2023年中考数学一轮复习满分突破专题10 分式方程【题型方法解密】
2025年中考数学考点分类专题归纳之分式方程
2025年中考数学考点分类专题归纳分式方程知识点一、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母，即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根——增根．备注：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程无解的原因：（1）将分式方程化为整式方程后，整式方程无解；（2）解出的整式方程的根是增根。
备注：解题时需要区分“分式方程无解”和“分式方程有增根”．知识点二、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解，所得结果应使分式方程有意义，且符合实际意义．1．（2024•甘孜州）若x＝4是分式方程的根，则a的值为（）A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣42．（2024•张家界）若关于x的分式方程1的解为x＝2，则m的值为（）A．5 B．4 C．3 D．23．（2024•海南）分式方程0的解是（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．无解4．（2024•重庆）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为（）A．﹣3B．﹣2 C．1 D．25．（2024•德州）分式方程1的解为（）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣1 D．无解6．（2024•重庆）若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（）A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣187．（2024•哈尔滨）方程的解为（）A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x D．x＝18．（2017•河南）解分式方程2，去分母得（）A．1﹣2（x﹣1）＝﹣3 B．1﹣2（x﹣1）＝3C．1﹣2x﹣2＝﹣3 D．1﹣2x+2＝39．（2024•临沂）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1﹣5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（）A．B．C．D．10．（2024•鄂尔多斯）如图，y1，y2分别表示燃油汽车和纯电动汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知纯电动汽车每千米所需的费用比燃油汽车每千米所需费用少0.54元，设纯电动汽车每千米所需费用为x元，可列方程为（）A．B．C．D．11．（2024•辽阳）九年级（1）班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x千米/时，根据题意列方程得（）A．30B．30C．D．12．（2024•南岸区）市政府决定对一块面积为2400m2的区域进行绿化，根据需要，该绿化工程在实际施工时增加了施工人员，每天绿化的面积比原计划增加了20%，结果提前5天完成任务．设计划每天绿化xm2，则根据意可列方程为（）A．5B． 5C．5D． 513．（2024•巴彦淖尔）小敏上月在某文具店正好用30元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小敏只比上次多用了6元钱，却比上次多买了8本，若设她上月买了x本笔记本，则根据题意可列方程为（）A． 1 B． 1C． 1 D． 114．（2024•绥化）某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同．若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为（）A．B．C．D．15．（2024•青海）某班举行趣味项目运动会，从商场购买了一定数量的乒乓球拍和羽毛球拍作为奖品．若每副羽毛球拍的价格比乒乓球拍的价格贵6元，且用400元购买乒乓球拍的数量与用550元购买羽毛球拍的数量相同．设每副乒乓球拍的价格为x元，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．16．（2024•怀化）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行100km所用时间，与以最大航速逆流航行80km所用时间相等，设江水的流速为vkm/h，则可列方程为（）A．B．C．D．17．（2024•通辽）学校为创建“书香校园”，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（）A．100 B．100C．100 D．10018．（2024•淄博）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．B．C．D．19．（2024•常德）分式方程0的解为x＝____．20．（2024•潍坊）当m＝___时，解分式方程会出现增根．21．（2024•达州）若关于x的分式方程2a无解，则a的值为____．22．（2024•眉山）已知关于x的分式方程2有一个正数解，则k的取值范围为_________．23．（2024•黄石）分式方程1的解为_______.24．（2024•无锡）方程的解是__ _．25．（2024•贺州）解分式方程：1．26．（2024•柳州）解方程．27．（2024•广西）解分式方程：1．28．（2024•东营）小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1200m和2000m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3：4，结果小明比小刚提前4min到达剧院．求两人的速度．29．（2024•襄阳）正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等，约为325千米，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍，则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时．求高铁的速度．30．（2024•南京）刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元，几天后，遇上这种大米8折出售，她用140元又买了一些，两次一共购买了40kg．这种大米的原价是多少？31．（2024•百色）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：（1）大巴与小车的平均速度各是多少？（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？32．（2024•德阳）为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由A、B两个工程公司承担建设，已知A工程公司单独建设完成此项工程需要180天，A工程公司单独施工45天后，B工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程．（1）求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天？（2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工，A工程公司建设其中一部分用了m天完成，B工程公司建设另一部分用了n天完成，其中m，n均为正整数，且m＜46，n＜92，求A、B两个工程公司各施工建设了多少天？33．（2024•岳阳）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？34．（2024•抚顺）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？35．（2024•盘锦）东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？36．（2024•宁夏）某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克．已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元．（1）为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？（2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元．现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？37．（2024•包头）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？38．（2024•广安）某车行去年A型车的销售总额为6万元，今年每辆车的售价比去年减少400元．若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）求今年A型车每辆车的售价．（2）该车行计划新进一批A型车和B型车共45辆，已知A、B型车的进货价格分别是1100元、1400元，今年B型车的销售价格是2000元，要求B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少？39．（2024•乌鲁木齐）某校组织学生去9km外的郊区游玩，一部分学生骑自行车先走，半小时后，其他学生乘公共汽车出发，结果他们同时到达．已知公共汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度和公共汽车的速度分别是多少？40．（2024•山西）2024年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“太原南﹣北京西”全程大约500千米，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的（两列车中途停留时间均除外）．经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分钟．求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间．41．（2024•邵阳）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同．（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？42．（2024•云南）某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？43．（2024•贵阳）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？。
