初一数学竞赛训练题(不定方程)
数学初中竞赛 方程和不等式 专题训练(含答案)
数学初中竞赛方程与不等式专题训练一．选择题1．方程x2+2xy+3y2＝34的整数解（x，y）的组数为（）A．3 B．4 C．5 D．62．已知两块边长都为a厘米的大正方形，两块边长都为b厘米的小正方形和五块长、宽分别是a厘米、b厘米的小长方形（a＞b），按如图的方式正好不重叠地拼成一个大长方形，若已知拼成的大长方形周长为78厘米，四个正方形的面积和为242平方厘米，则每个小长方形的面积为（）A．11平方厘米B．12平方厘米C．24平方厘米D．48平方厘米3．球赛入场券有10元、15元、20元三种票价，老师用480元买了40张入场券，其中票价为10元的比票价为20元的多的张数是（）A．12 B．16 C．20 D．244．由方程组消去y后化简得到的方程是（）A．2x2﹣2x﹣6＝0 B．2x2+2x+5＝0 C．2x2+5＝0 D．2x2﹣2x+5＝0 5．某班将举行“庆祝建党95周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，如图是小明买回奖品时与班长的对话情境：请根据如图对话信息，计算乙种笔记本买了（）A．25本B．20本C．15本D．10本6．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．例如3306用算筹表示就是，则2022用算筹可表示为（）A．B．C．D．7．如图是某汽车公司销售点的环形分布图．公司在年初分配给A、B、C、D四个销售点某种汽车各50辆．在销售前发现需将A、B、C、D四个销售点的这批汽车分别调整为40、45、54、61辆，但调整只能在相邻销售点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动辆次n为（一辆汽车从一个销售点调整到相邻销售点为一次）（）A．15 B．16 C．17 D．188．已知在代数式a+bx+cx2中，a、b、c都是整数，当x＝3时，该式的值是2008；当x＝7时，该式的值是2009，这样的代数式有（）A．0个B．1个C．10个D．无穷多个9．对于任意的有理数a，方程2x2+（a+1）x﹣（3a2﹣4a+b）＝0的根总是有理数，则b的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．010．已知关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1＝0（a＜b）的两根为p、q（p＜q，且pq＞0），则一定有（）A．a＜p＜q＜b B．＞C．＜＜＜D．＜＜＜11．为了预防甲流，某班级准备300元钱，计划购入一批体温计．已知有两种体温计可供选购，其中水银体温计3元/支，电子体温计10元/支，由于水银体温计容易破裂且水银具有毒性，所以希望尽可能多地购买电子体温计．如果该班级共53名同学，且要求每位同学有一支体温计，则最多可购买电子体温计（）支．A．20 B．21 C．30 D．3312．初二（1）班有48名同学，其中有男同学n名，将他们编成1号、2号、…，n号．在寒假期间，1号给3名同学打过电话，2号给4名同学打过电话，3号给5名同学打过电话，…，n号同学给一半同学打过电话，由此可知该班女同学的人数是（）A．22 B．24 C．25 D．26二．填空题13．已知p，q都是正整数，方程7x2﹣px+2009q＝0的两个根都是质数，则p+q＝．14．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为．15．初三某班共有60名同学，学号依次为1号，2号，…，60号，现分成A，B，C三个小组，每组人数若干，若将B组的小俊（27号）调整到A组，将C组的小芸（43号）调整到B组，此时A，C两组同学学号的平均数都将比调整前增加0.5，B组同学学号的平均数将比调整前增加0.8，同时B组中的小营（37号）计算发现，她的学号数高于调整前B 组同学学号的平均数，却低于调整后的平均数．请问调整前A组共有名同学．16．“十一”国庆期间，某一商品搞清仓促销活动，从10月2日起每天比前一天降价50元，每一天的销售量比前一天增加50件，若“十一”期间7天这种商品的销售共收入308700元，则10月4日这一天收入元．17．某小区打算购买100盆花装饰花园，20人分三组刚好搬完（假设每人都需要搬），每组人的搬花量如下表，请问第一组可能有人．组别第一组第二组第三组每人搬花盆数 5 4 1018．在车站开始检票时，有a（a＞0）名旅客在候车室等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放个检票口．19．某中学有九百多名师生外出参加社会实践活动，准备租某种客车若干辆．如果每辆车刚好坐满（即每个人都刚好有一个座位），就会余下14个人；如果多准备一辆车，那么每辆车刚好都空1个座位，则这种客车每辆的乘客座位有个．20．甲、乙两商店某种铅笔标价都是1元，一天，让学生小王欲购这种铅笔，发现甲、乙两商店都让利优惠：甲店实行每买5枝送1枝（不足5枝不送）；乙店实行买4枝或4枝以上打8.5折，小王买了13枝这种铅笔，最少需要花元．三．解答题21．解方程组：22．已知关于x的一元二次方程x2+2（k+1）x+k2+2＝0有两个实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若|x1|﹣|x2|＝2，求k的值．23．将一个三位数分成4个数，使得第一个数乘以2，第二个数除以2，第三个数减1，第四个数加2，得到的结果相等，若该三位数比这四个数中最大的数的2倍大59，求这三位数．24．a、b、c为正整数，关于x的方程ax2+bx+c＝0的两实根的绝对值都小于，求a+b+c 的最小值．25．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．例如，ab＝1求证：＝1证明：原式＝＝＝1波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．阅读材料二：基本不等式（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+有最小值，最小值是多少？解：∵x＞0，＞0∴，即x，∴当且仅当x＝，即x＝1时，x+有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题：（1）已知ab＝1，求下列各式的值：＝；②＝．（2）若abc＝1，解方程＝1（3）若正数a、b满足ab＝1，求M＝的最小值．参考答案一．选择题1．解：方程变形得：（x+y）2+2y2＝34，∵34与2y2是偶数，∴x+y必须是偶数，设x+y＝2t，则原方程变为：（2t）2+2y2＝34，∴2t2+y2＝17，它的整数解为，则当y＝3，t＝2时，x＝1；当y＝3，t＝﹣2时，x＝﹣7；当y＝﹣3，t＝2时，x＝7；当y＝﹣3，t＝﹣2时，x＝﹣1．∴原方程的整数解为：（1，3），（﹣7，3），（7，﹣3），（﹣1，﹣3）共4组．故选：B．2．解：依题意，得：，整理，得：，（①2﹣②）÷2，得：ab＝24．故选：C．3．解：分别设三种票买了x、y、z张．则根据题意，得，由②，得：y＝40﹣x﹣z，③将③代入①，得：x﹣z＝24．故选：D．4．解：，由①，得x＝y+1③，将③代入②，得（x﹣1）2+x2+4＝0，化简，得2x2﹣2x+5＝0，故选：D．5．解：设甲种笔记本买了x本，甲种笔记本的单价是y元，则乙种笔记本买了（40﹣x）本，乙种笔记本的单价是（y+3）元，根据题意，得：，解得：，答：甲种笔记本买了25本，乙种笔记本买了15本．故选：C．6．解：∵各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，∴2022用算筹可表示为故选：C．7．解：根据题意可得：互不相邻两点B、D，B处至少调动5辆次，D处至少调入11辆次，两处之和至少16辆次，因而四个销售点调动至少16辆次，又A、B的数量减少，C、D的数量增加，所以从A调11辆到D，从B调1辆到A，调4辆到C，共调整了11+1+4＝16辆．综上，最少调动16辆次．故选：B．8．解：根据题意，得，由②﹣①，得4b+40c＝1，③∵a、b、c都是整数，∴③的左边是4的倍数，与右边不等，所以，这样的代数式不存在；故选：A．9．解：∵方程的△＝（a+1）2+8（3a2﹣4a+b）＝（5a﹣3）2+8b﹣8≥0，∴当8b﹣8≥0时，必定△≥0，即方程必有实根，∴b≥1，当b＝1时，3a2﹣4a+1＝（3a﹣1）（a﹣1），∴十字因式分解得方程为（x﹣a+1）（2x+3a﹣1）＝0，∴b＝1成立，当b＝2时，3a2﹣4a+b＝3a2﹣4a+2不能因式分解，∴方程有可能为无理数解，同理可得b＝﹣1以及0时，方程有可能为无理数解，故b的值为1．故选：A．10．解：设y＝（x﹣a）（x﹣b），则此二次函数开口向上，当（x﹣a）（x﹣b）＝0时，即函数与x轴的交点为：（a，0），（b，0），当（x﹣a）（x﹣b）＝1时，∵p、q是关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1＝0的两实根，∴函数与y＝1的交点为：（p，1），（q，1），根据二次函数的增减性，可得：当a＜b，p＜q时，p＜a＜b＜q，故＜＜＜当p，q同为负数不合题意，故＞不成立，故选：C．11．解：设可购买电子体温计x支，则需买水银体温计（53﹣x）支，由题意，得．10x+3×（53﹣x）≤300．解得：x≤20∴最多可购买电子体温计20支，故选：A．12．解：一半同学是48÷2＝24人，1号给3＝2+1名打电话，2号给4＝2+2名打电话，3号给5＝2+3名打电话，…n号给2+n＝24名打电话，所以n＝22，48﹣22＝26，该班有女生26名，故选：D．二．填空题（共8小题）13．解：x 1+x2＝x 1x2＝＝287q＝7×41×qx 1和x2都是质数则只有x1和x2是7和41，而q＝1所以7+41＝p＝336所以p+q＝337故填：33714．解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，∴0＜x＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x，y，z都是整数，则10x+9y+6z＝108，∴x＝＝，∵0＜x＜10，且为整数，∴36﹣3y﹣2z是10的倍数，即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝10或z＝（舍）或z＝7或z＝（舍）或z＝4或z＝（舍）或z＝1，当z＝10时，y＝2，x＝3，当z＝7时，y＝4，x＝3，当z＝4时，y＝8，x＝3当z＝1时，y＝8，x＝3，当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝5或z＝（舍）或z＝2或z＝（舍）当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，∴z＝（舍）即：满足条件的不同的装法有6种，故答案为6．15．解：设A，B，C组调整前的人数分别是n A，n B，n C，则A，B，C调整后的人数分别是n A+1，n，n C﹣1，B设A，B，C组调整前各组的号码之和分别为w A，w B，w C，则A，B，C调整后各组的号码之和分别为w A+27，w+16，w C﹣43，B根据题意得：由③得，n B＝20∴36.2＜＜37，即724＜w B＜740又∵n A+n B+n C＝60∴n C＝40﹣n A④整理得：由①得∴w C+w A＝2500﹣56n A又∵∴w B＝1830﹣（2500﹣56n A）＝﹣670+56n A∴724＜﹣670+56n A＜740解得∵n A为正整数，所以n A＝25所以本题答案为2516．解：设10月1日这种商品每件x元，销售量为a件，由题意，得ax+（x﹣50）（a+50）+（x﹣100）（a+100）+（x﹣150）（a+150）+（x﹣200）（a+200）+（x﹣250）（a+250）+（x﹣300）（a+300）＝308700，化简整理，得7ax+1050x﹣1050a﹣227500＝308700，两边除以7，得ax+150x﹣150a﹣32500＝44100，所以（x﹣150）（a+150）＝54100．即10月4日这一天收入54100元．故答案为：54100．17．解：设第一组x人，第二组y人，第三组（20﹣x﹣y）人，由题意得：5x+4y+10（20﹣x﹣y）＝100∴x＝∵x，y为正整数，∴100﹣6y为5的整数倍，∴y＝5或10或15∴x＝14或8或2故答案为：14或8或218．解：设一个窗口每分检出的人是c，每分来的人是b，至少要开放x个窗口；a+30b＝30c①，a+10b＝2×10c②，a+5b≤5×x×c，由①﹣②得：c＝2b，a＝30c﹣30b＝30b，30b+5b≤5×x×2b，即35b≤10bx，∵b＞0，∴在不等式两边都除以10b得：x≥3.5，答：至少要同时开放4个检票口．19．