湖北省鄂南高中、鄂州高中、黄石二中2020学年高二数学上学期期中联考试题 文(答案不全)
湖北省鄂州市部分高中联考协作体2020-2021学年上学期高二年级期中考试数学试卷
湖北省鄂州市部分高中联考协作体2020-2021学年上学期高二年级期中考试数学试卷满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列四面体中，直线EF与MN可能平行的是( )A. B.C. D.2.若异面直线分别在平面内，且，则直线( )A. 与直线都相交B. 至少与中的一条相交C. 至多与中的一条相交D. 与中的一条相交，另一条平行3.在一组样本数据中，1，4，m，n出现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本平均值为2.5，则m+n=( )A. 5B. 6C. 7D. 8，设数列{a n}的前 n项和为S n，则S2017=( ) 4.已知数列{a n}满足：a1=2 , a n+1=1−1anA. 1007B. 1008C. 1009.5D. 10105.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，E，F为AA1，B1C1的中点，点P是面ABCD上一动点，EP=3，则FP的最小值为( )A. √21B. √22C. 2√6D. 55.若无穷等差数列{a n }的首项a 1>0，公差d <0，{a n }的前n 项和为S n ，则( )A. S n 单调递减B. S n 单调递增C. S n 有最大值D. S n 有最小值 7.设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m ⊥α，m//β，则α⊥β; ②若m ⊂α，n ⊂α，m//β，n//β，则α//β; ③若m//α，n//α，则m//n; ④若m ⊥α，n//β，α//β，则m ⊥n ． 其中所有正确命题的序号是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ①④8.已知直线x +2y −4=0与直线2x +my +m +3=0平行，则它们之间的距离为( )A. √5B. √10C.3√52D. 3√102二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9.α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： 其中正确的命题有( )A. 如果m ⊥n ，m ⊥α，n//β，那么α⊥β．B. 如果m ⊥α，n//α，那么m ⊥n ．C. 如果α//β，m ⊂α，那么m//β．D. 如果m//n ，α//β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 10.在数列{a n }中，如果对任意n ∈N ∗都有a n+2−a n+1a n+1−a n=k(k 为常数)，则称{a n }为等差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是( )A. 等差数列一定是等差比数列B. 等差比数列的公差比一定不为0C. 若a n =−3n +2，则数列{a n }是等差比数列D. 若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 11.下列命题中是真命题的有( )A. 有A ，B ，C 三种个体按3︰1︰2的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体数为9，则样本容量为30B. 一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同C. 若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲D. 某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5,124.5]内的频率为0.4a，12.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=√22以下结论正确的有( )A. AC⊥BEB. 点A到平面BEF的距离为定值C. 三棱锥A−BEF的体积是正方体ABCD−A1B1C1D1体积的112D. 异面直线AE，BF所成的角为定值三、填空题（本大题共4小题，共20分）}就是二阶13.我国古代数学家杨辉、宋世杰等研究过高阶等差数列求和问题，如数列{n(n+1)2}，(n∈N∗)的前3项和______．等差数列，数列{n(n+1)214.某公司共有3个部门，第1个部门男员工60人、女员工40人，第2个部门男员工150人、女员工200人，第3个部门男员工240人、女员工160人．若按性别用分层抽样的方法从这3个部门选取51人参加公司年会表演节目，则应选取的女员工的人数为______．15.过点A(−3,2)，B(−5,−2)，且圆心在直线3x−2y+4=0上的圆的半径为______．16.若直线l：kx−y−2=0与曲线C：√1−(y−1)2=x−1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是____________．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AC，A1B⊥AC1，设O为AC1与A1C的交点，点P 为BC的中点．求证：（1）OP//平面ABB1A1；（2）平面ACC1⊥平面OCP．18.如图，在矩形ABCD中，AD=2，AB=4，E，F分别为边AB，AD的中点．现将△ADE沿DE折起，得四棱锥A−BCDE．（1）求证：EF//平面ABC；（2）若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积．19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，O，M分别为BC，AA1的中点．（1）证明：OM//平面CB1A1．（2）若四边形BB1C1C是面积为4的正方形，求点M到平面CB1A1的距离．20.某校从高一新生开学摸底测试成绩中随机抽取100人的成绩，按成绩分组并得各组频数如下(单位：分)：[40,50)，4；[50,60)，6；[60,70)，20；[70,80)，30；[80,90)，24；[90,100]，16．（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计本次考试成绩的中位数(精确到0.1)．21.已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n+a+1(a∈R,n∈N∗)．（1）若a=2，求数列{a n}的通项公式；，数列{b n}的前n项和为T n，是否存在n∈N∗，使（2）若数列{a n}是等差数列，b n=a n+1n⋅S n+1得T n S n+1=3(a n+1)？若存在，求出所有满足条件的n的值；若不存在，请说明理由．BC=2，22.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是梯形，AD//BC，AB=AD=DC=12PB⊥AC．（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；（2）若PA=4，PB=2√3，求二面角B−PC−D的余弦值．高二数学参考答案1. C2. B3. A4. D5. A6. C7. D8. C9. BCD 10. BCD 11. BD 12. ABC,2]13. 10 14. 24 15. √10 16. (4317. 解：（1）因为在平行四边形ACC1A1中，O为AC1与A1C的交点，所以O为A1C的中点．又因为点P为BC的中点，所以OP//A1B.-------- -----------3分又OP⊄平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，所以OP//平面ABB1A1．-------------------------5分(2)由(1)知OP//A1B，又A1B⊥AC1，所以AC1⊥OP，在平行四边形ACC1A1中，AA1=AC，所以四边形ACC1A1为菱形，所以AC1⊥A1C，又OP，A1C⊂平面OCP，且OP∩A1C=O，所以AC1⊥平面OCP，-------------------------8分又AC1⊂平面AC1C，所以平面AC1C⊥平面OCP．-------------------10分18. （1）证明：取线段AC的中点记为M，连接MF、MB，∵F为AD的中点，CD，∴MF//CD，且MF=12在折叠前，四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，CD，∴BE//CD，且BE=12∴MF//BE，且MF=BE，∴四边形BEFM为平行四边形，∴EF//BM．--------------------------------------------4分又因为EF⊄平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EF//平面ABC；---------------------------------------6分（2）在折叠前，四边形ABCD为矩形，AD=2，AB=4，E为AB的中点，∴△ADE、△CBE都是等腰直角三角形，且AD=AE=EB=BC=2，∴∠DEA=∠CEB=45°，且DE=EC=2√2，又∵∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°，∴∠DEC=90°，即CE⊥DE，又因为平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，CE⊂平面BCDE，∴CE⊥平面ADE，即CE为三棱锥C−EFD的高，---------------------10分∵F为AD的中点，∴S△EFD=12×12×AD·AE=14×2×2=1，∴四面体FDCE的体积为：V=13×S△EFD·CE=13×1×2√2=2√23．-------12分19.（1）证明：如图，连接BC1，交CB1于点N，连接A1N，ON，则N为CB1的中点．因为O为BC的中点，所以ON//BB1，且ON=12BB1，又MA1//BB1，MA1=12BB1，所以ONA1M为平行四边形，即OM//A1N，因为OM⊄平面CB1A1，所以OM//平面CB1A1；-------------------4分（2）解：因为四边形BB1C1C是面积为4的正方形，所以BC=BB1=2.连接AO，因为AB=AC，O为BC的中点，所以AO⊥BC.因为三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以OA⊥BB1，又BC∩BB1=B，所以AO⊥平面BB1C1C.由（1）可知OM//A1N，所以点M到平面CB1A1的距离等价于点O到平面CB1A1的距离，-------8分设点O到平面CB1A1的距离为h，在△A1B1C中，B1C=2√2，A1C=√6，A1B1=√2，所以B1C2=A1C2+A1B12，从而S▵A1B1C =12×√6×√2=√3，所以V O−A1B1C =13S▵A1B1C⋅ℎ=√33ℎ，又因为V O−A1B1C =V A1−OB1C=13S▵OB1C⋅OA=13×12×1×2×1=13，所以ℎ=√33，所以点M到平面CB1A1的距离为√33．-------------------------12分20. 解：（1）由题意列出频率分布表如下：------4分（2）画出频率分布直方图，如下：------------8分（3）由频率分布直方图得：[40,70)的频率为：0.04+0.06+0.2=0.3，[70,80)的频率为0.3， ∴估计本次考试成绩的中位数为： 70+0.5−0.30.3×10≈76.7． ------------------------12分21. 解：（1）当a =2时，S n =n 2+n +3． 当n =1时，a 1=S 1=5；------------------2分 当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n ． 经检验，a 1=5不符合上式，故数列{a n }的通项公式a n ={5,n =12n,n ≥2,------------4分 （2）当n =1时，a 1=S 1=3+a ； 当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n ． 因为数列{a n }是等差数列， 所以3+a =2，解得a =−1， 因为a n =2n ，S n =n 2+n ．则b n =2(n+1)n⋅[(n+1)2+n+1]=2(n+1)n⋅(n+1)(n+2)=2n⋅(n+2)=1n −1n+2，-------------------8分故T n =b 1+b 2+...+b n =(1−13)+(12−14)+(13−15)+...+(1n −1n+2)=1+12−1n+1−1n+2=32−1n+1−1n+2所以T n S n+1=(n+1)(n+2)(32−1n+1−1n+2)=3(n+1)(n+2)2−(n+2)−(n+1)=3(n+1)(n+2)2−(2n+3)．令T n S n+1=3(a n+1)，整理得3n2−7n−6=0，所以n=3，故存在n=3满足题意．-------------------------------------------12分22.（1）证明：过点A作BC的垂线交BC于点G，因为AD//BC，AB=AD=DC=12BC=2，所以BG=1，则∠BAG=30°，∠ABG=60°，∵四边形ABCD为等腰梯形，且DA=DC，易知∠ACB=∠ACD=30°，所以∠BAC=90∘，即AB⊥AC，--------------------------3分因为PB⊥AC，PB∩AB=B，PB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB，因为AC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD；-----------------------------6分（2）因为PA=4，PB=2√3，AB=2，则PA2=PB2+AB2，所以PB⊥BA，由(1)知平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PB⊂平面PAB，∴PB⊥平面ABCD，又PB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，过点D作DE⊥BC于E，又平面PBC∩平面ABCD=BC，DE⊂平面ABCD，则DE⊥平面PBC，过E作EF⊥PC交PC于F，连接DF，∵DE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，故DE⊥PC，又EF⊥PC，DE∩EF=E，DE，EF⊂平面DEF，故PC⊥平面DEF，有DF⊂平面DEF，则DF⊥PC，则∠DFE为所求二面角的平面角，--------------------------10分在梯形ABCD中，求得DE=√3，在Rt△PBC中，求得EF=√3√7，在Rt△DEF中，求得DF=√67，在Rt△DEF中，求得cos∠DFE=EFDF =√3√72√6√7=√24，故二面角B−PC−D的余弦值为√24．----------------------------=12分。
