第三章 电路的暂态分析
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第三章 电路的暂态分析1培训资料
第三章电路的暂态分析1培训资料电路的暂态分析是电路理论中的重要内容，它研究电路在初始状态或在切换瞬间的瞬态响应。
在本章中，我们将介绍电路暂态分析的基本概念、方法和应用。
一、电路暂态分析的基本概念电路暂态分析是指在电路切换瞬间或在初始状态下，电路中各元件的电流、电压和功率的瞬态变化情况。
电路暂态分析是电路理论中的基础知识，它对于理解电路的动态行为和瞬态响应具有重要意义。
二、电路暂态分析的方法1. 瞬态响应方程瞬态响应方程是描述电路在切换瞬间或初始状态下的电流、电压和功率变化的数学方程。
通过求解瞬态响应方程，可以得到电路在瞬态过程中的电流、电压和功率的变化规律。
2. 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是求解电路暂态响应的一种常用方法。
通过将电路中的元件和信号用拉普拉斯变量表示，可以将电路暂态分析转化为求解代数方程的问题，从而得到电路的瞬态响应。
3. 数值模拟方法数值模拟方法是通过计算机仿真来求解电路暂态响应的一种方法。
通过建立电路的数学模型，并利用数值计算方法进行仿真计算，可以得到电路在瞬态过程中的电流、电压和功率的变化情况。
三、电路暂态分析的应用1. 电路开关过程的分析在电路中，开关的切换过程会引起电路中电流、电压和功率的瞬态变化。
通过电路暂态分析，可以研究开关过程中电路的动态行为，为电路设计和故障诊断提供依据。
2. 电源启动过程的分析电源启动过程是指电源从初始状态到正常工作状态的过程。
在电源启动过程中，电路中的电流、电压和功率会发生瞬态变化。
通过电路暂态分析，可以研究电源启动过程中电路的瞬态响应，为电源设计和调试提供参考。
3. 电路故障诊断在电路中，故障会引起电路中的电流、电压和功率的异常变化。
通过电路暂态分析，可以分析故障引起的瞬态响应，从而判断故障的位置和原因，为电路的修复和维护提供指导。
总结：电路暂态分析是电路理论中的重要内容，它研究电路在初始状态或在切换瞬间的瞬态响应。
电路暂态分析的方法包括瞬态响应方程、拉普拉斯变换法和数值模拟方法。
3电路的暂态分析
0
0
4、R l
s
3
二、电感 L： 单位电流产生的磁链
（单位：H, mH, H）
1、磁通与磁通链（单位：韦伯Wb）
i N Li
u
其中： 为磁通
为磁通链
电感元件
L 为线圈的电感，也称自感
单位：亨H
N 为线圈的匝数
与I的方向符合右手螺旋定则
4
2、自感电动势 当线圈中通过的磁通发生变化时，
18
电容电路
KR
储能元件
uC
+ _U
uC C
E
t
电容为储能元件，它储存的能量为电场能量 ，
其大小为：
WC t uidt 1 cu2
0
2
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电
容的电路存在过渡过程。
19
电感电路
KR
储能元件
+ t=0
U _
iL
iL
t
电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，
其大小为：
iC
线性微分方程
+
U -
2
R
C uC
RC duC dt
uC
0
iCR + Uc = 0
i C duC dt
设微分方程的通解为：
uC Ae pt
41
求齐次方程的通解：
通解即： RC duC dt
uC
0
的解。
设微分方程的通解为： uC Ae pt
其中:
A为积分常数 P为特征方程式的根
42
求P值:
di 0 dt
u0
所以,在直流电路中电感相当于短路.
