江苏专转本高等数学 导数计算及应用 例题加习题
江苏专升本数学2024真题及答案
江苏专升本数学2024真题一、单项选择题（共8小题，每小题4分，总计32分）1.设1)(,11)(,1cos )(2-=-+=-=xe x x x x x γβα，则当0→x 时（）A.)(x α是)(x β的同阶无穷小，)(x β是)(x γ的高阶无穷小B.)(x α是)(x β的高阶无穷小，)(x β是)(x γ的同阶无穷小C.)(x α是)(x β的同阶无穷小，)(x β是)(x γ的同阶无穷小D.)(x α是)(x β的高阶无穷小，)(x β是)(x γ的高阶无穷小2.若函数)(lim 22sin )(0x f xxx f x →+=则=→)(lim 0x f x （）A.4-B.2-C.2D.43.若xe2-是函数)(x f 的一个原函数，则='')(x f （）A.xe 24- B.e4- C.xe 28- D.xe28--4.若)12ln()(+=x x f ，则=)()(x f n （）A.n n x n )12()!1(2)1(1+-⋅⋅-- B.n n n x n )12()!1(2)1(11+-⋅⋅---C.nn n x n )12()!1(2)1(1+-⋅⋅-- D.nn n x n )12()!1(2)1(+-⋅⋅-5.下列级数收敛的是（）A.∑∞=++1211n n n B.∑∞=++-122)1(n n n C.∑∞=11sinn n n D.∑∞=-11sin)1(n n n6.设y y x x y x f 232),(223-+-=，则函数),(y x f （）A.在点)1,0(处不取极值，在点)1,1(处取极大值B.在点)1,0(处不取极值，在点)1,1(处取极小值C.在点)1,0(处取极大值，在点)1,1(处取极小值D.在点)1,0(处取极小值，在点)1,1(处取极大值7.矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----278811944113221111111的秩为（）A.1B.2C.3D.48.设向量组321,,ααα线性无关，则一定线性相关的向量组为（）A.313221,αααααα+++，B.131221,αααααα---，C.321211,αααααα+++， D.321211,αααααα---，二、填空题（共6小题，每小题4分，总计24分）9.若1=x 是函数xx axx x f --=23)(的第一类间断点，则=→)(lim 0x f x 10.设)(x y y =是由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=tt y tt x 3232所确定的函数，若23|0-==t t dx dy ，则=0t 11.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)1ln()(2x x xx x f ，)(sin x f y =，则==0|x dx dy 12.若⎰⎰∞--∞-=az ax dx e dx e 1，则常数=a 13.幂级数∑∞=-1)1(!3n nn n x n n 的收敛半径为14.行列式=4003043002102001三、计算题（共8小题，每小题8分，总计64分）15.求极限2(arctan lim 22π-∞→x x x 16.求不定积分dxx x x ⎰++-+2)3(1217.计算定积分⎰-+1211dx x x x18.已知x xx x x e ey e e y e y 3233,,+=+==是某二阶常系数齐次线性微分方程的三个特解，求该微分方程19.设),(y x z z =是由方程0)32arctan(=-++xyz z y x 所确定的函数，求全微分)0,0(|dz 20.计算二次积分⎰⎰-111cos x dyyy dx 21.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛541431,100110111,2111C B A ,求矩阵X ，使C AXB =22.求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=-+852725243214321321x x x x x x x x x x x 的通解四、证明题（本题10分）23.设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且0)1(,1)0(==f f ，证明：（1）在开区间)1,0(内至少存在一点η，使得ηη=)(f （2）在开区间)1,0(内至少存在一点ξ，使得ξξξξ2)()(=+'f f 五、综合题（本题共2小题，每小题20分，总计20分）24.设函数)(x f 满足)42()()(-=-'x e x f x f x，且5)0(=f ，求：（1）函数)(x f 的解析式（2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点25.设函数)(x f 在闭区间),1[+∞上单调增加，且0)1(=f .曲线)(x f y =与直线)1(>=t t x 及x 轴所围成的曲边三角形记为t D .已知t D 的面积为1ln +-t t t ，求当e t =时，t D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积答案选择题1-5AADCD 6-8BDB填空题9.110.011.112.2113.e 314.4计算题15.1-16.Cx x ++-+2arctan 2)3ln(17.41π-18.xe y y y 3223=+'-''19.dy dx dz 3231|)0,0(--=20.231cos 1sin -+21.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01011122.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛003210110131114321C C x x x x 证明题23.（1）x x f x F -=)()(零点定理；（2）2)()(x x xf x g -=罗尔定理24.（1）)54()(2+-=x x e x f x；（2）拐点)2,1(),8,1(1e e --，凹区间),1(),1,(+∞--∞凸区间)1,1(-25.)2(-e π。
江苏专转本高数必会公式(最全!)
