考研数学三必背知识点：概率论与数理统计
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考研数学三必背知识点：概率论与数理统计
概率论与数理统计必考知识点
一、随机事件和概率
1、 随机事件及其概率
运算律名称 表达式
交换律
A B B A +=+ BA AB = 结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()(
分配律
AC AB C B A ±=±)( ))(()(C A B A BC A ++=+ 德摩根律
B A B A =+ B A AB +=
2、概率的定义及其计算
公式名称 公式表达式
求逆公式
)(1)(A P A P -= 加法公式
)()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 条件概率公式 )
()
()(A P AB P A B P =
乘法公式 )
()()(A B P A P AB P =
)
()()(B A P B P AB P =
全概率公式
∑==
n
i i
i
A B P A P B P 1
)()()(
3..连续型随机变量
分布名称 密度函数
分布函数
均匀分布),(b a U ⎪⎩
⎪⎨
⎧<<-=其他
,0,1)(b x a a b x f
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b
x a a b a x a x x F ,1,,0)( 指数分布)(λE ⎪⎩⎪⎨
⎧>=-其他,
00
,)(x e x f x λλ
⎩⎨⎧≥-<=-0
,10,
0)(x e x x F x
λ
正态分布
)
,(2σμN
+∞
<<∞-=
--
x e
x f x 2
22)(21)(σμσ
π
⎰∞
---
=
x
t t
e
x F d
21
)(222)(σμσπ 标准正态分布)1,0(N
+∞
<<∞-=
-
x e
x x 2
221)(π
ϕ
⎰∞
---
=
x
t t
e
x F d
21)(222)(σμσπ
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量边缘分布
∑∑======⋅
j j ij
j
i
i
i p y Y x X P x X P p ),()(
∑∑======⋅i i
ij
j
i
j
j
p y Y x X P y Y P p ),()( 2、离散型二维随机变量条件分布
Λ
2,1,)
()
,()(======
===⋅i P p y Y P y Y x X P y Y x X P p j
ij j j i j i j i Λ
2,1,)
()
,()(==
====
===⋅
j P p x X P y Y x X P x X y Y P p i ij i j i i j i j
3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数
⎰⎰
∞-∞
-=
x y
dvdu
v u f y x F ),(),(
4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：⎰⎰
∞-+∞
∞
-=
x X
dvdu
v u f x F
),()( 密度函数：⎰
+∞
∞
-=
dv
v x f x f
X
),()(
⎰⎰
∞-+∞
∞
-=
y Y dudv
v u f y F ),()(
⎰
+∞
∞
-=
du
y u f y f Y ),()(
5、二维随机变量的条件分布
+∞<<-∞=
y x f y x f x y f X X Y ,)
()
,()(
+∞<<-∞=
x y f y x f y x f Y Y X ,)
()
,()(
四、随机变量的数字特征
1、数学期望
离散型随机变量：∑+∞
==1)(k k
k p x
X E 连续型随机变量：⎰
+∞
∞
-=dx
x xf X E )()(
2、数学期望的性质
(1)为常数C ,)(C C E = )()]([X E X E E = )()(X CE CX E =
(2))()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( )()()(1
1
1
1
n
n
n
n
X E C X E C X C X C E ΛΛ+=+ (3)若XY 相互独立则：)()()(Y E X E XY E = (4))()()]([2
2
2
Y E X E XY E ≤
3、方差：)()()(2
2
X E X E X D -= 4、方差的性质
(1)0)(=C D 0)]([=X D D )()(2X D a b aX D =± 2
)()(C X E X D -<
(2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则：0),(=Y X Cov
6、相关系数：)
()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY
=
=ρρ
若XY 相互独立则：0
=XY
ρ
即
XY 不相关
7、协方差和相关系数的性质 (1))(),(X D X X Cov = ),(),(X Y Cov Y X Cov =
(2)),(),(),(2
1
2
1
Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ ),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++
8、常见数学分布的期望和方差