2025年中考数学题型解析：分式方程(解析版)
分式方程课标要求考点考向1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型;2.能解可化为一元一次方程的分式方程:3.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.分式方程的运算考向一解分式方程考向二分式方程的解分式方程的应用考向一列分式方程考向二分式方程的实际应用考点一分式方程的运算易错易混提醒解分式方程过程中，易错点有:(1)去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项;(2)忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解.(3)增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根，若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解.►考向一解分式方程1.(2024·海南·中考真题)分式方程1x-2=1的解是()A.x=3B.x=-3C.x=2D.x=-2【答案】A【分析】本题主要考查了解分式方程，先把分式方程去分母化为整式方程，再解方程，最后检验即可．【详解】解：1x-2=1去分得：1=x-2，解得x=3，检验，当x=3时，x-2≠0，∴x=3是原方程的解，故选：A．2.(2024·山东济宁·中考真题)解分式方程1-13x-1=-52-6x时，去分母变形正确的是()A.2-6x+2=-5B.6x-2-2=-5C.2-6x-1=5D.6x-2+1=5【答案】A【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母．【详解】解：方程两边同乘2-6x，得2-6x-2-6x×13x-1=-52-6x×2-6x，整理可得：2-6x+2=-5故选：A．3.(2024·四川泸州·中考真题)分式方程1x-2-3=22-x的解是()A.x=-73B.x=-1 C.x=53D.x=3【答案】D【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程方法和步骤(去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验)求解，即可解题．【详解】解：1x-2-3=22-x，1 x-2-3=-2x-2，1-3x-2=-2，1-3x+6=-2，-3x=-9，x=3，经检验x=3是该方程的解，故选：D．4.(2024·四川广元·中考真题)若点Q x,y满足1x+1y=1xy，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标．【答案】2,-1(答案不唯一)【分析】此题考查了解分式方程，先将方程两边同时乘以xy后去分母，令x代入一个数值，得到y的值，以此为点的坐标即可，正确解分式方程是解题的关键【详解】解：等式两边都乘以xy，得x+y=1，令x=2，则y=-1，∴“美好点”的坐标为2，-1，故答案为2，-1(答案不唯一)5.(2024·浙江·中考真题)若2x-1=1，则x=【答案】3【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：2=x-1，移项合并得：-x=-3，解得：x=3，经检验，x=3是分式方程的解，故答案为：36.(2024·北京·中考真题)方程12x+3+1x=0的解为.【答案】x=-1【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键．先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根．【详解】解：12x+3+1x=0x+2x+3=0，解得：x=-1，经检验：x=-1是原方程的解，所以，原方程的解为x=-1，故答案为：x=-1．7.(2024·陕西·中考真题)解方程：2x2-1+xx-1=1．【答案】x=-3【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．【详解】解：2x2-1+xx-1=1，去分母得：2+x x+1=x2-1，去括号得：2+x2+x=x2-1，移项，合并同类项得：x=-3，检验：把x=-3代入x+1x-1得：-3+1-3-1=8≠0，∴x=-3是原方程的解．8.(2024·福建·中考真题)解方程：3x+2+1=xx-2．【答案】x=10．【分析】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可解题．【详解】解：3x+2+1=xx-2，方程两边都乘x+2x-2，得3x-2+x+2x-2=x x+2．去括号得：3x-6+x2-4=x2+2x，解得x=10．经检验，x=10是原方程的根．►考向二分式方程的解9.(2024·四川遂宁·中考真题)分式方程2x-1=1-mx-1的解为正数，则m的取值范围()A.m>-3B.m>-3且m≠-2C.m<3D.m<3且m≠-2【答案】B【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．【详解】解：方程两边同时乘以x-1得，2=x-1-m，解得x=m+3，∵分式方程2x-1=1-mx-1的解为正数，∴m+3>0，∴m>-3，又∵x≠1，即m+3≠1，∴m≠-2，∴m的取值范围为m>-3且m≠-2，故选：B．10.(2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题)已知关于x的分式方程kxx-3-2=33-x无解，则k的值为()A.k=2或k=-1B.k=-2C.k=2或k=1D.k=-1【答案】A【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可．【详解】解：去分母得，kx-2(x-3)=-3，整理得，(k-2)x=-9，当k=2时，方程无解，当k≠2时，令x=3，解得k=-1，所以关于x的分式方程kxx-3-2=33-x无解时，k=2或k=-1．故选：A．11.(2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)如果关于x的分式方程1x -mx+1=0的解是负数，那么实数m的取值范围是()A.m<1且m≠0B.m<1C.m>1D.m<1且m≠-1【答案】A【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的解是负数得到m-1<0，并结合分式方程的解满足最简公分母不为0，求出m的取值范围即可，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．【详解】解：方程两边同时乘以x x+1得，x+1-mx=0，解得x=1m-1，∵分式方程的解是负数，∴m-1<0，∴m<1，又∵x x+1≠0，∴x+1≠0，∴1 m-1≠-1，∴m≠0，∴m<1且m≠0，故选：A．12.(2024·重庆·中考真题)若关于x的一元一次不等式组2x+13≤34x-2<3x+a的解集为x≤4，且关于y的分式方程a-8y+2-yy+2=1的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是．【答案】12【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出a>2；解分式方程得到y=a-102，再由关于y的分式方程a-8y+2-yy+2=1的解均为负整数，推出a<10且a≠6且a是偶数，则2<a<10且a≠6且a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可．【详解】解：2x+13≤3①4x-2<3x+a②解不等式①得：x≤4，解不等式②得：x<a+2，∵不等式组的解集为x≤4，∴a+2>4，∴a>2；解分式方程a-8y+2-yy+2=1得y=a-102，∵关于y的分式方程a-8y+2-yy+2=1的解均为负整数，∴a-102<0且a-102是整数且y+2=a-102+2≠0，∴a<10且a≠6且a是偶数，∴2<a<10且a≠6且a是偶数，∴满足题意的a的值可以为4或8，∴所有满足条件的整数a的值之和是4+8=12．故答案为：12．考点二分式方程的应用►考向一列分式方程13.(2024·四川巴中·中考真题)某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行0.5h，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为xkm/h，则可列方程为()A.60x -60x+20=12B.60x-20-60x=12C.60x+20-60x=12D.60x-60x-20=12【答案】A【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为xkm/h，则快车的速度是x+20km/h，再根据题意列出方程即可．【详解】解：设慢车的速度为xkm/h，则快车的速度为x+20km/h，根据题意可得：60x -60x +20=12．故选：A ．14.(2024·四川广元·中考真题)我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A 、B 两种绿植，已知A 种绿植单价是B 种绿植单价的3倍，用6750元购买的A 种绿植比用3000元购买的B 种绿植少50株．