解：设准备客车x辆，每辆客车有座位x个，根据题意知：xy+14＝（x+1）y﹣x﹣1，得y＝x+15，又知xy＞900，即x（x+15）＞900，x2+15x﹣900＞0，解得：x＞或x＜（舍去）即x＞23.43，当x ＝24时，y ＝39，xy ＝936，当x ＝25时，y ＝40，xy ＝1000（不符合题意）即这种客车每辆的乘客座位有39个，故答案为：39．20．解：因为甲店实行每买5枝送1枝，所以小王先到甲店花5元钱买了6枝，剩下7枝到乙店购买，用去了7×0.85＝5.95，所以小王一共花了：5+5.95＝10.95元．故填：10.95．三．解答题（共5小题）21．解：由①得，（ x +y ）2＝9，则x +y ＝3或x +y ＝﹣3， 与②组成方程组和， 解得，，， 所以原方程组的解为，．22．解：（1）∵原方程有两个实数根，∴△＝[2（k +1）]2﹣4（k 2+2）＝8k ﹣4≥0，解得k ≥．（2）∵x 1、x 2是方程x 2+2（k +1）x +k 2+2＝0有两个实根，k ≥，∴x 1+x 2＝﹣2（k +1）＜0，x 1x 2＝k 2+2＞0，∴（|x 1|﹣|x 2|）2＝x 12﹣2|x 1•x 2|+x 22＝x 12+2x 1x 2+x 22﹣4x 1x 2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝（2）2＝20，∴[﹣2（k +1）]2﹣4（k 2+2）＝20，即8k ﹣24＝0，解得：k ＝3．故k 的值为3．23．解：设这个相等的结果为x ，则由三位数分成的四个数分别为：、2x 、x +1、x ﹣2，则这个三位数为：+2x +（x +1）+（x ﹣2）＝﹣1 ∴100≤﹣1＜1000 ∴≤x ＜∴四个数、2x 、x +1、x ﹣2中，2x 最大，由题意得：﹣1＝2×2x +59 ∴＝60∴x ＝120 ∴这个三位数为：×120﹣1＝539答：这个三位数为539．24．解：由于a ，b ，c 是正整数，关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两个实数根， 则判别式△＝b 2﹣4ac ≥0，若方程的两根设为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则由题设可得x 1+x 2＝﹣，x 1x 2＝， 则﹣＜x 1≤x 2＜0．令f （x ）＝ax 2+bx +c ，即有f （﹣）＞0， 即﹣b +c ＞0，且﹣＜﹣＜0．整理可得：2a ＞3b ，且a +9c ＞3b ，且b 2＞4ac即有2a ＞3b ＞18c ．结合前者，可知，最小为a ＝16，b ＝9，c ＝1．则a +b +c 的最小值为26．25．解：（1）①∵ab ＝1∴a＝∴原式＝+＝+＝1故答案为：1②∵ab＝1∴a＝原式＝+＝1故答案为：1（2）∵＝1，且abc＝1，∴+＝15x＝1x＝（3）∵正数a、b满足ab＝1∴b＝，a＞0，b＞0，∴a+＝（﹣）2+2≥2∵M＝＝＝＝1﹣∴当a+＝2时，M的值最小，∴M最小值＝1﹣＝2﹣2。
初中数学竞赛资料：不定方程
第九讲 不定方程一、二元不定方程的解法。
枚举法，余数法。
二、 三元不定方程组的解法，三元不定方程的解法。
1、解下面的不定方程，求出所有自然数解(1) 4598x y += (2) 199100x y +=(3) 719213x y += (4) 14213585x y +=2、已知△和☆分别表示两个自然数,并且5537115=+∆ ,△+☆= . [分析与解答]依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5.3、箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球 个.[分析与解答]设箱子里共有n 个乒乓球,二级品占5a .依题意,得 n a n n =++⨯915%25 整理得 9120)415(⨯=-a n ①易知 15-4 a >0,所以a ≤3.将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个).4、某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n 棵,且n 为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了 组.[分析与解答]设共分为x 组.由树苗总数可列方程2029+=-nx x22)9(=-x n因为22=1×22=2×11, n 是小于9的质数,对比上式得x=11(组).5、不定方程23732=++z y x 的自然数解是 .[分析与解答]⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x显然z 只能取1,2,3.当z =1时,1632=+y x ,其自然数解为x=2, y=4; x =5, y=2.当z =2时,932=+y x ,其自然数解为x=3, y=1.当z =3时,232=+y x ,显然无自然数解.所以原方程的自然数解为:⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x6、王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是 .[分析与解答]8371692.设电话号码的前三位为x ,后三位y ,第四位为a (a ≠0).由题意有⎩⎨⎧=++=++25291000906310y a x y a x ①-②,化简得a x 111726+=.当a=1时, x=837, y=692;当a ≥2时, y <0,不合题意.所以电话号码为8371692.7、有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为87,65,32c b a.已知a ,b ,c 都小于10,a ,b ,c 依次为 , , .[分析与解答]由题意有785623+=+=+c b a .解这个不定方程,得2,3,7===c b a .8、全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的41和全部咖啡(若干碗)的61.那么,全家有 口人. [分析与解答]设全家共喝了x 碗牛奶和y 碗咖啡,依题意得:16141=+y x 整理得 1223=+y x .易得其自然数解为x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.9、某单位职工到郊外植树,其中31的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工 人.① ②[分析与解答]设有女职工x 人,男职工y 人,那么有孩子3y x +人.这个条件说明3| x + y . 由已知 216631310=⨯+++y x y x 即 7254=+y x72)(4=++y y x由12|4(x + y ),12|72.所以12| y ,又5472x y -=≤5414572=. 所以, y=12, x=3.即有女职工3人.10、将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有 块.原来长方体的体积是 立方分米.[分析与解答]画个示意图就不难推知:小正方体中仅两面涂色的每条棱上都有,并在同一个方向的4条棱上2面涂色的小正方体数相等,设它们分别为z y x ,,,()⎩⎨⎧==++⨯12284xyz z y x 剥去所有涂色的小块,得到上图.由上面两上算式可以推算出2,3===z y x ,仅1面涂色彩正方体有:2)232223(2)(⨯⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯z x z y y x 32216=⨯=(块).原来长方体的体积为80445)2()2()2(=⨯⨯=+⨯+⨯+=z y x V (立方分米).11、李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是 元.[分析与解答]设支票上的元数与角、分数分别为x 和y ,则可列得方程)100(2350)100(y x x y +=-+,其中x ,y 为整数且0≤x ,y <100.化简方程得 35019998+=x y由此推知2x <y 且为x 偶数,其可能取值为2,4, (48)又 985633298350199+++=+=x x x y , 56≤563+x ≤20056483=+⨯所以 98563=+x 或298⨯.所以 324642==x x 或(舍去). 故42=x ,此时32=y .即李林的支票面额为14.32元,竞换时误看成32.14元,李林应退款额为32.14-14.32=17.82元.12、一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客?[分析与解答]设起初有x 辆汽车,开走一辆汽车后每车乘n 人,依题意,得)1(122-⨯=+⨯x n x ,所以 123221122-+=-+=x x x n 又n , x 为整数,所以(x -1)|23,故x -1=1或23,即x=2或x=24.若x=2,则45122322=-=n 与n ≤32产生矛盾. 因此x=24或n=23,故起初有24辆汽车,有旅客22 x +1=529(名).13、小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?[分析与解答]设苹果、梨子、杏子分别买了z y x ,,个,则⎩⎨⎧=++=++4050003080200z y x z y x 消去z 得 380517=+y x ①所以 175380y x -=由0<y <40得 176221738017538017405380171010=<-<⨯-=y 即 176********<<x 又 5|5 y ,5|380,(5,17)=1,由①得5| x .所以x=15或x=20.当x=15时, y=25, z=0,不合题意.因此x=20, y=8, z=12.因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20个.14一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:获一、二、三等奖的学生各几人?[分析与解答]设获一、二、三等奖的人数分别为z y x ,,,根据题意有:⎩⎨⎧=++=++224922236z y x z y x 2×②得 4422818=++y x ③③-①得 22512=+y x ④解④求得整数解为x=1, y=2.代入②可求得z=5.练习题1、采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A 种物若干,又买单价670元的B 种物若干,其中B 种个数多于A 种个数,找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张).如把购A 种物品和B 种物品的个数互换,找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反.问购A 物几个,B 物几个?[分析与解答]设买A 种物品a 个, B 种物品b 个,找回100元的m 张,10元的n 张,则有:⎩⎨⎧--=+--=+nm b a n m b a 10010100005906701010010000670590 其中b >a ,n <10.①-②得 )(9)(8m n a b -=- ③① ② ① ②所以 )(98m n -,故m n -8,由b >a ,n <10知 m <n <10,因此, m -n =8,从而b -a =9.由此推知n=9, m=1, b=a+9.代入①式,解得a=3. B=12.答:购A 物3个,B 物12个.2、某地收取电费的标准是:每月用电不超过50度,每度收5角;如果超过50度,超出部分按每度8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电?[分析与解答]因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲用电超过50度,乙用电不足50度.设甲用电(50+x )度,乙用电(50- y )度.因为甲比乙多交33角电费,所以有:8x+5y=33.容易看出x=1时,y=5.推知甲用电51度,乙用电45度.。
七年级数学竞赛 第15讲 不定方程(组)
例 5．某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得 14405，将前三位数组 成的数与后五位数组成的数相加得 16970，求此人家的电话号码。
（湖北省武汉市竞赛题）
分析与解：设此八位数为 abcdefgh ，为将两个已知条件变为两个方程，需进一步整体设元。
设 abc 为 x，d 为 y， efgh 为 z，则电话号码是 100000x+10000y+z，其中 x，y，z 均为自然数，
故小强支票面额为 14.32 元，误看成 32.14 元，
应退 32.14−14.32=17.82 元。
刻意练习
1．若正整数 a，b，c 满足 a+2bc= 49 ，则 a+b+c 的最大值是
.
