湖南大学《随机过程》课程习题集
随机过程第七章期末练习题
填空题
1、假设某公交线路起点站的发车规则为：自上次发车后若乘客数达到 n 则立刻发下一 趟车，否则要等到 T 1 分钟才发车。若该站平均每分钟到达的乘客数为 ，每分钟到达的乘 客数是独立的，则等到 n 个乘客所需的时间 S n (单位：分钟)的概率密度分布函数为
f Sn (t )
发车间隔 T
计算题
1、如果明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关，并设今天下雨而明 天有雨的概率为 0.7，今天无雨而明天有雨的概率为 0.4，已知今天已经下雨，求第四天仍有 雨的概率。
2、设 E ( n) 为零均值、方差为 0.36 的离散时间正态白噪声，
X (n) 0.8 X (n 1) E (n) ( n )
1 / 4 1 / 4 0 1 / 2 0 1 0 0 P 1 / 2 0 1 / 2 0 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4
①、如果该马尔可夫链在 n 时刻处于 S3 状态，求在 n+2 时刻处于 S1 状态的概率； ②、如果该马尔可夫链在 0 时刻处于 S1 状态，求在 1 时刻处于状态 S4 而 2 时刻处于状 态 S3 的概率。 5 、独立重复地掷一颗均匀的骰子， Xn 表示第 n 次掷出的点数，令 Yn=Xn+1+Xn+2 ， n=0,1,2,……。 ①、计算 P{ Y2=12 | Y1=7, Y0=2}； ②、计算 P{ Y2=12 | Y1=7}； 。 ③、若 Yn 是否为马尔可夫链？为什么？ 6、在数字通信系统中，传输的信号只有 0、1 两种，一般分为多个阶段传输。设在每一 个阶段中出错的概率为 a（0<a<1） 。设 X(0)=0 是要传输的最原始的信号，X(n)（n>0）表示 经过 n 个阶段传输后收到的信号，设 X(n)（n>0）是一个马尔可夫链，试求： ①、X(n)的一步转移概率矩阵； ②、在头三个阶段中原始信号传输均不出错的概率； ③、原始信号经过头三个阶段的传输后收到正确信号的概率； ④、该链的平稳分布是否存在？为什么？如存在，求其平稳分布。 7、设 Xn 表示状态空间为 I={0,1,2}的齐次马尔可夫链，其一步转移概率矩阵为
《随机过程》第6章习题及参考答案
湖南大学本科课程《随机过程》第6章习题及参考答案主讲教师：何松华 教授1. 给定实数x 和一个平稳随机过程()X t ，定义理想门限系统的特性为1()()0()X t xY t X t x≤⎧=⎨>⎩ 试证：(1) [()]()X E Y t F x =；(2) ()](,,)Y X R F x x ττ=证：(1) ()Y t 在任意时刻为只有两种取值1,0的随机变量，则[()]1{()1}0{()0}{()1}{()}(,)() ()X X E Y t P Y t P Y t P Y t P X t x F x t F x =⨯=+⨯====≤==根据平稳性(2)根据相关函数定义，有()][()()]11{()1,()1}01{()0,()1} 10{()1,()0}00{()0,()0}{()1,()1}{(),()}(,;,)(,;) ()Y X X R E Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P X t x X t x F x x t t F x x ττττττττττ=+=⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+===+===+≤≤=+=根据平稳性2．设平方律检波器的传输特性为2y x =，在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程()X t ，其概率密度函数为22()()}2X Xx a f x σ-=- 在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；当0a =时结果有何变化。
解：根据题意，()X t 为非零均值的中频窄带随机过程，可以表示为：00()()cos()()sin()C S X t a A t t A t t ωω=+-其中()C A t 、()S A t 为零均值窄带随机过程的同向分量以及正交分量，都服从均值为0、方差为2X σ的正态分布，且在同一时刻互不相关，则检波器输出信号22002222200000()[()cos()()sin()]1111()()2()cos()()cos(2)()cos(2)2222 2()sin()()()sin(2)C S C S C C S S C S X t a A t t A t t a A t A t aA t t A t t A t t aA t t A t A t t ωωωωωωω=+-=++++--- 通过理想低通滤波后，滤波器输出信号为2221()[()()]2C S Z t a A t A t =++由于随机变量()C A t 、()S A t 为互不相关(正态分布情况与独立等价)的正态随机变量，则22122()()()C S XXA t A t Z t σσ=+服从自由度为2的卡方分布，即11121/22/211221()22(2/2)z z Z z ef z e ---==Γ 221()()2X Z t Z t a σ=+，2122[()]()[()]XZ t a Z t h Z t σ-==，根据随机变量函数的概率密度关系，()Z t 的一维概率密度分布函数为22122()1()[()] ()X z a Z Z Xdh z f z f h z e z a dz σσ--==≥2222222211[()]{[()()]}[]22C S X X X E Z t E a A t A t a a σσσ=++=++=+当0a =时，221() (0)X zZ Xf z e z σσ-=≥，2[()]X E Z t σ=。