设B 种绿植单价是x 元，则可列方程是()A.67503x -50=3000x B.30003x -50=6750x C.67503x +50=3000xD.30003x +50=6750x【答案】C【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设B 种绿植单价是x 元，则A 种绿植单价是3x 元，根据用6750元购买的A 种绿植比用3000元购买的B 种绿植少50株，列出方程即可．【详解】解：设B 种绿植单价是x 元，则A 种绿植单价是3x 元，根据题意得：67503x +50=3000x ，故选：C ．15.(2024·甘肃临夏·中考真题)端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x 元，所得方程正确的是()A.240x -240x +2=10B.240x -240x -2=10C.240x -2-240x=10D.240x +2-240x=10【答案】C【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程．【详解】解：由题意可得，240x -2-240x =10，故选：C ．16.(2024·山西·中考真题)某校组织学生开展“茶韵与书画”为主题的研学课程，已知学校用于购买扇子的费用为4000元，购买茶具的费用为3200元，其中购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍，并且扇子的单价比茶具的单价便宜3元．设购买扇子的单价为x 元．则x 满足的方程为()A.4000x =2×3200x +3B.2×4000x =3200x +3C.4000x -3=2×3200xD.2×4000x -3=3200x【答案】A【分析】题目主要考查分式方程的应用，设购买扇子的单价为x 元，则茶具的单价为x +3 元，根据“购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍”列出分式方程即可，理解题意是解题关键．【详解】解：设购买扇子的单价为x 元，则茶具的单价为x +3 元，根据题意得：4000x =2×3200x +3，故选：A ．►考向二分式方程的实际应用17.(2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题)A ，B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运30千克，A 型机器人搬运900千克所用时间与B 型机器人搬运600千克所用时间相等．A ，B 两种机器人每小时分别搬运多少干克化工原料？()A.60，30B.90，120C.60，90D.90，60【答案】D【分析】本题考查了分式方程的应用，设B 型机器人每小时搬运x 千克，则A 型机器人每小时搬运x +30 千克，根据“A 型机器人搬运900千克所用时间与B 型机器人搬运600千克所用时间相等”列分式方程求解即可．【详解】解：设B 型机器人每小时搬运x 千克，则A 型机器人每小时搬运x +30 千克，根据题意，得900x +30=600x，解得x =60，经检验，x =60是原方程的解，∴x +30=90，答：A 型机器人每小时搬运90千克，B 型机器人每小时搬运60千克．故选：D ．18.(2024·黑龙江绥化·中考真题)一艘货轮在静水中的航速为40km/h ，它以该航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km 所用时间相等，则江水的流速为()A.5km/hB.6km/hC.7km/hD.8km/h【答案】D【分析】此题主要考查了分式方程的应用，利用顺水速=静水速+水速，逆水速=静水速-水速，设未知数列出方程，解方程即可求出答案．【详解】解：设江水的流速为x km/h ，根据题意可得：12040+x =8040-x ，解得：x =8，经检验：x =8是原方程的根，答：江水的流速为8km/h ．故选：D ．19.(2024·山东·中考真题)为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为()A.200B.300C.400D.500【答案】B【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设改造后每天生产的产品件数为x ，则改造前每天生产的产品件数为x -100 ，根据“改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程，解方程即可．【详解】解：设改造后每天生产的产品件数为x ，则改造前每天生产的产品件数为x -100 ，根据题意，得：600x =400x -100，解得：x =300，经检验x =300是分式方程的解，且符合题意，答：改造后每天生产的产品件数300．故选：B ．20.(2024·内蒙古·中考真题)2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为元．【答案】551260【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．设大号“龙辰辰”的单价为x 元，则小号“龙辰辰”的单价为x -15 元，根据题意建立分式方程，解方程即可得；设购进小号“龙辰辰”的数量为a 个，则购进大号“龙辰辰”的数量为60-a 个，先求出a 的取值范围，再设该网店所获利润为w 元，建立w 关于a 的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得．【详解】解：设大号“龙辰辰”的单价为x 元，则小号“龙辰辰”的单价为x -15 元，由题意得：2400x -15=1.5×2200x，解得x =55，经检验，x =55是所列分式方程的解，所以大号“龙辰辰”的单价为55元，小号“龙辰辰”的单价为40元．设购进小号“龙辰辰”的数量为a 个，则购进大号“龙辰辰”的数量为60-a 个，由题意得：0<60-a ≤12a ，解得40≤a <60，设该网店所获利润为w 元，则w =60-40 a +60×1+30% -55 60-a =-3a +1380，由一次函数的性质可知，在40≤a <60内，w 随a 的增大而减小，则当a =40时，w 取得最大值，最大值为-3×40+1380=1260，即该网店所获最大利润为1260元，故答案为：55；1260．21.(2024·山东东营·中考真题)水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的14．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3m 3．设该市去年居民用水价格为x 元/m 3，则可列分式方程为．【答案】28x -24.554x =3【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该市去年居民用水价格为x 元/m 3，则今年居民用水价格为54x 元/m 3，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3m 3，列出方程即可．【详解】解：设该市去年居民用水价格为x 元/m 3，则今年居民用水价格为1+14x 元/m 3，根据题意得：28x -24.554x =3．故答案为：28x -24.554x =3．22.(2024·江苏常州·中考真题)书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m ×0.8m ，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am 、bm 、cm 、dm ．若装裱后AB 与AD 的比是16:10，且a =b ，c =d ，c =2a ，求四周边衬的宽度．【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m 、0.1m 、0.2m 、0.2m【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出AB ,AD 的长，列出分式方程，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：AB =1.2+c +d =1.2+2c =1.2+4a ，AD =0.8+a +b =0.8+2a ，∵AB 与AD 的比是16:10，∴1.2+4a 0.8+2a =1610，解得：a =0.1，经检验a =0.1是原方程的解．∴上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m 、0.1m 、0.2m 、0.2m ．23.(2024·黑龙江大庆·中考真题)为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段(简称峰时)：7：00-23：00，用电低谷时段(简称谷时)：23：00-次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．【答案】该市谷时电价0.3元/度【分析】本题考查了分式方程的应用，设该市谷时电价为x 元/度，则峰时电价x +0.2 元/度，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解．【详解】解：设该市谷时电价为x 元/度，则峰时电价x +0.2 元/度，根据题意得，50x +0.2=30x ，解得：x =0.3，经检验x =0.3是原方程的解，答：该市谷时电价0.3元/度．24.(2024·山东泰安·中考真题)随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？【答案】甲组有20名工人，乙组有15名工人【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲组有x 名工人，则乙组有35-x 名工人．根据题意得270035-x=3000x ×1.2，据此即可求解．【详解】解：设甲组有x 名工人，则乙组有35-x 名工人．根据题意得：270035-x =3000x×1.2，解答：x =20，经检验，x =20是所列方程的解，且符合题意，∴35-x =35-20=15．答：甲组有20名工人，乙组有15名工人．25.(2024·广西·中考真题)综合与实践在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg 水．浓度关系式：d 后=0.5d 前0.5+w．其中d 前、d 后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w 为单次漂洗所加清水量(单位：kg )【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%【动手操作】请按要求完成下列任务：(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？