7
5、电感是一种储能元件, 储存的磁场能量为：
电路的暂态分析武汉理工大学电工学课件
+
u eL
eL实
-+
-
+-
-
u eL
eL实
-+
+
i di 0
dt
eL
L di dt
<
0
eL与参考方向相反
i
di
0
dt
eL
L
di dt
>0
eL与参考方向相同
eL具有阻碍电流变化的性质
(3根将) 电据上感基式元尔两件霍边储夫同能定乘律上可i ，得并：积u 分，eL则得L：ddti
t ui dt
由换路定则：
iL(0 ) iL(0 ) 1A
uC (0 ) uC (0 ) 4 V
例2：换路前电路处稳态。
试求图示电路中各个电压和电流的初始值。
R
iR
+ 2
U
_
8V
i1
t =0iC
R1 4
+ u_ C
R2 iL R3 + 2
4
4
U
C
+ u_ L L
_ 8V
R1
iC R2 iL R3
第3章 电路的暂态分析
3.1 换路定则与电压和电流初始值的确定 3.2 RC电路的响应 3.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法 3.4 微分电路和积分电路 3.5 RL电路的响应
第3章 电路的暂态分析
教学要求： 1. 理解电路的暂态和稳态、零输入响应、零状 态响应、全响应的概念，以及时间常数的物 理意义。 2. 掌握换路定则及初始值的求法。 3. 掌握一阶线性电路分析的三要素法。
产生暂态过程的原因：
3 电路的暂态分析
响应中“三要素”的确定
10 uC ( ) 5 55 5V
6 iL( ) 6 66 3 mA
(2) 初始值f ( 0 ) 的计算 ( 0 ) 、 i ( 0 ) 1) 由t=0- 电路求 u C L 2) 根据换路定则求出
u C (0 ) u C (0 ) iL(0 ) iL(0 )
0
0
( t 0 )
稳态分量
全响应 = 稳态分量 +暂态分量
暂态分量
3.3.1 在在电路的暂态过程中，电路的时间常数τ 愈大，则电流和电压的增长或衰减就（ ） （1）愈快 （2）愈慢 （3）无影响 3.3.2电路的暂态过程从t=0大致经过（ 就可认为到达稳定状态了。 （1） τ （2）（3~5） τ （3）10 τ ）时间，
t RC
s
+ U _
i R
t 0
C
uC (0 -) = 0
+ _ uC
u U Ue U ( 1 e ) C
t RC
d u U C i
iC u C
U R
U
uC
iC
当t=时
u ( ) 63 . 2 % U C
t
3 RC电路的全响应
一阶线性电路暂态分析的三要素法
在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方 程解的通用表达式： 式中,
f ( t ) f ( ) [ f ( 0 ) f ( )] e
t
f (t ) ：代表一阶电路中任一电压、电流函数
f ( 0 ) -- 初始值 f () -- 稳态值 （三要素） -- 时间常数 利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法。 一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得 f ( 0 ) 、 f () 和 的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流)。
电工电子学
C K接通电源后很长时间，电容充电 完毕，电路达到新的稳定状态
uC
–
(t →)
i
R +
i = 0 , uC= Us
C
US R
Us
uC
–
uc
US
?
t1
暂态
i
t
新稳态
有一过渡期
5
初始状态 0
电感电路 (t = 0)
K未动作前，电路处于稳定状态
i
+
Us
K
R
i = 0 , uL = 0
L
K接通电源后很长时间，电路达到 新的稳定状态，电感视为短路
diL L Ri L 0 dt i (0 ) I 0
S(t=0) + Us R1 R uR + iL L
iL + R u R L uL +
u， i uR
diL uL L dt
P
R t L
特征方程: Lp+R=0 解得： i L I 0 e
R t L
3
当动态电路状态发生改变时，需要经历一个变化过 程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的暂 态过程。
例
+
电阻电路
i （t=0）
i U S / R2
i
us
R1
i U S ( R1 R2 )
-
R2
0
t
暂态过程为零
4
电容电路 (t = 0)
Us
K
K未动作前，电路处于稳定状态
i
+
R
i = 0 , uC = 0
S(t=0) + i1 Us R1 R2
uC
–
(t →)
i
R +
i = 0 , uC= Us
C
US R
Us
uC
–
uc
US
?
