多体多过程动量守恒问题
动量守恒实验技巧与常见问题解析
动量守恒实验技巧与常见问题解析动量守恒是物理学中一个重要的概念，它描述了在没有外力作用下，系统的总动量维持不变。
为了验证动量守恒定律，实验是必不可少的一个手段。
本文将介绍一些动量守恒实验的技巧，并解析常见问题，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、弹球实验弹球实验是最常见的演示动量守恒的实验之一。
一般来说，实验中会使用两个弹性小球，并将它们进行碰撞。
在进行实验前，我们需要注意以下几个技巧：1. 预热：弹性小球需要预热，这可以通过频繁地将它们进行弹跳来实现。
预热后的小球能够更好地发挥它们的弹性，从而减小能量损失。
2. 预留空间：在进行碰撞时，需要确保两个小球之间有足够的空间。
这样，当两个小球碰撞时，它们能够自由地弹开，避免碰撞过程中的干扰。
3. 观察角度：为了更好地观察碰撞过程，我们可以选择一个合适的观察角度。
通常来说，与小球碰撞平面垂直的方向是一个较好的选择。
在实验过程中，我们通常会遇到一些常见问题，下面将对其进行解析。
1. 能量损失：在实际实验中，我们会观察到部分动能的损失。
这是由于实验中存在着各种摩擦力和空气阻尼等非理想因素。
为了减小能量损失，我们可以选择使用较为理想的小球材料，如金属弹球。
2. 弹球的质量和速度：在进行弹球实验时，我们可以调节小球的质量和速度。
当两个小球质量相同并具有相同的速度时，碰撞后它们的速度也将相同。
而当两个小球质量不同或速度不同时，碰撞后会出现不同的速度分布。
二、弹簧实验弹簧实验是实验动量守恒的另一种常见方法。
在弹簧实验中，我们通常会使用一个弹簧和几个小球。
下面是一些技巧和常见问题的解析。
1. 弹簧的弹性系数：在进行弹簧实验时，我们需要选择合适的弹簧。
弹簧的弹性系数越大，它对物体的弹性力就越大，从而更容易观察到碰撞的效果。
2. 弹簧的固定：在使用弹簧时，我们需要确保它被牢固地固定在一个平稳的位置上，以保证实验的可靠性和准确性。
3. 弹簧的伸缩长度：在进行实验时，我们可以改变弹簧的伸缩长度。
【新步步高】2015-2016学年高二物理教科版选修3-5导学案：第一章 4 习题课 动量守恒定律的应用 Word版含答
4习题课动量守恒定律的应用[目标定位] 1.进一步理解动量守恒定律的含义，理解动量守恒定律的系统性、相对性、矢量性和独立性．2．进一步熟练掌握应用动量守恒定律解决问题的方法和步骤．1．动量守恒定律成立的条件动量守恒定律的研究对象是相互作用的物体系统，其成立的条件可理解为：(1)理想条件：系统不受外力．(2)实际条件：系统所受外力为零．(3)近似条件：系统所受外力比相互作用的内力小得多，外力的作用可以被忽略．(4)推广条件：系统所受外力之和虽不为零，但在某一方向，系统不受外力或所受的外力之和为零，则系统在这一方向上动量守恒．2．动量守恒定律的五性动量守恒定律是自然界最重要、最普遍的规律之一．它是一个实验定律，应用时应注意其：系统性、矢量性、相对性、同时性、普适性．一、动量守恒条件及守恒对象的选取1．动量守恒定律成立的条件：(1)系统不受外力或所受外力的合力为零；(2)系统在某一方向上不受外力或所受外力的合力为0；(3)系统的内力远大于外力．2．动量守恒定律的研究对象是系统．选择多个物体组成的系统时，必须合理选择系统，再对系统进行受力分析，分清内力与外力，然后判断所选系统是否符合动量守恒的条件．【例1】图1－4－1质量为M和m0的滑块用轻弹簧连接，以恒定速度v沿光滑水平面运动，与位于正对面的质量为m的静止滑块发生碰撞，如图1－4－1所示，碰撞时间极短，在此过程中，下列情况可能发生的是()A．M、m0、m速度均发生变化，碰后分别为v1、v2、v3，且满足(M＋m0)v＝M v1＋m v2＋m0v3B．m0的速度不变，M和m的速度变为v1和v2，且满足M v＝M v1＋m v2 C．m0的速度不变，M和m的速度都变为v′，且满足M v＝(M＋m)v′D．M、m0、m速度均发生变化，M和m0的速度都变为v1，m的速度变为v2，且满足(M＋m0)v＝(M＋m0)v1＋m v2答案BC解析M和m碰撞时间极短，在极短的时间内弹簧形变极小，可忽略不计，因而m0在水平方向上没有受到外力作用，动量不变(速度不变)，可以认为碰撞过程中m0没有参与，只涉及M和m，由于水平面光滑，弹簧形变极小，所以M和m组成的系统水平方向动量守恒，两者碰撞后可能具有共同速度，也可能分开，所以只有B、C正确．二、单一方向动量守恒问题1．动量守恒定律的适用条件是普遍的，当系统所受的合外力不为零时，系统的总动量不守恒，但是不少情况下，合外力在某个方向上的分量却为零，那么在该方向上系统的动量分量就是守恒的．2．分析该方向上对应过程的初、末状态，确定初、末状态的动量．3．选取恰当的动量守恒的表达式列方程．三、多物体多过程动量守恒定律的应用对于由多个物体组成的系统，由于物体较多，作用过程较为复杂，这时往往要根据作用过程中的不同阶段，将系统内的物体按作用的关系分成几个小系统，对不同阶段、不同的小系统准确选取初、末状态，分别列动量守恒定律方程求解．【例2】(2014·江西高二联考)如图1－4－2所示，A、B两个木块质量分别为2 kg与0.9 kg，A、B与水平地面间接触面光滑，上表面粗糙，质量为0.1 kg 的铁块以10 m/s的速度从A的左端向右滑动，最后铁块与B的共同速度大小为0.5 m/s，求：图1－4－2(1)A的最终速度；(2)铁块刚滑上B时的速度．答案(1)0.25 m/s(2)2.75 m/s解析(1)选铁块和木块A、B为一系统，由系统总动量守恒得：m v＝(M B＋m)v B＋M A v A可求得：v A＝0.25 m/s(2)设铁块刚滑上B时的速度为u，此时A、B的速度均为v A＝0.25 m/s.由系统动量守恒得：m v＝mu＋(M A＋M B)v A可求得：u＝2.75 m/s.借题发挥处理多物体、多过程动量守恒应注意的问题1．注意正方向的选取．