第八章单因素方差分析ppt课件
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概率论与数理统计_单因素试验方差分析ppt课件
r i1
Ti2 ni
T2 n
r
SSE
i1
ni
T 2 X ij n j1
r2 i
i1 i
ni
其中 T i X ij , j1 同一程度 下观测值 之和
r
T Ti i1
所以观测 值之和
例2 P195 2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重〔单位：500g〕于下表，试作方差分析。
1 1 4 9 7 1 1 4 0 6 .8 3
S S T S S A S S E 1 1 4 9 7 1 0 4 7 2 . 1 1 1 0 2 4 . 8 9
MSA934.732467.36 MSE 90.17615.03
* * FMSA467.3631.10 MSE 15.03
F 0 .0 1 2 ,6 1 0 .9 2F 0 .0 5 2 ,6 5 .1 4
列方差分析表
方差来源 平方和 自在度 均方和 F 值
F 值临介值
组间
934.73 2
467.36
F0.052,65.14
31.10**
F0.012,610.92
组内 90.17 6
15.03
总和 1024.89 8
不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。
例2的上机实现步骤
1、输入原始数据列，并存到A，B，C列；
n
i
2 i
0
i1
所以，
ErSSA1
EnSSEr
即H0不成立时，S S A r 1 有大于1的趋势。 SSE n r
所以H0为真时的小概率事件应取在F值较大的一侧。
实验目的——实验结果。
可控要素——在影响实验结果的众多要素中，可人为 控制的要素。
单因素方差分析
2.0
0.7
1.5
0.9
0.9
0.8
1.1
-0.3
-0.2
0.7
1.3
1.4
概率论与数理统计
3
❖ 前言 方差分析的思想
➢ 我们可以计算出各组的均值与方差，但是如何通过这些数据 结果来判断呢？这就需要进行方差分析.
➢ 在实际问题中, 影响一个数值型随机变量的因素一般会有很多, 例如影响农作物产量的因素就有种子品种，肥料、雨水等; 影 响化工产品的产出率的因素可能有原料成分、剂量、催化剂 、反应温度、机器设备和操作水平等；影响儿童识记效果的 因素有教学材料、教学方法等. 为了找出影响结果(效果)最显 著的因素, 并指出它们在什么状态下对结果最有利, 就要先做 试验, 方差分析就是对试验数据进行统计分析, 鉴别各个因素 对对我们要考察的指标（试验指标）影响程度的方法．
概率论与数理统计
7
❖ 1.单因素试验的方差 概念
➢ 推断三种治疗方案是否存在差异的问题，就是要辨别治 疗方案的差异主要是由随机误差造成的，还是由不同方 案造成的，这一问题可归结为三个总体是否有相同分布 的讨论．根据实际问题的情况，可认为血红蛋白的增加 值服从正态分布，且在安排试验时，除所关心的因素（ 这里指的是这里方案）外，其它试验条件总是尽可能做 到一致，这就使我们可以近似的认为每个总体的方差相 同，即xi～N(μi，σ2) i = 1，2，3．
概率论与数理统计
❖2. 单因素方差分析的数学模型
➢ 单因素方差分析问题的一般提法为： ➢ 因素A有m个水平A1, A2, …, Am, 在Ai水平下, 总体Xi～N(μi,
σ2), i = 1, 2, …, m．其中μi和σ2均未知, 但方差相等, 希望 对不同水平下总体的均值进行比较． 设xij表示第i个总体的第j个观测值(j = 1, 2, …, ni, i = 1, 2, …, m), 由于Xij～N(μi, σ2), i = 1, 2, …, m．单因素方差分 析模型常可表示为：
One-WayANOVA单因素方差分析ppt课件
i 1j 1 i 1j 1 i 1j 1
a n
2
xxxx xx xx 0
i1 j1 i j i i i1 i j1 i j i
an
a
n
xx nxx xx
单因素方差分析的数据形式
X因素的a个不同水平（处理）
每 个 处 理 下 n 个 重 复
1 x x , x x , i 1 , 2 , , a i i j i i n j 1 a n 1 x x x x i j, a n i 1 j 1
平方和 的分割 自由度 的分割
= S S T 总平方和
SSA
dfA
a 1
+
处理平方和
SSe
误差平方和
df
T an 1
总自由度
=
处理自由度
+
a n a
dfe
误差自由度
M S S Sd /f A A A
处理均方
M S S Sd /f e e e
误差均方
固定效应模型
单因素固定效应模型的方差分析表
减少计算误差 利于编程
x 2 C na
C称为校正项。误差平方和 SSe ＝ SST－SSA
例 调查5个不同小麦品系株高，结果见下表：
品 I II III 系 IV V
1
2 3 4
64.6