t1
暂态
i
t
新稳态
有一过渡期
5
初始状态 0
电感电路 (t = 0)
K未动作前，电路处于稳定状态
i
+
Us
K
R
i = 0 , uL = 0
L
K接通电源后很长时间，电路达到 新的稳定状态，电感视为短路
diL L Ri L 0 dt i (0 ) I 0
S(t=0) + Us R1 R uR + iL L
iL + R u R L uL +
u， i uR
diL uL L dt
P
R t L
特征方程: Lp+R=0 解得： i L I 0 e
R t L
3
当动态电路状态发生改变时，需要经历一个变化过 程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的暂 态过程。
例
+
电阻电路
i （t=0）
i U S / R2
i
us
R1
i U S ( R1 R2 )
-
R2
0
t
暂态过程为零
4
电容电路 (t = 0)
Us
K
K未动作前，电路处于稳定状态
i
+
R
i = 0 , uC = 0
S(t=0) + i1 Us R1 R2
第3章 电路的暂态分析
+
S uR uC
duC RC uC U S dt
返回
2 . 解微分方程
RCduC(t)/dt+uC(t) = US ∵ uC(0) = 0 uC(∞) = US
－ t / RC uC(t)=US(1－e )
令τ=RC uC(t)=US(1－e －t/τ) i(t)＝CduC(t)／dt=(US／R) e－t/τ uR(t)＝ i(t) R ＝US e－t/τ
返回
二、求解一阶电路的三要素法 用f (t)表示电路中的某一元件的电压 或电流, f (∞)表示稳态值, f (0+)表示初 始值，τ为时间常数。
返回
例3、换路前电路已处于稳态， t＝0时S断开, 求uC(0+ )、uL(0+)、uR2(0+)、iC(0+ )、iL(0+ )。 S 解： iL ∵ t = 0 ，电路稳态 － R1 iC L uL C 开路，L短路, uC + iL(0－ ) =US/(R1+R2) C R2 US uC(0－ )= iL(0－ ) R2 －
返回
例、已知R1=R2 =10Ω，US=80V，C=10μF, t=0开关S1闭合，0.1ms后，再将S2断开，求 uC的变化规律。(C上初始能量为零) i S1 解： (2) t> (1) 0 < 0.1ms t < 0.1ms uR )=0 uu (t )= uu (C t (0－ )=50.56V R C(0 +)=
习题
通往天堂的班车已到站， 恭喜你!
题解
习题
i1 R1 iC
S
解： ∵t ＝0－，电路稳态。 C 相当于开路， i1(0－ )= i2(0－ )=US/(R1+R2) = 2mA uC(0－ )= i2(0－ ) R2= 6V
第三章电路的暂态分析总结
t
时间常数 决定电路暂态过程变化的快慢 令:
RC
时间越长。
越大，曲线变化越慢，u 达到稳态所需要的
C
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三、三要素法
在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方程解的通用表达式：
f ( t ) f ( ) [ f (0 ) f ( )] e
电容电路： uC (0 ) uC (0 ) 注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中 uC、 iL初始值。
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二、初始值的确定
初始值：电路中各 u、i 在 t =0+ 时的数值。
求解要点：
(1) uC( 0+)、iL ( 0+) 的求法。 1) 先由t =0-的电路求出 uC ( 0– ) 、iL ( 0– )； 2) 根据换路定律求出 uC( 0+)、iL ( 0+) 。 (2)其它变量初始值的求法。
3) 由t=0+时的电路，求所需其它各量的 u(0 ) 或 i (0 )
(3) 时间常数 的计算
对于一阶RC电路
R0C
L R0
对于一阶RL电路
1) 对于简单的一阶电路 ，R0=R ; 2) 对于较复杂的一阶电路， R0为换路后的电路除去电源和储能元件后， 在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻。 3) 时间常数 决定电路暂态过程变化的快慢
1) 由t =0+等效电路求其它电量的初始值；
2) 在 t =0+的等效电路中电容元件可用一理想电压源替代, 其电压为 uc(0+); 电感元件可用一理想电流源替代，其电流为iL(0+)。
第3章 电路的暂态分析
再由t＝ 时刻的电路 的电路： 再由 ＝0＋时刻的电路： 得：
U
i (0+) R1 2 + 6V -