2020-2021学年湖北省鄂州高中、鄂南高中高二上学期10月联考数学试题(解析版)
2020-2021学年湖北省鄂州高中、鄂南高中高二上学期10月联考数学试题一、单选题1．已知直线6320x y -+=的倾斜角为α，则2sin 22cos αα-=（ ） A ．25-B ．45-C ．125-D ．25【答案】D【解析】由已知条件可得2tan α=，而22222sin cos 2cos sin 22cos sin cos ααααααα--=+22tan 2tan 1αα-=+，从而可求得结果 【详解】解：因为直线6320x y -+=的倾斜角为α， 所以2tan α=，所以cos 0α≠，所以22222sin cos 2cos sin 22cos sin cos ααααααα--=+ 22tan 2tan 1αα-=+22222215⨯-==+，故选：D 【点睛】此题考查直线的倾斜角和斜率的关系，考查正弦的二倍角公式的应用，考查同角三角函数的关系，属于基础题2．已知向量a 与b 的夹角为45°，||2,||2a b ==，当(2)b a b λ⊥-时，实数λ为（ ） A ．1 B ．2 C ．12D ．12-【答案】B【解析】由向量垂直得向量的数量积为0，根据数量积的运算律计算可得． 【详解】∵(2)b a b λ⊥-，∴22(2)22cos 450b a b a b b a b b λλλ⋅-=⋅-=︒-=，∴222cos 452a bλ⨯⨯︒===．故选：B ． 【点睛】本题考查向量垂直的数量积表示，考查数量积的运算律，属于基础题． 3．若圆22:9C x y +=上恰有3个点到直线:0(0)l x y b b -+=>的距离为2，1:0l x y -+=，则l 与1l间的距离为（ ）A ．1BC ．3D ．2【答案】D【解析】由直线和圆位置关系知，与直线l 距离为2的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切，从而可得圆心到直线l 的距离，由此求得直线l 的方程，再由平行线间距离公式求解． 【详解】∵圆22:9C x y +=上恰有3个点到直线:0(0)l x y b b -+=>的距离为2，圆的半径为3，∴与直线l 距离为2的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切，则圆心(0,0)C 到直线l 的距离为11=，∵0b>，∴b =l 方程为0x y -，∴l 与1l间的距离为2d ==．故选：D ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查两平行线间的距离公式，用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系是常用方法．4．已知椭圆221259x y +=的左右焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，则12PF PF ⋅的最大值是（ ） A ．9 B ．16C ．25D ．27【答案】C【解析】由椭圆定义得12PF PF +，然后由基本不等式可得结论． 【详解】由题意5a =，12210PF PF a +==，221212102522PF PF PF PF ⎛⎫+⎛⎫⋅≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当125PF PF ==时等号成立，故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆的定义，考查基本不等式求最值．掌握椭圆的定义是解题基础．5．已知2sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．19B ．19-C ．19±D ．89-【答案】B【解析】由余弦的二倍角公式求得2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由诱导公式可得．【详解】由题意22221cos 212sin 123339ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又2cos 2cos 2sin 23626ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴1sin 269πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查二倍角公式，诱导公式，解题关键是寻找到“已知角”和“未知角”的关系，确定先用的公式与顺序，从而正确快速求解．6．已知半径为2的圆经过点(4,3)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】A【解析】设圆心坐标得圆的圆心轨迹方程，再利用点与点的距离公式求解 【详解】半径为2的圆经过点（3，4），设圆心坐标为(),a b 则圆的方程为()()223+4=4a b -- ，可得该圆的圆心轨迹为（3，4）为圆心，2为半径的圆，故圆心到原点的距离的最小值为（3，4）到原点的距离减半径， 即223423+-= 故选：A ． 【点睛】本题考查了圆的轨迹方程，考查圆上的点到定点的距离得最值，是一道常规题． 7．已知O 为三角形ABC 所在平面内一点，20OA OB OC ++=，则OBC ABCS S=（ ）A ．13B ．14C ．12D ．15【答案】C【解析】取BC 边中点D ，由已知得22OB OC OD AO +==，即O 是AD 的中点，可得到答案. 【详解】取BC 边中点D ，连接AD ，由20OA OB OC ++=，得22OB OC OD AO +==，所以OD AO =，所以O 是AD 的中点，OBC 与ABC 有相同的底边BC ，它们的高之比即为OD 与AD 的比为12，12OBC ABCS S∴=故选：C. 【点睛】向量的加减运算是解决问题的关键，要正确分析.8．如图，要测量电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是4π，在D 点测得塔顶A 的仰角是6π，水平面上的,40m 3BCD CD π∠==，则电视塔AB 的高度为（ ）mA ．20B ．30C ．40D ．50【答案】A【解析】设电视塔高为h ，表示出,BD BC 后由余弦定理列式可求得h ． 【详解】 设AB h =，则间tan4h BC hπ==，3tan6h BD hπ==，在BCD 中，,40m 3BCD CD π∠==，则2222cos BD CB CD CB D BCD =+-⋅∠， 即222221340240cos 408032h h h h h π=+-⨯⨯=+-⨯，解得20h =（40-舍去）． 故选：A ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，根据已知条件选择恰当的公式求解是解题关键．二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．平面内到两个定点12,F F 的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆；B ．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若A B >则a b >； C ．若数列{}n a 为等比数列，则{}1n n a a ++也为等比数列；D ．垂直于同一个平面的两条直线平行． 【答案】BD【解析】分别根据椭圆的定义，三角形的边角关系，等比数列的定义，线面垂直的性质定理判断． 【详解】若距离之和等于12F F ，则轨迹是线段12F F ，不是椭圆，A 错； 三角形中大边对大角，大角对大边，B 正确；{}n a 的公比1q =-时，10n n a a ++=，{}1n n a a ++不是等比数列，C 错；由线面垂直的性质定理知D 正确． 故选：BD ． 【点睛】本题考查命题的真假判断，需要掌握椭圆的定义，三角形的边角关系，等比数列的定义，线面垂直的性质定理等知识，考查知识面较广，属于基础题． 10．下列命题中的真命题有（ ）A ．已知,a b 是实数，则“1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“33log log a b >”的充分而不必要条件；B ．已知命题:0p x ∀>，总有(1)1x x e +>，则0:0p x ⌝∃≤，使得()011xx e +≤C ．设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“//m β”是“//αβ”的必要而不充分条件；D ．“200,2xx R x ∃∈>”的否定为“2,2x x R x ∀∈≤”【答案】CD【解析】根据全称命题、特称命题的否定的判定，充分不必要条件、必要不充分条件的判断逐项排除. 【详解】,a b 是实数，由1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得a b >，由33log log a b >得0a b >>， 所以错误；B. 命题:0p x ∀>，总有(1)1x x e +>，则0:0p x ⌝∃>，使得()011xx e +≤，所以错误；C. 设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“//m β”是“//αβ”的必要而不充分条件，正确；D. “200,2xx R x ∃∈>”的否定为“2,2x x R x ∀∈≤”，正确，故选：CD. 【点睛】本题考查了全称命题、特称命题的否定，充分不必要条件、必要不充分条件的判断. 11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中正确的是（ ）A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．13n S n=C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列【答案】ABD【解析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入已知式，可得{}n S 的递推式，变形后可证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而可求得n S ，利用n S 求出n a ，并确定3n S 的表达式，判断D ． 【详解】因为1(2)n n n a S S n -=-≥，1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确； 公差为3，又11113S a ==，所以133(1)3n n n S =+-=，13n S n=．B 正确； 2n ≥时，由1n n n a S S -=-求得13(1)n a n n =-，但13a =不适合此表达式，因此C 错；由13n S n =得1311333n n n S +==⨯，∴{}3n S 是等比数列，D 正确．故选：ABD ． 【点睛】本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由1(2)n n n a S S n -=-≥，化已知等式为{}n S 的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．12．己知正三棱锥P ABC -的底面边长为1，点P 到底面ABC则（ ） ABC．该三棱锥体积为12D ．AB 与PC 所成的角为2π【答案】ABD 【解析】【详解】如图，PM 是棱锥的高，则M 是ABC 的中心，D 是AB 中点，233144ABC S =⨯=△，1136233412P ABC ABC V S PM -=⋅=⨯⨯=△，C 错； 1331326DM =⨯⨯=，22353(2)66PD ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，33CM =． 12PBC S BC PD =⨯⨯△1535312612=⨯⨯=， 所以53333331242PBC ABC S S S =+=⨯+=△△， 设内切球半径为r ，则13P ABC Sr V -=，632126332r ⨯==，A 正确；易知外接球球心在高PM 上，球心为O ，设外接球半径为R ， 则()222323R R ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得7212R =，B 正确； 由PM ⊥平面ABC ，AB 平面ABC 得PM AB ⊥，又CD AB ⊥，CD PM M =，所以AB ⊥平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以AB PC ⊥，所以AB 与PC 所成的角为2π，D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查正棱锥的性质，考查棱锥的体积，内切球与外接球问题，异面直线所成的角，掌握正棱锥的性质是解题关键．三、填空题13．已知等差数列{}n a 前n 项和n S ，且201920200,0S S ><，若10k k a a +<，则k 的值为________ 【答案】1010【解析】利用等差数列的性质与前n 项和公式求解． 【详解】1201920192019()02a a S +=>，则120190a a +>，12019101020a a a +=>，∴10100a >，1202020202020()02a a S +=<，则120200a a +<，∴12020101010110a a a a +=+<，∴10110a <，由等差数列的性质知数列前1010项为正，从第1011项起均为负， ∴满足10k k a a +<的1010k =． 故答案为：1010． 【点睛】本题考查等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，掌握等差数列性质是解题关键．14．已知tan ,tan αβ为方程260x ++=的两根，且,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=________【答案】23π-【解析】应用韦达定理后，求得tan()αβ+，再确定αβ+的范围后可得． 