九年级上册数学待定系数法求二次函数的解析式巩固练习题及答案详细解析
人教版数学九年级上册：22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 (含答案)
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( )A ．y ＝2x 2＋x ＋2B ．y ＝x 2＋3x ＋2C ．y ＝x 2－2x ＋3D ．y ＝x 2－3x ＋22．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图22－1－27所示，那么这个函数的解析式为( )图22－1－27A ．y ＝13x 2＋23x ＋1B ．y ＝13x 2＋23x －1C ．y ＝13x 2－23x －1D ．y ＝13x 2－23x ＋13．已知A (0，3)，B (2，3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点，则该抛物线的顶点坐标是________． 4．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)，B (2，－3)，C (0，－3)．(1)求抛物线的解析式；(2)设D 是抛物线上一点，且点D 的横坐标为－2，求△AOD 的面积．5．已知某二次函数的图象如图22－1－28所示，则这个二次函数的解析式为( )图22－1－28A ．y ＝2(x ＋1)2＋8B ．y ＝18(x ＋1)2－8C ．y ＝29(x －1)2＋8D ．y ＝2(x －1)2－86．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是____________．(只需写一个)7．已知一个二次函数的图象经过点(4，－3)，并且当x ＝3时，函数有最大值4，求该二次函数的解析式．8．某抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝12x 2－4x ＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则该抛物线的函数解析式为( )A ．y ＝12(x －2)2＋1B ．y ＝12(x ＋2)2－1C ．y ＝12(x ＋2)2＋1D ．y ＝－12(x ＋2)2＋19．若y ＝ax 2＋bx ＋c ，则由表格中信息可知y 与x 之间的函数解析式是( )A.y ＝x 2－4x ＋3 B ．y ＝x 2－3x ＋4 C ．y ＝x 2－3x ＋3D ．y ＝x 2－4x ＋810．某二次函数的图象如图22－1－29所示，则其解析式为________________．图22－1－2911．如果抛物线y ＝(k ＋1)x 2＋x －k 2＋2与y 轴的交点坐标为(0，1)，那么k 的值是__________． 12．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过原点及点(－2，－2)，且图象与x 轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为________________________． 13.已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过点(1，0)，(0，32)．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)将抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后抛物线的函数解析式．14．[2019·永州] 如图22－1－30，已知抛物线经过A(－3，0)，B(0，3)两点，且其对称轴为直线x ＝－1.(1)求此抛物线的函数解析式；(2)若P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点(不包括点A 与点B)，求△PAB 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．图22－1－3015．如图22－1－31，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式；(2)P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长的最大值．图22－1－3116．抛物线C：y＝ax2＋bx经过A(－4，0)，B(－1，3)两点，求抛物线C的函数解析式．17．已知抛物线经过A(－5，0)，B(0，5)两点，且其对称轴为直线x＝－2，求此抛物线的函数解析式．答案1．D [解析] 设函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，c ＝2.∴该函数的解析式为y ＝x 2－3x ＋2.2．C [解析] 根据图象可知抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，(0，－1)，设这个二次函数的解析式是y ＝ax 2＋bx ＋c.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－23，c ＝－1. 所以这个二次函数的解析式是y ＝13x 2－23x －1.故选C .3．(1，4)4．解：(1)把A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝－3，c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.则抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)把x ＝－2代入抛物线的解析式，得y ＝5，即D(－2，5)． ∵A(3，0)，即OA ＝3，∴S △AOD ＝12×3×5＝152.5．D [解析] 因为抛物线的顶点坐标是(1，－8)， 所以设抛物线的函数解析式是y ＝a(x －1)2－8. 因为点(3，0)在这个二次函数的图象上， 所以0＝a(3－1)2－8，解得a ＝2.所以这个二次函数的解析式为y ＝2(x －1)2－8.6．答案不唯一，如y ＝2x 2－1 [解析] ∵二次函数图象的顶点坐标为(0，－1)，∴设该二次函数的解析式为y ＝ax 2－1.又∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0.∴这个二次函数的解析式可以是y ＝2x 2－1(答案不唯一)．7．解：∵当x ＝3时，函数有最大值4， ∴函数图象的顶点坐标为(3，4)． 故设此函数的解析式是y ＝a(x －3)2＋4.再把(4，－3)代入函数解析式，得a×(4－3)2＋4＝－3，解得a ＝－7. 故二次函数的解析式是y ＝－7(x －3)2＋4， 即y ＝－7x 2＋42x －59.8．C [解析] 已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y ＝a(x ＋2)2＋1.又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝12x 2－4x ＋3相同，所以a ＝12，所以该抛物线的函数解析式是y＝12(x ＋2)2＋1. 9．A [解析] ∵当x ＝1时，ax 2＝1，∴a ＝1. 将(－1，8)，(0，3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝8，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3. ∴y 与x 之间的函数解析式是y ＝x 2－4x ＋3.故选A .10．y ＝－x 2＋2x ＋3 [解析] 由图象可知，抛物线的对称轴是直线x ＝1，与y 轴交于点(0，3)，与x 轴交于点(－1，0)，设其解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝1，c ＝3，a －b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.故二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.11．1 [解析] ∵抛物线y ＝(k ＋1)x 2＋x －k 2＋2与y 轴的交点坐标为(0，1)， ∴－k 2＋2＝1.解得k ＝±1. 又∵k ＋1≠0，∴k ＝1.故答案为1. 12．y ＝12x 2＋2x 或y ＝－16x 2＋23x[解析] ∵二次函数图象与x 轴的另一个交点到原点的距离为4， ∴这个交点坐标为(－4，0)或(4，0)， ①若这个交点坐标为(－4，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，4a －2b ＋c ＝－2，16a －4b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2，c ＝0，∴该二次函数的解析式为y ＝12x 2＋2x ；②若这个交点坐标为(4，0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，4a －2b ＋c ＝－2，16a ＋4b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－16，b ＝23，c ＝0，∴该二次函数的解析式为y ＝－16x 2＋23x.故这个二次函数的解析式为y ＝12x 2＋2x 或y ＝－16x 2＋23x.13．解：(1)把(1，0)，(0，32)代入抛物线的解析式得⎩⎨⎧－12＋b ＋c ＝0，c ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝32.则抛物线的函数解析式为y ＝－12x 2－x ＋32.(2)y ＝－12x 2－x ＋32＝－12(x ＋1)2＋2，可将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，其顶点恰好落在原点(平移方法不唯一)，平移后抛物线的函数解析式为y ＝－12x 2.14．解：(1)∵抛物线的对称轴是直线x ＝－1且经过点A(－3，0)， ∴抛物线还经过点(1，0)．设抛物线的函数解析式为y ＝a(x －1)(x ＋3)． 把B(0，3)代入，得3＝－3a.解得a ＝－1.∴抛物线的函数解析式为y ＝－(x －1)(x ＋3)＝－x 2－2x ＋3. (2)设直线AB 的函数解析式为y ＝kx ＋b. ∵A(－3，0)，B(0，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0，b ＝3，解得{k ＝1，b ＝3. ∴直线AB 的函数解析式为y ＝x ＋3.过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，交直线AB 于点M. 设P(x ，－x 2－2x ＋3)，则M(x ，x ＋3)， ∴PM ＝－x 2－2x ＋3－(x ＋3)＝－x 2－3x.∴S △PAB ＝12(－x 2－3x)×3＝－32(x ＋32)2＋278.∴当x ＝－32时，S △PAB 有最大值，为278，此时y P ＝－(－32)2－2×(－32)＋3＝154，∴△PAB 面积的最大值为278，此时点P 的坐标为(－32，154)．15．解：(1)∵抛物线的顶点C 的坐标为(1，4)， ∴设二次函数的顶点式为y ＝a(x －1)2＋4. 把B(3，0)代入，得0＝a(3－1)2＋4. 解得a ＝－1.∴二次函数的解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3. 令x ＝0，则y ＝3，∴点D 的坐标为(0，3)．设直线BD 的解析式为y ＝mx ＋n ，把B(3，0)，D(0，3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3m ＋n ，3＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝3.∴直线BD 的解析式为y ＝－x ＋3.(2)设点P 的横坐标为x ，则点P 的坐标为(x ，－x ＋3)，点M 的坐标为(x ，－x 2＋2x ＋3)． ∵点P 在第一象限，∴线段PM 的长为y M －y P ＝－x 2＋2x ＋3－(－x ＋3)＝－x 2＋3x ＝－(x －32)2＋94.∴当x ＝32时，线段PM 的长有最大值，最大值是94.16．解：(1)将A(－4，0)，B(－1，3)代入y ＝ax 2＋bx中，得⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＝0，a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－4，∴抛物线C 的函数解析式为y ＝－x 2－4x. 17．解：设抛物线的函数解析式为y ＝a(x ＋2)2＋k. 代入A ，B 两点的坐标，得⎩⎪⎨⎪⎧（－5＋2）2a ＋k ＝0，4a ＋k ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，k ＝9. 所以此抛物线的函数解析式为y ＝－(x ＋2)2＋9，即y ＝－x 2－4x ＋5.。
九年级上数学专题复习一：待定系数法求二次函数表达式(含答案)
专题复习一 待定系数法求二次函数表达式二次函数表达式的三种形式：①一般式y=ax 2+bx+c(a ≠0);②顶点式y=a(x-m)2+k(a ≠0);③交点式(分解式)y=a(x-x 1)(x-x 2),求函数表达式时要根据已知条件合理选择表达式形式.1.一抛物线和抛物线y=-2x 2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(-1，3)，则该抛物线的函数表达式为(B ).A.y=-2(x-1)2+3B.y=-2(x+1)2+3C.y=-(2x+1)2+3D.y=-(2x-1)2+32.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象顶点为点A(-2，-2)，且过点B(0，2)，则y 关于x 的函数表达式为(D ).A.y=x 2+2B.y=(x-2)2+2C.y=(x-2)2-2D.y=(x+2)2-2(第2题) (第3题) （第4题） (第8题)3.如图所示为抛物线的图象，根据图象可知，抛物线的函数表达式可能为(A ). A.y=-x 2+x+2 B.y=-21x 2-21x+2 C.y=-21x 2-21x+1 D.y=x 2-x-2 4.如图所示，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点B(0，-2).该二次函数的图象与反比例函数y=-x8的图象交于点A(m ，4)，则这个二次函数的表达式为(A ).A.y=x 2-x-2B.y=x 2-x+2C.y=x 2+x-2D.y=x 2+x+2 5.抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)经过(1，2)和(-1，-6)两点，则a+c= -2 ．6.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于点C(0，3)，则二次函数的表达式为 y=x 2-4x+3 ．7.老师给出一个函数，四位同学各指出了这个函数的一个性质：①函数的图象不经过第三象限；②函数的图象经过第一象限；③当x ＜2时，y 随x 的增大而减小；④当x ＜2时，y ＞0． 已知这四位同学的叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数： y=（x-2）2（不唯一） ． 8.如图所示，将Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△A1OB1，若点A 的坐标为(2，1)，过点A ，O ，A1的抛物线的函数表达式为 y=65x 2-67x ． 9.根据下列条件求二次函数的表达式.