江苏省南京市 九年级(上)期中数学试卷
22. 如图所示，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮， 球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5m 时，达到最大高度 3.5m，然后准确落入篮圈．已 知篮圈中心到地面的距离为 3.05m． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析 式； （2）该运动员身高 1.8m，在这次跳投中，球在头 顶上方 0.25m 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
（1）求 k 的取值范围； （2）若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值．
18. 如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为 10m），用 长为 24m 的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃， 设花圃的一边 AB 的长为 x（m），面积为 y（m2）． （1）若 y 与 x 之间的函数表达式及自变量 x 的取值 范围； （2）若要围成的花圃的面积为 45m2，则 AB 的长应为多少？
16. 已知边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A、B 在一个半径为 1 的圆上，使 AB 边与弦 MN 重合，如图所示，将正方形在圆中 逆时针滚动，在滚动过程中，点 M、D 之间距离的最小值是 ______．
三、计算题（本大题共 2 小题，共 16.0 分） 17. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+2k-4=0 有两个不相等的实数根．
A. 1.5
B. 2
C. 2.5
D. 3
5. 已知平面直角坐标系中有两个二次函数 y=（x+1）（x-7），y=（x+1）（x-15）的 图象，为了使两个函数图象的对称轴重合，则需将二次函数 y═（x+1）（x-15）的
图象（ ）
A. 向左平移 4 个单位
B. 向右平移 4 个单位
C. 向左平移 8 个单位
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25. 如图①，作法平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2-6ax 的图象经过点 D（2，1）． （1）求该函数表达式及顶点坐标； （2）将该二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不 变，得到一个如图②所示的新图象，请补全新图象对应的函数表达式：y=______， （x＜0 或______），y=______，（0≤x≤6） （3）已知点 E 的坐标为（4，1），P 是图②图象上一点，其横坐标为 m，连接 PD、PE，当△PDE 的面积为 1 时，直接写出 m 的值．
九年级（上）期中数学试卷
题号分
一、选择题（本大题共 6 小题，共 12.0 分）
1. 将一元二次方程 x2+x=2 化成一般形式 ax2+bx+c=0（a＞0）之后，一次项系数和常
数项分别是（ ）
A. −1，2
B. 1，1
C. 1，−2
D. 1，2
2. ⊙O 的半径为 5cm，点 A 到圆心 O 的距离 OA=3cm，则点 A 与圆 O 的位置关系为
（ ）
A. 点 A 在圆上 B. 点 A 在圆内 C. 点 A 在圆外 D. 无法确定
3. 若点 P（1，a）、Q（-1，b）都在函数 y=x2 的图象上，则线段 PQ 的长是（ ）
A. a+b
B. a−b
C. 4
D. 2
4. 如图，AB、AC、BD 是⊙O 的切线，切点分别为 P、C、D，
若 AB=5，AC=3，则 BD 的长是（ ）
降价的百分率为 x，根据题意可列方程是______．
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12. 如图，扇形 OAB 的圆心角为 124°，C 是弧 AB 上一 点，则∠ACB=______．
13. 已知扇形的面积为 6π，半径为 4，则这个扇形的弧长是______（结果保留 π）． 14. 已知二次函数 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，a≠0）图象上部分点的横坐标 x 与纵
坐标 y 的对应值如表格所示，那么当 y＞0 时，x 的取值范围是______．
x
…
-1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
15. 如图，将球从点 O 正上方 2m 的 A 处发出，把球看成点，其运行的高度 y（m）与 运行的水平距离 x（m）满足关系式 y=a（x-6）2+h，边界距点 O 的水平距离为 18m，若球发出后不出边界，则 h 的取值范围是______．
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四、解答题（本大题共 9 小题，共 72.0 分） 19. 解下列一元二次方程：
（1）x2-4x-5=0； （2）2x2-5x+3=0．
20. 如图，在以点 O 为圆心的两个圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 点 C、D，求证：AC=BD．
21. 已知 AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A 是切点，BP 与⊙O 交于点 C． （1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP 的度数； （2）如图②，若 D 为 AP 的中点，求证：直线 CD 是⊙O 的切线．
23. 问题：我们知道，过任意的一个三角形的三个顶点能做一个圆，这个圆叫做三角形 的外接圆，那么任意的一个四边形有外接圆吗？ 探索：如图给出了一些四边形，填写出你认为有外接圆的图形序号______； 发现：相对的内角之间满足什么关系时，四边形一定有外接圆？写出你的发现： ______； 说理：如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间有上面的关系吗？请结合 图④说明理由．
D. 向右平移 8 个单位
6. 如图，从一块直径为 2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90°的
扇形，则此扇形的面积为（ ）
A. 2π
B. π
C. 12π
D. 3−12π
二、填空题（本大题共 10 小题，共 20.0 分） 7. 一元二次方程 x2-9=0 的解是______． 8. 已知⊙O 半径为 5，点 O 到直线 l 的距离为 3，则直线 l 与⊙O 的位置关系为
24. 某咖啡门店计划销售一批咖啡，每杯成本 30 元，规定获利不高于 20%，试销售期 间发现，当销售单价定为 35 元时，每天可售出 150 杯，销售单价每上涨 1 元，每 天销售量减少 10 杯，现门店决定提价销售，设每杯销售单价为 x 元，则 x 为多少 时，门店每天销售咖啡获得的利润最大？最大利润是多少元？
______． 9. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+kx-6=0 有一个根为-3，则方程的另一个根为
______． 10. 一个二次函数的图象经过 A（0，0）、B（2，4）、C（4，0）三点，该函数的表达
式是______． 11. 经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的 50 元降到 32 元，设该药品平均每次
2022-2023学年江苏省南京市玄武区九年级上学期数学期中试题及答案
2022-2023学年江苏省南京市玄武区九年级上学期数学期中试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知的半径为，圆心到直线的距离为，直线与的位置关系是（ O 2cm O l 3cm l O ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】已知圆的半径为，圆心到直线的距离为，那么：时，直线与圆相离，当r d d r ＞d r =时，直线与圆相切，当时，直线与圆相交，根据以上内容判断即可．d r ＜【详解】解：∵的半径为，点O 到直线的距离为，O r 2cm l d 3cm ∴，d r ＞∴与直线的位置关系是相离，O l 故选：A ．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，能熟记直线和圆的位置关系内容是解此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：相离，相交，相切，已知：圆的半径为，圆心r 到直线的距离为，那么：时，直线与圆相离，当时，直线与圆相切，当d d r ＞d r =d r ＜时，直线与圆相交，2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为x 20x x m ++=m （ ）A.B. C. D. 4-14-144【答案】C【解析】【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m 的方程，解答即可．∆【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，20x x m ++=∴=0，∆∴，2140m -=解得，故C 正确． 14m =故选：C ．【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实∆∆数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．∆3. 用“配方法”解一元二次方程，下列变形正确的是（ ）216240x x -+=A. B. C. D. ()2440x +=()248x -=()2824x +=()2840x -=【答案】D【解析】【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的28形式．【详解】解：，216240x x -+=移项得：，21624x x -=-配方得：，即．222168248x x -+=-+2(8)40x -=故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．4. 如图，是直径，点，在半圆上，若，则（ ）AB C D AB 40BAC ∠︒=ADC ∠=A.B. C. D.110︒120︒130︒140︒【答案】C【解析】 【分析】连接BC ，由直径所对的圆周角是直角可求得∠B 的度数，再由圆内接四边形的性质即可求得∠ADC 的度数．【详解】解：连接，BC是直径，AB ，90ACB ∴∠=︒，40BAC ∠=︒ ，9050B BAC ∴∠=︒-∠=︒四边形是圆的内接四边形，ABCD ，180ADC B ∴∠+∠=︒，18050130ADC ∠=︒-︒=︒故选：．C 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角及圆内接四边形的性质，连接BC 并运用这两个性质是解题的关键．5. 如图，在一块正三角形飞镖游戏板上画一个正六边形（图中阴影部分），假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 13491223【答案】D【解析】【分析】设正六边形的边长为，根据正三角形性质和正六边形的定义分别求出阴影部分的a 面积和正三角形的面积，再根据几何概率的求法即可得出答案．【详解】解：如图，过点作，交于点，设正六边形的边长为， A AN BC ⊥DI M a ∵六边形为正六边形，DEFGHI ∴，======DE EF FG GH HI DI a 每个外角的度数为：，360660°¸=°∴，60∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒ADI AID BEF BFE CGH CHG∴，和都是等边三角形，且边长都等于，ADI BFE △CHG ≌a ∵为正三角形，ABC ∴，3===++=++=BC CA AB AD DE BE a a a a60BAC B ∠=∠=︒在和和中ADI BFE △CHG ≌ ADI BFE CHG DI FE HGAID BEF CGH ∠=∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠=∠⎩∴，()ADI BFE CHG ASA ≌≌∴，==△△△ADI BFE CHG S S S ∵，60∠=∠=︒ADI B ∴，DI BC ∥∵，AN BC ⊥∴，90ANB ∠=︒∴，90AMD ANB ∠=∠=︒∵和都为正三角形且边长分别为和，ADI ABC a 3a ∴，， 12=DM a 32=BN a ∴，===AM ，===AN a ∴，21122=== △ADI S DI AM a a ，211322==⨯= △ABC S BC AN a ∴， 2===△△△BFE CHG ADI S S S∴，22233=-=-=△△正六边形ABC ADI DEFGHI S S S a∴飞镖投中阴影部分的概率为．2 3==正六边形△DEFGHIABCSS故选：D．【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件A A 发生的概率．本题还考查了等边三角形的性质，正六边形的定义及外角和，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识．根据等边三角形的性质及正六边形的定义得出阴影部分的面积解题的关键．6. 如图，在中，是直径，点，，在圆上，，，，OAB C D E2AC=6AD=8AE=．下列结论：①；②；③；④10AB=AD CE=AE BD=ACAD AE+=，其中正确结论的个数是（）AD AE ADB+=A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】C【解析】【分析】如图，连接，，在中，利用三边关系可得，从而得CE BD ACE△610CE<<出，则可判断结论①；利用勾股定理求得，得到，则可判断结AD CE<8BD=AE BD=论②；结合可判断结论③；结合可判断结论④．AD CE<AE BD=【详解】解：如图，连接，，CE BD∵在中，，，ACE△2AC=8AE=∴，即，8282CE-<<+610CE<<∵，6AD=∴，AD CE <∴，则结论①错误； AD CE≠∵在中，是直径，，O AB 10AB =∴，90ADB ∠=︒∴，8BD ===∴，AE BD =∴，则结论②正确； AE BD=∵， AD CE≠∴，AD AE AC ≠-∴，则结论③错误；AC AD AE +≠∵， AE BD=∴，AE ADB AD =-∴，则结论④正确．AD AE ADB +=故选：C ．【点睛】本题考查弧和弦的关系．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，推论中的两条弧是指同为优弧或劣弧．也考查了直径所对的圆周角为直角，勾股定理，三角形的三边关系定理等知识．正确理解和掌握同圆或等圆中的弧和弦的关系是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程中，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7. 一元二次方程的根是__________．23x x =【答案】，##，10x =23x =13x =20x =【解析】【分析】首先把移至方程左边，再把方程左边的多项式进行因式分解，即可得到答案．3x 【详解】解：，23x x =移项得：，230x x -=∴，()30x x -=∴或，0x =30x -=∴，．10x =23x =故答案为：，．10x =23x =【点睛】本题考查一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，本题运用的是因式分解法．结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．8. 超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表： 测试项目创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩/分 70 80 90将创新能力，综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者5:3:2的总成绩是__________分．【答案】77【解析】【详解】解：5+3+2=10．, 53270809077101010⨯+⨯+⨯=故答案为:77．9. 已知，是一元二次方程的两根，则________．1x 2x 231x x -=1212x x x x ++=【答案】2【解析】【分析】先将化为一般式，再根据根与系数的关系求得和，最后代231x x -=12x x +12x x 入即可求出代数式的值．【详解】解：∵，231x x -=∴，2310x x --=∴，， 12331x x -+=-=12111x x -==-∴．()1212312x x x x ++=+-=故答案为：．2【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，当，是一元二次方程1x 2x的两根时，则：，．熟练掌握根与系数的关()200ax bx c a ++=≠12b x x a+=-12c x x a =系是解题的关键． 10. 一只不透明的袋子中共有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其他都相同．从袋中2随机摸出个球，恰好是红球的概率为，则袋中红球的个数是_________个． 123【答案】4【解析】【分析】设红球有个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．x 【详解】解：设红球的个数为个，x 根据题意得：， 223x x =+解得：，4x =经检验：是原方程的解且符合题意，4x =则袋中红球的个数是个．4故答案为：．4【点睛】本题考查概率公式的应用，随机事件的概率事件可能出现的结果数A ()P A =A 除以所有可能出现的结果数．理解和掌握概率公式是解题的关键．11. 某地区新能源汽车保有量2020年底达到30万辆，2022年底达到41万辆．设该地区这两年新能源汽车保有量的年平均增长率为，根据题意可列方程为___________．x 【答案】()230141x +=【解析】【分析】可先表示出2021年的产能，那么2021年的产能×（1＋增长率）＝41，把相应数值代入即可求解．【详解】解：设该地区这两年新能源汽车保有量的年平均增长率为，则2021年的产能为x ，2022年的产能在2021年产能的基础上增加，为， ()301x +x ()()3011x x ++则列出的方程是．()230141x +=故答案为：．()230141x +=【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为a b x ．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．()21a x b ±=12. 如图，在的内接四边形中，．若点在上，则O ABCD ,110AB AD C =∠=︒E AD的度数为__________°．E ∠【答案】##125度125︒【解析】【分析】连接，先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据BD 18070BAD C ∠=︒-∠=︒等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后再根据圆内接四边形的性55ABD ∠=︒质可得的度数．E ∠【详解】解：连接， BD∵四边形为的内接四边形，ABCD O ∴，180C BAD ∠+∠=︒∴，18011070BAD ∠=︒-︒=︒∵，AB AD =∴，ABD ADB ∠=∠∴， ()118070552ABD ∠=⨯︒-︒=︒∵四边形为的内接四边形，ABDE O ∴，180E ABD ∠+∠=︒∴．18055125E ∠=︒-︒=︒故答案为：125︒【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．13. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线l=6，扇形的圆心角，则该圆锥的底面圆的半径r 长为______．120θ=°【答案】2【解析】【分析】结合题意，根据弧长公式，可求得圆锥的底面圆周长．再根据圆的周长的公式即可求得底面圆的半径长．【详解】∵母线l 长为6，扇形的圆心角，120θ=°∴圆锥的底面圆周长， 12064180ππ⨯==∴圆锥的底面圆半径． 422r ππ==故答案为：2．【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图的相关计算，弧长公式等知识．掌握圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长是求解本题的关键．14. 如图，是三角形纸片的内切圆，在的右侧沿着相切的直线剪下O ABC O O MN ．若的周长为，，则剪下的的周长为AM N ∆ABC ∆15cm 4cm BC =AM N ∆________． cm【答案】7【解析】【分析】根据切线长定理求得，28BC BD CE BC ++==，即可求解．1587MN MA AN AD AE ++=+=-=【详解】解：∵是三角形纸片的内切圆，与相切，O ABC MN O ∴，， 28BC BD CE BC ++==1587MN MA AN AD AE ++=+=-=即剪下的的周长为，AM N ∆7cm 故答案为：．7【点睛】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．15. 如图，正五边形和正三角形都内接于，则的度数为ABCDE APQ O PC________°．【答案】24【解析】【分析】连接，，，，分别求出正五边形和正三角形的中心OA OB OP OC ABCDE APQ 角，结合图形计算即可．【详解】解：连接，，，，OA OB OP OC ∵五边形是正五边形，ABCDE ∴， 360725AOB ︒∠==︒∴，722144AOC ∠=︒⨯=︒∵是正三角形，APQ △∴， 3601203AOP ︒∠==︒∴．14412024POC AOC AOP ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴的度数为． PC24︒故答案为：． 24【点睛】本题考查圆心角和弧之间的关系，正多边形与圆的有关计算．掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．16. 如图，在中，，，是中线，分别为边上ABC 90ACB ∠=︒CA CB =CD ,E F ,DC DB 的动点，且，直线与相交于点，连接．若，则线段DE DF =AE CF G BG 4AB =BG 的最小值为________．## +【解析】【分析】证明，得出在以为直径的上，从而计算出90ADE AGC ∠=∠=︒,D G AC O 答案．【详解】解：在中：，，是中线，Rt ABC 90ACB ∠=︒CA CB =CD ∴,, 12AD BD CD AB ===90ADC BDC ∠=∠=︒又∵，DE DF =∴，AED CFD △△≌∴，EAD DCF ∠=∠又∵，AED CEG ∠=∠∴，90ADE AGC ∠=∠=︒∴在以为直径的上，取的中点,连接，当三点共线时，,D G AC O AC O ,BO OG ,,B O G 线段取得最小值， BG在中：,，，Rt ABC 222BC AC AB +=4AB =AC BC =∴，2216AC =∴，AC AB ==∵是的中点，O AC∴ 12OC AC ==在中： Rt BOC BO ===在中，O OG OC ==当三点共线时，线段取得最小值，．