2．研究对象的选取，是取哪几个物体为系统．3．研究过程的选取，应明确哪个过程中动量守恒．针对训练图1－4－3两辆质量相同的小车，置于光滑的水平面上，有一人静止站在A车上，两车静止，如图1－4－3所示．当这个人从A车跳到B车上，接着又从B车跳回A车并与A车保持相对静止，则A车的速率()A．等于零B．小于B车的速率C．大于B车的速率D．等于B车的速率答案 B解析选A车、B车和人作为系统，两车均置于光滑的水平面上，在水平方向上无论人如何跳来跳去，系统均不受外力作用，故满足动量守恒定律．设人的质量为m，A车和B车的质量均为M，最终两车速度分别为v A和v B，由动量守恒定律得0＝(M＋m)v A－M v B，则v Av B＝MM＋m，即v A<v B，故选项B正确．四、动量守恒定律应用中的临界问题分析在动量守恒定律的应用中，常常会遇到相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始反向运动等临界问题．分析临界问题的关键是寻找临界状态，临界状态的出现是有条件的，这个条件就是临界条件．临界条件往往表现为某个(或某些)物理量的特定取值．在与动量相关的临界问题中，临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键．【例3】如图1－4－4所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车总质量为M＝30 kg，乙和他的冰车总质量也是30 kg.游戏时，甲推着一个质量为m＝15 kg的箱子和他一起以v0＝2 m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处，乙迅速抓住．若不计冰面摩擦．图1－4－4(1)若甲将箱子以速度v推出，甲的速度变为多少？(用字母表示)(2)设乙抓住迎面滑来的速度为v 的箱子后反向运动，乙抓住箱子后的速度变为多少？(用字母表示)(3)若甲、乙最后不相撞，甲、乙的速度应满足什么条件？箱子被推出的速度至少多大？答案 (1)（M ＋m ）v 0－m v M(2)m v －M v 0m ＋M(3)v 1≤v 2 5.2 m/s解析 (1)甲将箱子推出的过程，甲和箱子组成的整体动量守恒，由动量守恒定律得：(M ＋m )v 0＝m v ＋M v 1①解得v 1＝（M ＋m ）v 0－m v M② (2)箱子和乙作用的过程动量守恒，以箱子的速度方向为正方向，由动量守恒定律得：m v －M v 0＝(m ＋M )v 2③解得v 2＝m v －M v 0m ＋M④ (3)甲、乙不相撞的条件是v 1≤v 2⑤其中v 1＝v 2为甲、乙恰好不相撞的条件．联立②④⑤三式，并代入数据得v ≥5.2 m/s.某一方向上动量守恒问题1. 如图1－4－5所示，在光滑的水平面上有一静止的斜面，斜面光滑，现有一个小球从斜面顶点由静止释放，在小球下滑的过程中，以下说法正确的是 ( )图1－4－5A ．斜面和小球组成的系统动量守恒B ．斜面和小球组成的系统仅在水平方向上动量守恒C ．斜面向右运动D ．斜面静止不动答案 BC解析 球和斜面组成的系统在水平方向上不受外力作用，故水平方向动量守恒．小球下滑时，对地有向下的加速度，即系统存在向下的加速度，故系统竖直方向上所受合外力不为零，合外力向下，因此不能说系统动量守恒．多物体、多过程中的动量守恒问题2. 如图1－4－6所示，质量为M 的盒子放在光滑的水平面上，盒子内表面不光滑，盒内放有一块质量为m 的物体．从某一时刻起给m 一个水平向右的初速度v 0，那么在物块与盒子前后壁多次往复碰撞后 ( )A ．两者的速度均为零B ．两者的速度总不会相等C ．物体的最终速度为m v 0M ，向右D ．物体的最终速度为m v 0M ＋m，向右 答案 D解析 物体与盒子组成的系统所受合外力为零，物体与盒子前后壁多次往复碰撞后，以速度v 共同运动，由动量守恒定律得：m v 0＝(M ＋m )v ，故v ＝m v 0M ＋m ，向右．3. 质量相等的五个物块在一光滑水平面上排成一条直线，且彼此隔开一定的距离，具有初速度v 0的第5号物块向左运动，依次与其余四个静止物块发生碰撞，如图1－4－7所示，最后这五个物块粘成一个整体，求它们最后的速度为多少？图1－4－ 6图1－4－7答案 15v 0解析 由五个物块组成的系统，沿水平方向不受外力作用，故系统动量守恒，m v 0＝5m v ，v ＝15v 0，即它们最后的速度为15v 0.动量守恒定律应用中的临界问题4. 如图1－4－8所示，甲车质量m 1＝20 kg ，车上有质量M ＝50 kg 的人，甲车(连同车上的人)以v＝3 m/s 的速度向右滑行．此时质量m 2＝50 kg的乙车正以v 0＝1.8 m/s 的速度迎面滑来，为了避免两车相撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳到乙车上，求人跳出甲车的水平速度(相对地面)应当在什么范围以内才能避免两车相撞？不计地面和小车的摩擦，且乙车足够长．答案 大于等于3.8 m/s解析 人跳到乙车上后，如果两车同向，甲车的速度小于或等于乙车的速度就可以避免两车相撞．以人、甲车、乙车组成系统，由水平方向动量守恒得：(m 1＋M )v －m 2v 0＝(m 1＋m 2＋M )v ′，解得v ′＝1 m/s.以人与甲车为一系统，人跳离甲车过程水平方向动量守恒，得：(m 1＋M )v ＝m 1v ′＋Mu ，解得u ＝3.8 m/s.因此，只要人跳离甲车的速度u ≥3.8 m/s ，就可避免两车相撞． (时间：60分钟)题组一 动量守恒条件及系统和过程的选取1．在匀速行驶的船上，当船上的人相对于船竖直向上抛出一个物体时，船的速度将(水的阻力不变) () 图1－4－8A ．变大B ．变小C ．不变D ．无法判定答案 C 解析 相对于船竖直向上抛出物体时，由于惯性，物体水平方向仍然具有和船相同的速度，船和物体组成的系统水平方向动量守恒，故船速不变．