+ R2 4 is(0+) L iL (0+) +
uR2
uR1
-
U 6 i (0 + ) = = =3A R1 2
is（0+）=i（0+）－ L（0+）=3－1=2 A （ ）－i － uR1（0+）=R1i（0+）=2×3=6 A （ × uR2（0+）=R2 iL（0+）=4×1=4 A × 由KVL：uL（0+）= -uR2（0+）= -4 V ：
2 t=0 S 1 + Us i + R uR C + uC
duC 且 i = iC = C dt duC ∴ u R = RC dt duC 故， RC + uC = U s dt
求解一阶线性常微分方程， 求解一阶线性常微分方程， 其解由两部分组成： 其解由两部分组成： 从数学观点解释： 从数学观点解释：
+ U -
i
R1 2 is
R2 4 L iL
6V
S t=0
∵开关闭合前电路已处于稳态，且电路为直流电路 开关闭合前电路已处于稳态， ∴电感相当于短路 则
U 6 iL (0 − ) = i (0 − ) = = =1A R1 + R 2 2 + 4
由换路定则，可得： 由换路定则，可得： iL（0+）=iL（0－）=1 A
）（t≥0） （V）（ ） ）（
三要素法公式
微分方程的通解： 微分方程的通解： 从物理观点解释： 从物理观点解释：
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注意：这样一个高压将使 电压表损坏，所以直流电 压表不宜固定连接在电感 uV (0 ) RViL (0 ) 2500V 线圈两端。
3.3.2
RL电路接通直流电源
假设在开关合上前，线圈 中未储有能量；在t=0时， 将开关S合上，与直流电 源接通。因为电感中的电 流不能突变 i L (0 ) i L (0 ) 0
3.1电路暂态的基本概念及换路定则
3.1.1电路的稳态与暂态
1、稳态：
（对直流电路）电流和电压是恒定的， （对交流电路）随t按周期性变化的
2、换路：电路状态的变。
如电路接通、断开、改接及元件参数改 变等。
3、暂态：
旧稳态
换路
t(暂态)
新稳态
“稳态”与 “暂态”的概念示例:
S R R
+ _
U
uC
(t 0)
RC放电电路的特点：
uC、uR、i均按指数规律衰减，衰减的速度完
全由电路的参数τ决定
的物理意义: 决定电路过渡过程变化的快慢。
S + _U R C
关于时间常数的讨论
i
uC
uC (t ) U Ue U Ue
t t
RC
RC
uC
t
u C (t ) U Ue
解： ① 开关S在t=0时刻断开，这时电容C原来 所储存的电能通过电阻 R2 放电，因此
uC Ae
t RC
(t 0)
根据换路定则
R2 uC (0 ) uC (0 ) U R1 R2 100 120V=100V 20 100
所以得
A uC (0 ) 100
因电阻与电容串联，所以 t=0时，电阻两端的电压为
uR (0 ) U uC (0 ) (12 0)V=12V
S + U _
i
R C + u _R +
uC
_
例3.1.2电路图
uR (0 ) 12 电路中的电流为 i(0 ) R 4 A=3A
3.2 RC电路的暂态分析
3.2.1 RC放电电路 开关S在“1”位置，电路处于 稳定状态，电流 i(0 ) 0 电容元件两端电压 uC (0 ) U 在t=0时，将开关S扳到“2”位置 输入电压为零,电容元件经过电阻R开始放电。 电路换路后的回路电压方程
零状态响应：
在零状态的条件下，由电源激励信号产生的 响应为零状态响应。
全响应：
电容上的储能和电源激励均不为零时的响应， 为全响应。
根据RC、RL电路暂态的分析 可得一阶电路微分方程解的通用表达式：
t
f (t ) f () [ f (0 ) f ()] e
式中
f (t ) 代表一阶电路中任一待求电压、电流变量。
t U U U U ' '' iL iL iL ( e pt ) (1 e pt ) (1 e ) R R R R
L diL iL U R dt
(t 0)
零状态响应
3.4 一阶线性电路暂态分析的 三要素法
一阶电路：凡是可用一阶常微分方程描述的电路 仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的电路 都是一阶电路 一阶电路暂态过程的求解方法 1.经典法:用数学方法求解微分方程。 2.三要素法: 求 初始值 稳态值 （三要素） 时间常数
电感电路
S R 储能元件
U
+ t=0
_
iL
L
iL
t
电感为储能元件，能量大小为：
1 2 WL uidt Li 0 2
t
因为能量的存储和释放需要一个过程，电感元件中 的电流不能突变，所以有电感的电路存在过渡过程。
3.1.4换路定则
换路定则:
在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能 突变。 设：t=0 表示换路瞬间 t=0- 表示换路前的终了瞬间 t=0+表示换路后的初始瞬间（初始值）