(2)如果把4kg 清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？(3)比较(1)和(2)的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5kg 清水．(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；(3)两次漂洗的方法值得推广学习【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键；(1)把d 后=0.01%，d 前=0.2%代入d 后=0.5d 前0.5+w，再解方程即可；(2)分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案；(3)根据(1)(2)的结果得出结论即可．【详解】(1)解：把d后=0.01%，d 前=0.2%代入d 后=0.5d 前0.5+w得0.01%=0.5×0.2%0.5+w，解得w =9.5．经检验符合题意；∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5kg 清水．(2)解：第一次漂洗：把w =2kg ，d 前=0.2%代入d 后=0.5d 前0.5+w，∴d 后=0.5×0.2%0.5+2=0.04%，第二次漂洗：把w =2kg ，d 前=0.04%代入d 后=0.5d 前0.5+w，∴d 后=0.5×0.04%0.5+2=0.008%，而0.008%<0.01%，∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；(3)解：由(1)(2)的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．26.(2024·云南·中考真题)某旅行社组织游客从A 地到B 地的航天科技馆参观，已知A 地到B 地的路程为300千米，乘坐C 型车比乘坐D 型车少用2小时，C 型车的平均速度是D 型车的平均速度的3倍，求D 型车的平均速度．【答案】D 型车的平均速度为100km/h【分析】本题考查分式方程的应用，设D 型车的平均速度为xkm /h ，则C 型车的平均速度是3xkm /h ，根据“乘坐C 型车比乘坐D 型车少用2小时，”建立方程求解，并检验，即可解题．【详解】解：设D 型车的平均速度为xkm /h ，则C 型车的平均速度是3xkm /h ，根据题意可得，300x -3003x=2，整理得，6x =600，解得x =100，经检验x =100是该方程的解，答：D 型车的平均速度为100km/h ．27.(2024·重庆·中考真题)为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？【答案】(1)该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；(2)需要更新设备费用为1330万元【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．(1)设该企业甲类生产线有x 条，则乙类生产线各有30-x 条，再利用更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，再建立方程求解即可；(2)设购买更新1条甲类生产线的设备为m 万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为m -5 万元，利用用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解．【详解】(1)解：设该企业甲类生产线有x 条，则乙类生产线各有30-x 条，则3x +230-x =70，解得：x =10，则30-x =20；答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；(2)解：设购买更新1条甲类生产线的设备为m 万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为m -5 万元，则200m =180m -5，解得：m =50，经检验：m =50是原方程的根，且符合题意；则m -5=45，则还需要更新设备费用为10×50+20×45-70=1330(万元)；28.(2024·重庆·中考真题)某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A 、B 两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A 、B 两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A 种外墙漆每千克的价格比B 种外墙漆每千克的价格多2元．(1)求A 、B 两种外墙漆每千克的价格各是多少元？(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的45，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？【答案】(1)A 种外墙漆每千克的价格为26元，则B 种外墙漆每千克的价格为24元．(2)甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米．【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关键；(1)设A 种外墙漆每千克的价格为x 元，则B 种外墙漆每千克的价格为x -2 元，再根据总费用为15000元列方程求解即可；(2)设甲每小时粉刷外墙面积为y 平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是45y 平方米；利用乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．从而建立分式方程求解即可．【详解】(1)解：设A 种外墙漆每千克的价格为x 元，则B 种外墙漆每千克的价格为x -2 元，∴300x +300x -2 =15000，解得：x =26，∴x -2=24，答：A 种外墙漆每千克的价格为26元，B 种外墙漆每千克的价格为24元．(2)设甲每小时粉刷外墙面积为y 平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是45y 平方米；∴50045y -5=500y ，解得：y =25，经检验：y =25是原方程的根且符合题意，答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米．一、单选题29.(2024·广西贺州·三模)下列式子是分式方程的是()A.x+12=53B.13x-1+4x3x+1C.x2x-1+32x+1=1 D.3-x4+2=x-13【答案】C【分析】此题考查了分式方程，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可．【详解】解：A．x+12=53是一元一次方程，故选项不符合题意；B．13x-1+4x3x+1不是方程，故选项不符合题意；C．x2x-1+32x+1=1是分式方程，故选项符合题意；D．3-x4+2=x-13是一元一次方程，故选项符合题意．故选：C．30.(2024·辽宁·模拟预测)某生鲜超市在三月份用20000元进购一批铁皮西红柿，四月份这种铁皮西红柿每千克降价了1元，此生鲜超市用18000元进购同种铁皮西红柿，却多进货500千克．求三月份这种铁皮西红柿每千克多少元？设三月份这种铁皮西红柿每千克x元，可列方程得()A.20000x+1+500=18000xB.20000x+500=18000x+1C.20000x-1+500=18000xD.20000x+500=18000x-1【答案】D【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设三月份这种铁皮西红柿每千克x元，则四月份这种铁皮西红柿每千克x-1元，根据三月进货量+500=四月进货量，列出方程即可．【详解】解：设三月份这种铁皮西红柿每千克x元，则四月份这种铁皮西红柿每千克x-1元，可列方程得20000x+500=18000x-1，故选：D．31.(2024·上海宝山·一模)《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为；把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为1800x+1=900x-3，其中x表示()A.快马的速度B.慢马的速度C.规定的时间D.以上都不对【答案】C【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，根据各数量之间的关系及所列的方程，找出x的含义是解题的关键．由快、慢马速度间的关系，结合所列的方程，可得出900x+1表示慢马的速度，900x-3表示快马的速度，结合快、慢马所需时间与规定时间之间的关系，可得出x表示规定的时间．【详解】解：∵快马的速度是慢马的2倍，所列方程为900x+1×2=900x-3，即1800x+1=900x-3，∴900x+1表示慢马的速度，900x-3表示快马的速度；∵把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，∴x表示规定的时间．故选：C．32.(2024·广东·模拟预测)已知x=5是分式方程4x+2=1-k2+x的解，则k的值为()A.5B.4C.3D.2【答案】C【分析】本题主要考查了分式方程解的定义，分式方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把x= 5代入原方程求出k的值即可．【详解】解：∵x=5是分式方程4x+2=1-k2+x的解，∴4 5+2=1-k2+5，解得：k=3，故选：C．33.(2024·上海·模拟预测)野豪猪内卷会用6000元购进一批试卷，每套试卷含数理化三科，每套以比进价高10元的优惠价格卖给成员，在销售过程中，因多出5套试卷，以每套10元的白菜价送给了其他同学，最后野豪猪内卷会盈利950元，则一套试卷的进价为()A.50元B.100元C.120元D.240元【答案】A【分析】本题考查了分式方程的应用．设每套试卷的进价为x元，则每套试卷的售价为x+10元，根据题意列出分式方程，解之即可，注意检验．【详解】解：设每套试卷的进价为x元，则每套试卷的售价为x+10元，根据题意得6000x-5=6000+950-5×10x+10，整理得x2+190x-12000=0，解得x1=50，x2=-240(不合题意，舍去)，经检验，x=50是原方程的解，且符合题意；答：每套试卷的进价为50元，故选：A．34.(2024·安徽·模拟预测)为改善生态环境，打造宜居城市，某市园林绿化部门计划植树20万棵，由于工程进度需要，实际每天植树棵数比原计划增加了25%，结果提前4天完成任务．若设实际每天植树x万棵，则根据题意可得方程为()A.201+25%x-20x=4 B.2025%x-20x=4C.201+25%x -20x=4 D.20x-201+25%x=4。