江苏专转本高数必会公式(最全!)1.导数公式：$f'(x)=\lim\limits_{\Deltaxo0}\frac{f(x+\Deltax)-f(x)}{\Deltax}$2.求导法则：（1）常数函数的导数为0；（2）幂函数的导数为$f'(x)=nimesx^{n-1}$；（3）指数函数的导数为$f'(x)=a^ximes\lna$；（4）对数函数的导数为$f'(x)=\frac{1}{x}\lne$；（5）三角函数的导数为$f'(x)=\cosx$，$f'(x)=\sinx$，$f'(x)=anx$，$f'(x)=\cotx$，$f'(x)=\secx$，$f'(x)=\cscx$。
3.积分公式：$\intf(x)dx=F(x)+C$其中，$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，$C$是常数。
4.常用积分公式：（1）$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（2）$\inte^xdx=e^x+C$（3）$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$（4）$\int\sinxdx=-\cosx+C$（5）$\int\cosxdx=\sinx+C$（6）$\intanxdx=-\ln|\cosx|+C$（7）$\int\cotxdx=\ln|\sinx|+C$（8）$\int\secxdx=\ln|\secx+anx|+C$（9）$\int\cscxdx=\ln|\cscx-\cotx|+C$5.洛必达法则：$\lim\limits_{xoa}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{xoa}\f rac{f'(x)}{g'(x)}$其中，$a$可以是实数或无穷大。
6.泰勒公式：$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x -a)^n$其中，$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在$x=a$处的$n$阶导数。
专升本导数练习题及答案
专升本导数练习题及答案### 专升本导数练习题及答案#### 练习题一：基础导数计算题目：计算以下函数的导数：1. \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)2. \( g(x) = \sin(x) + e^x \)3. \( h(x) = (x^3 - 1)^4 \)解答：1. 对于 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，我们使用幂函数的导数规则： \[ f'(x) = 6x + 2 \]2. 对于 \( g(x) = \sin(x) + e^x \)，我们分别求导：\[ g'(x) = \cos(x) + e^x \]3. 对于 \( h(x) = (x^3 - 1)^4 \)，我们使用链式法则和幂函数的导数规则：\[ h'(x) = 4(x^3 - 1)^3 \cdot (3x^2) = 12x^2(x^3 - 1)^3 \]#### 练习题二：复合函数的导数题目：计算以下复合函数的导数：1. \( F(x) = (\ln(x))^2 \)2. \( G(x) = \sqrt{x} \cdot \sin(x) \)解答：1. 对于 \( F(x) = (\ln(x))^2 \)，我们使用链式法则和对数函数的导数：\[ F'(x) = 2(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln(x)}{x} \]2. 对于 \( G(x) = \sqrt{x} \cdot \sin(x) \)，我们使用乘积法则： \[ G'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin(x) + \sqrt{x}\cdot \cos(x) \]\[ G'(x) = \frac{\sin(x)}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x}\cos(x) \]#### 练习题三：隐函数的导数题目：计算以下隐函数的导数：1. \( x^2 + y^2 = 9 \) 求 \( \frac{dy}{dx} \)2. \( y^3 + xy = 2 \) 求 \( \frac{dy}{dx} \)解答：1. 对于 \( x^2 + y^2 = 9 \)，我们对等式两边求导：\[ 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \]\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \]2. 