根据正弦型函数的图象求解析式
高中数学人教A版必修4第一章正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像平移及解析式的求法
正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像平移及解析式的求法【知识点梳理及分析】一、有关正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)基础知识1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下： 4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k∈Z)成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z)成中心对称图形． 二、图像的平移转换图像的平移转换遵循左加右减，上加下减原则 1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像变换（1）左右平移：由y ＝sinx 的图象向左或向右平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象.（2）胖瘦变换：由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω倍，得到y ＝sin ω x 的图象.（3）高矮变换：由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象.2.两种变换方法注意：左侧为先平移后伸缩，右侧为先伸缩后平移 三、正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)解析式的求法1.表达式的化简（主要利用辅助角公式）（1）辅助角公式sin cos a b αα+22)a b αϕ++(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,2222sin tan ba ab a b ϕϕϕ===++ ，该法也叫合一变形).（2）所涉及到公式① 两角和与差的正弦、余弦公式： (1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ (2）βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- (3）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (4）βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-②二倍角公式（1）a a a cos sin 22sin =（2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a③降幂公式：（1）22cos 1cos 2a a += （2） 22cos 1sin 2aa -=注：表达式的化简攻略可化简的表达式多种多样，很难靠举例一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来进行操作，主要有以下几个特征：（1）观察式子：主要有三点①系统：整个表达式是以正余弦为主，如果有正切需要切化弦进行统一 ②确定研究对象：是以x 作为角来变换，还是以x 的表达式看做一个角来进行变换③式子是否齐次：式子要做到齐次统一，利用所涉及到三角函数恒等式的公式进行转换，把同一角转换为齐二次式或是齐一次式在使用辅助角公式，使结果成为y ＝A sin(ωx ＋φ)（2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂（注意平方降幂）.2. 求解A 、ω、φ以及确定解析式 (1)A 的求解A 的求解：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2（2）ω的求解结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω①如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的两条对称轴为x=a ，x=b （a<b ），则T=2(b-a).②如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的两个对称中心为（a ，0）、（b ，0）（a<b ），则T=2(b-a).③如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的对称轴与对称中心分别为x=a ，（b ，0）则T=4a -b .注意：在y ＝Asin(ωx ＋φ)中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价.（3）φ的求解①代入法：把图上已知点代入即可. ②五点法确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”（即图像上升时与x 轴交点）为ωx ＋φ=0；“第二点”（即图像的“峰点”）为ωx ＋φ=π2；“第三点”（即图像下降时与x 轴交点）为ωx ＋φ=π；“第四点”（即图像的“谷点”）为ωx ＋φ=3π2；“第五点”为ωx ＋φ=2π.（4）y ＝Asin(ωx ＋φ)+B 中“B ”的确定 B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2补充：函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：①b x a y +=sin （或)cos b x a +型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论②x b x a y cos sin +=型：引进辅助角化成)sin(22ϕ++=x b a y 再利用有界性③c x b x a y ++=sin sin 2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束④dx c bx a y ++=sin sin 型：反解出x sin ，化归为1sin ≤x 解决⑥c x x b x x a y +⋅++=cos sin )cos (sin 型：常用到换元法：x x t cos sin +=，但须注意t 的取值范围：2≤t 。
由三角函数图像求解析式(适合讲课使用)
图像的变换与对称性
01
平移变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上平移，而不改变其形状和性质。
例如，正弦函数向右平移a个单位后变为$y=sin(x-a)$。
02
伸缩变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上伸缩，从而改变其周期和振幅。
例如，正弦函数在x轴方向上伸缩a倍后变为$y=sin(frac{1}{a}x)$。
余弦函数
定义域
全体实数，即$R$。
值域
$[-1,1]$。
周期性
余弦函数具有周期性，最小正 周期为$2pi$。
单调性
在每个周期内，余弦函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$
上单调递增。
正切函数
定义域
01
不连续，无周期性。
值域
02
全体实数，即$R$。
单调性
03
正切函数在每一个开区间$(kpi-frac{pi}{2}, kpi+frac{pi}{2})$内
01
1. 绘制直角坐标系
根据解析式的定义域，绘制直角 坐标系。
02
03
2. 确定关键点
3. 绘制图像
根据解析式的值，确定直角坐标 系中的关键点。
根据关键点，绘制三角函数的图 像。
例题三：综合应用题
1. 分析题目
仔细阅读题目，理解题目的要求和条件。
2. 确定解题步骤
根据题目要求，确定解题步骤，包括已知条件的分析、未知条件的推导等。
由三角函数图像求解析式
contents
目录
• 引言 • 三角函数的基本性质 • 三角函数图像的绘制 • 由三角函数图像求解析式的方法 • 实例分析 • 总结与思考
4.4正弦型函数的图像与性质
1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈R振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象的步骤如下：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( × ) (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位得到的．( √ )(3)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．( √ ) (4)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( × )(5)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，－π4．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8．2，12π，－π8答案 A2．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 答案 A解析 y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2(x ＋12)的图象，即函数y ＝sin(2x ＋1)的图象．3．(2015·湖南)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ等于( )A.5π12B.π3 C.π4 D.π6答案 D解析 因为g (x )＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ)， 所以|f (x 1)－g (x 2)|＝|sin 2x 1－sin(2x 2－2φ)|＝2. 因为－1≤sin 2x 1≤1，－1≤sin(2x 2－2φ)≤1，所以sin 2x 1和sin(2x 2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin 2x 1＝1，sin(2x 2－2φ)＝－1，则2x 1＝2k 1π＋π2，k 1∈Z,2x 2－2φ＝2k 2π－π2，k 2∈Z,2x 1－2x 2＋2φ＝2(k 1－k 2)π＋π，(k 1－k 2)∈Z ，得|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪(k 1－k 2)π＋π2－φ. 因为0<φ<π2，所以0<π2－φ<π2，故当k 1－k 2＝0时，|x 1－x 2|min ＝π2－φ＝π3，则φ＝π6，故选D.4．(教材改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为________________________________．答案 y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14] 解析 从图中可以看出，从6～14时的是函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期， 所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20， 又12×2πω＝14－6， 所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2π， 解得φ＝3π4，所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．5．(2014·安徽)若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 答案3π8解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x ＋π4－2φ)，又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )．当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换 例1 已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2， 周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表如下：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 0 1 0 －1 0 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 02－2描点画出图象，如图所示：(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象； 再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 方法二 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(1)把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4(2)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) A.13B ．3C ．6D ．9 答案 (1)A (2)C解析 (1)将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)，故x ＝－π2是其图象的一条对称轴方程．(2)由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N ＋)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N ＋)，∴ω＝6n (n ∈N ＋)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6. 题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2＜θ＜π2的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2D.π6(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为__________．答案 (1)B (2)f (x )＝2sin(2x ＋π3)解析 (1)∵P ⎝⎛⎭⎫0，32在f (x )的图象上， ∴f (0)＝sin θ＝32. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴θ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. ∴g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋π3. ∵g (0)＝32， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝32. 验证φ＝56π时，sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－53π＝sin ⎝⎛⎭⎫－43π＝32成立． (2)由题图可知A ＝2， T 4＝7π12－π3＝π4， 所以T ＝π，故ω＝2， 因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 又⎝⎛⎭⎫712π，－2为最小值点， ∴2×712π＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|＜π， ∴φ＝π3.故f (x )＝2sin(2x ＋π3)．思维升华 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法： (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ， 则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则φ＝________.答案 －π3解析 ∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π.又T ＝2πω(ω＞0)，∴2πω＝π， ∴ω＝2.由五点作图法可知当x ＝512π时，ωx ＋φ＝π2，即2×512π＋φ＝π2，∴φ＝－π3.题型三 三角函数图象性质的应用 命题点1 三角函数模型的应用例3 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π3 答案 C解析 由题意可得，函数的初相位是π6，排除B 、D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝⎪⎪⎪⎪2πω＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30. 命题点2 方程根(函数零点问题)例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________． 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为 m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π， ∴题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π，有两个不同的实数根． ∴y ＝m2和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的范围为(－1，－12)，故m 的取值范围是(－2，－1)． 引申探究例4中，“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________． 答案 [－2,1)解析 由例4知，m2的范围是⎣⎡⎭⎫－1，12，∴－2≤m <1， ∴m 的取值范围是[－2,1)．命题点3 图象性质综合应用例5 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值及对应的x 的值． 解 (1)f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ) ＝2⎣⎡⎦⎤32sin (ωx ＋φ)－12cos (ωx ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6. 因为f (x )是偶函数， 则φ－π6＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝2π3＋k π(k ∈Z )，又因为0＜φ＜π，所以φ＝2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝2cos ωx . 由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2. 故f (x )＝2cos 2x . 因此f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2)y ＝2cos 2x ＋2cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2cos 2x ＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x －2sin 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x＝－22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 令2x －π4＝2k π－π2(k ∈Z )时，y 有最大值22，所以当x ＝k π－π8(k ∈Z )时，y 有最大值2 2.思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 答案 ①③解析 ∵周期为π，∴2πω＝π⇒ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f (2π3)＝3sin(4π3＋φ)，则sin(4π3＋φ)＝1或－1.又φ∈(－π2，π2)，4π3＋φ∈(5π6，116π)，∴4π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6， ∴f (x )＝3sin(2x ＋π6)．①：令x ＝0⇒f (x )＝32，正确．②：令2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋3π2，k ∈Z⇒k π＋π6<x <k π＋2π3，k ∈Z .令k ＝0⇒π6<x <2π3，即f (x )在(π6，2π3)上单调递减，而在(π12，π6)上单调递增，错误．③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sin π＝0，正确． ④：应平移π12个单位长度，错误． 4．三角函数图象与性质的综合问题典例 (12分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期；(2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值． 规范解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分] ＝2sin(x ＋π3)，[5分] 于是T ＝2π1＝2π.[6分] (2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)，[8分] ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]， ∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[10分] ∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2]．[11分] 故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤：第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2·(sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·b a 2＋b 2)； 第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质；第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒 (1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝b a )，或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝a b)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．(2)求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．[方法与技巧]1．五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化．2．由图象确定函数解析式由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点．3．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．[失误与防范]1．由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把x 前面的系数提取出来．2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域．A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的部分图象可能是( )答案 D解析 ∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，∴当2x －π3＝0， 即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有D. 2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4. 