时变电磁场例题共42页
作业06_第四章时变电磁场
作业06_第四章时变电磁场-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII第四章 时变电磁场1. 在无源的自由空间中，已知磁场强度597.210cos(31010)A/m y H t z e -=⨯⨯-，求位移电流密度。
2. 在电导率310S/m γ=、介电常数06εε=的导电媒质中，已知电场强度58210sin(10)x E t e -=⨯π，计算在92.510s t -=⨯时刻，媒质中的传导电流密度c J 和位移电流密度d J 。
3. 在无源区域，已知电磁场的电场强度90.1cos(6.281020.9)V/m x E t z e =⨯-，求空间任一点的磁场强度H 和磁感应强度B 。
4. 一个同轴圆柱型电容器，其内、外半径分别为11cm r =、24cm r =，长度0.5m l =，极板间介质介电常数为04ε，极板间接交流电源，电压为V u t =π。
求极板间任意点的位移电流密度。
5.一个球形电容器的内、外半径分别为a 和b ，内、外导体间材料的介电常数为ε，电导率为γ，在内、外导体间加低频电压sin m u U t ω=。
求内、外导体间的全电流。
6. 已知自由空间中电磁波的两个场量表达式为 20002)V/m x E =t z e ωβ-， 5.32sin()A/m y H =t z e ωβ-式中，20MHz f =，0.42rad/m β==。
求(1)瞬时坡印亭矢量；(2)平均坡印亭矢量；(3)流入图示的平行六面体（长为2m ，横截面积为0.5m 2）中的净瞬时功率。
7. 一个平行板电容器的极板为圆形，极板面积为S ，极板间距离为d ，介质的介电常数和电导率分别为ε，γ，试问：(1). 当极板间电压为直流电压U 时，求电容器内任一点的坡印亭矢量；(2). 如果电容器极板间的电压为工频交流电压cos314u t =，求电容器内任一点的坡印亭矢量及电容器的有功功率和无功功率。
高中物理奥林匹克竞赛专题--时变电磁场(共92张)
l
H dl I J dS
J 0
电流连续
时变场：
电荷与电流连续性定律
J t
dq I J dS dt
安培环路定律
l
H dl i
H dl J dS i
S1
取S1面有
l
取S2面有
H J
B H
H dl I
l
2. 全电流定律
问题的提出
法拉第根据电磁之间的对偶关系，提出变化的磁场产 生电场，那么变化的电场是否会产生磁场呢？
麦克斯韦从安培环路定律与电荷守恒定律的矛盾出发 提出随时间变化的电通量与传导电流一样可以产生磁场。
静态场：
H J
① 两种电磁感应现象是两种物理性质不同的现象，但都服 从统一的法拉第电磁感应定律。
② 产生电场的源不仅有电荷，变化的磁场也产生电场，电 场与磁场紧密相连。 ③ 电磁感应定律表明：只要与回路交链的磁通发生变化，回 路中就有感应电势，感应电势与构成回路的材料性质无关， 回路的材料决定感应电流的大小。麦克斯韦将电磁感应定 律推广到一切假想的闭合回路。
d e dt
磁场总是阻碍原磁场的变化。
由电磁感应的类型得感应电势产生的方法 1）回路不动，磁场随时间变化
d B e dS S t dt
称为感生电动势，为变压器工作原理，亦称变压器电势。
感生电动势
2）磁场不变，回路运动切割磁力线
f qv B
E f v B q
d e (ν B) dl l dt
称动生电动势，是发电机工 作原理，亦称发电机电势。 若B均匀，且l、B、V三 者垂直，则
第5章 时变电磁场 (全)
? 2E
2 抖 r E J + me 2 = m e ¶t ¶t
? 2H
¶ 2H me = - 汛 J 2 ¶t
需要求解 6 个坐标分量。 位函数满足一个矢量微分方程和一个标量微分方程
? 2A
¶ 2A me 2 = - mJ ¶t
? 2F
¶ 2F r me 2 = e ¶t
仅需求解 4 个坐标分量，直角坐标系中实际上等于求解 1 个标量方程。
炎 B = 0
磁通连续性定理 高斯定理
炎 D = r
¶r ¶t
Ò J ?ds 蝌
S
-
d dt
蝌
V
r dv
炎 J = -
电荷守恒定律 本构关系
ì ï Jc = sE ï J =J + í ï J = rv ï î v
i
D = eE
B = mH
时 变 电 磁 场
时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但， 时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变 电磁场是有旋有散场。 在无源区中，时变电磁场是有旋无散的。 电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成 电磁波。 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。
dr dq i= = S s dt dt
J = dr s dt
极板间电通量随时间的变化率为
d Ye dt = d (SD ) dt = S drs dt = i
电位移矢量的大小随时间的变化率为
drs dD dD = = = J dt dt dt
方向上，充电时 相反。显然，
dD dt
dD dt
? E
2 2 r 抖 E J me 2 = m + ¶t e ¶t
时变电磁场习题课.
