφφφφφφφ
0111122113121102)1(w w w y y φφφφφφφ++++++=-
M M
i
t
i i t t
i i t w y y ∑∑=-=++=0
1110
10φφφφ (1.2)
上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将t y 表示为
前期变量和初始值的形式，从中可以看出t y 对这些变量取值的依赖性和动态变化过程。
1.1.
2. 差分方程的动态分析：动态乘子(dynamic multiplier) 在差分方程的解当中，可以分析外生变量，例如0w 的变化对t 阶段以后的t y 的影响。假设初始值1
-y 和t w w ,,1Λ不受到影响，则有：
t
t
w y 10
φ=?? (1.3)
类似地，可以在解的表达式中进行计算，得到： j
t
j
t w y 1φ=??+ (1.4)
上述乘子仅仅依赖参数1φ和时间间隔j ，并不依赖观测值的具体时间阶段，这一点在任何差分方程
中都是适用的。
例1.2 货币需求的收入乘子 在我们获得的货币需求函数当中，可以计算当期收入一个单位的变化，对两个阶段以后货币需求的影响，即： t t
t t t t t t I w I w w m I m ??=?????=??++2
122φ
利用差分方程解的具体系数，可以得到： 19.0=??t
t
I w ，72.01=φ
从而可以得到二阶乘子为： 098.02
=??+t
t I m
注意到上述变量均是对数形式，因此实际上货币需求相对于两个阶段以前收入的弹性系数，这意味着收入增长1%，将会导致两个阶段以后货币需求增加0.098%，其弹性是比较微弱的。
定义1.1 在一阶线性差分方程中，下述乘子系列称为t y 相对于外生扰动t w 的反应函数：
j
t
j t j w y L 1φ=??=
+，Λ,1,0=j (1.5)
显然上述反应函数是一个几何级数，其收敛性依赖于参数1φ的取值。 (1) 当101<<φ时，反应函数是单调收敛的； (2) 当011<<-φ时，反应函数是震荡收敛的； (3) 当11>φ时，反应函数是单调扩张的； (4) 当11-<φ时，反应函数是震荡扩张的；
可以归纳描述反应函数对于参数的依赖性：当1||1<φ时，反应函数是收敛的；当1||1>φ时，反应函数是发散的。
一个特殊情形是11=φ的情形，这时扰动将形成持续的单一影响，即t w 的一个单位变化将导致其后
任何时间j t y
+的一个单位变化：
1
≡??=+t
j
t j w y L ，Λ,1,0=j
为了分析乘子的持久作用，假设时间序列t y 的现值贴现系数为β，则未来所有时间的t y 流贴现到现在的总值为：
∑∞
=+0j j
t j y β (1.6)
如果t w 发生一个单位的变化，而t s w s >,不变，那么所产生的对于上述贴现量的影响为边际导数：
∑∑∑∞
=∞
=+∞=+-=
=??=??0
11/)(j j j j t
j t j
j t j t j w y w y φ
βφββ
β，1||<φβ
上述分析的是外生变量的暂时扰动，如果t w 发生一个单位的变化，而且其后的t s w s >,也都发生一
个单位的变化，这意味着变化是持久的。这时持久扰动对于)(j t +时刻的j t y
+的影响乘数是：
111111
φφφ+++=??++??+
??-+++++ΛΛj j j
t j t t t t
j t w y w y w y (1.7)
当1||1<φ时，对上式取极限，并将其识为扰动所产生的持久影响： 11111)(lim φ-=??++??+??+++++∞→j t j t t t t
j t j w y w y w y Λ (1.8)
例1.3 货币需求的长期收入弹性 在例1.1中我们已经获得了货币的短期需求函数，从中可以求出货币需求的长期收入弹性为： 68.072
.0119
.0=-=?=t t t t t t dI dw dw dm dI dm
这说明收入增加1%最终将导致货币需求增加0.68%，这是收入对于货币需求反馈的持久影响效果。 如果换一个角度考察扰动的影响，那么我们需要分析一个单位的外生扰动对于t y 以后路径的累积影
响，这时可以将这种累积影响表示为：
φ-=??∑
∞=+110j t
j
t w y (1.9)
由此可见，如果能够估计出差分方程中的系数，并且了解差分方程解的结构，则可以对经济变量进行稳定性的动态分析。另外，我们也发现，内生变量对外生变量反应函数的性质比较敏感地依赖差分方程中的系数。
§1.2 p 阶差分方程
如果在方程当中允许t y 依赖它的p 阶前期值和输入变量，则可以得到下述p 阶线性差分方程(将常数项归纳到外生变量当中)：
t
p t p t t t w y y y y ++++=---φφφΛ2211 (1.10)
为了方便起见，将上述差分方程表示成为矩阵形式：
t t t v F +=-1ξξ (1.11) 其中：
????????????????=+---121p t t t t t y y y y M ξ，????????
