湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2019届高三上学期期中联考数学(理)试卷(有答案)
2019年黄石二中、鄂南高中、鄂州高中三校高三上期中联考数学(文)试题及答案
高考数学精品复习资料2019.5黄石二中、鄂南高中、鄂州高中三校高三上学期期中联考文科数学一、选择题：（每小题5分，共50分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1. 已知集合{1,1}A =-，{|124}xB x R =∈≤<,则A B ⋂等于（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．{}0,12. 复数z 满足i z i +-=+3)2(，则=z （ ）A ．i +2B ．i -2C ．i +-1D ．i --1 3. 已知向量(2,3),(1,2)a b ==-，，若4ma b +与2a b -共线，则m 的值为( ) A ．12 B ． 2 C ．12- D ．2- 4. 定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠，2121()()0f x f x x x -<-，则( )A ．f (－3)＜f (－2)＜f (1)B ．f (1)＜f (－2)＜f (－3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (－3)D ．f (－3)＜f (1)＜f (－2)5. 已知函数()sin 2f x x =向左平移6π个单位后，得到函数()y g x =，下列关于()y g x =的说法正确的是（ ） A ．图象关于点(,0)3π-中心对称 B ．图象关于6x π=-轴对称C ．在区间5[,]126ππ--单调递增 D ．在[,]63ππ-单调递减 6. 设已知数列{}n a 对任意的N n m ∈,，满足n m n m a a a +=+，且12=a ，那么10a 等于（ ）．A.3B.5C.7D.97．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]1,[ 1.2]2=-=-. 0x 是函数2()ln f x x x=-的零点，则0[]x 等于( )..A ．2B ．1C ．0D ．－2.8. 设函数2()12log ,0()log ,0x x x f x x -⎧>⎪=⎨<⎪⎩，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)-+∞D ．(,1)(0,1)-∞-9. 已知⎩⎨⎧∈+-∈+=]1,0[1)0,1[1)(2x x x x x f ，则下列函数的图象错误．．的是( ).10. 已知函数32(()32x mx m nf x ++=+的两个极值点分别为12,x x ，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，点),(n m P 表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图像上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1,3]（ B. 1,3（） C. [3+∞，） D. 3+∞（，）二、填空题（每小题5分，共35分. 每小题的答案填在答题纸的相应位置）11.已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α=___________； 12. 已知函数y ＝f (x )的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是13,2y x =+则：()()/11f f +=___13．若函数()sin()1(0,0)6f x A x A πωω=-+>>的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，则()3f π＝________________； 14. 已知向量,a b 的夹角为3π，||2,||1a b ==，则||||a b a b +-的值是 _____;15.函数()|21|xf x =-在区间(1,1)k k -+内不单调，则k 的取值范围是________; 16.如图，互不相同的点12,,...,,...n A A A K K 和12,,,,n B B B L L L L 分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等．设n n OA a =，若121,2a a ==，则9a ＝________________；17.在平面直角坐标系中，若A 、B 两点同时满足：①点A 、B 都在函数y=f(x)图像上；②点A 、B 关于原点对称，则称点对（A 、B ）是y=f(x)的一对“姊妹点对”（注；规定（A 、B ）（B 、A ）为同一点对）。
湖北省颚东南省级示范高中2019届高三上-期中理科数学试卷(pdf版,有答案)(精选)
鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2018年秋季期中联考高三数学（理科）试卷考试时间：2018年11月5日上午8:00—10:00试卷满分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U R =，集合2{|lg(1)},{|20},)U A x y x B x x x C A B ==-=-≤ 则(=（）A ．(,1)-∞B ．(,2]-∞C ．(,2)-∞D ．(,1]-∞2．若命题1:(0,2),ln 2p x x x ∃∈+<则命题:p ⌝（）A ．1(0,2),ln 2x x x ∀∉+≥B ．1(0,2),ln 2x x x ∀∈+<C ．1(0,2),ln 2x x x∀∈+≥D ．1(0,2),ln 2x x x∃∈+≥3．下列说法正确的是（）A ．若11a b≤，则a b ≥B ．若22a b ≥，则a b ≥C ．若,0a b c ><，则a c b c⋅>⋅D>，则a b>4．已知奇函数()f x 满足(3)()f x f x +=,且[0,1]x ∈时()(1)f x x x =-,则7()2f -=（）A ．494B ．14-C ．494-D ．145．已知条件:14p x -<<，条件:(1)()0q x x a +-<，若条件p 是条件q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（）A ．(4,)+∞B ．[4,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,4)-∞6．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11221,(1)1n n n a a a a ++==+-=，则10S =（）A ．19B ．17C ．13D ．187．已知1125,2xym x y==+=，则m =（）A ．110B ．100CD ．11008．已知函数()2sin()1(0,)2f x x πωϕωϕ=++><，其图象与直线3y =相邻两个交点的距离为23π，若()1f x >对任意(,)126x ππ∈-恒成立，则ϕ的取值范围是（）A ．(,)24ππ--B ．(0,4πC ．(,42ππD ．[,)42ππ9．ABC ∆中,1,2AB AC ==，1AB AC =- ，若A ∠平分线交BC 于M 则AM BC =（）A ．53B ．13C ．23D ．13-10.幻方是中国古代的填数游戏．*(,3)n n N n ∈≥阶幻方指的是连续2n个正整数排成的正方形数阵，使之同一行、同一列和同一角线上的n 个数的和都相等。
2019年秋季鄂东南教改名校期中联考高三数学(文科)试卷
综上所述：当a≤0时，f（x）在 上为单调递减函数；
当a≥1时，f（x）在 上为单调递增函数；
（2）要证 ，只需证 恒成立，
令 ， ，则 ，
令 ， ，则h'（x）＝sinx-x，
易证当 时，sinx≤x，
∴h'（x）＜0，即h（x）在 上递减，
2019年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高三数学（文科）试卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数 满足 ，则 （）
A． B．
C． D．
2．若函数 与 的定义域分别为 和 ，则 （）
A． B．
C． D．
3．已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系为（）
8．若非零向量 、 满足 且 ，则 与 的夹角为（）
A． B．
C． D．
9．古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形是阿基米德最引以为自豪的发现．现有一底面半径与高的比值为1:2的圆柱，则该圆柱的体积与其内切球的体积之比为（）
A． B．
A． B．
C． D．
4．已知等差数列 的前3项和为30，后3项和为90，且前 项和为200，则 （）
A．9B．10
C．11D．12
5．函数 的大致图像为（）
A． B．
C． D．
6．设数列 前 项和为 ，已知 ， ，则 （）
A．1009B．
C．1010D．
7．已知 ，且 ，则 （）
A． B．7
C． 或 D． 或7
∵a2＋a5＝a3＋a4＝9，又a3·a4＝20，
湖北省2019～2020学年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三上学期期中考试理科数学试题及答案
）
D． a b c
A
B
C
D
5． 已知等差数列 an 的公差为 d , 前 n 项和为 Sn , 则“ d 0 ”是“ S8 S10 2S9 ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学（理科）试卷（共 6 页）第 1页
tan 101 tan 1
99
D．
tan100 99 tan 1
12．若不等式 x ln x x(1 k) 2k 0 对任意的 x 2, 都恒成立，则整数 k 的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上．）
18．已知 Sn 为等差数列
an
的前 n 项和， a5
9
，
S 13
169.