【详解】由题意tan tan tan tan 6αβαβ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩tan ,tan αβ均为负数，即,,02παβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，(,0)αβ+∈-π，又tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++===-∴23αβπ+=-． 故答案为：23π-．【点睛】本题考查两角和的正切公式，求角问题的解题方法与步骤：（1）确定角的范围（可能需要通过三角函数值缩小范围）；（2）求出角的某个三角函数值，（3）得结论． 15．正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，M 为AB 的中点，则异面直线1B M 与1A D 所成角的余弦值是____________【答案】105【解析】连接1,B C CM ，证明1MB C ∠（或其补角）为所求异面直线所成的角，在三角形中应用余弦定理求解． 【详解】如图，连接1,B C CM ，正方体中11A B 与CD 平行且相等，∴11A B CD 是平行四边形，∴11//B C A D ，∴异面直线1B M 与1A D 所成角为1MB C ∠（或其补角），1B CM △中，∵M 是AB 中点，∴15MC MB ==，122=BC ， 2221(5)(22)(5)10cos 52522MB C +-∠==⨯⨯． 故答案为：105．【点睛】本题考查求异面直线所成的角，解题方法是作出异面直线所成的角并证明，然后解三角形可得．三个步骤：一作二证三计算．16．已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A B 、两点，且OA OB +与(4,2)a =-共线，则椭圆的离心率e =_______【答案】2【解析】把直线方程y x c =-代入椭圆方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理得12x x +，求OA OB +，由OA OB +与(4,2)a =-共线，可得,,a b c 的等量关系，化简变形后可求得离心率e ． 【详解】设椭圆方程是22221x y a b+=，右焦点为2(,0)F c ，直线l 方程为y x c =-，代入椭圆方程并整理得：22222222()20a b x a cx a c a b +-+-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则212222a cx x a b +=+，又212122222cb y y x x c a b+=+-=-+， ∵1212(,)OA OB x x y y +=++与(4,2)a =-共线，∴121242x x y y ++=-，∴2222222a c cb a b a b=++，∴222222()a b a c ==-，222a c =，∴2c e a ==．故答案为：2． 【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出12x x +，然后表示出OA OB +，由OA OB +与(4,2)a =-共线，得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．四、解答题17．在ABC 中，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，)222,12ABCSa b c ac =+-=sin 3sin A B（1）求角C 的大小； （2）求c 边的长． 【答案】（1）6π；（2）3c =.【解析】（1）已知三角形面积结合余弦定理可求得tan C ，从而得C 角； （2）由正弦定理化角为边，再由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，两者结合可得b c =，求出A 角后，由余弦定理得3a c =，从而可求得c ．【详解】 解：（1）由()222312ABCSa b c =++得13sin 2cos 212ab C ab C =⋅ 3tan 3C ∴=又(0,)6C C ππ∈∴= （2）由sin 3sin AB 及正弦定理得3a b ，由余弦定理得2222232cos (3)232c a b ab C b b b b =+-=+-⋅⋅⋅b c ∴=，所以6B C π==，23A π=，由正弦定理sin sin a c A C =，得2sin33sin 6c a c ππ==， 2333ac c ==，所以3c =．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，考查运算求解能力．基础题．18．已知四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SA ⊥面ABCD ，E 为SC 上的一点，（1）求证：面EBD ⊥面 SAC（2）若2,1SA AB ==，求 SA 与平面SBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】（1）由BD AC ⊥以及SA BD ⊥可得BD ⊥面SAC ，再根据面面垂直的判定定理即可证出；（2）设 SA 与平面SBD 所成角为θ，用等积法可求出点A 到面SBD 的距离为d ，根据sin dSAθ=即可解出． 【详解】（1）∵底面ABCD 为正方形，∴BD AC ⊥， 又∵SA ⊥面ABCD ，∴SA BD ⊥，而SA AC A ⋂= ∴BD ⊥面SAC ，BD ⊂面EBD ，故面EBD ⊥面SAC ． （2）设A 到面SBD 的距离为d ． ∵S ABD A SBD V V --=，∴11112113232d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯∴23d =．设SA 与面SBD 所成的角为θ，∴213sin 23d SA θ===． 【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理的应用，以及利用等积法求斜线与平面所成角，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于基础题． 19．已知数列{}n a 中，()*111,4nn n a a a n N a +==∈+， （1）求证：113n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 中，()()*412n n n n n b a n N -⋅=∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】（1）证明见解析，341n n a =-；（2）()16(36)2n ns n n N +=-+∈. 【解析】（1）根据等比数列的定义证明，由等比数列通项公式可得n a ； （2）求出n b ，用错位相减法求和n S ． 【详解】 解：（1）14nn n a a a +=+， 14141141n n n n na a a a a ++∴==+=⋅+， 1114n n a a λλ+⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，13λ=， 11111433n n a a +⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭， 1114033a +=≠， 113n a ⎧⎫∴+⎨⎬⎩⎭是以43为首项，4为公比的等比数列，()111411441333n nn n a a -∴+=⨯∴=-， ∴341n n a =-． （2）()34122n n n n n n n b a -⋅==， 2111363222nn S n =⨯+⨯++⨯① 23111113632222n n S n +=⨯+⨯++⨯② -①②得231111111133333322222222nn n n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()16(36)2n nS n n N +=-+∈ 【点睛】本题考查等比数列的证明与通项公式，考查错位相减法求和．数列求和有几种常用方法：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法．20．有一堆规格相同的铁制（铁的密度为37.8g /cm ）六角螺帽共重6kg ，已知该种规格的螺帽底面是正六边形，边长是12mm ，内孔直径为10mm ，高为10mm ，（1）求一个六角螺帽的体积；（精确到30.001cm ） （2）问这堆六角螺帽大约有多少个？（参考数据： 3.14,3 1.73,2.9527.823,1.0837.88.45π==⨯≈⨯≈） 【答案】（1）()32.952cm；（2）261个. 【解析】（1）利用六棱柱的体积减去圆柱的体积即得解； （2）计算61000(7.8 2.952)⨯÷⨯即得解. 【详解】（1）由题得22310(12)610 3.141042V ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭3736.8785=-()()332951.82952mm 2.952cm =≈=（2）这堆螺帽的个数为：61000(7.8 2.952)261⨯÷⨯≈（个） 答：每个螺帽的体积为32.952cm ，共有261个螺帽. 【点睛】本题主要考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21．已知圆22: 4230C x y x y +-+-=和圆外一点(0,8)M -，（1）过点M 作一条直线与圆C 交于,A B 两点，且||4AB =，求直线AB 的方程； （2）过点M 作圆C 的切线，切点为,E F ，求EF 所在的直线方程． 【答案】（1）0x =或45282240x y --=；（2）27110x y ++=.【解析】（1）斜率存在时，设出直线方程8y kx +=，求出圆心到直线的距离，由垂径定理可得k ，得直线方程，检验直线斜率不存在时，弦长为4，符合题意；（2）求出以CM 为直径的圆的方程，此圆与圆C 的交线即为弦EF 所在直线．两圆方程相减得即． 【详解】（1）圆22:(2)(1)8C x y -++=，则圆心(2,1)C -，半径22r =，①若直线AB 的斜率存在，设直线:8AB y kx +=， 即222|218|4580,(22)2,281k kx y d k k +---===-⇒=+ 此时，直线AB 方程为458028x y --=； ②若直线AB 的斜率不存在，则直线:0AB x =，代入2230y y +-=得121,3y y ==-，此时AB 4=，合乎题意.综上所求直线AB 的方程为：0x =或45282240x y --=； （2）以CM 为直径的圆的方程()()()2180x x y y -+++=， 即：222980x y x y +-++=，①；224230x y x y +-+-=，②. ①-②得27110x y ++=，因此，直线EF 的方程为27110x y ++=. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查求切点弦所在直线方程，垂径定理，属于中等题．掌握切点弦的性质是解题关键．22．已知椭圆2222:?1(0)x y C a b a b+=>>．离心率为12，点(0,2)G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点，O 为坐标原点直线,OM ON 的斜率之积等于34-，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由． 【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，理由见解析. 【解析】（1）由题意有12c e a ==，点(0,2)G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形有2a =，即可写出椭圆方程；（2）直线y kx m =+与椭圆C 交于()()1122,,,M x y N x y 两点，联立方程结合韦达定理即有()12221228km 344m 334x x k x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，已知34OM ON k k =-应用点线距离公式、三角形面积公式即可说明OMN 的面积是否为定值； 【详解】（1）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>离心率为12，即12c e a ==，∵点(0,2)G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形， ∴2a =，综上有：1c =，b =22143x y +=，（2）由直线与椭圆交于,M N 两点，联立方程：22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()222348430k x kmx m +++-=， 设()()1122,,,M x y N x y ，则()()()()()222221222122816343484308{344334km k mk m km x x k m x x k ∆=-+-=+->-+=+-=+，()()()2212121212121212OM ONkx m kx m k x x mk x x m y y k k x x x x x x +++++===()()()()()22222222224m 383434344343k k m m k m k m m --++-===---，22243m k ∴=+，12MN x =-== 原点O 到l的距离d =2OMNMN Sd ∴=⋅== 【点睛】本题考查了由离心率求椭圆方程，根据直线与椭圆的相交关系证明交点与原点构成的三角形面积是否为定值的问题.。
湖北省鄂州市2020年高二上学期数学期中考试试卷(I)卷