(1)二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点的横坐标是-21,23,与y 轴交点的纵坐标是-5，求这个二次函数的表达式．(2)二次函数图象的顶点在x 轴上，且图象过点(2，-2)，(-1，-8)，求此函数的表达式．【答案】(1)设抛物线的函数表达式为y=a （x+21）（x-23）.把点（0，-5）代入，得a ×21×（-23）=-5，解得a=320.∴抛物线的函数表达式为y=320（x+21）（x-23）=320x 2-320x-5.(2)设抛物线的函数表达式为y=a （x-k ）2.把点（2，-2）,（-1，-8）代入，得()()⎪⎩⎪⎨⎧-=---=-812222k a k a ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=592k a ,或⎩⎨⎧=-=12k a .∴抛物线的函数表达式为y=-92（x-5）2或y=-2（x-1）2.（第10题）10.在平面直角坐标系中，抛物线y=2x 2+mx+n 经过点A(0，-2)，B(3，4). (1)求抛物线的函数表达式及对称轴.(2)设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，且点D 的纵坐标为t ，记抛物线在A ，B 两点之间的部分为图象G(包含A ，B 两点).若直线CD 与图象G 有公共点，结合函数图象，求点D 纵坐标t 的取值范围.【答案】(1)把点A(0，-2)，B(3，4)代入抛物线y=2x 2+mx+n ，得⎩⎨⎧=++-=43182n m n ,解得⎩⎨⎧-=-=24n m .∴抛物线的函数表达式为y=2x 2-4x-2，对称轴为直线x=1.（第10题答图）(2)如答图所示，作出抛物线在A ，B 两点之间的图象G.由题意得C(-3，-4)，二次函数y=2x 2-4x-2的最小值为-4，由函数图象得出点D 纵坐标的最小值为-4.设直线BC 的表达式为y=kx+b ，将点B ，C 的坐标代入得⎩⎨⎧-=+-=+4343b k b k ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==034b k .∴直线BC 的表达式y=34x.当x=1时，y=34，∴t 的取值范围是-4≤t ≤34.11.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象经过点A(1，0)，B(0，-3)，且对称轴为直线x=2，则这条抛物线的顶点坐标为(B ).A.(2，3)B.(2，1)C.(-2，1)D.(2，-1)12.若一次函数y=x+m 2与y=2x+4的图象交于x 轴上同一点，则m 的值为(D ). A.2 B.±2 C.2 D.±213.若所求的二次函数图象与抛物线y=2x 2-4x-1有相同的顶点，且在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，则所求二次函数的表达式为(D ). A.y=-x 2+2x-5 B.y=ax 2-2ax+a-3(a ＞0) C.y=-2x 2-4x-5 D.y=ax 2-2ax+a-3(a ＜0)14.如图所示，已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点(-1，0)，(1，-2)，该图象与x 轴的另一个交点为点C ，则AC 长为 3 ．(第14题) (第16题)15.已知二次函数的图象经过原点及点(-2，-2)，且图象与x 轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的表达式为 y=21x 2+2x 或y=-61x 2+32x ． 16.如图所示，直线y=x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，AB ⊥BC ，且点C 在x 轴上.若抛物线y=ax 2+bx+c 以点C 为顶点，且经过点B ，则这条抛物线的函数表达式为 y=21x 2-2x+2 ．（第17题）17.如图所示，Rt △AOB 的直角边OA 在x 轴上，OA=2，AB=1，将Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到Rt △COD ，抛物线y=-65x 2+bx+c 经过B ，D 两点. (1)求二次函数的表达式.(2)连结BD ，点P 是抛物线上一点，直线OP 把△BOD 的周长分成相等的两部分，求点P 的坐标.【答案】(1)∵Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到Rt △COD ，∴CD=AB=1，OC=OA=2.则点B(2，1)，D(-1，2)，代入y=-65x 2+bx+c ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=++-26512310c b c b ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==31021c b .∴二次函数的表达式为y=-65x 2+21x+310.（第17题答图） (2)如答图所示，∵OA=2，AB=1，∴B(2，1).∵直线OP 把△BOD 的周长分成相等的两部分，且OB=OD ，∴DQ=BQ ，即点Q 为BD 的中点，D(-1，2).∴点Q 坐标为（21，23）.设直线OP 的表达式为y=kx ，将点Q 坐标代入，得21k=23，解得k=3.∴直线OP 的表达式为y=3x.由⎪⎩⎪⎨⎧++-==310216532x x y xy 得⎩⎨⎧==3111y x ,⎩⎨⎧-=-=12422y x .∴点P 的坐标为(1，3)或(-4，-12).（第18题）18.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+2过B(-2，6)，C(2，2)两点. (1)试求抛物线的函数表达式.(2)记抛物线的顶点为D ，求△BCD 的面积. (3)若直线y=-21x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B ，C)部分有两个交点，求b 的取值范围.【答案】(1)由题意⎩⎨⎧=++=+-22246224b a b a ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-==121b a .∴抛物线的函数表达式为y=21x 2-x+2.(2)如答图所示，∵y=21x 2-x+2=21(x-1)2+23.∴顶点D 的坐标为（1，23），对称轴为直线x=1.设直线BC 的函数表达式为y=kx+b.将B （-2，6），C （2，2）代入，得⎩⎨⎧=+=+-2262b k b k ,解得⎩⎨⎧=-=41b k .∴直线BC 的函数表达式为y=-x+4，∴对称轴与BC 的交点H(1，3).∴S △BDC=S△BDH+S △DHC =21×23×3+21×23×1=3. (3)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=221212x x y b x y 消去y 得x 2-x+4-2b=0，当Δ=0时，直线与抛物线相切，1-4(4-2b)=0，解得b=815.当直线y=-21x+b 经过点C 时，b=3，当直线y=-21x+b 经过点B 时，b=5.∵直线y=-21x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B ，C)部分有两个交点，∴815＜b ≤3.（第19题）19.【贵港】将如图所示的抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数表达式为(A ).A.y=(x-1)2+1B.y=(x+1)2+1C.y=2(x-1)2+1D.y=2(x+1)2+120.【广州】已知抛物线y1=-x 2+mx+n ，直线y 2=kx+b ，y 1的对称轴与y 2交于点A(-1，5)，点A 与y 1的顶点B 的距离是4. (1)求y 1的函数表达式.(2)若y 2随着x 的增大而增大，且y 1与y 2都经过x 轴上的同一点，求y 2的函数表达式. 【答案】(1)∵抛物线y1=-x 2+mx+n ，直线y 2=kx+b ，y 1的对称轴与y 2交于点A(-1，5)，点A与y 1的顶点B 的距离是4.∴B(-1，1)或(-1，9).∴-()12-⨯m=-1，()()14142-⨯--⨯m n =1或9，解得m=-2，n=0或8.∴y1=-x 2-2x 或y1=-x 2-2x+8.(2)①当y1=-x 2-2x 时，抛物线与x 轴的交点是(0，0)和(-2，0).∵y 1的对称轴与y 2交于点A(-1，5)，∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点(-2，0).把(-1，5)，(-2，0)代入得⎩⎨⎧=+-=+-025b k b k ,解得⎩⎨⎧==105b k .∴y 2=5x+10.②当y1=-x 2-2x+8时，令-x 2-2x+8=0，解得x=-4或2.∵y 2随着x 的增大而增大，且过点A(-1，5)，∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点(-4，0).把(-1，5)，(-4，0)代入得⎩⎨⎧=+-=+-045b k b k ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==32035b k .∴y 2=35x+320.综上可得y 2=5x+10或y 2=35x+320.21.如图所示，直线y=-21x+2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B ，C 和点A(-1，0)． (1)求B ，C 两点的坐标． (2)求该二次函数的表达式．(3)若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． (4)点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标．(第21题) 图1 图2（第21题答图）【答案】(1)令x=0，可得y=2;令y=0，可得x=4，∴B,C 两点的坐标分别为B （4，0），C （0，2）.(2)设二次函数的表达式为y=ax 2+bx+c ，将点A ，B ，C 的坐标代入表达式得⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-204160c c b a c b a ,解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=22321c b a .∴该二次函数的表达式为y=-21x 2+23x+2.(3)存在.∵y=-21x 2+23x+2=-21(x-23)2+825，∴抛物线的对称轴是直线x=23.∴OD=23.∵C （0，2），∴OC=2.在Rt △OCD 中，由勾股定理得CD=25.∵△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，∴CP 1=DP 2=DP 3=CD.如答图1所示，作CH ⊥对称轴直线x=23于点H ，∴HP 1=HD=2，∴DP 1=4.∴P 1(23，4)，P 2(23，25)，P 3(23，-25). (4)如答图2所示，过点C 作CM ⊥EF 于点M ，设E （a ，-21a+2），F （a ，-21a 2+23a+2），∴EF=-21a 2+23a+2-（-21a+2）=-21a 2+2a （0≤a ≤4）.∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =21BD·OC+21EF·CM+21EF·BN=25+21a （-21a 2+2a ）+21（4-a ）（-21a 2+2a ）=-a 2+4a+25=-（a-2）2+213，∴当a=2时，四边形CDBF 的面积最大，最大面积为213，此时点E 坐标为（2，1）.。
【经典必考】待定系数法求二次函数表达式30题含详细答案
…………○……………○…………线……学校:_______________…………○……………○…………线……待定系数法求二次函数表达式30题含详细答案1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A （1，0），B （3，0），交y 轴于点C ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上的一动点，求△BCP 面积的最大值；（3）直线x=m 分别交直线BC 和抛物线于点M ，N ，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出m 的值．试卷第2页，总11页○…………装……○…………订………线…………○……※※请※※不※※要※※※※订※※线※※内※※答○…………装……○…………订………线…………○……4．如图，抛物线y =x 2 +bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P ，当点P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S △P AB =8，并求出此时P 点的坐标．5．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标.6．如图所示抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A -，点()0,3C ，且OB OC = （1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点,D E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形…外…………○…………装…………○…………线………学校:___________姓名：____________…内…………○…………装…………○…………线………ACDE 的周长的最小值；（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分，求点P 的坐标.7．如图，抛物线y=ax 2+6x+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y=x ﹣5经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标； ②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．8．如图，已知抛物线y=2x +mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标．试卷第4页，总11页○…………外………装…………○…………订……………○……※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答○…………内………装…………○…………订……………○……9．如图，抛物线y=a （x ﹣1）（x ﹣3）（a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，抛物线上另有一点C 在x 轴下方，且使△OCA ∽△OBC （1）求线段OC 的长度；（2）设直线BC 与y 轴交于点M ，点C 是BM 的中点时，求直线BM 和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC 下方抛物线上是否存在一点P ，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．抛物线y=﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上求一点P ，使S △PAB =S △ABC ，写出P 点的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QBC 的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两…………○…………………线…………学校:_________…………○…………………线…………点，B 点的坐标为(3，0)，与y 轴交于点C （0，－3），点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP'C .