对于 \( y^3 + xy = 2 \)，我们对等式两边求导：\[ 3y^2\frac{dy}{dx} + (x + y)\frac{dy}{dx} = 0 \]\[ \frac{dy}{dx}(3y^2 + x + y) = -x \]\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3y^2 + x + y} \]#### 练习题四：高阶导数题目：计算以下函数的二阶导数：1. \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)2. \( g(x) = \ln(x) - e^x \)解答：1. 对于 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，我们首先求一阶导数： \[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]然后求二阶导数：\[ f''(x) = 6x - 12 \]2. 对于 \( g(x) = \ln(x) - e^x \)，我们首先求一阶导数：\[ g'(x) = \frac{1}{x} - e^x \]然后求二阶导数：\[ g''(x) = -\frac{1}{x^2} - e^x \]这些练习题涵盖了基础导数计算、复合函数导数、隐函数导数以及高阶导数，是专升本数学考试中常见的题型。
高职专升本第二章导数及其应用习题及答案
应用数学习题集第二章导数及其应用一.选择题1．若)(x f 在x 0处可导，则以下结论错误的是（ D ）。
A )(x f 在x 0处有极限； B )(x f 在x 0处连续； C )(x f 在x 0处可微； D )(lim )('x f x f x x 0→0=必成立。
2．若)(x f 在x 0处可导，则（ B ）是错误的。
(02-03电大试题) A 函数)(x f 在点x 0处有定义； B A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠；C 函数)(x f 在x 0处连续；D 函数)(x f 在x 0处可微。
3．)(x f 在x 0处不连续，则)(x f 在x 0处（ A ）A 必不可导；B 有时可导；C 必无定义；D 必无极限。
4．函数)(x f =|2x|在x=0处的导数（ D ）。
A 等于0；B 等于2；C 等于-2；D 不存在。
5．函数)(x f =|sinx|在点x=0处的导数（ D ）。
A 等于-1；B 等于0；C 等于1 ；D 不存在。
6．||ln x y =，则y’=（ B ）。
A ||1x -； B x 1； C x1-； D ||1x 。
7．曲线y=sinx 在点(0,0)处的切线方程是（ C ）。
A y=2x B x y 21=C y=xD y=-x 8．x x x f cos )(=，则)("x f =（ D ）。
(02-03电大试题) A cosx+xsinx B cosx-xsinx C 2sinx+xcosx D -2sinx-xcosx9．函数中在[1，e]上满足Lagrange 定理条件的函数是（ B ）。
A y=ln(lnx)； B y=lnx ； C y=xln 1； D y=ln(2-x)。
10．若)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，Lagrange 定理的结论是至少存在一点ξ，使（ A ）。
江苏专转本高等数学 第八章 第七节 方向导数与梯度
,cos
2 b.
22 a2 b2
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又
z x
(
a
,
b
)
2x a2
x
a
2, a
22
2
z y
(
a, 2
b) 2
2y b2
y
b 2
2, b
z
z
cos z
cos
l ( a , b ) 22
x ( a , b ) 22
y ( a , b ) 22
2 a2 b2 . ab
设 el cos i cos
j 是方向l 上的单位向量，
由方向导数公式知
f f cos f cos (f , f ) (cos ,cos )
l x
y
x y
gradf
( x,
y) el
|
gradf
( x,
y)
| cos ,
其中
( gradf
( x,
y) , el )
当 cos 1时 ， f 有最大值.
z f ( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 ) 的梯度，记为
gradf ( x0 , y0 ) fx ( x0 , y0 )i f y ( x0, y0 ) j .
【注】梯度是定义域所在空间（坐标系）内 的一个向量.