????????=-0001
000000100011321M M ΛM ΛΛΛM M M p p F φφφφφ，??
???
???????????=000M t t w v
其实在方程(1.11)所表示的方程系统当中，只有第一个方程是差分方程(1.10)，而其余方程均是定
义方程：
j
t j t y y --=，p j ,,2,1Λ=
将p 阶差分方程表示成为矩阵形式的好处在于，它可以进行比较方便的叠代处理，同时可以更方便地进行稳定性分析。另外，差分方程的系数都体现在矩阵F 的第一行上。
进行向前叠代，可以得到差分方程的矩阵解为：
t t t t t t v v F v F v F F +++++=---+1111011Λξξ (1.12) 利用
)
(t j i f 表示矩阵t F 中第i 行、第j 列元素，则方程系统(1.12)中的第一个方程可以表示为： t
t t t p t p t t t w w f w f w f y f y f y f y ++++++++=---+-+-+1)
1(111)1(110)(11)1(12)1(121)1(11
ΛΛ
(1.13)
需要注意，在p 阶差分方程的解中需要知道p 个初值：)
,,,(21p y y y ---Λ，以及从时刻0开始时的所有外生变量的当前和历史数据：),,,(10t w w w Λ。
由于差分方程的解具有时间上的平移性，因此可以将上述方程(1.12)表示为： j
t j t t j t j t j j t v v F v F v F F +-++--+++++++=11111Λξξ (1.14) 类似地，表示成为单方程形式：
j
t j t t j t j p
t j p t j t j j t w w f w f w f y f y f y f y +-++--+-+-++++++++++=1)
1(111)1(11)(11)1(12)
1(121)1(11ΛΛ (1.15)
利用上述表达式，可以得到p 阶差分方程的动态反应乘子为：
)
(11
j t
j
t j f w y L =??=+，Λ,1,0=j 由此可见，动态反应乘子主要由矩阵j
F 的首个元素确定。
例1.4 在p 阶差分方程中，可以得到一次乘子为：
1
11)
1(1111φ===??=+F f w y L t
t
二次乘子为：
221211)2(1121φφ+===??=+F f w y L t
t
虽然可以进一步通过叠代的方法求出更高阶的反应乘子，但是利用矩阵特征根表示则更为方便，主
要能够更为方便地求出矩阵j
F 的首个位置的元素。
根据定义，矩阵F 的特征根是满足下述的λ值： 0
||=-p I F λ (1.16) 一般情况下，可以根据行列式的性质，将行列式方程转换为代数方程。 例1.5 在二阶差分方程当中，特征方程为： 0
1)(2122
1=--=--φλφλλ
φλφ
具体可以求解出两个特征根为：
()22111421φφφλ++=
，()
22112421φφφλ+-= (1.17)
上述特征根的表达式在讨论二阶线性差分方程解的稳定性时，我们还要反复用到。 距阵F 的特征根与p 阶差分方程表达式之间的联系可以由下述命题给出：
命题1.1 距阵F 的特征根满足下述方程，此方程也称为p 阶线性差分方程的特征方程： 0
12211=--------p p p p p φλφλφλφλΛ
证明：根据特征根的定义，可知特征根满足：
001000001001)(||1321=???
??
???????????----=--λφφλφλφλφλM M ΛM ΛΛΛM M M p p p I F
对上述行列式进行初等变化，将第p 列乘以)/1(λ加到第1-p 列，然后将第1-p 列乘以)/1(λ加到第2-p 列，依次类推，可以将上述行列式方程变化为对角方程，并求出行列式值为：
12211=--------p p p p p φλφλφλφλΛ
这便是所求的p 阶线性差分方程的特征方程。 END
如果知道p 阶线性差分方程的特征方程及其特征根，不仅可以分析差分方程的动态反应乘子，而且可以求解出差分方程解析解的动态形式。
1.2.1 具有相异特征根的p 阶线性差分方程的通解
根据线性代数的有关定理，如果一个方阵具有相异特征根，则存在非奇异矩阵T 将其化为对角矩阵，且对角线元素便是特征根：
1-Λ=T T F ，),,(1p diag λλΛ=Λ (1.18)
这时矩阵F 的乘级或者幂方矩阵可以简单地表示为：
11)(--Λ=Λ=T T T T F j j j ，),,(1j
p j j diag λλΛ=Λ (1.19)
假设变量ij t 和ij
t 分别表示矩阵T 和1-T 的第i 行、第j 列元素，则可以将上述方程利用矩阵形式表
示为：
?????
?
????
????????????????????
???????
