广西武鸣县高级中学2016届高三第一次月考数学试卷(理)

2016届高三上学期8月月考数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}22A x a x a =-<<+，{}2450B x x x =--<，若A B A =⋂，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,3 B ．()1,3 C ．[]3,1-- D ．()3,1--2．若m n ，表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．已知向量()2,1=，()0,1=，()4,3=．若λ为实数，()//λ+，则=λ（ ） A ．41 B ．21C ．1D ．2 5．设a ∈R ，则1=a 是直线1:210l ax y +-=与直线04)1:2=+-+ay x a l （垂直的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．若函数()cos f x x x ωω=+的图像向右平移3π个单位后所的图像关于y 轴对称，则ω的值可以是（ ）A ．7 B ．8 C ．9 D ．107．某厂生产的零件外径)04.0,10(~N ξ，今从该厂上、下午生产的零件中各取一件， 测得外径分别为10．5cm ，9．3c m ，则可认为（ ）A ．上午生产情况正常，下午生产情况异常B ．上午生产情况异常，下午生产情况正常C ．上、下午生产情况均正常D ．上、下午生产情况均不正常8．已知)(x f '是奇函数)(x f 的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时，0)()(>-'x f x f x ， 则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是（ ）A ．)1,0()1,( --∞B ．),1()0,1(+∞-C ．)1,0()0,1( -D ．),1()1,(+∞--∞9．已知数列{}n a为等比数列，且201320150a a +=⎰，则2014201220142016(2)a a a a ++的值为（ ）A ．π B ．2π C ．2π D ．24π 10．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）A ．12B ．4C ．563 D．311．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．3C ．332 D ．2 12．已知,a b R ∈，直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图象在4x π=-处相切， 设()2xg x e bx a =++，若在区间[]1,2上，不等式()22m g x m ≤≤-恒成立，则实数m （ ） A ．有最小值e - B ．有最小值e C ．有最大值e D ．有最大值1e +二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知233m +-ii为实数，其中i 是虚数单位，则实数m 的值为 ． 14．在极坐标系中，点（2，6π）到直线ρsin θ＝2的距离等于________． 15．若不等式组2,0,360.y x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为M ，不等式y x ≥表示的平面区域为N ．现随机向区域M 内撒下一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为 ． 16．在如下程序框图中，若任意输入的t ∈[-2，3]，那么输出的s 的取值范围是 ，三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A C =． （1）求角C 的大小；（2sin()2A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．18．（本小题满分12分）某校高二年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查．设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”（1）请完成此统计表；（2）试估计高二年级学生“同意”的人数；（3）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 22n n =+， （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）令1n nb S =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ;20．（本小题满分12分）如图，C A 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，C 30∠BA = ，C BM ⊥A 交C A 于点M ，EA ⊥平面C AB ，FC//EA ，C 4A =，3EA =，FC 1=．（1）证明：EM ⊥F B ；（2）求三棱锥F E -BM 的体积．21．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求12S S ； ②若原点O 到直线TMN的距离为41请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用要注意答题卷作答位置22． （本小题满分10分）已知函数d cx bx x x f +++=2331)(的图象过点（0，3），且在)1,(--∞和),3(+∞上为增函数，在)3,1(-上为减函数．（1）求)(x f 的解析式； （2）求)(x f 在R 上的极值．23．（本小题满分10分）已知⊙C的极坐标方程为：2sin()604πρθ-++=（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的圆心坐标，并选择合适的参数，写出圆C 的参数方程； （Ⅱ）点(,)P x y 在圆C 上，试求u xy =的值域24．（本小题满分10分）已知12,,,a b x x 为正实数，且满足1a b += ．（1）求224b a +的最小值；（2）求证：121212()()ax bx bx ax x x ++≥ ．2016届8月月考卷 数学（理）答案一、选择题 1．【答案】A【解析】{}{}245015x x x x x B =--<=-<<，因为A B A =⋂，所以2125a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得：13a a ≥⎧⎨≤⎩，所以实数a 的取值范围是[]1,3，故选A ． 2．【答案】B【解析】若//,//,m n αα则//m n 或,m n 相交或,m n 异面，故A 错；若m α⊥，n α⊂，，由直线和平面垂直的定义知，m n ⊥，故B 正确；若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故C 错；若//m α，m n ⊥，则n 与α位置关系不确定，故D 错． 