北师大版高中数学选修2-3：第一章第5节《二项式定理》教学设计
《二项式定理》教学设计
一、教学目标
1.知识与技能：
（1）通过利用计数原理证明二项式定理；
（2）理解并掌握二项式定理及二项式展开式，并能简单应用.
（3）能区分二项式系数与二项式展开式项的系数。
2.过程与方法：
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、类比、概括的能力，以及化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，并形成从特殊到一般的归纳，然后证明，最后再应用的思想意识。
3. 情感、态度与价值观：
培养学生的自主探究意识、创新精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨。
二、教学重点、难点
重点：理解用计数原理分析(a+b)2、(a+b)3、(a+b)4的展开式的形成过程，并依此方法得到二项展开式。
推导出二项式定理，二项展开式的通项公式，区别二项式系数及项的系数。
难点：①二项展开式中会有哪几种类型的项？②展开式中各项的系数如何确定？
三、教学方法与工具
为了突破难点，突出重点，我采用化归的思想，将二项展开过程化归到熟悉的有放
回问题；设计(a+b)2、(a+b)3、(a+b)4的展开式的形成过程，通过牢牢扣住二项
式定理的核心问题依旧是计数原理的问题，启发引导问题的解决；采用多媒体教学手段.
2，
，
通项：
、求解展。
1.5.1二项式定理 教案高中数学选修2-3 北师大版
§5 二项式定理5.1二项式定理●三维目标1．知识与技能(1)使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律．(2)能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开．2．过程与方法(1)在学生对二项式定理形成过程的参与、探讨过程中，培养学生观察猜想、归纳的能力及分类讨论解决问题的能力．(2)培养学生的化归意识和知识迁移的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生解决数学问题的信心．(2)通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生体会教学内在和谐对称美．(3)培养学生民族自豪感，在学习知识的过程中进行爱国主义教育．●重点难点重点：使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式系数的规律；能够利用二项式定理对给出的二项式进行展开．难点：二项式定理的发现．二项式定理形式很重要．教学中一定要注意这一点，其关键是让学生掌握二项式定理的形成过程，让学生明确为何可以用组合数来表示二项式定理中各项的系数，这样才能够使学生掌握重点，也有利于突破教学难点．(教师用书独具)●教学建议掌握并能运用二项式定理，让学生主动探索展开式的由来是关键．“学习任何东西最好的途径是自己去发现”正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”．本节课的教法贯穿启发式教学原则，以启发学生主动学习，积极探究为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境．在教学中不仅要重视知识的结果，而且重视知识的发生、发现和解决过程．●教学流程创设问题情境，引出问题：今天是星期一，再过30天后的那一天是星期几？⇒引导学生结合初中所学过的公式观察、比较、分析，再提出新问题由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b4，提出(a＋b)4＝？(a＋b)5＝…⇒通过引导，让学生发现该问题与组合知识有关，逐步引导学生去发现各项及各项系数值的求法．⇒得出定理，深化认识：请学生总结二项式定理中展开式的系数、指数、项数的特点；二项式展开式的结构特征等．⇒巩固应用，由得出的二项式定理，让学生解答例1、例2、例3及相应变式训练．⇒归纳整理，进行课堂小结，布置作业．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识.1．(a＋b)1＝？【提示】(a＋b)1＝a＋b.2．(a＋b)2＝？【提示】(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.3．在问题2中，如何用组合知识来解释a2，ab，b2的系数．【提示】∵(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)，∴a2相当于从2个因式中的都不取b只取a即C02＝C22＝1；ab相当于从2个因式中一个取a，另一个取b，即C12＝2；b2相当于从2个因式中都不取a只取b，即C22＝C02＝1.4．由问题3类比(a＋b)3展开式．【提示】(a＋b)3＝C03a3＋C13a2b＋C23ab2＋C33b3.5．由问题4、3求(a＋b)n的展开式．【提示】(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n.(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n . 这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a ＋b )n 的二项展开式，(a ＋b )n 的二项展开式有n ＋1项，其中各项的系数C r n (r ＝0,1,2…，n )称为二项式系数，C r n a n －r b r 称为二项展开式的第r ＋1项，又称为二项式通项．