时用树状图或表格求概率
两个因素所组合的所 有可能情况,即n
说明：如果第一个因素 包含2种情况；第二个 因素包含3种情况；那 么所有情况n=2×3=6.
拓展练习
.如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1，2，3,那么从每组
牌中各摸出一张牌.
请用列表或树状图列举出所出现的结果 （1）求摸出两张牌的数字之和为4的概率为多少？
（2）摸出为两张牌的数字相等的概率为多少？
小明获胜的概率（正、正）P= 1
小颖获胜的概率（反、反）P= 4 1 小凡获胜的概率（正、反）（反、4 正）P=
1. 2
因此，这个游戏对三人是不公平的。
上面的问题，还可以通过列表分析出所有 等可能的结果：
第二枚硬币
第一枚硬币
正 反
正
（正、正） （反、正）
反
（正、反） （反、反）
通过列表，我们同样可以得出结论：游戏不公平。
1. 一只不透明的袋子中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色 外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后放回 袋中并搅匀，再从中任意摸出一个球.
(1)两次都摸出红球的概率是多少？ (2)两次摸到不同颜色的球的概率是多少？
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
对世界上的一切学问与知识的掌握也并非
果，掷第二枚硬币时出现“正面朝上”和“反面朝上”的概
率都是相同的。
我们也可以通过画图列出所有可能 出现的结果：
第一枚硬币
第二枚硬币
所有可能出现的结果
正 开始
反
正
(正、正)
反
(正、反)
正
(反、正)
反
(反、反)
上图像一颗像横倒的树，我们就把他叫做树状图。
从树状图中我们可以看出：
总共有4中结果,每种结果出现的可能性相同
新课推进
议一议：
（1）掷第一枚会出现哪些结果？概率相同吗 （2）掷第二枚出现哪些结果？概率相同吗 （3）当第一枚正面朝上时，第二枚会有哪些结果？概率相同吗？当 第一枚反面朝上呢，第二枚会有哪些结果？
由于硬币质地均匀，因此掷第一枚硬币时出现“正面朝上”和
“反面朝上”的概率相同；无论掷第一枚硬币出现怎样的结
上衣 裤子
黑色
白色
红色
黑红 白红
白色
黑白 白白
所以小颖拿出一件上衣和一条裤子，恰好是白 色上衣和白色裤子的概率是1/4.
课堂小结
利用树状图或表格，我们可以不重复、不遗漏地列出所 有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生Байду номын сангаас 概率。
列表格总结
列表法中表格构造特点: 一个因素所包含的可能情况
另一个 因素所 包含的 可能情 况
难事，只要持之以恒地学习，努力掌握规
律，达到熟悉的境地，就能融会贯通，运
用自如了。
—— 高士其
课堂演练
1、小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有两条裤 子，分别为黑色和白色，她随机拿出一件上衣和 一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概 率是多少？先用树状图或列表列出所有的结果， 再计算概率
解法1：画树状图 上衣
开始
红色 白色
裤子
黑色 白色 黑色 白色
组合
红黑 红白 白黑 白白
解法2：列表法
第三章 概率的进一步认识
1 用树状图或表格求概率
第1课时 用树状图或表格求概率（1）
北师大版 九年级上册
新课导入
我们在日常生活中经常会做一些游戏，游戏规 则制定是否公平，对游戏者来说非常重要，其实这 是一个游戏双方获胜概率大小的问题.
回顾概率计算方法： 摸球游戏概率： 抛1枚硬币游戏概率：
概率计算公式：一个试验共有n种等可能结果，发生事件Ａ有m种结果 P（A）=发生A事件的结果数/发生事件的总数=M/N
抛掷的结果 频数 频率
两枚正面朝上
两枚反面朝上
一枚正面朝上，一枚反面朝上
通过大量重复试验我们发现，在一般情况下，“一枚正面 朝上、一枚反面朝上”发生的概率大于其他两个事件发 生的概率，所以这个游戏不公平，它对小凡比较有利。
随机事件“同时”与“先后”的关系： “两个相同的随机事件同时发生”与 “一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的.