a
（“希望杯”邀请赛试题）
2．有 5 克、25 克、30 克 50 克的砝码各若干个，从中共取 n 个，每类砝码至少取 1 个，50 克的砝码不能超
（3）当 k≤−1 时，若 k=−1，则 x=−4，y=3，|x|+|y|=7；
若 k<−1，则|y|≥12，|x|>0，从而|x|+|y|>12。
由上述可知，至少要用 7 只这样的砝码，其中 9 克的 4 只，13 克的 3 只。
分离整系数 类似于假分数的化简，当分子的次数大于或等于分母的次数时，通过除法，我们可以把一个分式化为整
可表示为
x y
= =
x0 y0
− bt, + at,
（t 为整数）。
问题解决：
例 1．正整数 m，n 满足 8m+9n=mn+6，则 m 的最大值是
．
பைடு நூலகம்
初一奥数不定方程(含答案)
数学竞赛培训第27讲：不定方程与方程组新课标七年级数学竞赛培训第27讲：不定方程与方程组一、填空题（共13小题，每小题4分，满分52分）1．（4分）正整数m、n满足8m+9n=mn+6，则m的最大值为_________．2．（4分）不定方程4x+7y=2001有_________组正整数解．3．（4分）已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y﹣9，则x+2y+3z=_________．4．（4分）已知（x、y、z≠0），那么的值为_________．5．（4分）用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张，每种邮票至少买一张，共有_________种不同的买法．6．（4分）购买五种教学用具A1，A2，A3，A4，A5的件数和用钱总数列成下表：品名A1A2A3A4A5总钱数次数第一次购件数1 3 4 5 6 1992元第二次购件数1 5 7 9 11 2984元那么，购买每种教具各一件共需_________元．7．（4分）（2003•温州）希望中学收到了王老师捐赠的足球，篮球，排球共20个，其总价值为330元．这三种球的价格分别是足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元，那么其中排球有_________个．8．（4分）满足19982+m2=19972+n2（0＜m＜n＜1998）的整数对（m、n）共有_________个．9．（4分）实数x、y、z满足，则x2y+z的值为_________．10．（4分）1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是_________岁．11．（4分）江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么，至少需要抽水机_________台．12．（4分）现有甲、乙、丙三种东西，若购买甲3件、乙5件、丙1件共需32元；若购买甲4件、乙7件、丙1件共需40元，则要购买甲、乙、丙各1件共需_________元．13．（4分）一个布袋中装有红、黄、蓝、三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字和等于21，则小明摸出的球中红球的个数最多不超过_________．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）14．（3分）如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是（）A．32千米B．37千米C．55千米D．90千米15．（3分）方程（x+1）2+（y﹣2）2=1的整数解有（）A．1组B．2组C．4组D．无数组16．（3分）三元一次方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有（）A．20001999个B．19992000个C．2001000个D．2001999个17．（3分）以下是一个六位数乘上一个﹣位数的竖式，各代表一个数（不一定相同），则a+b+c+d+e+f=（）A．27 B．24 C．0D．无法确定三、解答题（共12小题，满分86分）18．（7分）（1）求方程15x+52y=6的所有整数解．（2）求方程x+y=x2﹣xy+y2的整数解．（3）求方程的正整数解．19．（7分）一个盒子里装有不多于200颗糖，如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒内都只剩一颗糖，如果每次11颗地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少颗糖？20．（7分）中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？21．（7分）甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，问三个小组共有多少名同学？22．（7分）求下列方程的整数解：（1）11x+5y=7；（2）4x+y=3xy．23．（7分）（2001•广州）在车站开始检票时，有a（a＞0）各旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队等候检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30min才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10min便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；现在要求在5min内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，问至少要同时开放几个检票口？24．（7分）（2003•淮安）下面是同学们玩过的“锤子、剪子、布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出拳头表示“锤子”，伸出食指和中指表示“剪子”，伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”．现在我们约定：“布”赢“锤子”得9分，“锤子”赢“剪子”得5分，“剪子”赢“布”得2分．（1）小明和某同学玩此游戏过程中，小明赢了21次，得108分，其中“剪子”赢“布”7次．聪明的同学，请你用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次？（2）如果小明与某同学玩了若干次，得了30分，请你探究一下小明各种可能的赢法，并选择其中的三种赢法填入下表．赢法一：“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”赢的次数赢法二：“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”赢的次数赢法三：“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”赢的次数25．（7分）（1）求满足y4+2x4+1=4x2y的所有整数对（x，y）；（2）求出所有满足5（xy+yz+zx）=4xyz的正整数解．26．（7分）兄弟二人养了一群羊，当每只羊的价钱（以元为单位）的数值恰等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出，兄弟二人平分卖羊得来的钱：哥哥先取10元，弟弟再取10元；这样依次反复进行，最后，哥哥先取10元，弟弟再取不足10元，这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟，兄弟二人所得的钱数相等．问这顶草帽值多少钱？27．（7分）某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970，求此人家的电话号码．28．（8分）某布店的一页账簿上沾了墨水，如下表所示：月日摘要数量（米）单价（元/米）金额（元）1 13 全毛花呢X X 49.36 XXX7.28所卖呢料米数看不清楚了，但记得是卖了整数米；金额项目只看到后面3个数码7.28，但前面的3个数码看不清楚了，请你帮助查清这笔账．29．（8分）一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天17km的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km后回到出发点，试问：科学考察队的生态区考察了多少天？新课标七年级数学竞赛培训第27讲：不定方程与方程组参考答案与试题解析一、填空题（共13小题，每小题4分，满分52分）1．（4分）正整数m、n满足8m+9n=mn+6，则m的最大值为75．考点：数的整除性．专题：探究型．分析：把m用含n的代数式表示，并分离其整数部分（简称分离整系数法）．再结合整除的知识，求出m的最大值．解答：解：∵8m+9n=mn+6，∴m==9+，∴当n=9时，m的最大值为75．故答案为：75．点评：本题考查的是数的整除性问题，解答此题的关键是熟知以下知识，求整系数不定方程ax+by=c的整数解．通常有以下几个步骤：（1）判断有无整数解；（2）求一个特解；（3）写出通解；（4）由整数t同时要满足的条件（不等式组），代入（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解．分离整系数法解题的关键是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示，结合整除的知识讨论．2．（4分）不定方程4x+7y=2001有71组正整数解．考点：解二元一次方程．专题：计算题．分析：由不定方程4x+7y=2001=3×667，可知是其一组特解，然后求出通解，再列出不等式组即可求出答案．解答：解：由4x十7y=3×667易知是其一组特解，∴其通解为，t∈z，∵，解之得96≤t≤166∴t可取整数值共71个．∴4x+7y=2001有71组正整数解．故答案为：71．点评：本题考查了解二元一次方程，难度适中，关键是根据特解求出通解再列出不等式组即可．3．（4分）已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y﹣9，则x+2y+3z=8．考点：代数式求值；非负数的性质：偶次方；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式；根与系数的关系．专题：代数综合题．分析：得出x=5﹣y，代入第二个式子后整理得出z2+（y﹣3）2=0，推出z=0，y﹣3=0，求出x，y，z的值，最后将x，y，z的值代入计算，即可求出x+2y+3z的值．解答：解：∵x+y=5，z2=xy+y﹣9，∴x=5﹣y，代入z2=xy+y﹣9得：z2=（5﹣y）y+y﹣9，z2+（y﹣3）2=0，z=0，y﹣3=0，∴y=3，x=5﹣3=2，x+2y+3z=2+2×3+3×0=8，故答案为8．点评：本题主要考查了一元二次方程的解法，平方的非负性及代数式求值的方法，综合性较强，有一定难度．4．（4分）已知（x、y、z≠0），那么的值为1．考点：分式的化简求值；解二元一次方程组．专题：计算题．分析：根据（x、y、z≠0），可求出x=3z，y=2z，然后代入所求分式即可得出答案．解答：解：由（x、y、z≠0），可解得：x=3z，y=2z，代入，=，=，=1．故答案为：1．点评：本题考查了分式的化简求值和解二元一次方程组，难度适中，关键是先用z把x与y表示出来再进行代入求解．5．（4分）用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张，每种邮票至少买一张，共有2种不同的买法．考点：三元一次方程组的应用．专题：经济问题．分析：两个等量关系为：4分的张数+8分的张数+1角的张数=18；4分的总钱数+8分的总钱数+1角的总钱数=1元，把相关数值代入求得正整数解即可．解答：解：设买4分，8分，1角的邮票分别为x，y，z张．由①得x=18﹣y﹣z③，把③代入②得2y+3z=14，y=7﹣z，∴z需为大于1的偶数，∵x，y，z是正整数，∴x=12，y=4，z=2；x=13，y=1，z=4．∴有2种方案．故答案为：2．点评：考查三元一次方程组的应用；根据数量和总价得到两个等量关系是解决本题的关键；把所给方程整理为只含2个未知数的等式求正整数解是解决本题的主要方法．6．（4分）购买五种教学用具A1，A2，A3，A4，A5的件数和用钱总数列成下表：品名A1A2A3A4A5总钱数次数第一次购件数1 3 4 5 6 1992元第二次购件数1 5 7 9 11 2984元那么，购买每种教具各一件共需1000元．考点：二元一次方程组的应用．分析：可以设A1，A2，A3，A4，A5的单价分别为x1，x2，x3，x4，x5元，根据第一次和第二次购物时的件数和付的钱总数可以得到方程组，求解即可．解答：解：设A1，A2，A3，A4，A5的单价分别为x1，x2，x3，x4，x5元．则依题意列得关系式如下：即①×2﹣②式得：x1+x2+x3+x4+x5=2×1992﹣2984=1000．所以购买每种教具各一件共需1000元．点评：本题考查了二元一次方程的应用及解法．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，求解时要根据方程的特点巧解方程．7．（4分）（2003•温州）希望中学收到了王老师捐赠的足球，篮球，排球共20个，其总价值为330元．这三种球的价格分别是足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元，那么其中排球有15个．