是否存在点P ，使四边形POP'C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.12．如图，已知A （﹣2，0），B （4，0），抛物线y=ax 2+bx ﹣1过A 、B 两点，并与过A 点的直线y=﹣12x ﹣1交于点C ． （1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使四边形ACPO 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N ．问：是否存在这样的点N ，使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线y=13x 2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （-9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点试卷第6页，总11页…………装…………○…………线…………○…※※请※※不※※要※※在※※装※※订…………装…………○…………线…………○…的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线经过点A （﹣1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 做x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ． （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）已知点F （0，12），当点P 在x 轴上运动时，试求m 为何值时，四边形DMQF 是平行四边形？（3）点P 在线段AB 运动过程中，是否存在点Q ，使得以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．15．抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过点A 、B 、C ，已知A （﹣1，0），C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴平行线，交抛物线于点D ，当△BDC 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E ，EF ⊥x 轴于F 点，M （m ，0）是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m 的变化范围，并说明理由．……○…………外……装…………○…线…………○……____姓名：___________班……○…………内……装…………○…线…………○……16．已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标．17．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+53x+c 的图象经过点C （0，2）和点D （4，﹣2）．点E 是直线y=﹣13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点． （1）求二次函数的解析式及点E 的坐标．（2）如图①，若点M 是二次函数图象上的点，且在直线CE 的上方，连接MC ，OE ，ME ．求四边形COEM 面积的最大值及此时点M 的坐标．（3）如图②，经过A 、B 、C 三点的圆交y 轴于点F ，求点F 的坐标．18．如图，抛物线y=ax 2+bx+2交x 轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y 轴于点C (1)求这个抛物线的函数表达式．(2)点D 的坐标为(-1，0)，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．(3)点M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使△MNO 为等腰直角三角形，且∠MNO 为直角？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．试卷第8页，总11页………○………………订…………○※※请※※不※※※内※※答※※题※※………○………………订…………○19．若二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的顶点是（2，1）且经过点（1，﹣2），求此二次函数解析式．20．已知二次函数的图象以A （﹣1，4）为顶点，且过点B （2，﹣5） （1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A 、B 两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．21．如图，已知二次函数212y x bx c =-++的图象经过()2,0A ，()0,6B -两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求ABC ∆的面积． 22．如图，二次函数y=（x+2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上的点A （﹣1，0）及点B ．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b 的x 的取值范围．23．在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点1,0A .已知抛物线22y x mx m =+-（m 是常数），顶点为P .（Ⅰ）当抛物线经过点A 时，求顶点P 的坐标；（Ⅱ）若点P 在x 轴下方，当45AOP ∠=︒时，求抛物线的解析式；（Ⅲ） 无论m 取何值，该抛物线都经过定点H .当45AHP ∠=︒时，求抛物线的解析式.○…………装…………○…………○…………学校:___________姓名：___________班：___________○…………装…………○…………○…………24．如图，抛物线y=ax 2+bx(a ＜0）过点E(10,0)，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点A 在点B 的左边），点C ，D 在抛物线上．设A(t,0)，当t=2时，AD=4． （1）求抛物线的函数表达式．（2）当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．25．在平面直角坐标系中，将二次函数()20y axa =>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，1OA =，经过点A 的一次函数()0y kx b k =+≠的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；(3)若点P 为x 轴上任意一点，在(2)的结论下，求35PE PA +的最小值． 26．如图，抛物线顶点P （1，4），与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于点A ，B ． （1）求抛物线的解析式．（2）Q 是抛物线上除点P 外一点，△BCQ 与△BCP 的面积相等，求点Q 的坐标． （3）若M ，N 为抛物线上两个动点，分别过点M ，N 作直线BC 的垂线段，垂足分别为D ，试卷第10页，总11页…装…………○…………………线…………不※※要※※在※※装※※订※※线※※…装…………○…………………线…………E ．是否存在点M ，N 使四边形MNED 为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由．27．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；(3)在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．28．已知k 是常数，抛物线y ＝x 2＋(k 2＋k －6)x ＋3k 的对称轴是y 轴，并且与x 轴有两个交点.(1)求k 的值：(2)若点P 在抛物线y ＝x 2＋(k 2＋k －6)x ＋3k 上，且P 到y 轴的距离是2，求点P 的坐标. 29．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，4AB =，交y 轴于点C ，对称轴是直线1x =．…外…………○…………线…………○……学校:_____…内…………○…………线…………○…… (1)求抛物线的解析式及点C 的坐标；(2)连接BC ，E 是线段OC 上一点，E 关于直线1x =的对称点F 正好落在BC 上，求点F 的坐标； (3)动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，交线段BC 于点Q ．设运动时间为()0t t >秒． ①若AOC ∆与BMN ∆相似，请直接写出t 的值； ②BOQ ∆能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由． 30．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x 与抛物线交于A 、B 两点，直线l 为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l 上是否存在一点P ，使PA+PB 取得最小值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）知F （x 0，y 0）为平面内一定点，M （m ，n ）为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．参考答案1．（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x .（2）2()1,M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或3(1,2+-或3(1,)2-. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+， 得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-， ②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =， ③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得：1t =2t =.综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或⎛- ⎝⎭或⎛- ⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题． 2．（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；直线AC 的解析式为y=3x+3；（2）点M 的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139）， 【解析】分析：（1）设交点式y=a （x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a 即可得到抛物线解析式；再确定C （0，3），然后利用待定系数法求直线AC 的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM 的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M 的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，如图2，∵直线AC 的解析式为y=3x+3，∴直线PC 的解析式可设为y=﹣13x+b ， 把C （0，3）代入得b=3，∴直线PC 的解析式为y=﹣13x+3， 解方程组223133y x x y x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得03x y =⎧⎨=⎩或73209x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P 点坐标为（73，209）； 过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，直线PC 的解析式可设为y=﹣x+b ，把A （﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13， ∴直线PC 的解析式为y=﹣13x ﹣13， 解方程组2231133y x x y x ⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得10x y =-⎧⎨=⎩或103139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P 点坐标为（103，﹣139）. 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139）. 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．3．（1）这个二次函数的表达式是y=x 2﹣4x+3；（2）S △BCP 最大=278；（3）当△BMN 是等腰三角形时，m，1，2．【解析】分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE 的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m 的方程，根据解方程，可得答案．详解：（1）将A （1，0），B （3，0）代入函数解析式，得309330a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝， 解得14a b ⎧⎨-⎩＝＝， 这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C （0，3），设BC 的表达式为y=kx+b ，将点B （3，0）点C （0，3）代入函数解析式，得300k b b +⎧⎨⎩＝＝， 解这个方程组，得13k b -⎧⎨⎩＝＝ 直线BC 的解析是为y=-x+3，过点P 作PE ∥y 轴，交直线BC于点E（t，-t+3），PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，∴S△BCP=S△BPE+S CPE=12（-t2+3t）×3=-32（t-32）2+278，∵-32＜0，∴当t=32时，S△BCP最大=278.（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3）MN=m2-3m，|m-3|，当MN=BM时，①m2（m-3），解得②m2（m-3），解得当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），当△BMN是等腰三角形时，m，1，2．点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．4．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）；（3）（1+4）或（1-4）或（1，﹣4）．