情景活动
小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票， 三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影，游戏规则 如下：
连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上， 则小明 获胜；若两枚反面向上，小颖获胜；若一枚正面朝上、 一枚反面朝上，则小凡获胜。
你认为这个游戏公平吗？
每两人一小组，连续掷两枚硬币：每组做10次试验 收集试验数据：掷试验总次数
九年级数学上册 第三章 概率的进一步认识 31 用树状图或表格求概率 第1课时 用树状图或表格求概率
第三章概率的进一步认识1用树状图或表格求概率第1课时用树状图或表格求概率的图示，我们改进之后可以形成如下形式：(利用多媒体出示以下内容)处理方式：学生结合自主探究题目，独自思考2分钟左右后在小组内进行讨论交流；然后利用幻灯片对第(1)(2)题找1～2个学生进行回答，第(3)题在学生回答后提出“你能否尝试用图形表示它们的结果？”在学生思考讨论后，根据巡查中学生出现的情况，找3～4个学生在黑板上展示其讨论结果．对学生在黑板上展示的讨论结果中出现的问题，进行针对性的修改，并利用多媒体展示规X地利用“树状图”或“列表法”列举所有可能出现的结果．活动三：开放训练体现应用【应用举例】我们已经能够利用“树状图”或“列表法”来列举一个事件发生可能出现的所有结果，你能利用所学知识帮助小颖解决这个问题吗？请同学们仔细审题，完整地写下你的答案．(多媒体出示学以致用题目)例如图3－1－4，小颖有两件上衣，分别是红色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是多少？本环节的设计既让学生练习了用“树状图”或“列表法”求概率的方法，同时又规X了用“树状图”或“列表法”求概率的解题步骤.处理方式：找2个学生在黑板上进行展示，其他学生在练习本上处理，然后针对学生出现的问题进行纠正，在解题过程中，要特别强调列表或树状图后文字语言的描述，从而使解题过程更加规X．【拓展提升】例(回归开始的问题类型，加以巩固提升本节课知识)一个盒子中装有一个红球、一个白球．这些球除颜色外都学生一般相同，从中随机地摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机都会用树状图或摸出一个球．求：表格求出某些事(1)两次都摸到红球的概率；件发生的概率，也(2)两次摸到不同颜色球的概率；能体会到这种方(3)只有一X电影票，通过做这样一个游戏，谁获胜谁就去法的简便性，但是看电影．如果是你，你如何选择？容易忽略各种情处理方式：如果学生没想到这些方法，教师可以以呈现表况出现的可能性格或者提问的方式等引出这些不同的求法，从而引出列表法．用是相同的这个条树状图或表格可以方便地求出某些事件发生的概率．在借助于件.树状图或表格求某些事件发生的概率时，必须保证各种情况出现的可能性是相同的．（续表）【当堂训练】学以致用，当堂。
3.1用树状图或表格求概率+第1课时+课件-2024-2025学年北师大版数学九年级上册
课 [本课时认知逻辑]
堂
小
结 与 检
实际 试验 问题 操作
频率估 计概率
理论 分析
等可能事件
测
解决
计算 概率
应用
画树状 图法
列表法
课 [检测]
堂
小 1.一个布袋内装有1个红球和1个黄球,这些球除颜色不同外
结 与 检 测
其余都相同,随机摸出一个球记下颜色后放回搅匀,再随机
1
摸出一个球,则两次摸出的球都是黄球的概率是 4第二枚硬币可能出现哪些结果?它们发生的可能性是
与 否一样?
应
用 解:掷第二枚硬币可能出现正面朝上或反面朝上两种结果,它们
发生的可能性一样.
探 究
(3)在第一枚硬币正面朝上的情况下,第二枚硬币可能出现哪
与 些结果?它们发生的可能性是否一样?如果第一枚硬币反面
应
用 朝上呢?
