最新“超级全能生”全国卷26省联考届高考数学(理)试题(甲卷)及答案
“超级全能生”26省联考高考数学模拟试卷(甲卷)(理科).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2016年“超级全能生”26省联考高考数学模拟试卷（甲卷）（理科）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合B={1}，C={3}，A∪B={1，2}，则（）A．A∩B=∅B．A∩C=∅C．A∪C={1，2，3}D．A∪C={2，3}2．若复数，，则z1z2=（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1+2i D．1﹣2i3．掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数的概率为（）A．B．C．D．4．“xy≠0”是“x≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天它飞出去找回3个伙伴；第2天有4只蜜蜂飞出去各自找回了3个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂．A．972 B．1456 C．4096 D．54606．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图与侧视图完全一样，俯视图的外框为正方形，则这个几何体的表面积是（）A．80﹣2πB．80 C．80+4πD．80+6π7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所示，则20.5⊗log0.5的值为（）A．B．C．D．8．下列函数中在上为减函数的是（）A．y=﹣tanx B．C．y=sin2x+cos2x D．y=2cos2x﹣19．下列函数中满足的是（）A．f（x）=ax+b B．f（x）=xαC．f（x）=log a x（a＞0，a≠1）D．f（x）=x2+ax+b10．双曲线的一条渐近线的斜率为2，过右焦点F作x轴的垂线交双曲线与A，B两点，△OAB（O为坐标原点）的面积为4，则F到一条渐近线的距离为（）A．B．2 C．D．311．半径为R的球O中有两个半径分别为2与2的截面圆，它们所在的平面互相垂直，且两圆的公共弦长为R，则R=（）A．4B．5 C．3D．412．以下关于x（x≥0）的不等式ln（x+1）+kx2﹣x≥0的结论中错误的是（）A．，使不等式恒成立 B．，使不等式恒成立C．，使不等式恒成立D．，使不等式恒成立二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线y2=4x上，则这个等腰直角三角形的面积为．14．若关于x的不等式﹣x2+x＞mx的解集为{x|﹣1＜x＜0}，则二项式（1+mx）2016的展开式中的x系数为．15．等比数列{a n}中，a n＞0，a1=256，S3=448，T n为数列{a n}的前n项乘积，则T n当取得最大值时，n=．16．已知向量，满足2，且，则的取值范围是．三、解答题（本题共5小题，共70分）17．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sinB﹣sinC=2sin（A﹣C）．（1）求cosA；（2）若a=，b+c=5，求△ABC的面积．18．某超市某种面包进货价为每个4元，实际售价为每个4.5元，若当天不能卖完，就在闭店前以每个3元的价格全部处理，据以往统计日需求量（单位：个）的情况如表：日需求量x （0，400]（400，600]（600，800]（800，1000]频率0.2 0.4 0.3 0.1若某日超市面包进货量为600．（1）若以日需求量x所在区间的中间值为估计值，根据上表列出当日利润y的分布列；（2）估计超市当日利润y的均值．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧棱AA1垂直于底面ABC，∠ABC=，AB=BC=AA1=4，D为BC的中点．（1）若E为棱CC1的中点，求证：DE⊥A1C；（2）若E为棱CC1上异于端点的任意一点，设CE与平面ADE所成角为α，求满足sinα=时CE的长．20．已知直线l：y=x+1，圆O：，直线l被圆截得的弦长与椭圆C：的短轴长相等，椭圆的离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（0，）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx+﹣1．（1）求函数的单调性；（2）证明：ln（n+1）!＞2n﹣4（n∈N*）．选修4-1：几何证明题选讲22．如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点．（1）求证：AD∥OC；（2）若⊙O的半径为1，求AD•OC的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知A，B（不与原点O重合）分别在圆C1：（x﹣2）2+y2=4与圆C2：（x﹣1）2+y2=1上，且OA⊥OB．（1）若以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当A的极角为时，求A，B的极坐标；（2）求|OA|•|OB|的最大值．选修4-4：不等式选讲24．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤|a|的解集为空集．（1）求实数a的取值范围；（2）若实数b与实数a取值范围完全相同，求证：|1﹣ab|＞|a﹣b|2016年“超级全能生”26省联考高考数学模拟试卷（甲卷）（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合B={1}，C={3}，A∪B={1，2}，则（）A．A∩B=∅B．A∩C=∅C．A∪C={1，2，3}D．A∪C={2，3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A中的元素，从而求出A∩B即可．【解答】解：集合B={1}，C={3}，A∪B={1，2}，∴A={2}或A={1，2}，∴A∩C=∅，故选：B．2．若复数，，则z1z2=（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1+2i D．1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数=﹣i，，z2=2﹣i，则z1z2=﹣i（2﹣i）=﹣2i﹣1．故选：A．3．掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数包含出现4次正面和出现3次正面一次反面，由此能求出出现正面的次数多于反面的次数的概率．【解答】解：掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数包含出现4次正面和出现3次正面一次反面，∴出现正面的次数多于反面的次数的概率：p==．故选：C．4．“xy≠0”是“x≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“xy≠0”⇔x≠0且y≠0，反之不成立．即可得出．【解答】解：“xy≠0”⇔x≠0且y≠0，反之不成立．∴“xy≠0”是“x≠0”的充分不必要条件．故选：A．5．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天它飞出去找回3个伙伴；第2天有4只蜜蜂飞出去各自找回了3个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂．A．972 B．1456 C．4096 D．5460【考点】数列的求和．【分析】设此数列为{a n}，则a1=4，公比为q=3，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：设此数列为{a n}，由题意可得：a1=4，公比为q=3，∴S6==1456，故选：B．6．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图与侧视图完全一样，俯视图的外框为正方形，则这个几何体的表面积是（）A．80﹣2πB．80 C．80+4πD．80+6π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为长方体中挖去一个圆柱得到的，表面积为长方体表面积加上圆柱的侧面积再减去两个圆的面积．【解答】解：由三视图可知几何体为长方体中挖去一个圆柱得到的，长方体的底面为边长为4的正方形，圆柱的底面半径为1，高为3．∴S=4×3×4+42×2﹣2π×12+2π×1×3=80+4π．故选C．7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所示，则20.5⊗log0.5的值为（）A．B．C．D．【考点】选择结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=函数值，并输出．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=函数值，∵20.5⊗log0.5=⊗2，此时a=＜b=2，∴y==．