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）设 bn
an 3n
, 求数列
bn
的前 n 项和 Tn .
19．已知 a
( 2 cos 2
x
1, 1),b
1,
sin(2 x
6
A．[1, 3]
B． (, 3]
C．[3, )
D． (1,3]
3．
已知
a
log2019
1
,
b
1
2019
,
c
1
2019 ，则（
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题含答案
2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高三数学试卷（答案在最后）命题学校考试时间：2024年11月4日下午15：00-17：00试卷满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}0,1,2,3A =，{}2log 1B x x =≤，则A B = （）A.{}0,1,2 B.{}1,2 C.{}0,1 D.{}1【答案】B 【解析】【分析】化简集合B ，再根据集合的交集运算求解.【详解】由2log 1x ≤，解得02x <≤，{}02B x x ∴=<≤，又{}0,1,2,3A =，{}1,2A B ∴= .故选：B.2.已知()1cos 2αβ+=，1cos cos 3αβ=，则tan tan αβ=（）A.2-B.2C.12-D.12【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用和角的余弦公式求出sin sin αβ即可得解.【详解】由()1cos 2αβ+=，得2si c n i 1o n s cos s αβαβ-=，而1cos cos 3αβ=，因此1sin sin 6αβ=-，所以2sin si 1tan tan cos cos n αααβββ==-.故选：C3.设,a b ∈R ，则“10b a>>”是“1a b <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用不等式的性质化简，即可根据逻辑关系求解.【详解】由10b a>>可得0,0,1a b ab >><，由1a b <可得1100ab ab b b<⎧-<⇒⎨>⎩或10ab b >⎧⎨<⎩，故10b a >>能得到1a b <，同时1a b <也无法推出10b a >>，故“10b a>>”是“1a b <”的充分不必要条件，故选：A.4.已知函数()1514xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是（）A.10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,54⎛⎫⎪⎝⎭C.1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()1,4【答案】B 【解析】【分析】我们将通过计算区间端点的函数值的正负来判断函数()f x 在哪个区间存在零点.【详解】因为151,4xy y x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在()0,∞+上均单调递减，则()1514xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减，对A ，可得()01510010104f ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭.因为幂函数15y x =在()0,∞+上单调递增，所以1155111(()()0545f =->，且函数()f x 在()0,∞+上连续不间断，则()f x 在10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，故A 错误；对B ，因为14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减，则1154111()(()0444f =-<，则11()()054f f <，且函数()f x 在()0,∞+上连续不间断，故()f x 在11,54⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，故B 正确；对C ，因为13(1)1044f =-=-<，且函数()f x 在()0,∞+上连续不间断，则()f x 在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，故C 错误；对D ,计算114455111(4)(4(0)()444f --=-=<，且函数()f x 在()0,∞+上连续不间断，则()f x 在()1,4上无零点，故C 错误；故选：B.5.在ABC V 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，点F 满足2DF FE =，则BF =（）A.1126BA BC +B.13BA BC+C.2133BA BC +D.1123BA BC +【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得.【详解】依题意，12DE BC = ，而2DF FE =，所以12112323BF BD DF BA DE BA BC =+=+=+故选：D6.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上,B C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在,B C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60o 和20 ，且100m BC =，则该球体建筑物的高度约为（）()cos100.985≈A.45.25mB.50.76mC.56.74mD.58.60m【答案】B 【解析】【分析】数形结合求得3,tan 30tan1033OA RAB R AC ====︒︒，进而根据3100tan10RBC R ==︒即可求解.【详解】如图，设球的半径为R，则3,tan 30tan1033OA RAB R AC ====︒︒，所以由题3100tan10RBC ==︒，又cos100.985︒≈，故1001001cos10cos103sin1013332cos10sin10tan10sin1022R ===︒⎛⎫︒-︒-︒-︒ ⎪︒︒⎝⎭()()100sin10100sin10100sin10100sin102cos60cos10sin 60sin102cos 60102cos702sin 20︒︒︒︒====︒︒-︒︒︒+︒︒︒100sin10252522sin10cos10cos100.985︒==≈⨯︒︒︒，所以50250.760.985R =≈，即该球体建筑物的高度约为50.76m .故选：B.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是依据已知条件数形结合得,tan 30tan1033OA RAB AC ====︒︒，进而由100tan10RBC ==︒求出球的半径R 得解.7.已知函数()πsin π6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，当[]0,20x ∈时，把()f x 的图象与直线12y =的所有交点的横坐标限依次记为123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅，记它们的和为n S ，则n S =（）A.11603B.5803C.5603D.2803【答案】B 【解析】【分析】求出函数与直线的交点，再结合数列求和计算即可.【详解】解：由π1sin π62x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πππ2π66x k -=+或52ππ6k +，k ∈Z 解得123x k =+或21k +，k ∈Z 所以113a =，21a =，373a =，43a =，…，19553a =，2019a =所以()()()201155101191017135528058021351910033333233S ⨯+⨯+⨯⎛⎫=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=+=+= ⎪⎝⎭，故B 正确.