3．【答案】B 【解析】2()321f x x ax '=-+-，由题意，0123)(2≤-+-='ax x x f 在R 上恒成立，2(2)4(3)(1)0a a ∆=-⨯-⨯-≤⇒≤4．【答案】B【解析】()2,1λλ+=+b a，与向量c平行，所以3241⨯=⨯+）（λ，解得21=λ， 5．【答案】A 【解析】两直线垂直，得到：()()021=-++a a a ，解得：0=a 或1=a ， 所以应是充分不必要条件． 6．【答案】B【解析】化简后得()⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin 2πωx x f ，向右平移3π个单位后得到的函数是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=63sin 2ππωx y ，关于y 轴对称，所以当0=x 时，函数取得最值，所以Z k k ∈+=+⋅,263-πππωπ，那么Z k k ∈=,3-1-ω，所以3-=k 时，8=ω．7．【答案】A 【解析】因为 ，所以(3,3)μσμσ-+应为(9.4,10.6)，故选A 。

8.【答案】B 【解析】构造函数()()f x F x x =，则2()()()0,(0)xf x f x F x x x '-'=>>，故知 函数()()f x F x x =在(0,)+∞上是增函数，又因为)(x f 是奇函数，所以函数()()f x F x x=是偶函数，且知(1)(1)01f F --==-；所以(1)(1)0F F =-=，且在(,0)-∞是减函数，在坐标系中作出函数()()f x F x x=的草图如下：由图可知 使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是),1()0,1(+∞- ，故选B ． 9．【答案】C【解析】由定积分的几何意义可得⎰，表示圆224x y +=在第一象限的图形的面积，即四分之一圆，∴可得2201320150124a a ππ+==⨯⨯=⎰，∴2014201220142016201420122014201420142016()2a a a a a a a a a a ++=++2220132013201520152a a a a =++2220132015()a a π=+=．10．【答案】B【解析】由三视图还原几何体，如图，它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2， 这个几何体的体积：12422432V +=⨯⨯⨯=． 11．【答案】D【解析】()02，F ，4=p ，所以422=+b a ，根据抛物线的焦半径公式，522=+=+=x px PF ，解得3=x ，代入抛物线有242=y ，因为点P 是交点，所以代入双曲线，有124922=-b a ，解得：3,122==b a ，所以离心率2==a ce ．12．【答案】D ．【解析】∵()sin tan cos xf x x x ==，∴222cos sin (sin )1'()cos cos x x x f x x x-⋅-==， ∴'()24a f π=-=，又∵点(,1)4π--在直线2y ax b π=++上，∴12()42b ππ-=⋅-++，∴1b =-，∴2()2xg x e x =-+，'()2xg x e x =-，''()2xg x e =-，当[1,2]x ∈时， ∴''()''(1)20g x g e ≥=->，∴'()g x 在[1,2]上单调递增，∴'()(1)20g x g e ≥=->，∴()g x 在[1,2]上单调递增，∴min 22max ()(1)12()(2)2m g x g e m e m g x g e ≤==+⎧⇒≤-⎨-≥==-⎩或1e m e ≤≤+， ∴m 的最大值为1e +，无最小值，D 正确．二．填空题： 13．【答案】2-【解析】因为2223(233(296)399m m m m m m +++-+==-++i i)(i))+(3ii 为实数，所以60, 2.m m +==-314．【答案】1【解析】在极坐标系中，点（2，6π1），直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中的方程为y ＝2，所以点到直线的距离为1．15．【答案】34【解析】不等式组2,0,360.y x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为M ，不等式y x ≥表示的平面区域为N ．M 的面积为121212,2⨯⨯=其中满足y x ≥的图形面积为1122392-⨯⨯=，所以随机向区域M 内撒下一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为93124=． 16．【答案】[-10，6]【解析】：由程序框图可知：25,024,0t t S t t t <⎧=⎨-≥⎩， ∴当[2,0)t ∈-时，1050t -≤<；当[0,3]t ∈时，22242(1)2[2,6]t t t -=--∈-，∴综上得：106S -≤≤． 三、解答题： 17．【答案】（1）3C π=（2）最大值为1，此时,33A B ππ==【解析】（1）由sin cos c A C =结合正弦定理得，sin sin a cA C ==，…2分从而sin C C =，tan C = ……4分 ∵0C π<<，∴3C π=； ……6分（2）由（1）知23B A π=-， ……7分sin()cos 2A B A B π-+=- ……8分2cos()3A A π=--22cos cos sin sin 33A A A ππ=-- ……9分1cos 2A A =+sin()6A π=+， ……10分 ∵203A π<<，∴5666A πππ<+<，当62A ππ+=sin()2A B π-+取得最大值， ……11分此时,33A B ππ==． ……12分18．【答案】（1）详见解析；（2）105；（3）158． 【解析】（1）由分层抽样可知，男生、女生和教师被抽取的人数分别为5,6,2，被调查人答（2）23126105426310565⨯+⨯=+=（人）（3）设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法； 其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），8种满足题意，则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为815． 19．【答案】（1）21n a n =+ （2）2354(1)(2)n n nT n n +=++【解析】（12分）（1）n=1时，13S =n 12,21n n n a S S n -≥=-=+时21n 2)n a n ∴=+≥（当n=1时113a S ==21n 1)n a n ∴=+≥（（2）11111()(2)22n n b S n n n n ===-++， 111111111111[(1)()()...()()()]2324352112n T n n n n n n =-+-+-+-+-+---++1111(1)2212n n =+--++2354(1)(2)n n n n +=++ 20．