3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A ．[－7π12，5π12] B ．[－7π12，－π12] C ．[－π12，7π12] D ．[－π12，5π12] 答案 D解析 由函数的图象可得14T ＝23π－512π， ∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2， ∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ， ∵|φ|<π2，∴取k ＝0，则φ＝－π3，即得f (x )＝2sin(2x －π3)， 其单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D. 4．已知曲线f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且曲线关于点(x 0,0)中心对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0等于( ) A.π12B.π6C.π3D.5π12答案 C解析 f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3. ∵曲线f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3相邻的两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期T ＝π＝2πω， ∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. ∵曲线关于点(x 0,0)中心对称；∴2x 0＋π3＝k π(k ∈Z )， ∴x 0＝k π2－π6(k ∈Z )， 又x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴x 0＝π3. 5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32 B ．－12 C.12D.32答案 A解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的图象，因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ， 又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 6.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．答案 －5解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100， ∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)． ∵图象过点⎝⎛⎭⎫1300，10， ∴10sin(100π×1300＋φ)＝10， ∴sin(π3＋φ)＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ， 又∵0<φ<π2，∴φ＝π6. ∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6， 当t ＝1100秒时，I ＝－5安． 7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0且|φ|<π2)在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数从1减小到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.答案 32解析 由题意可得，函数的周期为2×⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝π，即2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． 由sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2可得φ＝π6， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝cos π6＝32. 8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为________．答案 π3或43π 解析 由图象可知y ＝m 和y ＝f (x )图象的两个交点关于直线x ＝π6或x ＝23π对称， ∴x 1＋x 2＝π3或43π. 9．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32 ＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14， f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34， 最小值为－12.10．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3×1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3.依题意知2π2ω＝4×π4，ω>0，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3. 所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1.所以－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是() A ．(－∞，－92]∪[6，＋∞)B ．(－∞，－92]∪[32，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[32，＋∞)答案 D解析 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω， 由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω， 由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2. 综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪[32，＋∞)． 12．(2014·天津)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( ) A.π2B.2π3 C ．πD ．2π答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)． 由2sin(ωx ＋π6)＝1得sin(ωx ＋π6)＝12， ∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋56π(k ∈Z )． 令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝56π， ∴x 1＝0，x 2＝2π3ω. 由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2. 故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 13．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是______． 答案 ⎣⎡⎦⎤2π9，5π18解析 画出函数的图象．由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3， 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32， 且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32， 所以π≤3m ＋π3≤76π，则2π9≤m ≤5π18， 即m ∈⎣⎡⎦⎤2π9，5π18.14．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________________________________________________________________________.答案 143解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋π3＝－1， ∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )， ∵f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，∴π3－π4<πω，即ω<12，令k ＝0，得ω＝143. 15．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2. (1)求f (x )的表达式； (2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2， 所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)． (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π3)，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3， 所以g (x )∈[－32，1]． 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π2]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1， 解得－32<k ≤32或k ＝－1， 所以实数k 的取值范围是(－32，32]∪{－1}．。
第一章 1.3.1正弦函数的图象与性质(五)
(k∈Z) 得到
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1.3.1（五）
探究点一
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“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象
利用“五点法”作出函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周 期上的图象， 要经过“取值、 列表、 描点、 连线”这四个步骤． 请 完成下面的填空. ωx＋φ x y 0 π 2 π 3 π 2 2π
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描点、连线，如图所示．
1.3.1（五）
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小结 “五点法”作图时，五点的确定，应先令 ωx＋φ 分别为 π 3π 0、2、π、 2 、2π，解出 x，从而确定这五点．
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π 跟踪训练 1 作出 y＝2.5sin2x＋4 的图象． π π 1 解 令X＝2x＋ ，则x＝ X－4.列表： 4 2
φ － ω
0
φ π φ 3π φ 2π φ π －ω＋2ω － ＋ － ＋ ω 2ω －ω＋ ω ω ω
A 0 －A 0
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1.3.1（五）
φ － ，0 ω
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所以，描点时的五个关键点的坐标依次是 ， φ φ φ π π 3π － ＋ － ＋ ，0 － ＋ ，A ，－A ω 2ω ， ω ω ， ω 2ω ， φ 2π － ＋ ，0 ω ω . φ T φ 2π － ＋ － 若设 T＝ ω ， 则这五个关键点的横坐标依次为 ω ， ω 4 ， φ 3 φ φ T － ＋ T －ω＋T －ω＋2 ， ω 4 ， .
