构造函数---小题(汇总)

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构造函数之专题训练

.. “构造函数”之专题训练一、选择题1.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）＞0，且2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）对x∈（0，+∞）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A.＜＜B.＜＜C.＜＜D.＜＜2.已知函数f（x）满足：f（x）+2f′（x）＞0，那么下列不等式成立的是（）A. B.＜C.＞D.f（0）＞e2f（4）3.若函数f（x）满足f′（x）-f（x）=2xe x，f（0）=1，其中f′（x）为f（x）的导函数，则当x＞0时，′的最大值为（）A. B.2 C.2 D.44.己知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x），且当x≠2时，其导函数f′（x）满足f′（x）＞xf′（x），若a∈（2，3），则（）A.f（log2a）＜f（2a）＜f（2）B.f（2a）＜f（2）＜f（log2a）C.f（2a）＜f（log2a）＜f（2）D.f（2）＜f（log2a）＜f（2a）5.设f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，当x＞0时，有′＜0恒成立，则＞的解集为（）A.（-2，0）∪（2，+∞）B.（-2，0）∪（0，2）C.（-∞，-2）∪（2，+∞）D.（-∞，-2）∪（0，2）6.已知奇函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x），当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，且f（-1）=0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）A.（-1，0）∪（1，+∞）B.（-∞，1）∪（0，1）C.（0，1）∪（1，+∞）D.（-∞，-1）∪（-1，0）7.已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f′（x），且满足f（1）=0，当x＞0时，xf′（x）＜2f（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A.（-∞，-1）∪（0，1）B.（-∞，-1）∪（1，+∞）C.（-1，0）∪（1，+∞）D.（-1，0）∪（0，1）8.已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=，b=-3f（-3），c=，则a，b，c的大小关系正确的是（）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜c＜aD.c＜a＜b9.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f′（x）＜1，则不等式f（1g2x）＜1g2x 的解集为（）A.，B.（10，+∞）C.，D.，，∞10.定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＜e，f（0）=e+2（其中e为自然对数的底数），则不等式e x f（x）＞e x+1+2的解集为（）A.（-∞，0）B.（-∞，e+2）C.（-∞，0）∪（e+2，+∞）D.（0，+∞）11.设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有xf′（x）＜f（x）成立，则（）A.3f（2）＞2f（3）B.3f（2）=2f（3）C.3f（2）＜2f（3）D.3f（2）与2f（3）的大小不确定．12.已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，f′（x）为其导函数，若对于任意实数，都有f（x）＞f′（x），其中e为自然对数的底数，则（）A.ef（2015）＞f（2016）B.ef（2015）＜f（2016）C.ef（2015）=f（2016）D.ef（2015）与f（2016）大小关系不确定13.设函数f′（x）的偶函数f（x）（x∈R且x≠0）的导函数，f（2）=0且当x＞0时，xf′（x）-f（x）＞0，则使f（x）＜0成立的x的取值范围为（）A.（-∞，-2）∪（0，2）B.（-2，0）∪（0，2）C.（-2，0）∪（2，+∞）D.（-∞，-2）∪（2，+∞）14.对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-1）f′（x）≥0，则必有（）A.f（0）+f（2）＜2f（1）B.f（0）+f（2）≤2f （1）C.f（0）+f（2）≥2f（1）D.f（0）+f（2）＞2f （1）15.函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2015，对任意的x∈R．都有f′（x）＜3x2成立，则不等式f（x）＜x3+2016的解集为（）A.（-1，+∞）B.（-1，0）C.（-∞，-1）D.（-∞，+∞）16.已知函数y=f（x）（x∈R）的图象过点（1，0），f′（x）为函数f（x）的导函数，e 为自然对数的底数，若x＞0，xf′（x）＞1下恒成立，则不等式f（x）≤lnx的解集为（）A.（0，]B.（0，1]C.（0，e]D.（1，e]17.已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞-2f（x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1-x）的解集是（）A.（，+∞）B.（-∞，）C.（-∞，0）∪（0，）D.（0，）18.已知函数y=f（x）定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时xf′（x）＜-f（x）成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f（），b=f（1），c=-2f（log2），则a，b，c的大小关系是（）A.c＞a＞bB.c＞b＞aC.a＞b＞cD.a＞c＞b19.定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导数，则（）A.8＜＜16B.4＜＜8C.3＜＜4D.2＜＜320.已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）＞f（x），则下列结论正确的是（）A.f（1）＞ef（0）B.f（1）＜ef（0）C.f（1）＞f（0）D.f（1）＜f（0）21.已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（-1）=-1，且当x＞0时，有xf′（x）＞f（x），则不等式f（x）＞x的解集是（）A.（-1，0）B.（1，+∞）C.（-1，0）∪（1，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）1.B2.A3.B4.C5.B6.A7.D8.B9.D 10.A 11.A 12.A 13.B 14.C 15.A 16.B 17.C 18.A 19.B 20.A 21.C高中数学试卷第2页，共10页.. “构造函数”之专题训练答案和解析【答案】1.B2.A3.B4.C5.B6.A7.D8.B9.D 10.A 11.A 12.A 13.B 14.C 15.A 16.B 17.C 18.A 19.B 20.A 21.C【解析】1. 解：令g（x）=，x∈（0，+∞），g′（x）=′，∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，∴f（x）＞0，0＜′，∴g′（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，∴＜，∴＜．令h（x）=，x∈（0，+∞），h′（x）=′，∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，∴h′（x）=′＜0，∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴＞，∴＜．综上可得：＜＜，故选：B．分别构造函数g（x）=，x∈（0，+∞），h（x）=，x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2. 解：∵f（x）+2f′（x）＞0，可设f（x）=，∴f（1）=，f（0）=e0=1，∴f（1）＞，故选：A．根据题意可设f（x）=，然后代入计算判断即可．本题主要考查了初等函数的导数运算公式，关键是构造函数，属于基础题．3. 解：由题意，（）′=2x，∴=x2+b，∴f（x）=（x2+b）e x，∵f（0）=1，∴b=1，∴f（x）=（x2+1）e x，f′（x）=（x+1）2e x，∴当x＞0时，′=1+≤2，当且仅当x=1时取等号，∴当x＞0时，′的最大值为2．故选：B．利用函数f（x）满足f′（x）-f（x）=2xe x，f（0）=1，求出f（x），再代入利用基本不等式即可得出结论．本题考查导数知识的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，确定f（x）是关键．4. 解：∵定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x），∴函数f（x）关于x=2对称，由f′（x）＞xf′（x），得（x-2）f′（x）＜0，则x＞2时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＜2时，f′（x）＞0，此时函数单调递增．∴当x=2时，f（x）取得极大值，同时也是最大值．若a∈（2，3），则4＜2a＜8，1＜log2a＜2，∴2＜4-log2a＜3，∴2＜4-log2a＜2a，即f（2）＞f（4-log2a）＞f（2a），即f（2a）＜f（log2a）＜f（2），故选：C根据条件得到函数关于x=2对称，由f′（x）＞xf′（x），得到函数的单调性，利用函数的单调性和对称轴即可得到结论．本题主要考查函数单调性和对称性的应用，利用导数和函数单调性的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．5. 解：设g（x）=，f（x）是R上的奇函数，∴g（x）为偶函数；x＞0时，′′＜；∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（2）=0；∴由g（x）＞0得，g（x）＞g（2）；∴g（|x|）＞g（2）；∴|x|＜2，且x≠0；∴-2＜x＜0，或0＜x＜2；∴＞的解集为（-2，0）∪（0，2）．故选：B．可设g（x）=，根据条件可以判断g（x）为偶函数，并可得到x＞0时，g′（x）高中数学试卷第4页，共10页.＜0，从而得出g（x）在（0，+∞）上单调递减，并且g（2）=0，从而由g（x）＞g （2）便可得到|x|＜2，且x≠0，这样即可得出原不等式的解集．考查奇函数、偶函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性解不等式的方法，知道偶函数g（x）＞g（2）等价于g（|x|）＞g（2）．6. 解：设g（x）=，则g′（x）=′，∵当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，∴当x＞0时，g′（x）＜0，此时函数g（x）为减函数，∵f（x）是奇函数，∴g（x）=是偶函数，即当x＜0时，g（x）为增函数．∵f（-1）=0，∴g（-1）=g（1）=0，当x＞0时，f（x）＜0等价为g（x）=＜0，即g（x）＜g（1），此时x＞1，当x＜0时，f（x）＜0等价为g（x）=＞0，即g（x）＞g（-1），此时-1＜x＜0，综上不等式的解集为（-1，0）∪（1，+∞），故选：A根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，判断函数的单调性和奇偶性，将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性，以及将不等式进行转化是解决本题的关键．7. 解：根据题意，设函数，当x＞0时，′′＜，所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（x）为偶函数，所以g（x）为偶函数，又f（1）=0，所以g（1）=0，故g（x）在（-1，0）∪（0，1）的函数值大于零，即f（x）在（-1，0）∪（0，1）的函数值大于零．故选：D．构造函数设函数，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是增函数，再根据f（x）为偶函数，根据f（1）=0，解得f（x）＞0的解集．本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想．解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决．8. 解：定义域为R的奇函数y=f（x），设F（x）=xf（x），∴F（x）为R上的偶函数，∴F′（x）=f（x）+xf′（x）∵当x≠0时，f′（x）+＞0．∴当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0，当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，即F（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．.F（）=a=f（）=F（ln），F（-3）=b=-3f（-3）=F（3），F（ln）=c=（ln）f （ln）=F（ln3），∵ln＜ln3＜3，∴F（ln）＜F（ln3）＜F（3）．即a＜c＜b，故选：B．根据式子得出F（x）=xf（x）为R上的偶函数，利用f′（x）+＞0．当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0；当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，判断单调性即可证明a，b，c 的大小．本题考查了导数在函数单调性的运用，根据给出的式子，得出需要的函数，运用导数判断即可，属于中档题．9. 解：设g（x）=f（x）-x，则函数的导数g′（x）=f′（x）-1，∵f′（x）＜1，∴g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数，∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）-1=1-1=0，则不等式g（x）＜0等价为g（x）＜g（1），则不等式的解为x＞1，即f（x）＜x的解为x＞1，∵f（1g2x）＜1g2x，∴由1g2x＞1得1gx＞1或lgx＜-1，解得x＞10或0＜x＜，故不等式的解集为，，∞，故选：D构造函数g（x）=f（x）-x，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出不等式f（x）＜x的解为x＞1，即可得到结论．本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．10. 解：设g（x）=e x f（x）-e x+1-2（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x+1=e x[f（x）+f′（x）-e]，∵f（x）+f′（x）＜e，∴f（x）+f′（x）-e＜0，∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减，∵f（0）=e+2，∴g（0）=e0f（0）-e-2=e+2-e-2＞0，∴g（x）＞g（0），∴x＜0，∴不等式的解集为（0，+∞）故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x+1-2（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质高中数学试卷第6页，共10页.和函数值，即可求解．本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．11. 解：设函数y=，则y′=′，∵xf′（x）＜f（x），∴y′＜0，可得y=对任意x∈R，函数y是减函数，∴＜，可得3f（2）＞2f（3）．故选：A．构造函数，利用函数的单调性判断即可．本题考查函数的单调性的判断与应用，构造函数，求解导函数判断单调性是解题的关键．12. 解：令g（x）=，由题意，则g′（x）=′＜0，从而g（x）在R上单调递减，∴g（2016）＜g（2015）．即＜，∴e2015f（2016）＜e2016f（2015），即ef（2015）＜f（2016），故选：A．造函数g（x）=，通过求导判断其单调性，从而确定选项．本题是构造函数的常见类型，大多数题型是结合着选项中的结构和题中的条件来构造函数，形式灵活多变，考生需要多看多做多总结，才容易掌握此题型．13. 解：令g（x）=，∴g′（x）=′，∵x＞0时，xf′（x）-f（x）＞0，∴x＞0时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，∵f（2）=0，∴g（2）==0，当0＜x＜2，g（x）＜g（2）=0，即f（x）＜0，当x＞2时，g（x）＞g（2）=0，即f（x）＞0，∵f（x）是偶函数，∴当-2＜x＜0，f（x）＜0，故不等式f（x）＜0的解集是（-2，0）∪（0，2），故选：B．构造函数g（x）=，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是增函数，再根据f（x）.为奇函数，根据f（2）=0，解得f（x）＜0的解集．本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想．解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决．14. 解：∵（x-1）f′（x）≥0，∴当x≥1时，f′（x）≥0，当x＜1时，f′（x）≤0；故f（x）在（-∞，1）上不增，在[1，+∞）上不减，故f（0）≥f（1），f（2）≥f（1）；故f（0）+f（2）≥2f（1），故选C．由题意，当x≥1时，f′（x）≥0，当x＜1时，f′（x）≤0；从而可得f（x）在（-∞，1）上不增，在[1，+∞）上不减，故f（0）≥f（1），f（2）≥f（1）；从而可得．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．15. 解：令g（x）=f（x）-x3-2016，g′（x）=f′（x）-3x2，∵对任意的x∈R．都有f′（x）＜3x2成立，∴对任意的x∈R，g′（x）＜0，∴g（x）=f（x）-x3-2016在R上是减函数，且g（-1）=f（-1）+1-2016=2015+1-2016=0，故不等式f（x）＜x3+2016的解集为（-1，+∞），故选：A．令g（x）=f（x）-x3-2016，求导g′（x）=f′（x）-3x2，从而确定不等式的解集．本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用．16. 解：构造函数g（x）=f（x）-lnx（x＞0），则g′（x）=f′（x）-=′＞0，∴g（x）=f（x）-lnx在（0，+∞）上单调递增，∵f（x）≤lnx，∴g（x）≤0=g（1），∴0＜x≤1，故选：B．构造函数g（x）=f（x）-lnx（x＞0），确定g（x）=f（x）-lnx在（0，+∞）上单调递增，f（x）≤lnx，化为g（x）≤0=g（1），即可得出结论．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确构造函数是关键．17. 解：∵f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数，∴f（-x）=f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞-2f（x），∴xf′（x）+2f（x）＞0，∵g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）在（-∞，0）递减；由不等式g（x）＜g（1-x），∴＞＞＜或＜＜＞，高中数学试卷第8页，共10页.解得：0＜x＜，或x＜0∴不等式g（x）＜g（1-x）的解集为：{x|0＜x＜或x＜0}．故选：C．f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数，可得：f（-x）=f（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（-x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x2f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. 解：当x∈（-∞，0）时，xf′（x）＜-f（x），即xf′（x）+f（x）＜0，∴[xf（x）]′＜0，∴令F（x）=xf（x），由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，则F（x）为偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，由c=-2f（log2）=-2f（-2）=2f（2）=g（2），a=f（）=g（），b=f（1）=g（1），由1＜＜2，可得b＜a＜c．故选：A．由f（x）为奇函数得到f（-x）=-f（x），有xf′（x）+f（x）＜0，由导数的积的运算得到[xf（x）]′＜0，令F（x）=xf（x），则F（x）为偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，由c=-2f（-2）=2f（2）=g（2），a=f（）=g （），b=f（1）=g（1），即可得到所求大小关系．本题主要考查函数的性质及应用，考查奇偶函数的定义及应用，函数的单调性及应用，以及应用导数的运算法则构造函数的能力，是函数的综合题．19. 解：令g（x）=，则g′（x）=′=′，∵xf′（x）＜3f（x），即xf′（x）-3f（x）＜0，∴g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，即有g（x）在（0，+∞）递减，可得g（2）＜g（1），即＜，由2f（x）＜3f（x），可得f（x）＞0，则＜8；令h（x）=，h′（x）=′=′，∵xf′（x）＞2f（x），即xf′（x）-2f（x）＞0，∴h′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，即有h（x）在（0，+∞）递增，可得h（2）＞h（1），即＞f（1），则＞4．即有4＜＜8．故选：B．令g（x）=g（x）=，h（x）=，求出g（x），h（x）的导数，得到函数g（x），.h（x）的单调性，可得g（2）＜g（1），h（2）＞h（1），由f（1）＞0，即可得到4＜＜8．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造g（x）=，h（x）=，求出g（x）和h（x）的导数，得到函数g（x）和h（x）的单调性是解题的关键，本题是一道中档题．20. 解：令g（x）=，则g′（x）=′=′，∵f′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0，g（x）递增，∴g（1）＞g（0），即＞，∴f（1）＞ef（0），故选：A．令g（x）=，利用导数及已知可判断该函数的单调性，由单调性可得答案．该题考查利用导数研究函数的单调性，由选项恰当构造函数是解决该题的关键所在．21. 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，令g（x）=，∴g（x）为偶函数，又当x＞0时，xf′（x）＞f（x），∴g′（x）=′＞0；∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，在（-∞，0）上是减函数；又f（-1）=-1，∴f（1）=1，g（1）=1；当x＞0时，∵不等式f（x）＞x，∴＞1，即g（x）＞g（1），∴有x＞1；当x＜0时，∵不等式f（x）＞x，∴＜1，即g（x）＜g（-1），∴有-1＜x＜0；当x=0时，f（0）=0，不等式f（x）＞x不成立；综上，不等式f（x）＞x的解集是（-1，0）∪（1，+∞）．构造函数g（x）=，根据题意得出g（x）为偶函数，且x＞0时，g′（x）＞0，g（x）是增函数；讨论x＞0、x＜0和x=0时，不等式f（x）＞x的解集情况，求出解集即可．本题考查了函数奇偶性的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，考查了构造函数的应用问题以及分类讨论的应用问题，是综合性题目．高中数学试卷第10页，共10页。