故选：C．8．下列函数中在上为减函数的是（）A．y=﹣tanx B．C．y=sin2x+cos2x D．y=2cos2x﹣1【考点】复合三角函数的单调性；两角和与差的正弦函数．【分析】由复合函数的单调性逐一核对四个选项得答案．【解答】解：y=﹣tanx在上有两个减区间，分别为（），（）；当时，0，函数y=cos（）为减函数；y=sin2x +cos2x=，当时，，y=sin2x +cos2x=先减后增；y=2cos 2x ﹣1=cos2x ，当时，，y=2cos 2x ﹣1=cos2x 先减后增．∴在上为减函数的是y=cos （）=sin2x ．故选；B ．9．下列函数中满足的是（ ）A ．f （x ）=ax +bB ．f （x ）=x αC ．f （x ）=log a x （a ＞0，a ≠1）D ．f （x ）=x 2+ax +b 【考点】对数函数的单调性与特殊点． 【分析】利用函数的凸凹性即可判断．【解答】解：若满足，则函数为下凸函数， 对于A ：f （x ）=ax +b 属于直线， 对于B ，f （x ）=x α凸凹性不确定，对于C ，函数f （x ）f （x ）=log a x （a ＞0，a ≠1）当a ＞1时，为上凸函数，当0＜a ＜1时为下凸函数，对于D ，函数开口向上，属于下凸函数， 故选：D ．10．双曲线的一条渐近线的斜率为2，过右焦点F 作x 轴的垂线交双曲线与A ，B 两点，△OAB （O 为坐标原点）的面积为4，则F 到一条渐近线的距离为（ ）A ．B ．2C ．D ．3 【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据渐近线的斜率得到b=2a ，求出交点A ，B 的坐标，结合三角形的面积求出a ，b ，c ，利用点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线的斜率为2，则y=x=2x ，即=2，即b=2a ，当x=c 时，﹣=1，即，﹣1===，即y2=，得y=±，即A（c，），B（c，﹣）则，△OAB（O为坐标原点）的面积为4，即S=×c×=4，即cb2=4a，∵b=2a，∴4ca2=4a，则ac=，即a2c2=a2（a2+4a2）=5a4=5，则a=1，b=2，c=则F（c，0）到一条渐近线y﹣2x=0的距离为d====2，故选：B11．半径为R的球O中有两个半径分别为2与2的截面圆，它们所在的平面互相垂直，且两圆的公共弦长为R，则R=（）A．4B．5 C．3D．4【考点】球面距离及相关计算．【分析】可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．【解答】解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是OO1=O2E=，AB=2AE=2=R∴R=4．故选：D．12．以下关于x（x≥0）的不等式ln（x+1）+kx2﹣x≥0的结论中错误的是（）A．，使不等式恒成立 B．，使不等式恒成立C．，使不等式恒成立D．，使不等式恒成立【考点】全称命题．【分析】根据二次函数以及对数函数的性质判断即可．【解答】解：x≥0时，ln（x+1）≥0，若不等式ln（x+1）+kx2﹣x≥0恒成立，只需kx2﹣x≥0恒成立，k=0时，不成立，k≠0时，△=1﹣4k≤0，解得：k≤，故A、C、D正确，B错误．故选：B．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线y2=4x上，则这个等腰直角三角形的面积为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线关于x轴对称，可得等腰三角形的另外两个点关于x轴对称，求得直线y=x和抛物线的交点，即可得到所求面积．【解答】解：由等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线y2=4x上，由抛物线的对称性可得另外两个点关于x轴对称，可设直线y=x，代入抛物线y2=4x，可得x2=4x，解得x=0或x=4，可得等腰直角三角形的另外两个点为（4，4），（4，﹣4），则这个等腰直角三角形的面积为•（）2=16．故答案为：16．14．若关于x的不等式﹣x2+x＞mx的解集为{x|﹣1＜x＜0}，则二项式（1+mx）2016的展开式中的x系数为．【考点】二项式定理．【分析】根据一元二次不等式的解集求得m=2，再利用二项展开式的通项公式求得展开式中的x系数．【解答】解：关于x的不等式﹣x2+x＞mx，即x2+（m﹣1）x＜0，即x（x+m﹣1）＜0，它的解集为{x|﹣1＜x＜0}，∴1﹣m=﹣1，∴m=2，=•（2x）r，则二项式（1+mx）2016=（1+2x）2016的展开式的通项公式为T r+1令r=1，可得x系数为2016•2=4032，故答案为：4032．15．等比数列{a n}中，a n＞0，a1=256，S3=448，T n为数列{a n}的前n项乘积，则T n当取得最大值时，n=．【考点】等比数列的性质．【分析】由已知列式求出等比数列的公比，得到通项公式，由n≤9时，，n＞9时，得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=256，S3=448，得256（1+q+q2）=448，解得：或q=﹣，∵a n＞0，∴q=，则，当n≤9时，，当n＞9时，，∴当n=8或9时，T n取得最大值．故答案为：8或9．16．已知向量，满足2，且，则的取值范围是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先求出，从而由便可得到（m﹣1）2+（n﹣1）2≤2，这样便可设m﹣1=tcosθ，n﹣1=tsinθ，且，从而有，这便可得到0≤m+n≤4，从而，再根据便可得出的取值范围．【解答】解：；由得，m（m﹣2）+n（n﹣2）≤0；∴（m﹣1）2+（n﹣1）2≤2；∴设m﹣1=tcosθ，n﹣1=tsinθ，；∴；；∴0≤m+n≤4；又，；∴；∴的取值范围是[2，4]．故答案为：[2，4]．三、解答题（本题共5小题，共70分）17．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sinB﹣sinC=2sin（A﹣C）．（1）求cosA；（2）若a=，b+c=5，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）2sinB﹣sinC=2sin（A﹣C）得到sinC=2[sin（A+C）﹣sin（A﹣C）]，利用两角和公式化简整理求得cosA=，（2）有（1）知A的度数，再根据余弦定理求出bc=5，再根据三角形的面积公式即可求出答案．【解答】解：（1）2sinB﹣sinC=2sin（A﹣C），∴sinC=2[sin（A+C）﹣sin（A﹣C）]=2（sinAcosC+cosAsinC﹣sinAcosC+cosAsinC）=2cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA=，（2）由（1）知，cosA=，0＜A＜180°，∴A=60°，∵a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc，a=，b+c=5，∴bc=5，=bcsinA=×5×=．∴S△ABC18．某超市某种面包进货价为每个4元，实际售价为每个4.5元，若当天不能卖完，就在闭店前以每个3元的价格全部处理，据以往统计日需求量（单位：个）的情况如表：日需求量x （0，400]（400，600]（600，800]（800，1000]频率0.2 0.4 0.3 0.1若某日超市面包进货量为600．（1）若以日需求量x所在区间的中间值为估计值，根据上表列出当日利润y的分布列；（2）估计超市当日利润y的均值．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）以日需求量x所在区间的中间值为估计值，根据上表列出当日利润y的分布列，由此能求出当日利润y的分布列．（2）由当日利润y的分布列，能估计超市当日利润y的均值．【解答】解：（1）若以日需求量x所在区间的中间值为估计值，根据上表列出当日利润y的分布列为：日需求量x 200 500 700 900概率p 0.2 0.4 0.3 0.1当x=200时，y=200×（4.5﹣4）﹣×1=﹣300，当x=500时，y=500×（4.5﹣4）﹣×1=150，当x=700时，y=600×（4.5﹣4）=300，当x=900时，y=600×（4.5﹣4）=300，∴当日利润y的分布列为：y ﹣300 150 300P 0.2 0.4 0.4（2）由当日利润y的分布列得到估计超市当日利润y的均值为：Ey=﹣300×0.2+150×0.4+300×0.4=120（元）．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧棱AA1垂直于底面ABC，∠ABC=，AB=BC=AA1=4，D为BC的中点．（1）若E为棱CC1的中点，求证：DE⊥A1C；（2）若E为棱CC1上异于端点的任意一点，设CE与平面ADE所成角为α，求满足sinα=时CE的长．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE⊥A1C．（2）求出平面ADE的法向量，由CE与平面ADE所成角α满足sinα=，利用向量法能求出CE．