考点：有理数的混合运算．专题：应用题；压轴题．分析：设足球有x个，篮球有y个，排球有z个，根据题意得，x+y+z=20，60x+30y+10z=330．利用方程知识求得排球的个数．解答：解：设有足球x个，篮球y个，排球z个x+y+z=20 ①；60x+30y+10z=330→6x+3y+z=33 ②②﹣①得出，5x+2y=13又∵x，y，z∈正整数，∴x=1，那么y=4，由此可推出z=15所以，排球有15个．点评：此题是有理数运算的实际应用，列式子容易，解答难，考虑到x、y都取正整数是解题的关键．8．（4分）满足19982+m2=19972+n2（0＜m＜n＜1998）的整数对（m、n）共有3个．考点：一元二次方程的整数根与有理根．专题：计算题．分析：把含字母的式子整理到等式的左边，常数项整理到等式的右边，把等式的左边进行因式分解，判断相应的整数解即可．解答：解：整理得n2﹣m2=3995=5×17×47，（n﹣m）（n+m）=5×17×47，∵对3995的任意整数分拆均可得到（m，n），0＜m＜n＜1998，∴或或，∴满足条件的整数对（m，n）共3个．故答案为3．点评：本题考查了二次方程的整数解问题；把所给等式整理为两个因式的积为常数的形式是解决本题的关键．9．（4分）实数x、y、z满足，则x2y+z的值为9．考点：高次方程．专题：计算题．分析：首先把x=6﹣3y代入x+3y﹣2xy+2z2，可以化简得到6（y﹣1）2+2z2=0，进而解得x、y、z的值，最后求得x2y+z的值．解答：解：，把①代入②中，可得：6（y﹣1）2+2z2=0，即y=1，z=0，故x=3，所以x2y+z=32=9，故答案为9．点评：本题主要考查高次方程求解的问题，解决此类问题的关键是把x、y、z化成非负数的形式，进而求得x、y、z，此类题具有一定的难度，同学们解决时需要细心．10．（4分）1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是18岁．考点：二元一次方程的应用．专题：计算题；应用题．分析：设某人出生于（1900+10x+y）年，所以有1998﹣（1900+10x+y）=10+x+y，可求解．解答：解：设某人出生于（1900+10x+y）年1998﹣（1900+10x+y）=10+x+y11x+2y=88故答案为：18点评：本题考查理解题意能力，关键是能正确设出年份的表示方法，然后根据题意列式求解．11．（4分）江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么，至少需要抽水机6台．考点：二元一次方程组的应用．分析：可以设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水为a，每台抽水机每分钟抽水为b，根据题意可列出两个方程，可以得到x与b、a与b之间的关系，最后即可得时间为10分钟时需要的抽水机台数．解答：解：设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水为a，每台抽水机每分钟抽水为b，根据题意得：，解得：x=，a=．如果要在10分钟内抽完水，至少需要抽水机n台，即x+10a≤10×n×b，代入a、x的值解得：n≥6．故答案填：6．点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．12．（4分）现有甲、乙、丙三种东西，若购买甲3件、乙5件、丙1件共需32元；若购买甲4件、乙7件、丙1件共需40元，则要购买甲、乙、丙各1件共需16元．考点：三元一次方程组的应用．分析：设甲、乙、丙每件单价为x、y、z元，建立方程组，整体求得x+y+z的值．解答：解：设甲、乙、丙每件单价为x、y、z元，根据题意列方程组得，②﹣①得：x+2y=8③，②+①得：7x+12y+2z=72④，④﹣③×5得：2x+2y+2z=32，∴x+y+z=16．故本题答案为：16．点评：未知数共有三个，方程只有两个，无法直接解答，通过加减，将x+y+z看做一个整体来解．13．（4分）一个布袋中装有红、黄、蓝、三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字和等于21，则小明摸出的球中红球的个数最多不超过4．考点：三元一次方程组的应用．专题：应用题．分析：首先假设小明摸出的10个球中有x个红球，y个黄球，z个蓝球．根据题意列出方程组，利用加减消元法消去z得y=9﹣2x．再根据非负整数的特点，易知x的最大值．解答：解：设小明摸出的10个球中有x个红球，y个黄球，z个蓝球．依题意列得方程组：①×3﹣②得2x+y=9，即y=9﹣2x．由于y是非负整数，x也是非负整数．易知x的最大值是4．即小明摸出的10个球中至多有4个红球．故答案为：4．点评：解决本题的关键是利用非负整数的特点，考虑不定方程y=9﹣2x的解．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）14．（3分）如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是（）A．32千米B．37千米C．55千米D．90千米考点：二元一次方程的应用．分析：要求二次同时经过这两种设施是在几千米处，就要明确4和9的最小公倍数为36，19+36=55千米，所以二次同时经过这两种设施是在55千米处．解答：解：同时经过两种设施时的里程数减3后，应是4的倍数，减10以后应是9的倍数．在19km处第一次同时经过这两种设施，所以从这里开始以后再次经过这两种设施时，行驶的路一定是4和9的公倍数，所以第二次同时经过这两种设施时的里程数为19+4×9=55km．故选C．点评：本题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．15．（3分）方程（x+1）2+（y﹣2）2=1的整数解有（）A．1组B．2组C．4组D．无数组考点：解一元二次方程-直接开平方法；非负数的性质：偶次方．专题：计算题．分析：根据（x+1）2+（y﹣2）2=1，x，y都是整数，则x+1=0且y﹣2=1或﹣1，x+1=1或﹣1且y﹣2=0；从而解出x，y的四组值．解答：解：∵（x+1）2+（y﹣2）2=1，∴或或或，∴或或或，故选C．点评：本题考查了非负数的性质和一元二次方程的解法﹣直接开平方法．16．（3分）三元一次方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有（）A．20001999个B．19992000个C．2001000个D．2001999个考点：二元一次方程的解；三元一次不定方程．专题：计算题．分析：先设x=0，y+z=1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解；当x=1时，y+z=1998，有1999个整数解；…当x=1999时，y+z=0，只有1组整数解，依此类推，然后把个数加起来即可．解答：解：当x=0时，y+z=1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解；当x=1时，y+z=1998，有1999个整数解；当x=2时，y+z=1997，有1998个整数解；…当x=1999时，y+z=0，只有1组整数解，故非负整数解的个数有2000+1999+1998+…+3+2+1=2001000（个），故选C．点评：本题考查了三元一次不定方程的解，解题的关键是确定x、y、z的值，分类讨论．17．（3分）以下是一个六位数乘上一个﹣位数的竖式，各代表一个数（不一定相同），则a+b+c+d+e+f=（）A．27 B．24 C．0D．无法确定考点：整数问题的综合运用．专题：数字问题．分析：此题我们可设=x，=y，根据题意得到关于xy的等式，得出xy的关系，再设x=476k，y=19k，由于x是4位数，y是2位数，k的取值范围只能是3，4，5，代入求值即可解得．解答：解：设=x，=y，可得4（100x+y）=10000y+x整理的19x=476y，设x=476k，y=19k，可求得k=3，4，5，则=142857，190476，238095．a+b+c+d+e+f=27．故选A．点评：本题主要考查数的特征，正确将数分段，求出它们之间的关系是解题的关键．三、解答题（共12小题，满分86分）18．（7分）（1）求方程15x+52y=6的所有整数解．（2）求方程x+y=x2﹣xy+y2的整数解．（3）求方程的正整数解．考点：非一次不定方程（组）；二元一次不定方程的整数解．专题：计算题．分析：对于（1）通过观察或辗转相除法，先求出特解．对于（2）易想到完全平方公式，从配方人手，对于（3）易知x、y、z都大于1，不妨设l＜x≤y≤z，则，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出其结果．解答：解：（1）观察易得一个特解x=42，y=﹣12，原方程所有整数解为（t为整数）．（2）原方程化为（x﹣y）2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，由此得方程的解为（0，0），（2，2），（1，0），（0，1），（2，1），（1，2）．（3）∵，即，由此得x=2或x=3，当x=2时，，即，由此得y=4，或5或6，同理当x=3时，y=3或4，由此可得1≤x≤y≤z时，（x，y，z）共有（2，4，12），（2，6，6），（3，3，6），（3，4，4）4组，由于x，y，z在方程中地位平等，可得原方程的解共有15组：（2，4，12），（2，12，4），（4，2，12），（4，12，2），（12，2，4），（12，4，2），（2，6，6），（6，2，6），（6，6，2），（3，3，6），（3，6，3），（6，3，3），（3，4，4），（4，4，3），（4，3，4）．点评：此题主要考查了方程和不等式的相关性质，寻求并缩小某个字母的取值范围，通过验算获得全部解答．19．（7分）一个盒子里装有不多于200颗糖，如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒内都只剩一颗糖，如果每次11颗地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少颗糖？考点：数的整除性．分析：根据题意可知盒内糖的颗数是11的倍数，因为如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒内都只剩一颗糖，所以盒内糖的颗数是奇数，分情况讨论是，只讨论11的奇数倍即可，确定最后结果是还要注意要不能被2、3、4、6整除．解答：解：因为每次取11颗正好取完，所以盒内的糖果数必是11的倍数，而11的偶数倍，都能被2整除，所以不合题意，倍数列表如下：5倍7倍9倍11倍13倍15倍17倍19倍原数11 55 77 99 121 143 165 187 209因为121﹣1=120，而120都能被2、3、4、6整除，所以盒子里共有121颗糖．点评：此题主要考查了数的整除性在实际生活中的应用，体现了数学与生活的密切联系，应用了分类讨论思想．20．（7分）中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？考点：二元一次不定方程的应用．专题：应用题．分析：设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为x、y、z，则有，通过消元，将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解．解答：解：设买公鸡x只，买母鸡y只，买小鸡z只，那么根据已知条件列方程，有：x+y+z=100 (1)5x+3y+z/3=100 (2)（2）×3﹣（1），得14x+8y=200即，7x+4y=100 (3)显然x=0，y=25符合题意，得，所以，x=0，y=25，z=75；在（3）式中4y和100都是4的倍数：7x=100﹣4y=4（25﹣y），因此7x也是4的倍数，7和4是互质的，也就是说x必须是4的倍数；设x=4t，代入（3）得，y=25﹣7t再将x=4t与y=25﹣7t 代入（1），有：z=75+3t，取t=1，t=2，t=3就有：x=4，y=18，z=78或x=8，y=11，z=81或x=12，y=4，z=84；因为x、y、z都必须小于100且都是正整数，所以只有以上三组解符合题意：①买公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只；②或买公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；③或买公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只．点评：本题主要考查了二元一次不定方程的应用，注意：方程变形后的隐含条件，互质数的应用，以及正整数的取值范围必须使本题由意义．21．（7分）甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，问三个小组共有多少名同学？考点：三元一次方程组的应用．专题：调配问题．分析：设甲组学生a人，乙组学生b人，丙组学生c人，由题意得28a+30b+31c=365，运用放缩法，从求出a+b+c 的取值范围入手．解答：解：设甲组学生a人，乙组学生b人，丙组学生c人．