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若f
(
x,
y)在点 P0可微
f (x,
cos
y, z)，它在空间一点 P( x, y, z)沿
,cos )的方向导数 ，可定义为
f lim f ( x t cos , y t cos , z t cos ) f ( x, y, z)
专升本数学对应章节练习题
专升本数学对应章节练习题一、极限的概念与运算1. 计算极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\]\[\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\]2. 判断极限的存在性：\[\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\]\[\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}\]二、导数与微分1. 求导数：\[y = x^3 - 3x^2 + 2, \quad y' = ?\]\[y = \sin x + e^x, \quad y' = ?\]2. 导数的应用：\[f(x) = x^2, \quad f'(2) = ?\]\[f(x) = \ln x, \quad f'(1) = ? \]三、积分1. 计算不定积分：\[\int (3x^2 - 2x + 1) \, dx\]\[\int \frac{1}{x} \, dx\]2. 计算定积分：\[\int_{0}^{1} x^2 \, dx\]\[\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx \]四、多元函数微分法1. 求偏导数：\[z = x^2 + y^2, \quad \frac{\partial z}{\partial x} = ?\]\[z = xy, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = ?\]2. 应用偏导数：\[z = x^2y, \quad \text{在点} (1,1) \text{处的全微分} dz = ? \]五、无穷级数1. 判断级数收敛性：\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\]\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\]2. 求级数和：\[S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\]六、常微分方程1. 求解一阶微分方程：\[\frac{dy}{dx} = 2x, \quad y|_{x=0} = 1\]2. 求解二阶微分方程：\[y'' + 4y = 0, \quad y|_{x=0} = 0, \quad y'|_{x=0} = 1\]通过以上练习题，可以对专升本数学中的重要概念和运算进行复习和巩固，帮助学生在考试中取得好成绩。
2023年苏教版数学导数高级应用练习题及答案
2023年苏教版数学导数高级应用练习题及答案导数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
为了帮助学生提高导数应用的能力，苏教版数学教材特别设计了一套高级应用练习题。
本文将为大家介绍2023年苏教版数学导数高级应用练习题，并提供相应的答案。
一、函数极值问题1. 某建筑师需要设计一个长方形的游泳池，其中一侧将沿着河岸，需要围起来。
如果游泳池的长边是沿着河岸的，而另外三边由篱笆围起来，求游泳池的最大面积。
解答：设游泳池的长为x，宽为y，面积为S，由题意可知：周长P = x + 2y根据题意，得出 y = (1/2)(P - x)所以，游泳池的面积为：S = xy = x(1/2)(P - x) = (P/2)x - (1/2)x^2对S求导，令导数等于0，可以求得极值点。
dS/dx = 0P/2 - x = 0x = P/2因此，当x等于P/2时，游泳池的面积取得最大值。
2. 某公司生产商品的总成本C（单位：万元）与生产数量x（单位：件）之间的关系由函数C(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 20给出，问多少件商品时，生产成本最低？解答：对C(x)求导，令导数等于0，可以求得极值点。
dC/dx = 06x^2 - 30x + 36 = 0x^2 - 5x + 6 = 0(x - 2)(x - 3) = 0得到x = 2或x = 3，对应生产数量为2件或3件。
因此，当生产数量为2件或3件时，生产成本最低。
二、相关变化率问题1. 某矩形铁皮的长和宽均以1cm/s的速度减小，若此刻矩形的长为10cm，宽为6cm，求此刻矩形的边长之比。
解答：设矩形的长为L，宽为W，边长之比为k。
则有 L/W = k根据题意，L和W均以1cm/s的速度减小，则有 dL/dt = dW/dt = -1。
根据导数的定义，有 dL = (dL/dt)dt = -dt，dW = (dW/dt)dt = -dt。
代入边长之比的表达式中，得到 L/W = -dt/-dt = 1。
江苏专转本高数必会公式(最全!)