【解答】解：（1）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=BC=AA1=4，D为BC的中点，E为棱CC1的中点，∴D（0，2，0），E（0，4，2），A1（4，0，4），C（0，4，0），=（0，2，2），=（﹣4，4，﹣4），=0+8﹣8=0，∴DE⊥A1C．（2）设E（0，4，t），0≤t≤4，=（0，0，t），A（4，0，0），=（﹣4，2，0），=（﹣4，4，t），设平面ADE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，2，﹣），设CE与平面ADE所成角为α，满足sinα=，∴==，解得t=3或t=﹣3（舍），∴CE=3．20．已知直线l：y=x+1，圆O：，直线l被圆截得的弦长与椭圆C：的短轴长相等，椭圆的离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（0，）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆相交的性质．【分析】（Ⅰ）由题设可知b=1，利用，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）先猜测T的坐标，再进行验证．若直线l的斜率存在，设其方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标运算公式即可证得．【解答】解：（Ⅰ）则由题设可知b=1，又e=，∴=，∴a2=2所以椭圆C的方程是+y2=1．…（Ⅱ）若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1①若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是②…由①②解得．由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）．…事实上点T（0，1）就是所求的点．证明如下：当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为x2+y2=1，过点T（0，1）；当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得（18k2+9）x2﹣12kx﹣16=0设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=∵=（x1，y1﹣1），=（x2，y2﹣1）∴=x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）=（k2+1）x1x2﹣（x1+x2）+=∴，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．…综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．…21．已知函数f（x）=lnx+﹣1．（1）求函数的单调性；（2）证明：ln（n+1）!＞2n﹣4（n∈N*）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求解函数f′（x）=﹣，（x＞0）．利用不等式判断即可．（2）利用（1）中的结论可得lnx＞1﹣，分别取x=2，3，…，n+1，再利用累加法证得ln（n+1）!，利用数学归纳法证明，即可得到ln（n+1）!＞2n﹣4（n∈N*）．【解答】解：（1）∵函数f（x）=lnx+﹣1．∴函数f′（x）=﹣，（x＞0）．由f′（x）=﹣＞0，解得x＞1，由f′（x）=﹣＜0，得0＜x＜1．∴函数的单调递增区间（1，+∞），单调递减区间（0，1）；（2）由（1）知，y=f（x）的最小值为f（1）=0，∴f（x）＞0（x＞0且x≠1），即lnx＞1﹣，∴ln，ln，…，ln，累加得：ln+ln+…+ln＞（1﹣）+（1﹣）+…+（1﹣），即，∴ln（n+1）!，下面利用数学归纳法证明．当n=1时，左边=，右边=2，不等式成立；假设当n=k时不等式成立，即，那么，当n=k+1时，．要证，只需证，也就是证8＜9，此时显然成立．∴，即，综上，．∴ln（n+1）!＞2n﹣4（n∈N*）．选修4-1：几何证明题选讲22．如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点．（1）求证：AD∥OC；（2）若⊙O的半径为1，求AD•OC的值．【考点】圆的切线的性质定理的证明．【分析】（1）要证明AD∥OC，我们要根据直线平行的判定定理，观察已知条件及图形，我们可以连接OD，构造出内错角，只要证明∠1=∠3即可得证．（2）因为⊙O的半径为1，而其它线段长均为给出，故要想求AD•OC的值，我们要将其转化用半径相等或相关的线段积的形式，结合（1）的结论，我们易证明Rt△BAD∽Rt△ODC，根据相似三角形性质，不们不难得到转化的思路．【解答】解：（1）如图，连接BD、OD．∵CB、CD是⊙O的两条切线，∴BD⊥OC，∴∠2+∠3=90°又AB为⊙O直径，∴AD⊥DB，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴AD∥OC；（2）AO=OD，则∠1=∠A=∠3，∴Rt△BAD∽Rt△ODC，AD•OC=AB•OD=2．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知A，B（不与原点O重合）分别在圆C1：（x﹣2）2+y2=4与圆C2：（x﹣1）2+y2=1上，且OA⊥OB．（1）若以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当A的极角为时，求A，B的极坐标；（2）求|OA|•|OB|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）求出圆C1极坐标方程为ρ=4cosθ，当A的极角为时，求出A点极坐标为A（2，），从而得到A点直角坐标为（1，），设B直角坐标为（x，y），由OA⊥OB，由求出B点直角坐标，从而能求出B点极坐标．（2）当过C1作y轴平行线，交圆C1于A，过C2作y轴平行线，交C2于B，A、B位于x 轴两侧，此时|OA|•|OB|取最大值，由此能求出结果．【解答】解：（1）∵A，B（不与原点O重合）分别在圆C1：（x﹣2）2+y2=4与圆C2：（x﹣1）2+y2=1上，圆C1：（x﹣2）2+y2=4即x2+y2﹣4x=0，∴圆C1极坐标方程为ρ=4cosθ，∴当A的极角为时，=2，∴A点极坐标为A（2，）．∵A点极坐标为A（2，），∴A点直角坐标为（1，），设B直角坐标为（x，y），则，解得x=，y=﹣，∴B点直角坐标为（，﹣），∴B点极坐标为B（，）．（2）如图，圆C1：（x﹣2）2+y2=4的圆心C1（2，0），半径r1=2，圆C2：（x﹣1）2+y2=1的圆心C2（1，0），半径r2=1，且OA⊥OB，∴当过C1作y轴平行线，交圆C1于A，过C2作y轴平行线，交C2于B，A、B位于x轴两侧，此时|OA|•|OB|取最大值，|OA|=，|OB|==，∴|OA|•|OB|的最大值为：2=4．选修4-4：不等式选讲24．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤|a|的解集为空集．（1）求实数a的取值范围；（2）若实数b与实数a取值范围完全相同，求证：|1﹣ab|＞|a﹣b|【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义，求得实数a的取值范围．（2）要证的不等式等价于（1﹣a2）（1﹣b2）＞0，由条件得到（1﹣a2）＞0，且（1﹣b2）＞0，不等式得证．【解答】解：（1）由于|x﹣3|+|x﹣4|≤表示数轴上的x对应点到3、4对应点的距离之和，它的最小值为1，由于关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤|a|的解集为空集，故|a|＜1，求得﹣1＜a＜1．（2）若实数b与实数a取值范围完全相同，即﹣1＜b＜1，即|b|＜1，|1﹣ab|＞|a﹣b|，等价于（1﹣ab）2＞（a﹣b）2，等价于1+a2b2﹣a2﹣b2＞0，等价于（1﹣a2）（1﹣b2）＞0．由于（1﹣a2）＞0，且（1﹣b2）＞0，故（1﹣a2）（1﹣b2）＞0成立，即|1﹣ab|＞|a﹣b|成立．2016年10月11日。
“超级全能生”2019高考全国卷26省12月联考甲卷-数学理科答案
高考数学真题2024年高考全国甲卷数学(理)真题 原卷版