【答案】【解析】（1）因为EA ⊥平面C AB ，BM ⊂平面C AB ，所以BM EA ⊥．又因为BM AC ⊥，EA AC A ⋂=，所以BM ⊥平面ACFE ，而E M ⊂平面ACFE ，所以BM EM ⊥．因为C A 是圆O 的直径，所以90ABC ∠=o ．又因为C 30∠BA = ，C 4A =，所以AB =2BC =，3AM =，1CM =．因为EA ⊥平面C AB ，FC EA P ，FC 1=，所以FC ⊥平面CD AB ．所以EAM ∆与FCM ∆都是等腰直角三角形．所以45EMA FMC ∠=∠=o ，所以90EMF ∠=o ，即EM MF ⊥．因为MF BM M ⋂=，所以EM ⊥平面MBF ，而BF ⊂平面MBF ，所以EM ⊥F B ．（2）由（1）可知BM ⊥平面MFE，且BM =E B M F BM E FV V --=，又由（1）可知，3AE AM ==，所以45AME ∠=o ，1FC CM ==，所以45CMF ∠=o ，所以90EMF ∠=o，ME =，MF =，所以132M E F S ∆=⨯=，所以133E B M FV -=⨯ 21．【答案】（1）12（2）①12②2212015x y += 【解析】（1）因为F 是AT 的中点，所以22a a c c-+=，即(2)()0a c a c -+=，又a 、0c >， 所以2a c =，所以12c e a ==； （2）①解法一：过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，依题意，11NF MFe NN MM ==，又2NF MF =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆=， 又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =；解法二：∵2a c =，∴b =，椭圆方程为2222143x y c c+=，(,0)F c ，(4,0)T c ，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，点M 在椭圆2222143x y c c+=上，即有22211334y c x =-，MF ==1111|2|222x c c x ==-=- 同理2122NF c x =-， 又2NF MF =，故1224x x c -=得M 是,N T 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆=， 又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =； ②解法一：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，又,M N 都在椭圆上，即有⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(24)4143x y c cx c y c c +=-+=即⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(2)1434x y c c x c y c c +=-+= 两式相减得：220022(2)3444x x c c c --=，解得074x c =，可得0y =，故直线MN的斜率为8744k c c ==-， 直线MN的方程为4)y x c =-60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，=c =2212015x y +=．解法二：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=， 由①知M 是,N T 的中点，故1224x x c -=，直线MN 的斜率显然存在，不妨设为k ，故其方程为(4)y k x c =-，与椭圆联立，并消去y 得：22222(4)143x k x c c c-+=，整理得：222222(43)3264120k x ck x k c c +-+-=，（*） 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，依题意：⎧⎪⎨⎪⎩21222221223243641243ck x x k k c c x x k +=+-=+ 由⎧⎨⎩212212324324ck x x k x x c +=+-=解得：⎧⎨⎩ 2122221644316443ck c x k ck cx k +=+-=+ 所以222222221641646412434343ck c ck c k c c k k k +--⨯=+++，解之得：2536k =，即k =． 直线MN的方程为(4)6y x c =--60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，41=，解得c =2212015x y +=． 22．【答案】（1）3331)(23+--=x x x x f ；（2）=∴极大值)(x f 143； =极小值)(x f 6- 【解析】（1）)(x f 的图象过点)3,0(，3)0(==∴d f 331)(23+++=∴cx bx x x f ，c bx x x f ++='∴2)(2 又由已知得3,1=-=x x 是0)(='x f 的两个根，⎩⎨⎧-=-=∴⎩⎨⎧=⨯--=+-∴3131231c b c b 故3331)(23+--=x x x x f （2）由已知可得1-=x 是)(x f 的极大值点，3=x 是)(x f 的极小值点=∴极大值)(x f 314)1(=-f =极小值)(x f 6)3(-=f 23．【答案】（1）圆心坐标为，取旋转角α为参数，则圆C 的参数方程为C：2(2x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参变数）；（2）．【解析】（1）取极点为直角坐标系中的原点，极轴为直角坐标系中的轴，取其单位长度，于是222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩代入圆C ：24sin 4cos 60ρρθρθ--+=得：22224460(2)(2)2x y x y x y +--+=⇒-+-=，圆C 的圆心坐标为，半径为r =取旋转角α为参数，则圆C 的参数方程为C：2(2x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参变数）（2）(2)(2)4cos )2sin cos u x y αααααα=⋅==+++设22sin cos 1sin cos )4t t t ααπααα⎧=-⎪=+=+⇒⎨≤⎪⎩∴222()143(1u f t x y t t t ==⋅=+-+=++=++，(t ≤ ∴19u ≤≤，∴u xy =的值域[1,9]u ∈．24．【答案】（1）15；（2）证明详见解析． 【解析】∴2222225541(1)21()444455b b a b b b b +=-+=-+=-+， ∵01b <<， ∴当14,55a b == 时，224b a + 的最小值为15； （2）21212()()ax bx bx ax ++≥221212(()a b x x x x ==+=。