,,B O G BG BG BO OG =-=【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理，隐圆求线段最值问题，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 解下列方程：（1） 2410x x --=（2）()2133x x -=-【答案】（1）1222x x =-=+（2）124,1x x ==【解析】【分析】（1）根据配方法解一元二次方程；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【小问1详解】解：， 2410x x --=，2445x x +=-，()225x -=∴2x -=解得；1222x x =-=+【小问2详解】解：， ()2133x x -=-，()()21310x x ---=，()()1130x x ---=∴或，10x -=40x -=解得：．124,1x x ==【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18. 甲、乙两名运动员在相同条件下6次射击成绩的折线统计图如下：（1）填表（单位：环） 平均数 中位数 众数甲的射击成绩 ①________ 8③_________ 乙的射击成绩 8②__________ 9（2）计算甲、乙射击成绩的方差，并判断哪位运动员的射击成绩更稳定？【答案】（1）①；②；③88.58（2）乙运动员射击成绩更稳定【解析】【分析】（1）先根据折线统计图得出两运动员的涉及环数，再依据平均数、中位数、众数的定义求解即可；（3）先根据方差的定义计算，再依据方差的意义求解即可．【小问1详解】解：由折线统计图知，甲射击环数为，6788910、、、、、乙射击环数为，678999、、、、、∴甲射击环数的平均数，众数为， 67889106+++++==88乙射击环数的中位数， 898.52+=故答案为：①；②；③88.58【小问2详解】甲射击环数的方差 ()()()()()2222221568782889810863s ⎡⎤=⨯-+-+⨯-+-+-=⎣⎦甲乙射击环数的方差， 216s =⨯乙()()()()2222687888398-+-+-+⨯-⎡⎤⎣⎦43=∵， 5433>∴乙运动员射击成绩更稳定．【点睛】本题考查了折线统计图，求平均数，中位数，方差，掌握以上知识是解题的关键．19. 计划选派护士支援某地的防疫工作，决定用随机抽取的方式从4名护士中确定人选，其中1人是团员，其余3人均是党员．（1）随机抽取1人，恰好是党员的概率为__________；（2）随机抽取2人，求被抽到的两名护士恰好都是党员的概率．【答案】（1）34（2）12【解析】【分析】（1）根据概率公式即可解决问题；（2）设团员用T 表示，其余3人均是党员用G 表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，然后利用树状图即可解决问题．【小问1详解】解：随机抽取1人，恰好是党员的概率为； 34故答案为：； 34【小问2详解】解：团员用T 表示，其余3人均是党员用G 表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，如图所示：它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是党员的（记为事件A ）的结果有6种， 则． 61()122P A ==【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．解决本题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．=20. 如图，弓形是由和弦所围成的图形，弓形的高是的中点到的AB AB AB AB AB AB 距离，点是所在圆的圆心，，弓形的高为．O AB 24cm AB =AB 6cm（1）求的半径；O （2）经测量的度数约为，则弓形的面积为__________．AOB ∠106︒AB 2cm 【答案】（1）15cm （2） 2651084π-【解析】【分析】（1）过点作于点，交于点，设的半径为，根据垂径定O OD AB ⊥D AB C O r 理可得，，从而得出，然后利用勾股定理建立关于的方程，12AD =6CD =6OD r =-r 最后解方程即可；（2）弓形面积看成扇形面积减去三角形面积即可．【小问1详解】解：过点作于点，交于点，设的半径为，O OD AB ⊥D AB C O r ∵点为圆心，，弓形的高为．O 24AB =AB 6∴，点是的中点， 1122AD BD AB ===C AB ∴，，6CD =6OD CO CD r =-=-在中，，AOD △222AO AD DO =+∴，()222126r r =+-解得：．15r =∴的半径为． O 15cm【小问2详解】∵，，15r =106A O B ∠=︒1569DO =-=∴AOB AOB S S S =-△弓形扇形 21061512493602π⨯=-⨯⨯． 2651084π=-∴弓形的面积为． AB 2651084π⎛⎫-⎪⎝⎭2cm 故答案为：． 2651084π-【点睛】本题考查垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理，扇形的面积，三角形的面积等知识，运用了分割法求不规则图形面积的解题方法．解题的关键是过圆心作弦的垂线构造直角三角形求出圆的半径．21. 已知关于的方程（为常数）． x ()2110x k x k -++-=k （1）求证：不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根；k （2）若该方程的两个实数根为和，且，求的值．1x 2x 12123x x x x +=k 【答案】（1）证明见解析；（2）．=2k 【解析】【分析】（1）根据根的判别式，[]()2224(1)41(1)140＞b ac k k k ∆=-=-+-⨯⨯-=-+据此可得答案；（2）根据根与系数的关系得出，，利用121b x x k a +=-=+12=1c x ax k =-即可得到k 的值．12123x x x x +=【小问1详解】证明：由题意知，，，，1a =(1)b k =-+1c k =-则， []()2224(1)41(1)140＞b ac k k k ∆=-=-+-⨯⨯-=-+所以，无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：由题意知，，， 121b x x k a +=-=+12=1c x ax k =-∵，12123x x x x +=∴，解得：．()1=31k k +-=2k 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当，方程有两个相等的24b ac ∆=-0∆＞=0∆实数根，当时，方程无实数根．0∆＜22. 如图，在中，，以为直径的与分别交于点，连ABC ∆AB AC =AC O ,BC AB ,D E 接． DE（1）求证；DB DE =（2）延长相交于点，若，则的度数为_________．,ED AC P 27P ∠=︒A ∠︒【答案】（1）见解析 （2）42【解析】【分析】（1）根据圆的内接四边形可得，根据可得，等BED C ∠=∠AB AC =B C ∠=∠量代换可得，根据等角对等边即可得证；BED B ∠=∠（2）设，根据直径所对的圆周角是90度，三线合一，可得BAC x ∠=，根据三角形内角和定理，可得，1122DAC A x ∠=∠=190902ACD DAG x ∠=︒-∠=︒-根据圆的内接四边形对角互补可得，继而根据三角形的外角性质得出EDB CAB x ∠=∠=，进而建立方程，解方程即可求解．27ACD P CDP x ∠=∠+∠=︒+【小问1详解】证明：∵四边形是的内接四边形，AEDC O ∴，BED C ∠=∠∵，AB AC =∴，B C ∠=∠∴，BED B ∠=∠∴；DB DE =【小问2详解】解：如图，连接到，延长相交于点，AD ,ED AC P设，BAC x ∠=∵是的直径，AC O ∴，AD BC ⊥∵，AB AC =∴， 1122DAC A x ∠=∠=∴， 190902ACD DAC x ∠=︒-∠=︒-∵四边形是的内接四边形，AEDC O ∴，EDB CAB x ∠=∠=∴，CDP x ∠=∵，27ACD P CDP x ∠=∠+∠=︒+∴， 190272x x ︒-=︒+解得，42x =∴，42BAC ∠=︒故答案为：．42【点睛】本题考查了圆的内接四边形性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键．23. 某水果成本价为12元/千克．经调研，该水果在某平台上的售价为28元/千克时，可销售300千克；售价每降2元，销量将增加100千克．为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若销售该水果获利6000元，则售价应降低多少元？【答案】售价应降低6元．【解析】【分析】设售价应降价x 元，则每千克的利润为元，每天的销售量为(2812)x --千克，根据销售该水果的利润=每千克的利润×每天的销售量，即可得出关于100(300)2x +x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再结合要尽可能减少库存，即可确定x 的值．【详解】解：设售价应降价x 元，则每千克的利润为元，每天的销售量为(2812)x --千克， 100(300)2x +依题意得：， 100(2812)(30060002x x --+=整理得：，210240x x -+=解得：．1246x x ==，又∵要尽可能减少库存，∴．6x =答：售价应降低6元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24. 已知直线与相切于点．用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写PQ O P 作法）（1）在图①中，作出直线，使与相切，且；m m O m PQ ∥（2）在图②中，作出一条直线，使与相切，且与的夹角中有一个角为n n O n PQ ．60︒【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析【解析】【分析】（1）连接并延长交于点，过点作即可；PO O A A m AP ⊥（2）连接并延长交于点，以点为圆心，以的长为半径画弧交直线于PO O A O AP PQ 点、，连接、分别交于点、，分别以点、为圆心以的长M N ON OM O F E M N PN 为半径画弧分别交于点、，过点、作直线，过点、作直线，过点O B C C M 1n B N 2n E 作，过点作即可．3n OM ⊥F 4n ON ⊥【小问1详解】解：连接并延长交于点，过点作，PO O A A m AP ⊥∵是的半径，OA O ∴直线与相切，m O ∵直线与相切于点，PQ O P ∴，PQ AP ⊥∴．m PQ ∥则直线即为所作． m【小问2详解】连接并延长交于点，以点为圆心，以的长为半径画弧交直线于点、PO O A O AP PQ M ，连接、分别交于点、，分别以点、为圆心以的长为半径N ON OM O F E M N PN 画弧分别交于点、，过点、作直线，过点、作直线，过点作O B C C M 1n B N 2n E ，过点作，设的半径为，连接，，3n OM ⊥F 4n ON ⊥O r OB OC ∴，，OP OB OC r ===2ON OM AP r ===∵直线与相切于点，PQ O P ∴，PQ AP ⊥∴，90OPQ OPM ∠=∠=︒∴和都是直角三角形，且， OPN OPM 1122OP ON OM ==∴，，， PN ===30PNO ∠=︒60PON ∠=︒，，， PM ===30PMO ∠=︒60POM ∠=︒∴，BN CM PM PN ====在和中，OBN △OCM∵，，，OB OC r ==2ON OM r ==BN CM ==又∵， )()222242r r r +==即，，222OB BN ON +=222OC CM OM +=∴，且，， 90OBN OCM ∠=∠=︒12OB ON =12OC OM =∴直线和直线都与相切，1n 2n O ∴，，30BNO ∠=︒30CMO ∠=︒∴，，303060CMP ∠=︒+︒=︒303060BNP ∠=︒+︒=︒∴直线和直线即为所作；1n 2n ∵，，3n OM ⊥4n ON ⊥∵OE OF r ==∴直线和直线都与相切，3n 4n O ∴，90MEG NFH ∠=∠=︒∴，，903060EGM ∠=︒-︒=︒903060FHN ∠=︒-︒=︒∴直线和直线即为所作．3n 4n 综上所述，直线，直线，直线和直线即为所作． 1n 2n 3n 4n【点睛】本题考查作图—复杂作图，切线的判定与性质，勾股定理及逆定理，直角三角形30度角的性质及逆定理，三角形的内角和定理，平行线的判定等知识．解题的关键是掌握尺规作图的基本作图．25. 如图，在中，是的直径，是的切线，切点是，连接，过点O AB O PA O A PO 作，与交于点，连接．B BC PO ∥O C PC（1）求证：是的切线；PC O （2）若的半径为3，，求的长度．O 4PA =BC 【答案】（1）见解析 （2） 185BC =【解析】【分析】（1）根据是的切线，得出，证明，得出PA O 90OAP ∠=︒AOP COP △≌△，即可得证；90OCP OAP ∠=∠=︒（2）根据是的直径，得，进而得出，根据垂径定理可得AB O AC BC ⊥OP AC ⊥，勾股定理得出，等面积法求得的长，继而求得的长，在AD DC =5OP =AC AC 中，勾股定理即可求解．Rt ABC △【小问1详解】证明：如图，连接， OC∵是的切线，PA O ∴，90OAP ∠=︒∵，BC PO ∥∴，,POC OCB AOP OBC ∠=∠∠=∠∵，OB OC =∴，OBC OCB ∠=∠，AOP COP ∴∠=∠在与中，AOP COPAO CO AOP COP OP OP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴，AOP COP △≌△∴，90OCP OAP ∠=∠=︒∴是的切线；PC O 【小问2详解】解：如图，连接交于点，AC OPD∵是的直径，AB O ∴，AC BC ⊥∵，OP BC ∥∴，OP AC ⊥∴，AD DC =在中，∵，Rt AOP △3,4OA AP ==∴，5OP =∵， 1122AD OP AO AP ⋅=⋅∴， 341255AO AP AD OP ⋅⨯===∴， 245AC =在中，， Rt ABC△185BC ===∴． 185BC =【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，垂径定理，掌握以上知识是解题的关键．26. 如图，在一块长m ，宽m 的矩形绿地内，建一个矩形花圃．3224（1）要使矩形花圃的面积是矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽，求矩形花圃的周长；（2）要使矩形花圃的面积是矩形绿地面积的一半，且矩形花圃的周长是矩形绿地周长的一半，问这样的矩形花圃能否围出？如果能，请求出矩形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由．【答案】（1）m80（2）不能，理解见解析【解析】【分析】（1）设矩形花圃四周的绿地的宽为m ，则矩形花圃的长为m ，宽为x ()322x -m ，然后根据矩形花圃的面积是矩形绿地面积的—半列出方程，解出并判断符合()242x -题意的值，分别代入，计算即可；x ()322x -()242x -（2）设矩形花圃的长为m ，根据矩形花圃的周长是矩形绿地周长的一半表示出其宽为y m ，根据矩形花圃的面积是矩形绿地面积的一半列出方程，解得的值并()2322422⨯+-y y 判断是否符合题意即可得出答案．【小问1详解】解：设矩形花圃四周的绿地的宽为m ，则矩形花圃的长为m ，宽为m ，x ()322x -()242x -依题意，得： ， ()()132224232242--=⨯⨯x x 整理得：，228960x x -+=解得：，，14x =224x =∵，322024200x x x ->⎧⎪->⎨⎪>⎩∴，012x <<∵2412>∴不符合题意，应舍去，只取，24x =4x =∴矩形花圃的长为，宽为，322322424-=-⨯=x 242242416-=-⨯=x ∴矩形花圃的周长为（m ）．()2241680⨯+=【小问2详解】不能，理由如下：设矩形花圃的长为m ，则它的宽为m ，依题意得： y ()2322422⨯+-y ， ()2322421322422⨯+-=⨯⨯y y 整理得：，，18y =248=y 当时， 8y =，不符合题意， ()()2322422322428483222⨯+-⨯+-⨯==>y 当时，，不符合题意，48y =4832>∴不能围出面积是矩形绿地面积的一半，且周长是矩形绿地周长的一半的矩形花圃．【点睛】本题考查一元二次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．注意：在求得未知数的值以后，应判断是否符合题意．27. （1）已知是的两条弦，且，如图①，是的直径．求,AB CD O AB CD ⊥AE O 证：； CEBD =（2）如图②，连接．请用无刻度的直尺作出的一条弦，使．（保留BC O AE AE BC =作图痕迹，不写作法）（3）如图③，四边形是的内接四边形，．若的半径为6，ABCD O AC BD ⊥O ，且，则的长度为__________．16AB CD +=AB CD >AB【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8+【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，，,,AD AC CE 90ACE ∠=︒AEC ADC ∠=∠证明，可得， BAD CAE ∠=∠ CEBD =（2）连接并延长，交于点，连接，则即为所求，由（1）可得 DO O E AE AE ，继而证明即可求解． AF BD=AOE COB ∠=∠（3）连接，过点作，垂足分别为，证明,,,AO DO BO CO O ,OG AB OH CD ⊥⊥,G H ，设，根据，得出，，AOG ODH ≌2AB x =16AB CD +=162CD x =-8DH x =-，OH AG x ==在中，根据，建立方程，解方程即可求解．Rt DOH △222DH OH OD +=【详解】解：（1）如图，连接，,,AD AC CE∵是的直径，AE O ∴，，90ACE ∠=︒90CAE CEA ∠+∠=︒∵，AC AC =∴，AEC ADC ∠=∠∵，AB CD ⊥∴，90ADC BAD ∠+∠=︒∴，BAD CAE ∠=∠∴； CEBD =（2）如图，连接并延长，交于点，连接，则即为所求，DO O E AE AE理由如下，连接,延长交于点,,OA OB OC AF O F 由（1）可知 AF BD=∴COF BOD ∠=∠∵180,180EBO BOD AOC COF ∠=︒-∠∠=︒-∴EOB AOC ∠=∠∵AOC EOC EOB EOC ∠-∠=∠-∠即AOE COB ∠=∠∴AE BC =∴即为所求，AE （3）如图，连接，过点作，垂足分别为，,,,AO DO BO CO O ,OG AB OH CD ⊥⊥,GH∵，OA OB =OG AB ⊥∴， 12AOG AOB ∠=∠90OAG AOG ∠+∠=︒∵AB AB =∴ 12ACB AOB ∠=∠∴AOG ACB ∠=∠∵，OH CD ⊥OC OD =∴ 12DOH DOC ∠=∠∵ CBCB =∴ 12CBD COD ∠=∠∴DOH CBD ∠=∠∵AC BD ⊥∴90DBC ACB ∠+∠=︒∴90AOG DOH ∠+∠=︒又90OAG AOG ∠+∠=︒∴DOH OAG ∠=∠在与中，AOG DOH △DHO OGA DOH OAG OD OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴，AOG ODH ≌∴,OH AG DH OG ==设，∵，2AB x =16AB CD +=∴，162CD x =-∴，，8DH x =-OH AG x ==在中，，Rt DOH △222DH OH OD +=即，()22286x x +-=解得，4x =4x =∴或，8AB =+8-∵，且，16AB CD +=AB CD >∴，8AB =+故答案为：．8+【点睛】本题考查了圆周角定理，弦与弧之间的关系，垂径定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．。
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期中数学试题及答案解析
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为2cm，则点P在⊙O( )A. 外B. 内C. 上D. 无法确定2. 下列方程中，没有实数根的是( )A. x2=xB. x2+1=0C. x2+2x+1=0D. x2+2x−1=03. 20名同学参加某比赛的成绩统计如表，则成绩的众数和中位数(单位：分)分别为( )成绩/分80859095人数/人2864A. 85，85B. 85，87.5C. 85，90D. 90，904. 已知关于x的一元二次方程(m−1)x2−2x+m2−m=0有一根为0，则m的值是( )A. 0B. 1C. 0或1D. 0或−15. 如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则BE⏜的度数为( )A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°6. 如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为( )A. 4B. 5C. 6D. 8二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7. 方程x2=1的解是______．8. 已知⊙O的半径为10cm，圆心O到直线l的距离为12cm，则直线l与⊙O的位置关系是______．9. 书香相伴，香满校园，某校9月份借阅图书500本，11月借阅图书845本，设该校这两个月借阅图书的月均增长率为x，根据题意可列方程为______，x=______．10. 设x1，x2是一元二次方程x2−3x−2=0的两个根，则x1x2−x1−x2=______．11. 正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则由半径OA，OC和AC⏜围成的扇形的面积为______．12. 若一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是a，另一组数据x1+2，x2+3，x3−5，x4−2，x5+1的平均数是b，则a______b(填写“>”、“<”或“=”)．13. 将半径为3cm面积为3πcm2的扇形纸片围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计)，该圆锥的底面半径为______cm．14. 如图，圆的内接五边形ABCDE满足CD=ED，CD//AE，∠ABC=140°，则∠D=______．15. 已知m是方程x2−3x−1=0的一个根，则m3−10m=______．16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是1.过⊙O上一点P作等边三角形PDE，使点D，E分别落在x轴、y轴上，则PD的取值范围是______．三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期中数学试卷(含答案)