导数构造函数十三种题型归纳

导数构造函数十三种题型归纳目录【题型一】利用x nf （x ）构造型【题型二】利用f （x ）/x n构造型【题型三】利用e nx f （x ）构造型【题型四】利用f （x ）/e nx 构造型【题型五】利用sinx 与f （x ）构造型【题型六】利用cosx 与f （x ）构造型【题型七】复杂型：e n与af （x ）+bg(x)等构造型【题型八】复杂型：（kx+b ）与f （x ）型【题型九】复杂型：与ln （kx+b ）结合型【题型十】复杂型：基础型添加因式型【题型十一】复杂型：二次构造【题型十二】综合构造【题型十三】技巧计算型构造【题型一】利用x nf （x ）构造型【典例精讲】函数()f x 是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且满足'()2()0+>xf x f x ，则不等式(2016)(2016)5(5)52016x f x f x ++<+的解集为A ．{}2011x x -B ．{}|2011x x <-C ．{}|20110x x -<<D ．{}|20162011x x -<<-【答案】D 【解析】设2()()g x x f x =，则2'()2()'()['()2()]g x xf x x f x x xf x f x =+=+，由已知当0x >时，'()0g x >，()g x 是增函数，不等式(2016)(2016)5(5)52016x f x f x ++<+等价于22(2016)(2016)5(5)x f x f ++<，所以020165x <+<，解得20162011x -<<-．本题考查导数的综合应用，解题关键是构造新函数2()()g x x f x =，从而可以利用已知的不等式关系判断其导数的正负，以确定新函数的单调性，在构造新函数时，下列构造经常用：()()g x xf x =，()()f x g x x =，()()x g x e f x =，()()x f x g x e=，构造新函数时可结合所要求的问题确定新函数的形式．【总结提升】基本规律1.x ()+()0 0g x =x f x f x f x '><对于（），构造（）（），2.k x ()k ()0 0g x =x f x f x f x '+><对于（），构造（）（）【变式练习】1.已知定义域为的奇函数的导函数为()f x '，当时，()()0f x f x x'+>，若，则的大小关系正确的是 A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】构造函数()()g x xf x =，利用已知条件确定'()g x 的正负，从而得其单调性．设()()g x xf x =，则'()()'()g x f x xf x =+， ∵()'()0f x f x x +>，即'()()'()0xf x f x g x x x+=>， ∵当0x <时，)'(0g x <，当0x >时，'()0g x >，()g x 递增．又()f x 是奇函数，∵()()g x xf x =是偶函数，∵(2)(2)g g -=，1(ln )(ln 2)(ln 2)2g g g =-=，∵10ln 222<<<，∵1()(ln 2)(2)2g g g <<，即a c b <<．故选C ．2.已知()f x 的定义域为0,，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是（）A ．0,1B ．2,C ．1,2D ．1,【答案】B 【分析】根据题意，构造函数()y xf x =，结合函数的单调性解不等式，即可求解. 【解析】根据题意，构造函数()y xf x =，()0,x ∈+∞，则()()0y f x xf x ''=+<，所以函数()y xf x =的图象在()0,∞+上单调递减.又因为()()()2111f x x f x +>--，所以()()22(1)(1)11x f x x f x ++>--，所以2011x x <+<-，解得2x >或1x <-（舍）.所以不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是()2,+∞.故选：B.3.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，且2()()0f x xf x '+>．则下列不等式在R 上恒成立的是（） A ．()0f x ≥ B ．()0f x ≤C ．(x)x f ≥D ．()f x x ≤【答案】A【分析】根据给定不等式构造函数2()()g x x f x =，利用导数探讨()g x 的性质即可判断作答. 【解析】依题意，令函数2()()g x x f x =，则2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '=+''=+，因2()()0f x xf x '+>，于是得0x <时()0g x '<，0x >时()0g x '>，从而有()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，因此得：2,()()(0)0x R x f x g x g ∀∈=≥=，而(0)0f >，即f (x )不恒为0，所以()0f x ≥恒成立.故选：A【题型二】利用f （x ）/x n构造型【典例精讲】函数()f x 在定义域0,内恒满足：∵()0f x >，∵()()()23f x xf x f x '<<，其中fx 为()f x 的导函数，则A ．()()111422f f <，0g x，∵函数()g x 在()0,x ∈+∞上单调递增，∵()()12g g <，即()()412f f <，()()1124f f <，令()()3f x h x x =，()0,x ∈+∞，()()()43xf x f x h x x '-'=，∵()0,x ∀∈+∞，()()()23f x xf x f x '<<，()0h x '<，∵函数()h x 在()0,x ∈+∞上单调递减，∵()()12h h >，即()()218f f >，()()1182f f <，故选D.【总结提升】基本规律1.f x x ()-()0 0g x =xf x f x '><（）对于（），构造（）， 2.k f x x ()-k ()0 0g x =xf x f x '><（）对于（），构造（）【变式练习】1.已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（） A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞【答案】A【分析】根据题目中信息其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->可知，需构造函数2()()f x g x x =，利用导函数判断函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性、奇偶性来解题，当0x > 时，即2()19f x x <，1()9g x <，当0x < 时，即2()19f x x >，1()9g x >. 【解析】构造函数2()()f x g x x =,43'()2()'()2()'()xf x f x xf x f x g x x x x --=⋅= , 当0x > 时，()2()0xf x f x '->，故'()0g x >，()g x 在(0,)+∞ 上单调递增，又()f x 为偶函数，21y x= 为偶函数，所以2()()f x g x x =为偶函数，在,0（）-∞ 单调递减.(3)1f -=,则(3)1f =，231(3)(3)39f g g -===（）;()19f x x x <，当0x > 时，即2()19f x x <，1()(3)9g x g <=，所以(0,3)x ∈ ；当0x < 时，即2()19f x x >，1()(3)9g x g >=-，所以(,3)x ∈-∞-. 综上所述，(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃.故选：A2.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()11f =，()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，则不等式()1xf x e -≥的解集为（）A ．(],1-∞B ．(],e -∞C ．[)1,+∞D ．[),e +∞【答案】C 【分析】由()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，可得()()0f x f x +'>，令()()xg x e f x =⋅，对其求导可得()0g x '>，可得函数()g x 在R 上单调递增，可得()1g e =，()()1g x g ≥可得原不等式的解集. 【解析】解：因为()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，所以()()11f x f x '++>，即()()0f x f x +'>.令()()xg x e f x =⋅，则()()()0x g x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在R 上单调递增.又因为()1g e =，不等式()1x f x e -≥，可变形为()x e f x e ⋅≥，即()()1g x g ≥，所以1x ≥，即不等式()1xf x e -≥的解集为[)1,+∞.故选：C.【题型三】利用e nx f （x ）构造型【典例精讲】已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：当1x ≠时，()()()1x f x f x ⎡⎤-+⎣'⎦>0，()()222xf x e f x -=-，则下列判断一定正确的是 A ．()()10f f D ．()()330e f f >【答案】D【分析】构造函数()()xg x f x e =,结合导函数,判定()g x 的单调性,()()g 2x g x 由，-=得()g x 的对称轴,对选项判断即可.【解析】构造函数()()x g x f x e =,计算导函数得到()'g x =()()x e f x f x +'⎡⎤⎣⎦，由()1x -()()f x f x +'⎡⎤⎣⎦>0,得当x 1>,()()f x f x '+>0,当x 1<时,()()f x f x '+<0.所以()g x 在()1,∞+单调递增,在(),1∞-单调递减,而()()()()()2x 2x x 22xf xg 2x f 2x e e f x e g x e----=-=⋅==,所以()g x 关于x 1=对称,故()()()()()3g 3e f 3g 1g 00f ==->=,得到()()3e f 3f 0>,故选:D.【总结提升】基本规律1.x ()+()0 0g x =e f x f x f x '><对于（），构造（）（），2.kx ()+k ()0 0g x =e f x f x f x '><对于（），构造（）（）【变式练习】1.已知()f x 是R 上可导的图象不间断的偶函数，导函数为()f x '，且当0x >时，满足()()20'+>f x xf x ，则不等式()()121xe f x f x -->-的解集为（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．()0,∞+【答案】B【分析】构造函数2()()x g x e f x =，根据()()20'+>f x xf x ，结合题意可知函数()g x 是偶函数，且在()0,∞+上是增函数，由此根据结论，构造出x 的不等式即可．【解析】由题意：不等式()()121xef x f x -->-可化为：21(1)()x f x f x e -->，两边同乘以2(1)x e -得：22(1)(1)()x x e f x e f x -->，令2()()x h x e f x =，易知该函数为偶函数，因为[]2()()2()x h x e f x xf x ''=+， ()()20'+>f x xf x ，所以()0,(0)h x x '>>所以()h x 在()0,∞+上是单调增函数，又因为()h x 为偶函数，故22(1)x x ->，解得：12x <．故选：B ．2.设函数()f x 的定义域为R ，()'f x 是其导函数，若()()e ()x f x f x f x '-'+>-，()01f =，则不等式()f x >21x e +的解集是（） A ．(0,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,1)【答案】A【分析】构造函数()()1()xg x e f x =+，通过求导判断函数()g x 的单调性,利用函数()g x 的单调性解不等式即可.【解析】令()()1()x g x e f x =+，则()()()1()x x g x e f x e f x ''=++，因为()()e ()x f x f x f x '-'+>-，所以()()1e ()0x f x f x -'++>，化简可得()e ()e 1()0x x f x f x '++>，即()0g x '>，所以函数()g x 在R 上单调递增，因为()f x >21xe +，化简得()1()2xe f x +>，因为()()0202g f ==，()()1()xg x e f x =+，所以()(0)g x g >，解得0x >，所以不等式2()1xf x e >+的解集是(0,)+∞.故选：A 3.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()11f =，()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，则不等式()1xf x e -≥的解集为（）A ．(],1-∞B ．(],e -∞C ．[)1,+∞D ．[),e +∞【答案】C【分析】由()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，可得()()0f x f x +'>，令()()xg x e f x =⋅，对其求导可得()0g x '>，可得函数()g x 在R 上单调递增，可得()1g e =，()()1g x g ≥可得原不等式的解集. 【解析】解：因为()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，所以()()11f x f x '++>，即()()0f x f x +'>.令()()xg x e f x =⋅，则()()()0x g x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在R 上单调递增.又因为()1g e =，不等式()1x f x e -≥，可变形为()x e f x e ⋅≥，即()()1g x g ≥，所以1x ≥，即不等式()1xf x e -≥的解集为[)1,+∞.故选：C.【题型四】用f （x ）/e nx 构造型【典例精讲】已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，且对于x R ∀∈，均有()()'f x f x >，则有A ．()()()()2017201720170,20170ef f f e f -B ．()()()()2017201720170,20170e f f f e f -<<C ．()()()()2017201720170,20170e f f f e f ->>D ．()()()()2017201720170,20170e f f f e f ->< 【答案】D【分析】通过构造函数()()x f x g x e =，研究()()xf xg x e =函数的单调性进而判断出大小关系．【解析】因为()()'f x f x >。