2. 如图1－4－9所示，A 、B 两木块紧靠在一起且静止于光滑水平面上，物块C 以一定的初速度v 0从A 的左端开始向右滑行，最后停在B 木块的右端，对此过程，下列叙述正确的是 ( )A ．当C 在A 上滑行时，A 、C 组成的系统动量守恒B ．当C 在B 上滑行时，B 、C 组成的系统动量守恒C ．无论C 是在A 上滑行还是在B 上滑行，A 、B 、C 三物块组成的系统动量 都守恒D ．当C 在B 上滑行时，A 、B 、C 组成的系统动量不守恒答案 BC解析 当C 在A 上滑行时，对A 、C 组成的系统，B 对A 的作用力为外力，不等于0，故系统动量不守恒，选项A 错误；当C 在B 上滑行时，A 、B 已分离，对B 、C 组成的系统，沿水平方向不受外力作用，故系统动量守恒，选项B 正确；若将A 、B 、C 三物块视为一系统，则沿水平方向无外力作用，系统动量守恒，选项C 正确，选项D 错误．3. 平板车B 静止在光滑水平面上，在其左端另有物体A 以水平初速度v 0向车的右端滑行，如图1－4－10所示．由于A 、B 间存在摩擦，因而A 在B 上滑行后，A 开始做减速运动，B 做加速运动(设B 车足够长)，则B 车速度达到最大时，应出现在( ) A ．A 的速度最小时图1－4－9图1－4－10B ．A 、B 速度相等时C ．A 在B 上相对静止时D ．B 车开始做匀速直线运动时答案 ABCD解析 由于A 、B 之间存在摩擦力，A 做减速运动，B 做加速运动，当两个物体的速度相等时，相对静止，摩擦力消失，变速运动结束，此时A 的速度最小，B 的速度最大，因此选项A 、B 、C 正确，此后A 、B 一起匀速运动，所以D 项正确．4. 如图1－4－11所示，在质量为M 的小车上挂有一单摆，摆球的质量为m 0，小车和摆球以恒定的速度v 沿光滑水平地面运动，与位于正对面的质量为m 的静止木块发生碰撞，碰撞的时间极短，在此碰撞过程中，下列可能发生的情况是 ( ) A ．小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别变为v 1、v 2、v 3，满足(M ＋m 0)v ＝M v 1＋m v 2＋m 0v 3B ．摆球的速度不变，小车和木块的速度分别变为v 1、v 2，满足M v ＝M v 1＋m v 2C ．摆球的速度不变，小车和木块的速度都变为v ′，满足M v ＝(M ＋m )v ′D ．小车和摆球的速度都变为v 1，木块的速度变为v 2，满足(M ＋m 0)v ＝(M ＋m 0)v 1＋m v 2答案 BC5. 如图1－4－12所示，小车放在光滑的水平面上，将系着绳的小球拉开一定的角度，然后同时放开小球和小车，那么在以后的过程中 ( )A ．小球向左摆动时，小车也向左运动，且系统动量守恒B ．小球向左摆动时，小车向右运动，且系统动量守恒C ．小球向左摆到最高点，小球的速度为零而小车的速度不为零D ．在任意时刻，小球和小车在水平方向上的动量一定大小相等、方向相反图1－4－11图1－4－12答案BD解析小球摆动过程中，竖直方向上合力不为零，故系统总动量不守恒，但水平方向不受外力，在水平方向动量守恒，所以选项B、D正确．6. 如图1－4－13所示，小车放在光滑水平面上，A、B两人站在车的两端，这两人同时开始相向行走，发现车向左运动，分析小车运动的原因可能是()A．A、B质量相等，但A比B速率大B．A、B质量相等，但A比B速率小C．A、B速率相等，但A比B的质量大D．A、B速率相等，但A比B的质量小答案AC解析两人及车组成的系统动量守恒，则m A v A－m B v B－m C v C＝0，得m A v A－m B v B>0.所以A、C正确．题组二多物体多过程动量守恒定律的应用7．一弹簧枪对准以6 m/s的速度沿光滑桌面迎面滑来的木块发射一颗铅弹，射出速度为10 m/s，铅弹射入木块后未穿出，木块继续向前运动，速度变为5 m/s.如果想让木块停止运动，并假定铅弹射入木块后都不会穿出，则应再向木块迎面射入的铅弹数为() A．5颗B．6颗C．7颗D．8颗答案 D解析设木块质量为m1，铅弹质量为m2，第一颗铅弹射入，有m1v0－m2v＝(m1＋m2)v1，代入数据可得m1m2＝15，设再射入n颗铅弹木块停止，有(m1＋m2)v1－nm2v＝0，解得n＝8.8. 如图1－4－14所示，一轻质弹簧两端连着物体A和B，放在光滑的水平面上，物体A被水平速度为v0的子弹射中并且子弹嵌在其中．已知物体A的质量图1－4－13 图1－4－14m A 是物体B 的质量m B 的34，子弹的质量m 是物体B 的质量的14，求弹簧压缩到最短时B 的速度．答案 v 08解析 弹簧压缩到最短时，子弹、A 、B 具有共同的速度v 1，且子弹、A 、B 组成的系统，从子弹开始射入物体A 一直到弹簧被压缩到最短的过程中，系统所受外力(重力、支持力)之和始终为零，故整个过程系统的动量守恒，由动量守恒定律得m v 0＝(m ＋m A ＋m B )v 1，又m ＝14m B ，m A ＝34m B ，故v 1＝m v 0m ＋m A ＋m B＝v 08，即弹簧压缩到最短时B 的速度为v 08.9. 如图1－4－15所示，在光滑水平面上有两个木块A 、B ，木块B 左端放置小物块C 并保持静止，已知m A ＝m B＝0.2 kg ，m C ＝0.1 kg ，现木块A 以初速度v ＝2 m/s 沿水平方向向右滑动，木块A 与B 相碰后具有共同速度(但不粘连)，C 与A 、B 间均有摩擦．求：(1)木块A 与B 相碰瞬间A 木块及小物块C 的速度大小；(2)设木块A 足够长，求小物块C 的最终速度．答案 (1)1 m/s 0 (2)23 m/s 方向水平向右解析 (1)木块A 与B 相碰瞬间C 的速度为0，A 、B 木块的速度相同，由动量守恒定律得m A v ＝(m A ＋m B )v A ，v A ＝v 2＝1 m/s.