2024年高考全国甲卷数学（理）真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设5i z =+，则()i z z +=（）A ．10iB ．2iC ．10D ．2-2．集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B x x A ==∈，则()A A B ⋂=ð（）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,53．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A ．5B ．12C ．2-D ．72-4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（）A ．2-B ．73C ．1D ．25．已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D 26．设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A ．16B ．13C ．12D ．237．函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．8．已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．1C ．2D ．19．已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“1x =-”是“//a b”的充分条件10．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A ．32B C D 12．已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．二、填空题13．1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是．14．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙．15．已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ．16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是．三、解答题17．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？12.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82818．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．19．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．(1)证明：//BM 平面CDE ；(2)求二面角F BM E --的正弦值．20．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．21．已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．(1)当2a =-时，求()f x 的极值；(2)当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.23．实数,a b 满足3a b +≥．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a -+-≥．。
【附加15套高考模拟】“超级全能生”全国卷26省联考2020届高考数学(理)试题(甲卷)含答案
“超级全能生”全国卷26省联考2020届高考数学（理）试题（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺2．已知三棱锥S ABC -各顶点均在球O 上，SB 为球O 的直径，若2AB BC ==，23ABC π∠=，三棱锥S ABC -的体积为4，则球O 的表面积为（ ） A ．120πB ．64πC ．32πD ．16π3．函数()log ()a f x x b =+大致图象如图所示，则函数()x g x a b =-图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()ln xf x x a =-，（0x >，01a <<）的两个零点为1x ，2x ，则（ ） A ．1201x x << B ．121=x x C ．121x x e<< D ．12x x e>5．如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，设其命中10，9，8，7环的概率分别为1P ，2P ，3P ，4P ，则下列选项正确的是（ ）A ．12P P =B ．123P P P +=C ．40.5P = D ．2432P P P +=6．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，以A 为圆心，OA（O 为坐标原点）为半径的圆与双曲线C 在第一象限的交点为P ，若2PF PA ⊥，且122PF PF =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．15+ B ．13+C ．5D ．37．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．220C ．200D ．260 8．若函数图象与函数的图象关于原点对称，则（ ）A ．B ．C ．D ．9．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ） A ．(0,4)B ．(2,23)C ．(22,3)D ．(22,4)10．若81(1)2x ax x ⎫-⎪⎭展开式中含12x 项的系数为21，则实数a 的值为（ ） A ．3 B ．-3 C ．2 D ．-211．将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移ϕ02πϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若方程()()124f x g x -=的根1x ，2x 满足12min 6x x π-=，则ϕ的值是（ ）A ．4πB ．6πC ．3πD ．2π12．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点3)B ，且在5(,)1212ππ上单调，把()f x 的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，当1224,(,)33x x ππ∈且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=( )A ．3B 3C ．1-D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)试卷(全国甲卷)含部分答案
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）试卷（全国甲卷）一、选择题1．若，则( )5i z =+i()z z +=A. B. C.10D.-210i2i2．已知集合，，则( ){1,2,3,4,5,9}A={}B A =()A A B = ðA. B. C. D.{1,4,9}{3,4,9}{1,2,3}{2,3,5}3．若实数x ，y 满足约束条件，则的最小值为( )4330,220,2690,x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩5z x y =-724．记等差数列的前n 项和，若，，则( )n S {}n a 510S S =51a =1a =7115．已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率(0,4)(0,4)-(6,4)-为( )6．设函数在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的()f x =()y f x =(0,1)面积为( )7．函数在区间的大致图像为( )()2e e sin xx y x x -=-+-[ 2.8,2.8]-A. B.C. D.( )=π4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. B.19．已知向量，，则( )(1,)x x =+a (,2)x =b A.是的必要条件 B.是的必要条件3x =-⊥a b 3x =-//a bC.是的充分条件D.是的充分条件0x =⊥a b 1x =-+//a b 10．设，为两个平面，m ，n 为两条直线，且.下述四个命题：αβm αβ= ①若，则或//m n //n α//n β②若，则或m n ⊥n α⊥n β⊥③若且，则//n α//n β//m n④若n 与，所成的角相等，则.αβm n ⊥其中所有真命题的编号是( )A.①③B.②④C.①②③D.①③④11．记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，，则ABC △60B =︒294b ac =( )sin sin A C +=12．已知b 是a ，c 的等差中项，直线与圆交于A ，B 两点，则0ax by c ++=22410x y y ++-=A.1B.2C.4D.二、填空题13．的展开式中，各项系数中的最大值为_________.1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭14．已知圆台甲、乙的上底面半径均为，下底面半径均为，圆台的母线长分别为，1r 2r ()212r r -，则圆台甲与乙的体积之比为_________.()213r r -15．已知_________.a >1log 4a -==16．