T 7π π π 解析 由图象知4＝12－3＝4，∴T＝π，ω＝2. 7π π 且 2×12＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－6(k∈Z)． π π 又|φ|< ，∴φ＝－ . 2 6
正弦型三角函数的图像-简单难度-讲义
正弦型三角函数的图像知识讲解一、正弦型三角函数的性质1.函数()sin y A x ωϕ=+的图像与函数sin y x =图像的关系振幅变换：()sin 0,1y A x A A =>≠的图像，可以看成是sin y x =图像上所有点的纵坐标都伸长()1A >或缩短()01A <<到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．周期变换：)1,0(sin ≠>=w w wx y 的图像，可以看成是sin y x =的图像上各点的横坐标都缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原点的1ω倍（纵坐标不变）而得到的，由于sin y x =的图像得到()sin y A x ωϕ=+的图像主要有下列两种方法：()()()sin sin sin sin y x y x y x A x ϕωϕωϕ=−−−−→=+−−−−→=+−−−−→+相位变换周期变换振幅变换()()sin sin sin sin y x y x y x y A x ωωϕωϕ=−−−−→=−−−−→=+−−−−→=+周期变换相位变换振幅变换2.三角函数的性质函数 sin y x =cos y x =tan y x = cot y x =定义 域 R R{|,,}2x x R x k k ππ∈≠+∈Z 且{|,,}x x R x k k π∈≠∈Z 且值域 [1,1]-[1,1]-RR奇偶性奇函数 偶函数奇函数奇函数3.sin y x=与sin y x=的性质典型例题一．选择题（共10小题）1．（2018•全国）要得到y=cosx，则要将y=sinx（）A．向左平移π个单位B．向右平移π个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：要将y=sinx的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+）=cosx的图象，故选：C．2．（2018•榆林一模）已知曲线，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2C．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2D．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2【解答】解：根据曲线=sin（x﹣），把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin（x）的图象；再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2：y=sin（x﹣）的图象，故选：B．3．（2018•岳阳二模）若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象对应的函数解析式为y=sin（2x+），令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，故所得图象的对称轴方程为x=+，k∈Z，故选：D．4．（2018•四川模拟）若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin（2x++）=2sin（2x+）的图象，令2x+=kπ+，可得x=﹣，k∈Z，则平移后图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z，故选：A．5．（2018•一模拟）已知函数（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数f（x）的图象（）A．可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得D．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得【解答】解：函数=sin（2ωx）﹣•+=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，∴•=，∴ω=2，f（x）=sin（4x﹣）=cos[（4x﹣）﹣]=cos （4x﹣）．故把函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位，可得f（x）的图象，故选：B．6．（2018•通渭县模拟）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=1，=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故f（x）=2sin（2x+）．故把f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故选：C．7．（2018•一模拟）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，则（）A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象，可得==+，∴ω=2，根据+φ=2•（﹣）+φ=0，∴φ=，故f（x）=2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，故g（x）=2sin（2x++）=2sin（2x+）．