2024年中考数学一轮复习题型突破与专题精练—分式方程
2024年中考数学一轮复习题型突破与专题精练—分式方程题型一解分式方程1．（2022·湖南怀化）代数式25x ，1π，224x +，x 2﹣23，1x ，12x x ++中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B 【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．【详解】分母中含有字母的是224x +，1x ，12x x ++，∴分式有3个，故选：B．【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．2．（2023·上海·统考中考真题）在分式方程2221521x x x x -+=-中，设221x y x -=，可得到关于y 的整式方程为（）A．2550y y ++=B．2550y y -+=C．2510y y ++=D．2510y y -+=【答案】D 【分析】设221x y x -=，则原方程可变形为15y y +=，再化为整式方程即可得出答案.【详解】解：设221x y x -=，则原方程可变形为15y y +=，即2510y y -+=；故选：D.【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.3．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）方程3911x x x =++的解是________．【答案】3x =【分析】先去分母，左右两边同时乘以()1x +，再根据解一元一次方程的方法和步骤进行解答，最后进行检验即可．【详解】解：去分母，得：39x =，化系数为1，得：3x =．检验：当3x =时，10x +≠，∴3x =是原分式方程的解．故答案为：3x =．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，正确找出最简公分母，注意解分式方程要进行检验．4．（2023·江苏苏州·统考中考真题）分式方程123x x +=的解为x =________________．【答案】3-【分析】方程两边同时乘以3x ，化为整式方程，解方程验根即可求解．【详解】解：方程两边同时乘以3x ，()312x x+=解得：3x =-，经检验，3x =-是原方程的解，故答案为：3-．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．5．（2017·江西·南昌市育新学校校联考一模）分式方程2102x x -=-的解是_____．【答案】4x =【分析】根据解分式方程的步骤计算即可．【详解】去分母得：()220x x --=，解得：4x =，经检验4x =是方程的解，故答案为：4x =．【点睛】本题考查解分式方程，正确计算是解题的关键，注意要检验．6．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）方程216124x x x ++=+-的解为___________．【答案】4x =【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出x 的值．【详解】解：216124x x x ++=+- ，方程两边同时乘以()()22x x +-得，()()2622x x x x -++=+-，2244x x ∴+=-，2280x x ∴--=，()()420x x ∴-+=，4x ∴=或2x =-．经检验2x =-时，240x -=，故舍去．∴原方程的解为：4x =．故答案为：4x =．【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．7.（2020·湖南郴州·中考真题）解方程：24111x x x =+--【答案】x=3．【分析】观察可得方程最简公分母为(x 2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．【解析】解：24111x x x =+--去分母得，2(1)41x x x +=+-解得，x=3，经检验，x=3是原方程的根，所以，原方程的根为：x=3．【点睛】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要检验．8．（2022·江苏宿迁）解方程：21122x x x =+--．【答案】x ＝﹣1【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可．【详解】解：21122x x x =+--，2x ＝x ﹣2+1，x ＝﹣1，经检验x ＝﹣1是原方程的解，则原方程的解是x ＝﹣1．【点睛】本题考查解分式方程，得出方程的解之后一定要验根．9．（2020·黑龙江大庆·中考真题）解方程：24111x x x -=--【答案】3【分析】去分母化成整式方程，求出x 后需要验证，才能得出结果；【解析】24111x x x -=--，去分母得：214x x -+=，解得：3x =．检验：把3x =代入1x -中，得-=-=≠13120x ，∴3x =是分式方程的根．【点睛】本题主要考查了分式方程的求解，准确计算是解题的关键．10．（2020·陕西中考真题）解分式方程：2312x x x --=-．【答案】x ＝45．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】解：方程2312x x x --=-，去分母得：x 2﹣4x +4﹣3x ＝x 2﹣2x ，移项得：-5x=-4，系数化为1得：x ＝45，经检验x ＝45是分式方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程．利用了转化的思想，解分式方程要注意检验．11.（2021·浙江中考真题）解分式方程：2113x x -=+．【答案】4x =【分析】先将分式方程化成整式方程，然后求解，最后检验即可．【详解】解：2113x x -=+213x x -=+．4x =．经检验，4x =是原方程的解．【点睛】本题主要考查了分式方程的解法，将将分式方程化成整式方程是解题的关键，检验是解答本题的易错点．12.（2021·江苏连云港市·中考真题）解方程：214111x x x +-=--．【答案】无解【分析】将分式去分母，然后再解方程即可．【详解】解：去分母得：()22141x x +-=-整理得22x =，解得1x =，经检验，1x =是分式方程的增根，故此方程无解．【点睛】本题考查的是解分式方程，要注意验根，熟悉相关运算法则是解题的关键．13.（2021·江苏南京市·中考真题）解方程2111x x x +=+-．【答案】3x =【分析】先将方程两边同时乘以()()11x x +-，化为整式方程后解整式方程再检验即可．【详解】解：2111x x x +=+-，()()()()21111x x x x x -++-=+，22221x x x x -+-=+，3x =，检验：将3x =代入()()11x x +-中得，()()110x x +-≠，∴3x =是该分式方程的解．【点睛】本题考查了分式方程的解法，解决本题的关键是牢记解分式方程的基本步骤，即要先将分式方程化为整式方程，再利用“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等方式解整式方程，最后不能忘记检验等．14.（2021·陕西中考真题）解方程：213111x x x --=+-．【答案】12x =-【分析】按照解分式方程的方法和步骤求解即可．【详解】解：去分母（两边都乘以()()11x x +-），得，22(1)31x x --=-．去括号，得，222131x x x -+-=-，移项，得，222113x x x --=--+．合并同类项，得，21x -=．系数化为1，得，12x =-．检验：把12x =-代入()()110x x +-≠．∴12x =-是原方程的根．【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟知分式方程的解法步骤是解题的关键，尤其注意解分式方程必须检验．15.（2020·内蒙古通辽?中考真题）解方程：232x x=-.【答案】6x =.【解析】【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．【详解】去分母，得()232x x =-，去括号，得236x x =-，移项，合并同类项，得6x -=-，化x 的系数为1，得6x =，经检验，6x =是原方程的根，∴原方程的解为6x =．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤以及注意事项是解题的关键．16.（2020·黑龙江大庆?中考真题）解方程：24111x x x -=--【答案】3【解析】【分析】去分母化成整式方程，求出x 后需要验证，才能得出结果；【详解】24111x x x -=--，去分母得：214x x -+=，解得：3x =．检验：把3x =代入1x -中，得-=-=≠13120x ，∴3x =是分式方程的根．【点睛】本题主要考查了分式方程的求解，准确计算是解题的关键．17.（2020·陕西中考真题）解分式方程：2312x x x --=-．【答案】x＝45．【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：方程2312x x x --=-，去分母得：x 2﹣4x+4﹣3x＝x 2﹣2x，移项得：-5x=-4，系数化为1得：x＝45，经检验x＝45是分式方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程．利用了转化的思想，解分式方程要注意检验．18.解方程：24111x x x =+--【答案】x=3．