精选构造导数50题

精选构造函数五十题1已知()'f x 是函数()()0f x x R x ∈≠且的导函数，当0x >时，()()'0xf x f x -<成立，记()()()0.2220.22220.2log 5,,20.2log 5f f f a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<()0.22a F =，()20.2b F =，()2log 5c F =，c a b <<，选C2已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．构造()()F x xf x =，且()F x 为偶函数，()()()F x xf xf x ''=+，由3R ()y f x =()'y f x =0x ≠()()'0f x f x x+>1122a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()22b f =--11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c ，，a b c <成立.则有（）A()()63f ππC ．2()()46f ππ<D ()()43f ππ< 构造()()cos F x xf x =,()()()cos sin F x xf x xf x ''=-，由()()tan f x f x x '>4函数)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)('x f 且有'3()()0f x xf x +<，则不等式3(2016)(2016)8(2)0x f x f +++-<的解集为（）A ．()2018,2016--B ．(),2018-∞-C ．()2016,2015--D ．(),2012-∞-构造()()3F x x f x =，()()()()()322330F x x f x x f x x f x xf x '''⎡⎤=+=+<⎣⎦，()F x ∴在)0,(-∞上单调递减，3(2016)(2016)8(2)0x f x f +++-<⇔()()20162F x F +<-2016020162x x +<⎧⇔⎨+>-⎩20182016x ⇔-<<-，选A定义域为R的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()02f =，则不等式()2x f x e <的解集为（）A ．(),0-∞B ．(),2-∞C ．()0,+∞D ．()2,+∞6设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （2）＝0，当x>0时，有2xf x -f x x '（）（）<0恒成立，则不等式x 2f （x ）>0的解集是（）A ．（－2,0）∪（2，＋∞）B ．（－2,0）∪（0,2）C ．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D ．（－∞，－2）∪（0,2）即0,x >()F x 单调递减，0,x <()F x 单调递增，当02x <<，()0f x >()20x f x >()0f x ⇔>，所以选D7设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x ->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是()A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞即0,x >()F x 单调递增，0,x <()F x 单调递减，当1x >，时，()0f x >，选B8定义在[]0,+∞的函数()f x 的导函数为()'f x ,对于任意的0x ≥,恒有()()()()32',2,3f x f x a e f b e f >==,则,a b 的大小关系是（） A ．a b > B ．a b < C ．a b = D ．无法确定递增，9．已知定义在实数集R 上的函数)(x f 满足4)1(=f ，且)(x f 的导函数满足3)(<'x f ，则不等1ln 3)(ln +>x x f 的解集为（） A ．),1(+∞ B ．),(+∞e C ．)1,0( D ．),0(e 构造()()3F x f x x=-，()()30F x f x ''=-<，()F x ∴是减函数，1ln 3)(ln +>x x f ()()l n 1F x F ⇔>l n 1x ⇔<0x e ⇔<<，选D10设ln 24a =，ln 39b =，ln 525c =，则（）A ．b a c >>B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a b c >>a b c >>,选 D已知()f x 在()0,+∞上非负可导，且满足0)()(/≤-x f x xf ，对于任意正数,m n ，若m n <，则必有（）A ．()()nf m mf n ≤B ．()()mf m f n ≤C ．()()nf n f m ≤D ．()()mf n nf m ≤12已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()f x f x '>，则下列结论正确的是（）A. (1)e (0)f f >B. (1)e (0)f f <C.(1)(0)f f >D.(1)(0)f f <13定义在R 上的函数)(x f 满足：1)(')(>+x f x f ，4)0(=f ，则不等式3)(+>x x e x f e （其中e 为自然对数的底数）的解集为．构造函数()()x x F x e f x e =-，()()()10x F x e f x f x ''⎡⎤=+->⎣⎦，已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()()4f x f x =-，且当2x ≠时其导函数()'f x 满足()()''2xf x f x >，若24a <<，则（）A. ()()()223log a f f f a <<B. ()()()23log 2a f f a f <<C. ()()()2log 32a f a f f <<D.()()()2log 23a f a f f <<有()()4f x f x =-可知函数关于2x =对称，()()2x f x f x''>()()20x f x '⇔->2x >，()0f x '>，()f x 单调递增，2x <，()0f x '<，()f x 单调递减，()()()221log 21log 2a f f a f <<⇔>>()()()22log 3f f a f ⇔<>()()()42164216a a f f f <<⇔<<()()()2log 32a f a f f ∴<<，选C15已知()f x 为定义在(),-∞+∞上的可导函数，且()()f x f x '>对于x R ∈恒成立（e 为自然对数的底），则（）A ．()()2015201620162015e f e f ⋅>⋅B ．()()2016201620162015e f e f ⋅=⋅C ．()()2015201620162015e f e f ⋅<⋅D ．()20152016e f ⋅与()20162015e f ⋅大小不确定；16．()233x f x <+的解集为（）A ．{}11x x -<< B.{}1x x > C ．{}1x x <- D ．{}11x x x <->或17已知在实数集R 上的可导函数)(x f ，满足)2(+x f 是奇函数，且12'()f x >，则不等式121(x)＞-x f 的解集是（）A.（-∞，2）B.（2，+∞）C.（0，2）D.（-∞，1）()0F x '<，函数()F x 是减函数，由)2(+x f 是奇函数得到()20f =，18．A ．2121ln ln x x e e x x -<- B ．2121ln ln xx e e x x ->-C ．1221x x x e x e <D ．2112x xe x e x >减函数19设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为（） A 、 ]2,2[- B 、 ),2[+∞C 、),0[+∞D 、(,2][2,)-∞-+∞()F x ∴为R 上的奇函数，再结合R 上的可导性()F x ∴在为R 上的连续单减奇函数(4)()84f m f m m --≥-()()442F m F m m m m ⇔-≥⇔-≤⇔≥，所以选B20x f x e f x f x )0(22)1(')(222-+⋅=-，且0)(2)('<+x g x g ，则下列不等式成立的是（）A ．)2017()2015()2(g g f C ．)2017()2()2015(g f g <D ．)2017()2()2015(g f g >)2212x e x -+)022e f +-()2212x e -⋅+()222x f x e x x ∴=+-，()42e =，构造()()2x F x e g x =，()()()222x x F x e g x e g x ''=+()()220x e g x g x '⎡⎤+<⎣⎦，()F x ∴为R 上的减函数()()20152017F F >()()4030403420152017e g e g ⇒>()()220152017g e g ⇒>所以选D21设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0,f -=当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A.(1,0)(1,)-⋃+∞ B.(,1)(0,1)-∞-⋃ C.(,1)(1,0)-∞-⋃- D.(0,1)(1,)⋃+∞即0,x >()F x 单调递减，0,x <()F x 单调递增，当01x <<，()0f x >，选B22定义在()0,+∞上的可导函数()f x 满足()'f x ()x f x ⋅<，且()20f =，则()0f x x>的解集为（）A ．()0,2B ．()()0,22,+∞C ()2,+∞．D ．()()0,33,+∞23设函数在R 上的导函数为，在上，)(x f )(x f ')0(∞+，x x f 2sin )(<'且，有，则以下大小关系一定正确的是（） A. B. C.D.构造函数()()2sin F x f x x =-，()()sin 20F x f x x ''∴=-<()()()()()2222sin sin sin 0f x f x x f x x f x x -+=⇔---+-=()()0F x F x ⇔-+=，再结合R 上的可导性()F x ∴在为R 上的连续单减奇函数选C24已知()'f x 是函数()f x (x R x ∈≠且)的导函数，当x >时，()()'0xf x f x -<，记()()()0.2220.22220.2log 5,,20.2log 5f f f a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<()0.22a F =，()20.2b F =，()2log 5c F =，c a b <<，选C25已知定义在R 上的可导函数()f x 满足'()1f x <，若R x ∈∀x x f x f 2s i n 2)()(=+-)34()65(π<πf f )()4(π<πf f )34()65(π-<π-f f ()()4f f ππ->-(1)()12f m f m m -->-，则实数m 的取值范围是__________．构造()()F x f x x =-，()()10F x f x ''=-<，()F x ∴为R 上的减函数，已知定义在R 上的可导函数()=y f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1=f ，则不等式()<x f x e 的解集为（）A.(,0)-∞B.(0,)+∞C.4(,)-∞e D.4(,)+∞e(1)y f x =+为偶函数(1)(1)f x f x ⇔+=-+，()()201f f ∴==27．定义在),0(+∞上的单调递减函数)(x f ，若)(x f 的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A ．)3(2)2(3f f ')()(已知函数()f x 的导数为()f x '，且()()()10x f x xf x '++>对x R ∈恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（） A ．()f x B ．()xf x C ．()x e f x D ．()x xe f x()()()()()()()xx x x x xe f x e xf x e xf x e f x xf x e xf x ''''⎡⎤=+=++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=()()()10x e x f x xf x '++>⎡⎤⎣⎦，所以选D29已知()f x 是R 上的减函数，其导函数'()f x 满足()1'()f x x f x +<，那么下列结论中正确的是（） A ．x R ∀∈，()0f x D ．当且仅当(1+)x ∀∈∞，，()0f x >所以()()()10f x x f x '+->，构造()()()1F x x f x =-，()0F x '>，()F x ∴为R 上的增函数，()10F =，1x ∴>，()()10x f x ->()0f x ⇒>；1x <，()()10x f x -<()0f x ⇒>，选C30设12x <<，则ln x x ，2ln ()x x，22ln x x 的大小关系是（）A ．222ln ln ln ()x x x x x x<< B ．222ln ln ln ()x x x x x x<<C ．222ln ln ln ()x x xx x x <<D ．222ln ln ln ()x x xx x x<<31设奇函数()f x 在R 上存在导数()'f x ,且在()0,+∞上()2'f x x <,若()()()331113f m f m m m ⎡⎤--≥--⎣⎦,则实数m 的取值范围为（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．11,,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭奇函数，所以()F x 在R 上单调递减，所以选B32设)(x f '为函数)(x f 的导函数，已知21()()ln ,()x f x xf x x f e e'+==，则下列结论正确的是( )A ．()f x 在(0,)+∞单调递增B ．()f x 在(0,)+∞单调递减C ．()f x 在(0,)+∞上有极大值D ．()f x 在(0,)+∞上有极小值33已知定义在),0(+∞上的函数)(x f ，满足)()1(＞x f ；)(2)()()2(x f x f x f ＜＜'(其中)(x f '是)(x f 的导函数，e 是自然对数的底数)，则)2()1(f f 的范围为( )A.)1,21(2ee B.)1,1(2eeC.)2,(e eD.),(3e e所以选B34若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，'()()0f x xf x +<，且(4)0f -=，则不等式()0xf x >的解集为（）A ．(4,0)(4,)-+∞B ．(4,0)(0,4)-C ．(,4)(4,)-∞-+∞D ．(,4)(0,4)-∞-构造()()F x x f x =，()F x 为奇函数，当0x <时，()()()0F x f x xf x ''=+<，所以函数在(),0-∞单调递减，在()0,+∞也单调递减，当04x <<时()()440xf x f >>，当4x <-时，()()440xf x f >-->，所以选D35已知定义在R 上的可导函数)(x f 满足：0)()('<+x f x f ，则122)(+--m m em m f 与)1(f 的大小关系是（）A ．122)(+--m m em m f >)1(f B ．122)(+--m m em m f <)1(fC ．122)(+--m m em m f =)1(f D ．不确定构造()()x F x e f x =，()()()0x F x e f x f x ''=+<⎡⎤⎣⎦，()F x ∴为R 上的减函数，()()()222221011(1)m m m m m m F F m m ef e f m m --+>⇒>-⇒<-⇒<-，所以选A36已知函数()f x 是R 上的奇函数，()g x 是R 上的偶函数，且有(1)0g =，当0x >时，有''()()()()0f x g x f x g x +>，则()()0f x g x >的解集为 .因()()()()0f x g x f x g x ''+>，即()()0f x g x '>⎡⎤⎣⎦，()()f x g x 在0x >时递增，又∵()f x ， ()g x 分别是定义R 上的奇函数和偶函数， ∴()()f x g x 为奇函数，关于原点对称， ∴()()f x g x 在0x <时也是增函数． ∵()()110f g =， ∴()()110f g --=∴()()0f x g x >的解集为：1x >或10x -<<37函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（）A ．B ．C ．D ．对于，可构造 B38.已知函数的图象关于轴对称，且当，成立，，，，()f x R ()12f -=R x ∈()2f x '>()24f x x >+()1,1-()1-+∞，()1-∞-，()-∞+∞，()()'0f x a a >≠()()h x f x ax =-()y f x =y (),0x ∈-∞()()0f x xf x '+<()0.20.222a f =()log3log 3b f ππ=()33log 9log 9c f =则，，的大小关系是（） A ．B ．C ．D ．对于，构造；对于，构造39．已知为上的可导函数，且，均有，则有（）A ．，B ．，C ．，D ．，对于，构造；对于或，40已知函数对任意的满足，则a b c a b c >>a cb>>c ba>>b a c >>()()'0xf x f x +>()()h x x f x =()()'0xf x f x ->()f x R R x ∀∈()()f x f x '>2016e (2016)(0)f f -<2016(2016)e (0)f f >2016e (2016)(0)f f -<2016(2016)e (0)f f <2016e (2016)(0)f f ->2016(2016)e (0)f f >2016e (2016)(0)f f ->2016(2016)e (0)f f <'()()0f xf x +>()()e x h x f x ='()()f xf x >'()()0f xf x ->()y f x =,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭()()c o s s i n 0f x x f x x '+>（） A ．B ． CD与，构造D41()()()()()()()()()()()0,0,',22'30,,_________.3f x f x f x f x f f x xf x f x x f +∞><<∈+∞定义在上的函数满足为的导函数且对恒成立则的取值范围是42()()()()()()()()()',,',2017,2017011.,0.0,.,.,x R f x f x x f x f x f x f x e A B C D e e >++<⎛⎫⎛⎫-∞+∞-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭定义在上的函数的导函数为若对任意有且为奇函数则不等式的解集是()04f π⎛⎫ ⎪⎝⎭()03f f π⎛⎫<2- ⎪⎝⎭34f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x sin x cos x1,,0,,______.aa n m n n m a a m<<<>对任意的实数当成立则实数的最小值为45()()()()()()()()',',1=1,21,_________.xR y f x f x f x f x f x f x f f x e =<-+=<已知定义在上的可导函数的导函数满足且若则不等式的解集为46若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（）1111111....11111k A f B f C f D f k kk k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<><> ⎪ ⎪ ⎪⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭47设函数()f x 是定义在()0,+∞上的可导函数，其导函数为()'f x ，且满足()()'xf x f x x +>，则不等式()()()2018'2018220x f x f ---<的解集为：_________.()()()()()()()()()()()()()()()()(),''0,,','02018'2018220,2018'20182202018220182020:2018,202:0.g x xf x g x xf x f x x xf x f x x g x g x R x f x f x f x f x x ==+∈+∞+>>∴--⎡⎤⎣⎦-<--<∴<-<<<∴令得由及得函数在上单调递增又则即原不等式的为解解集析48已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()'f x f x <，且()2f x +为偶函数，()41f =，则不等式()xf x e <的解集为（）()()()().2,.0,.1,.4,A B C D -+∞+∞+∞+∞49已知函数()f x 为定义在R 上的可导奇函数，且()()'f x f x <对于任意x R ∈恒成立，且()1f e =，则()x f x e <的解集为_________.50已知定义在R上的奇函数()x<时，'f x，当0f x的导函数为()()f x满足()()()2'+<，则()f x在R上的零点个数为（）f x xf x xf x或A B C D.5.3.13.1。

导数-构造函数方法梳理

1.已知函数f (x )=(x a )2−x a ,g (x )=lnx ,若对任意的x ∈(0,+∞),都有f (x )≥g (x )，则实数a 的取值范围是（）A.[−2e 34,1]B.[−2e 34,0)∪(0,1]C.(0,1]D.[−2e 34,0)2.已知函数f (x )=x 3−2ex 2+mx −lnx ,若f (x )>x 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.(e 2+1e +1,+∞)B.(0,e 2+1e+1] C.(−∞,e 2+1e +1] D.(−∞,e 2+1e] 3.若关于x 的方程e x +ax −a =0没有实数根，则实数a 的取值范围是（）A.(−e 2,0]B.[0,e 2)C.(−e,0]D.[0,e )4.若对任意的x ∈R 都有2sin (π6x +2π3)−k (x 2+2x +3)<xe x 成立，则实数k 的取值范围是（） A.(−∞,1e +1) B.(−1,1e+3) C.(2+1e ,+∞) D.(1+12e ,+∞)5.已知函数f (x )=a x +xlnx,g (x )=x 3−x 2−5，若对任意的x 1,x 2∈[12,2]，都有f (x 1)−g (x 2)≥2成立，则实数a 的取值范围是__________.6.已知函数f (x )={3x 2,x ≤0e 2x ,x >0,若f (x 1)=f (x 2)(x 1≠x 2)，则x 1+x 2的最大值为（） A.−12 B.2ln3−3C.ln3−2D. 12ln3−1 7.已知函数f (x )=ax 2−2x +lnx 有两个不同的极值点x 1,x 2，若不等式λ>f (x 1)+f (x 2)恒成立，则实数λ的取值范围是（）A.[−3,+∞)B.(3,+∞)C.[−e,+∞)D.(e,+∞)8.已知函数f (x )=lnx x ,g (x )=xe −x ，若存在x 1∈(0,+∞),x 2∈R ，使得f (x 1)=g (x 2)=k (k <0)成立，则(x 2x 1)2e k 的最大值为（） A.e 2 B. eC.4e 2D.1e 29.关于x 的方程lnx x +x lnx−x +m =0有三个不等的实数解x 1,x 2,x 3，且x 1<1<x 2<x 3，则(lnx 1x 1−1)2(lnx 2x 2−1)(lnx 3x 3−1)的值为（）A.eB.1C.1+mD.1−m10.已知函数f (x )=(a −2)e 2x −(a +2)xe x +x 2有三个零点x 1,x 2,x 3，且x 1<x 2<x 3，则(1−x 1e x 1)3(1−x 2e x 2)2(1−x3e x 3)=（） A.8 B.1C.−8D.−2711.已知b 为正实数，直线y =x +a 与曲线y =e x+b 相切，则a 2b 的取值范围是（） A.[e,+∞) B.(e 2,+∞)C.[2,+∞)D.[4,+∞)12.已知a,b 为正实数，直线y =x −a 与曲线y =ln (x +b )相切，则a 2b+1的取值范围是__________.13.若曲线y =lnx 与曲线y =x 2−k 有公切线，则实数k 的最大值为__________.14.已知a,b ∈(0,m ),若当a >b 时，总有√a b <√b a，则m 的最大值为（） A.1e 2 B. 1eC.1D.e15.已知0<α,β<π2，且3α−2sinβ=9β−α,则（）A.α<β2B.α>β2C.α>2βD.α<2β16.已知a>0,b>0,且(a+1)b=(b+2)a,则（）A.a>bB.a=bC.a<bD.a,b大小关系无法确定17.已知e a−2=a2(a≠2),e b−3=b3(b≠3), e c−4=c4(c≠4)，则（）A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b18.已知0<a<5且aln5=5lna,0<b<6且bln6=6lnb,0<c<7且cln7=7lnc,则a,b,c的大小关系是（）A.b<c<aB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c19.若2a+log2a=4b+2log4b，则（）A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b220.已知a=810,b=99,c=108，则a,b,c的大小关系是（）A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c21.已知a=e0.3,b=ln1.52+1,c=√1.5，则a,b,c的大小关系是（）A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a22.已知a−lnb=0,c−d=1,则(a−c)2+(b−d)2的最小值为（）A.4B.2C.1D.√223.设点P在曲线y=12e x上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则|PQ|的最小值为（）A.1−ln2 B.√2(1−ln2)C.1+ln2D.√2(1+ln2)24.设D=√(x−a)2+(lnx−a24)2+a24,则D+1(a∈R)的最小值为（）A.√22B.1C.√2D.225.若过点P(1,t)可作出曲线y=x3的三条切线，则实数t的取值范围是）A.(−∞,1)B.(0,+∞)C.(0,1)D.{0,1}26.设f(x,a)=√(x−a24)2+(e x−a)2+√(a24−1)2+a2(a∈R)，则f(x,a)的最小值为__________.27.设实数λ>1e,若对任意的x∈[1,+∞)，关于x的不等式e x−λln(λx)≥0恒成立，则λ的最大值为______.28.已知函数f(x)=ae x−1−lnx+lna.若f(x)≥1,则a的取值范围为______.。