则由题意得28a+30b+31c=365∵28（a+b+c）＜28a+30b+31c=365，得a+b+c＜＜13.04∴a+b+c≤1331（a+b+c）＞28a+30b+31c=365，得a+b+c＞＞11.7∴a+b+c≥12∴a+b+c=12或13当a+b+c=12时，则28a+30b+31c=28（a+b+c）+2b+3c=28×12+2b+3c=365，即2b+3c=29；当a+b+c=13时，则28a+30b+31c=28（a+b+c）+2b+3c=28×13+2b+3c=365，即2b+3c=1，此方程无解；答：三个小组共有12名同学．点评：解不定方程组基本方法有：（1）视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示；（2）通过消元，将问题转化为不定方程求解；（3）运用整体思想方法求解．本题采用采用方法（1）求解．22．（7分）求下列方程的整数解：（1）11x+5y=7；（2）4x+y=3xy．考点：非一次不定方程（组）；二元一次不定方程的整数解．分析：（1）先用换元法确定一个未知数的取值，再求解．（2）先用y表示x，再根据解为整数判断解的取值即可．解答：解：（1）由已知，得y==1+=1+2x+①，∵x，y都是整数，∴1+2x是整数，①式只要满足2﹣x=5t（t为整数）即可，∴x=2﹣5t，代入①式得y=﹣3+11t，故原方程的整数解为（t为整数）．（2）由方程得：=①，方程两边同除y得：3x=1+②，由①②得：3x=1+，∵方程的解为整数，∴3y﹣4只能取±1，±2，±4，∵x的值也为整数，∴y的取值为0，1，2，x对应的值为0，﹣1，1．故原方程的解为：、、．点评：本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，然后列举出其中一个未知数的适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．23．（7分）（2001•广州）在车站开始检票时，有a（a＞0）各旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队等候检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30min才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10min便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；现在要求在5min内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，问至少要同时开放几个检票口？考点：一元一次不等式的应用．专题：压轴题．分析：先设一个窗口每分检出的人是c，每分来的人是b，至少要开放x个窗口；根据开放窗口与通过时间等列方程和不等式解答．解答：解：设一个窗口每分检出的人是c，每分来的人是b，至少要开放x个窗口；a+30b=30c ①，a+10b=2×10c ②，a+5b≤5×x×c，由①﹣②得：c=2b，a=30c﹣30b=30b，30b+5b≤5×x×2b，即35b≤10bx，∵b＞0，∴在不等式两边都除以10b得：x≥3.5，答：至少要同时开放4个检票口．点评：解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系和不等关系式：30分的工作量=a+30分增加的人数；2×10分的工作量=a+10分增加的人数；开放窗口数×检票速度≥a+5分增加的人数．要设出未知数，难点是消去无关量．24．（7分）（2003•淮安）下面是同学们玩过的“锤子、剪子、布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出拳头表示“锤子”，伸出食指和中指表示“剪子”，伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”．现在我们约定：“布”赢“锤子”得9分，“锤子”赢“剪子”得5分，“剪子”赢“布”得2分．（1）小明和某同学玩此游戏过程中，小明赢了21次，得108分，其中“剪子”赢“布”7次．聪明的同学，请你用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次？（2）如果小明与某同学玩了若干次，得了30分，请你探究一下小明各种可能的赢法，并选择其中的三种赢法填入下表．赢法一：“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”赢的次数赢法二：“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”赢的次数赢法三：“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”赢的次数考点：推理与论证．专题：阅读型．分析：（1）设小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各x次和y次．根据总次数和总得分列方程组求解；（2）设小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”、“剪子”赢“布”各x次、y次、z次．根据得分列一个三元一次方程，再根据未知数是非负整数进行分析．解答：解：（1）设小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各x次和y次．根据题意，得：，解得，答：小明“布”赢“锤子”6次，“锤子”赢“剪子”8次；（2）设小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”、“剪子”赢“布”各x次、y次、z次，根据题意，得9x+5y+2z=30，则有x=1，y=1，z=8；x=1，y=3，z=3；x=2，y=2，z=1．赢法一：“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”赢的次数 1 1 8 赢法二：“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”赢的次数 1 3 3 赢法三：“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”。
初中培优竞赛 第9讲 特殊方程与不定方程
1 . (1) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、选择题)设表示不小于x的最小整数，如，，，则下列7个结论中，不成立的结论( ) ①②③只有x为整数才成立；④；⑤⑥⑦A.不超过3个B.恰为4个C.刚好为5个D.至少有6个分析：易见①，②，③，④，⑤成立，但⑥，⑦不成立，其实令便知⑥，⑦不成立.详解：A2. (1、2) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、选择题)关于x的含有绝对值的方程的不同实数解共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个分析：若，则方程为，；若，则方程为，，不合题意；若，则方程为12x+x = 2. ，故题设方程的不同实数解共有2个.详解： B技巧：分别讨论绝对值的正负性，看结果是否符合题意.易错点：如果出现不合题意的结果，应该排除掉.3. (1、2) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、选择题)方程组的解的个数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4分析：若，则，于是，显然不可能；若，则，于是，解得，进而求得.所以原方程组的解为，只有1个解.详解：A4. (1、2) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、填空题)方程组的解共有________ 组.分析：令，，则，解得，于是，，，，，，，或，详解：4技巧：我们可以使用换元法，使题目更加简洁明了.易错点：讨论结果时，不要遗漏任何解.5. (2、3) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、填空题)设x，y都是正整数，且，则y的最大值为________ .分析：假设，（m，n为正整数），所以.即，显然，与n-m只能同时为偶数，故n+m 的最大值为108.详解：108技巧：已知原式为a+b的形式，我们利用平方差公式，逆向思考可以化简原式，简单解题,.6. (2、3) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、填空题)满足方程的所有x的和为________ .分析：因为＞0 ，所以；由得：①因为＞，所以由①得即②由②得或，即原方程有两个解，所有解的和是（详解：4012技巧：根据绝对值的意义，先化简，再解题.易错点：需要排除不符合题意的结果.7. (3、4) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、解答题)求方程组的整数解.分析：我们观察，方程组的两个等式左右两边先平方再相加，会消去相同的项，化简再分别讨论.详解：（）（），化简合并同类项得：故或.①当时，，得，，，；②当时，，得，，，经检验，满足方程的4组解为(1，0，3，1)，(-1，0，-3，-1)，(3，1，1，0)，(-3，-1，-1，0).答：方程组的整数解（，，，）为：(1，0，3，1)，(-1，0，-3，-1)，(3，1，1，0)，(-3，-1，-1，0).技巧：我们通过化简，合并同类项，再分情况讨论.易错点：我们得到结果后，根据题意需代入原方程组验证，排除多余的解.8. (2、3) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、解答题)已知实数x，y满足，求x+y的值.分析：原式是一个二元方程，但是只有一个等式，我们不妨先展开，移项，化简可以得到2个完全平方式，即可得解.详解：将原等式展开移项,得：分组可以化为两个完全平方式，得：，所以有：解得，因此答：x+y的值为技巧：我们把有规律项数的分组组成完全平方式，可简便解题.9. (2、3) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、解答题)有甲、乙两种卡通玩具昆虫，每个甲种玩具昆虫有1只眼睛和40只脚，每个乙种玩具昆虫有3只眼睛，两种玩具昆虫共有26只眼睛和298 只脚，则每个乙种玩具昆虫有多少只脚？分析：我们把未知量都设成未知数，然后列方程.根据未知数的取值范围来谈论，即可解题.详解：设甲种昆虫有x只，乙种昆虫有y只，每只乙种昆虫有k只脚.依题意有①②由①可知x是被3除余2的自然数，即x可取2，5，8，11，14，…，由②可知，即所以或5.当时，，而8不能整除，不合题意，舍去；当时，，而，所以答：每个乙种玩具昆虫有14只脚.技巧：根据题目中的未知数都是整数，来分析解题.虫有14只脚.（第18届五羊杯竞赛题）定义新运算△：Δ，其中6为正整数.如果ΔΔ，则x的值为A.1或B.1或0D.16.（2007年“数学周报”杯全国数学竞赛题）7.（1998年山东省竞赛题）方程的实根的个数为 ( )A. 1 B .2 C. 3 D. 48.（1999年重庆市竞赛题）某人计划使用不超过100元的资金购买单价分别为7元和9元的光盘x张和y张，每种光盘至少买3张，那么购买的方式共有，( )A.20种B.25种C.29种D.32种9.（第21届江苏省初中数学竞赛题）图9 -1为某三岔路口交通环岛的简化模型.在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数如图所示，图中，，分别表示该时段单位时间通过路段，，的机动车辆数（假设单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的机动车辆数相等），则，，的大小关系为( )3111二、填空题10. 11.（上海市竞赛题）12.（上海市竞赛题）已知方程，其中a为正整数，当时，它的正整数解组数记为S3，当时，它的正整数解组数记为S5，则S1993=13.（2001年北京市竞赛题）若a，b都是正整数，且，则________14.（第3届杭州市求实杯竞赛题）有一个两位数（十位数字是a，个位数字是b），其中的a和b满足关系式（bbb表示三个数字都是b的3位数），这个两位数为________15.（第17届希望杯竞赛题）某种球形病毒的直径为0.01纳米，每个病毒每过1分钟就能繁殖出9个与自己相同的病毒.假如这种病毒在人体中聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人就会感到不活，那么人从感染第一个病毒后，经过________ 分钟，就会感到不适（1米纳米）.16.（2005年湖州市竞赛题）李立、王望、钱谦三人去文具店买练习本、圆珠笔和橡皮，李立买了4本练习本、一枝圆珠笔和10块橡皮，共付了11元，王望买了3本练习本、一枝圆珠笔和7块橡皮，共付了8.9元，钱谦买了一本练习本、一枝圆珠笔和一块橡皮应该付________ 元.17.（第17届五羊杯竞赛题）以下算式中，相同的汉字代表相同的数字.已知“神舟”，“号” ，那么六位数“飞天神舟六号”=________.飞天神舟六号六号飞天神舟神舟号18.（第11届华杯赛试题）满足方程的所有x的和为________ .三、解答题20.（第2届香港华杯赛试题）求方程τ的所有可能解.21.（第11届希望杯竞赛题）某书店积存了画片若干张，按每张5角出售，无人购买；现决定按成本价出售，一下子全部售出，共卖了31元9角3分，则该书店积存了这种画片多少张？每张成本价是多少？22.（2006年国际城市竞赛题）23.