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.设m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 之差的三、解答题17．某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p =p >+）12.247≈附：2K =（1）求的通项公式；{}n a（2）设，求数列的前n 项和.1(1)n n n b na -=-{}n b n T 19．如图，已知，//AB CD，，，//CD EF 2AB DE EF CF ====4CD =AD BC ==AE =点.（1）证明：平面BCF ；//EM （2）求二面角的正弦值.A EM B --20．已知函数.()(1)ln(1)f x ax x x =-+-（1）若，求的极值；2a =-()f x （2）当时，，求a 的取值范围.0x ≥()0f x ≥21．设椭圆的右焦点为F ，点在C 上，且轴.2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭MF x ⊥（1）求C 的方程；（2）过点的直线交C 于A ，B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q .证(4,0)P 明：轴.AO y ⊥22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.cos 1ρρθ=+（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：（t 为参数），若C 与l 相交于A ，B 两点，且，求a .,x t y t a=⎧⎨=+⎩||2AB =23．[选修4-5：不等式选讲]已知实数a ，b 满足.3a b +≥（1）证明：；2222a b a b +>++-≥b b a226答案1．答案：A解析：因为，所以，故选A.5i z =+i()10i z z +=2．答案：D解析：因为，，所以，{1,2,3,4,5,9}A ={}{1,4,9,16,25,81}B A ==(){2,3,5}A A B = ð故选D.3．答案：D解析：将约束条件两两联立可得3个交点：，和，经检验都符合约束条件.代(0,1)-3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭13,2⎛⎫⎪⎝⎭入目标函数可得：min z =4．答案：B解析：因为，所以，，又因为，所以公差510S S =718S S =80a =51a =d =187a a d =-=5．答案：C 解析：，故选C.12212F F c e a PF PF ===-6．答案：A解析：因为，所以，，563y x '=+3k =31y x =-11123S =⨯⨯=7．答案：B 解析：8．答案：B，故选=1α=πtan 1141tan ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭B.9．答案：C解析：，则，解得：或-3，故选C.⊥a b (1)20x x x ++=0x =10．答案：A 解析：11．答案：C解析：因为，所以B =294ac =24sin sin sin 9A C B ==，即：，22294b a c ac ac =+-=22134a c ac +=22sin sin A C +=222(sin sin )sin sin 2sin sin A C A C A C+=++=sin A +12．答案：C解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以，直线恒过.当20a b c -+=0ax by c ++=(1,2)P -，，故选C.PC ⊥|1PC =||4AB =13．答案：5解析：展开式中系数最大的项一定在下面的5项：、、、、55101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭46101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭37101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭28101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算可得：系数的最大值为.19101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭h h ===15．答案：64，所以，而，221315log log 4log 22a a a -=-=-()()22log 1log 60a a +-=1a >故，.2log 6a =64a =解析：记前三个球的号码分别为a 、b 、c ，则共有种可能.令36A 120=可得：，根据对称性：或6时，2||0.5236a b a b c a b cm n ++++-=≤-=-|2|3a b c +-≤1c =均有2种可能；或5时，均有10种可能；或4时，均有16种可能；故满足条件的共有2c =3c =56种可能，56120P ==17．答案：（1）没有的把握99%（2）有优化提升解析：（1），没有的把握；22150(70242630) 6.635965450100x ⨯-⨯=<⨯⨯⨯99%p >+18．答案：（1）14(3)n n a -=⋅-（2）(21)31n n T n =-+解析：（1）因为，所以，434n n S a =+11434n n S a ++=+两式相减可得：，即：，11433n n n a a a ++=-13n n a a +=-又因为，所以，11434S a =+14a =故数列是首项为4，公比为-3的等比数列，；{}n a 14(3)n n a -=⋅-（2）解法1：，11(1)43n n n n b na n --=-=⋅所以，.()012141323333n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 12334(1323)333n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ 两式相减可得：，()12113241333343(24)3213n n nn n n T n n n -⎛⎫--=++++-⋅=-⋅=-- ⎪-⎝⎭.(21)31n n T n =-+解法2：，所以，11(1)43n n n n b na n --=-=⋅1143n n n T T n --=+⋅两边同时减去可得：，(21)3nn -11(21)3(23)3n n n n T n T n ----=--故为常数列，即：，.{}(21)3n n T n --(21)31n n T n --=(21)31n n T n =-+19．答案：（1）证明见解析解析：（1）由题意：，，//EF CM EF CM =而平面，平面ADO ，CF ÜADO EM Ú所以平面BCF ；//EM（2）取DM 的中点O ，连结OA ，OE ，则，，，，OA DM ⊥OE DM⊥3OA =OE =AE =故.OA OE ⊥以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，(0,0,3)A E (0,1,0)M (0,2,3)B 3)AE =- (EM =，(0,1,3)MB =设平面AEM 的法向量为，(,,)n x y z =由可得：，00n AE n EM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩300z y -=+=⎪⎩令，则，1z =,1)3n =同理：取平面BEM 的法向量为，1)m =-则cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉==,m n 〈〉= 故二面角A EM B --20．答案：（1）极小值为，无极大值(0)0f =（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦解析：（1）当时，，.2a =-()(12)ln(1)f x x x x =++-1x >-时，，当时，，()2ln(1)f x x =+0>()0f x >10x -<<()0f x <所以在上递增，()f x (-)+∞故的极小值为，无极大值；()f x (0)0f =（2），()(1)ln(1)f x ax x x =-+-()ln(1)f x a x =-+-令，则.()()g x f x =21()1(1)a a g x x x +'=--++因为当时，，且，，0x ≥()0f x ≥(0)0f =(0)0f '=所以，(0)120g a '=--≥a ≤当，在上递增，a ≤2211()02(1)2(1)2(1)x g x x x x '≥-=≥+++()g x [0,)+∞，()()(0)0g x f x g =≥=故在上递增，恒成立，即a 的取值范围为.