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x﹣1＝0B．x2＝3C．4x﹣3y＝3D．x2﹣y2＝3 2．（2分）已知⊙O的半径为3，平面内点P到圆心O的距离为，则点P与⊙O的位置关系（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定3．（2分）二次函数y＝2（x﹣3）2+2的图象的顶点坐标是（）A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）4．（2分）如图，在长40m、宽22m的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的部分铺上草坪，要使草坪的面积达到760m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列出方程（）A．（40﹣x）（22﹣x）＝760B．（40+x）（22+x）＝760C．40×22﹣40x﹣22x＝760D．40×22﹣40x﹣22x﹣x2＝7605．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示．x⋯﹣1012⋯y⋯0343⋯下列说法中，正确的是（）A．图象的开口向上B．图象经过点（4，0）C．图象与x轴只有一个公共点D．点（2，3）右边的图象呈下降趋势6．（2分）如图，在⊙O中，动弦AB与直径CD相交于点E且总有∠BED＝45°，则AE2+BE2的值（）A．随着OE的增大而增大B．随着OE的增大而减小C．随着OE的增大先增大后减小D．保持不变二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题7．（2分）写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是3、﹣2．8．（2分）已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为．9．（2分）若点（1，y1）与（2，y2）都在函数y＝﹣x2+3的图象上，则y1，y2的大小关系是．10．（2分）若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是．11．（2分）若一元二次方程x2+mx﹣3＝0（m为常数）的一个根是x＝1，则另一个根是．12．（2分）如图是函数y＝ax2+bx+c的部分图象，则该函数图象与x轴负半轴的交点坐标是．13．（2分）已知⊙O的半径等于4cm，AB为⊙O的弦，其长为4cm，则弦AB所对的圆周角的度数为．14．（2分）五边形ABCDE为圆的内接五边形，其中AB＝AE，∠A＝100°，则∠B+∠D ＝°．15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，若∠E＝25°，∠CAD＝45°，则∠CDA的度数为°．16．（2分）等边△ABC的边长是，直线l经过等边△ABC的外心O，过B作BD⊥l，垂足为D，连接CD，则CD的最小值是．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程．（1）（x﹣1）2﹣16＝0；（2）x2﹣3x+1＝0．18．（7分）已知二次函数y＝x2﹣mx+1的图象经过点（2，3）．（1）求m的值；（2）该二次函数的图象是否经过点（﹣2，6）？判断并说明理由．19．（7分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点P．（1）求证AP＝BP；（2）已知图中阴影部分面积为10π，求弦AB的长．20．（8分）一个直角三角形的两条直角边长度之和是10cm，面积是12cm2，求斜边的长．21．（7分）二次函数图象的顶点为（﹣1，2），图象经过（0，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）结合图象，直接写出当﹣2≤x≤3时y的取值范围．22．（8分）尺规作图：作已知圆的一条直径．要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图．23．（8分）已知关于x的方程x2﹣4x+4﹣k2＝0（k为常数）．（1）求证：不论k取何值时，该方程总有实数根．（2）方程的两个实数根可能都是负根吗？判断并说明理由．24．（8分）如图是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的大致图象．（1）求该图象顶点的坐标；（2）该图象经过怎样的平移可以得到函数y＝x2的图象？（3）将该图象绕原点旋转180°直接写出所得图象对应的表达式．25．（8分）某商店八月份的销售额为30万元，九月份因经营不善销售额有明显下降，商店积极改进，十月份的销售额恢复到30万元，已知十月份销售额的增长率是九月份销售额的下降率的1.5倍．求九月份的销售额．26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，BC与⊙O相交于点E，D是AC的中点，直线DE与直线AB相交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）已知AB＝4，当AC长度变化时，AF的长也随之变化．①当AC＝时，AF＝6；②在整个变化过程中，AF的长是否存在最大值？判断并说明理由．27．（9分）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大．从特殊验证已知四边形ABCD的各边长依次为7，15，20，24，求它的面积S何时最大？小敏的演算纸解：分别考虑LB为直角、钝角或锐角的情形．Ⅰ．∠B为直角易得S＝⋯Ⅱ．∠B为钝角易证当∠ABC为钝角时，∠ADC也为钝角．设两条垂线段AE＝x，AF＝y．…Ⅲ．∠B为锐角同理可得Ⅱ中结论综上所述，S的最大值为…．（1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为．（2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值．向一般进发（3）已知四边形ABCD的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值．2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）1．B；2．C；3．A；4．A；5．D；6．D；二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题7．答案不唯一，正确即可，如：x2﹣x﹣6＝0；8．60π；9．y1＞y2；10．2π；11．﹣3；12．（﹣1，0）；13．45°或135°；14．220；15．35；16．2；三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）x1＝5，x2＝﹣3；（2）x1＝，x2＝．；18．（1）m的值是1．（2）点P（﹣2，6）不在这个二次函数图象上．； 19．（1）证明见解析；（2）2．；20．斜边长为cm．；21．（1）y＝﹣（x+1）2+2；（2）﹣14≤y≤2．；22．见解答．；23．（1）见解析；（2）不可能，理由见解析．；24．（1）该图象顶点的坐标为（1，﹣4）；（2）将该图象向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得函数y＝x2的图象；（3）将该图象绕原点旋转180°直接写出所得图象对应的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．；25．九月份的销售额为20万元．；26．4；27．234；。
苏科版2023-2024学年江苏省南京市九年级上册期中数学学情检测模拟试卷(含答案)
苏科版2023-2024学年江苏省南京市九年级上学期期中数学质量检测模拟试卷测试范围：第1-4章一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．一元二次方程(2)0x x +=的解是（）A ．2x =-B ．2x =C ．120,2x x ==D ．120,2x x ==-2．下列说法中，正确的是（）A ．为了保证大家端午节吃上放心的粽子，质监部门对长沙市市场上的粽子质量实行全面调查B ．一组数据1-，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是7C ．明天的降水概率为60%，则明天60%的时间下雨D ．若平均数相同的甲、乙两组数据，2=0.3s 甲，2=0.02s 乙，则乙组数据更稳定3．消费者在网店购物后，将从“好评、中评、差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的，若小明、小亮在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，则两人中至少有一个给“好评”的概率为()A ．13B ．49C ．59D ．234．如图，ABC ∆内接于O ，60A ∠=︒，OD BC ⊥，垂足为点E ，与O 相交于点D ，连接BD ，则CBD ∠的大小为（）A ．50︒B ．40︒C ．30︒D ．20︒5．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6cm ，AC=8cm ，D 是边BC 上一点，且BD ﹕CD=1﹕2，点O 在AD 上，⊙O 与AB 、BC 相切，则⊙O 的面积为（）A ．π2cm B ．43π2cm C ．169π2cm D ．2π2cm第4题第5题第6题6．已知一个圆心角为270°的扇形工件，未搬动前如图所示，,A B 两点触地放置，搬动时，先将扇形以B 为旋转中心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当,A B 两点再次触地时停止，半圆的直径为6m ，则圆心O 所经过的路线长是（结果保留π）（）A ．6m πB ．8m πC ．10m πD ．12mπ二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．若1x =是关于x 的一元二次方程260x mx +-=的一个根，则m 的值为．8．某招教考试分笔试和面试两种．其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为95分，那么小明的总成绩为．9．甲、乙、丙三台机床生产直径为60mm 的螺丝，为了检验产品质量，从三台机床生产的螺丝中各抽取了20个测量其直径，进行数据处理后，发现三组数据的平均数都是60mm ，它们的方差依次为S 甲2=0.612，S 乙2=0.058，S 丙2=0.149，根据以上提供的信息，你认为生产螺丝的质量最好的是__机床.10．为解决老百姓看病贵的问题，对某种原价为400元的药品进行连续两次降价，降价后的价格为256元．设每次降价的百分率为x ，则依题意列方程为11．如图，在O 中，直径AB CD ⊥于点M ，10,2AB BM ==，则CM 的长为．12．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料,如图是一段夸形管道，其中∠O=∠O’=90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm ，这整段变形管道的展直长度为mm (结果保留π)第11题第12题第13题13．如图，六边形ABCDEF 是O 的内接正六边形，设正六边形ABCDEF 的面积为1S ，ACE △的面积为2S ，则12S S =．14．如图，点A 在⊙O 上，60BAC ∠=︒，以A 为圆心，AB 为半径的扇形ABC 内接于⊙O ．某人向⊙O 区域内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在扇形ABC 内的概率为．15．如图，已知O 的半径是4，点A ，B 在O 上，且90AOB ∠=︒，动点C 在O 上运动（不与A ，B 重合），点D 为线段BC 的中点，连接AD ，则线段AD 长度的最大值是．第14题第15题第16题16．如图，矩形ABCO 的顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(8,6)-，M 是AOC 的内切圆，点N ，点P 分别是M ，x 轴上的动点，则PB PN +的最小值是．三、解答题（本题共11题，共88分）17．解方程：（1）2660x x --=（2）22(3)(3)x x x =++18．已知关于x 的方程()()21210x m x m -++-=．(1)求证：无论m 取何值，该方程总有实数根；(2)若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m 的值，并求出此时方程的根．19．某公司有A ，B ，C 三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210km ，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．型号平均里程（km ）中位数（km ）众数（km ）B216215220C 225227.5227.5(1)阳阳已经对B ，C 型号汽车数据统计如表，请继续求出A 型号汽车的平均里程、中位数和众数．(2)为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．20．小乐周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏，游戏设计者提供了一只兔子和一个有,,,,A B C D E 五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个窗口走出兔笼的机会是均等的．规定：①玩家只能将小兔子从A 或B 两个出入口放入；②如果小兔子进入笼子后选择从开始进入的A 或B 出入口离开，则得到小兔子玩具奖励，否则没有奖励．()1请用画树状图或列表的方法，列举出该游戏所有可能的情况﹔()2小乐得到小兔子玩具的概率是多少?21．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降价6元时，则平均每天销售数量为多少件？(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？22．如图，在55⨯的网格中，ABC 的三个顶点都在格点上．用无刻度的直尺作图：(1)在图1中画出一条恰好平分ABC 周长的直线l ；(2)在图2中画出ABC 的外接圆的一条切线AD ；(3)在图2中画出ABC 关于直线AB 对称的ABE ；(4)在图2中若CE 交AB 于点H ，画出平行四边形HACF ．23．如图，ABC 内接于O ，AB 是直径，O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，//OF BC 交AC 于点E ，交PC 于点F ，连接AF ．()1判断AF 与O 的位置关系并说明理由；()2若O 的半径为4，2AF =，求PF 的长．24．如图1，已知线段OA ，OC 的长是方程220x mx m +=的两根，且OA ＝OC ，点B 的坐标为（4，1），⊙B 与x 轴相切于点M ．（1）求点A 和点C 的坐标及∠CAO 的度数；（2）⊙B 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴负方向平移，同时，直线AC 绕点A 顺时针匀速旋转．当⊙B 第一次与y 轴相切时，直线AC 也恰好与⊙B 第一次相切．问：直线AC 绕点A 每秒旋转多少度？（3）如图2，过A ，O ，C 三点作⊙1O ，点E 是劣弧AO 上一点，连接EC ，EA ，EO ，当点E 在劣弧AO 上运动时（不与A ，O 两点重合），EC EA EO-的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．25．先阅读材料，再解答问题：已知点00(,)P x y 和直线y kx b =+，则点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式0021kx y b d k +例如：求点(2,1)P -到直线23y x =+的距离．解：由直线23y x =+可知：2,3k b ==．所以点(2,1)P -到直线23y x =+的距离为0021d k ==+225512=+求：（1）已知直线21y x =+与25y x =-平行，求这两条平行线之间的距离；（2）已知直线443y x =--分别交,x y 轴于,A B 两点，C 是以(2,2)C 为圆心，2为半径的圆，P 为C 上的动点，试求PAB ∆面积的最大值．26．已知，AB 是⊙O 的直径，AB ＝16，点C 在⊙O 的半径OA 上运动，PC ⊥AB ，垂足为C ，PC ＝10，PT 为⊙O 的切线，切点为T ．（1）如图（1），当C 点运动到O 点时，求PT 的长；（2）如图（2），当C 点运动到A 点时，连接PO 、BT ，求证：PO ∥BT ；（3）如图（3），设PT ＝y ，AC ＝x ，求y 与x 的解析式并求出y 的最小值．27．综合与实践车轮设计成圆形的数学道理小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.(1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 BD，2BA CA DA ===，圆心角120BAD ∠=︒.此时中心轨迹最高点是C （即 BD 的中点），转动一次前后中心的连线是BD （水平线），请在图2中计算C 到BD 的距离1d .(2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 BD，2BA CA DA ===，圆心角90BAD ∠=︒.此时中心轨迹最高点是C （即 BD 的中点），转动一次前后中心的连线是BD （水平线），请在图4中计算C 到BD 的距离2d （结果保留根号）.(3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 BD，圆心角BAD ∠=______.此时中心轨迹最高点是C （即 BD的中点），转动一次前后中心的连线是BD （水平线），在图6中计算C 到BD 的距离3d =______（结果保留根号）.(4)归纳推理：比较1d ，2d ，3d 大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）.(5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离d =______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形.答案和解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．D2．D3．C4．C5．C过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE、OF是⊙O的半径；∴OE=OF；在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴由勾股定理，得AB=10；又∵BD﹕CD=1﹕2，BC=6，∴BD=2，CD=4，又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD，∴11•2212AB OE BD OF BD AC+∙=∙，解得43 OE=∴⊙O的半径是4 3，由此⊙O的面积是169π．故选：C．6．A36027090AOB ∠=︒-︒=︒，则45ABO ∠=︒，则45OBC ∠=︒，O 旋转的长度是：453321802ππ⨯⨯=，O 移动的距离是：270391802ππ⨯=，则圆心O 所经过的路线长是：39622πππ+=．故选：A ．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．58．86分9．乙10．400(1－x)2＝25611．412．1000π+300013．214．1215．252+如图1，取OB 的中点E ，连接OB OC ，，则122OE EB OB ===，∵D 为线段BC 的中点，∴DE 是OBC △的中位线，∴122DE OC ==．∴EO ED EB ==，即D 是以点E 为圆心，2为半径的圆上的一点．∴求线段AD 长度的最大值即是求点A 与E 上的点的最大距离．如图2，当点D 在线段AE 的延长线上时，线段AD 的长度取得最大值。
江苏省南京市 九年级(上)期中数学试卷1