（2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度为72km/h，在平地上的速度为63km/h，上坡的速度为56km/h.这辆汽车从A地到B地用了4个小时，而返程用了4小时40分钟，则AB两地距离多远？24.（第12届江苏省竞赛题）甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，问：难题多还是容易题多？（多的比少的）多几道题？25.（第2届香港华杯赛试题）已知方程组的解应为，小明解题时把c抄错了，因此得到的解是，求的值.26.（2003年希望杯竞赛题）27.（第20届全俄中学生数学竞赛题）求使得方程有整数根的所有整数 a.28.（第19届全俄中学生数学竞赛题）求方程的所有自然数解.29.（第25届全俄数学奥林匹克试题）30.（1999年全国初中联赛题）某班参加一次智力竞赛，共a，b，c三题，每题或者得满分，或者得0分，其中题a满分为20分，题b、题c 满分分别为25分.竞赛结果：每位学生至少答对了一题，三题全对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题a的人数与答对题b的人数之和为29，答对题a的人数与答对题c的人数之和为25，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，问：这个班的平均成绩是多少？31.（全国初中数学联赛题）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2kgA水果，4kgB水果；乙种搭配：3kgA水果，8kgB水果，lkgC水果；丙种搭配：2kgA水果，6kgB水果，lkgC水果.已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10 元，某天该商店销售这三种搭配水果共获利441.2元，其中A水果的销售额为116元，问：C水果的销售额为多少？答案与解析1.B 若，则，解得，不符合.所以，，解得，从而2.C 当时，y可取0，1，2，…，1999个值，相应可得出z，即有2000组解；当时，y可取0，1，2，…，1998个值，即有1999组解；……；当时，仅有，，即有1组解.故所有解的组数为组.3.C 易见①，②，③，④，⑤成立，但⑥，⑦不成立，其实令便知⑥，⑦不成立.4.B5.D由Δ可知ΔΔΔ，，解得或.但使得2x不是正整数，与△运算的定义不符合，所以6.A 若，则，于是，显然不可能；若，则，于是，解得，进而求得.所以原方程组的解为，只有1个解.7.A 当时，原方程可化为，，（舍）；当时，原方程可化为，整理得，Δ8.C 依题意得，有因为，，所以，得当时，；当时，；当时，当y=6时，即3≤x≤6；当y=7时，3≤x≤5；当y=8时，3≤x≤4. 故购买方式共有8+7+5+4 +3+2=29（种）.9.C 设x1=50+a（其中a表示A处X3向B处分流出来的机动车辆数），则由图可知，10. 11. 108 设，（m，n为正整数），所以.即，显然，与n-m只能同时为偶数，故n+m 的最大值为108.12. 易知，，，当时，，这时共有1991个解；当时，，这时共有1990个解，……，当时，这时有1个解，所以13.9 由已知可得，观察可得，于是不定方程的解为，（t为整数）.因为a，b是正整数，所以，，得，可知，，，14. 37 因为，，a，b为整数，且.所以，所以，故，，故所求两位数为37.15. 10 题意相当于每个病毒过1分钟就变成了10个病毒，过两分钟变成了个病毒，……，如此过n分钟就变成了个病毒，则有，解得所以人从感染第一个病毒后，经过10分钟，就会感到不适.16.4.7 设练习本、圆珠笔、橡皮的单价分别为x元、y元和z元，依题意得，可化为.设，，则方程组即.解得.所以钱谦应付4.7元.17. 设“飞天” ，“六号” ，则题设算式可化为（），化简得，，两边约去13得，，64与41互质，64整除y.故，“号” 与题设符合，代入得，.于是“飞天神舟六号”18. 4012 由得①因为，所以由①得即②由②得或，即原方程有两个解，所有解的和是（19.6 因为，所以，，，等于0或者 1.由题设可知，其中有18个等于1，所以，，所以，故，于是.所以20.有三种可能：且；(2) (3)且为偶数21.设每张画片成本价为x元，书店积存了画片y张，依题意有即（y是整数，，所以当时，故书店积存画片103张，每张成本价为0. 31元.22. 23.分别用x，y，z表示下坡，平地，上坡距离，则，，解得，丙式相加约去16得所以AB两地距离273km.24.难题比容易题多20道，设共有难题x道，容易题y道，其余为正好两人解出的题为z道，由题意得①②由①×2-②得故难比易的多20道.25.题示方程组的解为，所以解题时抄错c，因此得到，，所以成立.由三式易得，，所以26.设甲种昆虫有x只，乙种昆虫有y只，每只乙种昆虫有k只脚.依题意有①②由①可知x是被3除余2的自然数，即x可取2，5，8，11，14，…，由②可知，即所以或5.当时，，而8不能整除，不合题意，舍去；当时，，而，所以故每只乙种昆虫有14只脚.27.设方程的2个整数根为则，，所以即所以或.解得或所以或28.原方程转化为，有因子±1，±3，±19，±31，±3×19，土3×31，±19×31，±3×19×31.若4y - 19，为上述各值之一，则4x-93也相应地被确定，原方程又转化为由于x，y是自然数，易知时方程无解，时y及4y -19均为自然数，因此4y -19可取前面8个正因子之一，可以验证当，，，时，相应的，，，，，，，24，共4组解.29.由原方程组可得30.设 ， ， 分别表示答对题a 、题b 、题c 的人数，则有所以解得 ， ， 答对1题的人数为 ，全班人数为 ，故平均成绩为31.如下表所示，设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别为x ，y ，z 套.则 ，即 ① ②由②一①×11得 ，.故所以共卖出 水果 千克， 水果的销售额为15 10= 150(元).，则。
七年级数学二元一次方程组(不定方程)拔高题(竞赛班)
七年级数学二元一次方程组拔高题（竞赛班）一、选择题. 1.已知代数式1312a x y -与23b a b x y -+-是同类项，那么a 、b 的值分别是（ ）A.21a b =⎧⎨=-⎩B.21a b =⎧⎨=⎩C.21a b =-⎧⎨=-⎩ D.519a b =⎧⎨=-⎩2. 如果方程组()43713x y kx k y +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩的解x y 、的值相等,则k 的值是( )A.1B.0C.2D. 2- 3．方程72=+y x 在正整数范围内的解（ ）（A ）有无数解 （B ）只有一组 （C ）只有三组 （D ）以上都不对 4．方程199119891990=-y x 的一组正整数解是（ ） (A)12768,12785==y x (B)12770,12785==y x11941,11936)(==y x C 12623,13827)(==y x D5.如果21x y =⎧⎨=⎩是方程组75ax by bx cy +=⎧⎨+=⎩的解,则a c 与的关系是( )A.49a c +=B. 29a c +=C. 49a c -=D. 29a c -=6.某剧场共有座位1000个，排成若干排，总排数大于16，从第二排起，每排比前一排多一个座位，问：剧场共有多少排座位 （ ）A.25B.26C.27D.28 7．已知关于x 的方程232xa x -=+的解是x=2，则a= ( ) A 、2 B 、3 C 、4 D 、6 8．已知()20a b ax b x-++=是关于x 的一元一次方程，且x 有唯一解，则x=( )A 、-1B 、1C 、OD 、2 9．正整数x ，y 满足(x-1)(y-1)=9，则x+y 的值是 ( ) A 、8 B 、10 C 、12 D 、8或12 10．方程2(2-x)=xy+1的整数解有( )组．A 、2B 、3C 、4D 、511．有人问一位老师，他教的班有多少学生，老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩下3位学生在操场踢足球．”则这个班共有学生( )人．A 、26B 、28C 、30D 、56 12、m 取何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数 （ ）A 、9,7,10,6.B 、2，8.C 、±1，±2，±4，±8.D 、±1，±2.13．在公路上，汽车A ，B ，C 分别以每小时60、40、30千米的速度匀速行驶，A 从甲站开往乙站，B ，C 从乙站开往甲站．A 在与B 相遇后两小时又与C 相遇，则甲、乙两站相距 ( )千米．A 、1800B 、1950C 、2000D 、160014．若正整数x ，y 满足5x=2009y ，则x+y 的最小值是 ( ) A 、2000 B 、2010 C 、2014 D 、2019 15．已知关于x 的方程3mx+1=0和x+2n=0是同解方程，那么()2mn =( ) A 、125 B 、136C 、36D 、181二、填空题.1.关于x y 、的二元一次方程组59x y kx y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的解,则k 的值是 .2.设m 和n 大于0的整数，且,22523=+n m ①若m 和n 最大公约数为15，则______=+n m ；②若m 和n 的最小公倍数为45，则________=+n m3. 若已知方程()()()221153a x a x a y a -+++-=+,则当a = 时,方程为一元一次方程; 当a = 时,方程为二元一次方程. 4.方程组()1602111x y x y +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩的解是 .5.如果()25x y +-与3210y x -+互为相反数，那么x = ，y = .6. 若23x y =-⎧⎨=⎩是方程33x y m -=和5x y n +=的公共解,则23m n -= .7. 已知231x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程组11ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解,则()()a b a b +-= .8．方程7110.2510.0240.0180.012x x x --+=-的根是_______________． 9．七(2)班有学生50名，其中参加数学小组的有28人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少4，并且这两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的13多2，则 同时参加这两个小组的人数是_______________．10．已知关于x 的方程(3a+2b)x+17=0无解，则a b •_____0(填>，≥，<，≤)．11．已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程374ax a a=-+有整数根，则a 的值共有_______________个．12．父亲比小明大24岁，并且2008年的年龄是小明2010年年龄的3倍，则小明2009年的年龄是_____岁．14．用正三角形和正六边形来进行镶嵌，则需________个正三角形和________个正六边形或________个正三角形和_________个正六边形．15．现有红、黄、蓝三种颜色的球共23个，其中红球个数是黄球个数的7倍，那么其中蓝球的个数是_________个． 16．已知m 为正整数，二元一次方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，即x ，y 均为整数，则m=_______________．17．一艘轮船航行于两码头之间，顺航需4小时，逆航需5小时，已知水流速度为每小时 3千米，则轮船在静水中的速度为每小时________千米．18．若k 是为正整数，则使得方程(k-2008)x=2010-2009x 的解也是正整数的是的值有_________个．19、用16元钱买面值为20分、60分、1元的三种邮票共18枚，每枚邮票至少买1枚，共有 种不同的买法.20、求方程12511=+y x 的正整数解 . 三、解答题.1.运用适当的方法解方程.⎩⎨⎧=--+=++-20)5(8)7.0(527)7.0(5)5(20x y y x⎩⎨⎧=+=+887.53.41127.43.5y x y x1:14:3)4(:)(:)6(=+-+-y x y x x199519975989199719955987x y x y +=⎧⎨+=⎩2．求下列不定方程的整数解： (1) 72x+157y=1；(2)9x+21y=144；(3)103x-91y ＝5．(3)2x+5y+7z+3t=103、已知xyz≠0,且⎩⎨⎧=-+=--0720634z y x z y x ，求22222275632z y x z y x ++-+的值。
初中竞赛数学27.不定方程、方程组(含答案)