故选：A．8．（2018•红桥区二模）设函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则（）A．g（x）在（0，）上单调递增B．g（x）在（，）上单调递减C．g（x）在（0，）上单调递减D．g（x）在（，π）上单调递增【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵T==π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+），∴将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则y=g（x）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x，∴令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z可解得：k，k∈Z，当k=0时，x∈[0，]，即g（x）在（0，）上单调递减．故选：C．9．（2018•佛山一模）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称【解答】解：把曲线上所有点向右平移个单位长度，可得y=2sin（x﹣﹣）=2sin（x﹣）的图象；再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2：y=2sin（2x ﹣）的图象，对于曲线C2：y=2sin（2x﹣）：令x=，y=1，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故A错误；令x=，y=2，为最值，故它的图象关于直线对称，故B正确；令x=，y=﹣1，故它的图象不关于点对称，故C错误；令x=π，y=﹣，故它的图象不关于点（π，0）对称，故D错误，故选：B．10．（2018•渭南二模）函数y=Asin（x+φ）（A＞0，＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+） B．y=2sin（2x+） C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：根据函数y=Asin（x+φ）（A＞0，＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象，可得A=2，•=﹣（﹣），∴=2．再根据当x=﹣时，y=2sin（﹣+φ）=2，可得sin（﹣+φ）=1，故有﹣+φ=2kπ+，求得φ=2kπ+，结合0＜φ＜π，求得φ=，故函数y=Asin（2x+），故选：A．二．填空题（共3小题）11．（2016•淮安一模）函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的部分图象如图所示，若AB=5，则ω的值为．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ），图象中AB两点距离为5，设A（x1，2），B（x2，﹣2），∴（x2﹣x1）2+42=52，解得：x2﹣x1=3，∴函数的周期T=2×3=，解得：ω=．故答案为：．12．（2016•海淀区模拟）把函数y=sin（﹣2x）向右平移个单位，然后把横坐标变为原来的2倍，则所得到的函数的解析式为y=cosx．【解答】解：函数向右平移个单位，得，把横坐标变为原来的2倍，得函数的解析式为y=cosx．故答案为：y=cosx．13．（2016春•南通期末）函数y=sin2x图象的振幅为．【解答】解：函数y=sin2x图象的振幅为，故答案为：．三．解答题（共2小题）14．（2018春•双台子区校级期末）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期及图象的对称中心；（2）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+=cosx﹣cos2x+=sin2x﹣cos2x+=sin2x﹣•+=sin2x﹣cos2x=•sin（2x﹣），故它的最小正周期为=π，令2x﹣=kπ，求得x=+，可得函数的图象的对称中心为（+，0）．（2）在闭区间[﹣，]上，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣，当2x﹣=时，函数f（x）取得最大值为．15．（2010•广州模拟）已知函数，x∈R．（1）求它的振幅、周期、初相；（2）用五点法作出它的简图；（3）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【解答】解：（1）函数的振幅为，周期为π，初相为．（2）列表：x0π2π00画简图：（3）函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的一半得到函数的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的一半得到函数的图象．。
关于正弦型函数y=Asin(ωx+φ)中φ角确定的探究
关于正弦型函数y=Asin（ωx+φ）中φ角确定的探究摘要：根据正弦型函数f（x）=asin（ωx+φ）的图象求其解析式是教学中的一个难点问题，难点在于如何根据图象准确地确定φ角的值，下面将介绍如何来确定φ角的值。
关键词：正弦型函数；φ角；确定问题：（苏教版高中数学必修4第48页）函数f（x）=asin（ωx+φ）（a>0，ω>0，φ∈[0，2π））的图象如图所示，试求该函数的解析式。