0
H y t
E0 sin(t z)
Hy
E0 0
cos(t
z)
H
ey
E0 0
cos(t
z)
例3、在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中传播的
电磁波，已知其电场强度为
E
ey E0
sin(
d
z) cos(t
kx)
式中k为常数，求：（1）磁场强度；（2）两导体表面的面电流
密度。
解：（1）磁场强度
例2 已知在无源的自由空间中，
E exE0 cos(t z)
其中E0、β为常数，求 H。
解：无源即所研究区域内没有场源电流和电荷，J =0, ρ =0。
ex ey ez
E x
y
z
0
H t
Ex 0 0
ey
E0
sin
t
z
0
t
(ex Hx
ey
H
y
ez
Hz
)
由上式可以写出：
Hx 0, Hz 0
磁场强度和坡印廷矢量
例 1、 在无源的自由空间中，已知磁场强度
H ey 2.63105 cos(3109t 10z) (A/ m)
求位移电流密度JD 。
解：无源的自由空间中J = 0, 由
D H t JD
ex ey
ez
JD
D t
H
x
y
z
ex
H y z
0 Hy(z) 0
ex 2.63104 sin(3109 t 10z) ( A / m2 )
( E) 2E H t
H E E
t
E 0
所以，电场强度满足的波动方程为
时变电磁场例题
ex
0
kE0
e jkz
(2) 电场、 磁场的瞬时值为
E( z, t ) Re[E( z)e jt ] ey E0 cos(t kz)
H ( z, t ) Re[ H ( z )e ] ex
jt
0
kE0
cos(t kz)
所以，坡印廷矢量的瞬时值为
对于媒质 1 和媒 , t E2 t t t
上面两式相减得
t ( E1t E2 t ) ( B1n B2 n ) t
代入切向分量的边界条件：
n ( E1 E2 ) 0,即E1t E2t
在分界面两侧的媒质中11于是有对于媒质1和媒质212上面两式相减得13从而有如果t0时的初值b中的场量和矢性微分算符分解成切向分量和法向分量并且展开取其中的法向分量有14此式对分界面两侧的媒质区域都成立故有15再将切向分量的边界条件方程分界面处的电流连续性设区域z0的媒质参数r1质参数r2r2201015cos201015cos601015cos满足边界条件
Bn Bt ( t t ) n ( t n ) t ( n t ) t ( n En ) t t
由上式可见：
Bn Bt t Et , n En 0, n Et t En t t
1
1
[300 sin(15108 t 5 z ) 100 sin(15108 t 5 z )]
同理，可得
H2 ey [0.1061 cos(15108 t 50z)](A / m)
(3) 将z=0代入(2)中得
H1 e y [0.106 cos(15 108 t )] H 2 e y [0.106 cos(15 108 t )]
第五章 随时间变化的电磁场
第五章 随时间变化的电磁场一、选择题1、在电磁感应现象中，正确的说法是： [ ] （A ）感生电流的磁场总是跟原来磁场的方向相反；（B ）感生电动势的大小跟原来穿过电路的磁通量的变化量成正比； （C ）线圈上产生的感应电动势与穿过这个线圈的磁通量的变化率成正比，这个电动势总阻碍线圈中原来电流的变化的； （D ）穿过回路的磁通量越多，磁通量的变化率越大。
2、长为l 的直导线在磁场B 中，以速度v 作切割磁力线运动，可以用公式Blv =ε来计算动生电动势的条件是： [ ] （A ）直导线必须是闭合回路中的一段； （B ）切割速度v 必须是常量； （C ）B 必须保持不变；（D ）B 、v 为恒量且B 、l 、v 三者必须互为垂直。
3、 如图所示，导线杆MN 在均匀磁场中绕竖直轴OO‘转动，如果长度OM<ON ，那么杆两端的电位差为： [ ] （A ）U M > U N ； （B ）U M < U N ； （C ）U M = U N ； （D ）无法判断。
第4 题 图MⅠ vI4、在无限长载流直导线附近放置一正方形闭合线圈，开始时线圈与导线在同一平面内，且线圈的两条边与导线平行，当线圈以相同的速率作三种不同方向的平动时，如图示，则有： [ ]（A ）情况Ⅰ中感应电流最大；（B ）情况Ⅱ中感应电流最大 ； （C ）情况Ⅲ中感应电流最大；（D ）情况Ⅱ和Ⅲ中感应电流大小相同。