???=pp p p p p p j p j j pp p p p p j t t t
t t t t t t t t t t t t t t t F ΛM ΛM M ΛΛΛ
M ΛM M M Λ
ΛΛ
M ΛM M ΛΛ21
222211************
1121100
0000000
λλλ
从中可以获得：
j
p
p j j j p
p p j j j c c c t t t t t t F λλλλλλ+++=+++=ΛΛ2211112211211111)(11)()()( (1.19)
其中：1
1j j j t t c =，Λ,1,0=j ，如此定义的序列具有下述约束条件(自行证明)： 1
21=+++p c c c Λ (1.20) 具有上述表达式以后，在差分方程的解：
j
t j t t j t j p
t j p t j t j j t w w f w f w f y f y f y f y +-++--+-+-++++++++++=1)
1(111)1(11)(11)1(12)
1(121)1(11ΛΛ (1.15)
中可以得到动态乘子为： j
p
p j j j t
j
t j c c c f w y L λλλ+++==??=+Λ2211)(11，Λ,1,0=j (1.21)
究竟系数序列j c
取值如何，下述命题给出了它的具体表达式。
命题1.2 如果矩阵F 的特征根是相异的，则系数j c
可以表示为：
∏≠=--=
p
i
k k k i p i i c ,11
)
(λλλ (1.22)
证明：由于假设矩阵F 具有相异的特征根，因此对角化的非奇异矩阵可以由特征向量构造。令向量i
t 为：
]1,,,[21'
=--i p i p i i t λλλΛ，p i ,,2,1Λ=
其中
i λ是矩阵F 的第i 个特征根。
经过运算可以得到：
i
i i t t F λ=
由此可知i t 是矩阵F 的对应特征根i λ的特征向量，利用每个i t
做列就可以得到矩阵T 。将矩阵p
I T T =-1的第一列表示出来：
????
?
???????????????=???????????????????
?????????????????????----------0000111111,131********
133231222211
1211M M ΛΛM ΛM M ΛΛΛp p p p p p p p p p p p p p p t t t t t λλλλλλλλλλλλ 可以求解上述线性方程的解为：
)
())((1
1312111p t λλλλλλ---=
Λ，
)
())((1
2321211p t λλλλλλ---=
Λ
M )
())((1
12111----=
p p p p t λλλλλλΛ
注意到：1
1i i i t t c =，p i ,,2,1Λ=，带入上述表达式即可得到结论。 END
例1.6 求解二阶差分方程：t t t t w y y y ++=--212.06.0 解：该方程的特征方程为：
02.06.02=--λλ
特征根为：
()84.0)2.0(4)6.0(6.02121=++=
λ，()
24.0)2.0(4)6.0(6.021
22-=+-=λ 778.0)(2111=-=λλλc ，222
.0)(122
2=-=λλλc
此方程的动态乘子为： j
j j
j t
j
t j c c w y L )24.0(222.0)84.0(788.02211-+=+=??=+λλ，Λ,1,0=j
在上述乘子的作用过程中，绝对值教大的特征根决定了乘子的收敛或者发散过程。一般情形下，如果1λ是绝对值最大的特征根，则有：
11)1(lim c w y j
t j t j =??+∞→λ (1.23)
则动态乘子的收敛或者发散是以指数速度进行。
当一些特征根出现复数的时候，差分方程解的性质出现了新的变化，扰动反应函数将出现一定的周期性质。为此，我们讨论二阶差分方程的情形。
当0422
1<+φφ时，特征方程具有共扼复根，可以表示为：
bi a +=1λ，bi a -=2λ，
2/1φ=a ，2/1221)4)(2/1(φφ--=b
利用复数的三角函数或者指数表示法，可以将其写作：
)][exp(]sin [cos 1θθθλi R i R =+=，22b a R +=，a b /tan =θ
这时动态乘子可以表示为：
)]
[sin()()][cos()(21212211j R c c j R c c c c w y L j j j
j t
j
t j θθλλ-++=+=??=+
对于实系统的扰动分析，上述反应乘子应该是实数。由于1c 和2c 也是共扼复数，因此有：
βαi c +=1，βαi c -=2
则有：
)]
[sin(2)][cos(2j R j R w y L j j t
j
t j θβθα-=??=+ (1.24)
如果1=R ，即复数处于单位圆上，则上述动态乘子出现周期性变化，并且影响不会消失；如果1
解：该方程的特征方程为：
08.05.02=+-λλ
特征根为：
()
i 86.025.0)8.0(4)5.0(5.021
21+=-+=
λ， ()
i
86.025.0)8.0(4)5.0(5.021
22-=--=λ 上述共扼复数的模为：
9
.0)86.0()25.0(22=+=R