1．二项式定理右边的各项的次数等于多少？【提示】 各项的次数都等于二项式的幂指数n .2．二项式定理右边的展开式共有多少项？【提示】 n ＋1项．(b ＋a )n ＝C 0n b n ＋C 1n b n －1a ＋C 2n b n －2a 2＋…＋C r n b n －r a r ＋…＋C n n a n .(1)求(3x ＋1x)4的展开式； (2)求值C 1n ＋3C 2n ＋9C 3n ＋…＋3n －1C n n . 【思路探究】(1)直接利用二项式定理展开，也可以先化简再展开；(2)先化成二项展开式的形式，然后逆用二项式定理求解．【自主解答】 (1)法一 (3x ＋1x )4 ＝(3x )4＋C 14(3x )31x ＋C 24(3x )2(1x)2＋ C 34(3x )(1x )3＋C 44(1x)4 ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2. 法二 (3x ＋1x )4＝(3x ＋1x)4＝1x 2(1＋3x )4 ＝1x2[1＋C 143x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4] ＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)。
2019-2020北师大版高中数学选修2-3备课：1.5二项式定理
§5 二项式定理备课资源参考教学建议1.高考对二项式定理的考查,主要涉及利用二项式通项求展开式的特定项,利用二项展开式性质求系数或与系数有关的问题,利用二项式定理进行近似计算.题型以选择、填空题为主,少有综合性的大题.2.本节重点是二项式定理、二项式系数的性质,及它们的简单应用;难点是用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.备选习题1(1+2x )3(1-x )4展开式中x 2的系数为 .解析:(1+2x )3(1-x )4展开式中x 2的系数有以下几种情况:(1+2x )3中出现常数项,则展开式中x 2的系数即为(1-x )4中x 2的系数=6;(1+2x )3中出现x 项,则(1-x )4中应出现x 项,因此·2·(-1)=-C 24C 13C 1424;(1+2x )3中出现x 2项,(1-x )4中出现常数项,此时·22·1=12.C 23∴(1+2x )3·(1-x )4展开式中x 2的系数为6-24+12=-6.答案:-62已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为-,其中i 2=-1,则展开式中常数(x 2-ix )n 314项的值是多少?解:设的展开式的第r+1项为T r+1,(x 2-ix )n 则T r+1=·(x 2)n-r ·C r n (-i x)r =·(-i)r ·.C r n x 2n -5r 2由已知第三项与第五项的系数比为-,314得=-,C 2n ·(-i )2C 4n ·(-i )4314即,C 2n C 4n =314解得n=10.由2n-=0得r=8,则展开式中的常数项为·(-i)8==45.5r 2C 810C 810=C 2103已知(1-2x+3x 2)7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 13x 13+a 14x 14.(1)求a 0+a 1+a 2+…+a 14;(2)求a 1+a 3+a 5+…+a 13.解:(1)令x=1,则a 0+a 1+a 2+…+a 14=27=128.①(2)令x=-1,则a 0-a 1+a 2-a 3+…-a 13+a 14=67.②①-②得2(a 1+a 3+…+a 13)=27-67=-279 808.∴a 1+a 3+a 5+…+a 13=-139 904.。
北师大版选修2-3 二项式定理 教案
二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。
【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。
【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。
如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。
问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34 a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24 a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14 a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04 a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。
数学(北师大版选修2-3)课件1.5.1二项式定理
二项式系数与项的系数
(1)求二项式2
x－1x6 的展开式中第
6
项的二项式
系数和第 6 项的系数；
(2)求x－1x9 的展开式中 x3 的系数．
第一章 计数原理
§ 5 二项式定理
5．1 二项式定理
学习目标
重点难点
1.理解二项式定理是代数乘法公式
的推广．
1.重点是二项式定理、
2．掌握二项式定理，并能利用计数 推导及通项公式．
原理证明二项式定理．
2．难点是利用计数原
3．会用二项式定理解决与二项式展 理推导出二项展开式.
开式有关的简单问题.