导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222212211cos 12sin u du dx xtg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22=¢=¢×-=¢×=¢-=¢=¢222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-=¢+=¢--=¢-=¢òòòòòòòòòò+±+=±+=+=+=+-=×+=×+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=òòòòòòòòarcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222òòòòò++-=-+-+--=-+++++=+-===-Ca x a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222pp一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： ·和差角公式： ·和差化积公式： 2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin ba b a b a ba b a b a ba b a b a ba ba b a -+=--+=+-+=--+=+ab b a b a b a ba b a ba b a b a b a b a b a ctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±×=±×±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(m m m xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=¥®®e xxx xx x·倍角公式： ·半角公式： a aa a a a a a a a a a a aaa a acos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin pp高阶导数公式——莱布尼兹（Ｌｅｉｂｎｉｚ）公式： )()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++¢¢-+¢+==---=-åL L L中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。
导数专升本练习题
导数专升本练习题### 导数专升本练习题#### 一、基础概念题1. 定义题：给定函数 \( f(x) = x^2 + 3x - 2 \)，请说明什么是导数，并求出该函数在 \( x = 1 \) 处的导数。
2. 几何意义题：若 \( y = f(x) \)，解释导数的几何意义，并求出\( y = x^3 \) 在 \( x = 2 \) 处的切线斜率。
#### 二、基本导数公式应用题1. 直接应用题：求下列函数的导数：- \( g(x) = 5x^4 - 2x^2 + 7 \)- \( h(x) = \sin(x) + 2\cos(x) \)2. 复合函数题：求下列复合函数的导数：- \( k(x) = (\ln(x))^2 \)- \( m(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x} \)#### 三、导数的运算法则应用题1. 和差法则题：求函数 \( n(x) = (x^2 - 1) + 3x \) 的导数。
2. 乘积法则题：求函数 \( p(x) = x^3 \cdot e^x \) 的导数。
3. 商法则题：求函数 \( q(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) 的导数。
#### 四、高阶导数题1. 一阶导数题：已知 \( r(x) = x^5 \)，求 \( r'(x) \)。
2. 二阶导数题：求 \( r''(x) \)。
#### 五、应用题1. 速度与加速度题：若物体的位移函数为 \( s(t) = 3t^3 - 2t^2 + t \)，求物体在 \( t = 1 \) 秒时的速度和加速度。
2. 最值问题题：求函数 \( u(x) = -x^3 + 2x^2 - x + 1 \) 的极值点。
#### 六、综合题1. 函数图像题：给定函数 \( v(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 \)，求导数，并讨论函数的单调性与极值。
专升本求导练习题及答案
专升本求导练习题及答案### 专升本求导练习题及答案#### 练习题一：基本求导公式题目：求函数 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \) 的导数。
解答：根据求导的基本公式，\( (x^n)' = nx^{n-1} \)，我们可以逐项求导：- 对于 \( 3x^2 \)，导数为 \( 2 \times 3x = 6x \)。
- 对于 \( 2x \)，导数为 \( 1 \times 2 = 2 \)。
- 对于常数项 \( -5 \)，导数为 \( 0 \)。
因此，\( f'(x) = 6x + 2 \)。
#### 练习题二：复合函数求导题目：求函数 \( g(x) = (2x^3 - 1)^4 \) 的导数。
解答：使用链式法则求导，设 \( u(x) = 2x^3 - 1 \)，则 \( g(x) = u^4 \)。
- 首先求 \( u(x) \) 的导数：\( u'(x) = 6x^2 \)。
- 然后应用链式法则：\( g'(x) = 4u^3 \cdot u'(x) \)。
- 代入 \( u(x) \) 和 \( u'(x) \) 的值：\( g'(x) = 4(2x^3 -1)^3 \cdot 6x^2 \)。