27.不定方程、方程组知识纵横不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),•其特点是解往往有无穷多个,不能惟一确定.对于不定方程(组),我们往往限定只求整数解,甚至只求正整数解,•加上条件限制后,解就可确定.二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)•常常转化为二元一次不定方程问题加以解决,与之相关的性质有:设a 、b 、c 、d 为整数,则不定方程ax+by=c 有如下两个重要命题: (1)若(a,b)=d,且d c,则不定方程ax+by=c 没有整数解;(2)若x 0,y 0是方程ax+by=c 且(a,b)=1的一组整数解(称特解),则00x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩(t 为整数)是方程的全部整数解(称通解).解不定方程(组),没有现成的模式、固定的方法可循，•需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、因数分解、配方利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等。
例题求解【例１】正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6,则m 的最大值为________. (2000年新加坡数学竞赛题)思路点拨 把m 用含n 的代数式表示,并分离其整数部分(简称分离整系数法),再结合整除知识,求出m 的最大值. 解:75 提示:m=968n n --=9+668n -,n=9时,m 最大值为75. 【例2】如图,在高速公路上从3千米处开始,每隔4千米设一个速度限制标志,而且从千米处开始,每隔9千米设一个测速照相机标志,则刚好在19•千米处同时设置这两种标志.问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( ).A.32千米B.37千米C.55千米D.90千米(2003年河南省竞赛题) 思路点拨 设置限速标志、照相机标志千米数分别表示为3+4x 、10+9y(x,y•为自然数),问题转化为求不定方程3+4x=10+9y的正整数解.解:选C 提示:x=794y+=2y+1+34y+,4│y+3,135xy=⎧⎨=⎩为所求的解.【例3】(1)求方程15x+52y=6的所有整数解.(2)求方程x+y=x2-xy+y2的整数解. (莫斯科数学奥林匹克试题)(3)求方程11156x y z++=正整数解. (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨对于(1)通过观察或辗转相除法,先求出特解.对于(2)易想到完全平方公式,从配方入手;对于(2)易知x,y,z都大于1,不妨设1<x≤y≤z,则1x≥1y≥1z,•将复杂的三元不定方程转化为一元不等式,通过解不等式对某个未知数的取值作出估计,逐步缩小其取值范围,求出其结果.解:(1)观察易得一个特解x=42,y=-12,原方程所有整数解为42521215x ty t=-⎧⎨=-+⎩(t为整数).解法2:x=-4y+6815y+,令6815y+=t1,得y=2t1-168t+,令168t+=t,得t=8t-6,化简得42521215(x ty t t=-⎧⎨=-+⎩为整数)(2)原方程化为(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2=2,由此得方程的解为(0,0),(2,2),(1,0),(0,1),(2,1),(1,2)(3)提示: 1x<1x+1y+1z≤3x,即1x<56≤3x,由此得x=2或3,当x=2时, 1x<1y+1z=56-12=13≤1y+1y=2y，即1y<13≤2y,由此得y=4或5或6,同理当x=3时,y=3或4,由此可得当1≤x≤y≤z时,(x,y,z)共有(2,4),(4,2,12),(4,12,2),•(12,2,4),(12,4,2),(2,6,6),(6,2,6),(6,6,2),(3,3,6),(3,6,3),(6,3,3),(3,4,4),(4,4,3),(4,3,4)【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子,如果每次2粒,3粒,4粒或6粒地取出,最终盒内都剩一粒棋子;如果每次11粒地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少粒棋子?(2002年重庆市竞赛题)思路点拨 无论怎样取,盒子里的棋子数不变,恰当设未知数,•把问题转化为求不定方程的正整数解.解:提示:设盒子里共有x 粒棋子,则x 被2、3、4、6的最小公倍数12除时,余数为1,即x=12a+1(a 为自然数),又x=11b(b 为自然数),得12a+1=11b,b=12111a + =a+111a +,11│a+1• 因0<x ≤200,故0<12a+1≤200,得0<a<16712,a=10,所以x=12×10+1=•121,•即盒子里共有121粒棋子.【例5】中国百鸡问题:鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何? (出自中国数学家张丘建的著作《算经》)思路点拨 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为x,y,z,则有100531003x y z zx y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩通过消元,将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解.解:消去方程组中的z,得7x+4y=100,显然,(0,25)是方程的一个特解,•所以方程的通解为4257x ty t=-⎧⎨=+⎩(t 为整数),于是有t=100-x-y=100+4t-(25+7t)=75-3t,由x,y,z ≥0且t•为整数得4025707530t t t -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩,t=0,-1,-2,-3,将t 的值代入通解,得四组解 (x,y,z)=(0,25,75),(4,18,78) (8,11,81),(12,4,84)【例6】甲组同学每人有28个核桃,乙组同学每人有30个核桃,•丙组同学每人有31个核桃,三组的核桃总数是365个,问三个小组共有多少名同学?(2001年海峡两岸友谊赛试题)思路点拨 设甲组同学a 人,乙组学生b 人,丙组学生c 人,由题意得28a+30b+31c=365,怎样解三元一次不定方程?运用放缩法,从求出a+b+c 的取值范围入手.解:设甲组、乙组、丙组分别有学生a 人、b 人、c 人,则28a+30b+31c=365 因28(a+b+c)<28a+30b+31c=365,得a+b+c<36528<13.04 所以a+b+c ≤13因31(a+b+c)>28a+30b+31c=365,得(a+b+c)>36531>11.7 所以a+b+c ≥12因此,a+b+c=12或13当a+b+c=13时,得2b+3c=1,此方程无正整数解.故a+b+c≠13,a+b+c=12学力训练一、基础夯实1.已知x,y,z满足x+y=5及z2=xy+y-9,则x+2y+3z=_______.(2002年山东省竞赛题)2.已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(xyz≠0),那么22222223657x y zx y z++++的值为________.3.用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张,每种邮票至少买一张,共有______种不同的买法.4.购买512345则55.希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个,其总价值为330元,•这三种球的价格分别是足球每个60元,篮球每个30元,排球每个10个,•那么其中排球有________个. (2003年温州市中考题)6.方程(x+1)2+(y-2)2=1的整数解有( ).A.1组B.2组C.4组D.无数组7.三元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( ).A.20001999个B.19992000个C.2001000个D.2001999个 (第11届“希望杯”邀请赛试题)8.以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式,a、b、c、d、e、f各代表一个数(不一定相同),则a+b+c+d+e+f=( ).abcdef× 4efabcdA.27B.24C.30D.无法确定 (“五羊杯”邀请赛试题)9.求下列方程的整数解: (1)11x+5y=7; (2)4x+y=3xy.10.在车站开始检票时,有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站.•检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站,设旅客按固定的速度增加,•检票口检票的速度也是固定的,若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;•如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以便后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口? (2001年广州市中考题)11.下面是同学们玩过的“锤子、剪子、•布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”。
七年级(下)数学竞赛试题精选不定方程(组)
七年级(下)数学竞赛试题精选不定方程(组)1.不定方程4x+7y=36的非负整数解是_____________。
2.已知p 为偶数,q 为奇数,方程组{199219933x y p x y q -=+=的解是整数,那么( )A.x 是奇数，y 是偶数．B ．x 是偶数，y 是奇数．C ．x 是偶数，y 是偶数．D ．x 是奇数，y 是奇数．3．如果x ，y 只能取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的数，并且3x-2y=1，那么代数式10x+y 可以取到( )不同的值．A ．1个．B ．2个．C ．3个．D ．多于3个的．4．若a ，b ，c ，d 为非负整数．且(a 2+b 2)(c 2+d 2)=1993．则a 2+b 2+c 2+d 2=______5.方程1995x+6y=420000的一组整数解(x 、y)是[ ]A ．(61，48723)．B ．(62，48725)．C ．(63，48726)．D(64，48720)．6．若k 为整数，则使得方程(k －1999)x=2001—2000x 的解也是整数的k 值有( )．A ．4个B ．8个C ．12个D ．16个7.m 为正整数．已知二元一次方程组{210320mx y x y +=-=有整数解，即x,y 均为整数，则m 2= ．8已知m 是整数且－60<m<－30，关于x ，y 的二元一次方程组{23537x y x y m +=-=有整数解，则m= x 2+y= ．9.若正整数x ，y 满足2004x=15y ，则x+y 的最小值是_________；10.方程x ＋y ＋z ＝7的正整数解有（ ）（A ）10组 （B ）12组 （C ）15组 （D ）16组11.正整数x ，y 满足（2x-5）（2y-5）=25，则x+y 的值是（ ）A 、10；B 、18；C 、26；D 、10或18；12、已知正整数a ，b ，c （其中a ≠1）满足a b c=a b +30，则a+b+c 的最小值是 ；最大值是 ；13.方程24xy x +=的整数解有（ ）组A 、2B 、4C 、6D 、814．若a 、b 、c 都是正整数，且a ＋b ＋c ＝55，a －bc ＝－8，则abc 的最大值为 ，最小值为 ．15.a.b.c 都是质数，且满足a+b+c+abc=99 . 则111111a b b c c a -+-+-=___ 16. 已知m.n 都是正整数 , 且463m m n -是整数，若m n的最大值是a, 最小值是b. 则a+b=17． 如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x ，y ，z ）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．。
初中数学第21章不定方程竞赛专题复习(人教版有答案)