()f x [0,)+∞()(0)0f x f ≥=1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦213y =（2）证明见解析解析：（1）设椭圆C 的左焦点为，.F 23||2MF =因为，MF ⊥1MF =1||4a MF MF =+=解得：，，24a =2213b a =-=；213y =（2）解法1：设，，，()11,A x y ()22,B x y ,AP PB λ=则，即.12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩212144x x y y λλ=+-⎧⎨=-⎩又由可得，()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-结合上式可得.25230x λλ-+=，，，则，故轴.(4,0)P (1,0)F 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭222122335252Q y y y y y x x λλλ===-=--AQ y ⊥解法2：设，，()11,A x y (22,B x y =()1221214y x y y y -=-所以()()2222122112211221x y x y x y x y x y x y -+=-，()()()()22221221212121122144444433y y y y y y y y y y x y x y ⎛⎫⎛⎫=+-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即：，.122121x y x y y y +=+2112253x y y y =-，，，则，故轴.(4,0)P (1,0)F 5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭21212112335252Q y y y y y x y y x ===--AQ y ⊥22．答案：（1）221y x =+（2）34a =解析：（1）因为，所以，cos 1ρρθ=+22(cos 1)ρρθ=+故C 的直角坐标方程为：，即：；222(1)x y x +=+221y x =+（2）将代入可得：，x t y t a=⎧⎨=+⎩221y x =+222(1)10t a ta +-+-=，解得.2||2AB t ===34a =23．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：（1）因为，所以；3a b +≥22222()a b a b a b +≥+>+222222222222()b b a a b b a a b a b +-≥-+-=+-+.22222()()()()(1)6a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥。
2024年高考全国甲卷数学(理)真题(原卷版)
绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷理科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设5i z =+，则()i z z +=（ ）A. 10iB. 2iC. 10D. 2-2. 集合{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B Ç=ð（ ）A. {}1,4,9 B. {}3,4,9 C. {}1,2,3 D. {}2,3,53. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --³ìï--£íï+-£î，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（ ）A. 2- B.73C. 1D. 25. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. 4B. 3C. 2D.6. 设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）的A.16B.13C.12D. 237. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A. B.C. D.8.已知cos cos sin a a a =-πtan 4a æö+=ç÷èø（ ）A. 1+B. 1-C.D. 19. 已知向量()()1,,,2a x x b x =+=r r，则（ ）A. “3x =-”是“a b ^r r”的必要条件 B. “3x =-”是“//a b r r”的必要条件C. “0x =”是“a b ^r r ”充分条件D. “1x =-”是“//a b r r”的充分条件10. 设a b 、是两个平面，m n 、是两条直线，且m a b =I .下列四个命题：①若//m n ，则//n a 或//n b ②若m n ^，则,n n a b^^③若//n a ，且//n b ，则//m n ④若n 与a 和b 所成的角相等，则m n^其中所有真命题的编号是（ ）A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A32B.C.D.12. 已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）的.A. 2B. 3C. 4D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 1013x æö+ç÷èø的展开式中，各项系数的最大值是______．14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______．15. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认12.247»）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ³0.05000100.001k3.841663510.82818. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．19. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求二面角F BM E --的正弦值．20. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点31,2M æöç÷èø在C 上，且MF x ^轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ^轴．..21. 已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．（1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ³时，()0f x ³恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1rr q =+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a=ìí=+î（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.[选修4-5：不等式选讲]23. 实数,a b 满足3a b +³．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-³．。
2024年高考全国甲卷数学(理)真题解析
姓名座位号(在此卷上答题无效)绝密⋆启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1设z =5+i ，则i z +z = A.10i B.2iC.10D.-2A由z =5+i ⇒z =5-i ，z +z =10，则i z +z =10i ．故选：A2集合A =1,2,3,4,5,9 ，B =x x ∈A ，则∁A A ∩B = A.1,4,9 B.3,4,9C.1,2,3D.2,3,5D因为A =1,2,3,4,5,9 ，B =x x ∈A ，所以B =1,4,9,16,25,81 ，则A ∩B =1,4,9 ，∁A A ∩B =2,3,5 故选：D3若实数x ，y 满足约束条件4x -3y -3≥0x -2y -2≤02x +6y -9≤0，则z =x -5y 的最小值为A.5B.12C.-2D.-72D实数x ，y 满足4x -3y -3≥0x -2y -2≤02x +6y -9≤0，作出可行域如图：由z =x -5y 可得y =15x -15z ，即z 的几何意义为y =15x -15z 的截距的-15，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线y =15x -15z 过点A ，联立4x -3y -3=02x +6y -9=0 ，解得x =32y =1 ，即A 32,1 ，则z min =32-5×1=-72．故选：D ．4等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 5=S 10，a 5=1，则a 1=A.-2 B.73C.1D.2B由S 10-S 5=a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=5a 8=0，则a 8=0，则等差数列a n 的公差d =a 8-a 53=-13，故a 1=a 5-4d =1-4×-13 =73．故选：B ．