九年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.将一元二次方程x2+x=2化成一般形式ax2+bx+c=0（a＞0）之后，一次项系数和常数项分别是（ ）A. −1，2B. 1，1C. 1，−2D. 1，22.⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（ ）A. 点A在圆上B. 点A在圆内C. 点A在圆外D. 无法确定3.若点P（1，a）、Q（-1，b）都在函数y=x2的图象上，则线段PQ的长是（ ）A. a+bB. a−bC. 4D. 24.如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB=5，AC=3，则BD的长是（ ）A. 1.5B. 2C. 2.5D. 35.已知平面直角坐标系中有两个二次函数y=（x+1）（x-7），y=（x+1）（x-15）的图象，为了使两个函数图象的对称轴重合，则需将二次函数y═（x+1）（x-15）的图象（ ）A. 向左平移4个单位B. 向右平移4个单位C. 向左平移8个单位D. 向右平移8个单位6.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（ ）A. 2πB. πC. 12πD. 3−12π二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7.一元二次方程x2-9=0的解是______．8.已知⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系为______．9.已知关于x的一元二次方程x2+kx-6=0有一个根为-3，则方程的另一个根为______．10.一个二次函数的图象经过A（0，0）、B（2，4）、C（4，0）三点，该函数的表达式是______．11.经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是______．12.如图，扇形OAB的圆心角为124°，C是弧AB上一点，则∠ACB=______．13.已知扇形的面积为6π，半径为4，则这个扇形的弧长是______（结果保留π）．14.已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么当y＞0时，x的取值范围是______．x…-1012…y…0343…15.如图，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-6）2+h，边界距点O的水平距离为18m，若球发出后不出边界，则h的取值范围是______．16.已知边长为1的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为1的圆上，使AB边与弦MN重合，如图所示，将正方形在圆中逆时针滚动，在滚动过程中，点M、D之间距离的最小值是______．三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）17.已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．18.如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），用长为24m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB的长为x（m），面积为y（m2）．（1）若y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围；（2）若要围成的花圃的面积为45m2，则AB的长应为多少？四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）19.解下列一元二次方程：（1）x2-4x-5=0；（2）2x2-5x+3=0．20.如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，求证：AC=BD．21.已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．22.如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？23.问题：我们知道，过任意的一个三角形的三个顶点能做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，那么任意的一个四边形有外接圆吗？探索：如图给出了一些四边形，填写出你认为有外接圆的图形序号______；发现：相对的内角之间满足什么关系时，四边形一定有外接圆？写出你的发现：______；说理：如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间有上面的关系吗？请结合图④说明理由．24.某咖啡门店计划销售一批咖啡，每杯成本30元，规定获利不高于20%，试销售期间发现，当销售单价定为35元时，每天可售出150杯，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10杯，现门店决定提价销售，设每杯销售单价为x元，则x为多少时，门店每天销售咖啡获得的利润最大？最大利润是多少元？25.如图①，作法平面直角坐标系中，二次函数y=ax2-6ax的图象经过点D（2，1）．（1）求该函数表达式及顶点坐标；（2）将该二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个如图②所示的新图象，请补全新图象对应的函数表达式：y=______，（x＜0或______），y=______，（0≤x≤6）（3）已知点E的坐标为（4，1），P是图②图象上一点，其横坐标为m，连接PD、PE，当△PDE的面积为1时，直接写出m的值．26.如图，在边长均为1的正方形网格中，AB是半圆形的直径．（1）仅用无刻度的直尺，将图①的半圆形分成三个全等的扇形；（2）在图②中，用直尺和圆规，以点O为圆心作一个与半圆形不全等的扇形，使得扇形的面积等于半圆形的面积，并写出作法．27.已知函数y=a n x2+b n x（a n＜0，b n＞0，n为正整数）的图象的顶点为B n，与x轴的且四边形OB1A1C1为正方形，求a1、b1的值．（2）当n=2时，函数y=a2x2+b2x的图象的对称轴与函数y=a1x2+b1x的图象交于点C2，且四边形OB2A2C2为正方形，求a2、b2的值．（3）以此类推，可得a3=-19，b3=2，一般地，若函数y=a n x2+b n x的对称轴与函数a n-1x2+b n-1x的图象交于点C n，且四边形OB n A n C n为正方形，求a n、b n的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：将一元二次方程x2+x=2化成一般形式ax2+bx+c=0（a＞0）之后，变为x2+x-2=0，故一次项系数和常数项分别是：1，-2．故选：C．直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．2.【答案】B【解析】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，即点A到圆心O的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O内．故选：B．根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．3.【答案】D【解析】解：把P（1，a）、Q（-1，b）分别代入y=x2得a=12=1，b=（-1）2=1，即P（1，1），Q（-1，1），所以PQ=1-（-1）=2．故选：D．把P（1，a）、Q（-1，b）分别代入y=x2得a和b的值，从而得到P、Q点的坐标，然后计算两点之间的距离．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．4.【答案】B【解析】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB-AP=5-3=2．故选：B．由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．5.【答案】A解：∵y=（x+1）（x-7）=x2-6x-7，y=（x+1）（x-15）=x2-14x-15，∴二次函数y=（x+1）（x-7）的对称轴为直线x=3，二次函数y=（x+1）（x-15）的对称轴为直线x=7，∵3-7=-4，∴将二次函数y=（x+1）（x-15）的图形向左平移4个单位，两图形的对称轴重叠．故选：A．将二次函数解析式展开，结合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴，二者做差后即可得出平移方向及距离．本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：连接AC，∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC（扇形的半径相等），∵AB2+BC2=22，∴AB=BC=m，∴阴影部分的面积是（m2），故选：C．连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．7.【答案】x1=3，x2=-3【解析】解：∵x2-9=0，∴x2=9，解得：x1=3，x2=-3．故答案为：x1=3，x2=-3．利用直接开平方法解方程得出即可．此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．8.【答案】相交解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线L的距离为3，∵5＞3，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故答案为：相交．根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．9.【答案】2【解析】解：设方程的另一个根为a，则根据根与系数的关系得：-3a=-6，解得：a=2，故答案为：2．根据根与系数的关系得出-3a=-6，求出即可．本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．10.【答案】y=-x2+4x【解析】解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得，解得．所以这个二次函数的解析式为y=-x2+4x．故答案为：y=-x2+4x．利用待定系数法求抛物线解析式；本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．11.【答案】50（1-x）2=32【解析】解：由题意可得，50（1-x）2=32，故答案为：50（1-x）2=32．根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题12.【答案】118°【解析】解：如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB=124°，∴∠ADB=∠AOB=×124°=62°．∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠ACB=180°-62°=118°．故答案为：118°．在⊙O上取点D，连接AD，BD，根据圆周角定理求出∠D的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．13.【答案】3π【解析】解：设弧长为l，∵扇形的面积为6πcm2，半径为4cm，∴×4•l=6π，∴l=3π，故答案为：3π直接根据扇形的面积公式计算即可．本题考查了扇形的面积公式：S=•l•R（l为扇形的弧长，R为半径），熟记扇形的面积公式是解题的关键．14.【答案】-3＜x＜1【解析】解：从表格看出，函数的对称轴为x=1，图象开口向下，函数与x轴的一个交点式（-1，0），由对称轴x=1，推出函数与x轴另外一个交点为（3，0），当y＞0时，x的取值范围是为-3＜x＜1，故答案是-3＜x＜1．从表格看出，函数的对称轴为x=1，图象开口向下，函数与x轴的一个交点式（-1，0），由对称轴x=1，推出函数与x轴另外一个交点为（3，0）即可求解．本题考查的是函数与坐标轴的交点，此类题目首先要找到对称轴的位置，再找到与x轴的交点，即可求解．15.【答案】h≥83【解析】解：当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：，解得：，此时二次函数解析式为：y=-（x-6）2+，此时球若不出边界h≥，．故答案为：h≥．根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），抛物线y=a （x-6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，或根据不等式即可得出答案．此题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围．16.【答案】2-2【解析】解：如图，点D的运动轨迹是图中的红线．观察图象可知M、D之间的最小距离是线段AD′的长=AE-EF=2-，故答案为2-．画出点D的运动轨迹，观察图象可知M、D之间的最小距离是线段AD′的长=AE-EF=2-．本题考查正方形的性质点与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，属于中考常考题型．17.【答案】解：（1）根据题意得：△=4-4（2k-4）=20-8k＞0，解得：k＜52；（2）由k为正整数，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解为x=-1±5−2k，∵方程的解为整数，∴5-2k为完全平方数，则k的值为2．【解析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值．此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．18.【答案】解：（1）由题意可得，y=x（24-3x）=-3x2+24x，∵24-3x≤10，3x＜24，解得，x≥143且x＜8，∴143≤x＜8，即y与x之间的函数表达式是y=-3x2+24x（143≤x＜8）；（2）当y=45时，45=-3x2+24x，解得，x1=3（舍去），x2=5，答：AB的长应为5m．【解析】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式以及x的取值范围；（2）令y=45代入（1）中的函数解析式，即可求得x的值，注意x的取值范围．本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．19.【答案】解：（1）x2-4x-5=0（x-5）（x+1）=0，解得：x1=5，x2=-1；（2）2x2-5x+3=0（2x-3）（x-1）=0，解得：x1=32，x2=1．【解析】（1）直接利用十字相乘法分解因式解方程即可；（2）直接利用十字相乘法分解因式解方程即可．此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．20.【答案】证明：过圆心O作OE⊥AB于点E，在大圆O中，OE⊥AB，∴AE=BE．在小圆O中，OE⊥CD，∴CE=DE．∴AE-CE=BE-DE．∴AC=BD．【解析】过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因为AE-CE=BE-DE，进而求证出AC=BD．本题考查垂径定理的实际应用．21.【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵∠P=35°，∴∠AB=90°-35°=55°．（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，OA=OCOD=ODAD=CD，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．【解析】（1）首先根据切线的性质判定∠BAP=90°；然后根据三角形内角和定理即可解决问题；（2）连接OC，OD、AC构建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的对应角相等推知∠OAD=∠OCD=90°，即OC⊥CD．本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和三角形全等的判定与性质．熟记这些定理是解决问题的关键．22.【答案】解：（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴设抛物线的表达式为y=ax2+3.5．由图知图象过以下点：（1.5，3.05）．∴2.25a+3.5=3.05，解得：a=-0.2，∴抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5．（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，∵y=-0.2x2+3.5，而球出手时，球的高度为h+1.8+0.25=（h+2.05）m，∴h+2.05=-0.2×（-2.5）2+3.5，∴h=0.2．答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．【解析】（1）设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值．（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.05=-0.2×（-2.5）2+3.5．本题是一道典型的函数类综合应用题，对函数定义、性质，以及在实际问题中的应用等技能进行了全面考查，利用二次函数解决抛物线形的实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决问题．23.【答案】②对角互补的四边形一定有外接圆【解析】解：探索：矩形有外接圆；故答案为②；发现：对角互补的四边形一定有外接圆；故答案为对角互补的四边形一定有外接圆；说理：如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间没有有上面的关系．图④左：连接BE，∵∠A+∠E=180°，∠BCD＞∠E，∴∠A+∠BCD＞180°；图④右：连接DE，∵∠A+∠BED=180°，∠BED＞∠C，∴∠A+∠C＜180°．利用矩形的性质可判断矩形的四个顶点在同一个圆上；利用对角互补可判断四边形一定有外接圆；如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间没有有上面的关系，利用对角互补的四边形一定有外接圆进行说明．本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆内接四边形的性质．24.【答案】解：∵获利不高于20%，∴x≤30×（1+20%）=36．设利润为y元，根据题意得：y=（x-30）[150-10（x-35）]=-10x2+800x-15000=-10（x-40）2+1000．∵a=-10，二次函数y=-10x2+800x-15000的图象的对称轴为直线x=40，∴当x≤40时，y值随x的增大而增大．又∵x≤36，∴当x=36时，y取最大值，最大值为840．答：当x=36时，门店每天销售咖啡获得的利润最大，最大利润是840元．【解析】由获利不高于20%，可得出x≤36，设利润为y元，根据利润=每杯咖啡的利润×销售数量，即可得出y与x之间的函数关系式，再利用二次函数的性质结合x 的取值范围，即可解决最值问题．本题考查了二次函数的应用，根据数量关系，找出利润y关于每杯销售单价x 之间的函数关系式是解题的关键．25.【答案】18x2-34x x＞6 -18x2-34x【解析】解：（1）把点D（2，1）代入二次函数y=ax2-6ax，解得：a=-，函数表达式为：y=-x2-x=-（x-3）2+，即顶点坐标为（3，），与x轴的交点为（0，0）、（6，0）；（2）二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，左右两侧曲线相当于把中间曲线翻转180度，对应二次函数的一部分，左右两侧曲线对应抛物线a=，顶点为（3，-），对应函数表达式为y=（x-3）2-=x2-x，（x＜0或x＞6），故答案为：x2-x，x＞6，-x2-x；（3）如下图：D、E两点坐标分别为（2，1）、（4，1），当x＜0或x＞6时，n=-m2-m…①，当0≤x≤6，n=m2-m…②，当点P在曲线任何位置时，△PDE的面积表达式为：S△PDE=•DE•（y p-y D）=|1-n|=1，n=0或2，把n值代入①、②解得：m=0或6或8或-2．（1）把点D（2，1）代入二次函数y=ax2-6ax，求解求解；（2）二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，左右两侧曲线相当于把中间曲线翻转180度，对应二次函数的一部分，对应抛物线a=，顶点（3，-）即可求解；（3）当点P在曲线任何位置时，△PDE的面积表达式为：S△PDE=•DE•（y p-y D）=|1-n|=1，即可求解．此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意将三角形分解成两个三角形求解．26.【答案】解：（1）如图所示：OC、OD即为所求：（2）作法：①如图在网格图中取C、D两点；②连接OC、OD；③以O点为圆心，OC为半径画弧CD；如图所示：扇形OCD即为所求．【解析】（1）根据扇形的度数画出图形即可；（2）根据扇形的度数画出图形即可．本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．27.【答案】解：（1）如下图①：函数y=a1x2+b1x图象的对称轴为x=-b12a1，把该x值代入y=-x2，则点C1的坐标为（-b12a1，-b124a12），∵四边形OB1A1C1为正方形，∴OO1=O1C1=O1B1，即：-b12a1=b124a12，则b1=-2a1…①，B1的坐标为（1，a1+b1），即a1+b1=1…②，由①、②解得：a1=-1，b1=2；（2）如下图②：函数y=a2x2+b2x图象的对称轴为x=-b22a2，把该x值代入y=-x2+2x，则点C2的坐标为（-b22a2，-b22+4a22b24a22），∵四边形OB2A2C2为正方形，∴C2的两个坐标的绝对值相等，即-b22a2=b22+4a22b24a22，解得：b2=-6a2…①，对称轴x=3，B2的坐标为（3，9a2+3b2），即9a2+3b2=3…②，由①、②解得：a2=-13，b2=2；（3）a1=-1，b1=2和a2=-13，b2=2按照找规律的方法，可以推理出：a n=-（13）（n-1），b n=2．【解析】（1）函数y=a1x2+b1x图象的对称轴为x=-，代入y=-x2，则点C1的坐标为（-，-），再由OO1=O1C1=O1B1，求出B1的坐标为（1，a1+b1）即可求解；（2）用（1）的办法即可求解；（3）由（1）、（2）通过找规律即可求解．此题主要考查二次函数性质、用坐标正方形顶点坐标，要会用类比、找规律的方法求解问题等．。
【5套打包】南京市初三九年级数学上期中考试检测试卷(解析版)
新九年级上册数学期中考试试题(含答案)一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）以下是“回收”、“绿色包装”、“节水”、“低碳”四个标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）二次函数y＝（x+2）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）3．（2分）如图，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC＝3，则弦AB的长为（）A．8B．6C．4D．104．（2分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝59°，则∠C等于（）A．29°B．31°C．59°D．62°5．（2分）如图4×4的正方形网格中，△PMN绕某点旋转一定的角度，得到△P1M1N1，其旋转中心是（）A．A点B．B点C．C点D．D点6．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝6，阴影部分图形的面积为（）A．4πB．3πC．2πD．π7．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下表：①物线y＝ax2+bx+c的开口向下；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2以上结论中其中的是（）A．①④B．②④C．②③D．③④8．（2分）如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为（）A．从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BCB．从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DAC．从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CND．从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是．10．（2分）平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则点A（4，3）在⊙O（填：“内”或“上“或“外”）11．（2分）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕30°角的顶点B顺时计旋转，使得点A 落在CB的延长线上的点E处，则∠BCD的度数为．12．（2分）将抛物线y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2﹣k的形式，则hk＝．13．（2分）若正六边形的边长为2，则其外接圆的面积为．14．（2分）二次函数满足下列条件：①函数有最大值3；②对称轴为y轴，写出一个满足以上条件的二次函数解析式：15．（2分）圆锥底面半径为6，高为8，则圆锥的侧面积为．16．（2分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：已知：∠ACB是△ABC的一个内角．求作：∠APB＝∠ACB．小明的做法如下：如图①作线段AB的垂直平分线m；②作线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O；③以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；④在弧ACB上取一点P，连结AP，BP．所以∠APB＝∠ACB．老师说：“小明的作法正确．”请回答：（1）点O为△ABC外接圆圆心（即OA＝OB＝OC）的依据是；（2）∠APB＝∠ACB的依据是．三、解答题（本原共68分，第17-22题，每小题5分，第23、24、26、28题，每小题5分，第25，27题，每小题5分）17．