【分析】观察可得方程最简公分母为(x 2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．【解析】解：24111x x x =+--去分母得，2(1)41x x x +=+-解得，x=3，经检验，x=3是原方程的根，所以，原方程的根为：x=3．【点睛】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要检验．19.解方程：2211x x x+=--；【答案】x=0；【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；【解析】解：（1）2211x x x +=--去分母得：x 2=2x 2－－解得x=0，经检验x=0是分式方程的解；【点睛】本题考查了解分式方程与解不等式组，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解一元一次不等式组要注意不等号的变化．20.解分式方程：1133x x x x =+++．【答案】3x =-【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：1133x x x x =+++去分母，得33(1)x x x =++，解此方程，得3x =-，经检验，3x =-是原分式方程的根．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程转化为整式方程，不要忘记检验．题型二含参问题21．（2023·黑龙江·统考中考真题）已知关于x 的分式方程122m x x x +=--的解是非负数，则m 的取值范围是（）A．2m ≤B．2m ≥C．2m ≤且2m ≠-D．2m <且2m ≠-【答案】C【分析】解分式方程求出22mx -=，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m 的不等式组，求解即可．【详解】解：分式方程去分母得：2m x x +-=-，解得：22mx -=，∵分式方程122m xx x+=--的解是非负数，∴202m-≥，且222m x -=≠，∴2m ≤且2m ≠-，故选：C．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m 的不等式组是解题的关键．22．（2020·黑龙江穆棱·朝鲜族学校中考真题）若关于x 的分式方程21mx x=-有正整数解，则整数m 的值是（）A．3B．5C．3或5D．3或4【答案】D【分析】解带参数m 的分式方程，得到2122m x m m ==+--，即可求得整数m 的值．【解析】解：21mx x=-，两边同时乘以()1x x -得：()21x m x =-，去括号得：2x mx m =-，移项得：2x mx m -=-，合并同类项得：()2m x m -=-，系数化为1得：2122m x m m ==+--，若m 为整数，且分式方程有正整数解，则3m =或4m =，当3m =时，3x =是原分式方程的解；当4m =时，2x =是原分式方程的解；故选：D．【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．23．（2022·四川泸州）若方程33122x x x-+=--的解使关于x 的不等式()230-->a x 成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】1a <-【分析】先解分式方程得1x =，再把1x =代入不等式计算即可．【详解】33122x x x-+=--去分母得：323x x -+-=-解得：1x =经检验，1x =是分式方程的解把1x =代入不等式()230-->a x 得：230a -->解得1a <-故答案为：1a <-【点睛】本题综合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解题的关键是熟记相关运算法则．24．（2022·浙江宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，11ba b a ⊗=+．若21(1)++⊗=x x x x，则x 的值为___________．【答案】12-【分析】根据新定义可得221(1)x x x x x ++⊗=+，由此建立方程22121x x x x x++=+解方程即可．【详解】解：∵11ba b a ⊗=+，∴()211121(1)11x x x x x x x x x x x ++++⊗=+==+++，又∵21(1)++⊗=x x x x ，∴22121x x x x x++=+，∴()()()221210x x x x x ++-+=，∴()()2210x x x x +-+=，∴()2210x x +=，∵21(1)++⊗=x x x x即0x ≠，∴210x +=，解得12x =-，经检验12x =-是方程22121x x x x x++=+的解，故答案为：12-．【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x 的方程是解题的关键．25．（2019·四川遂宁·中考真题）关于x 的方程1242k xx x -=--的解为正数，则k 的取值范围是（）A．4k >-B．4k <C．4k >-且4k ≠D．4k <且4k ≠-【答案】C【分析】先对分式方程去分母，再根据题意进行计算，即可得到答案.【解析】解：分式方程去分母得：(24)2k x x --=，解得：44k x +=，根据题意得：404k +>，且424k +≠，解得：4k >-，且4k ≠．故选C．【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是掌握分式方程的求解方法.26．（四川凉山·中考真题）关于x 的方程32211x mx x -=+++无解，则m 的值为（）A．﹣5B．﹣8C．﹣2D．5【答案】A【解析】解：去分母得：3x ﹣2=2x +2+m ①．由分式方程无解，得到x +1=0，即x =﹣1，代入整式方程①得：﹣5=﹣2+2+m ，解得：m =﹣5．故选A．27.（2019·黑龙江伊春·中考真题）已知关于x 的分式方程213x mx -=-的解是非正数，则m 的取值范围是（）A．3m ≤B．3m <C．3m >-D．3m ≥-【答案】A【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m 的范围即可【解析】213x mx -=-，方程两边同乘以3x -，得23x m x -=-，移项及合并同类项，得3x m =-，分式方程213x mx -=-的解是非正数，30x -≠，30(3)30m m -≤⎧∴⎨--≠⎩，解得，3m ≤，故选A．【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m 的值28．（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n +1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n +1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n +1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．题型三分式方程的解29．（2020·四川遂宁·中考真题）关于x 的分式方程2m x -﹣32x-＝1有增根，则m 的值（）A．m ＝2B．m ＝1C．m ＝3D．m ＝﹣3【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m 的值即可．【解析】解：去分母得：m +3＝x ﹣2，由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2，把x ＝2代入整式方程得：m +3＝0，解得：m ＝﹣3，故选：D ．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．30．（2020·山东潍坊·中考真题）若关于x 的分式方程33122x m x x +=+--有增根，则m =_________．【答案】3．【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出x 的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出m 的值．【解析】解：去分母得：()332x m x =++-，整理得：21x m =+，∵关于x 的分式方程33122x m x x +=+--有增根，即20x -=，∴2x =，把2x =代入到21x m =+中得：221m ⨯=+，解得：3m =，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．31．（黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x 的方程2134416x m m x x ++=-+-无解，则m 的值为__．【答案】-1或5或13-【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.【解析】去分母得：()443x m x m ++-=+，可得：()151m x m +=-，当10m +=时，一元一次方程无解，此时1m =-，当10m +≠时，则5141m x m -==±+，解得：5m =或13-.故答案为：1-或5或13-.【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键.32．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x 的分式方程32x x -＝2mx-+5的解为正数，则m 的取值范围为（）A．m ＜﹣10B．m ≤﹣10C．m ≥﹣10且m ≠﹣6D．m ＞﹣10且m ≠﹣6【答案】D【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m 的范围即可．【解析】解：去分母得35(2)x m x =-+-，解得102m x +=，由方程的解为正数，得到100m +>，且2x ≠，104m +≠，则m 的范围为10m >-且6≠-m ，故选：D ．【点睛】本题主要考查了分式方程的计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出m 的范围，其中考虑到分式方程的分母不可为零是做对题目的关键．