湖北省鄂州市2020年高二上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）抛物线的准线方程是（）A . 4 x + 1 = 0B . 4 y + 1 = 0C . 2 x + 1 = 0D . 2 y + 1 =' 0'2. （2分）阅读下图程序框图，该程序输出的结果是（）A . 4B . 81C . 729D . 21873. （2分） (2020高二下·鹤壁月考) 已知的内角的对边分别为，若的面积为，，则（）A .B .C .D .4. （2分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是（）A . 3<m<4B .C .D .5. （2分）直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（）A . 平行B . 垂直C . 相交但不垂直D . 不能确定6. （2分） (2018高二上·慈溪期中) 若直线过第一、三、四象限，则实数满足（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二上·襄阳期中) 已知点在椭圆上，点为平面上一点，为坐标原点，则当取最小值时，椭圆的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高三上·邢台期末) 过双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为﹣1的直线，且l与此双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若 = ，则此双曲线的离心率为（）A .B . 2C .D .9. （2分） (2019高二上·阜阳月考) 设双曲的一个焦点为，虚轴的一个端点为 ,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高二下·都昌期中) 在极坐标系中，下列方程为圆的切线方程的是（）A .B .C .D .11. （2分）点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点,且到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·大庆期中) 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足• =0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A . （0，1）B . （0， ]C . （0，）D . [ ，1）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）直线与坐标轴围成的三角形的面积为________.14. （1分）若直线y=kx﹣1与双曲线x2﹣y2=4只有一个公共点，则k的取值范围为________．15. （1分） (2019高二下·上海期末) 已知直线：，抛物线：图像上的一动点到直线与到轴距离之和的最小值为________.16. （1分） (2019高二上·雨城期中) 下面程序的运行结果是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2018高二上·雅安月考) 已知直线 .（1）若直线不经过第四象限，求的取值范围;（2）若直线交轴负半轴于 ,交轴正半轴于，求的面积的最小值并求此时直线的方程；（3）已知点 ,若点到直线的距离为，求的最大值并求此时直线的方程.18. （10分）已知直线y=kx﹣2交抛物线y2=8x于A、B两点，且AB的中点的横坐标为2，求弦AB的长．19. （10分） (2017高一下·保定期末) 已知直线l经过点M（﹣3，﹣3），且圆x2+y2+4y﹣21=0的圆心到l 的距离为．（1）求直线l被该圆所截得的弦长；（2）求直线l的方程．20. （10分） (2019高二下·吉林期末) 已知函数f （x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）．（Ⅰ）若函数f （x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；（Ⅱ）若曲线y＝f （x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．21. （5分） (2019高三上·泰州月考) 如图，椭圆的离心率是，左右焦点分别为，，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线过时，的周长为 .（1）求椭圆的方程；（2）当时，求直线方程；（3）已知点，直线，的斜率分别为， .问是否存在实数，使得恒成立？22. （5分） (2020高二下·吉林月考) 在极坐标系中，曲线C方程为 .以极点O 为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，直线：，（t为参数，）.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于两点，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
湖北省部分中学2020年秋高二数学上学期期中联考试卷附答案解析
D．
0，1 2
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选 对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题“ x R ， x2 1 ”的否定是“ x0 R ， x02 1”
B．命题“ x0 (3, ) ， x02 9 ”的否定是“ x (3, ) ， x2 9 ” C．“ m 0 ”是“关于 x 的方程 x2 2x m 0 有一正一负根”的充分不必要条件 D．“ a 5 ”是命题“ x R, x2 ax a 0 ”为假命题的充分不必要条件
湖北省部分中学 2020 年秋高二数学上学期期中联考试卷
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要 求的
1．已知点 A(-3, 2) ， B(0, 1) ，则直线 AB 的倾斜角为（ ）
A． 300
B． 450
C．1350
10．抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 4,5,6”为事件 A,“向上的点数是 1,2”为事件 B,“向上的点 数是 1,2,3”为事件 C,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件 D,则下列关于事件 A，B，C，D 判断正确的是 （）
A．A 与 B 是互斥事件但不是对立事件
B．A 与 C 是互斥事件也是对立事件
所以“ m ”是“ m l ”的充要条件 故选 C
5.【答案】B
【解析】由圆的几何性质两圆在点 A 处的切线互相垂直，且过对方圆心 O2O1．则
在 Rt△O2AO1 中，|O1A|= 5 |O2A|= 20 ，斜边上的高为半弦，用等积法易 得： AB 5 5 20 ⇒|AB|=4．故答案为：B
湖北省黄冈中学、黄石二中2020届上学期高三数学文科联考试卷
湖北省黄冈中学、黄石二中2020届上学期高三数学文科联考试卷一、选择题（本题共10个小题，每题5分，共50分）1．已知1>a ，集合}1log :{},1|:|{<=<-=x x B a x x A a ，则A ∩B= （ ）A ．)1,1(+-a aB ．)1,(+a aC ．),0(aD ．),1(a a - 2．关于x 的函数10.(22≤≤+-=x x x y ）的反函数是（ ）A ．)11(112≤≤--+=x x yB ．)10(112≤≤-+=x x yC ．)11(112≤≤---=x x yD ．)10(112≤≤--=x x y3．已知2,10|,1|log )(3213><<<-=x x x x x f ，则)(),(),(321x f x f x f 的大小关系是（ ）A ．)()()(321x f x f x f <<B ．)()()(321x f x f x f >>C ．)()()(213x f x f x f >>D ．)()()(231x f x f x f >>4．函数xy 3=的图象与函数2)31(-=x y 的图象关于（ ）A ．直线x =1对称B ．点（－1，0）对称C ．直线x=－1对称D ．点（1，0）对称 5．已知二次函数1)(22-++=a ax x x f ，方程0)(=x f 的根为10,1,,<<-<βαβα且， 则)1(f 的取值范围是（ ）A ．)0,41[-B ．（0，+∞）C ．（0，2）D ．)2,41[-6．若13-=+-xxaa ，则xx xx a a a a ----33的值等于（ ）A ．34-B ．2+23C ．3－23D ．2－3 7．在数列}{n a 中，⎩⎨⎧=+==++)(2)(2,2111为偶数为奇数n a a n a a a n n n n ，则5a 等于（ ）A ．12B ．14C ．20D ．228．将正奇数按下表排成三列： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 … … … 则2020在 （ ）A ．第334行，第1列B ．第334行，第2列C ．第335行，第2列D ．第335行，第3列9．已知x a x x f a a -=≠>1)(,1,0且，当),1(+∞∈x 时，均有21)(<x f ，则实数a 的取值 范围为（ ）A ．),1()21,0(+∞⋃B ．),1()1,21[+∞⋃C ．)1,41[D ．（1，+∞）10．已知函数1cos 1sin cos )(22+++-+=x x x x x x f 的最大值为M ，为最小值为m ，则（ ）A ．M －m=－2B ．M －m=2C ．M+m=1D ．M+m=2二、填空题（本题共5个小题，每题5分，共计25分）11．已知数列}{n a 是等差数列，n S 为它的前n 项的和，0,02120<>S S ，则使n a <0的最小的n的值是 .12．已知等差数列}{n a 的前n 项的和为,102),0.(2=-≠+=aba bn an S n 且则20S = . 13．已知R 上的减函数)(x f y =的图象过P(－2，3),Q(3，－3)两个点，那么|)2(+x f |≤3的解集为 .14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=时当时当2)1(2)31()(x x f x x f x，则)4(log 3f 的值为 .15．给出下列命题：（1）如果命题P ：“x >2”是真命题，则Q ：x ≥2是真命题；（2）函数xx x f 1)(-=是奇函数，且在（－1，0）∪（0，1）上是增函数； （3）“1≠a ，且1≠b ”的充分不必要条件是“（0)1()122≠-+-b a ”；（4）如果等差数列}{n a 的前n 项的和是n S ，等比数列}{n b 的前n 项的和是n T ，则k S 、 k k S S -2、k k S S 23-成等差数列，k T 、k k T T -2、k k T T 23-成等比数列.其中正确命题的序号是： .三、解答题（本题共6道小题，其中16、17、18、19题各12分，20题13分，21题14分。
湖北省2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知命题:0P x ∀>，总有(1)1xx e +>，则p ⌝为（ ）A. 00x ∃≤ 使得00(1)xx e +1≤B. 00x ∃> 使得00(1)xx e +1≤C. 0x ∀> 总有(1)1xx e +≤ D. 0x ∀≤,总有(1)1xx e +≤【答案】B 【解析】 【分析】利用全称命题的否定解答即得解.【详解】根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p 为∃x 0＞0，使得（x 0+1）0e x ≤1， 故选B ．【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.2.一直平面内的定点A ，B 和动点P ，则“动点P 到两定点A ，B 的距离之和为为一定值”是动点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】若点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P 到两定点A ，B 的距离之和2PA PB a += (0a >，且a 为常数)成立是定值．若动点P 到两定点A ，B 的距离之和2PA PB a += (0a >，且a 为常数)，当2a AB ≤，此时的轨迹不是椭圆．∴“动点P 到两定点A ，B 的距离之和为为一定值”是动点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆的必要不充分条件． 故选:A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的定义是解决本题的关键． 3.直线l 经过2(2,1),(3,)()A B t t R ∈两点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A. π[0,)2∪3[,)4ππ B. [0，π) C. [0,]4πD. [0,]4π∪(,)2ππ【答案】A 【解析】 【分析】 先通过2121y y k x x -=-求出两点的斜率，再通过tan k α=求出倾斜角α的值取值范围．【详解】2213tan 1,,tan [1,[0,)2)[,)324t k t t R παααππ-===-∈⇒∈-+∞⋃⇒∈-故选A.【点睛】已知直线上两点求斜率利用公式2121tan y y x x α-=-．需要注意的是斜率不存在的情况．4.已知直线y kx b =+沿x 轴负方向平移3个单位长度，再沿y 轴正方向平移1个单位长度后，又回到原位置，则斜率k =（ ）． A. 13- B. 3-C.13D. 3【答案】A 【解析】 【分析】由函数图像的平移，求平移后的解析式，再求参数的值即可.【详解】解：将直线y kx b =+沿x 轴负方向平移3个单位长度，再沿y 轴正方向平移1个单位长度后，所得直线方程为(3)131y k x b kx b k =+++=+++ ， 由题意可知310k +=，解得13k =-， 故选A.【点睛】本题考查了函数图像的平移，属基础题.5.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为4，上顶点A ，左顶点B ，焦点1F ，2F 分别是椭圆左右焦点，且1F AB的面积为4- ）B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知2b =，且()142S a c b =-=-，列方程组求2c . 【详解】解：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为4，可得2b =，上顶点A ，左顶点B ，焦点1F ，2F 分别是椭圆左右焦点，且1F AB的面积为4-， 可得()142a c b -=-()1242a c -⨯=-4a c -=-224a c -=，可得4a =，c =，椭圆的焦距为： 故选:C【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．6.