（5分）如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90，且点B的坐标为（4，2）（1）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA1B1．（2）求点B旋转到点B1所经过的路线长（结果保留π）18．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示．（1）确定二次函数的解析式；（2）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．19．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，求⊙O的半径长．20．（5分）关于x一元二次方程x2+mx+n＝0．（1）当m＝n+2时，利用根的判别式判断方程根的情况．（2）若方程有实数根，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．21．（5分）如图，P A，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB＝70°．求∠P的度数．22．（5分）某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w （双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？23．（6分）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置，并标出M点的坐标；（2）若D点的坐标为（7，0），想一想直线CD与⊙M有怎样的位置关系，并证明你的猜想．24．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE ⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，∠F＝30°，求DE的长．25．（7分）如图，Q是弧AB与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交弧AB于点C，连接BC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，B，C两点间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）确定自变量x的取值范围是．（2）按下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值．（3）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并面出函数y1，y2的图象．（4）结合函数图象，解决问题：当△BPC为等腰三角形时，AP的长度约为cm．26．（6分）在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q是x轴上一点，①若在抛物线上存在点P，使得∠POQ＝45°，求点P的坐标．②抛物线与直线y＝1交于点E，F（点E在点F的左侧），将此抛物线在点E，F（包含点E和点F）之间的部分沿x轴向左平移n个单位后得到的图象记为G，若在图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，求n的取值范围．27．（7分）已知：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°（1）如图①，若∠ACD＝60°，BC＝1，CD＝3，则AC的长为；（2）如图②，若∠ACD＝45°，BC＝1，CD＝3，求出AC的长；（3）如图③，若∠ACD＝30°，BC＝a，CD＝b，直接写出AC的长．28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），且m≠0，点B的坐标为（n，0），将线段AB绕点B顺时针旋转90°．得到线段BA1，称点A1为点A关于点B的“伴随点”，图1为点A关于点B的“伴随点”的示意图（1）已知点A（0，4），①当点B的坐标分别为（1，0），（﹣2，0）时，点A关于点B的“伴随点”的坐标分别为，；②点（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，直接写出y与x之间的关系式；（2）如图2，点C的坐标为（﹣3，0），以C为圆心，为半径作圆，若在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，直接写出点A的纵坐标m的取值范围．2018-2019学年北京市朝阳区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、是中心对称图形，本选项正确；D、不是中心对称图形，本选项错误．故选：C．2．【解答】解：∵顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），∴二次函数y＝（x+2）2+3的图象的顶点坐标是（﹣2，3）．故选：A．3．【解答】解：连接OA，∵OA＝5，OC＝3，OC⊥AB，∴AC＝＝＝4，∵OC⊥AB，∴AB＝2AC＝2×4＝8．故选：A．4．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝59°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝31°，∴∠C＝∠A＝31°．故选：B．5．【解答】解：如图，连接NN1，PP1，可得其垂直平分线相交于点B，故旋转中心是B点．故选：B．6．【解答】解：连接BC，OD，设CD交AB于E．∵∠BOC＝2∠CDB，∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠CBO＝60°，∵CD⊥AB，CD＝6，∴＝，CE＝ED＝3，∴∠BOC＝∠BOD＝60°，EO＝，OC＝2，∴∠CBO＝∠BOD，∴BC∥OD，∴S△BCD＝S△BCO，∴S阴＝S扇形OBC＝＝2π．故选：C．7．【解答】解：从表格可以看出，函数的对称轴是x＝1，顶点坐标为（1，﹣1），函数与x轴的交点为（0，0）、（2，0），①物线y＝ax2+bx+c的开口向下．抛物线开口向上，错误；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，错误；③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，正确；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2，正确．故选：D．8．【解答】解：根据画出的函数的图象，C符合，故选：C．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．10．【解答】解：∵点A（新人教版九年级第一学期期中模拟数学试卷(答案)一、选择题（共30分，每小题3分）1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）2．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，AE＝2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定4．右面的三视图对应的物体是（）A．B．C．D．5．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y26．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．547．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）A．8 B．12 C．16 D．208．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3 B．4 C．5 D．69．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）A．B．C．D．二、填空题（共12分，每小题3分）11．方程x2＝x的根是．12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ 最小值是．二、解答题（共11小题，计78分）15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．20．（7分）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．21．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？22．（7分）如图①，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图②，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP，求△AOP的面积；23．（8分）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子．（1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？（2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明．24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．（1）求证：AD2＝AF•AB；（2）求证：AD•BE＝DE•AB．25．（12分）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．参考答案一、选择题1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）【分析】将（﹣2，3）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．解：设反比例函数解析式为y＝，将点（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣2×3＝﹣6，符合题意的点只有点A：k＝2×（﹣3）＝﹣6．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．2．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，AE＝2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，代入求出即可．解：∵DE∥BC，∴＝，∵，AE＝2cm，∴＝，∴AC＝6（cm），故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．解：根据题意得：（m﹣1）+1+1＝0，解得：m＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．4．右面的三视图对应的物体是（）A．B．C．D．【分析】因为主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．所以可按以上定义逐项分析即可．解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有D 满足这两点，故选：D．【点评】本题主要考查学生对图形的三视图的了解及学生的空间想象能力．5．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【分析】先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题．解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，∴y3＜y1＜y2．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．6．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．54【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得△ABC与△DEF的周长比为：3：1，又由△ABC的周长为18厘米，即可求得△DEF 的周长．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，∴△ABC与△DEF的相似比为：3：1，∴△ABC与△DEF的周长比为：3：1，∵△ABC的周长为18厘米，∴，∴△DEF的周长为6厘米．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形的周长的比等于相似比定理的应用．7．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答．解：根据题意得，＝，解得，m＝20．故选：D．【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．8．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由矩形的性质和已知条件可求出∠AFE＝∠AEF，进而推出AE＝AF，求出BE，根据勾股定理求出AE，即可求出AF，即可求出答案．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠FEC，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF，∵E为BC中点，BC＝8，∴BE＝4，在Rt△ABE中，A B＝3，BE＝4，由勾股定理得：AE＝5，∴AF＝AE＝5，∴DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3，故选：A．【点评】本题考查了矩形性质，勾股定理的运用，平行线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对边相等且平行是解题的关键．9．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】首先由四边形ABCD是正方形，得出∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，又由DE ＝CE，FC＝BC，证出△ADE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出△AEF∽△ADE，则可得△AEF∽△ADE∽△ECF，进而可得出结论．解：图中相似三角形共有3对．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，∵DE＝CE，FC＝BC，∴DE：CF＝AD：EC＝2：1，∴△ADE∽△ECF，∴AE：EF＝AD：EC，∠DAE＝∠CEF，∴AE：EF＝AD：DE，即AD：AE＝DE：EF，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠CEF+∠AED＝90°，∴∠AEF＝90°，∴∠D＝∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是证明△ECF∽△ADE，在此基础上可证△AEF∽△ADE．10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）A．B．C．D．【分析】AF交GC于点K．根据△ADK∽△FGK，求出KF的长，再根据△CHK∽△FGK，求出CH的长．解：∵CD＝BC＝1，∴GD＝3﹣1＝2，∵△ADK∽△FGK，∴，即，∴DK＝DG，∴DK＝2×＝，GK＝2×＝，∴KF＝，∵△CHK∽△FGK，∴，∴，∴CH＝．方法二：连接AC、CF，利用面积法：CH＝；故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求出三角形的边长，再构造相似三角形是解题的关键．二、填空题（共12分，每小题3分）11．方程x2＝x的根是x 1＝0，x2＝．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．解：方程整理得：x（x﹣）＝0，可得x＝0或x﹣＝0，解得：x 1＝0，x2＝．故答案为：x 1＝0，x2＝【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为 4 ．【分析】在Rt△AEB中，由∠AEB＝90°，AB＝2BE，推出∠EAB＝30°，设BE＝a，则AB＝2a，由题意2a×a＝8，推出a2＝，可得k＝a2＝4．解：在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝2BE，∴∠EAB＝30°，设BE＝a，则AB＝2a，OE＝a，由题意2a×a＝8，∴a2＝，∴k＝a2＝4，故答案为4．【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝ 3 ．【分析】首先证明△ACB∽△AMN，可得AC：CB＝AM：MN，代入数值求解即可．解：∵∠C＝∠AMN＝90°，∠A为△ACB和△AMN的公共角，∴△ACB∽△AMN，∴AC：CB＝AM：MN，在直角△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，即AB＝10；又∵AC＝8，CB＝6，AM＝AB﹣6＝4，∴＝，即MN＝3．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，涉及到勾股定理的运用．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ 最小值是3+．【分析】作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．利用勾股定理求出PQ″即可解决问题；解：作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．在Rt△PHQ″中，PQ″＝＝，∴PM+MN+NQ的最小值＝3+．故答案为3+．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找PM+MN+NQ最小时点M的位置，属于中考常考题型．二、解答题（共11小题，计78分）15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．【分析】此题可以采用配方法和公式法，解题时要正确理解运用每种方法的步骤．解法一：原式可以变形为，，，∴，∴，．解法二：a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝12，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【点评】公式法和配方法适用于任何一元二次方程，解题时要细心．16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD 在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．【分析】直接利用已知路灯的影子得出灯的位置，进而得出EF的影长．解：如图所示：【点评】此题主要考查了中心投影，正确得出灯的位置是解题关键．17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．【分析】（1）利用位似图形的性质得出C，D两点坐标在A，B坐标的基础上，同乘以﹣2，进而得出坐标画出图形即可；（2）利用位似图形的性质得出C，D点坐标．解：（1）如图所示：；（2）如图所示：D（﹣4，2），C（﹣6，﹣2）．【点评】此题主要考查了位似变换，得出对应点坐标是解题关键．18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，∴，解得：k＝﹣2．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．在Rt△BFH中，根据勾股定理计算即可．（1）证明：∵AF∥CD，∴∠EAF＝∠ECD，∵E是AC中点，∴AE＝EC，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，∴AF＝CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝AD＝BD，∴四边形AFCD是菱形．（2）解：如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．∵四边形AFCD是菱形，∴AC⊥DF，EF＝DE＝BC＝，∴∠H＝∠ECH＝∠CEF＝90°，∴四边形FHCE是矩形，∴FH＝EC＝2，EF＝CH＝，BH＝CH+BC＝，在Rt△BHF中，BF＝＝．【点评】本题考查菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边中线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．20．（7分）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．【分析】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得＝，＝，因为DC＝HG，推出＝，列出方程求出CA＝106（米），由＝，可得＝，由此即可解决问题．解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，∴＝，＝，∵DC＝HG，∴＝，∴＝，∴CA＝106（米），∵＝，∴＝，∴AB＝55（米），答：舍利塔的高度AB为55米．【点评】本题考查解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．21．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）＝14求出即可．解：设每盆应该多植x株，由题意得（3+x）（4﹣0.5x）＝14，解得：x1＝1，x2＝4．因为要且尽可能地减少成本，所以x2＝4舍去，x+3＝4．答：每盆植4株时，每盆的盈利14元．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝总盈利得出方程是解题关键．22．（7分）如图①，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图②，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP，求△AOP的面积；【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标；（2）延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，由此即可得出PD、EP的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论．解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．∴m＝1×4＝4，∴反比例函数的关系式为y＝（x＞0）．∵四边形OABC为平行四边形，且点O（0，0），OC＝5，点A（1，4），∴点C（5，0），∴点B（6，4）．（2）延长DP交OA于点E，如图②所示．∵点D为线段BC的中点，点C（5，0）、B（6，4），∴点D（，2）．令y＝中y＝2，则x＝2，∴点P（2，2），∴PD＝﹣2＝，EP＝ED﹣PD＝，∴S△AOP＝EP•（y A﹣y O）＝××（4﹣0）＝3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式、平行四边形的性质，解题的关键是：根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式．23．（8分）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子．（1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？（2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明．【分析】（1）列举出所有情况，看白色衬衫配米色裙子的总数即可得出答案；（2）列举出青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子的情况数占所有情况数的多少即可．解：（1）共有8种情况，白色衬衫米色裙子的情况数有1种，所以他最喜欢的搭配的概率为；（2）青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子的情况数有2种，所以他最不喜欢的搭配的概率为，故她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会不相等．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．（1）求证：AD2＝AF•AB；（2）求证：AD•BE＝DE•AB．。