故选：B8.已知定义在R 上的函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，且满足()()()422f x f x f ++=-，函数()2y f x =-的对称中心为()4,0，则下述结论正确的是（）（注：ln3 1.099≈）A.()20240f =B.()7102f f ⎛⎫+>⎪⎝⎭C.()()232log 48f f >D.()14sin1ln9f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由条件证明()()8f x f x =+，函数()y f x =的对称中心为()2,0，对于A ，结合单调性证明()()02f f >，再证明()()20240f f =，由此判断结论；对于B ，结合对称性可得()()130f f +=，结合单调性可得()732f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，由此判断结论；对于C ，结合性质()()8f x f x =+，可得()()222log 48log 9f f =，再由单调性比较大小判断结论；对于D ，由条件可得1ln2.1989≈-，2.1984sin14<<，再结合单调性比较大小判断结论.【详解】解：()()()422f x f x f ++=-，故()()()8422f x f x f +++=-所以()()8f x f x =+，函数()2y f x =-的对称中心为()4,0，函数()2y f x =-往左平移2个单位得到函数()y f x =，故函数()y f x =的对称中心为()2,0，所以()()220f x f x ++-=，取0x =可得，()20f =，对于A ，()f x 在区间[]0,2上单调递减，故()()020f f >=，且()()8f x f x =+，所以()()202400f f =>，故A 错误：对于B ，()f x 在区间[]0,2上单调递减，对称中心为()2,0，故()()130f f +=，且()f x 在区间[]2,4上单调递减，则()732f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，()7102f f ⎛⎫∴+< ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C ，结合()f x 在区间[]2,4上单调递减，故()()()()2222log 482log 488log 93f f f f =-=<，故C 正确：对于D ，因为()()()422f x f x f ++=-，取2x =-可得()()()2222f f f +-=-，又()20f =，所以()()220f f -==，所以()()40f x f x ++=，因为函数()y f x =的对称中心为()2,0，故()()40f x f x ++-=，所以()()f x f x -=因为1ln2ln32 1.099 2.1989=-≈-⨯=-，故()()1ln 2.198 2.1989f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且ππ4sin4sin14sin 43<<，4sin1∴<< 2.1984sin14<<，结合()f x 在区间[]2,4上单调递减，故()14sin1ln 9f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.设四个复数13i z =+，()2i 13i z =+，32z =-+，()43i 0z a a =->在复平面xOy 内的对应点1Z 、2Z 、3Z 、4Z 在同一个圆上，则下述结论正确的是（）A.1z 与2z 互为共轭复数B.点3Z 在第二象限C.复数12z z 的虚部是35- D.14OZ OZ ⊥【答案】BCD 【解析】【分析】首先需要求出这四个复数在复平面内的坐标，根据共轭复数概念，几何意义，除法，虚部概念来判断前面ABC 选项，再根据四个点在同一个圆上这一条件，可利用圆的方程相关知识来判断D 选项.【详解】对于13i z =+，其对应点1(3,1)Z .对于22i(13i)i 3i 3i z =+=+=-+，其对应点2(3,1)Z -.对于32z =-+，其对应点3(Z -.对于43i(0)z a a =->，其对应点4(,3)Z a -.对于选项A,13i z =+，23=-+z i ，它们实部不同，不是共轭复数，所以选项A 错误.对于选项B，对于3(Z -，所以点3Z 在第二象限，选项B 正确.对于选项C,13i z =+，23=-+z i ，21223i (3i)(3i)93i 3i i 86i 43i 3i (3i)(3i)9i 1055z z ++--------=====---+-+---.其虚部是35-，选项C 正确.对于选项D ，1(3,1)Z ，2(3,1)Z -，3(Z -，4(,3)Z a -在同一个圆上.设圆的方程为222()()x m y n r -+-=.将1(3,1)Z 代入方程得222(3)(1)m n r -+-=，即2226210m m n n r -+-+=①.将2(3,1)Z -代入方程得222(3)(1)m n r --+-=，即2226210m m n n r ++-+=②.将3(Z -代入方程得222(2))m n r --+=，即222410m m n r ++-+=③.用②-①可得：2222226210(6,210)m m n n m m n n r r ++-+--+-+=-即120,m =解得0m =.将0m =代入①和③，①变为22210n n r -+=，③变为2210n r -+=.用③-①可得：222210(210)n n n r r -+--+=-，解得0n =.将0,0m n ==代入222(3)(1)m n r -+-=，可得222319110r =+=+=.所以圆的方程为2210x y +=.将4(,3)Z a -代入2210x y +=，得到22(3)10a +-=，即2910a +=，21(0)a a =>，解得1a =.1(3,1)OZ = ，4(1,3)OZ =-.则140OZ OZ ⋅=，即14OZ OZ ⊥ ，所以选项D 正确.故选：BCD.10.已知两个正数a ，b 满足2a b +=，则下述结论正确的是（）A.11a b -=-B.224a b +≥ C.1lg lga b≥ D.241b a-<-【答案】ABD 【解析】【分析】变形等式判断A ；利用基本不等式判断B ；举例说明判断C ；作差与0比较大小判断D.【详解】对于A ，由2a b +=，得11a b -=-，因此11a b -=-，A 正确；对于B ，由2a b +=，得224a b +≥==，当且仅当1a b ==时取等号，B 正确；对于C ，取31,22a b ==，满足2a b +=，而31lg lg lg 2lg 2a b =<=，C 错误；对于D ，由2a b +=，得2,02a b b =-<<，则224411(2)b b a b -+=-+-22222(44)(44)4(3)0(2)(2)b b b b b b b b b -++-+--==<--，D 正确.故选：ABD11.已知函数3,0(),0x x f x ax x x -≤⎧=⎨+>⎩，若不等式(1)()f x f x -≥对任意x ∈R 都成立，则实数a 的值可以为（）A.3227-B.1627-C.2-D.1-【答案】AC 【解析】【分析】根据给定条件，按0,0a a ≥<分类作出函数()y f x =和(1)=-y f x 的图象，结合图象可得当0a <，01x <≤，31ax x x +≤-+成立时，(1)()f x f x -≥恒成立，再构造函数，利用导数求出最小值即可得解.【详解】依题意，函数(1)=-y f x 的图象恒在()y f x =的图象及上方，作函数()y f x =和(1)=-y f x 的图象，当0a ≥时，如上左图所示，观察图知(1)()f x f x -≥在 上不恒成立，不合题意；当0a <时，如上右图所示，观察图知，当且仅当01x <≤，31ax x x +≤-+成立时，(1)()f x f x -≥恒成立，即当01x <≤时，312x a x -≤，令312()x g x x -=，01x <≤，求导得443()x g x x -'=，当304x <<时，()0g x '<，当314x <≤时，()0g x '>，函数()g x 在3(0,)4上递减，在3(,1]4上递增，因此min 73()32()42g x g =-=，所以实数a 的取值范围是3227a ≤-，a 的值可以为AC.