阅读教材：5.1二项式定理的有关内容，完成下列问题． 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有(a＋b)n＝ _C_0n_a_n＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_r_b_r＋__…__＋__C_nn_b_n_____(n∈N＋)． 这个公式称为二项式定理．等号右边的多项式称为(a＋b)n 的二项展开式，(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的 系数_C_nr___(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数．
1．(1)求(x＋2y)4 的展开式；
(2)
化
简：
C0n(x
＋
1)n
－C
1 n
(x＋
1)n
－
1＋
C2n
(x
＋
1)n
－2
－
…
＋(
高中数学 第1章 5二项式定理 北师大版选修2-3
1.二项式定理：公式(a＋b)n＝_C_0na__n＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_rbr ＋__…__＋__C__nnb_n_(n∈N＋)叫作二项式定理．
2．二项展开式的通项与二项式系数：(1)(a＋b)n的二项展 开式共有__n_＋__1__项，式中的__C_rn_a_n_－_rb_r__叫作二项展开式的通 项，记作Tr＋1＝___C_rn_a_n_－_rb_r__(其中0≤r≤n，r ∈N，n∈N＋)，通 项为展开式的第r＋1项；
(3)Tr＋1＝Cr10x102－r·(－31x)r＝Cr10x102－r·(－13)r·x－r ＝Cr10·(－13)r·x10－2 3r. 若是正整数指数幂，则有10－2 3r为正整数，∴r 可以取 0,2， ∴项数有 2 个． (4)由题意 Tr＋1＝Cr7(x3)7－r(1x)r＝Cr7x21－4r，令 21－4r＝5，得 r ＝4，则 x5 的系数是 C47＝35. [答案] (1)15 (2)40 (3)B (4)35
5．二项展开式的应用 (1)利用通项公式 Crnan－rbr(0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)求指定 项、特征项(常数项，有理项等)或特征项的系数． (2)近似计算，当|a|与 1 相比较很小且 n 不大时，常用近似 公式(1±a)n≈1±na，使用公式时要注意 a 的条件以及对计算精 确度的要求． (3)整除性问题与求余数问题，对被除式进行合理的变形， 把它写成恰当的二项式的形式，使其展开后的每一项含有除式 的因式或只有一、二项不能整除．
②(1＋x)n＝1＋C1nx1＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋xn(n∈N＋)． (6)要注意逆用二项式定理来分析解决问题．
2．在应用通项公式时要注意以下几点： (1)Crnan－rbr 是展开式的第 r＋1 项，而不是第 r 项； (2)通项公式表示的是二项展开式中的某一项，只要 n 与 r 确定，该项也随之确定；对于一个具体的二项式，它的二项展 开式中的各项依赖于 r； (3)公式中的第一个量 a 与第二个量 b 的位置不能颠倒；
2019北师大版高中数学选修2-3：第一章第5节《二项式定理》课件 (共18张PPT)教育精品.ppt
C
2 2
b
2
(a＋b)3＝( a＋b )( a＋b )( a＋b )＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
a C
0 3
3
C
1 3
a 2b
C
2 3
ab
2
b C
3 3
3
a3 : 每个括号都不取b的情况有一种，即 C03 种，
所以a3的系数是 C03 种
a2b: 相当于有一个括号中取b的情况有
所以a2b的系数是 C13
系数中(-1)r
系不数能中漏(-掉1)r
布置作业
作业： P28 A组1、2、3、4、5
谢谢指导….