(2)C 滑上A 后，摩擦力使C 加速，使A 减速，直至A 、C 具有共同速度，以A 、C 整体为系统，由动量守恒定律得m A v A ＝(m A ＋m C )v C ，v C ＝23 m/s ，方向水平向右．题组三 综合应用图1－4－1510. 如图1－4－16所示，质量分别为m 1和m 2的两个等半径小球，在光滑的水平面上分别以速度v 1、v 2向右运动，并发生对心正碰，碰后m 2被墙弹回，与墙碰撞过程中无能量损失，m 2返回后又与m 1相向碰撞，碰后两球都静止，求第一次碰后m 1球的速度．答案 m 1v 1＋m 2v 22m 1方向向右 解析 设m 1、m 2碰后的速度大小分别为v 1′、v 2′，则由动量守恒定律知m 1v 1＋m 2v 2＝m 1v 1′＋m 2v 2′m 1v 1′－m 2v 2′＝0，解得v 1′＝m 1v 1＋m 2v 22m 1，方向向右． 11. 质量为M ＝2 kg 的小平板车静止在光滑水平面上，车的一端静止着质量为m A ＝2 kg 的物体A (可视为质点)，如图1－4－17所示，一颗质量为m B ＝20 g 的子弹以600 m/s 的水平速度射穿A 后，速度变为100m/s ，最后物体A 相对车静止，若物体A 与小车间的动摩擦因数μ＝0.5，取g ＝10 m/s 2，求平板车最后的速度是多大． 答案 2.5 m/s解析 子弹击穿A 后，A 在水平方向上获得一个速度v A ，最后当A 相对车静止时，它们的共同速度为v .子弹射穿A 的过程极短，因此车对A 的摩擦力、子弹的重力作用可略去，即认为子弹和A 组成的系统水平方向动量守恒，同时，由于作用时间极短，可认为A 的位置没有发生变化，设子弹击穿A 后的速度为v ′，由动量守恒定律有m B v 0＝m B v ′＋m A v A ，得v A ＝m B （v 0－v ′）m A ＝0.02×（600－100）2m/s ＝5 m/s A 获得速度v A 相对车滑动，由于A 与车间有摩擦，最后A 相对车静止，以共同速度v 运动，对于A 与车组成的系统，水平方向动量守恒，因此有：m A vA图1－4－16图1－4－17＝(m A＋M)v，所以v＝m A v Am A＋M＝2×52＋2m/s＝2.5 m/s.12.光滑水平轨道上有三个木块A、B、C，质量分别为m A＝3m、m B＝m C＝m，开始时B、C均静止，A以初速度v0向右运动，A与B碰撞后分开，B又与C发生碰撞并粘在一起，此后A与B间的距离保持不变．求B与C碰撞前B的速度大小．答案6 5 v0解析设A与B碰撞后，A的速度为v A，B与C碰撞前B的速度为v B，B与C碰撞后粘在一起的速度为v，由动量守恒定律得对A、B木块：m A v0＝m A v A＋m B v B①对B、C木块：m B v B＝(m B＋m C)v②由A与B间的距离保持不变可知v A＝v③联立①②③式，代入数据得v B＝65v0④图1－4－18。
天津市高考物理三年(2020-2022)高考物理模拟题汇编-25利用动量守恒定律解决多过程问题
天津市高考物理三年（2020-2022）高考物理模拟题汇编-25利用动量守恒定律解决多过程问题一、解答题1．（2022·天津·模拟预测）滑板运动，越来越受到年轻人追捧，如图所示，滑板轨道ADE 光滑，水平轨道AD与半径R=1.8m四分之一竖直圆弧轨道DE在D点相切。
一个质量为M=48.0kg的运动员（可视为质点）以初速度v0冲上静止在A点质量m=2.0kg的滑板（可视为质点），设运动员蹬上滑板后立即与滑板一起共同沿着轨道运动。
若不计空气阻力，重力加速度g取值10m/s2（计算结果均保留三位有效数字）。
求：（1）运动员至少以多大的水平速度冲上滑板才能达到E点；（2）以第一问速度v0冲滑板，滑过圆弧形轨道D点时对轨道的压力；（3）若A点左侧为μ=0.3的水泥地面，则滑回后运动员与滑板停在距A点多远的距离。
2．（2022·天津·模拟预测）如图所示，有一个可视为质点的质量为m＝1 kg的小物块，从光滑平台上的A点以v0＝2 m/s的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M＝3 kg的长木板。
已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ＝0.3，圆弧轨道的半径为R＝0.4 m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ＝60°，不计空气阻力，g取10 m/s2。
求：（1）小物块到达C点时的速度大小；（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；（3）要使小物块不滑出长木板，长木板的长度L至少多大。
3．（2021·天津南开·统考二模）如图所示，质量为M的平板车P静止在光滑水平地面上，一质量为m的小物块Q置于平板车的左端。
一不可伸长的轻质细绳长为R，一端悬于Q 正上方高为R处，另一端系一质量也为m的小球，小球与小物块Q大小均可忽略不计。
多过程模型(原卷版)—动量守恒的十种模型解读和针对性训练——2025届高考物理一轮复习
动量守恒的十种模型解读和针对性训练多过程模型模型解读把碰撞、人船、爆炸、滑块木板、传送带、平抛运动、竖直面内圆周运动等模型中若干个有机组合成一题，成为多过程模型。
解答多过程模型，要根据题述情景分别运用相关物理规律列方程解答。
【典例精析】【典例】.（16分）（2024湖南名校3月适应性训练）如图所示，足够长的水平光滑直轨道AB 和水平传送带平滑无缝连接，传送带长L =4m ，，以10m/s 的速度顺时针匀速转动，带有光滑圆弧管道EF 的装置P 固定于水平地面上，EF 位于竖直平面内，由两段半径均为R =0.8m 的14圆弧细管道组成，EF 管道与水平传送带和水平地面上的直轨道MN 均平滑相切连接，MN 长22m L =，右侧为竖直墙壁。
滑块a 的质量10.3kg m =，滑块b 与轻弹簧相连，质量20.1kg m =，滑块c 质量30.6kg m =，滑块a 、b 、c 均静置于轨道AB 上。