已知实数,x y 满足{0134x y x y≥≥+≤，则231x y x +++的取值范围是（ ）A. 2[,11]3B. [3,11]C. 3[,11]2D. [1,11]【答案】C 【解析】232(1)1.11x y y x x +++=+++其中11y x ++表示两点(,)x y 与(1,1)--所确定直线的斜率，由图知，min max 10114,5,13410PB PA k k k k ----======----所以11y x ++的取值范围是1[,5],4231x y x +++的取值范围是3[,11].2选C.7.过点作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则OAB ∆的外接圆方程是A. 22(2)(1)5x y -+-= B. 22(4)(2)20x y -+-= C. 22(2)(1)5x y +++= D. 22(4)(2)20x y +++=【答案】A 【解析】【详解】由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB， ∴四边形AOBP 有一组对角都等于90°， ∴四边形AOBP 的四个顶点在同一个圆上，所以此圆的直径是OP ，OP 的中点为（2，1），5， ∴四边形AOBP 的外接圆的方程为22(2)(1)5x y -+-=， ∴△AOB 外接圆的方程为22(2)(1)5x y -+-=， 故选 A ．8.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ）31+ 31C.2251- 【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率.【详解】由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥， 又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-， 在12Rt PF F ∆中，222(2)4a c c c -+=， 即2222a ac c -= 所以2220,(0,1)e e e +-=∈，解得212e -+==， 故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题. 9.唐代诗人李欣的是《古从军行》开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从()2,0A 出发，河岸线所在直线方程40x y +-=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）B. 1C.1【答案】B 【解析】 【分析】先求出点A 关于直线4x y +=的对称点'A ，点'A 到圆心的距离减去半径即为最短． 【详解】设点A 关于直线4x y +=对称点(,)A a b '，'2AA bk a =-， AA '的中点为2,22a b +⎛⎫⎪⎝⎭，故122422b a a b ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得4a =，2b =，要使从点A 到军营总路程最短，即为点f A 到军营最短的距离， 即为点'A 和圆上的点连线的最小值，为点'A 和圆心的距离减半径， “将军饮马”的最短总路程为4161251+-=-，故选:B【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．10.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，（点P 与点,A B 不重合），则PAB △的面积最大值是（ ）．A. 25B.52C. 55【答案】B 【解析】 【分析】先求出0m =时，交点(0,3)P ，131322PABS =⨯⨯=；当0m ≠时，利用基本不等式求PAB △的面积最大值，综合得解.【详解】动直线0x my +=，令0y =，解得0x =， 因此此直线过定点(0,0)A ．动直线30mx y m --+=，即()130m x y -+-=， 令10x -=，30y -=， 解得1x =，3y =， 因此此直线过定点()1,3B .0m =时，两条直线分别为0x =，3y =，交点(0,3)P ，131322PABS=⨯⨯=． 0m ≠时，两条直线的斜率分别为：1m-，m ， 则11m m-⨯=-， 因此两条直线相互垂直．22211115()1024442PAB S PA PB PA PB AB ∆=⋅⋅≤+=⋅=⋅=当PA PB ==PAB △的面积取得最大值52． 综上可得：PAB △的面积最大值是52． 故选B ．【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.设椭圆C ：2211612x y +=上的一点P 到两条直线4y =和8x =的距离分别是1d ，2d ，则122d d +的最小值（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D 【解析】 【分析】设()4P cos θθ，02θπ≤<，由题意可得：1222484d d cos θθ+=-+-，利用三角函数的单调性、和差公式即可得出结论．【详解】解：设()4P cos θθ，02θπ≤<， 由题意可得：122248416416816886d d cos cos sin πθθθθθ⎛⎫+=-+-=--=-+≥-= ⎪⎝⎭．当且仅当816sin πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时取等号． 122d d ∴+的最小值为8．故选：D【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其参数方程、三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是椭圆C 上一点，椭圆C 内一点Q 满足：点Q 在2PF 的延长线上1.QF QP ⊥若13sin 5F PQ ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A. 1,32⎛ ⎝⎭B. 1,13⎛⎫⎪⎝⎭C. ⎫⎪⎪⎝⎭D.2⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由1QF QP ⊥，可得点Q 在以12F F 为直径，原点为圆心的圆上，由点Q 在椭圆的内部，可得以12F F 为直径的圆在椭圆内，可得c b <；于是e <，再根据临界值，由点P 的位置建立不等式，确定即可得出e 的范围． 【详解】解：1QF QP ⊥，∴点Q 在以12F F 为直径，原点为圆心的圆上，点Q 在椭圆的内部，∴以12F F 为直径的圆在椭圆内，c b ∴<；222c a c ∴<-，222c a ∴<，故202e <<． 13sin 5F PQ ∠=，14cos 5F PQ ∠=,设1PF m =，2PF n =，222142cos c m n mn F PQ ∴=+-⋅∠，()2222818424455c m n mn mn c a mn ∴=+--⇒=- ，222184445mn a c b ∴=-=，① 12113sin 210PF F S mn F PQ mn ∆=⋅∠=，由已知可知，点Q 在以12F F 为直径的圆上，不包含1F ，2F 两个点，当点Q 与2F 重合时，此时22b PF a =，12PF F S ∆的最大值是1222122PF F b b cS c a a ∆=⋅⋅= 由图象可知其他满足条件的Q 满足条件时，需满足2310b cmn a < ②由①②可知2109mn b = ，2103b cmn a<⋅ 22101093b c b a∴<⋅，解得：13ca>，综上可知：1232e<<.故选：A【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，本题的关键是根据满足条件的点P的位置确定，建立面积条件的12PF F∆的不等关系，求出离心率的范围.二、填空题（本大题共4小题）13.已知直线l过点（1，2），且原点到直线l的距离为1，则直线l方程为__________．【答案】x=1或3x﹣4y+5=0【解析】【分析】分两种情况，当斜率不存在时，验证是否满足题意；当斜率存在时，设出点斜式方程，再由点到直线的距离公式求出斜率即可求解.【详解】直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为：x=1，满足题意；直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为：y﹣2=k（x﹣1），化为：kx﹣y+2﹣k=0．2211kk-=+，解得：k34=，∴直线l的方程为：y﹣234=（x﹣1），化为：3x﹣4y+5=0，综上可得：直线l的方程为：x=1或3x﹣4y+5=0，故答案为：x=1或3x﹣4y+5=0．【点睛】本题主要考查直线的点斜式方程、点到直线的距离公式，注意斜率不存在的情况，考查分类讨论的思想，属于基础题14.若椭圆2214x y m+=的焦距为1，则m =______．【答案】154或174【解析】 【分析】讨论焦点的位置，然后利用21c =，求m 的值.【详解】解：椭圆2214x y m+=的焦距为1，当焦点在x 轴时，24a =，2b m =21c ∴=== ，解得：154m =当焦点在y 轴时，2a m =，24b =，21c ∴===，解得：174m =. 故答案为：154或174． 【点睛】本题考查根据椭圆方程的形式求参数，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆的性质的合理运用．15.已知O 为坐标原点，椭圆T ：22221x y a b +=()0,1B ，过椭圆上一点P 的两条直线PA ，PC 分别与椭圆交于A ，C ，设PA ，PC 的中点分别为D ，E ，直线PA ，PC 的斜率分别是1k ，212(,0)k k k <，若直线OD ，OE 的斜率之和为2，则124k k +的最大值为______． 【答案】94- 【解析】 【分析】首先根据待定系数法求椭圆方程，再利用点差法求OD k 和OE k 与12,k k 的斜率关系，最后利用基本不等式求最值.【详解】不妨设a b >，根据题意可知22221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：1,1a b c ===∴椭圆方程是2212x y +=设()()()112233,,,,,P x y A x y B x y221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，两式相减得()2222121202x x y y -+-= 整理为：()()()()1212121202x x x x y y y y +-++-=当120x x +≠，且120x x -≠时，12121212102y y y y x x x x +-+⨯=+-， 1102OD k k ∴+⋅=，即112OD k k =-，同理：212OE k k =-， 1211222k k ∴--=，即12114k k +=- ，()21121212124111144544k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-⨯++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭211245144k k k k ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭12,0k k <，122140,0k kk k ∴>>，211244k k k k ∴+≥= ，21124114k k k k ⎛⎫∴-+≤- ⎪⎝⎭21124515914444k k k k ⎛⎫∴--+≤--=- ⎪⎝⎭.当且仅当21124k kk k=时等号成立，即212k k=时，故124k k+的最大值是94-.故答案为：94-【点睛】考查点差法求斜率关系式，和利用基本不等式求最值，意在考查推理能力和计算能力，属于中档题型，本题的关键是利用点差法求斜率间的关系.16.已知直线0x y b-+=与圆229x y+=交于两点A，B，若24OA OB AB+≥(其中O 为坐标原点)，则实数b的取值范围______【答案】(32,22,32--⋃【解析】【分析】利用平行四边形法则，转化为224OD AB≥，借助于弦长公式22194OD AB+=，求得219OD≤<，利用点到直线的距离求b的取值范围．【详解】解：设AB中点为D，则OD AB⊥，2OA OB AB+≥，224OD AB∴≥，42.AB OD∴≤221||94OD AB+=，2||1OD∴≥．直线0x y b-+=与圆229x y+=交于不同的两点A、B，2||9OD ∴<． 21||9OD ∴≤<，则219≤<．b ∴-≤b ≤<即实数b的取值范围是(.-⋃故答案为：(.-⋃【点睛】本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的推理和计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题）17.已知1:210l x y -+=和2:20l x y +-=的交点为P ． （1）求经过点P 且与直线3:3450x l y -+=垂直的直线的方程（2）直线l '经过点P 与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，且P 为线段AB 的中点，求OAB ∆的面积．【答案】（1）4370x y +-=；（2）2 【解析】 【分析】（1）联立两条直线的方程，解方程组求得P 点坐标，根据3l 的斜率求得与其垂直直线的斜率，根据点斜式求得所求直线方程.（2）根据（1）中P 点的坐标以及P 为AB 中点这一条件，求得,A B 两点的坐标，进而求得三角形OAB 的面积.【详解】解：（1）联立21020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得交点P 的坐标为()1,1，∵l 与3l 垂直， ∴l 的斜率3143k k =-=-， ∴l 的方程为()4113y x -=--，即4370x y +-=. （2）∵P 为AB 的中点，已知(2,0)A ，(0,2)B ，即2OA OB ==，∴1122222OAB S OA OB ∆=⋅⋅=⨯⨯= 【点睛】本小题主要考查两条直线交点坐标的求法，考查两条直线垂直斜率的关系，考查直线的点斜式方程，考查三角形的面积公式以及中点坐标，属于基础题.18.已知P ：方程2222220x y x my m m +++-++=表示圆心在第三象限的圆，q ：方程2231x my +=表示焦点在y 轴上的椭圆．()1若p ⌝为真命题，求实数m 的取值范围；()2若“p q ∧”为假，“p q ∨为真”，求m 的取值范围．【答案】(1)(] ,1-∞；(2)][()0,13,⋃+∞． 【解析】 【分析】（1）首先求p 为真命题时，m 的取值范围，再求其补集，就是p ⌝为真时，m 的取值范围； （2）求出命题q 为真时m 的取值范围，利用“p q ∧”为假，“p q ∨为真”时p 、q 一真一假；从而列不等式求得实数m 的取值范围．