#### 练习题三：隐函数求导题目：已知 \( xy^3 + y\sin(x) = 1 \)，求 \( y \) 关于 \( x \) 的导数 \( \frac{dy}{dx} \)。
解答：首先对等式两边同时对 \( x \) 求导：- 对 \( xy^3 \) 求导，使用乘积法则：\( y^3 + 3xy^2 \cdot\frac{dy}{dx} \)。
- 对 \( y\sin(x) \) 求导，同样使用乘积法则：\( \sin(x) +y\cos(x) \cdot \frac{dy}{dx} \)。
将求导结果代入原方程，得到：\[ y^3 + 3xy^2 \cdot \frac{dy}{dx} + \sin(x) + y\cos(x) \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \]将含有 \( \frac{dy}{dx} \) 的项移到方程一边，解出\( \frac{dy}{dx} \)：\[ \frac{dy}{dx} (3xy^2 + y\cos(x)) = -y^3 - \sin(x) \]\[ \frac{dy}{dx} = \frac{-y^3 - \sin(x)}{3xy^2 + y\cos(x)} \]#### 练习题四：参数方程求导题目：已知参数方程 \( x = t^2 \)，\( y = \sin(t) \)，求 \( y \) 关于 \( x \) 的导数 \( \frac{dy}{dx} \)。
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第二章 导数计算及应用本章主要知识点● 导数定义● 复合函数求导,高阶导数,微分● 隐函数,参数方程求导● 导数应用一、导数定义函数()y f x =在0x x =处导数定义为hx f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→ 左导数 hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='+→+ 右导数 h x f h x f x f h )()(lim )(0000-+='-→- 导数 )(0x f '存在)(),(00x f x f -+''⇔有限且)()(00x f x f -+'='分段点求导必须应用定义。
两个重要变形： 1. 0000()())lim x x f x f x f x x x →-'=-（ 2. 若)(0x f '存在，)()()()(lim0000x f n m hnh x f mh x f h '-=+-+→ 例2.1. 若(1)2f '=-，求00(12)(5)lim h f h f x h h→--+ 解：00(12)(5)lim h f h f x h h →--+＝(25)(1)14f '--= 例2.2. 若(0)2,(0)0,f f '==求0x →解：0x →00(2)(0)(2)(0)48lim 2lim (0)1333sin 32x x f x f f x f f x x →→--'=-=-=-- 例2.3．23,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩ 求(0)f ' 解： 200(0)(0)0(0)lim lim 1h h f h f h h f h h+→+→++-+-'=== 300(0)(0)2(0)lim lim 2h h f h f h h f h h-→-→-+--'=== (0)(0)f f +-''≠ 所以'(0)f 不存在.例2.4．||()2x f x =，求()0f ' 解： 2,0()2,0x x x f x x -⎧≥=⎨<⎩ ln 20000(0)(0)211ln 2(0)lim lim lim lim ln 2h h h h h h f h f e h f h h h h+→+→+→+→++---'===== 00(0)(0)21(0)lim lim ln 2h h h f h f f h h-→-→-+--'===- 所以(0)f '不存在。
例2.5．21sin sin ,0()0,0x x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩求()0f '。
解： 2001sin sinh 1(0)lim limsin h h h h f h h→→+'===不存在 所以 ()0f '不存在例2.6．如果()12f '=，分析函数2(1)(13),0ln(1)()0,0(1)(12),01x f x f x x x f x x f x f x x e --+⎧<⎪+⎪⎪==⎨⎪+--⎪>-⎪⎩在x=0处的连续性。
解：(00)f +=0(1)(12)lim2h f h f h h →+--=13(1(2))(1)(1)322f f ''=--== (00)f -=00(1)(13)(1)(13)lim lim 4(1)8ln(1)h h f h f h f h f h f h h →→--+--+'===-=-+ 所以 f(x)在x=0处不连续。
二、复合函数求导、高阶导数、微分1．复合函数中的层次关系识别正确识别复合函数构建的层次是快速准确求导复合函数的关键。
下列通过几个例子来说明复合函数层次识别问题。
例2.7．1sin(cos )x y e =由外及里y 分为四层：1sin cos e x→→→例2.8．ln sin 2y x x = y 分为一层：⨯例2.9．()32sin sin tan y x x =- y 分为三层：立方sin x →→-例2.10．y =y 分为四层：sin ln →→+化分清层次的同时，要注意每一层符号下的变量是什么，不可混淆。
2、复合函数的求导原则我们将求导的所谓“链式规则”等价转化为求导“口诀”：“外及里；号变号；则用则；层间乘”。