故选：AC【点睛】关键点睛：分类作出函数()y f x =和(1)=-y f x 的图象，结合图象确定求解条件是关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()ππsin sin 063f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是π2，则ω的值为______.【答案】2【解析】【分析】k 利诱导公式化简，结合二倍角正弦和周期公式计算即可.【详解】解：()πππsin sin 626f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1πsin cos sin 26623x x x ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2ππ22T ω==，2ω=.故答案为：2.13.已知两个单位向量a ，b 满足1a b -=r r ，则向量2a b - 和a 的夹角为______.【答案】π6【解析】【分析】由条件结合数量积运算律可求a b ⋅，再求()2a b a -⋅ ，2a b - ，根据向量夹角公式求结论.【详解】因为向量a ，b为单位向量，所以1a = ，1b = ，又1a b -=r r ，所以2221a b a b +-⋅=，所以12a b ⋅= ，所以()23222a b a a a b -⋅=-⋅= ，2a b -==所以()322cos 2,22a b a a b a a b a-⋅-==-⋅，又[]2,0,πa b a -∈ ，所以π2,6a b a -= .故答案为：π6.14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 是以a 为首项，公差为1的等差数列，并且存在实数t ，使得数列也成等差数列，则实数a 的取值范围是______.【答案】1[,)2-+∞【解析】【分析】根据给定条件，求出nS ，再利用等差数列通项的特征分析求解即得.【详解】依题意，(1)2n n n S an -=+=由数列为等差数列，得2212()2a t -=，21||22a n -=+是n的一次式而对任意正整数n ，2102a n -+≤不恒成立，因此2102a n -+≥对n *∈N 恒成立，即21102a -+≥，解得12a ≥-，所以实数a 的取值范围是1[,)2-+∞.故答案为：1[,)2-+∞【点睛】关键点点睛：由为等差数列，探求得2212()2a t -=是解决问题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，12a =，且22a -，34a -，46a -成等比数列.（1）求n a 和n S ；（2）若2n n b S =，求数列{}n b 的前20项和20T .【答案】（1）2n a n =；()1n S n n =+（2）204021T =【解析】【分析】（1）设出等差数列的公差d ，由给定条件列出方程求出d ，利用等差数列前n 项和公式求解即可.（2）由（1）的结论求出n b ，利用裂项相消法求和即得.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()21n a n d =+-，由2324(4)(2)(6)a a a -=--，得2(22)(34)d d d -=-，即2440d d -+=，解得2=d ，所以2n a n =，()()112n n n a a S n n +==+.【小问2详解】由（1）知，()1n S n n =+，又2n n b S =，则2112()(1)1n b n n n n ==-++因此1111111112[()()()(2(112233411n T n n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-=-++，所以201402(12121T =-=.16.记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为1S ，2S ，3S ，已知123S S S -+=，1sin 3B =.（1）求ABC V 的面积；（2）若sin sin 3A C =，求b 【答案】（1）24；（2）22.【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合正三角形面积可得2224a c b +-=，再利用余弦定理及三角形面积公式计算即得.（2）由（1）中信息，利用正弦定理求得sin b B =即可.【小问1详解】在ABC V 中，依题意，221133224S a a =⋅⋅=，2234S b =，2334S c =，则222123444S S S a b c -+=-+=，即2224a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，整理得cos 2ac B =，cos 0B >，由1sin 3B =，得22cos 3B ==，则132cos 2ac B ==，所以ABC V 的面积12sin 24ABC S ac B ==△.【小问2详解】由正弦定理sin sin sin b a c B A C ==，得223292sin sin sin sin sin 223b ac ac B A C A C =⋅===，则sin b B =，所以sin 22b B ==.17.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点 ，将射线OA 按逆时针方向旋转π2后于单位圆O 交于点 ，()12f x x α=-，()12g xx α=⋅.（1）若π[0,]2α∈，求()fα的取值范围；（2）在（1）的条件下，当函数()()()22m F g mf ααα=+-的最大值是152-时，求m 的值.【答案】（1）；（2）3m =-或4m =+.【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义求出12,x x ，进而求出()f α，利用正弦函数的性质求出范围.（2）利用（1）的信息，求出()F α，利用换元法，结合闭区间上二次函数最值求解即得.【小问1详解】由三角函数定义，得1cos x α=，2πcos(2x α=+，12ππ()cos cos()cos sin )24f x x αααααα=-=-+=+=+，由π[0,2α∈，得ππ3π444α≤+≤，则2πsin(124α≤+≤，因此π1)4α≤+≤，()f α的取值范围是.【小问2详解】由（1）及已知，得2()sin cos (sin cos )2m F m ααααα=-⋅++-，π[0,2α∈，令πsin cos )[1,4t ααα+=+=∈222111()())2222t m F G t mt t m α-==-+-=--+，t ∈，①当1m ≤时，()G t 在上单调递减，2max 15()(1)22m G t G m ==-=-，则3m =-；②当1m <<时，()G t 在[1,]m 上单调递增，在[m 上单调递减，max 115()()22G t G m ==≠-，不符合题意；③当m ≥()G t 在单调递增，2max115()222m G t G ==-+-=-，则4m =+，所以3m =-或4m =+.18.已知2x =为函数21()()ef x x x c =--的极小值点.（1）求c 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对1(0,)x ∀∈+∞，2x ∃∈R ，使得12()()0f x g x -≥，求k 的取值范围.【答案】（1）2c =；（2）(,1](0,)-∞-⋃+∞.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数()f x '，由(2)0f '=求出c 并验证即可得解.（2）由（1）求出()f x 在(0,)+∞上的最小值，再按0,0,0k k k >=<分类，并借助导数讨论()g x 值即可求解.