2025新高考重难点之构造函数学生版

重难点之构造函数1.对于不等式f x >k k≠0，构造函数g x =f x -kx+b2.对于不等式xf x +f x >0，构造函数g x =xf x3.对于不等式xf x -f x >0，构造函数g x =f xxx≠04.对于不等式xf x +nf x >0，构造函数g x =x n f(x)5.对于不等式xf x -nf x >0，构造函数g x =f(x) x n6.对于不等式f x -f x >0，构造函数g x =f(x) e x7.对于不等式f x +f x >0，构造函数g x =e x f(x)8.对于不等式f x +kf x >0，构造函数g x =e kx f(x)9.对于不等式f x sin x+f x cos x>0，构造函数g x =sin xf(x)10.对于不等式f x sin x-f x cos x>0，构造函数g x =f(x)sin x 11.对于不等式f x cos x-f x sin x>0，构造函数g x =cos xf(x)12.对于不等式f x cos x+f x sin x>0，构造函数g x =f(x) cos x重难点题型(一)、与一次函数或幂函数有关的构造函数1.(23-24高三下·重庆)已知函数f x 的定义域为-∞,0，f-1=-1，其导函数f x 满足xf x -2f x >0，则不等式f x+2025+x+20252<0的解集为()A.-2026,0B.-2026,-2025C.-∞,-2026D.-∞,-20252.(2021·安徽高三月考(理))设函数f x 是定义在0,+∞ 上的可导函数，其导函数为f 'x ，且有2f x >xf 'x ，则不等式4f x -2021 >x -2021 2f 2 的解集为()A.2021,2023B.0,2022C.0,2020D.2022,+∞3.(2022·四川省眉山第一中学模拟预测(理))已知可导函数f (x )的定义域为(0,+∞)，满足xf (x )-2f (x )<0，且f (2)=4，则不等式f (x )>x 2的解集是．4.(23-24高三上·云南昆明)已知定义域为R 的函数f x ，对任意的x ∈R 都有f x >2x ，且f 1 =2，则不等式f 2x -4x 2-1>0的解集为()A.0,+∞B.12,+∞C.1,+∞D.2,+∞1.(22-23高三下·广东)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x >0时，有xf (x )+2f (x )<0恒成立，则()A.4f (1)>f 12B.f (2)9<f (3)4C.9f 12>4f -13D.9f (-1)<f -132.(22-23高三下·广东东莞)已知函数f x 的定义域为-∞,0 ,其导函数f x 满足xf x -2f x >0,则不等式f x +2023 -x +2023 2f -1 <0的解集为()A.(-2024,-2023)B.(-2024,0)C.(-∞,-2023)D.(-∞,-2024)3.(22-23高三上·山东泰安·阶段练习)已知f x 是定义在R 上的偶函数，f x 是f x 的导函数，当x ≥0时，f x -2x >0，且f 1 =2，则f x >x 2+1的解集是()A.-1,0 ∪(1,+∞)B.-∞,-1 ∪1,+∞C.-1,0 ∪0,1D.-∞,-1 ∪0,14.(2024·陕西商洛·模拟预测)已知函数f x =2x ln x -ax 2，若对任意的x 1,x 2∈0,+∞ ，当x 1>x 2时，都有2x 1+f x 2 >2x 2+f x 1 ，则实数a 的取值范围为()A.12e,+∞ B.1,+∞C.1e,+∞ D.2,+∞重难点题型(二)、与指数函数或对数函数有关的构造函数5.(2023·广东佛山·校考模拟预测)已知f x 是函数y =f x x ∈R 的导函数，对于任意的x ∈R 都有f x +f x >1，且f 0 =2023，则不等式e x f x >e x +2022的解集是()A.2022,+∞B.-∞,0 ∪2023,+∞C.-∞,0 ∪0,+∞D.0,+∞6.(2023·安徽黄山·统考三模)已知定义域为R 的函数f x ，其导函数为f (x )，且满足f (x )-2f x <0，f 0 =1，则()A.e 2f -1 <1B.f 1 >e 2C.f 12<e D.f 1 >ef 1e7.(22-23高三下·天津)已知可导函数f x 的导函数为f x ,f 0 =2023，若对任意的x ∈R ，都有f x <f x ，则不等式f x <2023e x 的解集为()A.0,+∞B.2023e 2,+∞C.-∞,2023e 2D.-∞,08.(22-23高三下·全国)定义域为R 的可导函数f x 的导函数为f x ，满足f x -f x <0，且f 0 =1，则不等式f xex <1的解集为()A.0,+∞B.2,+∞C.-∞,0D.-∞,21.(2023·山东烟台·二模)已知函数f x 的定义域为R ，其导函数为f x ，且满足f x +f x =e -x ，f 0 =0，则不等式e 2x -1 f x <e -1e的解集为( )．A.-1,1eB.1e ,eC.-1,1D.-1,e2.(2022·青海西宁·二模(理))已知定义在R 上的可导函数f x 的导函数为f x ，满足f x <f x ，且f x +3 为偶函数，f 6 =1，则不等式f x >e x 的解集为．3.(23-24高三下·广东佛山)已知函数f x 的定义域为0，+∞ ，且f x >-f x ln2恒成立，则不等式f ln x 4<f 22ln x 的解集为()A.1,e 2B.0,e 2C.1,e 3D.0,e 34.(23-24高三下·福建)设f (x )在R 上存在导数f (x )，满足f (x )+f (x )>0，且有f (2)=2,e x -2f (x )>2的解集为( )．A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)重难点题型(三)、与三角函数有关的构造函数1.(22-23高三上·重庆沙坪坝)已知f x 是函数f x 的导函数，f x -f -x =0，且对于任意的x ∈0,π2有f x cos x >f -x sin -x ．则下列不等式一定成立的是()A.32f -12 <f -π6 cos 12B.f -π6 >62f -π4C.f -1 <2f π4cos1 D.22f π4 >f -π32.(2023秋·陕西西安)已知函数f x 的定义域为-π2,π2 ，其导函数是f x .有f x x cos +f x xsin <0，则关于x 的不等式f x <2f π3x cos 的解集为()A.π3,π2B.π6,π2 C.-π6,-π3D.-π2,π63.(22-23高三上·全国·阶段练习)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为-π,0 ，f -π6=-2，3f (x )cos x +f (x )sin x >0，则不等式f (x )sin 3x -14>0的解集为()A.-π3,0 B.-π6,0 .C.-π6,-π3D.-π,-2π34.(2021·甘肃省武威第二中学高三期中(理))对任意x ∈0,π2，不等式sin x ⋅f x <cos x ⋅f x 恒成立，则下列不等式错误的是()A.f π3>2f π4 B.f π3 >2cos1⋅f 1 C.f π4<2cos1⋅f 1 D.f π4<62f π65.(2020高三·全国·专题练习)已知偶函数y =f (x )对于任意的x ∈0,π2满足f (x )⋅cos x +f (x )⋅sin x >0(其中f (x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式中不成立的是()A.2f -π3 <f π4B.2f -π3 >f π4C.f (0)<2f -π4D.f π6<3f π31.(21-22高三上·江西南昌·期末)设函数f x 是定义在0，π 上的函数f x 的导函数，有f (x )cos x -f (x )sin x >0，若a =0，b =12f π3 ，c =-22f 3π4，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.b >c >aC.c >a >bD.c >b >a2.(2021·东莞市东华高级中学高二期末)已知函数y =f (x )为R 上的偶函数，且对于任意的x ∈0,π2满足f '(x )cos x +f (x )sin x <0，则下列不等式成立的是()A.3f π3>f π6 B.f (0)>2f -π4C.f π4<2f -π3 D.-3f -π3>f -π6 3.(2022·安徽·合肥一中模拟)已知函数y =f x -1 图象关于点1,0 对称，且当x >0时，f x sin x +f x cos x >0则下列说法正确的是()A.f 5π6<-f 7π6 <-f -π6 B.-f 7π6<f 5π6 <-f -π6 C.-f -π6<-f 7π6 <f 5π6 D.-f -π6<f 5π6 <-f 7π6 4.(2024·重庆·模拟预测)若函数f x 的导函数为f x ，对任意x ∈-π,0 ,f x sin x <f x cos x 恒成立，则()A.2f -5π6 >f -3π4 B.f -5π6>2f -3π4 C.2f -5π6<f -3π4 D.f -5π6<2f -3π4 5.(21-22高三上·内蒙古赤峰·阶段练习)已知函数y =f (x )对任意的x ∈(0,π)满足f x cos x >f (x )sin x (其中f x 为函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是()A.f π6>3f π3 B.f π6<3f π3 C.3f π6>f π3 D.3f π6<f π3。

利用导数构造函数十四种归类(学生版)