因为1 由此可知动态乘子的周期为： 9 .42=θ π 由此可知动态乘子的时间轨迹上，大于4.9个时间阶段便出现一次高峰。 1.2.2 具有相异特征根的二阶线性差分方程的通解 针对具体的二阶线性差分方程，可以讨论解的性质与参数21,φφ之间的关系。 a. 当04221<+φφ时，参数取值处于抛物线22 14φφ-=的下方。这时特征方程具有复特征根，且复数的模为： 2221212224/)4()2/(φφφφ-=+-=+=b a R 因此，当102<-<φ时，此时解系统是震荡收敛的；当12=-φ是震荡维持的；当12>-φ时是震荡 发散的。 b. 当特征根为实数时，我们分析最大特征根和最小特征的性质。此时04221>+φφ，且 ()()2211222111421421φφφλφφφλ+-=>++=() 1 421 22111>++=φφφλ 当且仅当1112<<<-λλ时解及其动态反应乘子是稳定的。下面我们判断非稳定情形。如果： () 1421 22111>++= φφφλ 即： 1221124φφφλ->+= 求解可知，使得不等式11>λ成立的参数解为： 21>φ，或者，121φφ-> 同理，使得不等式12-<λ成立的参数解为： 21-<φ，或者，121φφ+> 因此当特征方程具有相异实根的时候，稳定性要求参数落入抛物线上的三角形区域内。 c. 类似地可以说明，当特征方程具有相等实根的时候，即处于三角形内的抛物线上时，方程仍然具有稳定解，同时动态反应乘子也是收敛的。 1.2.3 具有重复特征根的p 阶线性差分方程的通解 在更为一般的情形下，矩阵F 可能具有重复的特征根，即具有重根。此时可以利用Jordan 标准型表示差分方程的解及其动态反应乘子。下面以二阶差分方程为例说明。 假设二阶差分方程具有重根，则可以将矩阵F 表示为： 1 1-???? ??=T T F λλ 计算矩阵乘积得到： 1 10 --??????=T j T F j j j j λλλ 于是动态反应乘子可以表示为： j j j t j t j j k k f w y L λλ21) (11+==??=+ §1.3 长期和现值的计算 如果矩阵F 的所有特征根均落在单位圆内(即所有特征根的模小于1)，当时间间隔j 逐渐增大时，矩阵乘积j F 将趋于零矩阵。如果外生变量t w 和t y 的数据均是有界的，则可以利用t w 的所有历史数据表示差分方程的一个解： Λ++++=---332211t t t t t w w w w y ψψψ 其中) (11i i f =ψ，即矩阵j F 中的(1, 1)位置元素。可以在矩阵表示下，计算t w 的一个暂时性变化形成的对t y 现值的影响。注意到利用向量求导得到： j t j t F v =' ??+ξ 这样一来，现值影响乘子可以表示为： 10 0)(-∞=∞=+-=∑=??????∑'??F I F v p j j j j j t j t ββξβ 上述矩阵级数收敛的条件是F 所有特征根的模均小于1-β。此时，t w 的一个暂时性变化形成的对t y 现值的影响是矩阵1 )(--F I p β的(1, 1)元素，可以利用下述命题求出。 命题：如果F 所有特征根的模均小于1 -β，则有： (1) t w 的一个暂时性变化形成的对t y 现值的影响乘子是： p p j j t j t y w βφβφβφβ----=? ?? ???∑??∞=+Λ221011 (2) t w 的一个暂时性变化形成的对t y 的持续影响乘子是： p j t j t w y φφφ----= ∑ ??∞ =+Λ210 11 (3) 发生在t w 上的持续变化导致的累积影响乘子是： p j t j t t j t t j t j w y w y w y φφφ----=??????????++??+??+++++∞→ΛΛ21111lim 证明：我们首先证明：如果F 所有特征根的模均小于1-β，则矩阵1)(--F I p β存在。假设此时逆 矩阵不存在，则有) (F I p β-的行列式为零，即 ||)(||1=--=--p p p I F F I βββ 上式说明1-β是F 的特征根，这与F 所有特征根的模均小于1 -β的假设矛盾，因此可知逆矩阵1 )(--F I p β存在。 下面我们求1)(--F I p β当中(1, 1)位置的元素。假设ij x 表示1)(--F I p β当中(i , j )位置的元素， 则有： ????????????=????????????------??????????????-100 010001 10 00111 21 2 12222111211Λ M ΛM M ΛΛΛ M M ΛM M ΛΛΛ M ΛM M ΛΛβ βφβφβφβφβp p pp p p p p x x x x x x x x x 仅仅考虑上述矩阵的第一行，则有： [] [] 001100 001 11 2111211ΛΛ M M ΛM M ΛΛΛ=?? ??? ?? ?? ???-------β βφβφβφβφβp p p x x x 对于上述矩阵通过右乘初等矩阵进行初等变换，例如对最后一列乘以β加到倒数第2列，然后倒数第2列乘以β加到倒数第3列，依次类推，可以得到： 1 )1(22111=----p p x βφβφβφΛ 从中可以求出11x ，即可以证明命题中的三个等式。