【小问1详解】函数21()()ef x x x c =--的定义域为R ，求导得()()(3)f x x c x c '=--，依题意，(2)(2)(6)0f c c '=--=，解得2c =或6c =，当2c =时，()(2)(32)f x x x '=--，当23x <或2x >时，()0f x '>，当223x <<时，()0f x '<，因此2x =为函数21()()ef x x x c =--的极小值点，符合题意，则2c =；当6c =时，()(6)(36)f x x x '=--，当2x <或6x >时，()0f x '>，当26x <<时，()0f x '<，因此2x =为函数21()()ef x x x c =--的极大值点，不符合题意，所以2c =.【小问2详解】由（1）知，函数()f x 在2(0,)3+∞上单调递增，在2(,2)3上单调递减，因此min 1()(2)ef x f ==-，①当0k >时，对1(0,)x ∀∈+∞，21x k ∃=-，使得121)11()(e 1(ek g x g f x k =-=-<-<-≤，因此12()()0f x g x -≥，符合题意，则0k >；②当0k =时，()0g x =，取12x =，对2x ∀∈R ，有12()()0f x g x -<，不符合题意；③当0k <时，函数()ex kxg x =，求导得()(1)e x g x k x -'=-，当1x <时，()0g x '<，()g x 在(,1)-∞上单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增，则()min ()1ek g x g ==，若对1(0,)x ∀∈+∞，2x ∃∈R ，使得12()()0f x g x -≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤-，解得1k ≤-，所以k 的取值范围为(,1](0,)-∞-⋃+∞.19.已知正实数构成的集合{}()12,,,2,n A a a a n n *=⋅⋅⋅≥∈N（1）若定义{},i j i j A A a a a a A +=+∈，当集合A A +中的元素恰有()12n n +个数时，称集合A 具有性质P .①当{}1,2,3A =，{}1,2,4B =时，判断集合A ，B 是否具有性质P ，并说明理由；②设集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，其中数列{}n a 为等比数列，10a >且公比为2，判断集合A 是否具有性质P 并说明理由.（2）若定义{},,i j i j A A a a a a A i j +=+∈≠且，当集合A A +中的元素恰有()12n n -个数时，称集合A具有性质Ω.设集合A 具有性质Ω且A A +中的所有元素能构成等差数列.问：集合A 中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）①集合A 不具有性质P ，集合B 具有性质P ，理由见解析；②集合A 具有性质P ，理由见解析；（2）存在，最大值为4.【解析】【分析】（1）①写出,A A B B ++中的所有元素，利用定义判断即可；②求出等比数列的通项，证明该数列任意两项的和不等，由此求出A A +中的元素个数即可判断.（2）根据新定义得在集合A A +中，121321n n n n a a a a a a a a --+<+<<+<+ ，得到3221n n a a a a --+=+，由此分类讨论，可确定n 的取值，可得答案.【小问1详解】①集合A 不具有性质P ，集合B 具有性质P ：{}2,3,4,5,6A A +=，A A +中元素个数()33152+=≠不具有性质P ；{}2,3,4,5,6,8B B +=，B B +中元素个数()33162+==具有性质P .②若集合A 具有性质P ，设1112(0)n n a a a -=>，假设当i k l j <≤<时有i j l k a a a a +=+成立，则有2221j i k i l i ---=+-，等式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立，则i j l k a a a a +=+不成立，因此A A +中元素个数()121C C 2n n n n +=+=，所以集合A 具有性质P .【小问2详解】不妨设1231n n a a a a a -<<<<< ，则在集合A A +中，121321n n n n a a a a a a a a --+<+<<+<+ ，又A A +中的所有元素能构成等差数列，设公差为d ，则()()()()131212n n n n d a a a a a a a a --=+-+=+-+，即3212n n d a a a a --=-=-，于是3221n n a a a a --+=+，当5n >时，2321,,,n n a a a a --是集合A 中互不相同的4项，从而A A +中元素个数小于(1)2n n -，与集合A 具有性质Ω矛盾，当5n =时，3242a a a =+，即234,,a a a 成等差数列，且公差也为d ，则A A +中的元素从小到大的前三项为121314,,a a a a a a +++，且第四项只能是15a a +或23a a +，（i ）若第四项为15a a +，则1415a a d a a ++=+，从而5432a a d a a -==-，于是5234a a a a +=+，A A +中元素个数小于(1)2n n -，与集合A 具有性质Ω矛盾；（ii ）若第四项为23a a +，则1423a a d a a ++=+，有122a d a +=，而()4512()9a a a a d +-+=，即517a a d =+，于是1512342723a a a d a d a a +=+=+=+，因此A A +中元素个数小于()12n n -，与集合A 具有性质Ω矛盾，则4n ≤，取{1,3,4,5}A =，{}4,5,6,7,8,9A A +=，则集合A 具有性质Ω，所以集合A 中的元素个数存在最大值，最大值为4.【点睛】关键点睛：本题是关于集合新定义类型题目，解答的关键是要理解新定义，并依据该定义去解决问题.。
湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试数学(文)试卷及解析
湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试数学（文）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的交集的概念得到结果即可.【详解】根据集合的交集的概念易知与的公共元素是.集合. 故选C【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2.复数，则（）A. 0B.C. 1D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算将式子化简以及模长公式,得到结果即可.【详解】所以.故选D.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模长的计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性得到等价于，再由函数的单调性得到，进而得到结果.【详解】因为为奇函数，所以，于是等价于,又在单调递减,.故选C.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的应用，较为简单,和奇偶性有关的题目常见的有判断奇偶性，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证和的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当x变大时y的变化趋势，从而得到单调性.4.记为等差数列的前项和，若，则（）A. B. C. 10 D.【答案】D【解析】【分析】将题干中的条件化为基本量，可得到，进而得到d，通过等差数列的通项公式可得到结果.【详解】设等差数列的公差为,解得,.故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，。
2019届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三第一次模拟考试高三数学(文科)答案
58 200
=
4
1
1 2
，
=
79 25
.