利用导数构造函数十四种归类目录重难点题型归纳 1【题型一】幂积形式构造 1【题型二】幂商形式构造 4【题型三】指数积形式构造 7【题型四】指数商形式构造 10【题型五】正弦积形式构造 13【题型六】正弦商形式构造 16【题型七】正切形式构造 19【题型八】一次函数形式积与商形式构造 22【题型九】对数函数形式构造 25【题型十】f(x)+r(x)函数形式构造 27【题型十一】复杂的指数函数构造 30【题型十二】幂指对混合型构造 31【题型十三】三角函数综合型构造 34【题型十四】综合应用 37好题演练 39重难点题型归纳题型一幂积形式构造【典例分析】1.已知函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0，且当x∈(-∞,0)时，f(x)+xf x <0成立，若a=20.6⋅f20.6，b=(ln2)⋅f(ln2)，c=log21 8⋅f log218，则a，b，c的大小关系是()A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b2.已知函数f x x∈R及其导函数f'x 满足2f x +xf'x <0且f x ≠0.若f x2+mf x + 3≥0恒成立，则()A.m≥-23B.m≥23C.-3≤m≤3D.m≤231..设函数f x 是定义在0,+∞上的可导函数，其导函数为f x ，且有2f x +xf x >0，则不等式x-20212f x-2021-f1 >0的解集为()A.2020,+∞B.0,2022C.0,2020D.2022,+∞2..已知f(x)的定义域为0,+∞，f (x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<-xf (x)，则不等式f x+1>x-1f x2-1的解集是()A.0,1B.2,+∞C.1,2D.1,+∞题型二幂商形式构造【典例分析】1.设函数f x 是定义在0,+∞上的可导函数，且xf x >2f x ，则不等式4f x-2022<(x-2022)2f2 的解集为()A.2022,2023B.2022,2024C.2022,+∞D.0,20232..已知函数f x 及其导数f x 满足xf x +f x =e xxx>0，f2 =e2，对满足ab=4e的任意正数a，b都有f2x<1a2+1b2，则x的取值范围是()A.0,1B.1,2C.-∞,1D.1,+∞1.定义在区间0,+∞内的函数f x 满足f x >0，且当x∈0,+∞时，2f x <xf x <3f x 恒成立，其中f x 为f x 的导函数，则()A.116<f1f2<18B.18<f1f2<14C.14<f1f2<13D.13<f1f2<122..已知定义在R上的偶函数f x ，其导函数为f x ，若xf (x)-2f(x)>0，f(-3)=1，则不等式f(x) x <19x的解集是()A.(-∞,-3)∪(0,3)B.-3,3C.(-3,0)∪(0,3)D.(-∞,-3)∪(3,+∞)题型三指数积形式构造【典例分析】1.f x 是定义在R上的函数，满足2f x +f x =xe x，f-1=-12e，则下列说法正确的是()A.f x 在R上有极大值B.f x 在R上有极小值C.f x 在R上既有极大值又有极小值D.f x 在R上没有极值2.已知定义在R上的偶函数f x 满足f x-3 2-f-x-32=0，f2022=1e，若f x >f-x，则不等式f x+2>1e x的解集为()A.-∞,0B.-∞,1C.1,+∞D.3,+∞1.定义在R上的函数f(x)满足e2(x+1)f(x+2)=f(-x)，且对任意的x≥1都有f x +f(x)>0(其中f x 为f(x)的导数)，则下列判断正确的是()A.ef3 <f2B.ef1 >f0C.e4f3 >f-1D.e5f3 <f-22.已知定义在R上的偶函数f x 满足f x+2-f2-x=0，f2022=1e，若f x <f-x，则不等式f x+1>1e x的解集为()A.-∞,0B.-∞,1C.1,+∞D.3,+∞题型四指数商形式构造【典例分析】1.设函数f x 是函数f x x∈R的导函数，已知f x <3f x -3，且f x =f -2-x，f-3=1-e，f-1=1，则使得f x -e3x-2<1成立的x的取值范围是()A.-2,+∞B.0,+∞C.1,+∞D.2,+∞2.定义域为R的可导函数的导函数y=f x 为f x ，满足f x >f x ，且f0 =1，则不等式f x<e x的解集为()A.-∞,2B.2,+∞C.-∞,0D.0,+∞1.设f x 是定义在R 上的连续函数f (x )的导函数，且f x >f x .当x >0时，不等式e ax f (ln x )<xf (ax )恒成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为() A.1e,+∞B.0,1eC.(e ,+∞)D.(0,e )2..已知函数f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有f x =f -xe 2x，当x >0时，f x +f x >0，若e a -1f 2a +1 ≥f a +2 ，则实数a 的取值范围是()A.-1,1B.-2,2C.-∞,-1∪ 1,+∞D.-∞,-2∪ 2,+∞题型五正弦积形式构造【典例分析】1.已知函数f (x )是定义在-π2,π2上的奇函数.当x ∈0,π2 时，f (x )+f '(x )tan x >0，则不等式cos x ⋅f x +π2+sin x ⋅f (-x )>0的解集为()A.π4,π2B.-π4,π2C.-π4,0D.-π2,-π42.已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为R ，且f (x )为偶函数，f π6=-2，3f (x )cos x +f(x )sin x <0，则不等式f x +π2 cos 3x -14<0的解集为()A.-2π3,+∞ B.-π3,+∞ C.-2π3,π3D.-∞,-2π31.已知f x 是定义域为-π2,π2 的奇函数f x 的导函数，当0<x <π2时，都有f x cos x +fx sin x >0，f π4 =2，则不等式f x >1sin x的解集为()A.-π2,-π4 ∪π4,π2 B.-π4,0 ∪0,π4C.-π2,-π4 ∪0,π4D.-π4,0 ∪π4,π22.已知函数f (x )是定义在-π2,π2上的奇函数.当x ∈0,π2 时，f (x )+f '(x )tan x >0，则不等式cos x ⋅f x +π2+sin x ⋅f (-x )>0的解集为()A.π4,π2B.-π4,π2C.-π4,0D.-π2,-π4题型六正弦商形式构造【典例分析】1.设f (x )是定义在(-π,0)∪(0,π)的奇函数，其导函数为f (x )，当x ∈(0,π)时，f (x )sin x -f (x )cos x <0，则关于x 的不等式f (x )<2f π6sin x 的解集为()A.-π6,0 ∪0,π6B.-π6,0 ∪π6,π C.-π,-π6 ∪π6,π D.-π，-π6 ∪0,π62.已知奇函数f (x )的定义域为-π2,0 ∪0,π2 ，其导函数是f '(x )．当x ∈0,π2时，f '(x )sin x -f (x )cos x <0，则关于x 的不等式f (x )<2f π6sin x 的解集为()A.-π2,-π6 ∪0,π6B.-π2,π6 ∪π6,π2C.-π6,0 ∪0,π6D.-π6,0 ∪π6,π2【变式演练】1.已知奇函数f x 的导函数为f x ，且f x 在0,π2上恒有f (x )cos x -f(x )sin x <0成立，则下列不等式成立的()A.2f π6>f π4 B.f -π3 <3f -π6 C.3f -π4 <2f -π3D.22f π3 <3f π4 2.已知函数y =f x 对x ∈0,π 均满足f x sin x -f x cos x =1x-1，其中f x 是f x 的导数，则下列不等式恒成立的是()A.2f π6<f π4 B.f π3<32f π2 C.f π3 <f 2π3 D.32f π2 <f 2π3题型七正切形式构造【典例分析】1.定义在0,π2上的函数f(x)，其导函数是f′(x)，且恒有f(x)<f′(x)⋅tan x成立，则() A.fπ6>3fπ3 B.fπ6 <3fπ3 C.3fπ6 >fπ3 D.3fπ6 <fπ32.函数f x 定义在0,π2上，f x 是它的导函数，且tan x⋅f x >f x 在定义域内恒成立，则()A.2fπ4<fπ3 B.3fπ6 <fπ3C.cos1⋅f1 >32fπ6D.2fπ4 <3fπ6【变式演练】1.已知f(x)是定义在-π2 ,π2上的奇函数f(1)=0，且当x∈0,π2时，f(x)+f (x)tan x>0，则不等式f(x)<0的解集为()A.(-1,0)∪1,π2B.(-1,0)∪(0,1)C.-π2,-1∪1,π2D.-π2,-1∪(0,1)2.已知函数y =f (x )x ∈0,π2，y =f (x )是其导函数，恒有f (x )<f (x )tan x ，则A.3f π4<2f π3 B.3f π4 >2f π3C.f (1)<2f π6sin1D.2f π6 >f π4题型八一次函数形式积与商形式构造【典例分析】1.已知定义在R 上的函数f x 满足f 2+x =f 2-x ，且当x >2时，有xf x +f x >2f x ,若f 1 =1，则不等式f x <1x -2的解集是()A.(2,3)B.-∞,1C.1,2 ∪2,3D.-∞,1 ∪3,+∞2.已知函数f x 的定义域为0,+∞ ，导函数为f x ，若f x <f xx +1恒成立，则()A.f 2 >f 3B.2f 1 >f 3C.f 5 >2f 2D.3f 5 >f 1【变式演练】1.已知定义在R 上的图象连续的函数f x 的导数是f x ，f x +f -2-x =0，当x <-1时，x +1 f x +x +1 fx <0，则不等式xf x -1 >f 0 的解集为()A.(-1,1)B.-∞,-1C.1,+∞D.-∞,-1 ∪1,+∞2.已知函数f x 的定义域为1,+∞ ，其导函数为f x ，x +2 2f x +xf x <xf x 对x ∈1,+∞ 恒成立，且f 5 =1425，则不等式x +3 2f x +3 >2x +10的解集为()A.1,2 B.-∞,2 C.-2,3 D.-2,2题型九对数函数形式构造【典例分析】1.设函数f (x )是定义在区间12，+∞上的函数，f '(x )是函数f (x )的导函数，且xf x ln 2x >f x ,x >12 ,f e 2 =1，则不等式f e x2<x 的解集是A.12，1B.(1，+∞)C.(-∞，1)D.(0，1)2.设定义在0,+∞ 上的函数f x ≠0恒成立，其导函数为f x ，若f x -x +1 f x ln x +1 <0，则()A.2f 1 >f 3 >0B.2f 1 <f 3 <0C.2f 3 >f 1 >0D.2f 3 <f 1 <0【变式演练】1.已知f (x )是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，f (x )是f (x )的导函数，f (1)≠0,且满足:f (x )⋅ln x +f (x )x <0,则不等式(x -1)⋅f (x )<0的解集为()A.(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,1)C.-∞,1D.-∞,0 ∪(1,+∞)2.若函数f x 满足：x -1 fx -f x =x +1x -2，f e =e -1，其中f x 为f x 的导函数，则函数y =f x 在区间1e ,e 的取值范围为()A.0,eB.0,1C.0,eD.0,1-1e题型十f (x )+r (x )函数形式构造【典例分析】1.．已知函数f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ∈0,+∞ 时，f x >2x ，f 2 =4，则不等式xf x -1 +2x 2>x 3+x 的解集为()A.-1,0 ∪3,+∞B.-1,1 ∪3,+∞C.-∞,-1 ∪0,3D.-1,32.已知定义在R 上的函数f x 的导函数为f x ，若f x <e x ，且f 2 =e 2+2，则不等式f ln x >x +2的解集是()A.0,e 2B.0,2C.-∞,e 2D.-∞,2【变式演练】1.函数f (x )的定义域为(-∞,+∞)，其导函数为f (x )，若f (x )=f (-x )-2sin x ，且当x ≥0时，f (x )>-cos x ，则不等式f x +π2>f (x )+sin x -cos x 的解集为．2.已知 y =f x (x ∈R )的导函数为 f x ，若 f x -f (-x )=2x 3且当 x ≥0时 f x >3x 2，则不等式f x -f (x -1)>3x 2-3x +1的解集是．【典例分析】1.已知f (x )是定义在R 上的函数，f (x )是f (x )的导函数，且f (x )+f (x )>2,f (2)=4，则下列结论一定成立的是()A.f (3)<2e +3eB.f (3)<2e +2eC.f (3)>2e +3eD.f (3)>2e +2e2.已知f (x )是定义在R 上的函数，f (x )是f (x )的导函数，且f (x )+f (x )>1，f (1)=2，则下列结论一定成立的是()A.f (2)<1+2eeB.f (2)<1+e eC.f (2)>1+2e eD.f (2)>1+e e【变式演练】1.若定义在R 上的函数f (x )满足f (x )+x +f (x )+1>2e -x ，f (0)=5，则不等式f (x )>(2x +5)e -x -x 的解集为()A.(-∞,0)∪(0,+∞)B.(-∞,0)∪(5,+∞)C.(0,+∞)D.(5,+∞)2.若函数f x 的定义域为R ，满足f 0 =2，∀x ∈R ，都有f x +f x >1，则关于x 的不等式f x >e -x +1的解集为()A.x x >0B.x x >eC.x x <1D.x 0<x <e【典例分析】1.已知定义在(0，+∞)上的函数满足xf x +2-xf x =e xxx+ln x-1，则下列不等式一定正确的是()A.4f1 <e f12B.4f2 <ef1C.4ef2 >9f3D.e32f12 <16f22.已知函数f x 的导函数为f x ，对任意的实数x都有f x =f x -2e-x+2x-x2，f0 =2，则不等式 f x-1<e2+e-2+4的解集是()A.0,1B.-1,1C.-1,3D.e,3【变式演练】1.已知奇函数f x 的定义域为R，其函数图象连续不断，当x>0时，x+2f x +xf x >0，则()A.f14e>f2 B.f2 <0 C.f-3⋅f1 >0 D.f-1e>4f-22.已知奇函数f(x)的定义域为R，其函数图象连续不断，当x>0时，(x+2)f(x)+xf (x)>0，则()A.f(1)4e>f(2) B.f(-2)>0 C.f(-3)⋅f(1)>0 D.f(-1)e>4f-2题型十三三角函数综合型构造【典例分析】1.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )-f (-x )-6x +2sin x =0，且x ≥0时，f (x )≥3-cos x 上恒成立，则不等式f (x )≥f π2-x -3π2+6x +2cos x +π4的解集为()A.π4,+∞ B.π4,+∞ C.π6,+∞ D.π6,+∞ 2.已知基本初等函数f (x )的导函数f(x )满足f(x )=f (x )，则不等式f (x )>2e π3cos x 在区间0,π2上的解集为()A.0,π6B.π6,π3C.π3,π2D.0,π3【变式演练】1.已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为-π,0 ，f -π6=-2，3f (x )cos x +f(x )sin x >0，则不等式f (x )sin 3x -14>0的解集为()A.-π3,0 B.-π6,0 .C.-π6,-π3D.-π,-2π32.已知在定义在R 上的函数f x 满足f x -f -x -6x +2sin x =0，且x ≥0时，f x ≥3-cos x 恒成立，则不等式f x ≥f π2-x -3π2+6x +2cos x +π4的解集为()A.0,π4B.π4,+∞C.-∞,π6D.π6,+∞题型十四综合应用【典例分析】1.定义在R上的函数f(x)满足:f(x)+f (x)>1,f(1)=3,f (x)是f(x)的导函数, 则不等式f(x)>1 +2e x-1的解集为A.(1,+∞)B.(-∞,1)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(0,+∞)2.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若f(x)<0，且12f(x)2+f'(x)>1，则A.f23 <f21e2B.f2e<f1 C.f21e<f22 D.f3 <e2⋅f1【变式演练】1.设函数f x 在R上的导函数为f (x)，f(x)+f(-x)=0，对任意x∈(0,+∞)，都有f(x)f (x)>x，且f1 =2，则不等式[f(x-1)]2<x2-2x+4的解集为()A.(-∞,0)∪(2,+∞)B.0,2C.1,3D.(-∞,1)∪(3,+∞)2.设函数f x 的导函数是f x ，且f x ⋅f x >x恒成立，则()A.f(1)<f(-1)B.f(1)>f(-1)C.|f(1)|<|f(-1)|D.|f(1)|>|f(-1)|好题演练一、单选题1.(2023春·河北保定·高三校联考阶段练习)定义在0,+∞ 上的函数f x 的导函数为f x ，若xf x -f x <0，且f 2 =0，则不等式x -1 f x >0的解集为()A.0,2B.1,2C.0,1D.2,+∞2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 在x >0上可导且满足f x -f x >0，则下列不等式一定成立的为()A.f 2 >ef 3B.f 3 <ef 2C.f 3 >ef 2D.f 2 <ef 33.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的函数f x 的导函数为f x ，若f x <e x ，且f 2 =e 2+2，则不等式f ln x >x +2的解集是()A.0,2B.0,e 2C.e 2,+∞D.2,+∞4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数记为f x ，若对于任意实数x ，有f x >f x ，且f 0 =1，则不等式f x <e x 的解集为()A.-∞,0B.0,+∞C.-∞，e 4D.e 4，+∞5.(2023春·广东佛山·高三顺德一中校考)已知f x 是偶函数f x x ∈R 的导函数，f 1 =1．若x ≥0时，f x +xf x >0，则使得不等式x -2023 ⋅f x -2023 >1成立的x 的取值范围是()A.2023,+∞B.-∞,-2023 ∪2023,+∞C.2024,+∞D.-∞,-2024 ∪2024,+∞6.(湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三下学期联考数学试题)已知f x 是定义在R 上的函数f x 的导函数，且f x +xf x <0，则a =2f 2 ,b =ef e ,c =3f 3 的大小关系为()A.a >b >cB.c >a >bC.c >b >aD.b >a >c7.(2023春·山东枣庄·高三统考)定义在R 上的函数f x 的导函数为f x ，且3f x +f x <0，f ln2 =1，则不等式f x >8e -3x 的解集为()A.-∞,2B.-∞,ln2C.ln2,+∞D.2,+∞8.(2023·陕西榆林·统考三模)定义在(0,+∞)上的函数f (x ),g (x )的导函数都存在，f (x )g (x )+f (x )g (x )<1，且f (1)=2，g (1)=1，则不等式f (x )g (x )<x +1的解集为()A.(1,2)B.(2,+∞)C.(0,1)D.(1,+∞)二、多选题9.(2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考开学考试)若函数f x 的定义域为0,+∞ ，其导函数为f x ，满足1x f (x )-ln xxf (x )+f (x )ln x >0恒成立，则下列结论一定正确的是()A.f (2)>0B.f (e )<0C.ef (e )<2f e 2D.-e 2f 1e>f (e )10.(2023·高三课时练习)已知定义在R 上的函数f x 的导数为f x ，对任意的x 满足f x -f x =e x ，则()A.ef 1 <f 2B.e 3f -1 <f 2C.ef 0 <f 1D.ef 0 <f -111.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域是0,+∞ ，其导函数是f x ，且满足ln x ⋅fx +1x ⋅f x >0，则下列说法正确的是()A.f 1e >0 B.f 1e<0 C.f e >0 D.f e <012.(2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测)已知f x 为函数f x 的导函数，若x 2f x+xf x =ln x ，f 1 =12，则下列结论错误的是()A.xf x 在0,+∞ 上单调递增B.xf x 在0,+∞ 上单调递减C.xf x 在0,+∞ 上有极大值12D.xf x 在0,+∞ 上有极小值12三、填空题1.(2023春·山西运城·高三康杰中学校考阶段练习)若f (x )为定义在R 上的连续不断的函数，满足f (x )+f (-x )=4x 2，且当x ∈(-∞,0)时，f (x )+12<4x ．若f (m +1)≤f (-m )+3m +32，则m 的取值范围．2.(2023·安徽安庆·统考二模)已知函数f x =e ax -ax ，其中a >0，若不等式f x ≥3x 2-1xln x 对任意x >1恒成立，则a 的最小值为.3.(2023·高三单元测试)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，其导函数为f (x)，且xf (x)=x-2x3 +f(x)，f(e)=3e-e3，则f(x)在区间(0,+∞)上的极大值为．4.(2022秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习)已知函数f x 的导函数f x 满足：f x -f x =e2x，且f0 =1，对任意x>0，不等式2af x -ln x+ln a≥0恒成立，则实数a的最小值为．。

2024高考数学常考题型导数中构造函数比大小问题题型总结(解析版)