江苏省南京市九年级(上)期中数学试卷
九年级（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 6 小题，共18.0 分）1.以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. 平行四边形B. 圆C. 等边三角形D. 正五边形2.已知⊙ O 的半径为 6cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 5cm，则直线 l 与⊙O 的交点个数为（）A. 0B. lC. 2D. 没法确立3. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员几次选拔赛成绩的均匀数x- 与方差 S2：甲乙丙丁均匀数 x- （cm）563 560 563 560方差 S2（ cm2）依据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳固的运动员参加竞赛，应当选择（）A.甲B.乙C.丙D.丁4. 当 m 取以下哪个值时，对于x 的一元二次方程x2-2x+m=0 没有实数根（）A.-2B.0C.1D.25.如图，点 E 在 y 轴上，⊙E 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C、 D，若 C（ 0，9）， D （0， -1），则线段AB 的长度为（）A.3B.4C.6D.86.如图，? ABCD 中，AD ∥BC，AD =8，CD =4，∠B=60 °．若点 P 在线段 BC 上，且△ADP 为直角三角形，则切合要求的点P 的个数有（）A. 4个B. 3个C.2个D. 1 个二、填空题（本大题共10 小题，共分）7. 一个不透明的口袋中，装有除颜色之外其他都同样的红、黄两种球共15 个，摇匀后从中随意摸出一球，记下颜色放回，摇匀再摸出一个，记下颜色放回．经过大量的重复试验，发现摸到红球的频次为，则预计袋中有红球______ 个．8. 2017 年金砖国家峰会中， 6 名礼仪小姐的身高以下（单位： cm）：168，166，168，167， 169， 168，她们的身高的众数是______cm，中位数 ______cm．9.小明上学期数学的平常成绩80 分，期中成绩 90 分，期末成绩 85 分，若学期总评成绩按平常：期中：期末=3 ： 3：4 计算，则小明上学期数学的总评成绩是______分．12.如图，已知 CD 是⊙ O 的直径，A、B 在⊙ O上，∠AOB=35 °，CA∥OB，则∠BOD =______．13.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE 中，∠B+∠E=210 °，则∠CAD =______ °．14.如图，用一个半径为 30cm，面积为 300 πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计消耗），则圆锥的底面半径r 为 ______．15.今年梦想公司一月份产值 200 万，二、三月份产值均以同样的增添率连续增添，结果三月份产值比二月份产值增添了22 万．若设该公司二、三月份产值均匀增添率为 x，依据题意可列方程______．16.如图， Rt△ABC 的内切圆⊙ I 分别与斜边 AB、直角边BC、CA 切于点 D、E、F，AD=3，BD =2，则 Rt△ABC的面积为 ______．三、解答题（本大题共11 小题，共88.0 分）17.解方程：（1） 4x2-2x-1=0 ；（2）（ y+1）2=（ 3y-1）2．18.如图，转盘 A 中的 4 个扇形的面积相等，转盘 B 中的 3 个扇形面积相等．小明设计了以下游戏规则：甲、乙两人分别随意转动转盘A、 B 一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的 2 个数相乘，假如所得的积是偶数，那么是甲获胜；假如所得的积是奇数，那么是乙获胜．这样的规则公正吗？为何？19.一个不透明的口袋里装有白、红两种颜色的球，这些球除了颜色外都同样，此中白球 1 个，红球若干个．已知随机地从袋中摸出 1 个球，摸到白球的概率为13 ．（1）袋中有红色球 ______个；（2）从袋中随意摸出一球记下颜色放回、搅匀，再从中随意摸出一球，像这样有放回地先后摸球 3 次，请列出所有摸到球的可能结果，并求出三次都摸到红球的概率．20. 某区对马上参加2019 年中考的 3000 名初中毕业生进行了一次视力抽样检查，绘制出频数散布表和频数散布直方图的一部分．请依据图表信息回答以下问题：视力频数（人）频次≤x20＜≤x40＜≤x＜70≤x＜ a≤x＜10 b（1）在频数散布表中， a=______， b=______，并将频数散布直方图增补完好；（2）甲同学说“我的视力状况是此次抽样检查所得数据的中位数”，问甲同学的视力状况在什么范围内？（3）若视力在 4.9 以上（含）均属正常，依据上述信息预计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？21.如图，⊙ I是△ABC的内切圆，切点分别是D、 E、F ．（1）若∠B=50°，∠C=70°，则∠DFE 的度数为 ______ ；（2）若∠DFE =50°，求∠A 的度数．222.已知对于 x 的一元二次方程 x -mx+m-2=0 ．（1）若该方程有一个根为 -1，求 m 的值；（2）求证：无论 m 为任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．23.如图，△ABC 中， AB=AC，以 AB 为直径的⊙ O 交 BC于D，交AC于E．（1）求证： BD=CD ；（2）若∠BAC =50°，求∠EBC 和∠EDC 的度数．24.如图，在以 O 为圆心的两个齐心圆中，大圆的弦 AB、AC分别切小圆于点 M、 N．（1）求证： AB=AC；（2）若大圆的半径为 5，且 AB=8 ，求小圆的半径．25.某商铺经销的某种商品，每件成本价为40 元．经市场调研，售价为50 元 /件，可销售 150 件；销售单价每提升 1 元，销售量将减少 5 件．假如商铺将一批这类商品所有售完，盈余了 1500 元，问：该商铺销售了这类商品多少件？每件售价多少元？26.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90 °，∠ABC 的角均分线 BD 交 AC 边于 D．⊙ O 过 B、D两点，且圆心 O 在 AB 边上．（1）用直尺和圆规作出⊙ O（不写作法，保存作图印迹）；（2）判断直线 AC 与⊙ O 的地点关系，并说明原因；（3）若 AB=9 ， AD=3 ，求⊙O 的半径．27.【问题提出】我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半．那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？【初步思虑】（ 1）如图 1，AB 是⊙ O 的弦，∠AOB=100°，点 P1、 P2分别是优弧 AB 和劣弧 AB 上的点，则∠AP1B=______ °，∠AP2B=______ °．（ 2）如图 2，AB 是⊙ O 的弦，圆心角∠AOB=m°（m＜ 180°），点 P 是⊙ O 上不与A、B 重合的一点，求弦AB 所对的圆周角∠APB 的度数（用m 的代数式表示）．【问题解决】（3）如图 3，已知线段 AB，点 C 在 AB 所在直线的上方，且∠ACB=135°．用尺规作图的方法作出知足条件的点 C 所构成的图形（不写作法，保存作图印迹）．答案和分析1.【答案】B【分析】解：A 、平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、圆，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；C、等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、正五边形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．应选：B．依据中心对称图形和轴对称图形的观点对各选项剖析判断即可得解．本题考察了中心对称图形与轴对称图形的观点，轴对称图形的重点是找寻对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要找寻对称中心，旋转 180度后两部分重合．2.【答案】C【分析】解：∵⊙O 的半径为 6cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 5cm，6cm＞ 5cm，∴直线 l 与⊙O 订交，∴直线 l 与⊙O 有两个交点．应选：C．先依据题意判断出直线与圆的地点关系即可得出结论．本题考察的是直线与圆的地点关系，熟知设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，当d＜r时，直线与圆订交是解答此题的重点．3.【答案】A【分析】S 2，S 2，S2，S2解：∵甲乙丙丁，∴S甲2=S 乙2＜S 丁2＜S丙2，∴＞，∴从中选择一名成绩好又发挥稳固的运动员参加竞赛，应当选择甲；应选：A．依据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小，再依据均匀数的意义即可求出答案．本题考察了均匀数和方差，它反应了一组数据的波动大小，方差越大，颠簸性越大，反之也成立．4.【答案】D【分析】解：由题意知，△=4-4m＜0，∴m＞1应选：D．方程没有实数根，则△＜0，成立对于 m 的不等式，求出 m 的取值范围．本题考察了根的判别式，总结：一元二次方程根的状况与判别式△的关系：（1）△＞ 0? 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0? 方程有两个相等的实数根；（3）△＜ 0? 方程没有实数根．5.【答案】C【分析】解：连结 EB，以下图：∵C（0，9），D（0，-1），∴OD=1，OC=9，∴CD=10，∴EB=ED=CD=5，OE=5-1=4，∵AB ⊥CD，∴AO=BO= AB ，OB===3，∴AB=2OB=6 ；应选：C．连结 EB，由题意得出 OD=1，OC=9，∴CD=10，得出 EB=ED=CD=5，OE=4，本题考察了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理；娴熟掌握垂径定理，由勾股定理求出 OB 是解决问题的重点．6.【答案】B【分析】解：如图，连结 AC ，取BC 的中点 K ，连结 AK ．∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=4 ，AD=BC=4 ，∵BK=KC=4 ，∴BA=BK ，∵∠B=60 °，∴△ABC 是等边三角形，AK=BK=KC ，∴∠BAC=90°，∵AB ∥CD，∴∠ACD= ∠BAC=90°，∴以 AD 为直径作⊙O 交 BC 于 P2，P3，此时△ADP2，△ADP3是直角三角形，当∠DAP1=90°时，△DAP 是直角三角形，∴切合条件的点 P 有三个，应选：B．如图，连结 AC ，取BC 的中点 K ，连结 AK ．第一证明∠BAC=90°，推出∠ACD=90°，以AD 为直径作⊙O 交 BC 于 P2，P3，此时△ADP 2，△ADP 3是直角三角形，当∠DAP1=90°时，△DAP 是直角三角形，因此切合条件的点 P有三个．本题考察圆周角定理，平行四边形的性质，直角三角形的判断和性质等知识，7.【答案】6【分析】解：设袋中有红球 x 个，依据题意得：，解得：x=6，答：袋中有红球 6 个；故答案为：6．设袋中有红球 x 个，依据摸到红球的频次列出方程，而后求解即可．本题主要考察了利用频次预计概率，本题利用了用大批试验获得的频次能够预计事件的概率．重点是依据红球的频次获得相应的等量关系．8.【答案】168168【分析】解：∵168cm 出现了 3 次，出现的次数最多，∴她们的身高的众数是 168cm；把这些数从小到大摆列为 166，167，168，168，168，169，则中位数是=168cm；故答案为：168，168找中位数要把数据按从小到大的次序摆列，位于最中间的一个数（或两个数的均匀数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数能够不只一个．本题考察了中位数和众数，注意找中位数的时候必定要先排好次序，而后再依据奇数和偶数个来确立中位数，假如数占有奇数个，则正中间的数字即为所求，假如是偶数个则找中间两位数的均匀数；众数是一组数据中出现次数最多的数．9.【答案】85【分析】解：依据题意，小明上学期数学的总评成绩是=85（分），故答案为：85．依据加权均匀数的 计算公式计算可得．本题考察了加权均匀数的求法，要注意乘以各自的 权，直接相加除以 3 是错误的求法．10.【答案】 -2【分析】解：依据题意得 1+（-2）=-b ，1×（-2）=c ，因此 b=1，c=-2，因此 bc=-2． 故答案为 -2．依据根与系数的关系获得 1+（-2）=-b ，1×（-2）=c ，而后分别求出 b 、c 的值，再计算 bc 的值．本题考察了一元二次方程根与系数的关系：若 x 1，x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，x 1+x 2=- ，x 1x 2= ．也考察了根的判 别式．11.【答案】 x 1=-1 ， x 2=2【分析】解：∵2（x+1）=x （x+1）， ∴2（x+1）-x （x+1）=0， ∴（x+1）（2-x ）=0，则 x+1=0 或 2-x=0，解得：x 1=-1，x 2=2，故答案为：x 1=-1，x 2=2．先移项获得 2（x+1）-x （x+1）=0，而后利用因式分解法解方程．本题考察认识一元二次方程 -因式分解法：先把方程的右 边化为 0，再把左侧经过因式分解化 为两个一次因式的 积的形式，那么这两个因式的 值就都有可能为 0，这就能获得两个一元一次方程的解， 这样也就把原方程 进行了降次，把解一元二次方程 转变为解一元一次方程的 问题了（数学转变思想）．12.【答案】 35°【分析】解：∵OA=OC ， ∴∠C=∠A ，∵OB ∥AC ，∴∠AOB= ∠A ，∠BOD= ∠C，∴∠AOB= ∠BOD=35°，故答案为 35°只需证明∠AOB= ∠BOD 即可．本题考察平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的重点是娴熟掌握基本知识，属于中考常考题型．13.【答案】30【分析】解：连结 CE，如图，∵四边形 ABCE 为⊙O 的内接四边形，∴∠B+∠AEC=180°，∵∠B+∠AED=210°，∴∠CED=210°-180 =30° °，∴∠CAD= ∠CED=30°．故答案为 30．连结 CE，如图，先利用圆的内接四边形的性质获得∠B+∠AEC=180°，则可计算出∠CED=30°，而后依据圆周角定理获得∠CAD 的度数．本题考察了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；圆的内接四边形的对角互补．14.【答案】10cm【分析】解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为 R、l，圆锥形容器底面半径为 r，则由题意得 R=30，由Rl=300π得 l=20 π；由 2πr=l得 r=10cm．故答案是：10cm．由圆锥的几何特点，我们可得用半径为积为 2 铁皮制30cm，面300πcm 的扇形作一个无盖的圆锥则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求得圆形容器，锥的底面圆的半径．本题考察的知识点是圆锥的表面积，此中依据已知制作一个无盖的圆锥形容器的扇形铁皮的有关几何量，计算出圆锥的底面半径和高，是解答本题的关键．215.【答案】200（1+ x）-200（1+x）=22解：设该公司二、三月份产值均匀增添率为 x，则该公司二月份产值为 2002（1+x）万，三月份产值为 200（1+x）万，依据题200 1+x 2意得：（）-200 1+x =22（）．2故答案为：200（1+x）-200（1+x）=22．设该公司二、三月份产值均匀增添率为 x，则该公司二月份产值为 200（1+x）2万，三月份产值为 200（1+x）万，由三月份产值比二月份产值增添了 22 万，即可得出对于x 的一元二次方程，本题得解．本题考察了由实质问题抽出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的重点．16.【答案】6【分析】解：∵Rt△ABC 的内切圆⊙ I 分别与斜边 AB 、直角边 BC、CA 切于点 D、E、F， AD=3 ，BD=2 ，∴AD=AF=3 ，BD=BE=2 ，FC=EC，设 FC=EC=x，2 2 2则（3+x）+（2+x）=5 ，解得：x1=1，x 2=-6（不合题意舍去），则 AC=4，BC=3，故 Rt△ABC 的面积为：×4×3=6．故答案为：6．直接利用切线长定理得出 AD=AF=3 ，BD=BE=2 ，FC=EC，再联合勾股定理得出 FC 的长，从而得出答案．本题主要考察了切线长定理以及勾股定理，正确得出FC 的长是解题重点．217.【答案】解：（1）4x -2x-1=0；2∴x=2± 258，∴x1=1+54 ，x2=1-54 ；（2）（ y+1）2=（ 3y-1）2．解：（ y+1） =±（ 3y-1）y+1=3y-1 或 y+1=-3 y+1y1=1， y2=0 ．【分析】（1）找出a，b 及 c 的值，计算出根的判别式的值大于 0，代入求根公式即可求出解；（2）移项，而后利用因式分解法即可求解．本题考察认识一元二次方程 -公式法及因式分解法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出 a，b 及 c 的值，当根的鉴别式的值大于等于 0 时，代入求根公式即可求出解．18.【答案】解：列表以下：1 123 42 2 4 6 93 3 6 9 12以上共有12 个等可能的结果，此中积为偶数的有8 个结果，积为奇数的有 4 个结果，∴P（甲胜） =23， P（乙胜） =13 ，∵P（甲胜）＞ P（乙胜），∴规则不公正．【分析】第一依据题意画出表格，而后由表格求得所有等可能的结果，由两个数字的积为奇数和偶数的状况，再利用概率公式即可求得答案．本题考察游戏公正性、列表法和树状图法，解答此类问题的重点是明确题意，写出所有的可能性．19.【答案】2【分析】解：（1）袋中有红色球为：2 个，故答案为：2；（2）画树状图得：以上共 27 个等可能的结果，此中三次都为红色的有 8 个结果，∴P（三次都为红色）=．（1）依据概率公式即可获得结论；（2）先利用画树状图展现所有 27 种等可能的结果数，再找出 8 次都摸到红球的结果数，而后依据概率公式求解．本题考察了树状图法与列表法求概率．此题难度不大，解题的重点是依据题意画出树状图或列出表格，注意树状图法与列表法能够不重不漏的表示出所有等可能的结果，注意用到的知识点为：概率=所讨状况数与总状况数之比．20.【答案】60【分析】解：（1）20÷0.1=200（人），因此本次检查的样本为 200 名初中毕业生的视力状况，则 a=200×0.3=60，b=10÷；如图，（2）∵共有 200 个数据，此中位数是第 100 和第 101 个数据的均匀数，而第100 和第 101 个数据均落在 4.6 ≤x＜，∴甲同学的视力状况在 4.6 ≤x＜；（3）（）×3000=1050答：预计全区初中毕业生中视力正常的学生有1050 人．（1）先依据4.0 ≤x＜4.3 的频数和频次求得总人数，再依据频数 =频次×总数分别求得 a和 b，据此可补全图形；（2）依据中位数的定义求解可得；（3）用样本值后边两组的频次和乘以 3000 可预计全区初中毕业生中视力正常的学生数．本题考察了频数（率）散布直方图：频次散布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频次．直角坐标系中的纵轴表示频次与组距的比值，即小长方形面积 =组距×频数组距=频次．从频次散布直方图能够清楚地看出数据散布的整体态势，可是从直方图自己得不出原始的数据内容．也考查了用样本预计整体．21.【答案】60°【分析】解：（1）连结 ID 、IE，∵∠B=50 °，∠C=70°，∴∠A=60 °，∵⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别是 D、E、F，∴∠IDA= ∠IEA=90 °，∴∠DIE=180 °-60 °=120 °，∴∠DFE 的度数为：60 °；故答案为：60°；（2）∵∠DFE=50°，∴∠DIE=100 °，∵AB 、AC 分别与⊙I 相切于点 D、E，∴∠ADI= ∠AEI=90 °，∴∠A=80 °．（1）直接利用切线的性质联合三角形内角和定理以及圆周角定理得出答案；（2）利用圆周角定理得出∠DIE 的度数，从而得出∠A 的度数．本题主要考察了三角形内切圆与心里：三角形的心里到三角形三边的距离相等；三角形的心里与三角形极点的连线均分这个内角．22.【答案】解：（1）x=-1代入得：1+m+m-2=0，解得 m=12 ；（2）∵a=1， b=-m，c=m-2，2 2∴b -4ac=m -4m+8，2 2∴b -4ac=（ m-2） +4，2∵（ m-2）≥0，∴（ m-2）2 +4＞ 0，∴无论 m 为任何实数，该方程都有两个不相等的实数．【分析】（1）依据方程的解的观点将x=-1 代入，解对于 m 的方程即可得；（2）依据△=m 2 （ 2 ＞即可得．）-4m+8= m-2 +4本题考察了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的重点是：（1）代入x=1 求出 m 值；（2）切记“当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根”．23.【答案】（1）证明：连结AD∵AB⊙ O 的直径，∴∠ADB=90 °，又∵AB=AC，∴BD =CD ．（2）∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠C=12 （180 °-50 °）=65 °，∵AB⊙ O 的直径，∴∠AEB=90 °，∵∠BAC=50 °，∴∠ABE=40 °，∴∠EBC=25 °，∵四边形 ABDE 内接于⊙ O，∴∠BAC+∠BDE =180 °，∵∠EDC+∠BDE =180 °，∴∠EDC=∠BAC =50 °．【分析】（1）连结 AD ，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题．（2）依据∠EBC=∠ABC- ∠ABE ，求出∠ABC ，∠ABE 即可，证明∠DEC=∠ABC 即可求出∠DEC．