现让滑块a 以一定的初速度水平向右运动，与滑块b 相撞后立即被粘住，之后与滑块c 发生相互作用，c 与劲度系数k =1.5N/m 的轻质弹簧分离后滑上传送带，加速之后经EF 管道后滑上MN 。
已知滑块c 第一次经过E 时对轨道上方压力大小为42N c 与传送带间的动摩擦因数10.35m =，与MN 间的动摩擦因数20.4m =，其它摩擦和阻力均不计，滑块与竖直墙壁的碰撞为弹性碰撞，各滑块均可视为质点，重力加速度大小g =10m/s 2，弹簧的弹性势能2p 12E kx =（x 为形变量）。
求：（1）滑块c 第一次经过F 点时速度大小（结果可用根号表示）；（2）滑块a 的初速度大小0v ：（3）试通过计算判断滑块c 能否再次与弹簧发生相互作用，若能，求出弹簧第二次压缩时最大的压缩量。
【针对性训练】1.（2024山东临沂二模）如图所示，表面光滑的水平面中间存在光滑凹槽，质量为m长度小于的木板C放置在凹槽内，其上表面恰好与水平面平齐。
高中物理压轴题：用力学三大观点处理多过程问题(解析版)
压轴题用力学三大观点处理多过程问题1.用力学三大观点(动力学观点、能量观点和动量观点)处理多过程问题在高考物理中占据核心地位，是检验学生物理思维能力和综合运用知识解决实际问题能力的重要标准。
2.在命题方式上，高考通常会通过设计包含多个物理过程、涉及多个力学观点的复杂问题来考查学生的综合能力。
这些问题可能涉及物体的运动状态变化、能量转换和守恒、动量变化等多个方面，要求考生能够灵活运用力学三大观点进行分析和解答。
3.备考时，学生应首先深入理解力学三大观点的基本原理和应用方法，掌握相关的物理公式和定理。
其次，要通过大量的练习来提高自己分析和解决问题的能力，特别是要注重对多过程问题的训练，学会将复杂问题分解为多个简单过程进行分析和处理。
考向一：三大观点及相互联系考向二：三大观点的选用原则力学中首先考虑使用两个守恒定律。
从两个守恒定律的表达式看出多项都是状态量(如速度、位置)，所以守恒定律能解决状态问题，不能解决过程(如位移x，时间t)问题，不能解决力(F)的问题。
(1)若是多个物体组成的系统，优先考虑使用两个守恒定律。
(2)若物体(或系统)涉及速度和时间，应考虑使用动量定理。
(3)若物体(或系统)涉及位移和时间，且受到恒力作用，应考虑使用牛顿运动定律。
(4)若物体(或系统)涉及位移和速度，应考虑使用动能定理，系统中摩擦力做功时应用摩擦力乘以相对路程，动能定理解决曲线运动和变加速运动特别方便。
考向三：用三大观点的解物理题要掌握的科学思维方法1．多体问题--要正确选取研究对象，善于寻找相互联系选取研究对象和寻找相互联系是求解多体问题的两个关键。
选取研究对象后需根据不同的条件采用隔离法，即把研究对象从其所在的系统中抽离出来进行研究；或采用整体法，即把几个研究对象组成的系统作为整体进行研究；或将隔离法与整体法交叉使用。
通常，符合守恒定律的系统或各部分运动状态相同的系统，宜采用整体法；在需讨论系统各部分间的相互作用时，宜采用隔离法；对于各部分运动状态不同的系统，应慎用整体法。
多体动力学运动方程
多体动力学运动方程一、引言多体动力学是研究多体系统运动规律和动态行为的学科。
多体系统是由多个刚体或柔体通过约束联系在一起的复杂系统，广泛应用于机械工程、航空航天、车辆工程等领域。
多体动力学运动方程是多体动力学的基础，是描述多体系统运动规律的关键方程。
二、牛顿第二定律牛顿第二定律是描述物体运动规律的基本定律，表述为：物体加速度的大小与作用力的大小成正比，与物体的质量成反比。
数学表达式为：F=ma，其中F表示作用力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
三、角动量守恒定律角动量守恒定律表述为：在没有外力矩作用的情况下，一个转动系统的角动量保持不变。
数学表达式为：L=Iω，其中L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
四、动量守恒定律动量守恒定律表述为：一个孤立系统的总动量保持不变。
数学表达式为：Δp=0，其中Δp表示系统动量的变化量。
五、弹性力学方程弹性力学方程是描述弹性体内应力、应变和位移之间关系的方程。
对于小变形问题，弹性力学方程可简化为胡克定律：σ=Eε，其中σ表示应力，E表示弹性模量，ε表示应变。
六、接触与碰撞模型接触与碰撞模型是多体动力学中的一个重要问题，涉及到接触力、碰撞响应和能量损失等方面的计算。
常用的接触与碰撞模型有Hertz 接触模型、Persson接触模型等。
七、约束与约束力约束是描述多体系统中各物体之间相对运动的限制条件。
约束力是多体系统中的内力，用于保持各物体之间的相对位置关系。
常见的约束类型有方位约束、速度约束和加速度约束等。
八、相对运动与绝对运动相对运动是指两个物体之间的相对位置和相对速度。
绝对运动是指整个多体系统相对于某个参考系的位置和速度。
相对运动和绝对运动的关系是多体动力学中的一个重要问题。
九、运动学与动力学关系运动学主要研究多体系统的位置、速度和加速度等运动参数，而动力学则研究多体系统的受力、力矩和能量等动态参数。
运动学与动力学之间的关系是多体动力学中需要考虑的重要因素。
高考物理难点解读：动量守恒在多体多过程问题
难点48动量守恒在多体多过程问题中的运用
对于多体多过程问题要按照物体运动先后，将多过程进行分解．在每一个子过程中，要分析是否满足动量守恒或者机械能守恒的条件，注意有些过程动量守恒，机械能也守恒；有些过程动量守恒，机械能不守恒；有些过程动量和机械能均不守恒，要根据过程特点选取恰当的规律列方程，
在小球B和木槽A-起运动至小球C和木槽A相撞前的过程中，三个物体的总动量是否守恒？从弹簧弹开瞬间到小球C和木槽相撞的全过程，三个物体组成的系统动量是否守恒？
答案：不守恒；不守恒．
(2)第2个小球与槽碰撞后的共同速度．
解析
（1）释放瞬间对B、c球由动量守恒定律得。
模型6.4：多过程的动量守恒
例 1