第4讲导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】题型一：构造()xxx f ln =比较大小此函数定义域为()+∞,0，求导()2ln 1x xx f -='，当()e x ,0∈时，()0>'x f ，故()x f 为增函数，当()+∞∈,e x 时，()0<'x f ，故()x f 为减函数，当e x =时，()x f 取得极大值为()ee f 1=，且()()222ln 42ln 244ln 4f f ====，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较【例1】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）若1ln 2ln 3,,e 23a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a>>C ．c b a>>D ．a b c>>【答案】A 【解析】【分析】通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数()ln xf x x=，通过求导分析其单调性即可得到答案【详解】解：1ln e ln 2ln 4ln 3,,e e 243a b c =====，设()()2ln 1ln ,x x f x f x x x -'==，则e x >时，()0f x '<，故()f x 在()e,∞+上单调递减，则()()()3e 4f f f >>，即ln e ln 3ln 4e34>>，所以a c b >>．故选：A.【例2】（2023·全国·高三专题练习）设24ln 4a e -=，ln 22b =，1c e =，则（）A ．a c b <时,()0f x '<,函数单调递减,当0e x <<时,()0f x '>,函数单调递增,故当e x =时,函数取得最大值()1e ef =,因为()2222e ln 22ln22e e e 22a f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()()4ln2l e n 4e 1,24b f c f =====,2e 42e << ,当e x >时,()0f x '<,函数单调递减,可得()()2e 4e 2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,即b a c <<.故选:C【例3】（2022·吉林·高二期末）下列命题为真命题的个数是（）①ln 32<；②ln π<；③15<；④3e ln 2>．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】本题首先可以构造函数()ln x f x x =，然后通过导数计算出函数()ln xf x x=的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数()ln xf x x=的单调性即可比较出大小．【详解】解：构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，e x >时，()0f x '<，所以函数()ln xf x x=在()0,e 上递增，在()e,+∞上递减，所以当e x =时()f x 取得最大值1e，ln 322ln 2ln 22<⇔⇔，2e <<可得()2ff <，故①正确；lnπ<⇔e <<，可得f f <，故②错误；ln 2ln 4152ln1524<⇔<⇔<<，因为函数()ln xf x x=在()e,+∞上递减，所以()4f f<，故③正确；因为e >，所以(()e f f <，ln ee <1e <，则3e <即3e ln 2<④错误，综上所述，有2个正确.故选：B ．【点睛】本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题．【例4】（2021·陕西汉中·高二期末（理））已知a ，b ，c 均为区间()0,e 内的实数，且ln 55ln a a =，ln 66ln b b =，ln 77ln c c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．a b c>>C ．c a b>>D ．c b a>>【答案】B 【解析】【分析】构造函数()ln xf x x=，由导数判断函数单调性，进而利用单调性即可求解.【详解】解：令()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，函数()F x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为765e >>>，所以()()()765f f f <<，因为a ，b ，c 均为区间()0,e 内的实数，且ln 5ln 5a a =，ln 6ln 6b b =，ln 7ln 7c c=，所以()()()f a f b f c >>，所以a b c >>，故选：B.【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））设ln 28a =，21e b =，ln 612c =，则（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b<<【答案】B 【解析】【分析】根据a 、b 、c 算式特征构建函数()2ln xf x x =，通过求导确定函数单调性即可比较a 、b 、c 的大小关系.【详解】令()2ln x f x x =，则()42ln 0x x xx x f x '-==⇒=因此()2ln xf x x =在)∞+上单调递减，又因为ln 2ln 4(4)816a f ===，22ln e1=(e)e e b f ==，ln 612c f ===，因为4e >>>a b c <<．故选：B ．【题型专练】1.（2022·四川省资阳中学高二期末（理））若ln212ln3,,29e a b c ===，则（）A ．b a c>>B ．b c a>>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A 【解析】【分析】令()ln xf x x=，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断a 、c ，即可得解；【详解】解：令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，所以当0e x <<时()0f x '>，当e x >时()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，所以()()max ln e 1e e e f x f ===，所以1e ln22>又94ln22ln39ln 24ln 3ln 2ln 3ln 512ln 91029181818----===>所以ln22ln329>，即b a c >>.故选：A2.（2022·浙江台州·高二期末）设24ln 4e a -=，ln 22b =，c =，则（）A ．a b c <，可得21ln ()x f x x -'=，所以()0f x '>有0e x <<，则(0,e)上()f x 递增；()0f x '<有e x >，则(e,)+∞上()f x 递减；又2e 43e 2>>>，故c a b >>.故选：B3.（2022·四川广安·模拟预测（理））在给出的（1ln 32）43ln 34<e （3）ee ππ>.三个不等式中，正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【解析】【分析】根据题目特点，构造函数()ln x f x x =，则可根据函数()ln xf x x=的单调性解决问题.【详解】首先，我们来考察一下函数()ln xf x x=，则()21ln xf x x -'=，令()0,f x '>解得0e x <<，令()0,f x '<解得e x >，故()ln xf x x=在区间()0,e 上单调递增，在区间()e,+∞单调递减，所以，（1）ff <ln 3>，则正确；（2）()43e 3f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即4343lne ln33e <，即43e ln 34⋅>，则错误；（3）()()πf e f >，即e e e e e e ππππππln ln ln ln ln ln >⇒>⇒>，所以，e e ππ>，则正确故选：C.4.（2022·四川资阳·高二期末（文））若ln 33a =，1eb =，3ln 28c =，则（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】A 【解析】【分析】设函数ln (),(0)xf x x x=>，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案.【详解】设ln (),(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，()f x 递增，当e x >时，()0f x '<，()f x 递减，当e x =时，函数取得最小值，由于e 38<<，故lne ln 3ln 8e 38>>，即b a c >>，故选：A5.（2022·山东日照·高二期末）π是圆周率，e 是自然对数的底数，在e 3，3e ，33，e e ，πe ，3π，π3，e π八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.【答案】e e π3【解析】【分析】分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为3,e 以及π的数的大小关系，再由幂函数的单调性，找出最小的数，最后利用函数()ln xf x x=的单调性，判断出最大的数．【详解】显然八个数中最小的数是e e .函数3x y =是增函数，且e 3π<<，∴e 3π333<<；函数e x y =是增函数，且e 3π<<，e 3πe e e <<；函数πx y =是增函数，且e 3π<<，e 3ππ<；函数e y x =在()0,∞+是增函数，且e 3π<<，e e e e 3π<<，则八个数中最小的数是e e 函数πy x =在()0,∞+是增函数，且e 3<，ππe 3<，八个数中最大的数为3π或π3，构造函数()ln xf x x=，求导得()21ln xf x x -'=，当()e,x ∈+∞时()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞是减函数，()()3πf f >，即ln 3ln π3π>，即πln 33ln π>，即π3ln 3ln π>，π33π∴>，则八个数中最大的数是π3.故答案为：e e ；π3．6.（2022·安徽省宣城中学高二期末）设24ln41,,e ea b c -===,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <，利用导数求得()f x 的单调性和最值，化简可得2e 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(e)b f =，(2)c f =，根据函数解析式，可得ln 4(4)(2)4f f ==且2e e 42<<，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案.【详解】设ln ()(0)xf x x x=>，则221ln 1ln ()x xx x f x x x ⋅--'==，当(0,e)x ∈时，()0f x '>，则()f x 为单调递增函数，当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，则()f x 为单调递减函数，所以max 1()(e)ef x f ==，又222222e ln 4ln42(ln e e 2e e e 22ln 2)a f ⎛⎫-==-== ⎪⎝⎭，1(e)e b f ==，1ln 2(2)2c f ===，又2ln 4ln 2ln 2(4)(2)442f f ====，2e e 42<<，且()f x 在(e,)+∞上单调递减，所以2e (2)(4)2f f f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以b a c >>.故选：D7.（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知实数a ，b ，c 满足ln ln ln 0e a a b cb c==-<，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a <，构造函数ln (),(0)xf x x x=>，判断01x <<时的单调性，利用其单调性即可比较出a,b 的大小，即可得答案.【详解】由ln ln ln 0e a a b cb c==-<，得01,01,1a b c <<<<>，设ln (),(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，因为01a <<，所以e 1>>a a ，所以ln ln e a aa a>，故()()ln ln ln e =>∴>a a b a f b f a b a ，则b a >，即有01a b c <<<<，故a b c <<.故选：C.题型二：利用常见不等式关系比较大小1、常见的指数放缩：)1();0(1=≥=+≥x ex e x x e xx证明：设()1--=x e x f x，所以()1-='xe xf ，所以当()0,∞-∈x 时，()0<'x f ，所以()x f 为减函数，当当()+∞∈,0x 时，()0>'x f ，所以()x f 为增函数，所以当0=x 时，()x f 取得最小值为()00=f ，所以()0≥x f ，即1+≥x e x2.常见的对数放缩：)(ln );1(1ln 11e x exx x x x x =≤=-≤≤-3.常见三角函数的放缩：x x x x tan sin ,2,0<<⎪⎭⎫⎝⎛∈π【例1】（2022·湖北武汉·高二期末）设4104a =，ln1.04b =，0.04e 1c =-，则下列关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D 【解析】【分析】分别令()()e 10xf x x x =-->、()()()ln 10g x x x x =+->、()()()ln 101xh x x x x=+->+，利用导数可求得()0f x >，()0g x <，()0h x >，由此可得大小关系.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x ->，则0.04e 10.04->；令()()()ln 10g x x x x =+->，则()11011x g x x x'=-=-<++，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即()ln 1x x +<，则ln1.040.04<；0.04e 1ln1.04∴->，即c b >；令()()()ln 101x h x x x x=+->+，则()()()22110111x h x x x x '=-=>+++，()h x ∴在()0,∞+上的单调递增，()()00h x h ∴>=，即()ln 11xx x+>+，则0.044ln1.04 1.04104>=，即b a >；综上所述：c b a >>.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.【例2】（2022·山东菏泽·高二期末）已知910a =，19eb -=，101ln 11c =+，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <+≠，从而得到11b a>，设()ln 1g x x x =-+，利用导数得到()ln 11x x x <-≠，从而得到111ln 1010<和c a >，即可得到答案.【详解】解：设()e 1x f x x =--，()e 1xf x '=-，令()0f x ¢=，解得0x =.(),0x ∈-∞，()0f x ¢<，()f x 单调递减，()0,x ∞∈+，()0f x ¢>，()f x 单调递增.所以()()00f x f ≥=，即e 10x x --≥，当且仅当0x =时取等号.所以()e 10xx x >+≠.又1911101e 199b a=>+==，0,0a b >>，故11b a >，所以b a <；设()ln 1g x x x =-+，()111xg x x x-'=-=，令()0g x ¢=，解得1x =.()0,1∈x ，()0g x ¢>，()g x 单调递增，()1,x ∈+∞，()0g x ¢<，()g x 单调递减.所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤，当且仅当1x =时取等号.所以()ln 11x x x <-≠，故11111ln 1101010<-=，又1011011lnln ln ln1011101110c a -=+>+==，所以c a >，故b a c <<.故选：B.【例3】（2022·四川凉山·高二期末（文））已知0.01e a =， 1.01b =，1001ln 101c =-，则（）．A ．c a b >>B ．a c b>>C ．a b c>>D ．b a c>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数()e 1x f x x =--，由导数确定单调性，进而即得．【详解】设()e 1x f x x =--，则e ()10x f x '=->，在0x >时恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以e 1(0)0x x f -->=，即e 1x x >+，0x >，∴0.01e 1.01>，又ln1.010>，∴ln1.01e 1ln1.01>+，即1001.011ln 101>-，所以a b c >>．故选：C ．【例4】（2022·四川绵阳·高二期末（理））若8ln 7a =，18=b ,7ln 6c =，则（）A ．a c b <，利用导数分析函数()f x 的单调性，可比较得出a 、b 的大小关系，利用对数函数的单调性可得出c 、a 的大小关系，即可得出结论.【详解】构造函数()1ln 1f x x x=+-，其中1x >，则()221110x f x x x x -'=-=>，所以，函数()f x 在()1,+∞上为增函数，故()()10f x f >=，则88781ln 1ln 077878f ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，即a b >，78lnln 67> ，因此，b a c <<.故选：D.【例5】（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a >>B ．b a c>>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A 【解析】【分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >；构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，利用导数可得b a >，即可得解.【详解】因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭所以11tan44>,即1cb >,所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A 【题型专练】1.（2022·福建·莆田一中高二期末）设ln1.01a =， 1.0130e b =，1101c =，则（）A ．a b c <），证明ln 1≤-x x ，令 1.01x =，排除选项A,B,再比较,a b 大小，即得解.【详解】解：构造函数()ln 1f x x x =-+（0x >），()10f =，()111xf x x x-'=-=，所以()f x 在()0,1上()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 在()1,+∞上()0f x '<，()f x 单调递减，所以max ()(1)0,ln 10,ln 1f x f x x x x ==∴-+≤∴≤-，令 1.01x =，则 ln a x =，30e x b =，11c x=-，考虑到ln 1≤-x x ，可得11ln 1x x ≤-，1ln 1x x -≥-等号当且仅当 1x =时取到，故 1.01x =时a c >，排除选项A ，B.下面比较,a b 大小，由ln 1≤-x x 得 1.01ln1.01 1.0130e<<，故b a >，所以c a b <<.故选：D.2.（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）已知1cos 5a =，4950b =，15sin 5=c ，则（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数21()cos 12f x x x =+-，利用导数求解函数()f x 的单调性，利用单调性进行求解.【详解】解：设21()cos 1,(01)2f x x x x =+-<<，则()sin f x x x '=-，设()sin ,(01)g x x x x =-<<，则()1cos 0g x x '=->，故()g x 在区间(0,1)上单调递增，即()(0)0g x g >=，即()0f x '>，故()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以1(0)05f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，可得149cos 550>，故a b >，利用三角函数线可得0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >，所以11tan 55>，即1sin1515cos 5>，所以115sincos 55>，故c a >综上，c a b >>故选：D.3（2022·湖北武汉·高二期末）设4104a =，ln1.04b =，0.04e 1c =-，则下列关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D 【解析】【分析】分别令()()e 10xf x x x =-->、()()()ln 10g x x x x =+->、()()()ln 101xh x x x x=+->+，利用导数可求得()0f x >，()0g x <，()0h x >，由此可得大小关系.