时变电磁场例题共42页

例 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为 Jer10r1.5 (A/ m2)
(1) 通过半径r=1m来自百度文库 (2) 在r=1mm (3) 在r=1mm的球内总电荷的增加率。
解：(1)
2
I JdS
10 r1.5r2sindd
S
00
r1mm
40r0.5 3.973A8 r1mm
由上式可见：
t E t B tn , n E n 0 , n E t t E n B tt
对于媒质 1 和媒质 2 有
tE 1 t B t1 n, tE 2 t B t2n
上面两式相减得
t(E 1tE 2t) t(B 1nB 2n)
例 计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的
电 场 为 E0sinωt ， 铜 的 电 导 率 σ=6.8×107S/m, ε≈ε0 。
解： 铜中的传导电流大小为
JcEE0sin t
Jd D t E t E0cots
Jd Jc
2f53 .81 611 70 099.61 019f
例 已知在无源的自由空间中，
EexE 0co ts (z)
其中E0、β为常数，求H。
解：所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和电荷，
即J=0, ρ=0。
ex ey ez
E x
y
z

0
H t
Ex 0 0
e y E 0sit nz 0 t(e x H x e y H y e z H z)
同理，将式
HJ D
t
中的场量和矢性微分算符分解成切向分量和法向分量，并且展
开取其中的法向分量，有 t Ht Dtn Jn
此式对分界面两侧的媒质区域都成立， 故有
t H 1 t D t1 n J 1 n , t H 2 t D t2 n J 2 n
假设t=0 时，ρS=0，由边界条件n·D=ρS以及n的方向可得
D(x,
y,0,t)
ez
aH0 sinaxcos(t
ay)
E(x,
y,0,t)
ez
aH0 sinaxcos(t
ay)
例 证明在无初值的时变场条件下，法向分量的边界条件已含于
切向分量的边界条件之中，即只有两个切向分量的边界条件是 独立的。 因此，在解电磁场边值问题中只需代入两个切向分量 的边界条件。
(A/m2)
例 证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。
解：将J=σE代入电流连续性方程，考虑到媒质均匀，有
(E )( E )0
t
t
由于 D , (E ), E
0 t
t
(t) 0e
(2) 因为
Jr1 2d d(rr21r0 1.5)5r2.5
由电流连续性方程式，得
J 1 .5 8 180 (A /m 2)
tr 1 mm
r 1 mm
(3) 在r=1 mm的球内总电荷的增加率：dQI 3.97A
dt
例 在无源的自由空间中，已知磁场强度
由上式可以写出： H x 0 , H z 0

0
H y t

E 0
sin(
t
z)
Hy
E 0 0
cos(
t z)
H

ey
E 0 0
cos(
t z)
例 设z=0 的平面为空气与理想导体的分界面，z<0 一侧为理想 导体，分界面处的磁场强度为
H (x ,y ,0 ,t) e x H 0 sa ic n x o t a s)( y
H e y 2 .6 1 3 5 c 03 o 1 9 s t 0 1 (z )0 ( A /m )
求位移电流密度Jd。
解：无源的自由空间中J=0, H D
t
ex ey ez
Jd
DH t



x y z
ex
Hy z
ex2.63104sin3(109t 10z)
将两式相减并用
H 1 t ( n H 1 t) n ,H 2 t ( n H 2 t) n
解： 在分界面两侧的媒质中，
E 1 B t1, E 2 B t2
将矢性微分算符和场矢量都分解为切向分量和法向分量，即令
EE tE n, t n
于是有
( t n) (E t E n) t(B t B n)
( t t) n ( t n ) t ( n t) t ( n E n ) B t n B t t
例 证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流总量为零。
解： 根据麦克斯韦方程
HJ D t
可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为
SJcD tdS S(H)dS
S ( H ) d V S ( H ) d 0 V S J c D t d I c S I d I
代入切向分量的边界条件：
n (E 1 E 2 ) 0 ,即 E 1 t E 2 t
有
t(B 1 nB 2n) t[n(B 1B 2) ]0
从而有
n(B1B2)C(常)数
如果t=0 时的初值B1、B2都为零，那么C=0。 故
n (B 1 B 2 ) 0 ,即 B 1 n B 2 n
试求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分界面处的电 场强度。
解：
JSnHezexH 0siancxots(a)y
eyH 0siancxots(a)y
S
t
y[H0sia ncxost (a)y]aH 0sia nsxin t(a)y
SaH 0sia ncxost (a)yc(x,y)