5已知双曲线的两个焦点分别为(0,4)，(0,-4)，点(-6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为A.4 B.3C.2D.2C设F 10,-4 、F 20,4 、P -6,4 ，则F 1F 2 =2c =8，PF 1 =62+4+4 2=10，PF 2 =62+4-4 2=6，则2a =PF 1 -PF 2 =10-6=4，则e =2c 2a =84=2．故选：C ．6设函数f x =e x +2sin x 1+x 2，则曲线y =f x 在0,1 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为A.16B.13C.12D.23A f x =ex+2cos x 1+x 2 -e x +2sin x ⋅2x1+x 22，则f0 =e 0+2cos 0 1+0 -e 0+2sin 0 ×01+02=3，即该切线方程为y -1=3x ，即y =3x +1，令x =0，则y =1，令y =0，则x =-13，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S =12×1×-13 =16．故选：A ．7函数f x =-x 2+e x -e -x sin x 在区间[-2.8,2.8]的大致图像为A. B.C. D.Bf -x =-x 2+e -x -e x sin -x =-x 2+e x -e -x sin x =f x ，又函数定义域为-2.8,2.8 ，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又f 1 =-1+e -1e sin 1>-1+e -1e sin π6=e 2-1-12e >14-12e>0，故可排除D ．故选：B ．8已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4 =A.23+1B.23-1C.32D.1-3B因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B ．9已知向量a=x +1,x ，b =x ,2 ，则A.“x =-3”是“a ⊥b”的必要条件B.“x =-3”是“a ⎳b”的必要条件C.“x =0”是“a ⊥b”的充分条件 D.“x =-1+3”是“a ⎳b”的充分条件C对A ，当a ⊥b 时，则a ⋅b =0，所以x ⋅(x +1)+2x =0，解得x =0或-3，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当x =0时，a =1,0 ，b =0,2 ，故a ⋅b=0，所以a ⊥b ，即充分性成立，故C 正确；对B ，当a ⎳b时，则2(x +1)=x 2，解得x =1±3，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当x =-1+3时，不满足2(x +1)=x 2，所以a ⎳b不成立，即充分性不立，故D 错误．故选：C ．10设α、β是两个平面，m、n是两条直线，且α∩β=m．下列四个命题：①若m⎳n，则n⎳α或n⎳β②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β③若n⎳α，且n⎳β，则m⎳n④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n其中所有真命题的编号是A.①③B.②④C.①②③D.①③④A对①，当n⊂α，因为m⎳n，m⊂β，则n⎳β，当n⊂β，因为m⎳n，m⊂α，则n⎳α，当n既不在α也不在β内，因为m⎳n，m⊂α，m⊂β，则n⎳α且n⎳β，故①正确；对②，若m⊥n，则n与α，β不一定垂直，故②错误；对③，过直线n分别作两平面与α，β分别相交于直线s和直线t，因为n⎳α，过直线n的平面与平面α的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知n⎳s，同理可得n⎳t，则s⎳t，因为s⊄平面β，t⊂平面β，则s⎳平面β，因为s⊂平面α，α∩β=m，则s⎳m，又因为n⎳s，则m⎳n，故③正确；对④，若α∩β=m，n与α和β所成的角相等，如果n⎳α，n⎳β，则m⎳n，故④错误；综上只有①③正确，故选：A．11在△ABC中内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若B=π3，b 2=94ac，则sin A+sin C=A.32B.2 C.72D.32C因为B=π3，b2=94ac，则由正弦定理得sin A sin C=49sin2B=13．由余弦定理可得：b2=a2+c2-ac=94ac，即：a2+c2=134ac，根据正弦定理得sin2A+sin2C=134sin A sin C=1312，所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin A sin C=74，因为A，C为三角形内角，则sin A+sin C>0，则sin A+sin C=72．故选：C．12已知b是a，c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A，B两点，则AB的最小值为A.2B.3C.4D.25C因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b =a +c ，c =2b -a ，代入直线方程ax +by +c =0得ax +by +2b -a =0，即a x -1 +b y +2 =0，令x -1=0y +2=0得x =1y =-2 ，故直线恒过1,-2 ，设P 1,-2 ，圆化为标准方程得：C :x 2+y +2 2=5，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC ⊥AB 时，AB 最小，PC =1，AC =r =5，此时AB =2AP =2AC 2-PC 2=25-1=4．故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届高考全国卷24省9月联考甲卷--数学(理)试卷(附答案)
以
ｃｋ＋１ ｃｋ
＝ｂｂｎｎ＋２
＝
９，所以数列｛ｃｎ｝是公比和首项均为 ９的等比数列，即 Ｈｎ＝９（９ｎ８－１）＝９ｎ８＋１ － ９ ８．
１７．【名师指导】本题考查线面垂直的判定定理和二面角 ．
（Ⅰ）利用勾股定理得到 ＯＡ１⊥ ＯＢ，再利用面面垂直
判定定理即可证明；（Ⅱ）以 Ｏ为坐标原点，ＯＢ，ＯＣ，
有 ７２＋３６＝１０８种购买方式，故选 Ｄ． １０．Ａ 【解析】本题考查存在性问题 ．由题意知 ａｅａ ＝ｍ，
－ｂ２
＋ｋｂ－
２ ｅ
＝ｍ，令
ｆ（ａ）＝ａｅａ，ｇ（ｂ）＝ －ｂ２ ＋
ｋｂ－ ２ｅ，即存在实数 ａ，ｂ，ｍ，使得 ｆ（ａ）＝ｇ（ｂ）＝ｍ，
— 数学（理科）·答 １—
因为 ｆ′（ａ）＝（ａ＋１）ｅａ，所以 ｆ（ａ）在（－∞，－１）上
６．Ｂ 【解析】本题考查函数的奇偶性及函数单调性．由题意
可知 ｆ（ｘ）为奇函数，因为对任意 ｘ１，ｘ２∈［０，＋∞）时， 均有 ｇ（ｘ１ｘ）１－－ｇ ｘ２（ｘ２）＞０，可知函数 ｇ（ｘ）在［０，＋∞）上 单调递增，所以 ｆ（ｘ）在 Ｒ上单调递增，又因为 ｇ（１）＝
２，所以 ｆ（１）＝２，ｆ（－１）＝ －２，由 ｜ｆ（ｍ）｜＞２，可 得
左平移４３π个单位长度，则 ｇ（ｘ）＝－槡３ｃｏｓｘ－槡２３，Ｄ满 足条件；若 ｆ（ｘ）的图象向右平移 ５６π个单 位 长 度，则
( ) ｇ（ｘ）＝槡３ｓｉｎ ｘ－２３π －槡２３，不满足条件；若 ｆ（ｘ）的图
象向左平移５６π个单位长度，则 ｇ（ｘ）＝－槡３ｓｉｎｘ－槡２３，
不满足条件，Ｃ不满足条件，故选 Ｃ．
（Ⅰ）利用图表 １，２即可求解；（Ⅱ）根据条件列出甲的
月收入的可能取值，并计算符合要求的概率 ．
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“超级全能生”2016高考全国卷26省联考（甲卷）
理科数学试卷
一．选择题（本题共12小题，，每小题5分，共60分）
1. 已知集合B ＝{1}，C ＝{3}，A B ＝{1，2}，则（）
A 、A
B =∅ B 、A
C =∅ C 、A C ＝{1，2，3}
D 、A
C ＝{2，3}
2. 若复数3
1z i =，22z i =+，则12z z ＝（）
A 、－1－2i
B 、－1+2i
C 、1+2i
D 、1－2i 3. 掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数的概率为（） A 、
12 B 、25 C 、516 D 、14
4. “0xy ≠”是“0x ≠”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天它飞出去找回3个伙伴；第2天有4只蜜蜂飞出去各自找回了3个伙伴，...，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有 只蜜蜂。
（）
A. 972
B. 1456
C. 4096
D. 5460
6. 如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图与侧视图完全一样，俯视图的外框为正方形，则这个几何体表面积是（）
A. 80－2π
B. 80
C. 80+4π
D. 80+6π 7. 对任意非零实数a,b,若
的运算原理如图所示，则
的值为（）
A.