【分析】（1）由于抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，那么可以得到方程x 2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，然后利用根与系数即可确定b 、c 的值．（2）根据S △PAB =8，求得P 的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P 点的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，∴方程x 2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，∴﹣1+3=﹣b ，﹣1×3=c ， ∴b=﹣2，c=﹣3，∴二次函数解析式是y=x 2﹣2x ﹣3．（2）∵y=﹣x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．（3）设P 的纵坐标为|y P |，∵S △PAB =8， ∴12AB•|y P |=8， ∵AB=3+1=4，∴|y P |=4，∴y P =±4，把y P =4代入解析式得，4=x 2﹣2x ﹣3，解得，x=1±， 把y P =﹣4代入解析式得，﹣4=x 2﹣2x ﹣3，解得，x=1，∴点P 在该抛物线上滑动到（4）或（1﹣，4）或（1，﹣4）时，满足S △PAB =8．【点睛】考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质；3.二次函数图象上点的坐标特征．5．（1）21452=-+-y x x ；（2）()2,1M -，25y x =-；（3）点P 、Q 的坐标分别为（6，1）、（4，-3）或（2，1）、（4，5）或（2，1）、（4，1）．【分析】（1）函数表达式为：y=a （x-4）2+3，将点B 坐标代入上式，即可求解；（2）A （4，3）、B （0，-5），则点M （2，-1），设直线AB 的表达式为：y=kx-5，将点A 坐标代入上式，即可求解；（3）分当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）设函数表达式为：()243y a x =-+，将点B 坐标代入上式并解得：12a =-， 故抛物线的表达式为：21452=-+-y x x ； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1M -，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =，故直线AB 的表达式为：25y x =-；（3）设点()4,Q s 、点21,452P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， ①当AM 是平行四边形的一条边时，当点Q 在A 的下方时，点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ，同样点P （m ，-12m 2+4m-5）向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q （4，s ）， 即：m-2=4，-12m 2+4m-5-4=s ， 解得：m=6，s=-3，故点当点Q 在点A 上方时，AQ=MP=2，同理可得点Q 的坐标为（4，5），②当AM 是平行四边形的对角线时，由中点定理得：4+2=m+4，3-1=-12m 2+4m-5+s ，解得：m=2，s=1，故点P 、Q 的坐标分别为（2，1）、（4，1）；综上，P 、Q 的坐标分别为（6，1）、（4，-3）或（2，1）、（4，5）或（2，1）、（4，1）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏.6．（1）2y x 2x 3=-++，对称轴为直线1x =；（2）四边形ACDE 的周长最小值为1；（3）12(4,5),(8,45)P P --【分析】（1）OB=OC ，则点B （3，0），则抛物线的表达式为：y=a （x+1）（x-3）=a （x 2-2x-3）=ax 2-2ax-3a ，即可求解；（2）CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D 、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，即可求解；（3）S △PCB ：S △PCA =12EB×（y C -y P ）：12AE×（y C -y P ）=BE ：AE ，即可求解． 【详解】（1）∵OB=OC ，∴点B （3，0），则抛物线的表达式为：y=a （x+1）（x-3）=a （x 2-2x-3）=ax 2-2ax-3a ，故-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x 2+2x+3…①；对称轴为：直线1x =（2）ACDE 的周长=AC+DE+CD+AE ，其中、DE=1是常数，故CD+AE 最小时，周长最小，取点C 关于函数对称点C （2，3），则CD=C′D ，取点A′（-1，1），则A′D=AE ，故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D 、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，四边形ACDE 的周长的最小值（3）如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3：5两部分，又∵S △PCB ：S △PCA =12EB×（y C -y P ）：12AE×（y C -y P ）=BE ：AE ， 则BE ：AE ，=3：5或5：3，则AE=52或32， 即：点E 的坐标为（32，0）或（12，0）， 将点E 、C 的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直线CP 的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），故点P 的坐标为（4，-5）或（8，-45）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点A′点来求最小值，是本题的难点．7．（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；（2）①P 点的横坐标为4或2或2；②点M 的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）． 【解析】 分析：（1）利用一次函数解析式确定C （0，-5），B （5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）①先解方程-x 2+6x-5=0得A （1，0），再判断△OCB 为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB 为等腰直角三角形，所以，接着根据平行四边形的性质得到，PQ ⊥BC ，作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，利用∠PDQ=45°得到PQ=4，设P （m ，-m 2+6m-5），则D （m ，m-5），讨论：当P 点在直线BC 上方时，PD=-m 2+6m-5-（m-5）=4；当P 点在直线BC 下方时，PD=m-5-（-m 2+6m-5），然后分别解方程即可得到P 点的横坐标；②作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM 1B=2∠ACB ，再确定N （3，-2），AC 的解析式为y=5x-5，E 点坐标为（12，-52），利用两直线垂直的问题可设直线EM 1的解析式为y=-15x+b ，把E （12，-52）代入求出b 得到直线EM 1的解析式为y=-15x-125，则解方程组511255y x y x -⎧⎪⎨--⎪⎩＝＝得M 1点的坐标；作直线BC 上作点M 1关于N 点的对称点M 2，如图2，利用对称性得到∠AM 2C=∠AM 1B=2∠ACB ，设M 2（x ，x-5），根据中点坐标公式得到3=13+62x ，然后求出x 即可得到M 2的坐标，从而得到满足条件的点M 的坐标．详解：（1）当x=0时，y=x ﹣5=﹣5，则C （0，﹣5），当y=0时，x ﹣5=0，解得x=5，则B （5，0），把B （5，0），C （0，﹣5）代入y=ax 2+6x+c 得253005a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得15a b =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；（2）①解方程﹣x 2+6x ﹣5=0得x 1=1，x 2=5，则A （1，0），∵B （5，0），C （0，﹣5），∴△OCB 为等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵AM ⊥BC ，∴△AMB 为等腰直角三角形，∴AM=2AB=2×， ∵以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，AM ∥PQ ，∴PQ ⊥BC ，作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，则∠PDQ=45°，∴×=4， 设P （m ，﹣m 2+6m ﹣5），则D （m ，m ﹣5），当P 点在直线BC 上方时，PD=﹣m 2+6m ﹣5﹣（m ﹣5）=﹣m 2+5m=4，解得m 1=1，m 2=4，当P 点在直线BC 下方时，PD=m ﹣5﹣（﹣m 2+6m ﹣5）=m 2﹣5m=4，解得m 1，m 2综上所述，P 点的横坐标为4； ②作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如图2，∵M1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1，∴∠AM1B=2∠ACB，∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，∴N（3，﹣2），易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（12，﹣52，设直线EM1的解析式为y=﹣15x+b，把E（12，﹣52）代入得﹣110+b=﹣52，解得b=﹣125，∴直线EM1的解析式为y=﹣15x﹣125解方程组511255y xy x=-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则M1（136，﹣176）；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），∵3=13+ 62x∴x=236，∴M2（236，﹣76）.综上所述，点M 的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）． 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．8．(1)m=2,顶点为(1,4)；(2)（1,2）.【分析】（1）首先把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线y=2x -+mx+3，利用待定系数法即可求得m 的值，继而求得抛物线的顶点坐标；（2）首先连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA+PC 的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC 的解析式，继而求得答案．【详解】解：（1）把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线y=2x -+mx+3得：0=23-+3m+3，解得：m=2，∴y=2x -+2x+3=()214x --+，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA+PC 的值最小，设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，∵点C （0，3），点B （3，0），∴033k b b =+⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为：（1，2）．考点：二次函数的性质．9．（1）；（2）y=3x ，抛物线解析式为y=3x 2﹣3；（3）点P 存在，坐标为（94，﹣8）． 【分析】 （1）令y=0，求出x 的值，确定出A 与B 坐标，根据已知相似三角形得比例，求出OC 的长即可；（2）根据C 为BM 的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=BC ，确定出C 的坐标，利用待定系数法确定出直线BC 解析式，把C 坐标代入抛物线求出a 的值，确定出二次函数解析式即可；（3）过P 作x 轴的垂线，交BM 于点Q ，设出P 与Q 的横坐标为x ，分别代入抛物线与直线解析式，表示出坐标轴，相减表示出PQ ，四边形ACPB 面积最大即为三角形BCP 面积最大，三角形BCP 面积等于PQ 与B 和C 横坐标之差乘积的一半，构造为二次函数，利用二次函数性质求出此时P 的坐标即可．【详解】解：（1）由题可知当y=0时，a （x ﹣1）（x ﹣3）=0，解得：x 1=1，x 2=3，即A （1，0），B （3，0），∴OA=1，OB=3∵△OCA ∽△OBC ，∴OC ：OB=OA ：OC ，∴OC 2=OA•OB=3，则（2）∵C 是BM 的中点，即OC 为斜边BM 的中线，∴OC=BC ，∴点C 的横坐标为32，又C 在x 轴下方，∴C （32设直线BM的解析式为y=kx+b，把点B（3，0），C（323032k bk b+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：b=∴x又∵点C（3 2解得：a=3，∴抛物线解析式为x2（3）点P存在，设点P坐标为（xx2，过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，则Q（x∴2）=x2x﹣当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，S △BCP =12PQ （3﹣x ）+12PQ （x ﹣32）=34PQ=2 当x=﹣9=24b a 时，S △BCP 有最大值，四边形ABPC 的面积最大，此时点P 的坐标为（94，﹣）． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数图象与性质，待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．10．（1）y=﹣x 2﹣2x +3；（2）所求P 点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，﹣3）或（﹣1，﹣3）；（3）点Q 的坐标是（﹣1，2）．【分析】（1）将A （-3，0），B （1，0）两点代入y=-x 2+bx+c ，利用待定系数法求解即可求得答案； （2）首先求得点C 的坐标为（0，3），然后根据同底等高的两个三角形面积相等，可得P点的纵坐标为±3，将y=±3分别代入抛物线的解析式，求出x 的值，即可求得P 点的坐标； （3）根据两点之间线段最短可得Q 点是AC 与对称轴的交点．利用待定系数法求出直线AC 的解析式，将抛物线的对称轴方程x=-1代入求出y 的值，即可得到点Q 的坐标．【详解】（1）∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，∴930{10b c b c -++=-++=，解得23b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣2x+3；（2）∵y=﹣x 2﹣2x+3，∴x=0时，y=3，∴点C 的坐标为（0，3）．