5、如图所示，一矩形金属线框，匀速从无场空间进入一均匀磁场中，然后又从磁场中出来，到无场空间中． 下面哪一条图线正确地表示了线圈中的感应电流对时间的函数关系？(从线圈进入磁场时刻开始计时，I 以顺时针方向为正) [ ]第5题 图 第6题 图6、如图所示，两根长直通电导线M 、N 通有大小方向都相同的电流I ，矩形线框abcd 与两导线M 、N 在同一平面内，线框在两导线间自右向左以速度V 匀速平动，则线框中感应电流方向是： [ ] （A ）沿adcba ，且保持这个方向不变；（B ）沿abcda ，且保持这个方向不变； （C ）由adcda 变成adcba ； （D ）由adcba 变成adcda 。
第4章 时变电磁场1
2、坡印亭矢量
− ∫
S
v v v 表流入闭合面S的电磁功率， ( E × H )dS 表流入闭合面S的电磁功率，因此
v v 为一与通过单位面积的功率相关的矢量。 与通过单位面积的功率相关的矢量 E × H 为一与通过单位面积的功率相关的矢量。
v 定义：坡印廷矢量（ 表示）－ 定义：坡印廷矢量（用符号 S 表示）－能流密度矢量
v v 讨论:1 :1、 为与时间相关的函数(瞬时形式), ),则 讨论:1、若 E , H 为与时间相关的函数(瞬时形式),则 v v v S (t ) = E (t ) × H (t )
称为坡印廷矢量的瞬时形式。 称为坡印廷矢量的瞬时形式。 瞬时形式
v v 对某些时变场， 2、对某些时变场， , H 呈周期性变化。则将瞬 E 呈周期性变化。
v v v d v v ⇒ − ( E × H )dS = (We + Wm ) + ∫ E JdV ∫S V dt
坡印廷定理积分形式 说明： 说明：
− ∫
S
坡印廷定理物理意义： 坡印廷定理物理意义： 物理意义 流入体积V 流入体积V内的电磁功率 等于体积V 等于体积V内电磁能量的 增加率与体积V 增加率与体积V内损耗的 电磁功率之和。 电磁功率之和。
坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。 坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。
第4章 时变电磁场
13
1、坡印亭定理
在时变场中， 在时变场中，电、磁能量 相互依存， 相互依存，总能量密度为
1r r 1r r w = we + wm = D ⋅ E + B ⋅ H 2 2 W = ∫V 1 r r r r w dV = ∫V （D ⋅ E + B ⋅ H） V d 2
时变电磁场习题
v v ∂E z ∂E y = −ex ∂Bx ex ( − ) ∂t ∂y ∂z
∂y
−
∂z
=−
∂t
∂B y ∂E x ∂E z − =− ∂z ∂x ∂t ∂E y ∂E x ∂Bz − =− ∂x ∂y ∂t
1
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r r r r r r r r 1. 设 ， B = ex Bx + e y B y + ez Bz ，写出麦克 E = ex E x + e y E y + ez E z 斯韦方程(5.21a）的三个标量方程。 r r ∂B 解： ∇ × E = − ∂E z ∂E y ∂Bx ∂t
r r ∂E x ∂E z = −e ∂B y y ey ( − ) ∂t ∂z ∂x
r = −e z
r r r
k 4ωµ 0 r π r r k z= S = −ez E02 sin 2ωt S av = 0 4k 4ωµ 0 r π r z= S av = 0 S =0 2k r r r r k r r ez × H = ex E0 sin ωt (3) J S = n × H = z =0 ωµ 0
2 2 2 r ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex r ∂ Ey ∂ Ey ∂ Ey r ∂ 2 Ez ∂ 2 Ez ∂ 2 Ez = ex ( 2 + + ) + ey ( + + ) + ez ( 2 + 2 + 2 ) 2 2 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
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例 证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流总量为零。
解： 根据麦克斯韦方程
HJ D t
可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为
SJcD tdS S(H)dS
S ( H ) d V S ( H ) d 0 V S J c D t d I c S I d I
(A/m2)
例 证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。
解：将J=σE代入电流连续性方程，考虑到媒质均匀，有