65.3 64.8 66.0
64.5
65.3 64.6 63.7
方差分析原理
①因素的a个水平是人为特意选择的。 ②方差分析所得结论只适用于所选定的a个水平。
a n
2
xxxx xx xx 0
i1 j1 i j i i i1 i j1 i j i
an
a
n
xx nxx xx
单因素方差分析的数据形式
X因素的a个不同水平（处理）
每 个 处 理 下 n 个 重 复
1 x x , x x , i 1 , 2 , , a i i j i i n j 1 a n 1 x x x x i j, a n i 1 j 1
平方和 的分割 自由度 的分割
= S S T 总平方和
SSA
dfA
a 1
+
处理平方和
SSe
误差平方和
df
T an 1
总自由度
=
处理自由度
+
a n a
dfe
误差自由度
M S S Sd /f A A A
处理均方
M S S Sd /f e e e
误差均方
固定效应模型
单因素固定效应模型的方差分析表
减少计算误差 利于编程
x 2 C na
C称为校正项。误差平方和 SSe ＝ SST－SSA
例 调查5个不同小麦品系株高，结果见下表：
品 I II III 系 IV V
1
2 3 4
64.6
65.3 64.8 66.0
64.5
65.3 64.6 63.7
方差分析原理
①因素的a个水平是人为特意选择的。 ②方差分析所得结论只适用于所选定的a个水平。
单因素方差分析课件
将原始数据减去1000，列表给出计算过程 表8.1.2 例2的计算表
水平
数据（原始数据-1000）
m
Ti
2
Ti
yi2j
j 1
A1 73 9 60 1 2 12 9 28 194 37636 10024
A2 107 92 -10 109 90 74 122 1 585 342225 60355
A3 93 29 80 21 22 32 29 48 354 125316 20984 1133 505177 91363
单因素试验的方差分析的数学模型
首先，我们作如下假设：
1. Xi ~ N i , 2 , i 1, 2,...a 具有方差齐性。
2. X1, X 2 ,...X a 相互独立，从而各子样也相互独立。
由于同一水平下重复试验的个体差异是随机误差， 所以设：
Xij i ij , j 1, 2,..., r, i 1, 2,..., a. 线性统计模型
j 1
xi
41 33 38 37 31 39 37 35 39 34 40 35 35 38 34
120 105 108 114 99
40 35 36 38 33
53
xij 546
i1 j 1
53
xij 15 36.4
i1 j 1
纵向个体间的差异称为随机误差（组内差异），由试验造 成；横向个体间的差异称为系统误差（组间差异），由因素的 不同水平造成。
集装箱类 型
最大抗压强度
平均抗压强 度
1
655.5 788.3 734.3 721.6 679.4 699.4 713.08
2
789.2 772.5 786.9 686.1 732.1 774.8 756.93
生物统计-8第八章单因素方差分析
01
确定因子和水平
确定要分析的因子（独立变量） 和因子水平（因子的不同类别或 条件）。
建立模型
02
03
模型假设
根据因子和水平，建立方差分析 模型。模型通常包括组间差异和 组内误差两部分。
确保满足方差分析的假设条件， 包括独立性、正态性和同方差性。
方差分析的统计检验
01
F检验
进行F检验，以评估组间差异是否 显著。F检验的结果将决定是否拒
生物统计-8第八章单因素方差分析
目录
• 引言 • 方差分析的原理 • 单因素方差分析的步骤 • 单因素方差分析的应用 • 单因素方差分析的局限性 • 单因素方差分析的软件实现
01
引言
目的和背景
目的
单因素方差分析是用来比较一个分类变量与一个连续变量的关系的统计分析方法。通过此分析，我们可以确定分 类变量对连续变量的影响是否显著。
VS
多元性
单因素方差分析适用于单一因素引起的变 异，如果存在多个因素引起的变异，单因 素方差分析可能无法准确反映实际情况。 此时需要考虑使用其他统计方法，如多元 方差分析或协方差分析等。
06
单因素方差分析的软件 实现
使用Excel进行单因素方差分析
打开Excel，输入数据。
点击“确定”，即可得到单因素方差分析 的结果。
输出结果，并进行解释和 解读。
谢谢观看
背景
在生物学、医学、农业等领域，经常需要研究一个分类变量对一个或多个连续变量的影响。例如，研究不同品种 的玉米对产量的影响，或者不同治疗方式对疾病治愈率的影响。
方差分析的定义
定义
方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或更多组数据的平均值 是否存在显著差异。在单因素方差分析中，我们只有一个分类变量。
单因素方差分析-PPT课件
单因素方差分析的假设检验的步骤：
（1）提出统计假设 H 0 ： μ 1μ2 μs
H1： μ1， μ2， ， μs 不全相等.