设在抛物线上存在一点P （x ，y ），使S △PAB =S △ABC ，则|y|=3，即y=±3． 如果y=3，那么﹣x 2﹣2x+3=3，解得x=0或﹣2，x=0时与C 点重合，舍去，所以点P （﹣2，3）；如果y=﹣3，那么﹣x 2﹣2x+3=﹣3，解得x=﹣，所以点P （﹣，﹣3）；综上所述，所求P 点的坐标为（﹣2，3）或（﹣，﹣3）或（﹣1，﹣3）； （3）连结AC 与抛物线的对称轴交于点Q ，此时△QBC 的周长最小．设直线AC 的解析式为：y=mx+n ，∵A （﹣3，0），C （0，3），∴30{3m n n -+==，解得：13m n ==⎧⎨⎩， ∴直线AC 的解析式为：y=x+3．∵y=﹣x 2﹣2x+3的对称轴是直线x=﹣1，∴当x=﹣1时，y=﹣1+3=2，∴点Q 的坐标是（﹣1，2）．【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积以及轴对称-最短路线问题．正确求出函数的解析式是解此题的关键．11．（1）223y x x =--；（2）存在这样的点，此时P ，32-）；（3）P 点的坐标为(32，−154)，四边形ABPC 的面积的最大值为758． 【分析】 （1）将B 、C 的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；.（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C 为菱形，那么P 点必在OC 的垂直平分线上，据此可求出P 点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P 点的坐标；. （3）由于△ABC 的面积为定值，当四边形ABPC 的面积最大时，△BPC 的面积最大；过P 作y 轴的平行线，交直线BC 于Q ，交x 轴于F ，易求得直线BC 的解析式，可设出P 点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC 的解析式求出Q 、P 的纵坐标，即可得到PQ 的长，以PQ 为底，B 点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC 的面积，由此可得到关于四边形ACPB 的面积与P 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC 的最大面积及对应的P 点坐标．【详解】。
人教版初三数学：待定系数法求二次函数的解析式—巩固练习(基础)
待定系数法求二次函数的解析式—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. （2016•厦门校级模拟）已知一条抛物线经过E （0，10），F （2，2），G （4，2），H （3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（ ） A ．E ，F B ．E ，G C ．E ，H D ．F ，G 2．二次函数225y x x =+-有( )A ．最小值-5B ．最大值-5C ．最小值-6D ．最大值-63．把抛物线y=3x 2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（ ）A . y=3(x －3)2+2B .y=3(x+3)2+2C .y=3(x －3)2－2D . y=3(x+3)2－24．如图所示，已知抛物线y ＝2x bx c ++的对称轴为x ＝2，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为(0，3)，则点B 的坐标为 ( )A.(2，3)B.(3，2)C.(3，3)D.(4，3)5．将函数2y x x =+的图象向右平移a(a ＞0)个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．若二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表：x -7 -6 -5 -4 -3 -2 Y-27-13-3353则当x ＝1时，y 的值为 ( )A ．5B ．-3C ．-13D ．-27二、填空题7．抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为____ ____．第7题 第10题8．（2016•河南）已知A （0，3），B （2，3）是抛物线y=﹣x 2+bx +c 上两点，该抛物线的顶点坐标是 ．9．已知抛物线222y x x =-++．该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________；10．如图所示已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是____ ____．11．已知二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：x (3)2- -1 12- 0 12 1 32 … y…54- -294- -254- 074…则该二次函数的解析式为_____ ___．12．已知抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为(3，-2)，且与x 轴两交点间的距离为4，则抛物线的解析式为___ _____．三、解答题13．根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式． (1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点； (3)已知抛物线与x 轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．14．如图，已知直线y ＝-2x+2分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，∠BAC ＝90°，求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式．15．（2015•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ． （1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C ．【解析】∵F （2，2），G （4，2）， ∴F 和G 点为抛物线上的对称点， ∴抛物线的对称轴为直线x=3， ∴H （3，1）点为抛物线的顶点，设抛物线的解析式为y=a （x ﹣3）2+1， 把E （0，10）代入得9a +1=10，解得a=1， ∴抛物线的解析式为y=（x ﹣3）2+1．2.【答案】C ；【解析】首先将一般式通过配方化成顶点式，即2225216y x x x x =+-=++-2(1)6x =+-，∵ a ＝1＞0，∴ x ＝-1时，6y =-最小． 3.【答案】A ； 4.【答案】D ；【解析】∵ 点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行， ∴ 点A 与点B 关于对称轴x ＝2对称， 又∵ A(0，3)，∴ AB ＝4，y B ＝y A ＝3， ∴ 点B 的坐标为(4，3)． 5.【答案】B ；【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移，2y x x =+的顶点坐标是11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，232y x x =-+的顶点坐标是31,24⎛⎫-⎪⎝⎭，∴ 移动的距离31222a ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭．6.【答案】D ；【解析】此题如果先用待定系数法求出二次函数解析式，再将x ＝1代入求函数值，显然太繁，而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题．观察表格中的函数值，可发现，当x ＝-4和x ＝-2时，函数值均为3，由此可知对称轴为x ＝-3，再由对称性可知x ＝1的函数值必和x ＝-7的函数值相等，而x ＝-7时y ＝-27．∴ x ＝1时，y ＝-27． 二、填空题7．【答案】223y x x =-++；【解析】由图象知抛物线与x 轴两交点为(3，0)，(-1，0)，则(1)(3)y x x =-+-． 8.【答案】（1，4）． 【解析】∵A （0，3），B （2，3）是抛物线y=﹣x 2+bx +c 上两点， ∴代入得：，解得：b=2，c=3， ∴y=﹣x 2+2x +3=﹣（x ﹣1）2+4， 顶点坐标为（1，4）， 故答案为：（1，4）． 9．【答案】(1)x ＝1；(1，3)；【解析】代入对称轴公式2b x a =-和顶点公式24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭即可.10．【答案】12x ≥； 【解析】将(-1，0)，(1，-2)代入2y x bx c =++中得b ＝-1， ∴ 对称轴为12x =，在对称轴的右侧，即12x ≥时，y 随x 的增大而增大. 11．【答案】22y x x =+-；【解析】此题以表格的形式给出x 、y 的一些对应值．要认真分析表格中的每一对x 、y 值，从中选出较简单的三对x 、y 的值即为(-1，-2)，(0，-2)，(1，0)，再设一般式2y ax bx c =++， 用待定系数法求解．设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0)，由表知2,2,0.a b c c a b c -+=-⎧⎪=-⎨⎪++=⎩ 解得1,1,2.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴ 二次函数解析式为22y x x =+-． 12．【答案】21(3)22y x =--； 【解析】由题意知抛物线过点(1，0)和(5，0)． 三、解答题13.【答案与解析】(1)∵ 顶点是(1，2)，∴ 设2(1)2y a x =-+(a ≠0)．又∵ 过点(2，3)，∴ 2(21)23a -+=，∴ a ＝1． ∴ 2(1)2y x =-+，即223y x x =-+． (2)设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0)．由函数图象过三点(1，-1)，(0，1)，(-1，13)得1,1,13,a b c c a b c ++=-⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得5,7,1.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求的函数解析式为2571y x x =-+．(3)由抛物线与x 轴交于点(1，0)，(3，0)，∴ 设y ＝a(x-1)(x-3)(a ≠0)，又∵ 过点(0，-3)， ∴ a(0-1)(0-3)＝-3，∴ a ＝-1，∴ y ＝-(x-1)(x-3)，即243y x x =-+-．14.【答案与解析】过C 点作CD ⊥x 轴于D ．在y ＝-2x+2中，分别令y ＝0，x ＝0，得点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(0，2)． 由AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，得△BAO ≌△ACD ， ∴ AD ＝OB ＝2，CD ＝AO ＝1， ∴ C 点的坐标为(3，1)．设所求抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，则有0,9312,a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得5,61762.a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，∴ 所求抛物线的解析式为2517266y x x =-+．15.【答案与解析】 解：（1）由已知得：C （0，4），B （4，4），把B 与C 坐标代入y=﹣x 2+bx+c 得：，解得：b=2，c=4，则解析式为y=﹣x 2+2x+4；（2）∵y=﹣x 2+2x+4=﹣（x ﹣2）2+6， ∴抛物线顶点坐标为（2，6），则S 四边形ABDC =S △ABC +S △BCD =×4×4+×4×2=8+4=12．附录资料：《相似》全章复习与巩固--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．（2015•乐山）如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（）A．B．C．D．2. （2016•奉贤区一模）用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是（）A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍B．△ABC放大后，边AB是原来的4倍C．△ABC放大后，周长是原来的4倍D．△ABC放大后，面积是原来的16倍3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( )4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）A．B． C．D．5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有( ) A．1个B．2个 C．3个 D．4个6. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( )A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90° C．P是BC的中点D．BP：BC=2：37. 如图，在△ABC中，EF∥BC，12AEEB,，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9 B．10 C．12 D．138.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A．∠E=2∠K B．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL二、填空题9. （2016•衡阳）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为．10. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG与△BFD的面积之比为________.11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.13. （2015•金华）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．14．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。
九年级数学 二次函数(巩固篇)(专项练习)Word版含解析