Tr+1
＝
C
r n
an-brr (r=0,1,2,…,n)
第r+1项
二项式系数
Cnran-rbr 二项展开式的通项
二项式定理规律
( a b ) n C n 0 a n C 1 n a n 1 b C n r a n r b r C n n b n 1、二项式系数 C n 0 、 C n 1 、 C n 2 、 C n r.C n n
C13 种，
同理，ab2 有 C23 个；b3 有 C33 个；
归纳猜想
(a＋1b)2＝C
0 2
a
2
+
C
1 2
ab+
C
2 2
b2
(a＋b)3＝ C
0 3
a
3
+
C
1 3
a
2b
+
C
2 3
ab 2 +
C
3 3
b3
北师版数学高二-选修2-3教学设计二项式系数的性质
二项式系数的性质教学目标知识与技能1．利用二项式定理得出二项式系数的一些性质；2．能运用二项式系数的性质解决一些简单问题．过程与方法1．熟知二项式系数的对称性、单调性、最大项及所有二项式系数之和等结论；2．熟练运用赋值法求一些代数式的值．情感、态度与价值观1．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．2．通过学习“杨辉三角”的有关知识，了解我们国家悠久的文化传统，陶冶学生的爱国主义情操，进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气，提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：了解“杨辉三角”的结构与规律，掌握二项式系数的一些性质，掌握赋值法．教学难点：二项式系数性质的得到和证明，利用二项式系数的性质解决有关问题．教学过程引入新课前面我们学习了二项式定理，请回顾：(1)(a＋b)n＝__________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的__________________，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做____________，通项是指展开式的第________________项，展开式共有______________项．(2)什么是二项式系数？什么是系数？活动设计：学生先独立回忆，然后独立发言，其他同学进行补充，必要时可以看书．活动结果：(答案展示)(1)(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)、展开式、二项式系数、r＋1、n＋1.(2)二项式系数是C r n，系数是变量前的常数．设计意图：通过复习二项式定理的有关知识，为发现杨辉三角的有关性质打下基础，形成知识储备，引出本节课要研究的内容．提出问题：计算(a＋b)n展开式的二项式系数并填入下表活动设计：通过学案或者投影展示表格，学生填空，学生之间可以交流，教师指导．活动成果：设计意图：当二项式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数．通过计算填表，让学生发现其中的规律．探究新知提出问题：当表示形式为“三角形”时，该表格有什么规律？活动设计：学生自主解决，自由发言，自主探究．活动成果：(这个表在我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，称为杨辉三角．但是在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的，他们把这个表称为帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的)设计意图：为了使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉，要求学生填表，观察表格，探索规律，体会“表示形式的变化有时能帮助我们发现规律”这句话的深刻哲理与方法，由学生自己说说其中的规律．理解新知提出问题1：观察杨辉三角的每一行，正数第1个数与倒数第1个数，正数第2个数与倒数第2个数，正数第3个数与倒数第3个数，…它们有什么样的等量关系？你能把你的想法概括成一句话吗？活动设计：通过展示表格与杨辉三角，让学生自己观察，发现结论，踊跃发言，勇于探索．活动成果：正数第1个数与倒数第1个数相等，正数第2个数与倒数第2个数相等，正数第3个数与倒数第3个数相等，…(板书)二项式系数的性质.(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等，即C m n＝C n－mn 设计意图：引导学生猜想，猜想是发现的开始．通过杨辉三角得到“对称性”，进一步加深学生对二项式系数性质的掌握，这条性质实际上是组合数的一个性质．提出问题2：观察杨辉三角的相邻两行，看看下一行中除了“1”之外的数与上一行中的数有什么关系？活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论．活动成果：表中任一不为1的数都等于它肩上的两个数的和，即(板书)(2)C r n＋1＝C r－1n＋C r n.设计意图：通过新发现(杨辉三角)，重新验证旧知识，能够提升学生对此公式的理解与掌握，加深学生对二项式系数性质的理解，能够在最大程度上提升学生的认知水平，这条性质实际上是组合数的另外一个性质．提出问题3：观察每一行中的二项式系数的大小变化情况，有单调性吗？有最值吗？活动设计：学生未必一下能说清楚，尽量鼓励学生说，让他们积极参与．教师始终是引导者，学生始终是课堂的主体．引导学生从多个方面分析二项式系数的大小关系，如利用特殊值法观察归纳、利用函数图象画图观察等等．先由学生独立完成，然后组织全班讨论，学生之间可以相互求助．活动成果：因为C k n ＝n(n －1)(n －2)…(n －k ＋1)(k －1)！