件发生的概率.
探 知 方法 究 频率估计概率的普遍性
与
应 当遇到较复杂的事件无法求得试验的理论概率时,我们可以 用 借用试验频率的稳定值估计事件发生的概率.
探
应用 用树状图或表格求某些事件发生的概率
究 与
例 现有甲、乙两个不透明的袋子,甲袋子里装有1个红球,1
应 个黄球;乙袋子里装有1个红球,1个白球,这些球除颜色外其
测 其中,甲、乙两人选择的检票通道恰好相同的结果有3种,
∴P(甲、乙两人选择的检票通道相同)=39 = 13.
谢 谢 观 看！
应
用 上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个事件发生的概率
相同吗?先分组进行试验,然后累计各组的试验数据,分别计
算这三个事件发生的频数与频率,并由此估计这三个事件发
利用画树状图和列表计算概率课件
解：
大刚
小亮
抽到A组
抽到B 组
抽到C 组
BC
抽到C组
CA CB CC
P(
同组）=
3 9
=1
3
答：他们恰好分到一组的概率是
1 3·
利用树状图或表格可以清楚地表示出某个事件 产生的所有可能出现的结果，从而较方便地求出某 些事件产生的概率.
除上述方法外，还可以用什么方法解决这个问题？
列表
大刚 小亮
走A
走B
走A
AA
AB
走B
BA
BB
所有等可能的4种结果，即AA、AB、BA、BB，其中二人 相
遇的结果有2种.
想一想： 用树状图和列表法来计算概率，有什么优点？
用树状图和列表法来能帮助我们将所有可能的 结果，直观的列出来做到既不重复也不遗漏.
例1. A，B两个盒子里各装入分别写有数字0，1的两 张卡片，分别从每个盒子中随机取出1张卡片，两张 卡片上的数字之积为0的概率是多少？
解：画树状图
从树状图可以看出，两张卡片 上的数字之积共有4个等可能 结果，从中可找出“两数之积 为0”这一事件的结果有3个.
方法二：列表
B
A
0
1
0
0
0
1
0
1
由上表可知，两张卡片上的数字之积共有4种等可能的结 果，积为0的结果有3种.
次数
54
100
46
(1)根据表格提供的信息分别求出事件A、B、C产生的频率；
（2）你能求出事件A、B、C产生的理论概率吗？ （3）比较同一事件的频率与概率是否一致？
通过这节课的学习，你将知道答案.
如图,甲、乙两村之间有两条A，而两条道路，小亮从甲村 去往乙村，大刚从乙村去往甲村，二人同时出发.如果每人 从A，B两条道路中随机选择一条，而且他们都不知道对方 的选择，那么二人途中相遇的概率是多少？
用树状图或表格求概率
条件概率计算
定义：在事件B发生的情况下，事件A发生的概率 公式：P(A|B) = P(AB) / P(B) 应用场景：在多个条件相互关联的情况下，计算某一事件发生的概率 注意事项：条件概率需要考虑各事件之间的关联性，避免独立性假设的错误
独立事件概率计算
定义：两个或多 个事件同时发生 的概率等于各事 件概率的乘积
概率定义
概率是描述随机 事件发生可能性 大小的数值
概率取值范围在0 到1之间
概率等于随机事 件发生次数与总 次数之比
概率越接近1，随 机事件发生的可 能性越大
概率计算公式
概率定义公式：P(A)=事件A发生的次数/所有可能事件的总数 条件概率公式：P(A|B)=P(A∩B)/P(B) 贝叶斯公式：P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B) 概率的加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
公式： P(A∪B∪C)=P( A)×P(B)×P(C)
应用场景：多个 独立因素共同影 响一个结果的情 况