【详解】解：()1方程2222220x y x my m m +++-++=可化为222(1)()21x y m m m +++=--；若P 为真命题，则20210m m m -<⎧⎨-->⎩，解得1m >；所以p ⌝为真命题时，实数m 的取值范围是(],1-∞；()2命题q ：方程2231x my +=表示焦点在y 轴上的椭圆，若q 为真命题时，03m <<；由“p q ∧”为假，“p q ∨为真”，则p 、q 一真一假； 当p 真q 假时，103m m m >⎧⎨≤≥⎩或，即3m ≥；当p 假q 真时，103m m ≤⎧⎨<<⎩，即01m <≤；综上知，实数m 的取值范围是][()0,13,⋃+∞．【点睛】本题考查了圆的方程与椭圆的标准方程应用问题，也考查了简单的复合命题真假性判断问题，是基础题．19.若直线34120x y -+=与x 轴，y 轴的交点分别为,A B ，圆C 以线段AB 为直径. （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 过点3,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，与圆C 交于点,M N ，且120MCN ∠=，求直线l 的方程.【答案】（Ⅰ）()22325224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）34x =-或1216730x y -+=.【解析】 【分析】(1)本题首先根据直线方程确定A 、B 两点坐标，然后根据线段AB 为直径确定圆心与半径，即可得出圆C 的标准方程；(2)首先可根据题意得出圆心C 到直线l 的距离为54，然后根据直线l 的斜率是否存在分别设出直线方程，最后根据圆心到直线距离公式即可得出结果．【详解】(1)令方程34120x y -+=中的0x =，得3y =，令0y =，得4x =-. 所以点,A B 的坐标分别为()()4,0,0,3A B -.所以圆C 的圆心是32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径是52r ， 所以圆C 的标准方程为()22325224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭.(2)因为120MCN ∠=，圆C 的半径为52，所以圆心C 到直线l 的距离为54.若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为34x =-，符合题意. 若直线l 的斜率存在，设其直线方程为344y k x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即3404kx y k -++=.圆C 的圆心到直线l的距离54d ==，解得34k =. 则直线l 的方程为33444y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即1216730x y -+=.综上，直线l 的方程为34x =-或1216730x y -+=.【点睛】本题考查圆的标准方程与几何性质，考查直线和圆的位置关系，当直线与圆相交时，半径、弦长的一半以及圆心到直线距离可构成直角三角形，考查计算能力，在计算过程中要注意讨论直线l 的斜率是否存在，是中档题．20.如图，1l ，2l 是通过某城市开发区中心O 的两条南北和东西走向的街道，链接M ，N 两地之间的铁路是圆心在2l 上的一段圆弧，若点M 在O 正北方向，且3MO km =，点N 到1l ，2l 距离分别为4km 和5km ．()1建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；()2若该城市的某中学拟在O 点正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O 的距离大于4km ，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于29km ，求该校址距离点O 的最近距离．(注：校址视为一个点)【答案】(1)()22(4)2504,53x y x y -+=≤≤≥≥ (2)距O 最近6km 的地方． 【解析】 【分析】()1建立坐标系，利用圆心在弦的垂直平分线上求圆心坐标，再求半径，进而写出圆的方程． ()2据条件列出不等式，运用函数单调性解决恒成立问题.【详解】解：()1分别以2l 、1l 为x 轴，y 轴建立如图坐标系．据题意得()0,3M ，()4,5N ，531402MN k -∴==-， MN 中点为()2,4，∴线段MN 的垂直平分线方程为：()422)y x -=--，故圆心A 的坐标为()4,0，半径5R ==．∴弧MN 的方程为：()22(4)2504,53x y x y -+=≤≤≥≥()2设校址选在(),0(4)B a a >，04x ≤≤恒成立．04x ≤≤恒成立()﹡ 整理得：()282200a x a -+-≥，对04x ≤≤恒成立().﹡令()()28220f x a x a =-+-．4a >，820a ∴-<，()f x ∴在[]0,4上为减函数．()()244824200a f a a >⎧⎨=-⨯+-≥⎩， 解得6a ≥，即校址选在距O 最近6km 的地方．【点睛】本题主要考查求圆的方程的方法，函数的恒成立问题，利用二次函数在闭区间上的单调性求函数的值域，意在考查抽象和概括，将实际问题转化为数学问题，属于中档题．21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率3，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为．()1求椭圆C 的方程；()2如图所示，该椭圆C 的左、右焦点1F ，2F 作两条平行的直线分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四个点，试求平行四边形ABCD 面积的最大值．【答案】(1)22 132x y +=；(2) 最大值为33． 【解析】 【分析】()1由题意离心率可得6a =，再结合面积求解a ，b 的值，则椭圆方程可求； ()2由()1知，()11,0F -，且直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为1x ty =-，联立直线方程与椭圆方程，把平行四边形ABCD 的面积用三角形OAB 的面积表示，然后利用换元法结合单调性求最值．【详解】解：()1由题意，3c e a ==，则22213a b a -=，即6a =． 又122262a b ⋅⋅=3a ∴=2b = ∴椭圆C 的方程为22132x y +=；()2由()1知，()11,0F -，且直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为1x ty =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立221132x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：()2223440t y ty +--=．得122423t y y t +=+，122423y y t -=+． 四边形ABCD 是平行四边形，根据对称性可知,A C 和,B D 关于点O 对称，∴1121442OABABCD S SOF y y ==⋅⋅-=四边形== 令21m t =+，则1m ≥，ABCD S ∴==四边形 1m ≥，且函数144y m m=++在[)1,+∞上单调递增， ∴当1m =，即0t =时，平行四边形ABCD ．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法与函数的单调性求最值，是中档题．22.已知ABC 的两个顶点为()0,2B -，()0,2C ，平面内P ，Q 同时满足0PA PB PC ++=①；QA QB QC ==②；//PQ BC ③．()1求顶点A 的轨迹E 的方程；()2过点()F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l ，2l 被点A 的轨迹E 截得的弦分别为11A B ，22A B ，设弦11A B ，22A B 的中点分别为M ，.N 试问：直线MN 是否恒过一个顶点？若过定点，请求出该顶点，若不过定点，请说明理由．【答案】(1)()2210124x y x +=≠；(2)直线MN 过定点,0.2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】()1由已知向量等式可知P 为三角形ABC 的重心，设(),A x y ，则,33x y P ⎛⎫⎪⎝⎭，再由QA QB QC ==，知Q 是三角形ABC 的外心，结合//PQ BC 得,03x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由QC QA =列式求解顶点A 的轨迹E 的方程；()2设出直线1l 的方程，与椭圆方程联立求得M 的坐标，同理求得N 的坐标，求得MN 的斜率，写出直线方程的点斜式，整理后利用线系方程说明直线MN 过定点.⎫⎪⎪⎝⎭【详解】解：()10PA PB PC ++=，P ∴为三角形ABC 的重心，设(),A x y ，则,33x y P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由QA QB QC ==，知Q 是三角形ABC 的外心，Q ∴在x 轴上， 又//PQ BC ，,0.3x Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭由QC QA=，得=221124x y +=． A ，B ，C 三点不共线，∴顶点A 的轨迹方程为()2210124x y x +=≠； ()2由()1知，()F 为A 的轨迹E 的右焦点， 设()111,A x y ，()122,B xy ， 由221124x ty x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()22340t y ++-=．则12y y +=，12243y y t -=+， ()1212x x t y y ∴+=++=由中点坐标公式得22,33M t t ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，同理可求得222,.3131N t t ⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭则当21t ≠时，()2431MN t k t ==-． ∴直线MN的方程为()2431t y x t ⎛= -⎝⎭． 即()()22244431)3131t t t y x x t t t ⎛⎛==- ---⎝⎭⎝⎭． ∴直线MN过定点.2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查圆锥曲线方程的求法，考查平面向量的应用，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．1、在最软入的时候，你会想起谁。
湖北省部分重点中学2020-2021学年度上学期期中联考高二数学(文科)试题
3．已知 关于直线 的对称点为 ，则直线 的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．设 ： ， ：直线 ： 与 ： 平行，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．圆 与直线 （ ）的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能
∴ ， 。
由题意得 ，
解得 。选D。
点睛：由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为7求得实数m的值．
8．B
【解析】
由题意画出曲线对应的图形（如图所示）。
当 时，曲线的方程为 。
由曲线关于原点对称可知，此曲线所围成的图形由一个边长为 得正方形与四个半径为 的半圆围成。因此围成的图形的面积为 。选B。
16．设椭圆 的两个焦点是 ，过 的直线与椭圆 交于 ，若 ，且 ，则椭圆的离心率为__________．
三、解答题
17．已知 的顶点 ， 边上的中线 所在直线方程为 ， 边上的高 所在直线方程为 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求直线 的方程．
18．为迎接2021年“双 ”，“双 ”购物狂欢节的来临，某青花瓷生产厂家计划每天生产汤碗、花瓶、茶杯这三种瓷器共 个，生产一个汤碗需 分钟，生产一个花瓶需 分钟，生产一个茶杯需 分钟，已知总生产时间不超过 小时．若生产一个汤碗可获利润 元，生产一个花瓶可获利润 元，生产一个茶杯可获利润 元．
20．在直角坐标系 中，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，点 的坐标为 ．当 变化时，解答下列问题：
（1）以 为直径的圆能否经过点 ？说明理由；
2019-2020学年湖北省鄂州市部分高中联考协作体高二(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)