随机过程习题及部分解答【直接打印】
随机过程习题及部分解答习题一1. 若随机过程()(),X t X t At t =-∞<<+∞为，式中A 为（0，1）上均匀分布的随机变量，求X (t )的一维概率密度(;)X P x t 。
2. 设随机过程()cos(),X t A t t R ωθ=+∈，其中振幅A 及角频率ω均为常数，相位θ是在[,]ππ-上服从均匀分布的随机变量，求X (t )的一维分布。
习题二1. 若随机过程X (t )为X (t )=At t -∞<<+∞，式中A 为（0,1）上均匀分布的随机变量，求12[()],(,)X E X t R t t2. 给定一随机过程X (t )和常数a ，试以X (t )的相关函数表示随机过程()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。
3. 已知随机过程X (t )的均值M X (t )和协方差函数12(,),()X C i t t ϕ是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+的均值和协方差函数。
4. 设()cos sin X t A at B at =+，其中A ，B 是相互独立且服从同一高斯（正态）分布2(0,)N σ的随机变量，a 为常数，试求X (t )的值与相关函数。
习题三1. 试证3.1节均方收敛的性质。
2. 证明：若(),;(),X t t T Y t t T ∈∈均方可微，a ,b 为任意常数，则()()aX t bY t +也是均方可微，且有[()()]()()aX t bY t aX t bY t '''+=+3. 证明：若(),X t t T ∈均方可微，()f t 是普通的可微函数，则()()f t X t 均方可微且[()()]()()()()f t X t f t X t f t X t '''=+4. 证明：设()[,]X t a b 在上均方可微，且()[,]X t a b '在上均方连续，则有()()()b aX t dt X b X a '=-⎰5. 证明，设(),[,];(),[,]X t t T a b Y t t T a b ∈=∈=为两个随机过程，且在T 上均方可积，αβ和为常数，则有[()()]()()b b baaaX t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰⎰⎰()()(),b c baacaX t dt X t dt X t dt a c b =+⎰⎰⎰≤≤6. 求随机微分方程()()()[0,](0)0X t aX t Y t t X '+=∈+∞⎧⎨=⎩的()X t 数学期望[()]E X t 。
（完整版）随机过程习题答案
（完整版）随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。
解因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验，定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求：（1）)(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，⽅差 )1(),(22X Xt σσ。
随机过程第二章期末练习题
湖南大学信息科学与工程学院
第二章练习题 判断题
确定信号为特殊的随机信号， 如果称某个确定信号为平稳的， 意味着该信号为常量。 （V） 则该随机过程一定隐含周 若平稳随机过程的功率谱密度函数在 0 处含有冲激， 期性。 （X） 平稳随机过程一定是各态历经的。 （X） 平稳随机过程经过线性变换后一定是平稳的。 （V） 如果平稳随机过程的任意样本函数是连续的， 则该过程依均方意义连续， 反之亦然。 若平稳随机过程的协方差函数 K X ( ) 不满足 K X () 0 ，则该过程必定隐含周期 性。 （V） 对随机过程作重复多次的观测时， 各次所得到的时间 t 的函数具有相同的形式。 （X） 可用研究多维随机变量的方法来研究随机过程。 （V） 数学期望和方差不仅描述了随机过程在各个时刻上取值的特性， 还能反映随机过程 不同时刻取值之间的内存联系。 （X） 具有相同的数学期望和方差的两个随机过程统计特性相同。 （X） 自相关函数的绝对值越大，表示相关性越强。 （V） 一般而言，自相关函数的两个时刻相隔越远，自相关函数的绝对值就越小。 （V） 自相关函数可以反映随机过程两个时刻之间的相关性，协方差函数则不能。 （X） 二阶矩过程的自相关函数必定存在。 （V） 平稳随机过程的统计特性在相当长的时间内是不变的。 （V） 如果随机过程 X(t)的任意 n 维概率密度在时间上平移任意△t 后，此函数不变，则 称 X(t)为广义平稳随机过程。 （X） 狭义平稳随机过程的任意维概率密度与时间起点无关， 即 X(t)与 X(t+△t) 有相同的 统计特性。 （V） 广义平稳随机过程必定是狭义平稳的，而狭义平稳的随机过程则未必是广义平稳 的。 （X） 相关时间小， 意味着相关系数随τ的增大而迅速减小， 这说明随机过程随时间而激 烈变化；反之，相关时间大，则说明随机过程随时间变化缓慢。 （V） 自相关函数是实偶函数。 （X） 设随机过程 X(t)=u sin(ω t+Φ)，其中 u 和ω 皆为常数，Φ为 [0,2π]上均匀分 m m 0 0 布的随机变量，则 X(t)为一平稳随机过程。 （V） 设随机过程 X(t)=At，A 为在[0,1]上均匀分布的随机变量，则 X(t)是平稳过程。 （X） 设随机过程 Z(t)=Xcost+Ysint，－∞<t< ∞，其中 X，Y 为相互独立的随机变量，并 分别以概率 2/3、1/3 取值-1 和 2。则 Z(t)既是广义平稳随机过程，又是狭义平稳随 机过程。 （X） 设随机过程 X(t)=X (k) ，k=…-2, -1,0,1,2…， X (k)为相互独立且具有相同分布的随
随机过程课后习地的题目
习题一1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。
求X 的特征函数、EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2）求其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
3．设X 是一随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数； （2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为自然数）。
4．设12,,...,n X X X 相互独立，具有相同的几何分布，试求 的分布。
5．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
6．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
7．设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 的概率密度函数。
8．设X 、Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。
求X+Y 的分布。
9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为试求其特征函数。
10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为B σ⨯kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。
11．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。
12．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从2(0,)N σ，试求：（1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数；1,0()0,0()p p bxb x e x p x p x --⎧>⎪Γ⎨⎪≤⎩=0,0b p >>1nk k X =∑(1)()(1)jt jnt jt e e f tn e -=-21()1f t t=+11ni i X X n ==∑221[1()],1,1(,)40,xy x y x y p x y ⎧+--<<⎪=⎨⎪⎩其他（2）设112123123,,S X S X X S X X X ==+=++，求随机向量(S 1, S 2, S 3)的特征函数；（3）121Y X X =-和232Y X X =-组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。
随机过程习题及答案
随机过程习题及答案第二章随机过程分析1.1学习指导1.1.1要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。
1.随机过程的概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。
可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。
2.随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。
ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ξ(t 1)≤x 1]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为F 1(x 1,t 1)=P [ξ(t 1)≤x 1](2-1)如果F 1(x 1,t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1)≤x 1和ξ(t 2)≤x 2同时成立的概率称为随机过程?(t )的二维分布函数。
如果存在，则称f 2(x 1,x 2;t 1,t 2)为随机过程?(t )的二维概率密度函数。
对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5)=≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程?(t )的n 维分布函数。
如果存在，则称f n (x 1,x 2,…,x n ;t 1,t 2,…,t n )为随机过程?(t )的n 维概率密度函数。
3.随机过程的数字特征随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。
随机过程?(t )在任意给定时刻t 的取值?(t )是一个随机变量，其均值为其中，f 1(x ,t )为?(t )的概率密度函数。
随机过程?(t )的均值是时间的确定函数，记作a (t )，它表示随机过程?(t )的n 个样本函数曲线的摆动中心。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、选择题1. 关于随机过程的描述，错误的是：A. 随机过程是一种由随机变量组成的集合B. 随机过程是一种在时间上有序排列的随机变量序列C. 随机过程可以是离散的，也可以是连续的D. 随机过程是一种确定性的数学模型答案：D2. 以下哪种过程不是随机过程？A. 白噪声过程B. 马尔可夫过程C. 布朗运动D. 正态分布答案：D3. 随机过程的一阶矩描述的是：A. 均值B. 方差C. 偏度D. 峰度答案：A4. 当随机过程的各个时间点上的随机变量是独立同分布时，该随机过程为：A. 马尔可夫过程B. 马尔可夫链C. 平稳随机过程D. 白噪声过程答案：B5. 下列关于马尔可夫过程的说法中，正确的是：A. 当前状态只与上一状态有关，与历史状态无关B. 当前状态只与历史状态有关，与上一状态无关C. 当前状态只与上一状态和历史状态有关D. 当前状态与所有历史状态均无关答案：A二、填空题1. 随机过程中，时域函数常用的表示方法是__________。
答案：概率分布函数或概率密度函数2. 马尔可夫过程的状态转移概率只与__________相关。
答案：当前状态和下一状态3. 随机过程的时间参数称为__________。
答案：时刻或时间点4. 白噪声过程的自相关函数是一个__________函数。
答案：冲激函数5. 平稳随机过程的自相关函数只与__________相关。
答案：时间差三、解答题1. 请简要解释随机过程的概念。
随机过程是一种由随机变量组成的集合，表示一个在时间上有序排列的随机变量序列。
它可以是离散的，也可以是连续的。
随机过程的描述通常包括概率分布函数或概率密度函数，以及相关的统计特征，如均值、方差等。
随机过程可以用于对随机现象进行建模和分析。
2. 请简要说明马尔可夫过程的特点及应用。
马尔可夫过程是一种具有马尔可夫性质的随机过程，即当前状态只与上一状态有关，与历史状态无关。
其状态转移概率只与当前状态和下一状态相关。
(完整版)随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
随机过程习题和答案.doc
一、设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球后放回，对每一个确定的t对应随机变量X(t)t3te如果对如果对t时取得红球t时取得白球试求这个随机过程的一维分布函数族.设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
设随机过程X(t)U cos2t U E(U)5，D(U)5.求：，其中是随机变量，且（1）均值函数；（2）协方差函数；（3）方差函数.设有两个随机过程X(t)Ut2Y(t)Ut3,U随机变量，且D(U)5.，其中是试求它们的互协方差函数。
设A,B,X(t)At3B t T(,)的均值是两个随机变量试求随机过程，函数和自相关函数.A,B,~(1,4),~(0,2),()(,)若相互独立且A N B U则m X t及R X t1t2为多少？一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令N(t)表示(0,t)时间内的体检人数，则N(t)为参数为30的poisson过程。
以小时为单位。
则E(N(1))30。
40k(30) P(N(1)40)ek!k030。
在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1，2，当1路公共汽车有N人乘坐后出发；2路公共汽车1在有N2人乘坐后出发。
设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当N1=N，1=22时，计算上述概率。
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湖南大学本科课程《随机过程》习题集主讲教师：何松华 教授第一章：概述及概率论复习1。