■误解：由图象知：a=3，t=2[3-（-1）]=8，ω=■=■=■，所以函数f（x）=asin（ωx+φ）的解析式可设为f（x）=3sin（■x+φ），又点（3，0）在函数f（x）=asin（ωx+φ）的图象上，故有3sin（■×3+φ）=0即sin（■×3+φ）=0，所以■×3+φ=kπ，（k∈z），则φ=kπ-■×3，（k∈z）；又φ∈[0，2π），因此φ=■或■，所以函数f（x）=asin（ωx+φ）的解析式为f（x）=3sin （■x+■）或f（x）=3sin（■x+■）。
分析：本题的解题过程看上去似乎并无错误，但我们发现f（x）=3sin（■x+■）的图象并不是本题中的图象（其图象见图中虚线部分），这是为什么呢？根据正弦型函数的图象求其解析式是教学中的一个难点问题，难点在于如何根据图象准确地确定φ角的值，本文从另一个角度来研究这个问题。
首先对于任意一个形如y=asin（ωx+φ）的函数均可以转化为y=a′sin（ω′x+φ′），其中a′>0，ω′>0，-π0，则y=asin （ωx+φ）=-asin（ωx+φ）=asin（ωx+φ+π）.如果ω0，则y=asin（ωx+φ）=asin（ωx+φ）=asin[-（ωx-φ）]=-asin（ωx-φ）=asin（ωx-φ+π）.如果a0，ω′>0.由于正弦型函数y=asin（ωx+φ）中φ角是任意角，故转化后的函数y=a’sin（ω’x+β）（其中a’>0，ω’>0）中的β角的取值可能是正角也可能是负角还可能为0，不妨设φ’角的取值范围为（-π，π〕，β角在φ′角的取值范围（-π，π）内总能找到与其终边相同的角，即总有β=φ′+2kπ，（k∈z），又因为终边相同的角的三角函数值相等，所以上面y=a′sin（ω′x+β）=a′sin （ω′x+φ′+2kπ）=a′sin（ω′x+φ′），所以正弦型函数y=asin（ωx+φ）可转化为函数y=a’sin（ω’x+φ’），（其中a′>0，ω′>0，φ′∈（[-π，π]），并且函数y=a′sin（ω′x+φ′），（其中a′>0，ω′>0，φ′∈（-π，π〕）为其最简形式。
最新中专校-正弦型函数练习题
15.3正弦型函数 练习题（2）1． y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π82.根据所给正弦型函数的图象，求出其表达式（1）函数的最大值是____，最小值是______，因此A=________（2）函数的一个周期T ＝___________,因此w =___________（3）函数图象五个点中的第一个点的坐标为____________，因此函数的图象向_____平移了__________个单位，综上得出此函数图象的表达式为____________________3.根据正弦型函数的图象求其表达式。
（1）函数的最大值是____，最小值是______，因此A=________（2）函数的一个周期T=___________,因此w =___________（3）函数的图象向_____平移了_________个单位，综上得出此函数图象的表达式为_____________4.根据正弦型函数的图象求其表达式。
（1）函数的最大值是____，最小值是______，因此A=________（2）函数的一个周期T ＝___________,因此w =___________（3）函数图象五个点中的第一个点的坐标为____________，因此函数的图象向_____平移了__________个单位，综上得出此函数图象的表达式为____________________5.根据正弦型函数的图象求其表达式。
（1）函数的最大值是____，最小值是______，因此A=________（2）函数的一个周期T ＝___________,因此w =___________（3）函数图象五个点中的第一个点的坐标为____________，因此函数的图象向_____平移了__________个单位，综上得出此函数图象的表达式为____________________6.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该函数的最小正周期T 和初相φ分别为( )．A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π3（6） （7）7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________是．函数x x y cos sin 8= （ ）A ．周期为2π的偶函数B ．周期为2π的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为π的奇函数9．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则T 的值是________．10. 函数)4sin()(π-=x x f 的图像的一条对称轴是（ ） A ．4π=x B ．2π=x C ．4π-=x D ．2π-=x的最小正周期是函数x x x f 2cos 2sin )(.11-= ( )A.2π B.π C ．π2 D.π412.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域．13．已知=（x sin 3，-x cos ），=（x cos ，x cos ），且函数)(x f =∙． 求函数)(x f 的最小正周期及最大值。
正弦型函数的解析式求法
课堂小结
本节课我们共同学习了 正弦型函数解析式求法 ， 关键是确定A,, 及K的值，其中可用平移法， 也可用五点法，特殊点 可用代入法，根据 的范围 确定其取值
x
12
3
7 12
5 6
13 12
-2
变式1
下面是y A sin(x )( A 0,W 0,
2
)
的图像，确定其函数解 析式 (5) y=2sin(2x- ) 6 y 2
o
x
12 3 7 12 5 6 13 12
-2
变式2