如图所示,两个完全相同的质量为m的木板
A、B置于水平地面上,它们的间距s=2.88m。质量为2m, 大小可忽略的物块C置于A板的左端。C与A之间的动摩
擦因数为μ 1=0.22,A、B与水平地面之间的动摩擦因数
为μ 2=0.10,最大静摩擦力可以认为等于滑动摩擦力。
开始时,三个物体处于静止状态。现给C施加一个水平
即每块木板的长度至少应为0.3m。
⑧
答案:0.3m
例2.如图所示,水平光滑地面上停放着一辆小车,左侧靠在 竖直墙壁上,小车的四分之一圆弧轨道AB是光滑的,在最低
点B与水平轨道BC相切,BC的长度是圆弧半径的10倍,整个轨
道处于同一竖直平面内。可视为质点的物块从A点正上方某
处无初速下落,恰好落入小车圆弧轨道滑动,然后沿水平轨道
对木板A、B由动能定理得 1 1 2 Ff1s1-Ff3s1= 2mv3 2mv 2 2 2 2 Ff3=μ2(2m+m+m)g ⑦
⑥
对C物块,由动能定理
1 1 2 F(2l+s1)-Ff1(2l+s1)= 2mv3 2mv12 2 2 由以上各式,再代入数据可得l=0.3m
发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁
场。已知由于磁场的阻力作用,金属球将于再次碰撞前
停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方
向的最大角度将小于45°。
6.4 多过程的动量守恒
李鹰文 涡阳一中 2017年11月29日
方法与技巧
• 方法：
• 1.看图分过程，不会就假设 • 2.对每个过程进行“三基本”分析，最终确定 每一个独立过程如何运动，有哪些力做功 • 3.重点关注题目中的临界条件。 • 技巧： • 能否作为整体、达到共同速度后如何运动、恰好 刚好一起、光滑与粗糙
浅析高中物理“多过程”问题的解决策略
浅析高中物理“多过程”问题的解决策略作者：毛敏来源：《广东教学报·教育综合》2021年第146期【摘要】近几年物理高考中多过程计算题是考查一个热点，主要考查学生的综合分析能力。
学生在这类题难度较大得分率较低，下面就这类问题在《动量守恒定律》复习课中进行探究，如何在教学中提高学生分析多过程问题的能力。
【关键词】多过程;衔接态;拆分;组合物理高考经过多年的改革之后，高考试题不再是单纯的关注于对知识的掌握与机械应用。
而是更注重知识的形成和问题解决过程中所涉及的科学思想和方法; 更关注于学生解决实际问题的能力。
而多物体多过程问题不仅可以考查学生对各个物理规律的掌握和理解，还可以考查学生把实际问题的抽象化的能力，考查学生有序化的严谨思维能力。
所以这类问题得到了命题人的青睐，也成为热点试题之一。
下面就尝试与大家共同探讨如何解决这类问题，在教学中如何来突破这类问题，希望能给大家有所启发。
以此题为例：如图1所示，斜面底端与光滑的水平导轨ab平滑连接，放在地面上的小车上表面与ab在同一水平面上，右端紧靠水平滑道的b端，左端紧靠锁定在地面上的档板P。
轻弹簧的一端固定在档板P上，另一端与质量为m2=1kg物块B相接（不拴接），开始时弹簧处于原长，B恰好位于小车的右端，质量为m1=3kg的物块A从斜面顶端由静止滑下，进入ab时无机械能损失，并与B碰撞結合成整体压缩弹簧。
已知物块与小车之间的动摩擦因数为μ=0.2，物块与斜面间动摩擦因数为0.5，斜面长度为L=4m倾角θ=37°，重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6 ，cos37°=0.8 ，求：（1）A沿斜面滑到底端所用时间t和此刻速度V1的大小（2）A与B碰撞后瞬间速度V2的大小（3）弹簧达到最大压缩量d=1m时的弹性势能EP通读本题，确定物理情景是以滑块、弹簧为背景的两体多过程问题，过程复杂。
学生一眼看到此类题目十分害怕，下面我们来探讨这类问题应该如何破解它。
高考物理模型101专题讲练：第45讲 综合运用动力学、动量观点、能量观点分析解决多物体多过程问题
第45讲综合运用动力学、动量观点、能量观点分析解决多物体多过程问题1.（2021河北）如图，一滑雪道由AB和BC两段滑道组成，其中AB段倾角为θ，BC段水平，AB段和BC段由一小段光滑圆弧连接，一个质量为2kg的背包在滑道顶端A处由静止滑下，若1s后质量为48kg的滑雪者从顶端以1.5m/s的初速度、23m/s的加速度匀加速追赶，恰好在坡底光滑圆弧的水平处追上背包并立即将其拎起，背包与滑道的动摩擦因数为112μ=，重力加速度取210m/sg=，7sin25θ=，24cos25θ=，忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化，求：（1）滑道AB段的长度；（2）滑雪者拎起背包时这一瞬间的速度。
2.（2021广东） 算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导杆上滑动，使用前算珠需要归零，如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框b ，甲、乙相隔21 3.510m s -=⨯，乙与边框a 相隔22 2.010m s -=⨯，算珠与导杆间的动摩擦因数0.1μ=。
现用手指将甲以0.4m/s 的初速度拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小为0.1m/s ，方向不变，碰撞时间极短且不计，重力加速度g 取210m/s 。
（1）通过计算，判断乙算珠能否滑动到边框a ； （2）求甲算珠从拨出到停下所需的时间。
一.知识回顾1.解动力学问题的三个基本观点（1）力的观点：用牛顿运动定律结合运动学知识解题，可处理匀变速运动问题。
（2）能量观点：用动能定理和能量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题。