注意事项：事件 之间必须相互独 立，否则计算结 果不准确
Part Three
表格计算概率
表格构建
确定事件和概率 列出所有可能的结果 计算每个结果的概率 构建表格并记录结果
事件概率计算
定义：表格计算概率是一种通过列出所有可能事件及其对应的概率来计算概率的方法。
概率值范围
概率值应在0到1 之间，包括0但不 包括1
概率值表示某一 事件发生的可能 性大小
概率值总和应为1， 即所有可能事件 的概率之和为1
概率值可以为小 数、分数或百分 数
概率的独立性
定义：两个事件之间没有相互影响，一个事件的发生与另一个事件的发生无关。
3.1第1课时用树状图或表格求概率(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与概率相关的实际问题，如掷骰子、抛硬币等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如抛硬币实验，让学生亲身体验概率的形成过程。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“概率在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.1第1课时用树状图或表格求概率（教案）
一、教学内容
本节课选自七年级《数学》下册第3章“概率初步”中的3.1节，教学内容主要包括以下两点：
1.理解树状图和表格在求解概率问题中的应用，掌握使用树状图或表格列举所有可能结果的方法；
2.通过树状图或表格，求解简单事件的概率，培养学生分析问题、解决问题的能力。
解决方法：设计具有实际背景的例题和习题，引导学生发现并提取概率信息，培养学生解决实际问题的能力。
（4）正确理解和运用概率公式。学生在计算概率时，可能会忘记或混淆概率公式，导致计算错误。
解决方法：在讲解和练习过程中，反复强调概率公式，让学生熟记并掌握其用法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《用树状图或表格求概率》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算可能性大小的情况？”比如，抛硬币正面朝上的概率是多少？这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索概率的奥秘。
3.1.3 用树状图或表格求概率
例题解析，应用新知
解：先将两个红球分别记作“红1”“红2”， 两个白球分 别记作 “白1”“白2”，然后列表如下：
第一次 第二次 红1 红2 白1 红1 （红1，红1） 红2 （红1，红2） 白1 （红1，白1） 白2 （红1，白2） 蓝
（红1，蓝）
（红2，红1）
（白1，红1）
（红2，红2）
（白1，红2）
zxxk
2
B盘 A盘 红色1 红色2 蓝色
红色 （红1，红） （红2，红） （蓝，红）
蓝色 （红1，蓝） （红2，蓝） （蓝，蓝）
探究学习，获取新么？
利用树状图或列表的方法求概率时， 各种结果出现的可能性必须相同，若可 能性不同，就必须想法进行处理，务必 使各种结果出现的可能性相同.
B盘 A盘 红色 白色
黄色
蓝色
绿色
（红，黄） （红，蓝） （红，绿）
．
（白，黄） （白，蓝） （白，绿）
总共有6种结果，而能够配成紫色的结果有1种，
1 所以,P（游戏者获胜）= . 6
探究学习，获取新知
活动内容1： 想一想
游戏2：如果把转盘变成如下图所示的转盘进 行“配紫色”游戏.
(1)利用树状图或列表的方法表示游戏者所有 可能出现的结果. (2)游戏者获胜的概率是多少?