（2）编制单因素试验数据表
s nj
（3）根据数据表计算 T ，
x
2 ij
，
ST,SA,SE
j1 i1
（4）填制单因素方差分析表
单因素方差分析表
一、基本概念
我们将要考察的对象的某种特征称为指标， 影响指标的各种因素称为因子，一般将因子控 制在几个不同的状态上，每一个状态称为因子 的一个水平.
若一项试验中只有一个因子在改变，而其 它的因子保持不变，称这样的试验为单因素试 验.多于一个因子在改变的的试验为多因素试验. 这里，我们只讨论单因素试验.
否则接受H0 ，认为因子A对指标没有显著影响.
例1. 在显著性水平α=0.01下，用单因素方差分析法判断
实例1中，三个工厂所生产的电池的平均寿命有无显著 差异？
解：提出统计假设
H0： μ1μ2μ3
H1： μ1， μ2， μ3 不全相等.
编制单因素试验数据表
部分 总体
A1
A2 A3
37
样 47 本 40 值 60
6444
S A
s j1
1 nj
T2j
n1T2
1 12 81 442 91 826 27 192 49
4
6
3
13
4284
SESTSA644 44 28 24 160
单因素方差分析表
方差来源 平方和 自由度
因子A 4284 2
随机误差 2160 10 总和 6444 12
ST σ2
~
单因素方差分析(详细版) ppt课件
异常值的处理方法分为2种： (1) 保留异常值： 1）采用非参数Kruskal-Wallis H检验； 2）用非最极端的值来代替极端异常值（如用第二大的值代替）； 3）因变量转换成其他形式； 4）将异常值纳入分析，并坚信其对结果不会产生实质影响。 (2) 剔除异常值： 直接删除异常值很简单，但却是没有办法的办法。当我们需要删掉异常值时，应报告异常值大小及其对结果的影响，最好分别报告删除异常值前后的 结果。而且，应该考虑有异常值的个体是否符合研究的纳入标准。如pp果t课其件不属于合格的研究对象，应将其剔除，否则会影响结果的推论。 12
本例数据箱线图无圆点或星号，因此无异常值。
假如数据中存在异常值和极端异常值，其箱线图 如右：
箱线图是一种比较简单和流行的异常值检验方法， 当然同样存在一些更为复杂的方法，这里不过多 介绍。
ppt课件
11
如何处理数据中存在的异常值
导致数据中存在异常值的原因有3种： (1) 数据录入错误：首先应该考虑异常值是否由于数据录入错误所致。如果是，用正确值进行替换并重新进行检验； (2) 测量误差：如果不是由于数据录入错误，接下来考虑是否因为测量误差导致（如仪器故障或超过量程）； (3) 真实的异常值：如果以上两种原因都不是，那最有可能是一种真实的异常数据。这种异常值不好处理，但也没有理由将其当作无效值看 待。目前它的处理方法比较有争议，尚没有一种特别推荐的方法。 需要注意的是，如果存在多个异常值，应先把最极端的异常值去掉后，重新检查异常值情况。这是因为有时最极端异常值去掉后，其他异 常值可能会回归正常。
(6) 点击ppOt课K件，输出结果。
9
根据如下输出的箱线图，判断每个组别内是否存在异常值。
ppt课件
10
SPSS中将距离箱子边缘超过1.5倍箱身长度的数 据点定义为异常值，以圆点表示；
本例数据箱线图无圆点或星号，因此无异常值。
假如数据中存在异常值和极端异常值，其箱线图 如右：
箱线图是一种比较简单和流行的异常值检验方法， 当然同样存在一些更为复杂的方法，这里不过多 介绍。
ppt课件
11
如何处理数据中存在的异常值
导致数据中存在异常值的原因有3种： (1) 数据录入错误：首先应该考虑异常值是否由于数据录入错误所致。如果是，用正确值进行替换并重新进行检验； (2) 测量误差：如果不是由于数据录入错误，接下来考虑是否因为测量误差导致（如仪器故障或超过量程）； (3) 真实的异常值：如果以上两种原因都不是，那最有可能是一种真实的异常数据。这种异常值不好处理，但也没有理由将其当作无效值看 待。目前它的处理方法比较有争议，尚没有一种特别推荐的方法。 需要注意的是，如果存在多个异常值，应先把最极端的异常值去掉后，重新检查异常值情况。这是因为有时最极端异常值去掉后，其他异 常值可能会回归正常。
(6) 点击ppOt课K件，输出结果。
9
根据如下输出的箱线图，判断每个组别内是否存在异常值。
ppt课件
10
SPSS中将距离箱子边缘超过1.5倍箱身长度的数 据点定义为异常值，以圆点表示；
单因素方差分析 PPT课件
解：
ssA
5 i1
1 m
10 l1