33．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）已知关于x 的分式方程433x kx x-=--的解为非正数，则k 的取值范围是（）A．12k ≤-B．12k -≥C．12k >-D．12k <-【答案】A【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k 的不等式，解出k 的范围即可．【解析】解：方程433x k x x-=--两边同时乘以(3)x -得：4(3)x x k --=-，∴412x x k -+=-，∴312x k -=--，∴43kx =+，∵解为非正数，∴403k+≤，∴12k ≤-，故选：A．【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．题型四分式方程的应用类型一行程问题34．（2023·云南·统考中考真题）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x 米/分，则下列方程正确的是（）A．1.24800400x x-=B．1.24800400x x-=C．40080041.2x x-=D．80040041.2x x-=【答案】D【分析】设乙同学的速度是x 米/分，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可．【详解】解∶设乙同学的速度是x 米/分，可得：80040041.2x x-=故选：D．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．35．（2020·湖北荆州·中考真题）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）A．10x-102x=20B．102x-10x=20C．10x-102x=13D．102x-10x=13【答案】C【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【解析】由题意可得，10x-102x=13，故选：C．【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．36．（2023·湖南·统考中考真题）某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（）A．505011.26x x=+B．5050101.2x x+=C．5050101.2x x=+D．501506 1.2x x+=【答案】A【分析】设大巴车的平均速度为x千米/时，则老师自驾小车的平均速度为1.2x千米/时，根据时间的等量关系列出方程即可．【详解】解：设大巴车的平均速度为x 千米/时，则老师自驾小车的平均速度为1.2x 千米/时，根据题意列方程为：505011.26x x =+，故答案为：A．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系是解题的关键．37．（2020·广西中考真题）甲、乙两地相距600km ，提速前动车的速度为/vkm h ，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20min ，则可列方程为（）A．60016003 1.2-=v vB．60060011.23v v =-C．60060020 1.2v v-=D．600600201.2v v=-【答案】A【分析】行驶路程都是600千米；提速前后行驶时间分别是：600600,1.2v v；因为提速后行车时间比提速前减少20min ，所以，提速前的时间-提速后的时间=20min ．【解析】根据提速前的时间-提速后的时间=20min ，可得60060011.23-=v v 即60016003 1.2-=v v故选：A 【点睛】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．38．（2023·四川·统考中考真题）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a 为全程10千米的普通道路，路线b 包含快速通道，全程7千米，走路线b 比路线a 平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a 和路线b 的平均速度分别是多少？设走路线a 的平均速度为x 千米/小时，依题意，可列方程为（）A．()10710140%60x x -=+B．()10710140%x x-=+C．()71010140%60x x -=+D．()71010140%x x-=+【答案】A【分析】若设路线a 时的平均速度为x 千米/小时，则走路线b 时的平均速度为()140%x +千米/小时，根据路线b 的全程比路线a 少用10分钟可列出方程．【详解】解：由题意可得走路线b 时的平均速度为()140%x +千米/小时，∴()10710140%60x x -=+，故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．39．（2022·四川乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．【答案】摩托车的速度为40千米/时【分析】设摩托车的速度为x 千米/时，则抢修车的速度为1.5x 千米/时，根据抢修车比摩托车少用10分钟，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：设摩托车的速度为x 千米/时，则抢修车的速度为1.5x 千米/时，依题意，得：2020101.560x x -=，解得：x =40，经检验，x =40是所列方程的根，且符合题意，答：摩托车的速度为40千米/时．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．40．（2022·四川自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【答案】张老师骑车的速度为15千米/小时【分析】实际应用题的解题步骤“设、列、解、答”，根据问题设未知数，找到题中等量关系张老师先走2小时，结果同时达到列分式方程，求解即可．【详解】解：设张老师骑车的速度为x千米/小时，则汽车速度是3x千米/小时，根据题意得：454523x x=+，解之得15x=，经检验15x=是分式方程的解，答：张老师骑车的速度为15千米/小时．【点睛】本题考查分式方程解实际应用题，根据问题设未知数，读懂题意，找到等量关系列出分式方程是解决问题的关键．41．（2022·重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．【答案】(1)24/千米时(2)18千米/时【分析】（1）设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时，根据甲出发半小时恰好追上乙列方程求解即可；（2）设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时，根据甲、乙恰好同时到达B地列方程求解即可．(1)解：设乙的速度为x 千米/时，则甲的速度为1.2x 千米/时，由题意得：0.5 1.20.52x x ⨯=+，解得：20x =，则1.224x =（千米/时），答：甲骑行的速度为24千米/时；(2)设乙的速度为x 千米/时，则甲的速度为1.2x 千米/时，由题意得：301303 1.2x x-=，解得15x =，经检验15x =是分式方程的解，则1.218x =（千米/时），答：甲骑行的速度为18千米/时．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．类型二工程问题42．（2023·湖北随州·统考中考真题）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x 千米，则可列出方程为（）A．912112x x -=+B．129112x x -=+C．912112x x -=+D．129112x x -=+【答案】A【分析】设甲工程队每个月修x 千米，则乙工程队每个月修()1x +千米，根据“最终用的时间比甲工程队少半个月”列出分式方程即可．【详解】解：设甲工程队每个月修x 千米，则乙工程队每个月修()1x +千米，依题意得912112x x -=+，【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找准关键语句，列出相等关系．43．（2022·山东泰安）某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单独做，则多用3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为x天，下面所列方程中错误的是（）A．2x1x x3+=+B．23x x3=+C．11x221x x3x3-⎛⎫+⨯+=++⎝⎭D．1x1x x3+=+【答案】D【分析】设总工程量为1，因为甲工程队单独去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率为1x；因为乙工程队单独去做，要超过规定日期3天，所以乙的工作效率为1x3+，根据甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，列方程即可．【详解】解：设规定日期为x天，由题意可得，11x221 x x3x3-⎛⎫+⨯+=⎪++⎝⎭，整理得2x1x x3+=+，或2x1x x3=-+或23x x3=+．则ABC选项均正确，故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．44．（2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x个零件，下列方程正确的是（）A．240280130x x=-B．240280130x x=-C．240280130x x+=D．240280130x x-=【分析】设甲每天做x 个零件，根据甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相同，列出方程即可．【解析】解：设甲每天做x 个零件，根据题意得：240280130x x=-，故选：A．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．45．（2022·重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．(1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？【答案】(1)100米(2)90米【分析】（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x 米，原来每天修建()20x -米，根据工效问题公式：工作总量＝工作时间×工作效率，列出关于x 的一元一次方程，解方程即可得出答案；（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y 米，技术更新后每天修建()120y +％米，根据水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同，可知每队修建900米，再结合两队同时开工修建，直至同时完工，可得两队工作时间相同，列出关于y 的分式方程，解方程即可得出答案．(1)解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x 米，原来每天修建()20x -米，。