创设情境，导入新课
解法一：借助树状图 解：所有可能出现的结果如下：
zxxk
黄 (红，黄)
红
开始
绿 （红，绿） 蓝 (红，蓝)
黄 （白，黄） 白
绿 （白，绿） 蓝 (白，蓝) 总共有6种结果，而能够配成紫色的结果有1种，
1 所以，P（游戏者获胜）= . 6
解法二: 借助表格 解：所有可能出现的结果如下：
用树状图或表格求概率
用树状图求概率：当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从三个口袋中取球）时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图。
用表格求概率：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可以通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率。
当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用表格求概率。
例1、一个袋中有除颜色外其余特征均相同的4个珠子，其中2个白色，2个黑色，若从这个袋中任意取2个珠子，则其颜色不同的概率是______.例2、小刚很擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，小刚左右为难，最后决定通过掷硬币来确定，游戏规则如下：连续抛掷硬币三次，如果三次正面朝上或三次反面朝上，则由小刚任意挑选两球队；如果两次正面朝上一次正面朝下，则小刚加入足球阵营；如果两次反面朝上一次反面朝下，则小刚加入篮球阵营．（1）用画树形图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果；（2）小刚任意挑选两球队的概率有多大？（3）这个游戏规则对两个球队是否公平？为什么？例3、有四个除颜色外完全相同的小球，它们分别是黑色、蓝色、白色、红色，现从中任意抽取一个小球后，不放回，再随机抽取一个，则两次抽取的小球恰好一个是黑色、一个是红色的概率是________.例4、有四个除颜色外完全相同的小球，它们分别是黑色、蓝色、白色、红色，现从中任意抽取一个小球后，放回摇匀，再随机抽取一个，则两次抽取的小球恰好一个是黑色、一个是红色的概率是________.例5、大双，小双的妈妈申购到一张北京奥运会的门票，兄弟俩决定分别用标有数字且除数字以外没有其它任何区别的小球，各自设计一种游戏确定谁去．大双：A袋中放着分别标有数字1，2，3的三个小球，B袋中放着分别标有数字4，5的两个小球，且都已各自搅匀，小双蒙上眼睛从两个口袋中各取出1个小球，若两个小球上的数字之积为偶数，则大双得到门票；若积为奇数，则小双得到门票．小双：口袋中放着分别标有数字1，2，3的三个小球，且已搅匀，大双，小双各蒙上眼睛有放回地摸1次，大双摸到偶数就记2分，摸到奇数记0分；小双摸到奇数就记1分，摸到偶数记0分，积分多的就得到门票．（若积分相同，则重复第二次．）（1）大双设计的游戏方案对双方是否公平？请你运用列表或树状图说明理由；（2）小双设计的游戏方案对双方是否公平？不必说理．1、在4张卡片上分别写有1-4的整数，随机抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是_______.2、箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是_______.3、一不透明纸箱中装有形状，大小，质地等完全相同的4个小球，分别标有数字1，2，3，4.(1)从纸箱中随机地一次取出两个小球，求这两个小球上所标的数字一个是奇数另一个是偶数的概率;(2)先从纸箱中随机地取出一个小球，用小球上所标的数字作为十位上的数字;将取出的小球放回后，再随机地取出一个小球，用小球上所标的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好能被3整除的概率是多少?试用树状图或列表法加以说明.4、完全相同的4个小球，上面分别标有数字1、-1、2、-2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀）．把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作m、n，以m、n分别作为一个点的横坐标与纵坐标，求点（m，n）不在第二象限的概率。
数学用树状图或表格求概率
表格法是一种更为直观和简洁的方法，通过列出所有可能的结果和对应的概率，可以快速 地找到特定事件的概率。表格法的优点在于方便查找和计算，但需要注意的是，当事件的 可能性较多时，需要保证列表的完整性和准确性。
应用场景
树状图和表格法在各种概率计算场景中都有广泛的应用。例如，在统计学、决策分析、游 戏策略等领域中，都可以利用这两种方法来求解概率。通过学习和掌握这两种方法，可以 更好地理解和应用概率论的基本原理。
概率思维的培养
未来在教育和培训中，应该更加注重培养人们的概率思维。通过加强概率论的教育和培训，可以帮助人 们更好地理解和应用概率论的基本原理和方法，提高决策的科学性和准确性。
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02 树状图求概率
树状图的概念
树状图是一种图形化表示方法，用于 描述事件之间的因果关系或顺序关系 。在概率论中，树状图常用于表示多 个事件之间的概率关系。
树状图由节点和边组成，节点表示事 件，边表示事件之间的关系。
树状图的应用场景
排列组合问题
树状图可以用于解决排列和组合 问题，例如在组合数学中，通过 树状图可以直观地表示出不同组
实例二：抽签游戏
总结词
通过树状图或表格列出所有可能的结果，并计算每个结果的概率。
详细描述
抽签游戏也是一个常见的概率计算实例。假设有n个签，每个签被抽中的概率是 1/n。我们可以使用树状图或表格列出所有可能的结果（抽中或未抽中），并计 算每个结果的概率。