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x ->，则0.04e 10.04->；令()()()ln 10g x x x x =+->，则()11011x g x x x'=-=-<++，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即()ln 1x x +<，则ln1.040.04<；0.04e 1ln1.04∴->，即c b >；令()()()ln 101x h x x x x =+->+，则()()()22110111x h x x x x '=-=>+++，()h x ∴在()0,∞+上的单调递增，()()00h x h ∴>=，即()ln 11xx x+>+，则0.044ln1.04 1.04104>=，即b a >；综上所述：c b a >>.故选：D.题型三：构造其它函数比大小（研究给出数据结构，合理构造函数）【例1】（2022·河南河南·高二期末（理））已知1ln 22a a -=，1ln 33b b -=，e ln e cc -=，其中12a ≠，13b ≠，e c ≠，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A ．c a b <，并求()f x '，利用函数()f x 的图象去比较a b c 、、三者之间的大小顺序即可解决.【详解】将题目中等式整理，得11ln ln 22a a -=-，11ln ln 33b b -=-，ln e ln e c c -=-，构造函数()()ln 0f x x x x =->，()111x f x x x-'=-=，令()0f x '=，得1x =，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，函数()f x 的大致图象如图所示．因为()12f a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()13f b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()e f c f =，且12a ≠，13b ≠，e c ≠，则由图可知1b a >>，01c <<，所以c a b <<．故选：A ．【例2】（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）设 1.01e a =，3eb =，ln 3c =，其中e 为自然对数的底数，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．c a b>>C ．a c b>>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】可判断 1.012e a =>，e32b =<，ln 32c =<，再令()ln exf x x =-，[e x ∈，)∞+，求导判断函数的单调性，从而比较大小．【详解】解： 1.012e a =>，e 32b =<，ln 32c =<，令()ln exf x x =-，[e x ∈，)∞+，11()0e e e x f x x x-'=-=<，故()f x 在[e ，)∞+上是减函数，故()()e 3f f <，即3ln 30e-<，故 1.013l e e n 3<<，即c b a <<，故选：D ．【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知ln 32a =，1e 1b =-，ln 43c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件构造函数ln ()e)1xf x x x =≥-，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.【详解】令函数ln ()(e)1x f x x x =≥-，求导得()211ln ()1x x f x x --'=-，令()11ln g x x x =--，则()210,(e)xg x x x -'=<≥，故()11ln g x x x =--，(e)x ≥单调递减，又()111ln101g =--=，故()0,(e)g x x <≥，即()0,(e)f x x '<≥，而e 34<<，则(e)(3)(4)f f f >>，即1ln 3ln 4e 123>>-，所以b a c >>，故选：A【例4】（山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）设110a =，ln1.1b =，910ec -=，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数的性质可比较,a c 的大小，再构造函数()ln(1)f x x x =-+，利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性可比较出,a b ，从而可比较出三个数的大小【详解】因为e x y =在R 上为增函数，且9110-<-，所以9110e e --<，因为11e 10-<，所以9101e 10-<，即a c <，令()ln(1)f x x x =-+（0x >），得1()1011xf x x x'=-=>++，所以()f x 在(0,)+∞上递增，所以()(0)0f x f >=，所以ln(1)x x >+，令0.1x =，则0.1ln1.1>，即1ln1.110>，即a b >，所以b a c <<，故选：D【例5】（2022·四川南充·高二期末（理））设0.010.01e a =，199b =，ln 0.99c =-，则（）A ．c a b <>，则ln ln ln [ln ln(1)]ln(1)y t x x x x x x -=+---=+-，令()ln(1)f x x x =+-，1)x ∈-，求导得1()1011x f x x x '=+=<--，即()f x 在1)-上单调递减，1)x ∀∈，()(0)0f x f <=，即ln ln y t y t <⇔<，因此当1)x ∈时，e 1xx x x<-，取0.01x =，则有0.010.0110.01e10.0199a b =<==-，令()e ln(1)xg x y u x x =-=+-，1)x ∈-，21(1)e 1()(1)e 11x xx g x x x x -+'=++=--，令2()(1)e 1x h x x =-+，1)x ∈，2()(21)e 0x h x x x '=+-<，()h x在1)-上单调递减，1)x ∀∈，()(0)0h x h <=，有()0g x '>，则()g x 在1)上单调递增，1)x ∀∈，()(0)0g x g >=，因此当1)x ∈时，e ln(1)x x x >--，取0.01x =，则有0.010.01e ln(10.01)ln 0.99a c =>--=-=，所以c a b <<.故选：A 【点睛】思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可.【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知0.3πa =，20.9πb =，sin 0.1c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c >>B ．c a b>>C ．a c b>>D ．b a c>>【答案】B 【解析】【分析】作差法比较出a b >，构造函数，利用函数单调性比较出c a >，从而得出c a b >>.【详解】2220.30.90.3π0.90.330.90ππππa b -⨯--=-=>=，所以0a b ->，故a b >，又()πsin 3f x x x =-，则()πcos 3f x x '=-在π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()0π30f '=->，π306f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以存在0π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，且在()00,x x ∈时，()0f x '>，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，即()πsin 3f x x x =-在()00,x x ∈上单调递增，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，且ππ30124f ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以0π12x >，又因为()00f =，所以当()00,x x ∈时，()πsin 30f x x x =->，其中因为1π1012<，所以()010,10x ∈，所以1πsin 0.10.3010f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故sin 0.10.3π>，即c a b >>.故选：B【例7】（2022·河南洛阳·三模（理））已知108a =，99b =，810c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()18ln f x x x =-，8x ≥，求其单调性，从而判断a ，b ，c 的大小关系.【详解】构造()()18ln f x x x =-，8x ≥，()18ln 1f x x x+'=--，()18ln 1f x x x+'=--在[)8,+∞时为减函数，且()295558ln 81ln 8ln e 204444f =-+-=-<-=-<'，所以()18ln 10f x x x=-+-<'在[)8,+∞恒成立，故()()18ln f x x x =-在[)8,+∞上单调递减，所以()()()8910f f f >>，即10ln89ln 98ln10>>，所以10988910>>，即a b c >>.故选：D 【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.【例8】（2022·河南·模拟预测（理））若0.2e a =，b =ln 3.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a>>【答案】B 【解析】构造函数()()e 10xf x x x =-->，利用导数可得0.2e 1.2b a >>=，进而可得 1.2e 3.2>，可得a c >，再利用函数()()21ln 1x g x x x -=-+，可得ln 3.2 1.1>，即得.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，∴()f x 在()0,∞+上单调递增，∴0.20.21 1.2e a b >+=>=，0.2 1.21.e ln 2e a >==，ln 3.2c =，∵()()()6551.262.7387.4,3.2335.5e e >≈≈=，∴ 1.2e 3.2>，故a c >，设()()21ln 1x g x x x -=-+，则()()()()()22221211011x xx g x x x x x +--=-=≥++'，所以函数在()0,∞+上单调递增，由()10g =，所以1x >时，()0g x >，即()21ln 1x x x ->+，∴()()22121.6155ln 3.2ln 2ln1.611 1.1211.613950--=+>+=>=++，又1 1.2 1.21,1 1.1b <<<<，∴ 1.1c b >>，故a c b >>.故选：B.【点睛】本题解题关键是构造了两个不等式()e 10xx x >+>与()21ln (1)1x x x x ->>+进行放缩，需要学生对一些重要不等式的积累.【题型专练】1（2022·山东烟台·高二期末）设a =0.9，b =9ln e10c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】B【分析】构造函数()ln 1f x x x =--，()g x x =-.【详解】令()ln 1f x x x =--，因为11()1x f x x x'-=-=所以，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以(0.9)0.9ln 0.91(1)0f f =-->=，即90.9ln 0.91ln(e)10>+=，a c >；令()g x x =()1g x '=-所以，当114x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以(0.9)(1)g g <，即0.90<，0.9a b <.综上，c a b <<.故选：B2.（2022·山东青岛·高二期末）已知ln 3a π=，2b =，1sin 0.042c ⎫=-⎪⎪⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a b c>>C ．b a c>>D ．a c b>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数得出,a b 大小，又0c <即得出结论.【详解】构造函数()()()2ln 212ln 1f x x x x x =--=-+，则a b f -=，()1210f x x ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭在()1,+∞上恒成立，则()y f x =在()1,+∞上单调递减，故()10a b f f -=<=，则0b a >>，()π103x x =+>，则()π30121100433.x .-+-=>=，由对于函数()πsin 02g x x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭-，()πcos 1002g x x ,x ⎛⎫'=<<< ⎪⎝⎭-恒成立，所以，()()sin 00g x x x g =<=-即sin x x <在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立.所以，1sin0.04sin sin 02x x x ⎫<=<-<⎪⎭（注：004009020305.x .,...<<<<）所以，b a c >>故选：C3.（2022·湖北襄阳·高二期末）设253e 4a =，342e 5b =，35c =，则（）A ．b c a < ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可判断出a b >.记()()e 2,01xg x x x =-<<，推理判断出b c >.【详解】24452533e23e 542e e 534a b ==.记()()e ,01x f x x x =<<，则()()2e 10x xf x x -'=<，所以()e xf x x =在()0,1上单调递减.所以2354f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b >.433422e e 5325354b c ⎛⎫-= ⎪⨯⎝--⎭=.记()()e 2,01x g x x x =-<<，则()e 2xg x '=-.所以在()0,ln 2x ∈上，()0g x '<，则()g x 单调递减；在()ln 2,1x ∈上，()0g x '>，则()g x 单调递增；所以()()()ln 2min ln 2e 2ln 221ln 20g x g ==-⨯=->，所以()min 304g g x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即3422e 0534b c ⨯⎛⎫-> ⎪⎝⎭=-.所以b c >.综上所述：c b a <<.故选：C4.（2022·福建宁德·高二期末）已知a ，R b ∈，且221a b >>，则（）A ．ln ln a b a b -<-e eB ．ln ln b a a b <C ．e a b ba->D ．sin sin 1a ba b-<-【答案】D 【解析】【分析】由题设有0a b >>，分别构造e ln x y x =-、ln xy x=、e x y x =、sin y x x =-，利用导数研究在,()0x ∈+∞上的单调性，进而判断各项的正误.【详解】由221a b >>，即0a b >>，A ：若e ln x y x =-且,()0x ∈+∞，则1e xy x'=-，故12|20x y ='=-<，1|e 10x y ='=->，即y '在1(,1)2上存在零点且y '在(0,)+∞上递增，所以y 在(0,)+∞上不单调，则e ln e ln a b a b -<-不一定成立，排除；B ：若ln x y x =且,()0x ∈+∞，则21ln xy x -'=，所以(0,e)上0y '>，y 递增；(e,)+∞上0y '<，y 递减；故y 在(0,)+∞上不单调，则ln ln a ba b<不一定成立，排除；C ：若e x y x =且,()0x ∈+∞，则e (1)0x y x '=+>，即y 在(0,)+∞上递增，所以e e a b a b >，即e a b ba-<，排除；D ：若sin y x x =-且,()0x ∈+∞，则1cos 0y x '=-≥，即y 在(0,)+∞上递增，所以sin sin a a b b ->-，即sin sin 1a ba b-<-，正确.故选：D5.（2022·贵州贵阳·高二期末（理））设 1.01e a =，3eb =，ln3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．c a b>>C ．a c b >>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】分析可得2a >，(1,2)b ∈，(1,2)c ∈，令()ln ,[e,)e xf x x x =-∈+∞，利用导数可得()f x 的单调性，根据函数单调性，可比较ln 3和3e的大小，即可得答案.【详解】由题意得 1.011e e 2a =>>，3(2e 1,)b =∈，ln 3(1,2)c =∈，令()ln ,[e,)exf x x x =-∈+∞，则11e ()0e ex f x x x -'=-=≤，所以()f x 在[e,)+∞为减函数，所以(3)(e)f f <，即3eln 3ln e 0e e-<-=，所以3ln 3e<，则 1.013e ln 3e >>，即a b c >>.故选：D6.（2022·重庆南开中学高二期末）已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b<<【答案】A 【解析】【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1xg x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10ex <<时，()0f x '<，当1e x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1xg x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增，所以()()0.200g g >=，即0.21e10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >，所以c b >，综上所述a b c <<.故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.7.（2022·湖北恩施·高二期末多选）已知212ln 204a a -=>，22122ln 0eb b --=>，221ln 303c c -=>，则（）A ．c b >>，对三个式子变形可得2211ln ln 44a a -=-，222211ln ln e eb b -=-，2211ln ln 33c c -=-，设函数()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-=.由()0f x ¢>，得1x >；由()0f x <，得01x <<,则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为211101e 43<<<<，所以222b a c >>,所以c a b <<.故选：AC.8.（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知01x y z ∈、、（，），且满足2e 2e x x =，3e 3e y y =，4e 4e z z =，则（）A ．x y z <<B ．x z y<<C ．z y x<<D ．z x y<<【答案】C 【解析】【分析】先对已知条件取对数后得到ln ln22x x -=-，ln ln33y y -=-，ln ln44z z -=-.根据式子结构，构造函数()ln m x x x =-，利用导数判断单调性，比较大小.【详解】由2e 2e x x =得2ln ln2,x x +=+即ln ln22x x -=-.同理得：ln ln33y y -=-，ln ln44z z -=-.令()ln ,m x x x =-则()111xm x x x-=-='.故()m x 在()0,1上单调递增，1∞+（，）上单调递减.所以z y x <<.故选：C.。