1 设一批产品共50个，其中45个合格，5个为次品,从这一批产品中任意抽取3个，求其中有次品的概率。
1。
2 设一批零件共100个，次品率为10％，每次从其中任取一个零件,取出的零件不再放回，求第3次才取得合格品的概率。
1。
3 设一袋中有N 个球，其中有M 个红球，甲、乙两人先后各从袋中取出一个球,求乙取得红球的概率（甲取出的球不放回)。
1.4 设一批产品有N 个，其中有M 个次品，每次从其中任取一个来检查，取出后再放回，求连续n 次取得合格品的概率。
1.5设随机变量X 的概率分布函数为连续的，且0()00xA Be x F x x λ-⎧+≥=⎨<⎩其中0为常数，求常数A 、B 的值。
1.6设随机变量X 的分布函数为()() (-<<)F x A Barctg x x =+∞∞（1） 求系数A 、B ；（2）求随机变量落在（-1，1）内的概率；(3)求其概率密度函数。
1.7已知二维随机变量(X,Y ）的联合概率密度分布函数为6(2)0,1(,)0XY xy x y x y f x y elsewhere --≤≤⎧=⎨⎩（1）求条件概率密度函数|(|)X Y f x y 、|(|)Y X f y x ；(2）问X 、Y 是否相互独立? 1.8已知随机变量X 的概率密度分布函数为22()()]22X X XX x m f x σπσ-=- 随机变量Y 与X 的关系为 Y=cX+b ，其中c,b 为常数.求Y 的概率密度分布函数。
1.9设X 、Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分布函数分别为101()0X x f x elsewhere ≤≤⎧=⎨⎩，0()0y Y e y f y elsewhere-⎧<=⎨⎩求随机变量Z=X+Y 的概率密度分布函数。
1。
10设随机变量Y 与X 的关系为对数关系，Y=ln(X)，随机变量Y 服从均值为m Y 、标准差为Y的正态分布，求X 的概率密度分布.1。
11随机变量X 服从标准正态分布21()exp{}22X x f x π=-，求随机变量n Y X =（n 为正整数）的数学期望及方差。
1。
12随机变量X 服从均值为m X 、标准差为X的正态分布，X 通过双向平方率检波器，Y=cX 2(c>0)，求Y 的概率密度分布。
1。
13设二维随机变量的联合概率密度分布函数为(,)sin() (0,0)22XY f x y A x y x y ππ=+≤≤≤≤(1) 求系数A ，(2）求数学期望E ［X]、E[Y ］,方差D[X]、D[Y]；（3）求X 、Y 的相关函数及相关系数.1。
14设X 为拉谱拉斯随机变量，||() (-) (0)2x X f x e x ααα-=∞<<∞>;求：（1）X 的特征函数,（2）利用特征函数求X 的均值与方差，（3）讨论特征函数实部与虚部的奇偶性。
第二章：随机过程的基本概念2。
1某公共汽车站停放着两辆公共汽车A 、B,从t=1s 开始,每隔1s 有一名乘客到达车站。
如果每名乘客以概率1/2登上A 车,以概率1/2登上B 车，各乘客登上哪辆车是相互独立的，用X j 表示第j 秒到达的乘客的登车状态，即登上A 车则X j =1，登上B 车则X j =0；设t=n 时A 车上的乘客数为Y n .（1)求离散时间随机过程Y n 的一维概率分布率；(2)当公共汽车A 上的乘客达到10个时，A 即开车，求A 车出发时刻n 的概率分布。
2.2一个正弦振荡器,由于元器件的热噪声和电路分布参数变化的影响，其输出的正弦波可以看作一个随机过程()cos()X t A t =Ω+Φ，其中A 、、为相互独立的随机变量，且2002/(0,)()0A a A a A f a otherwise ⎧∈=⎨⎩，1/100(250,350)()0f otherwise ωωΩ∈⎧=⎨⎩，1/(2)(0,2)()0f otherwise πϕπϕΦ∈⎧=⎨⎩求随机过程X （t)的一维概率密度分布函数。
2.3用一枚硬币掷1次的试验定义一个随机过程cos()()2t X t t π⎧=⎨⎩出现正面出现反面 设“出现正面”和“出现反面"的概率各为1/2。
(1） 确定X(t ）的一维分布函数F X (x ,1/2)、F X (x ,1）；(2) 确定X(t)的二维分布函数F X (x 1, x 2；1/2,1）；(3）画出上述分布函数的图形.2.4设随机过程()cos()sin() (-)Z t X t Y t t ωω=+∞<<∞，其中〉0为常数，X 、Y 为相互独立的随机变量，概率密度分布函数分别为标准正态分布（即均值为0,标准差为1).若将Z （t)写成()cos()Z t V t ω=+Φ，（1）求随机变量V 、的概率密度分布函数及联合概率密度分布函数，问二者是否统计独立？(2）求随机过程的一维概率密度分布函数。
2。
5求4题所给出的随机过程的均值及相关函数，并判断该随机过程是否为广义平稳随机过程。
2.6设某信号源每T(s ）产生一个幅度为A 的方波脉冲，脉冲宽度X 为均匀分布于［0,T ］的随机变量。
这样构成一个随机过程Y （t)(0t 〈)。
设不同的脉冲是统计独立的，求随机过程Y(t ）的一维概率密度分布函数。
2。