（3）动量观点：用动量定理和动量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题。
2.力学规律的选用原则（1）如果要列出各物理量在某一时刻的动力学关系式，可用牛顿第二定律。
（2）研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理涉及时间的问题或动能定理涉及位移的问题去解决问题。
（3）若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和能量守恒定律机械能守恒定律去解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件。
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多体多过程动量守恒问题【例1】如图所示，光滑水平轨道上放置长坂A （上表面粗糙）和滑块C ，滑块B 置于A 的左端，三者质量分别为m A =2kg 、m B =1kg 、m C =2kg 。
开始时C 静止，A 、B 一起以v 0=5m/s 的速度匀速向右运动，A 与C 发生碰撞（时间极短）后C 向右运动，经过一段时间A 、B 再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C 碰撞。
求A 与C 发生碰撞后瞬间A 的速度大小。
思维导引：多体多过程动量守恒问题，其实就是多个一体、二体问题的组合，而每一个分阶段涉及的过程都是动量问题中的基本模型。
因此，清晰的物理过程和研究对象的准确选择，是多体多过程动量守恒问题解决的关键。
【名师指路】A 、C 碰撞是一个什么性质的碰撞？再就是A 、C 碰撞过程中，是否应该将B 扯进来？而题目中“（AB ）且恰好不再与C 碰撞”内涵的挖掘，更是本题答题的关键。
突破上述问题，并将过程分析清楚，才能够顺利地完成本题。
解法1：分阶段分析法【名师指路】这种方法的基本套路是按照事物发展的先后顺序，一个阶段一个阶段的处理，分析过程中要注意不同阶段衔接点的速度——前一阶段的末速度即为下一阶段的初速度。
【名师指路】第一个问题是，A 、C 碰撞过程中，是否应该将B 扯进来？第一个问题，A 、C 碰撞过程时间极短，A 、C 间相互作用的内力远大于B 给A 的摩擦力，因此在碰撞这一过程中，A 、C 动量守恒；另一方面，由于碰撞时间极短，B 的速度也来不及发生明显改变，即A 、C 碰撞结束时，B 的速度仍为v 0。
【名师指路】第二个问题是，A 、C 碰撞是一个什么性质的碰撞（弹性的？完全非弹性的？），题目没做任何明示或者暗示，因此应该做最一般的假设，即两者速度不相同。
【解析】因碰撞时间极短，A 与C 碰撞过程动量守恒，设碰后瞬间A 的速度为v A ，C 的速度为v C ，由动量守恒定律得0A A A C C m v m v m v =+【名师指路】此时B 的速度是原来的v 0，而A 的速度因为与C 碰撞必然减小了，所以接下来B 将减速而A 将加速，直到AB 共速，这个过程中A 一直没有没有与C 碰撞。
A 与B 在摩擦力作用下达到共同速度，设共同速度为v AB ，由动量守恒定律得0()A A B A B AB m v m v m m v +=+【名师指路】“（AB 共速时）且恰好不再与C 碰撞”这句话说明了什么？如果v AB 大于v C ，A 一定会与C 发生第二次碰撞；而AB C v v ≤就能保证A 不再与C 碰撞，因此，“恰好”的含义应该是是指AB C v v =。
A 与B 达到共同速度后恰好不再与C 碰撞，应满足AB C v v =三式联立，代入数据，解得： 2m /s A v =解法2：全过程分析法【名师指路】这种方法的套路，是直接分析全过程、全体研究对象作为一个整体是否满足动量守恒条件，并直接从全过程的初态到全过程的末态进行分析。
【名师指路】如前分析，“（AB 共速时）且恰好不再与C 碰撞”意味着最终AB 的共A BC同速度AB C v v =；而对A 、B 、C 系统而言，水平方向一直不受力，因此系统动量守恒。
【解析】A 、B 、C 系统水平方向一直不受力，因此系统动量守恒，设A 、B 、C 三者最终的共同速度为v ，则有0()()A B A B C m m v m m m v +=++【名师指路】题目要求的是A 与C 发生碰撞后瞬间A 的速度大小，而我们已知了碰后C 的速度为v ，则对A 、C 碰撞过程用动量守恒，就可以算出A 与C 发生碰撞后瞬间A 的速度大小。
因碰撞时间极短，A 与C 碰撞过程动量守恒，设碰后瞬间A 的速度为v A ，C 的速度为v C ，由动量守恒定律得0A A A C m v m v m v =+两式联立，代入数据，解得：2m /s A v =。
解后反思分阶段分析法是按事物发展先后顺序分析，过程清晰，思维难度低；全过程分析法的分析过程不再按事物发展先后顺序进行，这种方法，大多数情况下思路要简洁一些，但对综合分析能力提出了较高的要求，这种能力是需要通过多见识来培养提高的。
【例2】（2013·新课标卷2）如图，光滑水平直轨道上有三个质量均为m 的物块A 、B 、C 。
B 的左侧固定一轻弹簧（弹簧左侧的挡板质最不计）。
设A 以速度v ０朝B 运动，压缩弹簧；当A 、 B 速度相等时，B 与C 恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。
假设B 和C 碰撞过程时间极短。
求从A 开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中，（1）整个系统损失的机械能；（2）弹簧被压缩到最短时的弹性势能。
思维导引：本题涉及到了完全非弹性碰撞模型和弹簧模型，涉及了弹性势能的变化的计算，而过程也多达3个阶段——对这种多过程复杂问题，要有对过程的清晰把握，就需要分阶段画好过程草图，并将不同阶段相互作用的物体是那几个要弄清楚，从而才可能正确选取研究对象和确定清楚研究对象的初末态，进而正确列出方程求解。
