用基本不等式求最值六种方法

g

n

111用基本不等式求最值六种方法

一．配项

例1：设x>2,求函数

y=x+的最小值

9

2

x-

解析：y=x-2+

+2≥8 当x-2=时，即x=5时等号成立

9

2

x-

9

2

x-

例2：已知

a,b是正数，满足ab=a+b+3,求ab的最小值

法1：

ab=a+b++3当a=b

即ab≥9当a=b=3时等号成立。

法2:已知可化为（a-1）(b-1)=4.又ab=(a-1)+（b-1）+5≥9当a-1=b-1=2时等号成立，即a=b=3

二．配系数

例3:设0

解析：y=当

三．重复使用不等式

例4：已知a>b>0，求+的最小值

2

a

16

()

a b b

-

解析：+=+≥4(a-b)b+≥2

2

a

16

()

a b b

-

2

a b b

-+

（）

16

()

a b b

-

16

()

a b b

-

当时，等号成立。

四．平方升次

例5：当x>0时，求函数y=x+的最大值。

解析：y=x+4-x=4+≤4+［x+)］22222 =8 当，即时，y取得最大值.

五．待定系数法

例6：求y=2sinx(sinx+cosx)的最大值。

h

e

i

b

e

解析：y=2sin x+2sinxcosx

2

=2 sin x+(a>0)

2

2sin(cos)

x a x

a

≤2 sin x+

2

222

sin cos

x a x

a

+

=a+若为定值，则

22

(21)sin

a a x

a

+-

=0，+1,

2

21

a a

+-

所以时成立。

六．常值代换

例7：已知x>0,y>0,且x+2y=3,求+的最小值

1

x

1

y

解析：+=(x+2y)( +)=1+(+)≥1+

1

x

1

y

1

3

1

x

1

y

1

3

2y

x

x

y

2

3

当且仅当=，且x+2y=3，即-1),y=)时，取2y

x

x

y

3

2

得最小值为1+2

3