下面是y A sin(x )( A 0,W 0, 的部分图像，确定其函 数解析式
1．已知简谐运动
π f(x)＝Asin(ωx＋φ)|φ|＜2的部分图象如图所
示，则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为(
C
)．
π A．T＝6π，φ＝6 π C．T＝6，φ＝6
π B．T＝6π，φ＝3 π D．T＝6，φ＝3
A 0 0 | | 2.已知函数 y A sin( x ) B， 2 的最大值为 2 2 ，最小值为 2 ，周期为 3 2 ，求这个函数的解析式。 (0, ) 且图象过点 4
最大 - 最小 离 • （1）确定 A A 离开平衡位置的最大距 2 最大 最小 K 最大最小值的中间 2 2 • （2）确定 T
• （3）确定
方法一：平移法
方法二：五点法：
上升零点： x 0 2k，k z 下降零点： x 2k，k z 最大值点： x 2k，k z 2 最小值点： x 3 2k，k z 2
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根据正弦型函数的图象求其解析式（一）课前系统部分1、设计思想建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。
在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。
而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。
而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。
所以，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。
为此我们根据“用已知知识去探讨新知识”的教学方式，沿着“复习已知知识--提出由简单到复杂的问题--解决问题--反思解决过程”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境--问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。
根据上述精神，做出了如下设计：创设一个现实问题情境作为提出问题的背景，并且用示波器演示电压的图形，让学生对数学的学习产生形象直观的感觉，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。
然后引导学生抓住问题的数学实质。
2、课标及教材分析“根据正弦型函数的图象求其解析式”是职高教科书数学第一册第七章第三节的延展内容，它是在学习好正弦函数，正弦型函数后的一个升华内容，是三角函数图象知识的高层次运用，也是解决生活实际问题的一个重要思想方法，因此具有一定的应用价值。
布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。
教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。
因此，做好“根据正弦型函数的图象求解析式”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
3、学情分析在近几年教学实践中我们发现这样的怪现象：绝大多数学生认为数学很重要，但很难；学得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升学，我们才不会去理会，况且将来用数学的机会很少；许多学生完全依赖于教师的讲解，不会自学，不敢提问题，也不知如何提问题。
这说明了学生一是不会学数学，二是对数学有恐惧感，没有信心，这样的心态怎能对数学有所创新呢？即使有所创新那与学生们所花代价也不成比例，其间扼杀了他们太多的快乐和个性特长。
建构主义提倡情境式教学，认为多数学习应与具体情境有关，只有在解决与现实世界相关联的问题中，所建构的知识才将更丰富、更有效和易于迁移。
4、教学目标通过本节课的学习，能够让学生更加深刻的理解到正弦型函数sin y x =与正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的变换关系，并且能通过正弦型函数的图象用平移法求出其解析式，从而对函数图象的平移与五点作图法有更深刻的了解，对于接受能力强的，能够掌握五点法就比较成功了。
5、重点难点重难点都是正弦型函数sin()y A x ωϕ=+各参数求法，尤其是字母ϕ的求法，因些在本节课中介绍了两种解法，着重讲解平移法，最后介绍五点法求解，只要求学生能了解。
6、教学策略与手段本节课的内容很有层次感，有简单的，有提高的，对每一类同学都会有所得。
主要采用启发性讲述法、试验法和采用多媒体手段教学方法。
7、教学用具及课前准备教师：借一个物理上用的学生示波器。
并把课堂练习题印在一张试卷上。
让学生在课堂上直接做在试卷上。
学生：在课前应该对正弦函数变换到正弦型函数的图象的过程相当熟悉，特别是对初相位ϕ的作用。
另外对五点法作正弦型函数的图象的过程比较了解。
这将为五点法找函数的解析式提供不少方便。
（二）课堂系统部分——教学过程1、课前探究：同学们，我们对现在使用的市电还是比较熟悉的，都知道是220V ，然而大家可能不知道市电的电压并不是稳定于220V 不变，而是随着时间改变电压不断改变的，并且电压随时间变化的图象就是一个正弦型函数的图象，现在我们做一个实验，请大家观察一下电压变化情况。
用示波器演示电压变化图。
2、新课导入部分正弦型函数的图象广泛地存在于我们的生活中，比如说，刚才做实验发现的市电的电压，电流值，以及物理学的简谐振动等等都可以看成是一种正弦型函数。
如果我们能把这个函数的图象表达式求出来，那么我们就能更加深刻的了解这种变化关系，因此在这一堂课中，我们将学习如何通过正弦型函数的图象求解析式。