【名师指路】整个过程分为几个阶段？每个阶段是那几个物体在相互作用？弹簧的长度在怎样变化着？什么叫做机械能的损失？整个运动过程中，在哪个阶段存在机械能损失？是A 、B 相互作用阶段，还是B 、C 碰撞时？弹簧压缩最短时，是A 、 B 速度相等时吗？这几个问题的正确回答是解决本题的前提。
很多同学因为无法正确分析过程和不很清楚机械能损失的含义（以为是动能的损失就是机械能的损失），从而导致解题时答非所问。
【名师指路】按事物发展的先后顺序，一步一步的画好过程草图，然后再答题。
如下： A B C v 0①→②：A 、B 相互作用，压缩弹簧，达到共同速度v 1；②→③：B 、C 完全非弹性碰撞，结为一体，具有共同速度v 2（＜v 1），此时A 的速度仍为v 1；③→④：A 向右继续压缩弹簧，A 减速，BC 加速，至三者达到共同速度v 3（＞v 2）。
【名师指路】机械能包含哪几种能量？重力势能、弹性势能和动能。
①→②过程，是A 、B 整体的动能减少转化为弹簧弹性势能，A 、B 、弹簧系统机械能是守恒的，不存在机械能损失；同理，③→④过程也没有机械能损失；有机械能损失的是B 、C 完全非弹性碰撞过程——B 、C 整体的动能减少转化为内能。
所以，第一问计算整个系统机械能的损失，就是计算B 、C 完全非弹性碰撞过程的机械能损失。
【名师指路】B 、C 完全非弹性碰撞过程的机械能损失如何计算呢？这需要先将B 的初速度v 1和B 、C 碰后的共同速度v 2算出来后才能进行。
这就要分两个阶段用动量守恒来处理。
【解析】（1）从A 压缩弹簧到A 与B 具有相同速度v 1时，对A 、B 与弹簧组成的系统，由动量守恒定律得012mv mv =此时B 与C 发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的瞬时速度为v 2，损失的机械能为ΔE 。
对B 、C 组成的系统，由动量守恒和能量守恒定律得122mv mv =221211(2)22mv E m v =∆+ 联立三式，解得 20116E mv ∆= 【名师指路】弹簧被压缩到最短是哪个时候？是A 、 B 速度相等为v 1时吗？根据先前的过程分析可以看出，显然不是。
弹簧被压缩到最短应该是A 、B 、C 三者达到共同速度v 3时。
（2）由于21v v <，A 将继续压缩弹簧，直至A 、B 、C 三者速度相同，设此时速度为v 3，此时弹簧被压缩至最短，其弹性势能为E p 。
由动量守恒，得033mv mv =【名师指路】接下来的问题是：弹簧被压缩到最短时的弹性势能是③→④过程A 、B 、 A B C v 0 A B C v 1 v 1 A B C v 1 v 2 v 2 A B Cv 3 v 3 v 3 ① ② ③ ④C 三者动能的损失吗？好多同学以为是这样，其实不是，因为③图状态时，弹簧已经有一个压缩量了——已经储存有一定的弹性势能E p1了，③→④过程A 、B 、C 三者动能的损失对应的实际上是弹簧的弹性势能的增加量。
由能量守恒，有22212p 3111(2)(3)222mv m v E m v +=∆+ 其中 p p p1E E E ∆=-【名师指路】接下来的问题是：选哪个阶段来计算E p1呢？注意，②→③过程（B 、C 完全非弹性碰撞），弹簧的压缩量并没有变化，因此，③图状态时的弹性势能E p1就是②图状态时的弹性势能，而这个弹性势能，就是①→②过程中A 、B 相互作用压缩弹簧时，A 、B 整体的动能减少量。
从A 压缩弹簧到A 与B 具有相同速度v 1时，对A 、B 与弹簧组成的系统，由能量守恒，有 2201p111(2)22mv m v E =+ 联立解得：2p 01348E mv = 解后反思从前面的分析计算可以看出，对多体多过程问题，分阶段画好过程草图，从而将过程清晰的展现出来，是正确答题的基础。
因此，希望同学们能够养成这个良好答题习惯。
同时，对于弹簧的状态，一定要分析清楚初态和末态；而对能量问题，一定要注意应该选相互作用的系统为研究对象。
本题在计算弹簧压缩最短时的弹性势能时，还可以全过程列式求解——从最开始A 以速度v ０朝B 运动到最终三者具有共同速度v 3，A 、B 、C 三者动能的损失只有两个去向——一是碰撞过程的损失（转化为内能），二是转化为弹性势能。
而第（1）问已经算出了碰撞过程的机械能损失，因此全过程用能量守恒就很容易求解弹簧压缩最短时的弹性势能了。
220311(3)22p mv E m v E -∆=+ 而且这回避了E p1的计算，使分析、计算过程大大简化。
当然，这同样需要一个较高的全局意识，这种意识是需要注意培养的。
解题高手1、（2014·银川一中一模）如图所示，在光滑水平面上有一块长为L 的木板B ，其上表面粗糙．在其左端有一个光滑的圆弧槽C 与长木板接触但不连接，圆弧槽的下端与木板的上表面相平，B 、C 静止在水平面上．现有可视为质点的滑块A 以初速度v 0从右端滑上B 并以02v 的速度滑离B ，恰好能到达C 的最高点．A 、B 、C 的质量均为m ，试求： ①木板B 上表面的动摩擦因数μ.②1/4圆弧槽C 的半径R .【解析】（1）A 在B 上滑动时，ABC 整体动量守恒，设A 滑离B 时BC 整体的速度为v 1，则有 00122v mv m mv =⋅+ 由能量守恒定律，有 222001111()22222v mv m mv Q =++ 其中： Q mgL μ= 联立解得：201051416v v v gL μ==，（2）A 在C 上滑动时，A 、C 系统在水平方向上不受外力，因此A 、C 系统在水平方向上动量守恒，设A 到达C 的最高点时，A 、C 的共同速度为v 2，则有01222v m mv mv ⋅+= 由机械能守恒定律，有 222012111()22222v m mv mv mgR +=+ 联立解得：2064v R g= 2、（2013·广东卷）如图，两块相同平板P 1，P 2置于光滑水平面上，质量均为m 。