专题1.1“构造函数,比较大小”之归纳大全

一、作差构造函数，求参数范围1．设函数()()2,xf x xeg x ax x ==+．（Ⅰ）若()f x 与()g x 具有完全相同的单调区间，求a 的值; （Ⅱ）若当0x ≥时，恒有()()f x g x ≥，求a 的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）求导，通过导函数的符号变化确定函数()f x 的单调区间，再通过二次函数的对称性和单调性求出a 值；（Ⅱ）作差构造函数，将问题转化为函数的最小值为正，再通过研究导数的符号变化研究函数的最值．试题解析：（1）()xf x xe =，()(1)xxxf x e xe x e =+=+ 当1x <-时，()0f x '<，∴()f x 在(,1)-∞-上单调递减；当1x >-时，()0f x '>，∴()f x 在(1,)-+∞上单调递增；又()21g x ax '=+，由()1210g a '-=-+=，得12a =，此时()22111(1)222g x x x x =+=+- 显然()g x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，故12a =（Ⅱ）当0x ≥时恒有()()f x g x ≥，即()()()10xf xg x x e ax -=--≥恒成立，故只需()10xF x e ax =--≥恒成立，对()F x 求导可得()xF x e a '=-．()0,x x F x e a ≥∴='-若1,a ≤则当()0,x ∈+∞时， ()()0,F x F x '>为增函数，从而当0x ≥时， ()()00F x F ≥= 即()();f x g x ≥若1,a >则当()0,x lna ∈时， ()()0,F x F x '<为减函数，从而当()0,x lna ∈时， ()()00,F x F <=即()(),f x g x <故()();f x g x ≥不恒成立．故a 的取值范围为(],1-∞．2．已知函数()()()2,xf x x ax bg x ecx d =++=+．若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点()0,2P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+．（Ⅰ）求,,,a b c d 的值;（Ⅱ）若2x ≥-时， ()()f x kg x ≤，求k 的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）由已知得()()()()02,02,0=4,0=4f g f g ''==，即可求解,,,a b c d 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设()()()()22142xh x kg x f x kex x x =-=+=--，求得()h x '，根据题意()00h ≥，得1k ≥，利用导数分类讨论，的奥函数的单调性与最值，即可求得实数k 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由已知得()()()()02,020=40=4f g f g ''==，，()()()2,,x f x x a g x e cx d c =+=++''4,2,2, 2.a b c d ∴====（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ()()()242,21xf x x xg x ex =++=+，设()()()()22142xh x kg x f x ke x x x =-=+=--，则()()()()2224221xx h x kex x x ke =+--+'=-由题意知， ()00h ≥，即1k ≥，令()0h x '=，则122,ln x x k =-=-，当21k e ≤<即220x -<≤时，由()0h x '>得， ln x k >-，由()0h x '>得， 2ln x k -<<-，所以()h x 在()2,ln k --单调递减，在()ln ,k -+∞单调递增，所以()h x 在区间[)2,-+∞上的最小值()()()min ln ln ln 20h x h k k k =-=-+≥，所以当2x ≥-时， ()0h x ≥即()()f x kg x ≤恒成立．当2k e =即22x =-时， ()0h x '≥恒成立，即()h x 在[)2,-+∞单调递增，所以()h x 在区间[)2,-+∞上的最小值()()min 20h x h =-=，所以当2x ≥-时， ()0h x ≥即()()f x kg x ≤恒成立．当2k e >即22x <-时， ()0h x '≥恒成立即()h x 在[)2,-+∞单调递增，所以()h x 在区间[)2,-+∞上的最小值()()()22min 220h x h e k e -=-=--<，所以当2x ≥-时， ()()f x kg x ≤不可能恒成立．综上所示， k 的取值范围是21,e ⎡⎤⎣⎦．3．已知函数()()221ln f x x m x x =-++ ()m R ∈．（1）当12m =-时，若函数()()()1ln g x f x a x =+-恰有一个零点，求a 的取值范围；（2）当1x >时， ()()21f x m x <-恒成立，求m 的取值范围．【思路引导】()1将当12m =-时代入，得()2ln g x a x x =+，求导，分类讨论当0a =时、当0a >时、当0a <时三种情况求出a 的取值范围(2)构造()()221ln h x mx m x x =-++，求导，讨论102m <<、12m ≥、0m ≤三种情况，求出m 的取值范围解析：（1）函数()g x 的定义域为(0,)+∞当12m =-时，()2ln g x a x x =+，所以，()222a x a g x x x x+'=+=①当0a =时，()2g x x =，0x >时无零点；②当0a >时，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，取10ax e-=，则112()1()0aa g e e --=-+<，因为(1)1g =，所以0()(1)0g x g <，此时函数()g x 恰有一个零点.③当0a <时，令()'0g x =，解得x =．当0x << ()'0g x <，所以()g x 在⎛ ⎝上单调递减；当2a x >-时， ()'0g x >，所以()g x 在,2a⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增．要使函数()f x 有一个零点，则ln 0222a a ag a ⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭即2a e =-．综上所述，若函数()g x 恰有一个零点，则2a e =-或0a >．（2）令22()()(1)(21)ln h x f x m x mx m x x =--=-++，依题意，当(1,)x ∈+∞时，()0h x <恒成立.又1(1)(21)()2(21)x m h x mx m x x--'=-++= ①若102m <<，则1(,)2x m ∈+∞时，()0h x '>恒成立，所以()h x 在1(,)2m +∞上是增函数，且1()((),)2h x h m ∈+∞，所以不符题意；②若12m ≥，则()1,x ∈+∞时， ()'0h x >恒成立，所以()h x 在()1,+∞上是增函数，且()()()1,h x h ∈+∞，所以不符题意；③若0m ≤，则()1,x ∈+∞时，恒有()'0h x <，故()h x 在()1,+∞上是减函数，于是“()0h x <对任意()1,x ∈+∞都成立”的充要条件是()10h ≤，即()210m m -+≤，解得1m ≥-，故10m -≤≤．综上，m 的取值范围是[]1,0-．4．已知函数()13ln f x x b x x=-+．（1）当4b =-时，求函数()f x 的极小值；（2）若[]1,x e ∃∈上，使得()114b x f x x x+--<-成立，求b 的取值范围．【思路引导】（1）将参数值代入表达式，再进行求导，根据导函数的正负得到原函数的单调性，进而得到极值；（2）()1h x ln 0bx b x x+=-+<，有解，即h(x)的最小值小于0即可，对函数求导，研究函数的单调性，得到最小值即可．解析：（1）当时， ()()()/22311413x x fx x x x---=++= 令()/fx =0，得且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增所以在时取得极小值为()12f =．（2）由已知：，使得()()1111440b b x f x x f x x x x x++--<-⇒--+< 11143ln 0b x x b x x x x +⇒--+-+<，即： 1ln 0bx b x x+-+< 设，则只需要函数在上的最小值小于零．又，令，得（舍去）或．①当，即时，在上单调递减，故在上的最小值为，由，可得．因为，所以．②当，即时，在上单调递增，故在上的最小值为，由，可得（满足）．③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为．因为，所以，所以，即，不满足题意，舍去．综上可得或，所以实数的取值范围为．5．已知函数()22ln f x x x a x =--， ()g x ax =．（1）求函数()()()F x f x g x =+的极值；（2）若不等式()sin 2cos xg x x≤+对0x ≥恒成立，求a 的取值范围．【思路引导】（1）由题意的()F x ，求得()F x '，分类讨论得到函数的单调性，即可确定函数的极值；（2）设()sin 2cos x h x ax x =-+，得到()h x '，令cos t x =，则[]1,1t ∈-， ()()2122tt t ϕ+=+，求得()t ϕ'，得到()t ϕ的单调性和值域，进而分类讨论，得到()h x 的最小值，得到实数a 的取值范围．试题解析：（1）()22ln F x x x a x ax =--+，()22(2)(2)(1)x a x a x a x F x x x+--+-'==，()F x 的定义域为(0,)+∞①02a-≤即0a ≥时，()F x 在(0,1)上递减，()F x 在(1,)+∞上递增，()=1F x a -极小，()F x 无极大值 ②012a <-<即20a -<<时， ()F x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞上递增，在,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减， ()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极大2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭， ()()11F x F a ==-极小．③12a-=即2a =-时，()F x 在()0,+∞上递增，()F x 没有极值． ④12a ->即2a <-时，()F x 在()0,1和,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，()F x 在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减， ∴()()11F x F a ==-极大，()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极小2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭．综上可知： 0a ≥时，()1F x a =-极小，()F x 无极大值；20a -<<时，()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极大2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()()11F x F a ==-极小；2a =-时，()F x 没有极值；2a <-时，()()11F x F a ==-极大， ()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极小2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭．②当0a ≤时，∵10222h a ππ⎛⎫=⋅-< ⎪⎝⎭，∴不适合条件． ③当103a <<时，对于02x π<<， ()sin 3xh x ax <-，令()sin 3x T x ax =-， ()cos 3xT x a =-'，存在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00,x x ∈时， ()0T x '<， ∴()T x 在()00,x 上单调递减，∴()()000T x T <=，即在()00,x x ∈时， ()0h x <，∴不适合条件．综上，a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．6．已知函数()()()221ln f x x m x x m R =-++∈．（1）当12m =-时，若函数()()()1ln g x f x a x =+-恰有一个零点，求a 的取值范围；（2）当1x >时， ()()21f x m x <-恒成立，求m 的取值范围．【思路引导】(1)函数()g x 的定义域为()0,+∞，当12m =-时，()2ln g x a x x =+，所以()222a x ag x x x x='+=+，对a 分类讨论，得到函数的单调区间，由此求得a 的取值范围．(2) 令()()()()22121ln h x f x m x mx m x x =--=-++，利用()h x 的导数，对m 分类讨论函数的单调区间，利用最大值小于零，来求得m 的取值范围．③当0a <时，令()0g x '=，解得2a x =-，当02a x <<-()0g x '<，所以()g x 在2a ⎛- ⎝上单调递减；当2a x >-时， ()0g x '>，所以()g x 在,2a⎫-+∞⎪⎪⎭上单调递增．要使函数()f x 有一个零点，则0222a a ag a -=-=即2a e =-，综上所述，若函数()g x 恰有一个零点，则2a e =-或0a >；（2）令()()()()22121ln h x f x m x mx m x x =--=-++，根据题意，当()1,x ∈+∞时， ()0h x <恒成立，又()()()()1211221x mx h x mx m x x--=-++='， ①若102m <<，则1,2x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()0h x '>恒成立，所以()h x 在1,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，且()1,2h x h m ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不符题意．②若12m ≥，则()1,x ∈+∞时， ()0h x '>恒成立，所以()h x 在()1,+∞上是增函数，且()()()1,h x h ∈+∞，所以不符题意．③若0m ≤，则()1,x ∈+∞时，恒有()0h x '<，故()h x 在()1,+∞上是减函数，于是“()0h x <对任意()1,x ∈+∞，都成立”的充要条件是()10h ≤，即()210m m -+≤，解得1m ≥-，故10m -≤≤．综上，m 的取值范围是[]1,0-．7．已知函数()22xf x e kx =--．（Ⅰ）讨论函数()f x 在()0,+∞内的单调性；（Ⅱ）若存在正数m ，对于任意的()0,x m ∈，不等式()2f x x >恒成立，求正实数k 的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）求导数可得()'2xf x e k =-， ()0,x ∈+∞，根据k 的取值情况进行讨论可得函数的单调性．（Ⅱ）在（Ⅰ）中结论的基础上分02k <≤和2k >两种情况讨论求解，首先探求得到区间()0,m ，通过对函数()f x 在此区间上单调性的讨论进一步得到()f x 的符号，进而将不等式()2f x x >去掉绝对值后进行讨论分析、排除，然后得到所求的范围即可．试题解析：（Ⅰ）由题意得()'2xf x e k =-， ()0,x ∈+∞，因为0x >，所以22xe >．当2k ≤时， ()'0f x >，此时()f x 在()0,+∞内单调递增．当2k >时，由()'0f x >得ln 2kx >，此时()f x 单调递减；由()'0f x <得0ln2kx <<，此时()f x 单调递增．综上，当2k ≤时， ()f x 在()0,+∞内单调递增；当2k >时， ()f x 在0,ln2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在ln ,2k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增．②当2k >时，由（Ⅰ）可得()f x 在0,ln2k ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，且()00f =，所以存在00x >，使得对于任意的()00,x x ∈都有()0f x <．这时()2f x x >可化为()2f x x ->，即()2220xe k x -+-+>．设()()222xh x e k x =-+-+，则()()'22xh x e k =-+-．（i ）若24k <≤，则()'0h x <在()0,+∞上恒成立，这时()h x 在()0,+∞内单调递减，且()00h =，所以对于任意的()00,x x ∈都有()0h x <，不符合题意．（ii ）若4k >，令()'0h x >，得2ln 2k x -<，这时()h x 在20,ln2k -⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，且()00h =，所以对于任意的20,ln2k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0h x >，此时取02min ,ln2k m x -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则对于任意的()0,x m ∈，不等式()2f x x >恒成立．综上可得k 的取值范围为()4,+∞．8．已知()()()211x f x x e a x =--+，[)1,x ∈+∞．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()2ln f x a x ≥-+，求实数a 的取值范围．【思路引导】（1）求出()'f x ，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间， ()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）令()()()211ln x g x x e a x x =----，问题转化为()0g x ≥在[)1,x ∈+∞上恒成立，利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得当12e a ->时不合题意，当12e a -≤时，可证明()g x 在[)1,+∞上单调递增；所以()()10g x g ≥=，满足题意，从而可得结果．试题解析：（1）()2x f x xe ax '=- ()2xx e a =-，当2ea ≤时， [)1,x ∈+∞，()0f x '≥． ∴()f x 在[)1,+∞上单调递增；当2ea >时，由()0f x '=，得()ln 2x a =．当()()1,ln 2x a ∈时，()0f x '<；当()()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 在()()1,ln 2a 单调递减；在()()ln 2,a +∞单调递增．（2）令()()()211ln x g x x e a x x =----，问题转化为()0g x ≥在[)1,x ∈+∞上恒成立， ()12x g x xe ax x=--'，注意到()10g =．当12e a ->时， ()1210g e a '=--<， ()()()()1ln 21ln 21ln 21g a a a +=+-+'，因为21a e +>，所以()ln 211a +>， ()()ln 210g a +>'，所以存在()()01,ln 21x a ∈+，使()00g x '=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，()g x 递减，所以()()10g x g <=，不满足题意．当12e a -≤时，()()11x g x xe e x x≥---' ()11xx e e x ⎡⎤=---⎣⎦，因为1x >，()11xx e e ⎡⎤-->⎣⎦，101x<<，所以()0g x '>， ()g x 在[)1,+∞上单调递增；所以()()10g x g ≥=，满足题意．综上所述： 12e a -≤． 9．已知函数()ln f x x =．（1）设()()1g x f x ax =-+，讨论()g x 的单调性；（2）若不等式()()f x a e x b ≤-+恒成立，其中e 为自然对数的底数，求ba的最小值．【思路引导】（1）函数定义域为()0,+∞，由题意得()ln 1g x x ax =-+，则()1g x a x'=-，分情况0a ≤和0a >，由导函数的正负求单调区间即可；（2）设函数()()ln F x x a e x b =---， ()1F x e a x+'=-，分a e ≤易知不成立， a e >，计算函数的最大值为1F a e ⎛⎫⎪-⎝⎭，由()1ln 10F a e b a e ⎛⎫=----≤ ⎪-⎝⎭，得()()1ln a e b a e a a ---≥>，令()()1ln x e G x x---=， x e >，求最值即可．试题解析：（1）函数定义域为()0,+∞，由题意得()ln 1g x x ax =-+，则()1g x a x'=-， ①当0a ≤时， ()0g x '>，则()g x 在()0,+∞上单调递增； ②当0a >时，令()0g x '=，解得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0g x '>， ()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时， ()0g x '<， ()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（2）设函数()()ln F x x a e x b =---，其中e 为自然对数的底数， ∴()1F x e a x+'=-， 0x >，当a e ≤时，()0F x '>，()F x 在()0,+∞上是增函数， ∴()0F x ≤不可能恒成立，当a e >时，由()10F x e a x =+-='，得1x a e=-， ∵不等式()0F x ≤恒成立，∴()max 0F x ≤，当10,x a e ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时， ()0F x '>， ()F x 单调递增，当1,x a e ⎛⎫∈+∞⎪-⎝⎭时， ()0F x '<， ()F x 单调递减， ∴当1x a e =-时， ()F x 取最大值， ()1ln 10F a e b a e ⎛⎫=----≤ ⎪-⎝⎭， ∴满足()ln 10a e b -++≥即可，∴()1ln b a e ≥---，∴()()1ln a e b a e a a---≥>，令()()1ln x e G x x---=，x e >，()()()()()221ln ln xx e x e x e e x e G x x x e x -++-----=-'=．令()()()ln H x x e x e e =---， ()()ln 1H x x e '=-+，由()0H x '=，得1x e e=+，当1,x e e⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭时， ()0H x '>， ()H x 是增函数，当1,x e e e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时， ()0H x '<， ()H x 是减函数，∴当1x e e =+时， ()H x 取最小值11H e e e e ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， ∵x e →时， ()0H x →， 2x e >时， ()0H x >， ()20H e =， ∴当(),2x e e ∈时， ()0G x '<， ()G x 是减函数，当()2,x e ∈+∞时， ()0G x '>， ()G x 是增函数， ∴2x e =时， ()G x 取最小值， ()11122G e e e--==-， ∴b a 的最小值为1e-． 10．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若对恒成立，求的取值范围．【思路引导】（1）讨论函数单调性主要研究导函数大于零和小于零的不等式解集，根据题意，根据a 的不同取值逐一讨论导函数符号即可（2）若对恒成立，显然需要转化为最值问题，设，则，当时，，或，，则，∴在上递增，从而．若，令，当时，；当时，．∴综合得出结论即可解析：（1），当时，，∴在上单调递增．当时，，故当或时，在上单调递增．当时，令，得或；令，得．∴在上单调递减，在，上单调递增．（2）设，则，当时，，或，，则，∴在上递增，从而．此时，在上恒成立．若，令，当时，；当时，．∴，则不合题意．故的取值范围为．【总结】导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力．导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用．导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 ()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x > ，若()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为()()min max f x g x >（需在同一处取得最值）二、作差构造函数证明不等式1．已知函数()21ln 2f x x a x =+． (1)若1a =-，求函数()f x 的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若1a =，求证：在区间[)1+∞，上，函数()f x 的图像在函数()323g x x =的图像的下方．【思路引导】（1）定义域为(0，＋∞)，f ′(x ) ()()11x x x+-=，可求得单调区间有望极小值。

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10.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式
()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A
A .()0,+∞
B . ()
(),03,-∞+∞ C .()
(),00,-∞+∞ D .()3,+∞
8．定义在R 上的函数()f x 满足：()()f x f x '>恒成立，若12x x <，则12()x e f x 与21()x e f x 的大小关系为
A ．12()x e f x >21()x e f x
B ．12()x e f x <21()x e f x
C ．12()x e f x =21()x e f x
D ．12()x e f x 与21()x e f x 的大小关系不确定构造：()x
f x e 10.已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '>，则有（） A ．2013(2013)(0)e
f f -<，2013(2013)(0)f e f > B ．2013(2013)(0)e
f f -<，2013(2013)(0)f e f < C ．2013(2013)(0)e f f ->，2013(2013)(0)f e f >
D ．2013
(2013)(0)e
f f ->，2013(2013)(0)f e f < 10．定义在（0，）上的函数)(),(/x f x f 是它的导函数，且恒有x x f x f tan )()(/<成立，则（）
A.)3(2)4(3ππ
f f > B. 1sin )6(2)1(π
f f < C. )4()6(2ππf f > D. )3()6(3π
πf f <
2013（卓越压轴）
(4)设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈，有
2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上()f x x '>．若
(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为
（A ）[1,)+∞ (B ) (,1]-∞ (C) (,2]-∞ (D) [2,)+∞ 构造函数：21()()2
h x f x x =-
，为增函数。

(2)()22f a f a a --≥-22112-)(2)()22
f a a f a a ⇔--≥-（ 2()()f x f x x -+=2211()()()22
f x x f x x ⇔---=- 说明：21()()2h x f x x =-是奇函数。

所以21()()2
h x f x x =-是上的增函数。

所以，21a a a -≥⇒≤
12．设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在
),0(+∞上x x f <')(，若(6)()1860f m f m m ---+≥，则实数m 的取值范围为（）
A ．[2,)+∞
B ．[3,)+∞
C ．[3,3]-
D ．(,2][2,)-∞-+∞
12.定义在R 上的函数()f x 满足f(1)=1,且对任意x∈R 都有1()2
f x '<,则不等式22
1()2x f x +>的解集为（） A ．(1,2) B ．(0,1) C ．(1,+∞) D ．(-1,1)
10. 定义在R 上的函数f(x)满足：f(1)=1，且对任意x ∈R ，都有1'()2f x <
，则不等式 33log 1(log )2x f x +>
的解集为（） A ．(0，2) B （0，3） C ．(1，3) D ．(2，+∞)。