则
15. 答案： 8 3
1
解
解析：设母线长为 l ，由V =8 ，得 1 ( 3l )2 l 8 ，l 4 S = rl 8 3 .
由
3 22
因 16. 答案：6
（
1
故
解析：
an an 1
是公比为 1 的等比数列，则 an a 1 n2
因为 ሽ
ૈ ，所以 ກ 平面 ሽ，因为 ກ 平面 ກ，所以平面 ሽ 平面 ກ；（6 分）
（2）连接 AC 交 BD 于 N ，连 NM ，由直线 ກກ平面 ሽກ，过 PA 的平面 PAC 与平面 MBD 的交线为 NM ，
故 PA ກກ NM .（8 分）
四边形 ABCD 中， AN AB 1 ， NC CD 3
认购量的波动程度明显大于日成交量的波动程度，日认购量的方差大于日成交量的方差，正确．故选 D．
1
4. 答案：A
解析： p 真 q 真.
解
5. 答案：B
解析∵ ૈ
′ૈ
(′ ) ′ 为偶函数，∴′
ૈ ກ，
∴ૈ
4 ૈ ( 4)， ૈ ກ．由 在(0,+∞)单调递减， ൌ ກ ૈ 得 ൌ ＜2，
由
即 ൌ＜ ＜3，故选 B．
鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校 2019 届第一次模拟考试 高三数学（文科）答案（共 8 页）第 1页
9. 答案：D 解析：按照程序框图执行，′ 依次为 0,1,1,5,5,21,53，故输出 ′ ૈ ͵.故选 D. 10. 答案：A 解析：因为 的最大值为 ，故 ૈ ，又图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，
2019湖北鄂东南省示范高三文科数学试题答案
高三数学（文科）参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B B D C D C B A A D
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。
13． x y 2 0
x
x
（8 分）
当且仅当16x 4840 即 x 55 时等号成立，此时宽为 4840 88 ， （10 分）
x
x
a 55 5 。 88 8
（12 分）
22．（1）求导得
f
'x
a
cos
x
，
x 0，2
，
（1 分）
①当
f
x 在
0，2
上为单调递减函数时，即
（12 分）
19．（1）由题意得 3 sin B cos B sin 2 B 3 ，化简得 3 sin 2B 1 cos 2B 1，
2
2
2
sin 2B 1，即可得 2B ， B ；
6
62
3
（5 分）
（2）b 3 ， B ，由余弦定理得 cos B a2 c2 3 1 ，
上递减，
hx
h0
a
1
0
，即
g
'
x
0
，
g
x
在
0，2
上递减，
gx g0 0 即 ax sin x 1 x3 0 ，命题得证。
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}2log 1B x x =≤，则A B = （）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}12．已知()1cos 2αβ+=，1cos cos 3αβ=，则tan tan αβ=（）A ．2-B ．2C ．12-D ．123．设,a b ∈R ，则“10b a>>”是“1a b <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()1514xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是（）A ．10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,54⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,45．在ABC V 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，点F 满足2DF FE = ，则BF =（）A ．1126BA BC+B ．13BA BC+C ．2133BA BC+D ．1123BA BC+6．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上,B C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在,B C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60o 和20 ，且100m BC =，则该球体建筑物的高度约为（）()cos100.985≈A ．45.25mB ．50.76mC ．56.74mD ．58.60m7．已知函数()πsin π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当[]0,20x ∈时，把()f x 的图象与直线12y =的所有交点的横坐标限依次记为123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅，记它们的和为n S ，则n S =（）A ．11603B ．5803C ．5603D ．28038．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，且满足()()()422f x f x f ++=-，函数()2y f x =-的对称中心为()4,0，则下述结论正确的是（）（注：ln3 1.099≈）A ．()20240f =B ．()7102f f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭C ．()()232log 48f f >D ．()14sin1ln 9f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭二、多选题9．设四个复数13i z =+，()2i 13i z =+，32z =-，()43i 0z a a =->在复平面xOy 内的对应点1Z 、2Z 、3Z 、4Z 在同一个圆上，则下述结论正确的是（）A ．1z 与2z 互为共轭复数B ．点3Z 在第二象限C ．复数12z z 的虚部是35-D ．14OZ OZ ⊥10．已知两个正数a ，b 满足2a b +=，则下述结论正确的是（）A ．11a b -=-B ．224a b +≥C ．1lg lga b≥D ．241b a -<-11．已知函数3,0(),0x x f x ax x x -≤⎧=⎨+>⎩，若不等式(1)()f x f x -≥对任意x ∈R 都成立，则实数a的值可以为（）A ．3227-B ．1627-C ．2-D ．1-三、填空题12．已知函数()()ππsin sin 063f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是π2，则ω的值为.13．已知两个单位向量a ，b 满足1a b -=r r ，则向量2a b - 和a 的夹角为.14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 是以a 为首项，公差为1的等差数列，并且存在实数t ，使得数列也成等差数列，则实数a 的取值范围是.四、解答题15．记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，12a =，且22a -，34a -，46a -成等比数列.(1)求n a 和n S ；(2)若2n n b S =，求数列{}n b 的前20项和20T .16．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为1S ，2S ，3S ，已知123S S S -+=，1sin 3B =.(1)求ABC V 的面积；(2)若2sin sin 3A C =，求b 17．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点1,1，将射线OA 按逆时针方向旋转π2后于单位圆O 交于点2,2，()12f x x α=-，()12g x x α=⋅.(1)若π[0,]2α∈，求()f α的取值范围；(2)在（1）的条件下，当函数()()()22m F g mf ααα=+-的最大值是152-时，求m 的值.18．已知2x =为函数21()()ef x x x c =--的极小值点.(1)求c 的值；(2)设函数()e xkxg x =，若对1(0,)x ∀∈+∞，2x ∃∈R ，使得12()()0f x g x -≥，求k 的取值范围.19．已知正实数构成的集合{}()12,,,2,n A a a a n n *=⋅⋅⋅≥∈N (1)若定义{},i j i j A A a a a a A +=+∈，当集合A A +中的元素恰有()12n n +个数时，称集合A 具有性质P .①当{}1,2,3A =，{}1,2,4B =时，判断集合A ，B 是否具有性质P ，并说明理由；②设集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，其中数列{}n a 为等比数列，10a >且公比为2，判断集合A 是否具有性质P 并说明理由.(2)若定义{},,i j i j A A a a a a A i j +=+∈≠且，当集合A A +中的元素恰有()12n n -个数时，称集合A 具有性质Ω.设集合A 具有性质Ω且A A +中的所有元素能构成等差数列.问：集合A 中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.。