例2.11．sin32x x y =，求y '，解：()sin 22ln 2sin 3x x y x x ''= ()()sin32ln 2sin 3sin 3x x x x x x ''=+()sin32ln 2sin3cos33x x x x x =+()sin32ln 2sin33cos3x x x x x =+例2.12．arctan(sin 2)x y e =，求y '； 解：arctan(sin 2)22cos 21sin 2x x y e x'=+ 例2.13．2sin x y =，求y '；解：22sin sin )x x y e e ''=22sin sin 2cos()2x x x x =2sin 22)x e x =+例2.14．22sin (ln )y x =，求y '解：222)y x x x '=+)(2sin 2ln 2x x ⎫=⎪⎭分段函数求导时，要切记对于分段点的导数要用定义。
例2.15．()33,0,0x x x f x x x x ⎧+>=⎨-+≤⎩，求()f x ' 解：()2231,031,0x x f x x x ⎧+>'=⎨-+<⎩ ()()()30000lim lim 1h h f h f h h f h h+++→→-+'=== ()()()30000lim lim 1h h f h f h h f h h---→→--+'=== (0)1f '=，综合得，()2231,01,031,0x x f x x x x ⎧+>⎪'==⎨⎪-+<⎩。
例2.16. ()2x a f x -=，求()f x '解：2,()1, 2,x a a x x a f x x a x a --⎧>⎪==⎨⎪<⎩2ln 2,()2ln 2,x a a x x a f x x a--⎧>⎪'=⎨-<⎪⎩ ()()()0021lim lim ln 2h h h f a h f a f a h h+++→→+--'===， ()()()0021lim lim ln 2h h h f a h f a f a h h----→→+--'===- 所以()f a '不存在。
例2.17. 已知()21sin sin ,000x x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩， （1）求()f x '；（2）研究()f x '在0x =处的连续性。
解：（1）()221112sin cos cos f x x x x x x x-'=+⋅+， ()112sin cos cos f x x x x x'=-+()0x ≠ ()()()20001sin sinh 010lim lim 1lim sin 1h h h h f h f h f h h h h→→→+-'===+=。
（2）()00011lim lim 2sin limcos 1x x x f x x x x→→→'=-+ ()001lim 1limcos x x f x x→→'=-，不存在， 故()f x '在0x =处不连续，且为II 类间断。
3. 高阶导数与微分（1）高阶导数22d y d dy y dx dx dx ⎛⎫''== ⎪⎝⎭，()()()1n n d y y dx -= 几个常用公式（1）()()()11!1n n n n n a ax b ax b +-⎛⎫= ⎪+⎝⎭+ （2）()()sin sin 2n n x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （3）()()cos cos 2n n x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （4）()()n x n x e e ααα=（5）莱伯尼兹公式 ()()()()0n n in i i n i uv c u v -==∑例2.18. 2x y xe-=，求()0y '' 解：()222x x y e x e --'=+-()212x y e x -'=-()()22122x x y e x e --''=-+--()244x y e x -''=-+(0)4y ''=-例2.19. 2x y x e =，求()10y解：()()()()()10102100i n i i x i y c x e -==∑()1022090x x x y x e xe e =++例2.20．()()2121+-=x x y ，求()n y 解：()()2121+-=x x y ()()()()212215212x x x x --+=-⋅-+ 112152521x x =-⋅+⋅+- ()()()112152521n n n y x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()()()()1111!12255221n n n n n n n x x ++--=-⋅+⋅⋅+-！ 例2.21．()12ln +=x y ，求()n y解：221y x '=+ ()()()()()11211!221n n n n n y x ----=⋅+()()()()1121!,221n n n n n x --⋅⋅-=≥+ 例2.22．()x x f 2cos =，求()()500f解：()22cos 1cos 2x x x f -== ()()12cos 222n n n f x x π⎛⎫=-⋅⋅+ ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-22cos 21πn x n (50)4949(0)2cos(25)2f π=-=例2.23．()sin5cos2f x x x =，求()()n fx 解：()()1sin 7sin 32f x x x =+()()117sin 73sin 32222n n n n n f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）一阶微分定义：对于函数)(x f y =，如果存在常数A ，使得：00()()()f x x f x A x o x +∆=+∆+∆()0x ∆→则称)(x f 在0x x =处可微。