2019-2020学年湖北省鄂州市部分高中联考协作体高二（上）期中数学试卷一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题∀x∈R，x2+x≥0的否定是（）A．∃x∈R，x2+x≤0B．∃x∈R，x2+x＜0C．∀x∈R，x2+x≤0D．∀x∈R，x2+x＜02．已知数列{a n}是等差数列且a n＞0，设其前n项和为S n．若，则S9＝（）A．36B．27C．18D．93．学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：根据上表可得回归方程＝x+中的为6，据此模型预测气温为30℃时销售饮料瓶数为（）A．141B．191C．211D．2414．若当方程x2+y2+kx+2y+k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝（k﹣1）x+2的倾斜角α＝（）A．B．C．D．5．已知，为两个非零向量，则“•＜0”是“与的夹角为钝角”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件6．等比数列{a n}中，a2＝2，a4＝8，a n＞0，则数列{log2a n}的前n项和为（）A．B．C．D．7．如图所示，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1﹣ABC1的体积为（）A．B．C．D．8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）A．B．﹣C．D．﹣9．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6（俗称骰子），将这个玩具向上拋掷一次，设事件A表示“向上的一面出现奇数点”（指向上一面的点数是奇数），事件B表示“向上的一面出现的点数不超过3”，事件C表示“向上的一面出现的点数不小于4”，则（）A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件10．自圆C：（x﹣3）2+（y+4）2＝4外一点P（x，y）引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则点P轨迹方程为（）A．8x﹣6y﹣21＝0B．8x+6y﹣21＝0C．6x+8y﹣21＝0D．6x﹣8y﹣21＝0 11．已知等腰直角三角形ABC中，，D为AB的中点，将它沿CD翻折，使点A与点B间的距离为，此时三棱锥C﹣ABD的外接球的表面积为（）A．5πB．C．3πD．12π12．定义：在数列{a n}中，若满足﹣＝d（n∈N*，d为常数），称{a n}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则等于（）A．4×20192﹣1B．4×20182﹣1C．4×20172﹣1D．4×20172二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．从集合A＝{﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx+b不经过第三象限的概率为．14．过点P（4，1）作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．当|OA|+|OB|取最小值时，直线l的方程为．15．设数列{a n}满足a1＝1，且a n+1﹣a n＝n+1（n∈N*），则数列前2019项的和为．16．给出下面四个命题：①“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；②“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；③“直线a，b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a，b不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”．其中正确命题的序号是三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知公差d≠0的等差数列{a n}满足a1＝1，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）若S n是{a n}的前n项和，求数列的前n项和T n．18．已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m＝0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．19．某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）．（1）求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）用样本估计总体，若该校共有2000名学生，试估计该校这次测试成绩不低于70分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，试求成绩在[80，100]的学生至少有1人被抽到的概率．20．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，P A＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．（1）求证：AD⊥平面PNB；（2）若平面P AD⊥平面ABCD，求三棱锥P﹣NBM的体积．21．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）和直线l：y＝2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心C在l上．（1）若圆心C也在直线y＝x﹣1上，过点A作圆C的切线，试求圆C的方程和切线的方程；（2）若圆心上存在点M使|MA|＝2|MO|（O为原点），求圆心C的横坐标a的取值范围．22．在数列{a n}中，S n为{a n}的前n项和，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，证明．2019-2020学年湖北省鄂州市部分高中联考协作体高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题∀x∈R，x2+x≥0的否定是（）A．∃x∈R，x2+x≤0B．∃x∈R，x2+x＜0C．∀x∈R，x2+x≤0D．∀x∈R，x2+x＜0【解答】解：∵命题∀x∈R，x2+x≥0是全称命题，∴命题∀x∈R，x2+x≥0的否定是：∃x∈R，x2+x＜0，故选：B．2．已知数列{a n}是等差数列且a n＞0，设其前n项和为S n．若，则S9＝（）A．36B．27C．18D．9【解答】解：由数列{a n}是等差数列且a n＞0，，∴2a5＝≠0，解得a5＝2．则S9＝＝9a5＝18．故选：C．3．学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：根据上表可得回归方程＝x+中的为6，据此模型预测气温为30℃时销售饮料瓶数为（）A．141B．191C．211D．241【解答】解：由题意，＝7.8，＝＝57.8∵回归方程中的为6，∴57.8＝6×7.8+∴＝11∴∴x＝30°时，故选：B．4．若当方程x2+y2+kx+2y+k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝（k﹣1）x+2的倾斜角α＝（）A．B．C．D．【解答】解：将圆x2+y2+kx+2y+k2＝0化成标准方程，得（x+）2+（y+1）2＝1﹣∵半径r满足r2＝1﹣当圆取得最大面积时，k＝0半径r＝1因此直线y＝（k﹣1）x+2即y＝﹣x+2．得直线的倾斜角α满足tanα＝﹣1，∵直线的倾斜角α∈[0，π），∴α＝故选：A．5．已知，为两个非零向量，则“•＜0”是“与的夹角为钝角”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若与的夹角为钝角，则90°＜θ＜180°，则cosθ＜0，即•＜0成立，即必要性成立当θ＝180°，满足cosθ＜0，即•＜0成立，但与的夹角为钝角不成立，即充分性不成立，即“•＜0”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选：C．6．等比数列{a n}中，a2＝2，a4＝8，a n＞0，则数列{log2a n}的前n项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q．∵a2＝2，a4＝8，a n＞0，∴a1q＝2，＝8，解得q＝2，a1＝1．∴．∴数列{log2a n}的前n项和＝log2a1+log2a2+…+log2a n＝＝＝．故选：A．7．如图所示，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1﹣ABC1的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，∴底面△ABC为正三角形，面积S△ABC＝＝又∵AA1⊥底面ABC，AA1＝1∴三棱柱ABC﹣A 1B1C1的体积＝S△ABC•AA1＝∵三棱锥A﹣A1B1C1、三棱锥C1﹣ABC与三棱柱ABC﹣A1B1C1等底等高∴＝＝＝由此可得三棱锥B 1﹣ABC1的体积V＝﹣﹣＝故选：A．8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，∴∠FEG为异面直线AC与BD所成角．设AB＝2a，则EG＝EF＝a，FG＝＝a，∴∠FEG＝60°，∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选：A．9．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6（俗称骰子），将这个玩具向上拋掷一次，设事件A表示“向上的一面出现奇数点”（指向上一面的点数是奇数），事件B表示“向上的一面出现的点数不超过3”，事件C表示“向上的一面出现的点数不小于4”，则（）A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件【解答】解：∵事件B与C不同时发生且一定有一个发生，∴B与C是对立事件．故C 不正确D正确；而A与B都包含向上的一面出现的点数是3，故A与B不互斥，也不对立．故选：D．10．自圆C：（x﹣3）2+（y+4）2＝4外一点P（x，y）引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则点P轨迹方程为（）A．8x﹣6y﹣21＝0B．8x+6y﹣21＝0C．6x+8y﹣21＝0D．6x﹣8y﹣21＝0【解答】解：由题意得，圆心C（3，﹣4），半径r＝2，如图：因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2+r2＝|PC|2，所以x2+y2+4＝（x﹣3）2+（y+4）2，即6x﹣8y﹣21＝0，所以点P在直线6x﹣8y﹣21＝0上，故选：D．11．已知等腰直角三角形ABC中，，D为AB的中点，将它沿CD翻折，使点A与点B间的距离为，此时三棱锥C﹣ABD的外接球的表面积为（）A．5πB．C．3πD．12π【解答】解：等腰直角三角形ABC中，，解得AB＝4，由于CD⊥AD，CD⊥BD，易得CD⊥平面ABD，点A与点B间的距离为，所以AD2+BD2＝AB2，则AD⊥BD，所以将三棱锥C﹣ABD放到棱长为2的正方体中，所以（2R）2＝22+22+22，解得：，，故选：D．12．定义：在数列{a n}中，若满足﹣＝d（n∈N*，d为常数），称{a n}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则等于（）A．4×20192﹣1B．4×20182﹣1C．4×20172﹣1D．4×20172【解答】解由题知是首项为1，公差为2的等差数列，则＝2n﹣1，所以＝•＝（2×2 019﹣1）（2×2 018﹣1）＝（2×2 018+1）（2×2 018﹣1）＝4×2 0182﹣1．故选：B．二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．从集合A＝{﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx+b不经过第三象限的概率为．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件k∈A＝{﹣1，1，2}，b∈B＝{﹣2，1，2}，得到（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，∴直线不过第四象限的概率P＝，故答案为．14．过点P（4，1）作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．当|OA|+|OB|取最小值时，直线l的方程为x+2y﹣6＝0．【解答】解：由题意设A（a，0），B（0，b），其中a，b为正数，则直线的截距式方程为+＝1，代入点P（4，1）得+＝1；所以|OA|+|OB|＝a+b＝（a+b）（+）＝4+1++≥5+2＝5+4＝9，当且仅当＝，即a＝6且b＝3时，上式取等号；此时直线l的方程为+＝1，即x+2y﹣6＝0．故答案为：x+2y﹣6＝0．15．设数列{a n}满足a1＝1，且a n+1﹣a n＝n+1（n∈N*），则数列前2019项的和为．【解答】解：数列{a n}满足a1＝1，且a n+1﹣a n＝n+1（n∈N*），所以a n﹣a n﹣1＝n，…，a2﹣a1＝2，故a n﹣a1＝2+3+…+n，整理得，所以，所以＝2（）＝2（1﹣）＝，数列前2019项的和．故答案为：．16．给出下面四个命题：①“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；②“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；③“直线a，b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a，b不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”．其中正确命题的序号是①④【解答】解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直，故①正确；对于②，a平行于b所在的平面⇒a∥b或a与b异面，故②错；对于③，直线a、b不相交⇒直线a，b异面或平行，故③错；对于④，平面α∥平面β⇒α内存在不共线三点到β的距离相等；α内存在不共线三点到β的距离相等⇒平面α∥平面β或相交，故④正确故答案为：①④三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知公差d≠0的等差数列{a n}满足a1＝1，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）若S n是{a n}的前n项和，求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）由条件知，又a1＝1，则有d（d﹣1）＝0，又∵d≠0，故d＝1，故a n＝n．（2）由（1）可得，即．18．已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m＝0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣x﹣m＝0可得m＝x2﹣x＝∵﹣1＜x＜1∴M＝{m|}（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N①当a＞2﹣a即a＞1时，N＝{x|2﹣a＜x＜a}，则即②当a＜2﹣a即a＜1时，N＝{x|a＜x＜2﹣a}，则即③当a＝2﹣a即a＝1时，N＝φ，此时不满足条件综上可得19．某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）．