专题2.3 二次函数（巩固篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2.3 二次函数（巩固篇）（专项练习） 一、单选题知识点一、二次函数的判断1．下列函数：①2y x =-，①3y x=，①2y x ，①234y x x =++，y 是x 的反比例函数的个数有（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列函数中，二次函数是（ ） A ．y ＝﹣4x +5B ．y ＝x （2x ﹣3）C ．y ＝ax 2+bx +cD ．21y x =3．设y ＝y 1﹣y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 2成正比例，则y 与x 的函数关系是（ ） A ．正比例函数 B ．一次函数 C ．二次函数D ．以上均不正确4．若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图分别表示变量之间的关系，将下面的（a ）、（b ）、（c ）、（d ）对应的图象排序（ ）（1） （2） （3） （4） （a ）面积为定值的矩形（矩形的相邻两边长的关系） （b ）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）（c ）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系）（d ）某人从A 地到B 地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开A 地的距离与时间的关系）A ．（3）（4）（1）（2）B ．（3）（2）（1）（4）C ．（4）（3）（1）（2）D ．（3）（4）（2）（1）知识点二、根据二次函数定义求参数5．若函数y ＝（a ﹣1）x 2+2x +a 2﹣1是二次函数，则（ ） A ．a ≠1B ．a ≠﹣1C ．a ＝1D ．a ＝±16．已知函数y =ax 2+bx +c ，其中a ，b ，c 可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（ ） A ．125个B ．100个C ．48个D ．10个7．如果函数22(2)27m y m x x -=-+-是二次函数，则m 的取值范围是（ ） A ．2m =±B ．2m =C ．m ＝﹣2D ．m 为全体实数8．若y=（m ＋1）265m m x --是二次函数，则m= （ ）A ．－1B ．7C ．－1或7D ．以上都不对知识点三、列二次函数解析式9．下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（ ）①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b 与这个人的年龄a 之间的关系为b ＝0.8（220－a ）；①圆锥的高为h ，它的体积V 与底面半径r 之间的关系为V ＝13πr 2h （h 为定值）；①物体自由下落时，下落高度h 与下落时间t 之间的关系为h ＝12gt 2（g 为定值）； ①导线的电阻为R ，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q 与电流I 之间的关系为Q ＝RI 2（R 为定值）. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．用一根长60cm 的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积2()y cm 与它的一边长()x cm 之间的函数关系式为（ ） A ．230(030)y x x x =-<< B ．230(030)y x x x =-+< C ．230(030)y x x x =-+<<D ．230(030)y x x x =-+<11．二次函数2y ax c =+的图象与22y x =的图象形状相同,开口方向相反,且经过点()1,1,则该二次函数的解析式为( ) A ．221y x =-B ．223y x =+C ．221y x =--D ．223y x =-+12．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x 元，则可卖出（350-10x ）件商品，那么商品所赚钱y 元与售价x 元的函数关系为（ ）A ．2105607350y x x =--+B ．2105607350y x x =-+-C ．210350y x x =-+D ．2103507350y x x =-+-二、填空题知识点一、二次函数的判断 13．二次函数21212y x x =-+ 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___ 14．下列各式：()()()()2222212;2;;;12;2(1)2;2122y x y x y y y x x y x y x x x x x=+====-+=-+=+--；其中y 是x 的二次函数的有________（只填序号）15．下列函数中属于一次函数的是_____，属于反比例函数的是______，属于二次函数的是______A. y ＝x(x ＋1)B. xy ＝1C. y ＝2x 2－2(x ＋1)2D. y =16．二次函数y ＝3x 2+5的二次项系数是_____，一次项系数是_____． 知识点二、根据二次函数定义求参数17．已知函数y ＝（2﹣k ）x 2+kx +1是二次函数，则k 满足__． 18．若y ＝（m +1）x 2+mx ﹣1是关于x 的二次函数，则m 满足_____． 19．函数()21m y m x =++是关于x 的二次函数，则m=___ 20．若函数()2262mm y m x --=+是二次函数，则m =________．知识点三、列二次函数解析式21．矩形周长等于40，设矩形的一边长为x ，那么矩形面积S 与边长x 之间的函数关系式为____.22．在①ABC 中，已知BC 边长为x(x>0)，BC 边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y 与x 之间的关系为__________．23．正方形边长为2，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 与x 的函数关系式是______． 24．用一根长为10m 的木条，做一个长方形的窗框，若长为xm ，则该窗户的面积y （m 2）与x （m ）之间的函数表达式为_____． 三、解答题25．已知函数y=-(m+2)2-2m x (m 为常数),求当m 为何值时：(1)y 是x 的一次函数?(2)y 是x 的二次函数?并求出此时纵坐标为-8的点的坐标．26．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC 边长为xm ，绿化带的面积为ym2 ， 求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．27．如图2 - 4所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)．(1)写出y与x的函数关系式；(2)上述函数是什么函数?(3)自变量x的取值范围是什么?28．某商场销售一批名牌衬衫，每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件．()1如果每件衬衫降价5元，商场每天赢利多少元？()2如果商场每天要赢利1200元，且尽可能让顾客得到实惠，每件衬衫应降价多少元？()3用配方法说明，每件衬衫降价多少元时，商场每天赢利最多，最多是多少元？参考答案：1．A【分析】根据反比例函数、一次函数、二次函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】2y x =-是一次函数，故选项①不符合题意；3y x=是反比例函数，故选项①符合题意； 2y x 是二次函数，故选项①不符合题意；234y x x =++是二次函数，故选项①不符合题意；①y 是x 的反比例函数的个数有：1个 故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数、二次函数、一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、二次函数、一次函数的定义，从而完成求解． 2．B【分析】根据二次函数的定义判断即可．【详解】A 、y ＝﹣4x+5是一次函数，故选项A 不合题意； B 、y ＝x （2x ﹣3）是二次函数，故选项B 符合题意；C 、当a ＝0时，y ＝ax 2+bx+c 不是二次函数，故选项C 不合题意；D 、21y x =不是二次函数，故选项D 不合题意． 故选：B ．【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键． 3．C【分析】设y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x 2，根据y ＝y 1﹣y 2得到y ＝k 1x ﹣k 2x 2，由此得到答案． 【详解】解：设y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x 2， 则y ＝k 1x ﹣k 2x 2，所以y 是关于x 的二次函数， 故选：C ．【点睛】此题考查列函数关系式，正确理解正比例函数的定义是解题的关键． 4．A【分析】根据每个类别的数量关系，判断函数图象的变化规律，选择正确结论．【详解】解：根据题意分析可得：（a ）面积为定值的矩形，其相邻两边长的关系为反比例关系，对应图象为（3）； （b ）运动员推出去的铅球，铅球的高度随时间先增大再减小，对应图象为（4）； （c ）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物，弹簧长度随所挂重物质量增大而增大；对应图象为（1）；（d ）某人从A 地到B 地后，停留一段时间，然后按原速返回，对应图象为（2）． 故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象，主要利用了反比例函数图象，抛物线，一次函数图象，分析得到各小题中的函数关系是解题的关键． 5．A【分析】利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：由题意得：a ﹣1≠0， 解得：a ≠1， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确计算是解题的关键． 6．B【分析】根据二次函数的定义得到0a ≠，依据a 、b 、c 的选法通过计算即可得到答案 【详解】由题意0a ≠， ①a 有四种选法：1、2、3、4，①b 和c 都有五种选法：0、1、2、3、4， ①共有455⨯⨯=100种， 故选：B【点睛】此题考查二次函数的定义2(0)y ax bx c a =++≠，有理数的乘法运算，根据题意得到a 、b 、c 的选法是解题的关键． 7．C【分析】根据二次函数定义可得m -2≠0，222m -=，再解即可． 【详解】解：由题意得：m -2≠0，222m -=， 解得：m=-2， 故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．8．B【分析】令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．【详解】由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0；解得m=7或-1；m≠-1，①m=7，故选：B．【点睛】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0．9．C【详解】形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得①①①是二次函数，故选C．10．C【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可．【详解】由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x，矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x（0＜x＜30）．故选：C．【点睛】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键．11．D【分析】根据二次函数y=ax2+c的图象与y=2x2的图象形状相同,开口方向相反,得到a=−2,然后把点(1,1)代入y=−2x2+c求出对应的c的值，从而可得到抛物线解析式.【详解】①二次函数y=ax2+c的图象与y=2x2的图象形状相同，开口方向相反，①a=−2，①二次函数是y=−2x2+c，①二次函数y=ax2+c经过点(1,1)，①1=−2+c，①c=3，①抛该二次函数的解析式为y=−2x 2+3； 故选D.【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于利用待定系数法求解. 12．B【分析】商品所赚钱=每件的利润×卖出件数，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：每件的利润为（x -21）， ①y =（x -21）（350-10x ） =-10x 2+560x -7350． 故选B ．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是找到总利润的等量关系，注意先求出每件商品的利润． 13．12-2x , 1【分析】函数化简为一般形式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】①y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 ①21212y x x =-+ 中，二次项系数为12，一次项是-2x ，常数项是1.故答案是：12; -2x;1.【点睛】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 14．①①①【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解． 【详解】解：y 是x 的二次函数的有①，①，①． 故答案是：①，①，①．【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax 2+bx+c （a≠0，且a ，b ，c 是常数，x 是未知数）． 15． C B A【详解】根据题意可知y=x （x+1）=x 2+x ，可由二次函数的定义，可知是二次函数；根据xy=1是反比例关系，所以是反比例函数；而y ＝2x 2－2(x ＋1)2= y ＝2x 2－2(x 2+2x+1)=-4x -2，是一次函数；函数y . 故答案为C 、B 、A. 16． 3 0【分析】根据二次函数的定义解答即可．【详解】二次函数y ＝3x 2+5的二次项系数是3，一次项系数是0． 故答案是：3；0．【点睛】考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意没有一次项，所以一次项系数看做是0． 17．k ≠2【分析】利用二次函数定义可得2﹣k ≠0，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：2﹣k ≠0， 解得：k ≠2， 故答案为：k ≠2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键． 18．m ≠﹣1【分析】利用二次函数定义可知m+1≠0，再解不等式即可； 【详解】解：由题意得：m+1≠0， 解得：m≠﹣1， 故答案为：m≠﹣1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，正确掌握二次函数的定义是解题的关键； 19．2【分析】根据二次函数的定义可得220m m ⎧=⎪⎨+≠⎪⎩，求解即可．【详解】解：①函数()21my m x =++是关于x 的二次函数，①220m m ⎧=⎪⎨+≠⎪⎩，解得2m =，故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的定义，注意二次项系数不能为0． 20．4【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案． 【详解】由题意得：2262m m --=，且20m +≠， 解得：4m =． 故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解决问题的关键是明确最高次项的次数为2，且最高次项系数不为0． 