实例三：天气预报
总结词
通过树状图或表格列出所有可能的结果，并计算每个结果的概率。
合方式的数量。
概率计算
树状图可以用于计算多个事件同时 发生的概率，通过将每个事件的概 率相乘，可以得到最终的概率值。
北师大版 初三数学 九年级上册 3.1 用树状图或表格求概率
用树状图或表格求概率学习用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率．重点：用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率． 难点：正确地用列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率．⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎩必然事件事件确定事件不可能事件概率随机事件列表法概率计算树状图法用频率估计概率一、用树状图求概率当一次试验要涉及3个或更多的因素时，为了不重复不漏掉地列出所有可能的结果，通常采用树状图．重点注意：画树状图时，每个“分支”的意义不同，但它们具有相同的等可能性，因此不能忽略任何一种情况，更不能遗漏任何一种情况(不重不漏)． 二、用表格求概率在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可以通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，当一次试验要涉及两个因素（例如摇两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为了不重复不漏掉地列出所有可能的结果，通常采用表格求概率．重点注意：用表格求概率的适用范围是： （1）某次试验仅涉及两个因素； （2）可能出现的结果数目较多． 用树状图与表格求概率的联系与区别 联系：用树状图或表格求概率的共同前提是： (1)各种情况出现的可能性是相等的； (2)某事件发生的概率公式均为P(A)=各种种情况出现的次某事件发事件发生；(3)在列出并计算各种情况出现的总次数和某事件发生的次数时不能重复也不能遗漏． 区别：当随机事件包含两步时，尤其是转盘游戏问题，当其中一个盘被等分成2份以上时，选用表格比较方便，当然此时也可用树状图；当随机事件包含三步或三步以上时，用树状图方便，此时难以列表．注意：在用表格求随机事件发生的概率时，要注意列表时数据或事件的顺序不能相互混淆，如(1，2)与(2，1)不是相同的事件，尽管在有些情况下它们的意义或结果是相同的．如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1，2，3．那么从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为几的概率最大？两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少呢？小明的做法：总共有9种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌的牌面数字和等于4的情况出现得最多，共3次，因此牌面数字和等于4的概率最大，概率为93，即31．小亮的做法：也用了列表的方法，可我得到牌面数字和等于4的概率为31．（2，3）考点1 用树状图求概率【例1】 甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A 和B ；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C 、D 和E ；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H 和I ．从3个口袋中各随机地取出1个小球．（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？【变式1】经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率： （1）三辆车全部继续直行 （2）两辆车右转，一辆车左转 （3）至少有两辆车左转在用树形图树形图与具【变式2】 某校八年级将举行班级乒乓球对抗赛，每个班必须选派出一对男女混合双打选手参赛，八年级一班准备在小娟、小敏、小华三名女选手和小明、小强两名男选手中，选男、女选手各一名组成一对参赛组合，一共能够组成哪几对？如果小敏和小强的组合是最强组合，那么采用随机抽签的办法，恰好选出小敏和小强参赛的概率是多少？练1．一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1，2，3，4.随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上的数字之积为偶数的概率是( )A.14B.12C.34D.56练2．某中学为迎接建党九十八周年，举行了以“童心向党，从我做起”为主题的演讲比赛．经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．那么九年级同学获得前两名的概率是( )A.12B.13C.14D.16练3．同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是( ) A.38B.58C.23D.12练4．有两部不同的电影A ，B ，甲、乙、丙3人分别从中任意选择一部观看． (1)求甲选择A 部电影的概率；(2)求甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率(请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果)．考点2 用表格求概率【例2】同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： (1) 两个骰子的点数相同； (2) 两个骰子的点数的和是9； (3) 至少有一个骰子的点数为2．