k＝C k －1nn －k ＋1k， 所以C k n 相对于C k －1n 的增减情况由n －k ＋1k 决定．由 n －k ＋1k >1 k<n ＋12可知，当k<n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n ，即C n －12n ，C n ＋12n最大．(板书)(3)增减性与最大值：二项式系数由两边向中间增大，并且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n 最大．设计意图：由于二项式系数组成的数列是一个离散函数，所以我们应该引导学生从函数的角度或从特殊值的角度研究二项式系数的性质．这样处理便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，体会由特殊到一般的化归思想．难点是需要根据n 的奇偶性确定相应的分界点，教学时应该引导学生分析其对称轴实际上是k ＝n2，从而学生可以比较容易地理解并记住最值在哪一项被取到．提出问题4：计算“杨辉三角”中每一行的和，观察其规律，并写出其公式．活动设计：学生自主探究，归纳整理，踊跃发言，教师应该多加鼓励，但是不能代替学生，自始至终都要保护学生的积极性，保持学生的主体性，教师仅仅是一名导演而已．活动成果：已知(1＋x)n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C r n x r ＋…＋C n n x n，令x ＝1，则2n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n .即二项式系数之和等于2n.我们把这样的方法称为赋值法，赋值法是一类解决二项式系数的性质的优越办法．(板书)(4)各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n.设计意图：本环节的设置与本节的大环境一致，都是通过特殊的例子发现最一般的结论，提高学生的认知能力、观察能力及化归能力，加深对二项式系数性质的掌握与应用．实际上这条性质，我们在组合数或者集合的子集中遇到过，教师也可以从这方面入手进行引导，能够进一步加深学生对这一部分知识的理解与掌握，让学生体会到数学知识的前后联系，能够最大限度地达到教学目标．运用新知例1下面的二项展开式中，哪些项的二项式系数最大？是多少？填在相应的横线上．(1)(a＋b)20第________________项的二项式系数最大，是______________________；(2)(a＋b)19第________________项的二项式系数最大，是______________________．思路分析：根据二项式系数的性质(3)即可解决，但要分清n的奇偶性．解：(1)若n＝20，则当r＝10时，二项式系数最大，所以第11项的二项式系数最大，是C1020.(2)若n＝19，则当r＝9或10时，二项式系数最大，所以第10或11项的二项式系数最大，是C919＝C1019.点评：通过n的奇偶性的不同，考查了二项式系数的性质(3)，但是要注意这是二项式系数的最大值，不一定就是系数的最大值．【巩固练习】(1＋2x)n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项．【解析】由题意C4n＝C7n，所以n＝4＋7＝11，从而展开式中二项式系数最大的项是中间两项，即第6项与第7项．例2证明：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．思路分析：奇数项的二项式系数的和为C0n＋C2n＋C4n＋…，偶数项的二项式系数的和为C1n＋C3n＋C5n＋…，由于(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)中的a，b可以取任意实数，因此我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和．这一点可以从性质(4)的推导来获得．证明：在展开式(a ＋b)n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n(n ∈N )中，令a ＝1，b ＝－1，则得(1－1)n ＝C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＋(－1)n C n n ，即0＝(C 0n ＋C 2n ＋…)－(C 1n ＋C 3n ＋…)，所以C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…，即在(a ＋b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．点评：赋值法是解决二项式定理与二项式系数的一种很重要的方法，凡是与二项式系数和或者系数和有关的问题，都有可能通过赋值法获得解决．实际上我们还可以利用函数思想解决这个问题，即令f(x)＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C r n x r ＋…＋C n n x n，由f(－1)＝0，即可很容易地得到要证明的结果． 【巩固练习】C 17＋C 27＋C 37＋…＋C 77＝__________ 【解析】因为C 07＋C 17＋C 27＋C 37＋…＋C 77＝27＝128，所以 C 17＋C 27＋C 37＋…＋C 77＝128－1＝127. 【变练演编】1．当C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2 048时，n ＝________. 2．当C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2 048时，n ＝________.3．