第三章 电路的暂态分析
目录
3.1电路暂态的基本概念及换路定则 3.2 RC电路的暂态分析 3.3 RL电路的暂态分析 3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法 *3.5 LC振荡电路
教学目标
掌握基本概念、初始值的求取方法 掌握电路暂态过程的“三要素分析法” 了解电路暂态过程中的物理现象及与 电路稳定状态的区别
当
t
uC
U
0.632U
t
时:
u ( )
4
5
6
u ( ) U 63.2 0
t
0
uC
t
0
2
3
0 0.632U 0.865U 0.950U 0.982U 0.993U 0.998U
当 t=5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
u C (t ) U Ue
U 0.632U
duC RC uC U dt
一阶常系数非齐 次线性微分方程
' '' uC uC uC U Ue pt U (1 e pt ) U (1 e )
t
(t 0)
电路中的充电电流为
1 1 t t duC U RC U i C e e dt R R
+
C
_
U
uC
电路处于旧稳态
电路处于新稳态
过渡（暂态）过程 :
uC
E
暂态
稳态 t
旧稳态
新稳态
产生暂态过程的必要条件： 有电容或电感等储 (1) 电路中含有储能元件 (内因 ) (2) 电路发生换路 (外因) 能元件存在时存在 暂态，纯电阻电路 产生过渡过程的电路及原因 不存在暂态
电阻电路
S + _ U R t=0 I
uC (t ) 100e
t RC
(t 0)
② 电路的时间常数 开关S断开后，当t= 时
uC ( ) 100e
R2C (100 10 10 10 )s=1s
3 6
RC
100e1V=36.8V
当t=5 时
uC (5 ) 100e
5 RC
100e5V=0.7V
电 路 状 态
零状态： 换路前电路中的储能元件均未贮存能 量，称为零状态 。
零输入：
电路中无电源激励（即输入信号为零） 时，为零输入。
电路的响应
零输入响应：
在零输入的条件下，由非零初始态（储能元 件的储能）引起的响应，为零输入响应； 此 时， uc (0 ) 或 iL (0 ) 被视为一种输入信号。
WL
不能突变
i L 不能突变
从电路关系分析
S R uC i 若 c 发生突变，
+ _U
C
S闭合后，列回路电压方程：
duc 则 dt
u
duC U iR u C RC u C 不可能！ dt du (i C ) 所以电容电压 dt 不能突变
i
一般电路
例3.1.1 确定图所示电路中各个电压和电流的 初始值（设换路前电路处于稳态）。已知 U=6V，R=3 Ω，L=10mH 。 iL S 解：开关S闭合前 iL (0 ) 0A + i L 不能突变 开关S闭合瞬间，根据换路 u + R _R U 定则 iL (0 ) iL (0 ) 0A _ + L u L t=0时，电阻两端的电压为
uR uC 0
du C RC uC 0 dt
' '' uC uC uC Ue pt Ue t RC
一阶常系数齐次 线性微分方程
Ue
t
(t 0) 零输入响应
在RC电路的放电过程中， 电路中的放电电流为
1 1 t t duC U RC U i C e e dt R R
uR (0 ) RiL (0 ) 0V uL (0 ) U uR (0 ) (6 0)V 6V
_
例3.1.1电路图
uL发生了突跳
例3.1.2 确定图所示电路中各个电压和电流 的初始值（设换路前电路处于稳态）。已知
U 12V，R 4，C 10μF
解: 开关S闭合前 uC (0 ) 0 开关S闭合瞬间，根据换路 定则有 uC (0 ) uC (0 ) 0
RC
106 10 106 s=10s
② 开关S闭合后，电源 对电容C充电
uC U (1 e ) 10(1 e
t t 10
)
10 10
(t 0)
)V 10(1 0.38)V=6.32V
t ＝10s时
uC (10) 10(1 e
3.2.3 RC暂态电路的应用
例3.3.1 图所示电路，已知电源电压U=6V， R=6 ，电压表的内阻 ，试求开关S断开瞬间 电压表两端的电压（换路前电路处于稳态）。
解：电路换路前
U iL 1A R
由于在换路瞬间，电感中的 电流不能突变，即
iL (0 ) iL (0 ) 1A
所以，开关断开瞬间，电 压表两端的电压
在t=0时刻，将开关从位置 “1”合到位置“2”上， RL电路被短接，电流的初 始值 iL (0 ) iL (0 ) U I 0 逐渐衰减到0 R
换路以后的电压回路方程
uR uL 0
得： iL I 0e
R t L
零输入响应
I 0e
t
t 0
问题：如果在图3.3.1电路中，开关S将线圈与 电源直接断开而不是短接，这时电路的情况又 是如何呢？