初中数学第21章不定方程竞赛专题复习（人教版有答案）第21章不定方程§21.1 二元一次不定方程21.1.1★求不定方程的正整数解．解析因为，，，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中可以取一切正整数．21.1.2★求的整数解．解析1 将方程变形得．因为是整数，所以应是11的倍数．由观察得，是这个方程的一组整数解，所以方程的解为为整数．解析2 先考察，通过观察易得，所以，可取，．从而为整数．评注如果、是互质的整数，是整数，且方程① 有一组整数解、．则此方程的一切整数解可以表示为其中，±1，±2，±3，…．21.1.3★求方程的非负整数解．解析因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得．① 由观察知，，是方程② 的一组整数解，从而方程①的一组整数解为所以方程①的一切整数解为因为要求的原方程的非负整数解，所以必有由于是整数，由③、④得15≤ ≤16，所以只有 15， 16两种可能．当 15时， 15，；当 16时， 4， 3．所以原方程的非负整数解是21.1.4★求方程的所有正整数解．解析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求解．用方程① 的最小系数7除方程①的各项，并移项得．② 因为、是整数，故也是整数，于是有．再用5除此式的两边得．③ 令 (整数)，由此得．④ 由观察知，是方程④的一组解．将代入③得．代入②得 =25．于是方程①有一组解，，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得只能取0，1．因此得原方程的正整数解为21.1.5★求方程的整数解．解析因为，，．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得 1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4 =37-9×(37-33)=9×33-8×37=9×(107-2×37)-8×37=9×107-26×37 =37×(-26)+107×9, 由此可知，是方程的一组整数解．于是 , 是方程的一组整数解．所以原方程的一切整数解为是整数．21.1.6★求方程的整数解．解析设，即，于是．原方程可化为用前面的方法可以求得①的解为是整数．②的解为是整数．消去，得是整数．21.1.7★求方程的整数解．解析设，则对于①，，是一组特解，从而①的整数解为是整数．又，是方程②的一组特解，于是②的整数解为是整数．所以，原方程的整数解为、是整数．21.1.8★求方程组的正整数解．解析消去，得．①．易知，是它的一组特解，从而①的整数解为是整数．代入原方程组，得所有整数解为是整数．由，，得，所以 0，1，故原方程组的正整数解为21.1.9★求方程的正整数解的组数．解析因为，所以，是一组特解．于是方程的整数解为是整数．由得 . 所以 1，2，…，87．故原不定方程有87组正整数解．21.1.10★★某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法? 解析设需枚7分，枚5分恰好支付142分，于是．① 所以．由于≤142，所以≤20，并且由上式知．因为(5，2)=1，所以，从而 1，6，11，16．①的非负整数解为所以，共有4种不同的支付方式．评注当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．21.1.11★★今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只，用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只? 解析设公鸡、母鸡、小鸡各买、、只，由题意列方程组①化简得.③ ③-②得即解得于是的一个特解为所以的所有整数解为是整数．由题意知，，，，所以，解得故 . 由于是整数，故只能取26，27，28，而且、、还应满足．所以26 4 18 78 27 8 11 81 28 12 4 84即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．21.1.12★★小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分．小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次．小明套lO次共得61分，问：小鸡至少被套中几次? 解析设套中小鸡次，套中小猴次，套中小狗次，则根据题意得我们要求这个方程组的正整数解．消去：从①中减去②×2得，于是．③ 由③可以看出．从而的值只能是1，2，3，4，5．将③写成，由于是整数，所以必须是3的倍数．从而只有2、5两个值满足这一要求．但时，，不是正整数．在时，，是本题的解．因此小鸡被套中5次．评注本题问“小鸡至少被套中几次?”实际上却只有一个解，“至少”两字可以省去．21.1.13★★今有浓度为5％、8％、9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克，现要配制成浓度为7％的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克? 解析设甲、乙、丙盐水分别各取克、克、克，配成浓度为7％的盐水100克，依题意有其中，0≤ ≤60，0≤ ≤47．解方程组可得由得．又，，和，，均满足题设，故甲种盐水最少可用35克，最多可用49克．§21.2 勾股数21.2.1★★★满足方程的一切基本勾股数、、（为偶数)，都可表示为以下形式：，，，① 其中、为正整数，( ， )=1，，、一奇一偶．解析设正整数、满足( ， )=1，，、一奇一偶，则．所以一切形如①的正整数、、都是方程的解．下面证明这样的、、是基本勾股数．设，由于、一奇一偶，所以是奇数，由，于是是奇数．又由，得，即，同理．因为是奇数，所以，，于是．由得，所以．这就证明了由①确定的、、是一组基本勾股数．反过来，设、、是一组基本勾股数，且是偶数，和都是奇数，则和都是整数．设，则存在正整数和，使，，，于是，．由于，所以，即．由得．这就可推出上式中右面两个因式都是平方数．设，，这里．，于是可得．由于是奇数，所以、一奇一偶．这就证明了方程的任意一组解、、( 为偶数) 都可由①表示．评注如果正整数、、满足方程，那么就称、、是一组勾股数．边长为正整数的直角三角形就称为勾股三角形．在勾股数、、中，如果这三个数的最大公约数是1，那么这样的勾股数就称为基本勾股数．如果（，，）= ，那么设′，′，′，则有（′，′，′）=1，并且由得，两边除以，得．所以我们只需研究基本勾股数．在基本勾股数、、中，和必定一奇一偶．这一点可以用反证法证明：假定和的奇偶性相同，那么有两种可能的情况：① 和同奇，② 和同偶．如果和同奇，由于奇数的平方是4的倍数加1，所以是4的倍数加2，于是是偶数，也是偶数，而偶数的平方是4的倍数，这与4的倍数加2矛盾，所以和不能都是奇数．如果和都是偶数，那么也是偶数，这与、、是基本勾股数矛盾，所以和中一奇一偶．由此也可推出是奇数．21.2.2★设、、是勾股数，是质数，求证：和都是完全平方数．解析．因为是质数，所以只有1、、三个正约数．由于，所以有由此得，，所以和都是完全平方数．21.2.3★求证：、、 ( 是正整数)是一组勾股数．解析因为是正整数，，．由 , 所以、、是一组勾股数．21.2.4★若勾股数组中，弦与股的差为1，则勾股数组的形式为、、，其中为正整数．解析设弦长为，股长为，勾为．因为（，）=1，所以、、为一组基本勾股数．又为奇数，为偶数，则为奇数．设，则，得，．所以，勾股数组具有形式、、．21.2.5★★求证：勾股三角形的直角边的长能取任何大于2的正整数．解析当是大于1的奇数时，和都是正整数，并且．当是大于2的偶数时，和都是正整数，并且．由以上两式可以看出，勾股三角形的一直角边可取大于2的任何正整数．21.2.6★★求证：在勾股三角形中， (1)必有一条直角边的长是3的倍数； (2)必有一条直角边的长是4的倍数； (3)必有一条边的长是5的倍数．解析设该勾股三角形的三边的长分别为、、（是斜边)，则．只要证明、、是基本勾股数时的情况．不失一般性，设为偶数，则，，，其中、满足上述定理中的条件． (1)若、中至少有一个是3的倍数，则是3的倍数；若、都不是3的倍数，设，，则是3的倍数． (2)由于、一奇一偶，所以是4的倍数． (3)若、都不是5的倍数，则的末位数是1或9；的末位数字是4或6． 1+4=5，1+6=7，9+4=13，9+6=15，由于一个完全平方数的末位数不可能是7和3，所以的末位数只可能是5．于是的末位数是5．评注由此可推出，勾股三角形的面积必是6的倍数；三边之积必是60的倍数．21.2.7★★求基本勾股数组，其中一个数是16．解析设勾股数组、、，其中16．16=2×4×2=2×8×1，若，，有( )-2≠1，从而只有，，，且和为一奇一偶．于是，．从而，只有一组基本勾股数16、63、65．评注若不要求基本勾股数，则16=2×4×2，设，，得，．即16、12、20为一组勾股数．又，设，，得，．即16、30、34为一组勾股数．21.2.8★★设、、为一组勾股数，其中为奇质数，且 > ， > ．求证：必为完全平方数．解析因为、、为一组勾股数，，，则有．，．设，则有．因为，为奇质数，则 (否则，若，则，矛盾)．由，得，从而是完全平方数．21.2.9★★直角三角形的三边的长都是正整数，其中有一条直角边的长是35，它的周长的最大值和最小值分别是多少? 解析设直角三角形的三边长分别是35，，，则，即． 1225的大于35的正约数可作为，其中最大的是1225，最小的是49，所以，直角三角形的周长的最大值是 35+1225=1260，最小值是35+49=84．21.2.10★★设为大于2的正整数．证明：存在一个边长都是整数的直角三角形，它的一条直角边长恰为．解析只需证明不定方程，有正整数解．利用，结合与具有相同的奇偶性，故当为奇数时，由（，）=（1，），可得不定方程的一组正整数解（，）= ；而当为偶数时，由条件，知≥4．利用（，）= ，可得不定方程的一组正整数解（，）= ．综上，可知命题成立。
初一奥赛培训17：二元一次不定方程的解法(1)
初一奥赛培训17：二元一次不定方程的解法一、解答题（共15小题，满分150分）1、小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？2、求不定方程x﹣y=2的正整数解．3、求证：如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①，有一组整数解x0，y0，则此方程的一切整数解可以表示为，其中t=0，±1，±2，±3，…．4、求11x+15y=7的整数解．5、求方程6x+22y=90的非负整数解．6、求方程7x+19y=213的所有正整数解．7、求方程37x+107y=25的整数解．8、某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？9、求方程9x+24y﹣5z=1000的整数解．10、今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？11、求下列不定方程的整数解：（1）72x+157y=1；（2）9x+21y=144；（3）103x﹣91y=5．12、求下列不定方程的正整数解：（1）3x﹣5y=19；（2）12x+5y=125．13、求下列不定方程的整数解：（1）5x+8y+19z=50；（2）39x﹣24y+9z=78．14、求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整数解．15、求不定方程组的正整数解．答案与评分标准初一奥赛培训17：二元一次不定方程的解法一、解答题（共15小题，满分150分）1、小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？考点：二元一次方程的应用。
分析：通过理解题意，我们可以知道本题中存在一个等量关系，即钱数和买橡皮铅笔花去的数目是相等的，根据这一等量关系，可以列出方程求解作答．解答：解：设小张买了x块橡皮，y支铅笔，则根据题意得方程：3x+11y=50．这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．因为铅笔每支1角（1分），所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．若y=0，则x=，不是整数，不合题意；若y=1，则x=13，是整数，符合题意；若y=2，则x=，不是整数，不合题意；若y=3，则x=，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意．所以，这个方程有两组正整数解，即或；答：5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．故答案为：2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．点评：本题解题的关键在于，找到题目中所给的等量关系，再根据这一等量关系，列出方程求解作答，另外应特别注意，实际问题实际分析．2、求不定方程x﹣y=2的正整数解．考点：解二元一次方程。
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初一数学竞赛训练题（五）（不定方程）
1、某人的生日月份数乘以31，生日的日期乘以12，相加后347，求此人的生日。
2、某旅游团一行50人到一旅馆住宿，旅馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中，三人间的每人每天30元，二人间的每人每天40元，单人间的每天50元。
如果旅游团共住满了20间客房，问三种客房各住几间？怎样消费最低？
3、房间有凳子、椅子若干，每个凳子有3条腿，每把椅子有4条腿。
当它们都被人坐上后，共人腿35条（其中每人仅一条腿），问房间里有凳子、椅子各多少？
4、一篮鸡蛋，若三个三个地数多一个；若五个五个地数多二个；若七个七个地数多六个。
则这篮鸡蛋至少有多少个？
a0恰为原数的倍数。
5、找出所有具有下面性质的两位数ab，使得b
6、老师将全班40人分成三种课外小组，语文组每组3人，数学组每组8人，外语组每组2人，问语文组、数学组、外语组各有多少组？
7、矩形边长为整数，周长与面积数值上相等，求边长？
8、某同学将自己的生日的月份乘以31，将生日的日期乘以12，其和为189，试求这个同学的生日。
9、大客车48个座位，小客车30个座位，现有306个乘客，要求每个乘客都有座位且不空位，需要大、小客车各几辆？。