请大家先回答我几个问题。
（1）由正弦函数sin y x =的图象变到sin()y A x ωϕ=+的图象，要分几部，哪几步？（2）正弦型函数解析式中的几个参数A ，ω，ϕ的作用分别是什么。
（3）五点法作函数型函数的图象时，是如何列表的。
3、新课内容：（1）平移法求正弦型函数的图象请大家观察PPT 中的几个简单的正弦型函数的图象，并说出他的解析式。
图1 图2 图3这三个问题这简单了，一般都拦不住大家，下面我们研究有点难度的图象，比如说这个 例1：根据所给正弦型函数的图象，求出其表达式。
（1）请一位同学分析出，这个函数的图象的最值问题：最大值为2，最小值为-2，因此得出A ＝2（2）请一位同学观察得出这个函数的周期：T=5()66πππ--=，并且用自己的话说明正弦型函数的图象何为一个周期。
并能计算出22w Tπ==， （3）再请一位同学分析平移量的问题：向左平移了6π个单位，根据以前学的函数平移知识（左加右减，上加下减），得出公式，但要强调是在x 后面加还是在wx 后面加。
得出表达式为2sin[2()]6y x π=+，即2sin()3y x π=+练习1：请同学们完成试卷上面的习题，根据正弦型函数的图象求其表达式。
习题1：（1）函数的最大值是____，最小值是______，因此A=________（2）函数的一个周期T=___________,因此w =___________（3）函数的图象向_____平移了_________个单位，综上得出此函数图象的表达式为_____________习题2这个例题要分析透彻，特别是平移量为什么应该加上X 上面，对于有系数的，一定（1）函数的最大值是____，最小值是______，因此A=________（2）函数的一个周期T=___________,因此w =___________（3）函数的图象向_____平移了_________个单位，综上得出此函数图象的表达式为_____________例2：根据所给正弦型函数的图象，求出其表达式。
xyO 12π65π22-（1）请一位同学分析出，这个函数的图象的最值问题：最大值为2，最小值为-2，因此得出A ＝2（2）请同学们分析周期的问题，从12π到56π是34个周期。
因此354612T ππ=-，从而计算出T=π，由2w Tπ=得出2w =。
（3）关于平移量的问题，先要计算五点中的第一个点的坐标，通过周期与第五个点的坐标不难计算出第一个点的坐标为6π-，因此是向左平移了6π个单位，从而得出表达式2sin[2()]6y x π=+，即2sin(2)3y x π=+练习2：请同学们完成试卷上面的习题，根据正弦型函数的图象求其表达式。
习题3：（1）函数的最大值是____，最小值是______，因此A=________（2）函数的一个周期T ＝___________,因此w =___________（3）函数图象五个点中的第一个点的坐标为____________，因此函数的图象向_____平移了__________个单位，综上得出此函数图象的表达式为____________________（2）探究用五点法来求正弦型函数图象的表达式例3：根据所给正弦型函数的图象，求出其表达式。
xy O 12π65π22-从图象容易观察出(,2)12π为五点作图法中的第二个点，5(,0)6π为第五个点，因此由作图时列举时的五点计算公式，容易计算出w ϕ和。
从而得出函数表达式。
练习3：请同学们完成试卷上面的习题，根据正弦型函数的图象求其表达式。
习题4：4、板书设计5、小结：这堂课我们学习了如何利用正弦型函数的图象求其解析式的方法：平移法，五点法。
6、作业设计（1）已知函数13()2sin()543f x xπ=+-,它的最小正周期是（）（A）134π（B）413π（C）813π（D）138π（2）已知函数13()2sin()43f x xπ=+，它的最大值是（）（A）2 （B）-2 （C）134（D）3π一、复习回顾1、正弦型函数解析式：y=Asin(ωx+φ) A：决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数）ω：决定周期（最小正周期T=2π/∣ω∣）φ：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）2、函数图象的平移（左加右减，上加下减）3、五点法作正弦型函数的图象xωx+φ02ππ23ππ2y=Asin(ωx+φ)0 A 0 -A 0二、例题分析…………………………………………………………………………（3）已知函数()2sin()3f x wx π=+的周期是3π，则w ＝（ ） （A ）3π （B ）6 （C ）3 （D ）2 （4）请根据正弦型函数的图象求出解析式（最好用两种方法求解）：（5）已知函数sin()y A wx b ϕ=++ （0,0,A w x R >>∈）在一个周期内的图象如图示，求直线3y =与函数()f x 图象的所有交点的坐标。
（三）课后系统部分——教学后记这堂课在第一个班上时，感觉不太成功，首先，正弦型函数的图象这部分内容知识点较繁琐，并且难度很大，对学生的要求较高，而我们的学情是学生基础差，底子薄，理解、计算能力不强；其次，涉及到作图问题，我们的学生动手能力和积极性都很差。
这两方面都给我教学环节的设计和教学语言的组织带来了困难。
如何提升他们的学习兴趣，科学有效地引导他们，使他们“听得懂，学得会”，是我面临的最大问题，在得到组内老师的大力帮助下，确定了这堂课的主线：先让学生知道正弦型函数的图象广泛存在于我的生活中，明确研究图象写表达式的意义，然后用几何画板演示出三个参数对图象的作用，最终解决问题。
吸取了这个教训之后，在第二个班上取得了比较好的效果。
自我感觉这节课的亮点有以下几个方面： 1、从生活出发的教学让学生感受到学习的快乐，向同学展示了交流电的电压与电流以512πx及沙摆运动图象恰恰是我们的正弦型函数的图象。