（1）求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）用样本估计总体，若该校共有2000名学生，试估计该校这次测试成绩不低于70分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，试求成绩在[80，100]的学生至少有1人被抽到的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为1﹣（0.01+0.03+0.03+0.01）×10＝0.2，则x＝0.02，故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为（55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01）×10＝74，由于前两组的频率之和为0.1+0.3＝0.4，前三组的频率之和为0.1+0.3+0.3＝0.7，故中位数在第3组中．设中位数为t分，则有（t﹣70）×0.03＝0.1，得t＝，即所求的中位数为分．（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3+0.2+0.1＝0.6，用样本估计总体，可以估计高三年级2 000名学生中成绩不低于70分的人数为2000×0.6＝1200．（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15，10，5，由分层抽样的知识得这三组中所抽取的人数分别为3，2，1．记成绩在[70，80）的3名学生分别为a，b，c，成绩在[80，90）的2名学生分别为d，e，成绩在[90，100]的1名学生为f，则从中随机抽取3人的所有可能结果为（a，b，c），（a，b，d），（a，b，e），（a，b，f），（a，c，d），（a，c，e），（a，c，f），（a，d，e），（a，d，f），（a，e，f），（b，c，d），（b，c，e），（b，c，f），（b，d，e），（b，d，f），（b，e，f），（c，d，e），（c，d，f），（c，e，f），（d，e，f），共20种．其中成绩在[80，100]的学生没人被抽到的可能结果为（a，b，c），只有1种，故成绩在[80，100]的学生至少有1人被抽到的概率P＝1﹣＝．20．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，P A＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．（1）求证：AD⊥平面PNB；（2）若平面P AD⊥平面ABCD，求三棱锥P﹣NBM的体积．【解答】（1）证明：如图，∵P A＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∴BN⊥AD∵PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB（2）解：∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∵PN⊥NB，P A＝PD＝AD＝2，∴PN⊥平面ABCD，∵PN⊥NB，P A＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝，点到P平面ABCD的距离为．∴S△PNB＝××＝．∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB．∵PM＝2MC，∴V P﹣NBM＝V M﹣PNB＝＝××××2＝．∴三棱锥P﹣NBM的体积为．21．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）和直线l：y＝2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心C在l上．（1）若圆心C也在直线y＝x﹣1上，过点A作圆C的切线，试求圆C的方程和切线的方程；（2）若圆心上存在点M使|MA|＝2|MO|（O为原点），求圆心C的横坐标a的取值范围．【解答】解：（1）联立得：，解得：，∴圆心C（3，2）．若k不存在，不合题意；若k存在，设切线为：y＝kx+3，可得圆心到切线的距离d＝r，即＝1，解得：k＝0或k＝﹣，则所求切线为y＝3或y＝﹣x+3；（2）设点M（x，y），由|MA|＝2|MO|，知：＝2，化简得：x2+（y+1）2＝4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|＝，∴1≤≤3，解得：0≤a≤2.4．22．在数列{a n}中，S n为{a n}的前n项和，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，证明．【解答】解：（1）∵2S n+2n＝3a n∴2S n+1+2（n+1）＝3a n+1，两式相减得a n+1＝3a n+2，∴a n+1+1＝3（a n+1），∵2S1+2＝3a1，解得a1＝2．∴数列{a n+1}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴（2）∴＝。
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湖北省鄂南高中、鄂州高中、黄石二中2020学年高二数学上学期期中联考试题 文（答案不全）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R ，集合{}2|||≤=x x A ，}011|{>-=x x B ，则=⋂BA ( )A ．]2,2[-B ．)1,2[-C ．]2,1(D ．),2[+∞- 2.在空间中，下列命题正确的是（ ）A.三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B 若平面βα⊥，且l =βαI ，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面βC 若直线m 与平面α内的一条直线平行，则α//mD 若直线a 与直线b 平行，且直线a l ⊥，则b l ⊥3.直线03=+y x 被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（ ） A 1 B 2C 3D 324．在ABC ∆中，“B B A A sin cos sin cos +=+”是“ο90=C ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知0a >，,x y 满足约束条件1,3,(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ）A ．12B ．14 C ．1 D ．26．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（ ） A.34 B.32C. 3 D ．2 37、右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）A 、1000N P =B 、 41000N P =C 、1000MP =D 、41000M P =8.在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若7321...a a a a a k ++++=，则k =( )A ．22B ．23C ．24D ．259.已知直线a y x =+与圆422=+y x 交于A,B 两点，且-=+,其中O为坐标原点，则实数a 的值为（ ）A. 2B. -2C. 2或-2 D 6或6-10．若()f x 是R 上的减函数,且(0)3,(3)1f f ==-，设{}1()3P x f x t =-<+<，{}()1Q x f x =<-，若“”x P x Q ∈∈“” 是的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是( )A ．0t ≤B ．0t ≥C ．3t ≤-D ．3t ≥-二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11.若数据组821,...,,k k k 的平均数为3，方差为3，则1282(3),2(3),,2(3)k k k +++L 的方差为______。
12. 甲乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题。
甲乙二人依次不放回各抽取一题。
甲乙二人至少有一人抽到选择题的概率为______。
13．已知1sin 1cos 2αα+＝－，则cos sin 1αα－的值______。
14．若正数,a b 满足1a b +=，则113232a b +++的最小值为_____________。
15. 等比数列{}n a 中,公比2=q ，35log ...log log1022212=+++a a a ，则...21++a a 10a +=______。
16 给出下列命题：① 非零向量 a b r r 、满足a b a b ==-r r r r ，则与a a b +r r r 的夹角为030；② ⋅＞0，是 a b r r、的夹角为锐角的充要条件； ③命题“若220m n +=，则00m n ==且”的否命题是“若220.00m n m n +≠≠≠则或”；④ 若)(→-→-+AC AB 0)(=-⋅•→-→-AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形；以上命题正确的是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上） 17 过点（2,3）且与直线0:1=y l 和xy l 43:2=都相切的所有圆的半径之和为______三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18. （本题满分12分） 在∆ABC 中，sin()1C A -=,1sin 3B =。
（I ）求sin A 的值； (II)设AC=6，求∆ABC 的面积.19. （本题满分12分） 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知24,111+==+n n a S a .（1）设n n n a a b 21-=+，证明数列}{n b 是等比数列；（2）求数列}{n a 的通项公式．20（本题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点, M 是PD 的中点,2,60AB BAD =∠=o. （1）求证：//OM 平面PAB ; （2）平面PBD ⊥平面PAC（3）当四棱锥ABCD P -的体积等于3时,求PB 的长.21. （本题满分14分）已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线0743=+-y x相切，且被y 轴截得的弦长为32，圆C 的面积小于13.求圆C 的标准方程；设过点M （0,3）的直线l 与圆C 交于不同的两点A,B ，以OA, OB 为邻边作平行四边形OADB 。
是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由。
22. （本题满分14分）设α，β为函数22)(2--=mx x x h 的两个零点，，＜且βαR m ∈函数14)(2+-=x mx x f 。
求)()(βαf f •的值；判断)(x f 的单调性并用函数单调性定义证明；是否存在实数m ，使得函数)(x f 在[]βα,的最大值与最小值之差最小？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由。
参考答案18. 解：（Ⅰ）由2C A π-=，且C A B π+=-，∴42B A π=-，∴sin sin()sin )42222B B BA π=-=-， ∴211sin (1sin )23A B =-=，又sin 0A >，∴sin 3A =。
6分19、【解答】(1)因为142n n S a +=+，142,2n n S a n -=+≥所以11(42)(42),2n n n n S S a a n +--=+-+≥ ， 即1122(2)n n n n a a a a +--=-，即12n n b b -=，又1212111112242323b a a S S a a a a =-=--=+-=+=，所以 数列}{n b 是等比数列. 。
6分因为数列}{n b 是首项为3，公比为2等比数列所以，132n n b -=⋅ ， 即有11232n n n a a -+-=⋅，113224n n n n a a ++-=， 又1122a =， 所以{}2n n a 是首项为12，公差为34的等差数列， 所以，1331(1)2244n n a n n -=+-⋅= ， 故(31)24nn n a -=.。
12分（3）因为底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD =∠=o，所以ABCDS =Q 四棱锥P ABCD -的高为PA，13PA ∴⨯=，得32PA =PA ⊥Q 面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，PA AB ∴⊥在PAB Rt ∆中,252232222=+⎪⎭⎫⎝⎛=+=AB PA PB . 。
13分21、解：（1）()()()分或解得由题意知设圆3.............8131,343730a -x :C 2222222==⎪⎩⎪⎨⎧=+=++>=+a a Ra R a a R y()()分的标准方程为：圆又6 (411)13222=+-∴=∴<=y x C a R s πΘ22、解：()()()()()()()分故由题意可得4..........4124161414,12122222-=+-++++-=+-⨯+-=•⎪⎩⎪⎨⎧-==+αββααββααβββααβααββαm m m m f f m()[]()()()()[]()()()()()()()()022,0,01144,,,,2212121212221212121212121<+++-<--≤--+++---=-<∈∀αββααββαβαx x x x x x x x x xx x m x x x x x f x f x x x x 两式相加可得可得Θ()()()()()[]21121212,1,44020,, (5)mx x x x m x x f x f x f x αβαβαβ+==-∴---+<⎡⎤⎣⎦∴-<∴Q 函数在上为增函数分()()[]()()()()()()())5...(....................0,01,2022,214,24,44,322分，满足条件综上可得，存在实数可得结合即时，等号成立，此时，当且仅当差为上的最大值与最小值之在函数==-==+=--=+-==≥+=-m m mm m f f f f f f f x f αββαββββββββββαβα。