数学等比数列试题答案及解析

数学等比数列试题答案及解析
1.设数列是等比数列，满足，且，，则（）A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知得，，又，∵，∴，∴，故，，，所以.
【考点】本题考查等比数列通项公式等基础知识，意在考查学生推理和基本的运算能力．
2.设是等比数列的前项和，若，则．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，由已知得，，故，解得，故
．
【命题意图】本题考查等比数列前n项和以及通项公式等基础知识，意在考查基本运算能力.
3.已知等比数列的公比为正数，且，则（）
A．B．C．D． 2
【答案】B．
【解析】由已知及等比数列的性质得，故选B．
【考点】本题考查等比数列通项公式等知识，意在考查等比数列性质的应用及简单的计算能力．
4.（本题满分16分）已知数列的前项和满足：（t为常数，且）．（1）求的通项公式；
（2）设，试求t的值，使数列为等比数列；
（3）在（2）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对
任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）见解析（3）
【解析】（1）当时，，得． 2分
当..时，由，即，①
得，，②
①②，得，即，所以，
所以是首项和公比均为t的等比数列，于是． 5分
（2）由（1）知，，即， 7分
要使数列为等比数列，必须满足，
而，
于是，解得，
当时，，
由，知是首项和公比均为的等比数列． 10分
（3）由（2）知，，
所以，
由不等式恒成立，得恒成立， 12分
设，由，
所以当时，，当时，， 14分
而，所以，即．
故k的取值范围是． 16分
【命题意图】本题考查等比数列、数列前项和等知识，意在考查运算求解能力，数学综合论证能力.
5. .【答案】63
【解析】由方程，
可得，
【考点】本题考查解一元二次方程，等比数列的求和公式。

6. ·江西理）等比数列x，3x+3，6x+6，…的的第四项等于（）
A．-24B．0C．12D．24
【答案】A
【解析】由x，3x+3，6x+6成等比数列得
选A.
【考点】该题主要考查等比数列的概念和通项公式，考查计算能力.
7.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是()
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】【解1】∵等比数列中∴当公比为1时，，；
当公比为时，，从而淘汰（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）
故选D；
【解2】∵等比数列中∴
∴当公比时，；
当公比时，
∴故选D；
【考点】此题重点考察等比数列前项和的意义，等比数列的通项公式，以及均值不等式的应用；【突破】特殊数列入手淘汰；重视等比数列的通项公式，前项和，以及均值不等式的应用，特
别是均值不等式使用的条件；
8.若数列{a
n }是首项为1，公比为a=的无穷等比数列，且{a
n
}各项的和为a，则a的值是（）
A．1B．2C．D．【答案】B
【解析】由.
9.已知等比数列｛a
n ｝为递增数列，且，则数列｛a
n
｝的通项公式a
n
=______________。

【答案】
【解析】设数列的首项为，公比为q，则，所以，由得解得，因为数列为递增数列，所以，，所以
考点定位：本题考查等比数列，意在考查考生对等比数列的通项公式的应用能力
10.(本小题满分14分)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为
a 1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a
1
，a
2
，…
是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变
为a
1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a
2
（1＋r）a－2，……，以T
n
表示到第n年末
所累计的储备金总额.
（Ⅰ）写出T
n 与T
n
－1（n≥2）的递推关系式；
（Ⅱ）求证：T
n ＝A
n
＋B
n
，其中｛A
n
｝是一个等比数列，｛B
n
｝是一个等差数列.
【答案】（Ⅰ）
（2）证明见解析
【解析】解：（Ⅰ）我们有．（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得
，①
在①式两端同乘，得
②
②①，得
．
即．
如果记，，
则．
其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．
11.已知数列，设S
n 是数列的前n项和，并且满足a
1
=1，对任意正整数n，
（1）令证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）令的前n项和，求
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】1．本题主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。

解决本题的关键在于由条件得出递推公式。

2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
（1）证明：①
由题知
又由①
是等比数列，公比q=2，
又由
（2）解：
12.已知数列，满足：，，，则数列的通项公式为．【答案】
【解析】因为，所以，又因为，
所以，故.故数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，
所以.
13.设等比数列的公比，前项和为，则．
【答案】15
【解析】对于
14.已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能
的取值为__________。

【答案】4 5 32
【解析】（1）若为偶数，则为偶, 故
①当仍为偶数时，故
②当为奇数时，故得m=4。

（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数
，所以=1可得m=5
15.数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列．（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且，求证：对任意实数（是常数，＝
2．71828）和任意正整数，总有 2；
（3）正数数列中，．求数列中的最大项。

【答案】（1）．（）（2）见解析（3）
【解析】【错解分析】（1）对的转化，要借助于的关系。

（2）放缩法是此题的难点。

【正解】解：(1)由已知：对于，总有①成立
∴（n≥2）②
①--②得
∴
∵均为正数，∴（n≥2）
∴数列是公差为1的等差数列
又n=1时，，解得=1∴．（）
（2）证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤．
∴
（3）解：由已知，
易得
猜想n≥2时，是递减数列．令
∵当
∴在内为单调递减函数．
由．
∴n≥2时，是递减数列．即是递减数列．
又，∴数列中的最大项为．
16.数列前n项和且。

（1）求的值及数列的通项公式。

【答案】
【解析】【错解分析】此题在应用与的关系时误认为对于任意n值都成立，忽略
了对n=1的情况的验证。

易得出数列为等比数列的错误结论。

【正解】易求得。

由得故
得又，故该数列从第二项开始为等比数列故。

17.已知等比数列前n项和为，则下列一定成立的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【解析】由已知得，若，则；，若，则；当
时，，因为与同号，且若，则，故成立，当
时，，故选C．
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式等基础知识，意在考查基本运算能力.
18.若各项都不相等的数列满足,（且为常数）,且数列为等比数列.
（1）求的值;
（2）若数列,为数列的前项和,证明:
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）因为数列是等比数列,所以要构成等比数列,即
, 2分
因为,所以,
,则,当时, 4分
因为,因为数列各项都不相等,所以不是常数,故不符合题
意, 5分
当时, ,即数列是公比为的等比数列,符合题意,综上
. 6分
（2）证明:由（1）可得数列是以为首项,公比为的等比数列,所以
, 8分
则, 10分
则
, 12分
因为,所以,又因为,所以,综上
. 14分
【命题意图】本题考查等比数列的证明,递推式,分组求和,裂项求和等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力和基本的运算能力．
19.已知各项均为负数的等比数列，，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由等比数列的性质可知，又因为，所以，故
.
【命题意图】本题主要考查等比数列的性质以及基本的运算，意在考查学生的基本运算能力.
20.已知数列的前项和为，且满足（是常数且，），．（1）求数列的通项公式；
（2）若数列为等比数列，求的通项公式；
（3）在（2）的条件下，记，是否存在正整数，使
都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）的值为1，2，3．
【解析】（1）由得：，∴，，当时，
，，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．
（2），，若数列为等比数列，则，，此时，．
（3），
∴，，由
对*都成立得：，即对都成立．∵是正整数，∴的值为1，2，3．
【命题意图】本题考查等差数列等比数列通项公式、前项和公式、含参数不等式恒成立问题等
基础知识，意在考查学生转化与化归能力、推理能力和运算求解能力．。