数理统计课程设计(一元线性回归)

二氧化碳吸附量与活性炭孔隙结构的线性回归分析

摘要：本文搜集了不同孔径下不同孔容的活性炭与CO2吸附量的实验数据。分别以同一孔径下的不同孔容作为自变量，CO2吸附量作为因变量，作出散点图。选取分布大致呈直线的一组数据为拟合的样本数据。对样本数据利用最小二乘法进行回归分析，参数确定，并对分析结果进行显著性检验。同时利用matlab的regress函数进行直线拟合。结果表明:孔径在3. 0～3. 5 nm之间的孔容和CO2吸附量之间存在较好的线性关系。

关键字：活性炭孔容CO2吸附量matlab

一、问题分析

1.1.数据的收集和处理

本文主要研究同一孔径的孔容的活性炭和co2吸附量之间的线性关系，有关实验数据是借鉴双全，罗雪岭等人的研究成果[1]。以太西无烟煤为原料、硝酸钾为添加剂,将煤粉、添加剂和煤焦油经过充分混合后挤压成条状,在600℃下炭化15 min,然后用水蒸气分别在920℃和860℃下活化一定时间得到2组活性炭,测定了CO2吸附等温线,探讨了2组不同工艺制备的活性炭的CO2吸附量和孔容的关系.数据如下表所示：

表1：孔分布与CO2吸附值

编号1~12是在不同添加剂量，温度，活化时间处理下的对照组。因为处理方式不同得到不同结果是互不影响的，可以看出CO2的吸附量的值是互相独立的。我们将不同孔径下的孔容分为1~7组。 作出不同孔径下与CO2吸附量的散点图如下：

编号

孔容/(1

1

10L g μ--?)

CO2吸附

量

1/()

mL g -?

0.5~0.8n m 0.8~1.2n m 1.2~1.8n m 1.8~2.2nm 2.2~2.2n m 2.5~3.0nm 3.0~3.5nm 1 7.18 16.2 24.4 75.2 70 96 115 64 2 6.59 14.4 18.4 53.7 50 85.6 91 55.1 3 4.54 11 18.9 71 65 78.3 91 53.7 4 5.13 13.4 29.9 10.3 90 76 122 53.7 5 4.16 10.5 18.9 83.8 78 80.5 113 61.7 6 4.92 12.1 23.4 81.6 72 56 99 53.6 7 5.08 12.6 23.8 93.5 86 77.8 122 65.5 8 5.29 13 25.1 88.4 69 66.4 107 57.7 9 7.47 16.9 26.9 46.4 78 93.2 107 58.2 10 5.44 13 21.4 44.1 91 98.6 137 76.6 11 1.81 64.6 18.3 53.1 114 110 142 75 12

1.24 27.7 39.5 126 114 98.6 183 98.7

2

46

8

孔容

C O 2吸附量

1020

30

4050

60

70

孔容

C O 2吸附量

1520

2530

35

40

孔容

C O 2吸附量

50

100

150

孔容

C O 2吸附量

4060

80100

120

孔容

C O 2吸附量

50

60

70

8090

100

110

孔容

C O 2吸附量

80

100

120

140160

180

200

孔容

C O 2吸附量

图1：不同孔容与CO2吸附量的散点图

图1中从左往右依次是第1到第7组孔容，从图中可以看出第五、六、七组的点大致分散在一条直线附近，说明两个变量之间有一定的线性相关关系。且自

变量的变化导致因变量CO2的浓度变化，因变量变化具有独立性。我们就选取第七组的数据进行回归分析。

二、问题假设

1.假设误差分布服从正态分布。

2.为了简化模型，便于回归分析，我们不考虑实验中各种因素对活性炭吸附的影响，考虑孔容与co2吸附量的数据之间的线性关系。

三、模型建立

3.1.回归参数的引进

回归函数()(|)y f x E Y X x ===是线性函数的回归分析称为线性回归，当可控制变量只有一个时，即回归函数为01()y f x x ββ==+，那么

称为一元线性回归模型，上式称为Y 对x 的一元线性回归方程或者一元线性回归直线，0β、1β称为回归系数，常数0β、1β、2σ均未知。 3.2回归方程的构建

由于总体回归方程01()y f x x ββ==+中的参数0β、1β在实际中并不知

道，需要通过样本值对它们进行估计，得到估计值0?β，1?β，从而得到样本回归方程01??Y x ββ=+，此样本方程可用作总体回归方程()(|)y f x E Y X x ===的估计。

通常可用最小二乘法估计得到公式

由于总体回归方程01()y f x x ββ==+中的参数0β、1β在实际中并不知

道，需要通过样本值对它们进行估计，得到估计值0?β，1?β，从而得到样本回归方程01??Y x ββ=+，此样本方程可用作总体回归方程()(|)y f x E Y X x ===的估计。

通常可用最小二乘法估计得到公式

012(0,)

Y x N ββεεσ=++??

?(1)

2

σ=

101?/??xy xx l l y x

βββ?=??=-??1121

01()()?()??n

i i i n

i i x x y y x x y x

βββ==?

--?

?=??

-??=-??∑∑

其11n i i x x n ==∑，11n

i i y y n ==∑,记

12

112xy i i i l x y x y

==-?∑= ,

12

2

2

1

12xx i i l x x

==-∑

12

22

1

12yy i i l y y ==-∑

1?/xy xx

l l β=

01?y x ββ=-

2?e T R xx xx S S S l l β=-=- 可得

2.3求一定孔容下的CO2的吸附量的回归直线方程

利用matlab 对数据进行计算，结果如下表所示:

实验编号

孔容i x

CO2吸附量

i

y

2i x 2i y

i i x y

1 115 64 13225 4096 7360

2 91 55.1 8281 3036.01 5014.1

3 91 53.7 8281 2883.69 4886.7

4 122 53.7 14884 2883.69 6551.4

5 113 61.7 12769 3806.89 6972.1

6 99 53.6 9801 2872.96 5306.4

7 122 65.5 14884 4290.25 7991

8 107 57.7 1144

9 3329.29 6173.9 9 107 58.2 11449 3387.24 6227.4 10 137 76.6 18769 5867.56 10494.2 11

142

75

20164

5625

10650

(2) (3)

12

183 98.7 33489 9741.69 18062.1 ∑

1429

773.5

177445

51820.27

95689.3

表2：孔容与C02吸附度的回归计算

讲结果代入上上述公式可得下列计算表：

表3：回归参数的计算表

由此可得线性回归方程为：

0.49 5.88y x =+

四、回归方程的显著性检验

对回归方程是否有意义做判断就是对如下的检验问题做出判断：

01:0

H β=

vs 11:0

H β≠

拒绝域0H 表示回归方程是显著的。利用F 检验对参数进行检验。经计算有

i x ∑=1429.00

n=12

i y ∑=773.50

x =119.08

y =64.46

2i

x

∑=177445.00

i i x y ∑=95689.30

2i

y

∑=51820.27

2nx =2129340.00

n x y ??=1148271.60

2ny =621843.24 xx l =7274.92 xy l =3578.34

yy l =1961.75

e S =201.66

2σ=63.77

1/xy xx l l β==0.49

01

?y x ββ=-=5.88

（

4） （5）