当C x n ＝C y n 时，其中n≥x ，n≥y ，x ，y ，n ∈N *，则x ，y 所满足的关系式是__________． 4．当(1＋2x)n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大时，n ＝________________. 请将你所能想到的所有答案都一一列举出来． 1．【解析】由2n ＝2 048＝211，得n ＝11. 2．【解析】由2n －1＝2 048＝211，得n ＝12. 3．【解析】由题意x ＝y 或x ＋y ＝n.4．【解析】由性质(3)知，n 2＋1＝7，所以n ＝12.设计意图：本环节的设计源于一种非常好的教学方法：变练演编．这种开放性的设计，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维．一堂好的数学课必须让学生创新，使得学生有所收获．通过这种方式的训练，让学生去创造题目，解决问题，增加了中学生学习数学的兴趣，进一步掌握了“杨辉三角”的有关性质，能力得到了提高．【达标检测】1．展开式1＋2C 110＋4C 210＋…＋210C 1010＝________.2．(x y －12y x)13展开式的中间项是__________．3．已知(x 3＋1x2)n 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，求展开式中不含x 的项．1．【解析】在(1＋x)10＝r ＝010C r 10x r 中， 令x ＝2，得1＋2C 110＋4C 210＋…＋210C 1010＝(1＋2)10＝310＝59 049.2．【解析】中间项是第7、8项，即42916x 10y 192、－42932y 10x 192.3．【解析】由题意n ＝10，展开式的通项为C r 10x30－5r，所以当r ＝6时，不含x 的项是210.课堂小结活动设计：给学生2分钟的时间，让学生总结出本节课所学的主要知识、方法与技能，教师尽量不要代劳，能让学生说的教师绝不可以“越俎代庖”．活动成果：(板书)1．知识收获：杨辉三角的发现，二项式系数的四个主要性质．2．方法收获：如何求二项式系数的最大值以及理解赋值法的实质及其应用． 3．思维收获：增强爱国主义情感，使学生对我们国家古代的伟大数学成就有所了解，进一步增强其民族自豪感；通过杨辉三角的发现，体会推理—猜想的重要性，体会函数思想、化归思想．设计意图：学生能自己表达的就让他自己表达，学生能自己解决的就让他自己解决，学生能自己总结的就让他自己总结，通过让学生自己总结本节课的学习内容与方法，不但可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！这样不但能充分体现新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁”精神，真正体现了学生的主体地位．补充练习【基础练习】1．C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝______________.2．C 111＋C 211＋C 311＋C 411＋C 511＝________________________.3．若(a ＋b)n 的展开式中，各项的二项式系数和为8 192，则n 的值为( ) A ．16 B ．15 C ．14 D ．134．一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为( )A ．20B ．219C ．220D ．220－1 【答案或解答】 1．5122．利用对称性，原式为2112－1＝1 0233．D 4.D 【拓展练习】5．若(31x ＋51x 2)n 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，求它的中间项．6．已知(2x ＋x lgx )8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1 120，求x 的值． 答案：5.【解析】系数之和即为二项式系数之和，由2n －1＝1 024，得n ＝11，所以展开式的中间项为第6、7项，分别为462x －4、462x －6115.6．【解析】依题意T 5＝C 48(2x)4(x lgx )4＝1 120， 整理得x 4(1＋lgx)＝1，两边取对数，得lg 2x ＋lgx ＝0，解得lgx ＝0或lgx ＝－1. ∴x ＝1或x ＝110.备课资料 伟大的数学家——杨辉杨辉(约1238年～约1298年)，字谦光，钱塘(今浙江杭州)人，是中国南宋时的数学家．杨辉生于宋理宗嘉熙二年(1238年)，卒于元成宗大德二年(1298年)，是中国南宋末年的数学家、数学教育家，大约在13世纪中叶活动于苏杭一带．杨辉的数学著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷(1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、《乘除通变本末》三卷(1274年)、《田亩比类乘除算法》二卷(1275年)、《续古摘奇算法》二卷(1275年)．在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和算法．杨辉可以说是世界上第一个给出了如此丰富的纵横图和讨论了构成规律的数学家．除此成就之外，他还有一项重大贡献，就是“杨辉三角”．大家认识杨辉的名字，基本上都是从“杨辉三角形”上来的．其实，所谓的“杨辉三角形”，并不是杨辉首创，而是北宋的贾宪在他的著作《黄帝九章算经细草》中提出的．此书成于公元1050年左右，其中的“开方做法本源图”就是杨辉三角形的原型，所以也被称为“贾宪三角形”．这个三角形的每一行，对应的是二项式(a＋b)n展开式的系数．杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面．杨辉对筹算乘除捷算法进行了总结和发展，有的还编成了歌诀，如“九归”口诀．杨辉创“纵横图”之名，在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的纵横图及有关的构造方法．垛积术，是杨辉继沈括“隙积术”之后，关于高阶等差级数的研究．杨辉的“纂类”中，是将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类．杨辉是一位杰出的数学教育家，重视数学的普及，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的“习算纲目”是中国数学教育史上的一项重要文献．另一方面，他在宋度宗咸淳年间的两本著作里，亦有提及当时南宋的土地价格．这些资料亦对后世史学家了解南宋经济发展有很重要的帮助．在《乘除通变算宝》中，杨辉创立了“九归”口诀，介绍了筹算乘除的各种速算法等等．在《续古摘奇算法》中，杨辉列出了各式各样的纵横图(幻方)，它是宋代研究幻方和幻圆的最重要的著述．杨辉对中国古代的幻方，不仅有深刻的研究，而且还创造了一个名为攒九图的四阶同心幻圆和多个连环幻圆．杨辉在数学上的另一个重要的贡献是提出了幻方的构造方法．所谓的幻方，就是指在N×N的格子中填入1到N平方的自然数，使每一行每一列的和都相等．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫图或者洛书，写成数字的形式，就是：四九二三五七八一六还有一个口诀：“二四为肩、六八为足、左三右七、戴九履一、五居中央．”传说是黄帝时代，洛水中浮起一只大龟，背上刻着这样的图案．洛书配上八卦，用在风水学上，被称为洛书轨迹，用在奇门遁甲中，则形成了“休死伤杜开惊生景”八门．诸葛亮最擅长的八阵图就是源于此．杨辉收集整理了很多不同阶的幻方，称其为“纵横图”，并写到了自己的著作《续古摘奇算法》一书中，可以说是世界上第一个给出如此多的幻方并讨论了它们的组成规律的数学家．幻方的构造可以按照一个固定的规律，按奇数阶和偶数阶的不同，构造的方法也不一样．奇数阶的构造很容易．首先从最后一行的中间开始填起，从一开始递增，向斜下方延伸．如果超出了边界，就从相对边的位置继续．如果遇上已经填过的格子，就从填过的格子上方的格子继续．大家可以对照三阶幻方来看出这个规律．对于偶数阶幻方，如果是四的倍数，很容易，只要首先把从1到N平方的数字先按照行的方向填好，变成下面的样子：12345 6 7 89 10 11 1213 14 15 16然后除了对角线上面的数字不动以外，其他的数字跟中心对称位置的数字对调：1 15 14 412 6 7 98 10 11 513 3 2 16这样就构造好了．对于阶数是4m＋2的幻方，构造的方法比较复杂．不过步骤是先构造好中心的幻方，然后在周围加上一圈数字就可以了．由于杨辉在数学上的杰出成就，他和秦九韶，李冶，朱世杰一起被后人并称为“宋元数学四大家”．。
高中数学选修2-3《二项式定理》复习课教案
二项式定理复习课新课标教材数学（选修2－3·北师大版）第一章§5.1《二项式定理》考纲要求及高考动向：2010年考试大纲（广东卷）对本节知识的要求是：1.理解二项式定理；2.会用二项式 定理解决与二项式定理有关的简单问题。
高考主要考查通项和二项展开式的应用，即求特定项以及展开式中的系数和等问题。
一、教学目标1、知识目标：掌握二项式定理及有关概念，通项公式，二项式系数的性质；2、思想方法目标：使学生领悟并掌握方程的思想方法，赋值法，构造法，并通过引申 变式提高学生的应变能力，创造能力及逻辑思维能力。
3、情感目标：通过学生的主体活动，营造一种愉悦的情境，使学生自始至终处于积极 思考的氛围中，不断获得成功的体验，从而对自己的数学学习充满信心。
二、教学重点与难点1、重点：二项式定理及有关概念2、难点：二项式定理的应用三、教学资源课本、复习资料、电脑、多媒体平台四、教法与学法1、教法：本节课的教法贯穿引导式教学原则，以“引导思考”为核心，通过例题及其 引申变式引导学生沿着积极的方向思维，逐步达到即定的教学目标，发展学生的逻辑思维能 力。
2、学法：根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主”的教学理念，让每一个学生 自主参与整堂课的知识构建。
在教学的各个环节中引导学生积极参与，进行类比迁移，对照 学习。
学生在教师营造的“自主学习”的环境里，生动活泼地获取知识，掌握规律、主动发 现、主动发展。
五、教学过程（一）教材复习1.二项式定理 01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈（1）展开式中共有n+1项（2）展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1,它表示的是展开式的第r+1项（3）二项式系数：2．二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即m n m n nC C -=(0,1,2,,)r n C r n =（2）增减性与最大值： 先增再减；当n 是偶数时，中间一项2nnC 取 得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n n C +取得最大值。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-3 5.1二项式定理》5
《二项式定理》知识与技能目标：用计数原理分析3)(b a +的展开式，从而猜想二项式定理。
过程与方法目标：熟悉二项式定理中的公式特征，能够应用它解决简单问题。
情感态度和价值观目标：培养学生观察、分析、概括的能力。