7设随机过程X （t ）=Ycos(t ） （—〈t 〈），其中Y 为均匀分布于［0，1]区间的随机变量，求随机过程X(t ）的自相关函数及自协方差函数. 2.8随机过程1() ()kNj t k k Z t A e t R θ==∈∑，其中A k 服从分布N(0，k2),且相互独立;k为常数,j 为虚数单位，求复随机过程Z (t )的均值函数与方差函数。
2.9随机过程X(t ）=X+Yt ，t R ∈；随机矢量(,)TX Y 的协方差矩阵为2122r r σσ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求随机过程X （t ）的协方差函数。
2。
10给定随机变量X (t i )，x i 为任一实数。
定义另外一个随机过程1()()0()i ii i iX t x Y t X t x ≤⎧=⎨>⎩ 1,2,...i = 试证明Y (t ）的均值和自相关函数分别为X （t ）的一维和二维分布函数。
2。
11有一脉冲串，其中每个脉冲的宽度为1,脉冲可为正脉冲也可为负脉冲，即脉冲的幅度随机地取1或-1(概率相等),各脉冲的幅度取值相互独立；脉冲串的起始时间均匀分布于单位时间内，脉冲间隔为0；求此脉冲随机过程的相关函数。
2.12．设随机过程X （t)=b+Nt ，b 为常量，N 为正态随机变量，均值为m,标准差为,求随机过程X （t)的一维概率密度及均值、方差。
2。
13质点在直线上作随机游动,即质点在n=1,2，3，…时刻可以在x 轴上往右或往左作一个单位距离的随机游动。
往右、左移动的概率分别为p 、q (p +q =1)，P ｛X n =1｝=p ，P ｛X n =—1}=q ，各次游动是相互独立的，经过n 次游动后，质点所在的相对位置为1()ni i Y n X ==∑求：（1）离散时间随机过程Y （n ）的均值函数；（2） Y (n ）的相关函数及自协方差函数. 2。
14设随机过程X(t)=+t ，和为相互独立的随机变量，其概率密度分布分别为()f αα、()f ββ，求随机过程X （t ）的概率密度.2.15设随机过程0()()sin[()]X t A t t t ωϕ=+，其中A （t)0，在同一时刻随机过程A(t ）和（t)是相互独立的，且(t)在任意时刻的概率密度分布为[—，］上的均匀分布，包络A(t ）在任意时刻的概率密度分布为()A f a ，求随机过程X （t)的一维概率密度. 2。
16随机初始相位正弦波随机过程X （t)=Acos(t+），其中振幅A 、角频率取常数，相位为均匀分布于[—,］的随机变量，求X(t ）的一维概率密度分布函数。
2。
17设某通信系统的信号为脉冲信号，脉宽为T,脉冲信号的周期也为T ，脉冲幅度是随机的且服从高斯分布N （0,2）,不同周期内的幅度x i 是相互独立的；第1个脉冲的起始时间与t=0时刻的时间差u 是均匀分布于（0,T)的随机变量，u 与各x i 相互独立，求该随机信号在任意两个不同时刻的二维联合概率密度分布函数。
2.18设随机过程X(t ）的均值为m X (t)，协方差函数为K X (t 1，t 2),(t)为普通函数，试求随机过程Y(t ）=X(t ）+（t)的均值和协方差函数。
2.19广义平稳随机过程X （t)在四个不同时刻的四维随机变量X=［X(t 1)， X(t 2)， X(t 3)， X(t 4)］T的自相关矩阵为2 1.30.42 1.20.8[]0.4 1.2 1.10.92T X a b R E XX c de ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 求矩阵中未知元素的值。
2.20设随机过程()cos()sin()X t A t B t ωω=+，其中为常数,A 、B 为相互独立的随机变量，概率密度分布函数为正态分布N(0，2)。
求X(t ）的均值和自相关函数。
2.21某平稳随机过程X(t)的自相关函数满足R X （T)= R X (0） （T 0），证明R X （）必为以T为周期的周期函数。
2.22给定随机过程X （t)和常数a 。
Y （t ）=X （t+a)-X(t).试以X(t)的自相关函数来表示随机过程Y （t)的自相关函数。
若X(t)平稳,均值为m X ，求Y(t)的均值；问Y(t ）是否平稳？是否与X(t ）联合平稳？ 2.23．(缺）2。
24 X(t ）=At ，A 为随机变量，概率密度分布为N （0,1），求X （t)的均值及自相关函数. 2。
25 X(t)=cos （t)，其中为均匀分布于(1,2）的随机变量，求X （t)的均值及自相关函数.2。
26随机初始相位正弦波随机过程X(t)=Acos （t+)，其中振幅A 、角频率取常数,相位为均匀分布于［-,]的随机变量，求该随机过程的均值及相关函数，并判断其平稳性。
2。
27随机过程X(t)仅由3个样本函数组成［查看教材中的原图]，而且每个样本函数等概率发生。
计算E[X(2)］、E[X （6）］、R X （2，6)、F X (x ，2)、F X （x ,6)、F X (x 1, x 2,2,6)。
分别画出它们的图形.2。
28设从t=0开始，作每秒1次的掷硬币试验,如正面朝上，则X(t)在该秒内的取值为1,如反面朝上，则X （t ）在该秒内的取值为0;求:（1）X （t ）的均值函数，(2）计算R X （0。