2019年秋季鄂东南教改名校期中联考高三数学(理科)试卷
2019年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高三数学（理科）试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若i 为虚数单位，则复数3223z i i =+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{A x y ==，{}12019x B y y ==+，则AB =（ ）A ．[]1,3B ．(],3-∞C ．[)3,+∞D ．(]1,33．已知20191log πa =，20191πb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1π2019c =，则（ ） A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<4．函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d ≤”是“81092S S S +<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知命题p ：实数a 满足不等式21a ≤；命题q ：函数()32132af x x x x =++有极值点．若“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]2,0-B ．[]2,0-C ．(),2-∞-D ．(],2-∞-7．已知向量()cos ,sin a θθ=，()0,1b =-，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）A ．πθ-B ．π2θ-C ．π2θ+D ．θ 8．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比0.618≈（黄金分割比）时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的度数约为（ ）A ．127．50°B ．137．50°C ．147．50°D ．150．50°9．已知将函数()()πcos 202f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于原点对称，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ． BC ．12-D ．1210．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周牌算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种不同的颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A ，C 区域涂同色的概率为（ ）A ．27 B ．57 C ．913 D ．41311．执行如图示的程序框图，输出的S 的值等于（ ）A ．tan101101tan1- B ．tan102102tan1- C ．tan10199tan1+D ．tan10099tan1+12．若不等式()ln 120x x x k k +-+>对任意的()2,x ∈+∞都恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6二、填空题（把正确答案填在题中横线上．）13．曲线ln y x x x =-在点()1,1-处的切线方程为________． 14．已知π0sin n xdx =⎰，则)()611nx -的展开式中4x 的系数为________．15．已知点()3,1A -，点(),P x y 满足线性约束条件100250x y x x y --⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≥≤，O 为坐标原点，那OP 在OA 方向上的投影的取值范围为________．16．设A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上运动，以AB 为边向外作正ABC △（ABC△与OAB △不重叠），且正ABC △的边长为M 为AC 的中点，则OC OM ⋅的最大值为________．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2sin 8sin 2B AC +=． （1）求tan B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求ABC △的周长l ． 18．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，59a =，13169S =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设3nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．已知()22cos 1,1a x =--，π1,sin 26b x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()f x a b =⋅，且()0,πx ∈．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若函数()3y f x k =+恰有2个零点，求k 的取值范围．20．世界军人运动会，简称“军运会”，是国际军事体育理事会主办的全球军人最高规格的大型综合性运动会，每四年举办一届，会期7至10天，比赛设27个大项，参赛规模约100多个国家8000余人，规模仅次于奥运会，是和平时期各国军队展示实力形象、增进友好交流、扩大国际影响的重要平台，被誉为“军人奥运会”.根据各方达成的共识，军运会于2019年10月18日至27日在武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项．其中，空军五项、军事五项、海军五项、定向越野和跳伞5个项目为军事特色项目，其他项目为奥运项目．现对某国在射击比赛预赛中的得分数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：（1）估计某国射击比赛预赛成绩得分的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据大量的射击成绩测试数据，可以认为射击成绩X 近似地服从正态分布()2,N μσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，求射击成绩得分X 恰在350到400的概率；[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则：()0.6827P μσξμσ-<+≈≤， ()220.9545P μσξμσ-<+≈≤， ()330.9973P μσξμσ-<+≈⋅≤]（3）某汽车销售公司在军运会期间推广一款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”，活动，客户可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知骰子出现任意点数的概率都是16，方格图上标有第0格，第1格，第2格，……第50格．遥控车开始在第0格，客户每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次，若抛掷出正面向上的点数是1，2，3，4，5点，遥控车向前移动一格（从k 到1k +），若抛掷出正面向上的点数是6点，遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移动到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移动到第n 格的概率为n P ，试证明{}()1149n n P P n --≤≤是等比数列，并求50P ，以及根据50P 的值解释这种游戏方案对意向客户是否具有吸引力． 21．已知函数()()21ln f x a x a x =+∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，()212x x x <是()f x 的两个零点，求证：212ln 10e a x x a ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭．（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2218sin 9ρθ+=，直线l 的参数方程为141x ty t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． （1）求C 与l 的交点的直角坐标；（2）求C 上的点到直线l 的距离的最大值． 23．【选修4-5：不等式选讲】已知函数()121f x x x =++-． （1）求不等式()4f x ≥的解集；（2）若函数()y f x =图象的最低点坐标为(),p q ，正数a ，b 满足2pa qb +=，求41a b+的最小值．2019年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高三数学（理科）参考答案一、选择题 BDDAB CCBAD AB 二、填空题13．y ＝-1 14．-5 15．⎡⎢⎣⎦16．5+三、解答题17．（1）由题知2sin 8sin 2sin cos 222B B B B ==，1tan 24B =， 于是21284tan 15114B ⨯==⎛⎫- ⎪⎝⎭， （2）由（1）知，8sin 17B =，15cos 17B =，由14sin 2217S ac B ac ===得172ac =， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2-2ac ·cosB ＝（a ＋c ）2-32＝4， 故a ＋c ＋b ＝8，故△ABC 的周长为8． 18．（1）由()11313713131692a a S a +===得a 7＝13，2d ＝a 7-a 5＝4，d ＝2，故a n ＝9＋（n-5）·2＝2n-1． （2()231111135213333nnT n =⋅+⋅+⋅++-⋅()()2341111111135********33n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+- 于是()231211111221333333n n n T n +⎛⎫=++++-- ⎪⎝⎭ 1111111212229321333313n n n n n -++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=+-=--，故113n nn T +=-． 19．（1）由题知()22cos 1sin 26f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭1cos22cos22x x x =-- 1cos 22sin 226x x x π⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，由22,2622x k k πππ⎛⎫-∈π-π+ ⎪⎝⎭得,63x k k ππ⎛⎫∈π-π+ ⎪⎝⎭，∵x ∈（0，π）∴0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和5,6⎛⎫ππ ⎪⎝⎭，∴f （x ）的单调递减区间为0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭和5,6⎛⎫ππ ⎪⎝⎭．（2）原函数y ＝3f （x ）＋k 恰有两个零点sin 2sin 2636k x y x ππ⎛⎫⎛⎫⇔-=⇔=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈（0，π）与3ky =有两个不同交点， 作出sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈（0，π）的图像如图，由图知，1132k -<<-或1123k-<<故k 的取值范围为333,,322⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．20．（1）0.002X =⨯50⨯205+0.004⨯50⨯255+0.009⨯50⨯305+0.004⨯50⨯355+0.001⨯50⨯405=300（2）因为X ～N （300，502），所以()()13504000.95450.68270.13592P X <≤=-=； （3）摇控车开始在第0格为必然事件，P 0＝1，第一次掷骰子，正面向上不出现6点，摇控车移动到第1格，其概率为56，即156P =；摇控车移到第n 格（2≤n ≤49）格的情况是下列两种，而且也只有两种；①摇控车先到第n-2格，抛掷出正面向上的点数为6点，其概率为216n P -；②摇控车先到第n-1格，抛掷骰子正面向上不出现6点，其概率为156n P -，故211566n n n P P P --=+，()11216n n n n P P P P ----=--，故1≤n ≤49时，P n -P n-1是首项为1016P P -=-，公比为16-的等比数列，故116nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，P n ＝P 0＋（P 1-P 0）＋（P 2-P 1）＋…＋（P n -P n-1） 121111116161116667616n n n ++⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+-+-++-==--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭， 494950481161111116676762P P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⋅⋅--=+<⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，4950112P P =->，故这种游戏方案客户参与中奖的可能性较大，对意向客户有吸引力．21．（1）f （x ）的定义域为（0，＋∞），且()23322a ax f xx x x --'=-+=，①当a ≤0时，f'（x ）≤0，f （x ）的单调递减区间为（0，＋∞）；②当a ＞0时，由f'（x ）＞0得x ，故f （x ）的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝． （2）∵f （x ）有两个零点，∴由（1）知a ＞0且2ln 022a a f a =+<，∴a ＞2e ，要证原不等式成立，只需证明211ln 2ex x a a ⎛⎫-+<-⎪⎝⎭，只需证明1221a e x x e a --<-，只需证明1212a e x x e a -<<<．一方面∵a ＞2e1=，∴1111022111ln 0222a a a af e e a e e e --⎛⎫=+=->-=> ⎪⎝⎭，∴120a f f e -⎛⎫< ⎪⎝⎭，且f （x ）在⎫+∞⎪⎪⎭122ax e -<；另一方面，令()1ln g x x ex=+，（x ＞0）， 则()22111ex g x x ex ex -'=-=，当10x e <<时，g'（x ）＜0；当1x e>时，g'（x ）＞0； 故()min 1110g x g e ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭，故g （x ）≥0即1ln x ex ≥-时x ∈（0，＋∞）恒成立，令e x a=， 则2ln e a a e >-，于是222222ln 0e ae a af a a ea e e ⎛⎫=+>-= ⎪⎝⎭，而2222222240e e a e ea a a ---=<<，故0e f a ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，且f （x）在⎛ ⎝单调递减，故1e x a <<综合上述，1212ae x x e a -<<<，即原不等式成立．22．（1）曲线C 的直角坐标方程为x 2＋9y 2＝9，直线l 的直角坐标方程为x ＋4y ＝3， 由229943x y x y ⎧+=⎨+=⎩得25y 2-24y ＝0，于是30x y =⎧⎨=⎩21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即C 与l 的交点直角坐标为（3，0）和2124,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）设曲线C 上一点P （3cos θ，sin θ）， 则P 到直线l的距离d =≤= 故C 上的点到直线l． 23．（1）当x ≥1时，由f （x ）＝3x-1≥4得53x ≥；当-1＜x ＜1时，由f （x ）＝-x ＋3≥4得x ≤-1，舍去；当x ≤-1时，由f （x ）＝-3x ＋1≥4得x ≤-1，综合上述， 原不等式的解集为(]5,1,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭．（2）由()()()()311311311x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩得f （x ）min ＝f （1）＝2，故函数y ＝f （x ）图象的最低点为（1，2）， 于是a ＋2b ＝2，()(411411812663222a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故41a b+的最小值为3+。