核心素养培养目标：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨． 【重点】：二项式定理的内容及应用【难点】：二项式定理的推导过程及内涵学情分析本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题――探究”的教学模式， 把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．教学内容及过程一、引入由“今天是星期一，请问15天后是星期几？30天后呢？8100天后呢？”这个问题引出我们需要知道100)17(+的展开式是怎样的形式回顾多项式的乘法：问题一：))((2121b b a a ++的展开式是什么，怎么形成的？问题二：))()((212121c c b b a a +++的展开式是什么，怎么形成的？总结：规律: 每个括号内任取一个字母相乘构成了展开式中的每一项二、3)(b a +展开式的再认识探究1：不运算3)(b a +，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）：1 合并同类项之前展开式有多少项？2 展开式中有哪些不同的项？3 各项的系数为多少？4 从上述三个问题，你能否得出3)(b a +的展开式？三 形成定理，说理证明探究2：仿照上述过程，请你推导n b a )(+的展开式．)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- ——— 二项式定理证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理可知展开式共有n2项（包括同类项），其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k =的形式，对于每一项k k n b a -，它是由个)(b a +选了b ，n －个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取个b 的组合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．【精讲】二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）1 项数：共有+n １项2 次数：字母a 按降幂排列，次数由n 递减到0；字母b 按升幂排列，次数由0递增到n ．各项的次数都等于n ．3 二项式系数: 依次为n n k n n n n C C C C C ,,,,,,210 ，这里),,1,0(n k C k n ⋅⋅⋅=称为二项式系数4 二项展开式的通项: 式中的k k n k n b a C -叫做二项展开式的通项 用1+k T 表示即通项为展开式的第+k １项: 1+k T =k k n k n b a C -小试牛刀：n x )1(+和n b a )(-例题：求n x x )12(- 的展开式总结（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想）1. 公式： )()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+--2. 思想方法：1从特殊到一般的思维方式 2用计数原理分析二项式的展开过程作业：。
北师大版高中数学选修2-3：第一章第5节《二项式定理》教案
教材内容:选修2-3第一章第五节《二项式定理》教学目标1.知识与技能：（1）通过利用计数原理证明二项式定理；（2）理解并掌握二项式定理及二项式展开式，并能简单应用.（3）能区分二项式系数与二项式展开式项的系数。
2.过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、类比、概括的能力，以及化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，并形成从特殊到一般的归纳，然后证明，最后再应用的思想意识。
3. 情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识、创新精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨。
二、教学重点、难点重点：理解用计数原理分析(a+b)2、(a+b)3、(a+b)4的展开式的形成过程，并依此方法得到二项展开式。
推导出二项式定理，二项展开式的通项公式，区别二项式系数及项的系数。
难点：①二项展开式中会有哪几种类型的项？②展开式中各项的系数如何确定？一、情境设置提供一段父女对话视频，将《二项式定理》的实际应用之整除问题抛，并希望在这堂课中揭晓答案。
引起学生注意，在接下课程中要学习的内容与应用。
二、 复习引导计数原理：分类计数与分步计数（a+b ）2的计算结果，分类计数原理：第一类，都取a ，1种；第二类，取不同，2种；第三类，都取b ，1种；共4种。
分步计数原理:第一步，第一次取数有两种方法；第二步，第二次取数有两种方法，所以一共22=4种.三、 类比推理（a+b ）3展开并整理后有多少项？展开过程如何？分步记数原理：222=8分类记数原理：第一类，三次都不取b ，种；第二类，任一次取b,其他两次取a,种；第三类，任两次取b,其他一次取a,种；第四类，全都取b ，种，即共种.4项。
谁能最快写出（a+b ）4展开整理后的多项式，并说出各项系数和？四、突破新知（a+b ）n 展开并整理后，有哪些项？怎么得到？=+n b a )(n n n r r n r n n n n n b C b a C b a C a C +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++--110思考：二项式展开式中二项式系数、各项次数规律、项数规律、通项(r =0,1,2,…,n )公式。