(E )( E )0
t
t
由于 D , (E ), E
0 t
t
(t) 0e
假设t=0 时，ρS=0，由边界条件n·D=ρS以及n的方向可得
D(x,
y,0,t)
ez
aH0 sinaxcos(t
ay)
E(x,
y,0,t)
ez
aH0 sinaxcos(t
ay)
例 证明在无初值的时变场条件下，法向分量的边界条件已含于
切向分量的边界条件之中，即只有两个切向分量的边界条件是 独立的。 因此，在解电磁场边值问题中只需代入两个切向分量 的边界条件。
例 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为 Jer10r1.5 (A/ m2)
(1) 通过半径r=1mm (2) 在r=1mm (3) 在r=1mm的球内总电荷的增加率。
解：(1)
2
I JdS
10 r1.5r2sindd
S
00
r1mm
40r0.5 3.973A8 r1mm
例 计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的
电 场 为 E0sinωt ， 铜 的 电 导 率 σ=6.8×107S/m, ε≈ε0 。
解： 铜中的传导电流大小为
JcEE0sin t
Jd D t E t E0cots
Jd Jc
2f53 .81 611 70 099.61 019f
同理，将式
HJ D
t
中的场量和矢性微分算符分解成切向分量和法向分量，并且展
开取其中的法向分量，有 t Ht Dtn Jn
此式对分界面两侧的媒质区域都成立， 故有
t H 1 t D t1 n J 1 n , t H 2 t D t2 n J 2 n
(2) 因为
Jr1 2d d(rr21r0 1.5)5r2.5
由电流连续性方程式，得
J 1 .5 8 180 (A /m 2)
tr 1 mm
r 1 mm
(3) 在r=1 mm的球内总电荷的增加率：dQI 3.97A
dt
例 在无源的自由空间中，已知磁场强度
试求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分界面处的电 场强度。
解：
JSnHezexH 0siancxots(a)y
eyH 0siancxots(a)y
S
t
y[H0sia ncxost (a)y]aH 0sia nsxin t(a)y
SaH 0sia ncxost (a)yc(x,y)
将两式相减并用
H 1 t ( n H 1 t) n ,H 2 t ( n H 2 t) n
由上式可见：
t E t B tn , n E n 0 , n E t t E n B tt
对于媒质 1 和媒质 2 有
tE 1 t B t1 n, tE 2 t B t2n
上面两式相减得
t(E 1tE 2t) t(B 1nB 2n)
由上式可以写出： H x 0 , H z 0
0
H y t
E 0
sin(
t
z)
Hy
E 0 0
cos(
t z)
H
ey
E 0 0
cos(
t z)
例 设z=0 的平面为空气与理想导体的分界面，z<0 一侧为理想 导体，分界面处的磁场强度为
H (x ,y ,0 ,t) e x H 0 sa ic n x o t a s)( y
H e y 2 .6 1 3 5 c 03 o 1 9 s t 0 1 (z )0 ( A /m )
求位移电流密度Jd。
解：无源的自由空间中J=0, H 源自 Dtex ey ez
Jd
DH t
x y z
ex
Hy z
ex2.63104sin3(109t 10z)
解： 在分界面两侧的媒质中，
E 1 B t1, E 2 B t2
将矢性微分算符和场矢量都分解为切向分量和法向分量，即令
EE tE n, t n
于是有
( t n) (E t E n) t(B t B n)
( t t) n ( t n ) t ( n t) t ( n E n ) B t n B t t
代入切向分量的边界条件：
n (E 1 E 2 ) 0 ,即 E 1 t E 2 t
有
t(B 1 nB 2n) t[n(B 1B 2) ]0
从而有
n(B1B2)C(常)数
如果t=0 时的初值B1、B2都为零，那么C=0。 故
n (B 1 B 2 ) 0 ,即 B 1 n B 2 n
例 已知在无源的自由空间中，
EexE 0co ts (z)
其中E0、β为常数，求H。
解：所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和电荷，
即J=0, ρ=0。
ex ey ez
E x
y
z
0
H t
Ex 0 0
e y E 0sit nz 0 t(e x H x e y H y e z H z)