【变式1】某联欢会上，组织者为活跃气氛设计了以下转盘游戏：A 、B 两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A 上的数字分别是1，6，8，转盘B 上是4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．选择2名同学分别转动A 、B 两个转盘，停止后指针所指数字较大的一方为获胜者，另一方需表演节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）．作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由．【变式2】在6张卡片上分别写有1~6的整数,随机的抽取一张后放回,再随机的抽取一张,那么,第一次取出的数字能够整除第2次取出的数字的概率是多少?4 游戏转盘B游戏转盘A A练1．某校决定从两名男生和一名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的同学恰为一男一女的概率是( )A.13B.23C.49D.59练2．小亮、小莹、大刚三名同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是( )A.12B.13C.23D.16练3．今年某市为创评“全国文明城市”，周末团市委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部(小悦、小惠、小艳和小倩)中通过抽签的方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部的姓名分别写在四张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．(1)该班男生“小刚被抽中”是________事件，“小悦被抽中”是________事件(填“不可能”或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为________．(2)请用列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率．考点3. 频率估计概率类型【例3】在一个不透明的袋子里装有3个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外其余都相同．在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计袋中白球个数，采用如下办法：从中随机摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，记下颜色……不断重复上述过程，小明共摸球1000次，其中200次摸到黑球．根据上述数据，小明估计袋子中白球有________个．【变式1】为了估计湖里有多少条鱼，先从湖里捕捞100条鱼做上标记，然后放回湖里去，经过一段时间，带有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕捞125条，发现其中2条有标记，那么由此可估计湖里大约有___________条鱼【变式2】在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ） A 、15个B 、20个C 、30个D 、35个练1.在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球.每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是 .练2.一只不透明的袋中装有4个小球，分别标有数字2，3，4，x，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和．记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表：0.34 0.330.33 解答下列问题：(1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；(2)根据(1)，若x是不等于2，3，4的自然数，试求x的值．练3.一个口袋中装有10个红球和若干个黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程20次，得到红球数与10的比值的平均数为0.4．根据上述数据，估计口袋中大约有 ( )个黄球．考点4. 几何频率【例4】小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是________．练1.如图，一只蚂蚁在正方形ABCD区域内爬行，点O是对角线的交点，∠MON=90°，OM，ON分别交线段AB，BC于M，N两点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为．练2.如图，A 、B 是数轴上的两个点，在线段AB 上任取一点C ，则点C 到表示－1的点的距离不大于2的概率是（ ）A ．21B．32 C ．43 D ．54练3．为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积，画一个边长为2 m 的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域内的频率稳定在常数0.25附近，请你估计不规则区域的面积.【当堂检测】1.甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A 和B ；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C 、D 和E ；从两个口袋中各随机地取出1个小球．