本题考察圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的重点是学会增添常用协助线，娴熟掌握基本知识，属于中考常考题型．24.【答案】（1）证明：连结OM 、 ON，∵大圆的弦AB、AC 分别切小圆于点M、 N．∴AM =AN， OM ⊥AB， ON⊥AB，∴AM =12 AB， AN=12 AC，∴AB=AC；（2）解：连结 AO，则 AO=5∵AB=8，∴AM =4，在 Rt△AOM 中， OM 2=OA2-AM2 OM 2=52-42，∴OM =3，即小圆的半径为3．【分析】（1）连结 OM 、ON，依据切线长定理得出 AM=AN ，OM ⊥AB ，ON⊥AB ，依据垂径定理得出 AM= AB ，AN=AC ，即可证得结论；（2）连结 AO ，则 AO=5，而后依据勾股定理即可求得．本题考察了切线的性质，勾股定理以及垂径定理，熟练掌握性质定理是解本题的重点．25.【答案】解：设每件售价为x 元，则可售出这类商品[150-5（ x-50） ]件，依据题意得：（x-40） [150-5 （ x-50） ]=1500 ，2解得： x1=50 ，x2=70，当 x=50 时， 150-5（ x-50）=150；当 x=70 时， 150-5（ x-50）=50．答：每件售价为50 元时，销售这类商品150 件；每件售价为70 元时，销售这类商品 50 件．【分析】设每件售价为 x 元，则可售出这类商品 [150-5 （x-50）]件，依据总收益 =每件的收益×销售数目，即可得出对于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论．本题考察了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的重点．26.【答案】解：（1）以下图：（ 2）连结 OD，∵BD 均分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD ，∵OB、 OD 是半径， OB=OD ，∴∠ODB=∠ABD ，∴∠CBD=∠ODB ，∴OD ∥BC，∵∠C=90 °，∴∠ODA=90 °，∵D 是半径的外端点，∴AC 与⊙ O 相切．（ 3）设⊙ O 的半径为 x，在 Rt△AOD 中，由勾股定理得： 32+x2=（ 9-x）2，解得： x=4，∴⊙O 的半径为4．【分析】（1）作线段 AB 的中垂线与 AB 交于点 O，以O 为圆心、OB 长度为半径作图可得；（2）连结 OD，由BD 均分∠ABC 知∠ABD= ∠CBD，依据 OB=OD 知∠ODB= ∠ABD ，从而得∠CBD=∠ODB ，再由OD∥BC 知∠C=90°，据此即可得证；（3）设⊙O 的半径为 x，在Rt△AOD 中，由勾股定理得：3222，解之即+x =（9-x）可得出 x 的值．此题考查了作图-复杂作图线的判断与性质等知识题综合性很强，解、切．此题的重点是注意数形联合思想的应用．27.【答案】50130【分析】解：（1）∠AP1B=∠AOB=×100°=50°，∠AP2B=180°-∠APB=180°-50 °=130°；故答案为 50，130；（2）当P 在优弧 AB 上时，∠A PB=∠AOB=（）°；当 P 在劣弧 AB 上时，∠A PB=180°-（）°；（3）如图劣弧 AB （实线部分且不包括 A 、B 两个端点）就是所知足条件的点 C 所构成的图形．（1）依据圆周角定理计算∠AP1B 的度数，而后依据圆内接四边形的性质求∠AP2B 的度数；（2）与（1）的求法同样（注意分类议论）；（3）先作AB 的垂直均分线获得 AB 的中点 P，再以 AB 为直径作圆交 AB 的垂直均分线于 O，而后以 O 点为圆心，OA 为半径作⊙O，则⊙O 在⊙P内的弧为知足条件的点 C 所构成的图形．本题考察了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础长进行作图，一般是联合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的重点是熟习基本几何图形的性质，联合几何图形的基天性质把复杂作图拆解成基本作图，逐渐操作．也考察了圆周角定理．。
江苏省南京市雨花台区等5地2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题(无答案)
2024－2025学年度第一学期期中学情分析样题九年级数学注意事项：1、本试卷共6页、全卷满分120分、考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2、请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3、答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置。
在其他位置答题一律无效．4、作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．x －2＝0B．C ．2x －3y ＝1D ．2．已知⊙O 的半径为3cm ，圆心O 到直线l 的距离为2cm ，则l 与⊙O 的交点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．33．若关于x 的方程有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥0B ．m ≥－1C ．m >－1D ．m >14．若一组数据2，4，6，8，x 的方差比另一组数据1，3，5，7，9的方差大，则x 的值可能是（ ）A ．12B ．10C ．2D ．05．如图，PA 与⊙O 相切于点A ．PO 交⊙O 于点B ，点C 在PA 上，且CB ＝C A ．若OA ＝5，PA ＝12，则CA 的长为（ ）A ．3B ．C ．3.5D ．46．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，若⊙O 的半径为1，AB ＝1，C ＋∠D 的度数为（ ）211x =-21x =()241x m -=+103CD =A ．120°B ．135°C ．150°D ．165°二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．一组数据3，5，8，－1的极差是______．8．某校九年级甲班40名学生中，5人13岁，30人14岁，5人15岁．则这个班级学生的平均年龄为______岁．9．已知扇形的圆心角为120°，半径是10，则扇形的面积为______．10．写出一个两根分别为－1和0的一元二次方程：______．11．设是关于x 的方程的两个根，且，则m 的值为______．12．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积为______．13．如图，AB 是⊙O 的弦，点C 在⊙O 上（不与A ，B 重合）．若∠AOB ＝70°，则∠ACB 的度数为______°．14．如图，AB 是⊙O 的弦，C 是的中点，OC 交AB 于点D ．若AB ＝6，CD ＝2，则⊙O 的半径为______．15是关于x 的方程（a ，b ，c 是有理数，a ≠0）的一个根，则该方程的另一个根是______．16．如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点C 在⊙O 外，连接AC ，BC ，OC ．若∠B ＝30°，∠ACB ＝90°，则OC 长的最大值为______．12,x x 230x x m -+=12121x x x x +-=AB 1-20ax bx c ++=三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）解方程：（1）；（2）．18．（6分）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A （0，4），B （－4，4），C （－6，2），该圆弧所在圆的圆心为P ．（1）点P 的坐标为______，⊙P 的半径为______．（2）若扇形PAC 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为______．19．（7分）如图，用长15m 的铝合金条制成“田”字形窗框，窗框的宽和高各是多少时，窗户的透光面积为（铝合金条的宽度不计）?20．（8分）已知关于x 的方程（m 为常数）．（1）求证：不论m 取何值，方程总有两个实数根；（2）若m >0，且该方程的两个实数根的差为3，则m 的值为______．21．（8分）甲、乙两名同学进行射击练习，在相同条件下各射靶10次，其中9环以上（含9环）为优秀，2320x x -+=()()22121x x +=+26m 22450x mx m --=将射击结果统计如下表：命中环数5678910甲命中环数的次数142111乙命中环数的次数12421（1）补充完成下面的统计表：平均分方差中位数优秀率甲7______ 6.520%乙______1.2______10%（2）甲同学说：“我的优秀率比乙高，所以我的成绩比乙好”；乙同学说：“我的成绩比甲好”．写出两条支持乙同学观点的理由．22、（7分）如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB ＝CD ，．求证：四边形ABCD 是矩形．23．（8分）某商店经销的某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售600件；售价每涨价1元，销售量将减少10件．如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利10000元．问：该商店销售了这种商品多少件?每件售价多少元?24．（7分）已知AB 是⊙O 的弦．（1）如图①，只用无刻度的直尺作弦CD ，使CD ＝AB ；（2）如图②，用无刻度的直尺和圆规作弦CD ，使CD ＝AB ，且AB 与CD 的夹角为60°．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）25．（9分）定义：如果关于x 的一元二次方程（a ，b ，c 均为常数，a ≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．AB CD ∥20ax bx c ++=（1）下列方程中，是“邻根方程”的是______（填序号）．①；②；③．（2）若（x －2）（x ＋n ）＝0是“邻根方程”，求n 的值．（3）若一元二次方程（b ，c 均为常数）为“邻根方程”，直接写出b ，c 满足的数量关系．26．（8分）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 交CD 于点E ．（1）若，求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若E 是的中点，且，AC ＝8，求BC 的长．27．（10分）【概念理解】定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．例如，如图①，AB 与⊙O 相切于点C ，CD 是⊙O 的弦，则∠ACD 和∠BCD 都是⊙O 的弦切角．【性质探究】（1）性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．已知：如图②，AB 与⊙O 相切于点C ，⊙O 是△CDE 的外接圆．求证：∠BCD ＝∠E ．【性质应用】（2）如图③，AB 与⊙O 相切于点C ，CD 是⊙O 的弦，E 是⊙O 上的动点．若△CDE 是等腰三角形，∠BCD ＝α，则∠D 的度数为______（用含α的代数式表示）．20x x +=2210x x -+=2320x x ++=20x bx c ++=AD BC ∥AC AE =在的直线与⊙O相切，且有一条对角线平分一组对角，直接写出CD的长．。
2022-2023学年江苏省南京市联合体九年级(上)期中数学试题及答案解析
2022-2023学年江苏省南京市联合体九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )A. 2x=7B. x2+y=5C. x=1+1 D. x 2+x=4x2. 若关于x的方程x2−mx+2=0有一个根是1，则m的值为( )A. 3B. 2C. 1D. −33. 用配方法解方程x2−4x+3=0，下列变形正确的是( )A. (x−2)2=−7B. (x+2)2=1C. (x+2)2=−1D. (x−2)2=14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=25°.若以点C为圆心，CA长为半径的圆与AB交于点D，则AD⏜的度数为( )A. 25°B. 50°C. 60°D. 65°5. 如图，C是AB⏜的中点，弦AB=8，CD⊥AB，且CD=2，则AB⏜所在圆的半径为( )A. 4B. 5C. 6D. 106. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC=90°，AB=√2，BC=1，则⊙O的半径为( )A. √3B. √52C. √102D. √2+12二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7. 方程x2=x的根是______．8. 已知⊙O的半径为6cm，线段OP的长为4cm，则点P在⊙O______(填“内”、“外”或“上”)．9. 若关于x的方程x2−2x+m=0没有实数根，则m的值可以是______(写出一个符合条件的值即可)．10. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD//AB.若∠ABD=65°，则∠ADC=______ 度．11. 如图，AC，BC是⊙O的弦，PA，PB是⊙O的切线．若∠C=50°，则∠P=______°.12. 某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到64万只．设七、八月份口罩产量的月平均减少率为x，则可列方程为______．13. 已知a，b是方程x2+x−3=0的两个根，则ab−2022a−2022b的值是______．14. 用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为______cm．15. 若关于x的一元二次方程a(x+ℎ)2+k=0的两根分别为−3、2，则方程a(x−1+ℎ)2+ k=0的根为______．16. 如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O内，∠ACB=90°，∠ABC=30°，连接OC，若⊙O的半径是4，则OC长的最小值为______．三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。
南京市重点中学九年级上学期期中考试数学试卷及答案解析(共六套)
南京市重点中学九年级上学期期中考试数学试卷（一）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．如果一元二次方程x2﹣ax+3=0经配方后，得（x﹣2）2=1，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣42．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．（x﹣1）（x+2）=1 B．3x2﹣2xy﹣5y2=0C．x2+=0 D．ax2+bx+c=03．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠04．如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（）A． B． C． D．5．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，c＞0 C．b＞0，c＞0 D．a，b，c都小于06．已知正六边形的半径为4，则这个正六边形的面积是（）A．4 B．24 C．4D．247．若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+48．如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上，剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C都在圆周上，将剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A．3cm B．2cm C．6cm D．12cm二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）9．二次函数y=2x2﹣4x﹣4的顶点坐标是．10．如果用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，那么该圆锥的侧面积为．11．已知四边形ABCD内有一点E，满足EA=EB=EC=ED，且∠BCD=130°，那么∠BAD的度数为°．12．某校男子足球队队员的年龄分布为如图的条形图，则这些队员年龄的众数、中位数分别是．13．现有60件某种产品，其中有3件次品，那么从中任意抽取1件产品恰好抽到次品的概率是．14．若m是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣5=0的一个根，则代数式am2+bm﹣7的值为．15．如图，一个大圆和四个面积相等的小圆，已知大圆半径等于小圆直径，小圆半径为a厘米，那么阴影部分的面积为平方厘米．16．某种药品原来售价60元，连续两次降价后售价为48.6元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是．17．写出一个以﹣1和﹣2为两根的一元二次方程（二次项系数为1）．18．如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是．三、解答题（共10小题，满分86分）19．计算：（1）（3﹣）（3+）+（2﹣）；（2）（﹣1）2016+π0﹣（）﹣1+．20．解方程：（1）2x2﹣5x+2=0；（2）x+3﹣x（x+3）=0．21．市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：第一次第二次第三次第四次第五次第六次甲10 8 9 8 10 9乙10 7 10 10 9 8（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙的平均成绩．（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适，请说明理由．22．如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线与边BC相交于点D，与△ABC的外接圆相交于点C．求证：IE=BE．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．24．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．25．某旅行社的一则广告如下：我社推出去并冈山红色旅游，收费标准为：如果组团人数不超过30人，人均收费800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不得低于500元，甲公司想分批组织员工到井冈山红色旅游学习．（1）如果第一批组织38人去学习，则公司应向旅行社交费元；（2）如果公司计划用29250元组织第一批员工去学习，问这次旅游学习应安排多少人参加？26．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．27．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．28．如图，半圆O的直径MN=6cm，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=6cm，半圆O以1cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点M、N始终在直线BC 上，设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=4cm．（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在圆相切时，如果半圆O与直线MN 围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．如果一元二次方程x2﹣ax+3=0经配方后，得（x﹣2）2=1，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．【分析】配方的结果变形后，化成一般式，比较即可确定出a的值．【解答】解：由（x﹣2）2=1，得到x2﹣4x+4=1，即x2﹣4x+3=0，∵方程x2﹣ax+3=0经配方后，得（x﹣2）2=1，∴x2﹣ax+3=x2﹣4x+3，则a=4，故选C．2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．（x﹣1）（x+2）=1 B．3x2﹣2xy﹣5y2=0C．x2+=0 D．ax2+bx+c=0【考点】A1：一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：A、是一元二次方程，故A符合题意；B、是二元二次方程，故B不符合题意；C、是分式方程，故C不符合题意；D、a=0时是一元一次方程，故D不符合题意；故选：A．3．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0【考点】AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k 的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴，即，解得k＞﹣1且k≠0．故选B．4．如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（）A． B． C． D．【考点】P8：利用轴对称设计图案；X4：概率公式．【分析】由在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有13种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：如图：∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有5个情况，∴使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：．故选C．5．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，c＞0 C．b＞0，c＞0 D．a，b，c都小于0【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】根据函数图象可以得到以下信息：a＜0，b＞0，c＞0，再结合函数图象判断各选项．【解答】解：由函数图象可以得到以下信息：a＜0，b＞0，c＞0，A、错误；B、错误；C、正确；D、错误；故选C．6．已知正六边形的半径为4，则这个正六边形的面积是（）A．4 B．24 C．4D．24【考点】MM：正多边形和圆．【分析】边长为4的正六边形可以分成六个边长为4的正三角形，计算出正六边形的面积即可．【解答】解：连接正六变形的中心O和两个顶点D、E，得到△ODE，因为∠DOE=360°×=60°，又因为OD=OE，所以∠ODE=∠OED=÷2=60°，则三角形ODE为正三角形，∴OD=OE=DE=4，=OD•OE•sin60°=×4×4×=4．∴S△ODE正六边形的面积为6×4=24．故选D．7．若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题．