21
+ B. 2 C.
22 D. 212
- 8. 下列函数中在3(
,)44
ππ
上为减函数的是（）
A. tan y x =-
B.cos(2)2
y x π
=--
C. sin 2cos 2y x x =+
D. 2
2cos 1y x =-
9. 下列函数中满足121212()()
(
)()22
x x f x f x f x x ++<≠的是（） A. ()f x ax b =+ B. ()f x x α
= C. ()log (0,1)a f x x a a =>≠ D. 2
()f x x ax b =++
10. 双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线的斜率为2，过右焦点F 作x 轴的垂线交双曲线与
A,B 两点，△OAB （O 为坐标原点）的面积为45，则F 到一条渐近线的距离为（） A. 3 B. 2 C. 5 D. 3
11. 半径为R 的球O 中有两个半径分别为23与22的截面圆，它们所在的平面互相垂直，且两圆的公共弦长为R ，则R= （） A. 43 B. 5 C. 33 D. 4 12. 以下关于(0)x x ≥的不等式2
ln(1)0x kx x ++-≥的结论中错误的是（） .
A.14k ∃≤
，使不等式恒成立 B. 1
4k ∀≥，使不等式恒成立 C. 12k ∃≤，使不等式恒成立 D. 1
2
k ∀≥，使不等式恒成立
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13、等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线2
4y x =上，则这个等腰直角三角形的面积为
14、若关于x 的不等式2
x x mx -+>的解集为{}|10x x -<<，则二项式2016
(1)
mx +的展开式中的
x 系数为
15、等比数列{}n a 中，130,256,448,n n a a S T >==为数列{}n a 的前n 项乘积，则n T 当取得最大值时，n ＝
16、已知向量(,),(1,1)a m n b ==，满足a b ≥2，且(2)0a a b -≤，则a b 的取值范围是 三、解答题（本题共6小题，共70分）
17、（12分）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2sin sin 2sin()B C A C -=- （1）求cosA ；
（2）若10,5a b c =+=，求△ABC 的面积。
18、（12分）某超市某种面包进货价为每个4元，实际售价为每个4.5元，若当天不能卖完，就在闭店前以每个3元的价格全部处理，据以往统计日需求量（单位:个）的情况如下:
若某日超市面包进货量为600。
（1）若以日需求量x 所在区间的中间值为估计值，根据上表列出当日利润y 的分布列； （2）估计超市当日利润y 的均值。
19.（12分）已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1，侧棱AA 1垂直于底面ABC ，∠2
ABC π
=，AB=BC=AA 1=4，D 为
BC 的中点.
(1)若E 为棱CC 1的中点，求证:DE ⊥A 1C
(2)若E 为棱CC 1上异于端点的任意一点，设C E 与平面ADE 所称角为α， 求满足sin 461
61
α=
时CE 的长
20.（12分）已知直线l ：y=x+1,圆O ：2
2
3
2
x y +=
直线l 被圆截得的弦长与椭圆C ：2222
1(0)x y a b a b +=>>的短轴长相等,椭圆的离心率e ＝22
(1)求椭圆C 的方程； (2)过点M(0，－
1
3
)的直线l 0交椭圆于A,B 两点,试问,在坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论l 0如何旋转,以AB 为直径的圆恒过定点T?若存在,求出T 的坐标;若不存在,请说明理由
21.(12分)已知函数1
()ln 1f x x x
=+-。
(1)求函数的单调性；
(2)证明：ln(x+1)!＞2n －1(*)n n N +∈
22.(10分) 选修4-1: 几何证明题选讲
如图所示，AB 为圆O 的直径，BC ，CD 为圆O 的切线，B 、D 为切点。
(1)求证：AD //OC
(2)若圆的半径为1，求AD ·OC 的值
23.(10分)选修4-4: 坐标系与参数方程
已知A ，B(不与原点O 重合)分别在圆221:(2)4C x y -+=与圆22
2:(1)1C x y -+=上，
且OA ⊥OB.
(1) 若以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当A 的极角为3
π
时，求A, B 的极坐标； (2) 求||||OA OB 的最大值
24. (10分) 选修4-4: 不等式选讲
如果关于x 的不等式|3||4|||x x a -+-≤的解集为空集 (1) 求实数a 的取值范围；
(2) 若实数b 与实数a 取值范围完全相同，求证：|1|||ab a b ->-
理科数学参考答案 1－5：BACAC 6－10：CCBDB 11－12：DB 13、16 14、4032 15、8或9 16、［2,4］ 17、
18、
19、
20、
21、
22、
23、
24、
实验室综合废水50t/d处理项目
设计方案
设计人：陈亮2015年10月10日。