用列表法写出所有可能的结果．2.如果还有丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H 和I ．从甲、乙、丙三个口袋中各随机地取出1个小球．你能写出所有可能的结果吗？第4题图3.两道单项选择题都含有A、B、C、D四个选项，若某学生不知道正确答案就瞎猜，则这两道题恰好全部被猜对的概率是__________．4.小明的奶奶家到学校有3条路可走，学校到小明的外婆家也有3条路可走，若小明要从奶奶家经学校到外婆家，不同的走法共有________种．5.在一个盒子中有质地均匀的3个小球，其中两个小球都涂着红色，另一个小球涂着黑色，则计算以下事件的概率选用哪种方法更方便？1)从盒子中取出一个小球，小球是红球；2)从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，取出两球的颜色相同；3)从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，连取了三次，三个小球的颜色都相同．6. 在一个不透明的布袋里装有4个标号分别为1，2，3，4的小球，它们的材质、形状、大小等完全相同，小凯从布袋里随机取出1个小球，记下数字为x，小敏从剩下的3个小球中随机取出1个小球，记下数字为y，这样就确定了点P的坐标(x，y)．(1)请你用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；(2)求点P(x，y)在函数y＝－x＋5图象上的概率．【演练方阵】一、填空题：1.从1、2、3、4、5这五个数字中，先随意抽取一个，然后从剩下的四个数中再抽取一个，则两次抽到的数字之和为偶数的概率是 ；2.有五条线段，其长度分别为1、3、5、7、9，从中任取三条，以这三条线段为边能够成一个三角形的概率是 ；3.现有10个型号相同的杯子，其中一等品7个，二等品2个，三等品1个，从中任取两个杯子都是一等品的概率是 . 二、选择题：1、同时掷两颗均匀的骰子，下列说法中正确的是（ ）.（1）“两颗的点数都是3”的概率比“两颗的点数都是6”的概率大； （2）“两颗的点数相同”的概率是16 ；（3）“两颗的点数都是1”的概率最大；（4）“两颗的点数之和为奇数”与“两颗的点数之和为偶数”的概率相同. A. (1)、(2) B. (3)、(4) C. (1)、(3) D. (2)、(4) 2、 如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字-1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转）正数的概率为（ ）A ．18B ．16C ．14D ．123.从长为3，5，7，10是（ ）A ．14B ．12C ．34D ．1三、解答题：1、有两组卡片，第一组卡片共3张，分别写着2、2、3；第二组卡片共5张，分别写着1、2、2、3、3 试用列表的方法求从每组中各抽取一张卡片，两张都是2的概率.2、有两个质量均匀、大小相同的正四面体，其中一个的四个面上分别写着数字1、2、3、4，另一个的四个面上分别写着数字5、6、7、8. 将这两个正四面体同时投掷到桌面上，并以它们底面上的数字之和来计分，问：（1）共能组成多少种不同的计分？（2）底面上的数字之和为素数的概率是多少？（3）底面上的数字之和为偶数的概率是多少？3. 在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字6，-2，7的小球，他们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字．（1）用列表法或树状图法中的一种方法，写出所有可能出现的结果；（2）求两次取出的小球上的数字相同的概率P．4. 在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；（2）分别求出李燕和刘凯获胜的概率．甲乙。
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（3）两张牌的牌面数字之和为4的概率最大，其概率为 1； 3
（4）2 . 3
经过某路口旳行人，可能直行，也可能左拐或右
拐。假设这三种可能性相同，既有两人经过该路 口，求下列事件旳概率：
（1）两人都左拐； （2）恰好有一人直行，另一人左拐； （3）至少有一人直行。
（1）1；（2）2；（3）5 .
9
小结： 学完本课后你有哪些收获？
作业： 习题3.2 1、2、3、4、5、6题。
练习
有三张大小一样而画面不同旳画片，先将每一张
从中间剪开部分都放在第一种盒子中，把下半部分都
放在第二个盒子中.分别摇匀后，从每个盒子中
各随机地摸出一张，求这两张恰好能拼成原来旳
一幅画旳概率
31 93
准备两组相同旳牌，每组三张且大小一样，三张 牌旳牌面数字分别是1,2,3.从每组牌中各摸出一张 牌。 （1）两张牌旳牌面数字之和等于1旳概率是多少？ （2）两张牌旳牌面数字之和等于2旳概率是多少？ （1）两张牌旳牌面数字之和为几旳概率最大？ （1）两张牌旳牌面数字之和不小于3旳概率是多 （少1）0？；（2）1 ；
第三章 概率旳进一步认识
3.1 用树状图或表格求概率（二）
上节课，你学会了用什么措施求某个事件发生旳 概率
例1 小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游 戏，游戏规则如下： 由小明和小颖做“石头、剪刀、布”旳游戏，假 如两人旳手势相同，那么小凡获胜；假如两人手 势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布 胜石头”旳规则决定小明和小颖中旳获胜者.
小明旳棋子目前第一格，距离“汽车”所在旳位 置还有7格，而骰子最大旳点数为6，掷一次骰子 不可能得到数字7，所以小明不可能一次就得到
“汽车”；只要小明和小红两人掷骰子旳点数和 为7，小红就能够得到“汽车”，所以小红下一次 掷有可能得到“汽车”；