【解答】解：将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位，∵y=（x﹣1）2+2，∴原抛物线图象的解析式应变为y=（x﹣1+1）2+2﹣3=x2﹣1，故答案为C．8．如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上，剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C都在圆周上，将剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A．3cm B．2cm C．6cm D．12cm【考点】MP：圆锥的计算．【分析】圆的半径为12，求出AB的长度，用弧长公式可求得的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π．【解答】解：AB===12cm，∴==6π∴圆锥的底面圆的半径=6π÷（2π）=3cm．故选A．二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）9．二次函数y=2x2﹣4x﹣4的顶点坐标是（1，﹣6）．【考点】H3：二次函数的性质．【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，确定顶点坐标即可．【解答】解：∵y=2x2﹣4x﹣4=2（x﹣1）2﹣6，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣6）．故本题答案为：（1，﹣6）．10．如果用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，那么该圆锥的侧面积为50πcm2．【考点】MP：圆锥的计算．【分析】圆锥的侧面积=半圆的面积，把相应数值代入即可求解．【解答】解：由于用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，则圆锥的侧面积为π•102÷2=50πcm2．故答案为50πcm211．已知四边形ABCD内有一点E，满足EA=EB=EC=ED，且∠BCD=130°，那么∠BAD的度数为50 °．【考点】KG：线段垂直平分线的性质．【分析】先判断出四边形ABCD是圆内接四边形，再根据圆内接四边形的对角互补求解即可．【解答】解：∵EA=EB=EC=ED，∴四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD=180°﹣∠BCD=180°﹣130°=50°．故答案为：50．12．某校男子足球队队员的年龄分布为如图的条形图，则这些队员年龄的众数、中位数分别是15，15 ．【考点】VC：条形统计图；W4：中位数；W5：众数．【分析】根据众数和中位数的定义直接解答即可．【解答】解：因为15岁年龄的人数最多，所以这些队员年龄的众数为：15；把这些数从小到大排列，则队员年龄的中位数是15；故答案为：15，15．13．现有60件某种产品，其中有3件次品，那么从中任意抽取1件产品恰好抽到次品的概率是．【考点】X4：概率公式．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵有60件某种产品，其中有3件次品，∴从中任意抽取1件产品恰好抽到次品的概率是=；故答案为：．14．若m是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣5=0的一个根，则代数式am2+bm﹣7的值为﹣2 ．【考点】A3：一元二次方程的解．【分析】把x=m代入已知方程求得（am2+bm）的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．【解答】解：∵m是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣5=0的一个根，∴am2+bm﹣5=0，则am2+bm=5，∴am2+bm﹣7=5﹣7=﹣2．故答案是：﹣2．15．如图，一个大圆和四个面积相等的小圆，已知大圆半径等于小圆直径，小圆半径为a厘米，那么阴影部分的面积为πa2平方厘米．【考点】MO：扇形面积的计算．【分析】观察图形得到大圆由4个图形A、4个图形B和4个图形C组成，而阴影部分由1个图形A、1个图形B和1个图形C组成，所以阴影部分的面积=S 大圆，然后根据圆的面积公式计算．【解答】解：图中阴影部分的面积=S大圆=•π•（2a）2=πa2．故答案为πa2．16．某种药品原来售价60元，连续两次降价后售价为48.6元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是10% ．【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】设平均每次下降的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的（1﹣x），那么第二次降价后的售价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．【解答】解：设平均每次下降的百分率为x，根据题意列方程得60（1﹣x）2=48.6，解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不符合题意，舍去）．答：这个百分率是10%．故答案为：10%．17．写出一个以﹣1和﹣2为两根的一元二次方程（二次项系数为1）（x+1）（x+2）=0或x2+3x+2=0 ．【考点】AB：根与系数的关系．【分析】由于方程的两根为x1=﹣1和x2=﹣2，可以利用a（x﹣x1）（x﹣x2）=0（a≠0）或x2+（x1+x2）x+x1x2=0来解答．【解答】解：法（1），将一元二次方程的两根x1=﹣1和x2=﹣2代入a（x﹣x1）（x﹣x2）=0（a≠0）得，a[x﹣（﹣1）][x﹣（x﹣2）]=0（a≠0），a（x+1）（x+2）=0，∵方程的二次项系数为1，∴方程为（x+1）（x+2）=0．展开得，x2+3x+2=0．法（2），两根之和为﹣1+（﹣2）=﹣3①；两根之积为﹣1×（﹣2）=2②；根据根与系数的关系，方程为x2+（x1+x2）x+x1x2=0③，将①②代入③得，x2+3x+2=0．18．如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是2．【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系；PA：轴对称﹣最短路线问题．【分析】作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，则DP+CP 最小，根据解直角三角形求出CE，根据轴对称求出DP′+CP′=CE即可．【解答】解：作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，则根据垂径定理得：E在⊙O上，连接EC交AB于P′，则若P在P′时，DP+CP 最小，∵C是半圆上的一个三等分点，∴∠AOC=×180°=60°，∵D是的中点，∴∠AOE=∠AOC=30°，∴∠COE=90°，∴CE=OC=2，即DP+CP=2，故答案为2．三、解答题（共10小题，满分86分）19．计算：（1）（3﹣）（3+）+（2﹣）；（2）（﹣1）2016+π0﹣（）﹣1+．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．【分析】（1）直接利用平方差公式以及利用二次根式乘法计算法则得出答案；（2）直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和立方根的性质分别化简求出答案．【解答】解：（1）原式=原式=9﹣7+2﹣2=2；（2）原式=1+1﹣3+2=1．20．解方程：（1）2x2﹣5x+2=0；（2）x+3﹣x（x+3）=0．【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；A7：解一元二次方程﹣公式法．【分析】（1）利用求根公式进行解答；（2）通过提取公因式（x+3）对等式的左边进行因式分解，然后解方程．【解答】解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=2，∴b2﹣4ac=9，∴x=，∴x1=2，x2=；（2）原方程可变形为（x+3）（1﹣x）=0 ∴x+3=0或1﹣x=0，∴x1=﹣3，x2=1．21．市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：第一次第二次第三次第四次第五次第六次甲10 8 9 8 10 9乙10 7 10 10 9 8（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙的平均成绩．（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适，请说明理由．【考点】W7：方差；W1：算术平均数．【分析】（1）根据图表得出甲、乙每次数据和平均数的计算公式列式计算即可；（2）根据方差公式S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，即可求出甲乙的方差；（3）根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，找出方差较小的即可．【解答】解：（1）甲的平均成绩是：（10+8+9+8+10+9）÷6=9，乙的平均成绩是：（10+7+10+10+9+8）÷6=9；（2）甲的方差= [（10﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2]=．乙的方差= [（10﹣9）2+（7﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2]=．（3）推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．22．如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线与边BC相交于点D，与△ABC的外接圆相交于点C．求证：IE=BE．【考点】MI：三角形的内切圆与内心；MA：三角形的外接圆与外心．【分析】连接IB．只要证明∠EBI=∠EIB即可解决问题．【解答】证明：连接IB．∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBD．又∵∠CAD=∠DBE∴∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠IBD=∠IBD+∠DBE=∠IBE，∴BE=IE．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．【考点】AA：根的判别式；A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质．【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．【解答】（1）证明：∵△=（2k+1）2﹣4（k2+k）=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，即x1=k，x2=k+1，∵k＜k+1，∴AB≠AC．当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，综合上述，k的值为5或4．24．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．【分析】先根据题意画树状图，再根据所得结果计算两个数字之和能被3整除的概率．【解答】解：（1）树状图如下：（2）∵共6种情况，两个数字之和能被3整除的情况数有2种，∴两个数字之和能被3整除的概率为，即P（两个数字之和能被3整除）=．25．某旅行社的一则广告如下：我社推出去并冈山红色旅游，收费标准为：如果组团人数不超过30人，人均收费800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不得低于500元，甲公司想分批组织员工到井冈山红色旅游学习．（1）如果第一批组织38人去学习，则公司应向旅行社交费27360 元；（2）如果公司计划用29250元组织第一批员工去学习，问这次旅游学习应安排多少人参加？【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）首先表示出38人是平均每人的费用，进而得出总费用；（2）表示出每人平均费用为：800﹣10（x﹣30），进而得出等式求出答案．【解答】解：（1）∵人数多于30人，那么每增加1人，人均收费降低10元，∴第一批组织38人去学习，则公司应向旅行社交费：38×[800﹣（38﹣30）×10]=27360；故答案为：27360；（2）设这次旅游应安排x人参加，∵30×800=24000＜29250，∴x＞30，根据题意得：x[800﹣10（x﹣30）]=29250，整理得，x2﹣110x+2925=0，解得：x1=45，x2=65∵800﹣10（x﹣30）≥500，∴x≤60．∴x=45．答：这次旅游应安排45人参加．26．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．【考点】MD：切线的判定．【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；（2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．【解答】（1）解：∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，∴∠ACB=90°，又∵BC=3，AB=5，∴由勾股定理得AC=4；（2）证明：连接OC∵AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC=∠BAC，又∵AD⊥DC，∴∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA=∠CBA，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠OAC+∠OBC=90°，∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°，∴DC是⊙O的切线．27．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．【考点】HC：二次函数与不等式（组）；FA：待定系数法求一次函数解析式；H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）先利用待定系数法先求出m，再求出点B坐标，利用方程组求出一次函数解析式．（2）根据二次函数的图象在一次函数的图象上面即可写出自变量x的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴0=1+m，∴m=﹣1，∴抛物线解析式为y=（x+2）2﹣1=x2+4x+3，∴点C坐标（0，3），∵对称轴x=﹣2，B、C关于对称轴对称，∴点B坐标（﹣4，3），∵y=kx+b经过点A、B，∴，解得，∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1，（2）由图象可知，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x≤﹣4或x≥﹣1．28．如图，半圆O的直径MN=6cm，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=6cm，半圆O以1cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点M、N始终在直线BC 上，设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=4cm．（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在圆相切时，如果半圆O与直线MN 围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）随着半圆的运动分四种情况：①当点N与点C重合时，AC与半圆相切，②当点O运动到点C时，AB与半圆相切，③当点O运动到BC的中点时，AC再次与半圆相切，④当点O运动到B点的右侧时，AB的延长线与半圆所在的圆相切．分别求得半圆的圆心移动的距离后，再求得运动的时间．（2）在1中的②，③中半圆与三角形有重合部分．在②图中重叠部分是圆心角为90°，半径为6cm的扇形，故可根据扇形的面积公式求解．在③图中，所求重叠部分面积为=S△POB +S扇形DOP．【解答】解：（1）①如图1所示：当点N与点C重合时，AC⊥OE，OC=ON=3cm，∴AC与半圆O所在的圆相切．∴此时点O运动了1cm，所求运动时间为：t=1（s）②如图2所示；当点O运动到点C时，过点O作OF⊥AB，垂足为F．在Rt△FOB中，∠FBO=30°，OB=6cm，则OF=3cm，即OF等于半圆O的半径，所以AB与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了4cm，所求运动时间为：t=4（s）③如图3所示；过点O作OH⊥AB，垂足为H．当点O运动到BC的中点时，AC⊥OC，OC=OM=3cm，∴AC与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了7cm，所求运动时间为：t=7（s）．④如图4所示；当点O运动到B点的右侧，且OB=6cm时，过点O作OQ⊥AB，垂足为Q．在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，则OQ=3cm，即OQ等于半圆O所在的圆的半径，所以直线AB与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了16cm，所求运动时间为：t=16（s）．（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图2与3所示的两种情形．①如图2所示：重叠部分是圆心角为90°，半径为3cm的扇形，所求重叠部分面积==（cm2）；②如图③所示：设AB与半圆O的交点为P，连接OP，过点O作OH⊥AB，垂足为H．则PH=BH．在Rt△OBH中，∠OBH=30°，OB=3cm则OH=1.5cm，BH=cm，BP=3cm，S△POB===（cm2）又因为∠DOP=2∠DBP=60°所以S扇形DOP==（cm2）所求重叠部分面积为：S△POB +S扇形DOP=（cm2）．南京市重点中学九年级上学期期中考试数学试卷（二）一、选择题1、下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A、 B、 C、 D、2、下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A、B、C、D、3、下面调查中，适合采用普查的是（）A、调查你所在的班级同学的身高情况B、调查全国中学生心理健康现状C、调查我市食品合格情况D、调查无锡电视台《第一看点》收视率4、下列事件是随机事件的是（）A、购买一张福利彩票，中特等奖B、在一个标准大气压下，加热水到100℃，沸腾C、任意三角形的内角和为180°D、在一个仅装着白球和黑球的袋中摸出红球5、在同一直角坐标系中，一次函数y=kx﹣k与反比例函数y= （k≠0）的图象大致是（）A、B、C、D、6、下列性质中，矩形、菱形、正方形都具有的是（）A、对角线相等B、对角线互相垂直C、对角线平分一组对角D、对角线互相平分7、矩形中，对角线把矩形的一个直角分成1：2两部分，则矩形对角线所夹的锐角是（）A、30°B、45°C、60°D、90°8、点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在反比例函数y= 的图象上，则y1， y2的大小关系是（）A、y1＞y2B、y1=y2C、y1＜y2D、不能确定9、若关于x的分式方程+ =2有增根，则m的值是（）A、m=﹣1B、m=0C、m=3D、m=0或m=310、如图，在▱ABCD中，点E为AB的中点，F为BC上任意一点，把△BEF沿直线EF翻折，点B的对应点B′落在对角线AC上，则与∠FEB一定相等的角（不含∠FEB）有（）A、2个B、3个C、4个D、5个二、填空题11、当x=________时，分式的值为0．12、若在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．13、若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为________．14、如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x 轴的负半轴上，函数y= （x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为________．15、如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件________使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．16、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于________．17、用“☆”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a☆b=b2+1．例如7☆4=42+1=17，那么5☆3=________；当m为实数时，m☆（m☆2）=________．=4 ，点P、Q、K分别为线段AB、BC、18、如图，在△ABC中，AB=BC=4，S△ABCAC上任意一点，则PK+QK的最小值为________．三、解答题19、计算：(1)（）2﹣|﹣2|+（﹣2）0；(2)（+ ）2﹣（+ ）（﹣）．20、解方程：(1)= ；(2)x2﹣7x+10=0．21、先化简，再求值：÷（﹣），其中a= +1，b= ﹣1．22、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)填空：①当AM的值为________时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为________时，四边形AMDN是菱形．23、某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？(2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？24、如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y2= （m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)连结OA、OB，求△AOB的面积；(3)直接写出当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围．25、如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD 方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动(1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？(2)若点E在线段BC上，BE=2cm，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、M、N恰好能组成平行四边形？26、如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．。