21．220S x x =-+【分析】根据矩形的周长、一边长，可得另一边长，根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：设矩形的一边长为x 米，另一边长为（20-x ）米， ①由矩形的面积公式，得 2(20)20S x x x x =-=-+【点睛】本题考查了函数解析式，利用了矩形的面积公式． 22．y=x 2+12x【分析】根据已知得出三角形的高，进而利用三角形面积公式求出即可． 【详解】①BC 边长为x(x>0)，BC 边上的高比它的2倍多1， ①这条边上的高为：2x+1， 根据题意得出：y=12x （2x+1）=x 2+12x ． 故答案为y=x 2+12x ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据三角形面积公式得出是解题关键． 23．y=x 2+4x【分析】增加的面积=新正方形的面积-原正方形的面积，把相关数值代入化简即可． 【详解】新正方形的边长为2x +，原正方形的边长为2． ∴新正方形的面积为2(2)x +，原正方形的面积为4， 22(2)44y x x x ∴=+-=+，故答案为24y x x =+．【点睛】考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键．24．y ＝﹣x 2+5x【分析】直接利用根据实际问题列二次函数解析式关系式，正确表示出长方形的宽是解题关键．【详解】设长为xm ，则宽为（5﹣x ）m ，根据题意可得：y ＝x （5﹣x ）＝﹣x 2+5x ．故答案是：y ＝﹣x 2+5x ．【点睛】考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确表示出长方形的宽是解题关键．25．(1)(2) m =2，纵坐标为-8的点的坐标是，-8)，（，-8）【分析】（1）根据一次函数的定义求m 的值即可；（2）根据二次函数的定义求得m 的值，从而求得二次函数的解析式，把y =-8代入解析式，求得x 的值，即可得纵坐标为-8的点的坐标．【详解】(1)由y=-(m+2)22m x -(m 为常数)，y 是x 的一次函数，得221,20,m m ⎧-=⎨+≠⎩解得 ①当y 是x 的一次函数；(2)由y=-(m+2)22m x -(m 为常数)，y 是x 的二次函数，得222,20,m m ⎧-=⎨+≠⎩解得m=2，m=-2(不符合题意的要舍去)，当m=2时，y 是x 的二次函数，当y=-8时，-8=-4x 2，解得故纵坐标为-8的点的坐标是-8)和（，-8）．【点睛】本题考查了一次函数的定义、二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义．26．y=﹣12x2+20x ，自变量x 的取值范围是0＜x≤25．【详解】试题分析：由矩形的性质结合BC 的长度可得出AB 的长度，再根据矩形的面积公式即可找出y 与x 之间的函数关系式.试题解析：①四边形ABCD 为矩形，BC=x①AB=40-2x ． 根据题意得：24012022x y BC AB x x x -⎛⎫=⨯==-+ ⎪⎝⎭，因为墙长25米，所以025x <≤． 27．(1) y ＝x2－9x ＋20；(2) 二次函数;(3) 0＜x ＜4.【详解】试题分析：（1）根据长方形的面积公式，根据图示求解即可得到函数关系式；（2）通过二次函数的定义可判断；（3）根据x 取值不能大于原方程的长方形的宽进行分析.试题解析：(1)根据长方形的面积公式，得y ＝(5－x)·(4－x)＝x 2－9x ＋20，所以y 与x 的函数关系式为y ＝x 2－9x ＋20．(2)上述函数是二次函数．(3)自变量x 的取值范围是0＜x ＜4．点睛：此题主要考查了根据题意列函数的解析式，熟悉掌握根据题意列函数关系式是解决此题的关键.28．（1）如果每件衬衫降价5元，商场每天赢利1050元；()2每件衬衫应降价20元．()3每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．【分析】总利润＝每件利润×销售量．设每天利润为w 元，每件衬衫应降价x 元，据题意可得利润表达式，（1）把x ＝5代入求得相应的w 的值即可；（2）再求当w ＝1200时x 的值；（3）根据函数关系式，运用函数的性质求最值．【详解】（1）设每天利润为w 元，每件衬衫降价x 元，根据题意得w ＝（40−x ）（20＋2x ）＝−2x 2＋60x ＋800＝−2（x−15）2＋1250当x ＝5时，w ＝−2（5−15）2＋1250＝1050（元）答：如果每件衬衫降价5元，商场每天赢利1050元；；()2当w 1200=时，22x 60x 8001200-++=，解之得1x 10=，2x 20=．根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．答：每件衬衫应降价20元．()3商场每天盈利()()40x 202x -+22(x 15)1250=--+．所以当每件衬衫应降价15元时，商场盈利最多，共1250元．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．【点睛】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的应用．根据题意写出利润的表达式是此题的关键．。
部编数学九年级上册待定系数法求二次函数解析式(讲+练)【7种题型】2023考点题型精讲 解析版含答案
22.1.5待定系数法求二次函数解析式二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．注意：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知1.若抛物线y ＝x 2+bx +c 的对称轴为y 轴，且点P （2，6）在该抛物线上，则c 的值为（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．4【答案】C 【解析】【解答】解：∵抛物线y ＝x 2+bx+c 的对称轴为y 轴，∴b ＝0，∵点P （2，6）在该抛物线上，∴6＝4+c ，解得：c ＝2．题型2：一般式求二次函数解析式-a、b、c未知2.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．【答案】解：把A（﹣1，8）、B（2，﹣1），C（0，3）都代入y＝ax2+bx+c中，得a−b+c=84a+2b+c=−1c=3，解得a=1b=−4c=3，的三元一次方程组，解出a、b、c的值即得y=−x+6x−5，然后将其化为顶点式，即可得出结论.题型3：顶点式求二次函数解析式3.已知抛物线的顶点是A（2，﹣3），且交y 轴于点B（0，5），求此抛物线的解析式.应的y值，则可得点A的坐标.【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.【答案】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，又∵抛物线过点C(0，-3)，∴-3=a(0−1)2−4，解得a=1，∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，即y=x2−2x−3；（ 2 ）令y=0，得：x2−2x−3=0，解得x1=3，x2=−1.所以坐标为A（-1，0），B（3，0）.【解析】【分析】（1）设出抛物线方程的顶点式，将点C的坐标代入即可求得抛物线方程；（2）对该抛物线令y=0，解二元一次方程即可求得点A，B的坐标.题型4：交点式求二次函数解析式4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式．【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入得a×1×（-3）=-3，解得a=1，所以这个二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3【解析】【分析】根据A，B，C三点的坐标特点，设出所求函数的交点式，再将C点的坐标代入即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式。
人教九年级数学上册- 用待定系数法求二次函数的解析式(附习题)
新课导入
问题：如果一个二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7) 三点，能求出这个二次函数的解析式吗？
会用待定系数法求二次函数的解析式.
推进新课
知识点1 用二次函数一般式y=ax2+bx+c 求函数解析式
b=-3
由③-①可得：3a+3b=-3
a+b=-1
a=2
将a=2，b=-3代入①可得：2+3+c=10 c=5
∴解方程组得：a=2, b=-3, c=5
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
a-b+c=10 由已知得： a+b+c=4
的解析式.
两种方法的结果
一样吗？哪种方
方法1：设y=a(x-1)(x-3)+1,把C(0法，更3)代简入捷其？中求出 a的值.
方法2：设y=ax2+bx+c，把A(1，1)，B(3，1)，C(0， 3)代入其中列方程组求a，b，c的值.
已知二次函数的图象经过点(-1,3), (1,3),(2,6),求这个 二次函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得： a-b+c=10 a+b+c=4
三个未知数，两个 等量关系，这个方
程组能解吗？
第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步：解方程组。
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式.
初三数学二次函数试题答案及解析
初三数学二次函数试题答案及解析1.将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位【答案】A．【解析】根据图象左移加可得，将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是向左平移了2个单位，故选A．【考点】二次函数图象的平移变换．2.如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），那么它对应的函数解析式是．【答案】y=﹣x2+2x+3【解析】∵抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴=1，解得b=2，∵与x轴的一个交点为（3，0），∴0=﹣9+6+c，解得c=3，故函数解析式为y=﹣x2+2x+3．故答案为：y=﹣x2+2x+3【考点】待定系数法求二次函数解析式3.如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．（1）当t=时，△PQR的边QR经过点B；（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）如图2，过定点E（5，0）作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，求t的值．【答案】(1)1秒(2)(3)t 的值为（8﹣2）【解析】（1）△PQR 的边QR 经过点B 时，△ABQ 构成等腰直角三角形，则有AB=AQ ，由此列方程求出t 的值；（2）在图形运动的过程中，有三种情形，需要分类讨论，避免漏解；（3）由已知可得ABFE 为正方形；其次通过旋转，由三角形全等证明MN=EM+BN ；设EM=m ，BN=n ，在Rt △FMN 中，由勾股定理得到等式：mn+3（m+n ）﹣9=0，由此等式列方程求出时间t 的值．试题解析：（1）△PQR 的边QR 经过点B 时，△ABQ 构成等腰直角三角形， ∴AB=AQ ，即3=4﹣t ， ∴t=1．即当t=1秒时，△PQR 的边QR 经过点B ．（2）①当0≤t≤1时，如答图1﹣1所示．设PR 交BC 于点G ，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，则CH=OP=2t ，GH=PH=3． S=S 矩形OABC ﹣S 梯形OPGC =8×3﹣（2t+2t+3）×3 =﹣6t+；②当1＜t≤2时，如答图1﹣2所示．设PR 交BC 于点G ，RQ 交BC 、AB 于点S 、T ．过点P 作PH ⊥BC 于点H ，则CH=OP=2t ，GH=PH=3． QD=t ，则AQ=AT=4﹣t ，∴BT=BS=AB ﹣AQ=3﹣（4﹣t ）=t ﹣1． S=S 矩形OABC ﹣S 梯形OPGC ﹣S △BST=8×3﹣（2t+2t+3）×3﹣（t ﹣1）2 =﹣t 2﹣5t+19；③当2＜t≤4时，如答图1﹣3所示．设RQ 与AB 交于点T ，则AT=AQ=4﹣t ． PQ=12﹣3t ，∴PR=RQ=（12﹣3t ）．S=S △PQR ﹣S △AQT =PR 2﹣AQ 2=（12﹣3t ）2﹣（4﹣t ）2 =t 2﹣14t+28．综上所述，S 关于t 的函数关系式为：．（3）∵E （5，0），∴AE=AB=3， ∴四边形ABFE 是正方形．如答图2，将△AME 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABM′，其中AE 与AB 重合． ∵∠MAN=45°，∴∠EAM+∠NAB=45°， ∴∠BAM′+∠NAB=45°， ∴∠MAN=∠M′AN ．连接MN ．在△MAN 与△M′AN 中，∴△MAN ≌△M′AN （SAS ）． ∴MN=M′N=M′B+BN∴MN=EM+BN ．设EM=m ，BN=n ，则FM=3﹣m ，FN=3﹣n ．在Rt △FMN 中，由勾股定理得：FM 2+FN 2=MN 2，即（3﹣m ）2+（3﹣n ）2=（m+n ）2， 整理得：mn+3（m+n ）﹣9=0． ①延长MR 交x 轴于点S ，则m=EM=RS=PQ=（12﹣3t ）， ∵QS=PQ=（12﹣3t ），AQ=4﹣t ，∴n=BN=AS=QS ﹣AQ=（12﹣3t ）﹣（4﹣t ）=﹣t+2． ∴m=3n ，代入①式，化简得：n 2+4n ﹣3=0，解得n=﹣2+或n=﹣2﹣（舍去）∴2﹣t=﹣2+解得：t=8﹣2．∴若∠MAN=45°，则t的值为（8﹣2）秒．【考点】1、图形面积；2、全等三角形；3、勾股定理；4、正方形4.如图，抛物线交坐标轴于A、B、D三点，过点D作轴的平行线交抛物线于点C．直线l过点E（0，－），且平分梯形ABCD面积．⑴直接写出A、B、D三点的坐标；⑵直接写出直线l的解析式；⑶若点P在直线l上，且在x轴上方，tan∠OPB＝，求点P的坐标．【答案】⑴点A（－2，0），点B（8，0），点D（0，）；⑵直线l：；⑶（7，7）．【解析】⑴令，解之即可求得A，B的坐标；在中，令，解之即可求得D的坐标.⑵作CF⊥x轴，F为垂足．先求出矩形OFCD的中心坐标M（3，），则直线ME即为所求直线l．[⑶若点P为所求的点，画出△POB的外接圆⊙G，并作GH⊥x轴，H为垂足，则∠OGH＝∠HGB＝∠OPB；作PN⊥x轴，GN∥x轴，交于点N，则GN＝3，PN＝4，因此点P的坐标为（7，7）．⑴点A（－2，0），点B（8，0），点D（0，）.⑵直线l：.⑶如图，若点P为所求的点，画出△POB的外接圆⊙G，并作GH⊥x轴，H为垂足，则∠OGH ＝∠HGB＝∠OPB．∵OH＝HB＝4，tan∠OGH＝tan∠HGB＝tan∠OPB＝，∴GH＝3，GO＝GB＝GP＝5，即⊙G的圆心G坐标为（4，3），半径r＝5.将点G坐标代入直线l解析式发现，点G恰巧在直线l上.设直线l与x轴交于点Q，不难计算GH：QH＝4：3.作PN⊥x轴，GN∥x轴，交于点N，则GN＝3，PN＝4，因此点P的坐标为（7，7）．【考点】1.二次函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.锐角三角函数定义.5.抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求此抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P,使,若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2) P坐标为（,）、（,）；（,）；（,）．【解析】（1）设出抛物线的顶点形式为y=a（x-1）2+4，将A坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；（2）存在，设出P（a，-a2+2a+3），直线AB解析式为y=kx+b，将A与B坐标代入求出k与b 的值，确定出直线AB解析式，根据三角形ABP面积为三角形ABC面积的一半，由两三角形都以AB为底边，得到C到直线AB的距离为P到直线AB距离的2倍，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出满足题意P的坐标．试题解析：（1）设抛物线的顶点形式为y=a（x-1）2+4，将A（3，0）代入得：0=4a+4，即a=-1，则抛物线解析式为y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3；（2）存在这样的P点，设P（a，-a2+2a+3），设直线AB解析式为y=kx+b，将A（3，0），B（0，3）代入得：，解得：，∴直线AB解析式为y=-x+3，∵S△ABP =S△ABC，且两三角形都以AB为底边，∴P到直线AB的距离等于C到直线AB距离的，∵C（1，4）到直线AB的距离d=，∴P到直线AB的距离d=，即|-a2+3a|=1，整理得：a2-3a-1=0或a2-3a+1=0，解得：a=或a=当a=时，-a2+2a+3=-；当a=时，-a2+2a+3=-；当a=时，-a2+2a+3=-；当a=时，-a2+2a+3=-.则满足题意的P坐标为（,）、（,）；（,）；（,）．考点: 1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质．6.在二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…－10123…（1）求这个二次函数的表达式；（2）当x的取值范围满足什么条件时，？【答案】(1) y=（x-1）（x-3）（或y=x2-4x+3）；(2) 当1＜x＜3时，y＜0．【解析】（1）根据表中的数据知，该函数与x轴的两个交点坐标是（1，0），（3，0），设y=a（x-1）（x-3）（a≠0），然后把点（0，3）代入求得a值；（2）根据二次函数的性质进行解答．试题解析:（1）∵函数与x轴的两个交点坐标是（1，0），（3，0），∴设y=a（x-1）（x-3）（a≠0）．又∵该函数图象经过点（0，3），∴3=3a，解得，a=1．故该函数解析式为y=（x-1）（x-3）（或y=x2-4x+3）；（2）由（1）知，该函数解析式为y=（x-1）（x-3），则该抛物线的开口方向向上．∵y＜0，∴1＜x＜3．答：当1＜x＜3时，y＜0．考点: 1.待定系数法求二次函数解析式,2.二次函数的性质.7.已知一个二次函数的图像经过点（4，1）和（，6）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴．【答案】(1);(2)顶点坐标是（2，-3）,对称轴是直线．【解析】（1）利用待定系数法确定二次函数的解析式；（2）把（1）中得到的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和对称轴试题解析：（1）由题意，得解这个方程组，得∴所求二次函数的解析式是．（2）顶点坐标是（2，-3）．对称轴是直线．【考点】1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质．8.如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过B、C两点．（1）求b，c的值．（2）结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围．【答案】（1）,c=2；（2）-1＜x＜3.【解析】（1）根据正方形的性质得到B（2，2），C（0，2），然后把B点和C点坐标代入解析式得到关于b、c的方程组，再解方程组即可；（2）由（1）得到二次函数解析式为y=-x2+x+2，再求出抛物线与x轴的交点坐标，然后根据图象得到当y＞0时x的取值范围．试题解析：（1）∵正方形OABC的边长为2，∴B（2，2），C（0，2），把B（2，2），C（0，2）代入y=-x2+bx+c得，解得；（2）二次函数解析式为y=-x2+x+2，当y=0时，-x2+x+2=0，解得x1=-1，x2=3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），∴当-1＜x＜3时，y＞0．考点: 1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数与不等式（组）．9.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x2+(m-1)x+4m的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），已知点E（0，1）．（1）求m的值及点A的坐标；（2）如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连结A′B、BE′．①当点E′落在该二次函数的图象上时，求AA′的长；②设AA′=n，其中0＜n＜2，试用含n的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；③当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标．【答案】（1）m="1,A(-2,0);" (2)①,②点E′的坐标是（1，1）,③点E′的坐标是（，1）．【解析】(1)将点代入解析式即可求出m的值，这样写出函数解析式，求出A点坐标；（2）①将E点的坐标代入二次函数解析式，即可求出AA′；②连接EE′，构造直角三角形，利用勾股定理即可求出A′B2+BE′2 当n=1时，其最小时，即可求出E′的坐标；③过点A作AB′⊥x轴，并使AB′ =" BE" = 3．易证△AB′A′≌△EBE′，当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B + B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．易证△AB′A′∽△OBA′，由相似就可求出E′的坐标试题解析：解：（1）由题意可知4m=4，m=1．∴二次函数的解析式为．∴点A的坐标为（-2,0）．（2）①∵点E（0,1），由题意可知，．解得．∴AA′=．②如图，连接EE′．由题设知AA′=n（0＜n＜2），则A′O=2-n．在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=(2–n)2+42=n2-4n+20．∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．∴∠BEE′=90°，EE′=n．又BE=OB-OE=3.∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=n2+9，∴A′B2+BE′2=2n2-4n+29=2(n–1)2+27．当n=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时点E′的坐标是（1，1）．③如图，过点A作AB′⊥x轴，并使AB′=BE=3．易证△AB′A′≌△EBE′，∴B′A′=BE′，∴A′B+BE′=A′B+B′A′．当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．易证△AB′A′∽△OBA′，∴，∴AA′=，∴EE′=AA′=，∴点E′的坐标是（，1）．【考点】1.二次函数综合题；2.平移.10.抛物线y=2（x-3）2+1的顶点坐标为_________．【答案】（3,1）．【解析】根据二次函数的性质,由顶点式直接得出顶点坐标即可．故答案是（3,1）．【考点】二次函数的性质．11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a<0，②b<0，③c<0，④4a-2b+c<0，⑤b+2a=0其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D.【解析】∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴①③正确；∵对称轴为，得2a-b，∴2a+b=0，∴a、b异号，即b＞0，∴②错误，⑤正确；∵当x=－2时，y=4a－2b+c<0，∴④正确．综上所知①③④⑤正确．故选D．【考点】二次函数图象与系数的关系．12.某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y ＝－10x＋500.（1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分）（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量) （3分）【答案】（1）35；（2）30或40；（3）3600.【解析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，根据利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据函数解析式，利用一次函数的性质求出最低成本即可．试题解析：（1）由题意得出：，∵，∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得：，解这个方程得：x1=30，x2=40．∴李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．（3）∵，∴抛物线开口向下. ∴当30≤x≤40时，W≥2000.∵x≤32，∴当30≤x≤32时，W≥2000.设成本为P（元），由题意，得：，∵k=200＜0，∴P随x的增大而减小．∴当x=32时，P最小=3600．答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．【考点】二次函数的应用．13.如图，抛物线经过点A（6，0）、B（0，－4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线对称轴与x轴交于点C，连接BC，点P在抛物线对称轴上，使△PBC为等腰三角形，请写出符合条件的所有点P坐标．（直接写出答案）【答案】（1）（2）．【解析】（1）把点（6，0）、（0，－4）代入抛物线得，．可得．（2）点在抛物线对称轴上，当时；当以为圆心；以的长为半径画圆交直线点；当以为圆心，以的长为半径画圆交直线两点，试题解析：∵抛物线经过A（6，0）、B（0，－4）∴ 1分∴∴ 3分∴ 5分（2）．【考点】１．待定系数法求二次函数的解析式．２．等腰三角形性质．14.将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据图象平移变化的规律，左右平移时，左加右减。
22-1-8 用待定系数法求二次函数的解析式-2023学年九年级数学上册同步精品课堂(人教版)
因此，三元一次方程组的解为 b 3
c 1
2a 2b 2
a 2b 8
④
⑤
我们知道，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次
函数，即可以求出这个一次函数的解析式.对于二次函数，探究下面的问题：
问题1：由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？
解：设所求二次函数为y=ax2+bx+c.由已知，函数图象经过(-1，10)，(1，
4)，(2，7)三点，
a b c 10
得关于a，b，c的三元一次方程组 a b c 4
4a 2b c 7
a 2
解这个方程组，得 b 3
5
因此，所求二次函数的解析式为y=2x2-3x+5.
的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值.
我们知道，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次
函数，即可以求出这个一次函数的解析式.对于二次函数，探究下面的问题：
问题2：如果一个二次函数的图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，能
求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.
分析：确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式y=kx+b，需求出k，
b的值.用待定系数法，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标，列出
关于k，b的二元一次方程组就可以求出k，b的值.
类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需
求出a，b，c的值. 由不在同一直线上的三点(任意两点的连线不与y轴平行)
中考培优专题用待定系数法求二次函数解析式(含答案)
中考培优专题用待定系数法求二次函数解析式（含答案）一、单选题（共有3道小题）1.函数20y ax a =≠,（）的图象经过点(a ，8)，则a 的值为（ ）A.±2B.－2C.2D.32.二次函数()21,0y ax bx a =+-≠的图象经过点(1，1)，则1a b ++ 的值是（） A.-3 B.-1 C.2 D.3 3.若抛物线2＝＋＋y x ax b 与x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线1＝x ，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A ．(－3，－6) B ．(－3，0) C ．(－3，－5) D ．(－3，－1)二、填空题（共有11道小题）4.已知二次函数2y ax =. 若当1x =-时，2y =，那么a =______5.已知二次函数m x x y ++=2的图象过点（1，3），则m 的值为6.二次函数2ax y =的图象过（2，1），则二次函数的表达式为____________.7.已知一条抛物线的形状与22x y =相同，但开口方向相反，且与x 轴的交点坐标是（1,0）、（-4,0），则该抛物线的关系式是 .8.若二次函数的图象开口向下，且经过（2,﹣3）点.符合条件的一个二次函数的解析式为 .9.若抛物线c bx ax y ++=2的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为 .10.已知一条抛物线的开口大小、方向与2x y =均相同，且与x 轴的交点坐标是（-2,0）、（3,0），则该抛物线的关系式是 .11.将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过点A(0，3)，则所得新抛物线的表达式为12.如图，已知抛物线2y x bx c =-++的对称轴为直线1x =，且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式为13.一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当x ＞0时，y 随x 的增大而减小.这个函数解析式为 .(写出一个即可)14.已知抛物线()k m x a y +-=21与()k m x a y ++=22关于y 轴对称，我们称1y 与2y 互为“和谐抛物线”．请写出抛物线7642++-=x x y 的“和谐抛物线” ．三、解答题（共有9道小题）15.某二次函数图象如图，试计算其表达式。