2 xil
1 510
5 i1
10 l1
2 xil
22.865
fA 51 4
ssE
5 i1
10 l1
x
2 il
1 510
5 i1
10 xil 2 l1
53.055
fE 510 5 45
s 2A
ssA fA
22.865 4
5.71
1 m
m L1
xiL
2
fE km k
m
有km个数据，但存在 k个约束条件，即有 k个 xiL xi 0 L1
3.总离差平方和ssT、自由度fT
• 它反映了全部数据的波动程度。
k m
2
ssT
xiL x
i1 L1
k m
2 km
2
xiL xi
xi x
i1 L1
试验次数
1
2
34
水平
A1
38
36
35 31
A2
20
24
26 30
A3
21
22
31 34
样本 X1 X2
试验数据 X11，X12，..X1L…X1m X21,X22,…X2L,…X2m
.
Xi
Xi1,Xi2,…XiL…Xim
.
.Xk
Xk1,Xk2,…XkL,…Xkm
样本平均值
x1
x2
xi
xk
m
xiL
L1
因素A第i个水平平均值为
xi
1 m
m
xiL
L1
1.因素A离差平方和 ssA、自由度fA
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MSA=777.08 MSB=1575.25 MSe=61.36 MSAB=202.14
第五节 变换 自学(P140-141)
＞ F F2,57,0.01
Duncan 检验
第三节 方差分析应具备的条件
方差分析应满足三个条件
可加性 正态性
xij i ij
方差齐性：各处理的误差方差应具备齐性，它们有一个公 共的总体方差σ2 。
以上三个条件中，方差齐性对分析结果影响最大。 因此在做方差分析之前应先做多个方差齐性的检验。只有
第八章 方差分析
(analysis of variance, ANOVA)
第一节 方差分析的基本原理
例 某医生为研究一种降糖新药的疗效，以统一的纳入标准和排 除标准选择了60名2型糖尿病患者，按完全随机设计方案将患者 分为三组进行双盲临床试验。问治疗四周后，餐后2小时血糖下 降指的三组总体平均水平是否不同
在具备方差齐性条件下才可做方差分析，否则方差分析的 结果并不可信。
多个方差齐性检验（自学）
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第四节 两因素试验方差分析
设试验考察A、B两个因素，A因素分a个水平，B因素
分b个水平，两者交叉搭配形成ab个水平组合即处理， 每一组合重复n次，则共有abn个数值。这种试验设计 称为交叉分组设计（cross over design） 对于两因素交叉分组设计的实验应采用两因素方差分 析(two-factors analysis of variance)或者称为两种方式 分组的方差分析(two-way classification analysis of variance)方法分析实验结果。
在多因素试验中， 一个因素的作用要受到另一个因 素的影响，表现为某一因素在另一因素的不同水平上所产 生的效应不同，这种现象称为该两因素存在交互作用。
SST=7170.00 SSA=1554.17 SSB=3150.5 SSe=1656.76 SSAB=808.57
dfT=36-1=35 dfA=3-1=2 dfB=3-1=2 dfe=35-2-2-4=27 dfAB=(3-1)*(3-1)=4
在两因素实验中，当两个因素都是固定因素时， 称为固定模型(fixed model)；
两个因素均为随机因素时称为随机模型(random model)；
两个因素中一个是固定因素，另一是随机因素时 称为混合模型(mixed model)。
模型类型
由于因素水平的改变而引起的平均数的改变量称为主效应。
表 2 型糖尿病患者治疗4周后餐后2小时血糖的下降值(mmol/L)
SST=1086.829 SSA=176.957 SSe=SST-SSA=909.871 dfT=N-1=60-1=59 dfA=a-1=3-1=2 dfe=dfT-dfA=59-2=57 MSA=SSA/dfA=176.957/2=88.47855 MSe=SSe/dfe=909.871/57=15.96266 F=MSA/MSe=88.47855/15.96266=5.543 F2,57,0.05=3.167 F2,57,0.01=5.018