2023学年人教中考数学重难点题型分类必刷题 专题10 分式与分式方程压轴题真题(含详解)
专题10 分式与分式方程压轴题真题-高分必刷题（原卷版）专题简介：本份资料包含《分式与分式方程》这一章在各次月考、期末中的主流压轴题，所选题目源自各名校月考、期末试题中的典型考题，本专题资料适合于培训机构的老师培养尖子生时使用或者学生想挑战高分时刷题使用。
题型一：分式方程的无解问题1. （长郡）（1）若关于x 的方程933312-+=++-x kx k x 无解，求k 的值； （2）若 n 是自然数，关于 x 的分式方程122=-+++xnx n x 的解为t ，且t t =，求n t -+)1(的值。
2.（中雅）对于平面直角坐标系中的点(),P a b ，若点'P 的坐标为,a a kb b k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（其中k 为常数，且0k ≠）则称点'P 为点P 的“k 系雅培点”。
例如：()3,2P 的“3系雅培点”为3'332,23P ⎛⎫+⨯+ ⎪⎝⎭，即()'9,3P 。
（1）点()6,1P 的“2系雅培点”'P 的坐标为 ；（2）若点P 在y 轴的正半轴上，点P 的“k 系雅培点”为'P 点，若在△'OPP 中，'2PP OP =，求k 的值； （3）已知点(),A x y 在第四象限，且满足12xy =-。
点A 是点(),B m n 的“3-系雅培点”，若分式方程31813412m n cx x x -+-=--无解，求c 的值。
3．（师大）已知，关于x 的分式方程1235b x x a x--=+-．（1）当a ＝1，b ＝0时，求分式方程的解；（2）当a ＝1时，求b 为何值时分式方程1235b x x a x--=+-无解； （3）若a ＝3b ，且a 、b 为正整数，当分式方程1235b x x a x--=+-的解为整数时，求b 的值．题型二：分式的分子有理化类压轴题4. （青竹湖）阅读下列材料：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如：11x x -+、21x x -这样的分式就是假分式，再如：31x +、221x x +这样的分式就是真分式，类似地，假分式也可以化为带分式.如：()12121111x x x x x +--==-+++. 解决下列问题：（1）分式2x 是 （填“真分式”或“假分式”）； 假分式12x x -+可化为带分式 的形式；（2）如果分式51x x +-的值为整数，求满足条件的整数x 的值；（3）求分式226612x x x x ++++的最值。
中考数学专题复习之分式方程(课件)
a的值之和是（
）
y 2 a
A．-5
B．-4
C．-3
D．-2
【分析】由关于y的一元一次不等式组
3y 2
2
y 1
有解得到a的取值范围，再由关
于x的分式方程
ax 3 1 3x 1
x2
2x
y 2 a
的解为正数得到a的取值范围，将所得的两个不等式
组成不等式组，确定a的整数解，结论可求．
典型例题
典型例题
Байду номын сангаас
【例6】（3分）（2021•西藏16/27）若关于x的分式方程
2x 1 m x 1 x 1
无解，
则m=
．
【考点】分式方程的解． 【分析】解方程得x= m-1，由方程无解，可知x=1，即可求m=2．
知识点1：分式方程及其解法
典型例题
【解答】解： 2x 1 m ，
x 1 x 1
方程两边同时乘以x-1，得2x-(x-1)=m， 去括号，得2x-x+1=m， 移项、合并同类项，得x= m-1， ∵方程无解，∴x=1， ∴m-1=1， ∴m=2， 故答案为2． 【点评】本题考查分式方程的解，掌握分式方程解法，理解无解的意义是解题的关键．
知识点1：分式方程及其解法
典型例题
解关于y的一元一次不等式组
3y 2 2 y2
y a
1
得：
y y
0 a
．
2
∵关于y的一元一次不等式组
3y 2
2
y 1 有解，
∴a-2＜0．
y 2 a
∴a＜2．
综上，-4＜a＜2且a≠-1．
∵a为整数，∴a=-3或-2或0或1．
∴满足条件的整数a的值之和是：-3-2+0+1=-5．故选：A．
2024届中考数学第一轮复习基础知识过关 第6讲《分式方程》教学PPT课件
(1)解分式方程的基本思想是转化思想,把分式方程转化为整式方程;
(2)解分式方程一定注意要检验;
(3)去分母时不要漏乘没有分母的项,还要注意符号的变化.
[变式 1] (2023 成都双流二模)解方程:
+
解:
-
+
-
=2,
=2.
(-) -
方程两边都乘 2(x-3),得 3x+3-2x=4(x-3),
同时到达;已知汽车速度是自行车速度的3倍,求张老师骑车的速度.
解:设张老师骑车的速度为 x km/h,则汽车的速度是 3x km/h.
根据题意,得 = +2,
解得 x=15.
经检验 x=15 是分式方程的解.
答:张老师骑车的速度为 15 km/h.
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的步骤基本相同,要理清
答:摩托车的速度为 40 km/h.
分式方程
分式方程的概念
分母
中含有未知数的方程,叫做分式方程.“分母中含有未知数”
是分式方程与整式方程的根本区别,也是判断一个方程是否为分式方
程的依据.
分式方程的解法(常考点)
1.解分式方程的思想
把分式方程转化为
整式方程
.
2.解分式方程的一般步骤
最简公分母
(1)把方程两边都乘
(2)解这个 整式 方程;
- =
(+%)
(+%)
B. D.
=10
- =10
(+%)
3.(2023广安)为了降低成本,某出租车公司实施了“油改气”措施.如
中考大一轮数学复习课时10分式方程及其应用PPT课件
中考大一轮复习讲义◆ 数学
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知识结构梳理
3
夯实基本 知已知彼
1 2 3
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夯实基本 知已知彼
基础知识回顾
1. 分式方程：分母中含有________的方程叫分式方程．
2. 解分式方程
(1)解分式方程的一般步骤：
①去分母，在方程的两边都乘________，约去分母，化成整式方程．
④“解”方程．
⑤“检”验，要检验方程的根是否符合题意．
⑥“答”．
温馨提示
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
①检验所求的解是否是所列方程的解．
1
②检验所求的解是否符合实际题意．
2
3
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课前预测 你很棒
1. (2013·山东枣庄)对于非零的两个实数 a，b，规定 a⊕b＝1b－1a，若 2⊕(2x
结果前后共用 20 天完成，求 A，B 两车间每天分别能加工多少件？
1
解：设 B 车间每天加工 x 件，则 A 车间每天加工 1.2x 件，
由题可知x＋4410.02x＋44x00＝20，
解得 x＝320
2
经检验，x＝320 是方程的解
此时 A 车间每天加工 320×1.2＝384(件)．
答：A 车间每天加工 384 件，B 车间每天加工 320 件．
1
温馨提示
①去分母时，不要漏乘没有分母的项．
2 ②解分式方程的重要步骤是检验，必须书面检验．检验的方法可以代入最简
公分母检验，也可直接代入原方程验根．
3
4
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2023中考数学一轮复习资料(全国通用)：分式方程及其应用(讲通)(教师版)
专题10 分式方程及其应用1、了解分式方程的概念。
2、会解分式方程，理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题。
一、分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．注意：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.二、分式方程的解法去分母法，换元法．例1、解分式方程：=﹣．【答案】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验.【解析】解：方程两边同乘以（2x+1）（2x﹣1），得x+1=3(2x-1)-2(2x+1)x+1=2x-5，解得x=6．检验：x=6是原方程的根．故原方程的解为：x=6．三、解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.例2、解分式方程：21233x x x -+=--． 【答案】方程两边同乘以3x -，得 22(3)1x x -+-=．2261x x -+-=．5x =．经检验：5x =是原方程的解，所以原方程的解是5x =． 注意：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．四、解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．例3、甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？【要点诠释】方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．1．（2022·陕西西安市·交大附中分校九年级模拟预测）某修路队计划x天内铺设铁路120km，由于采用新技术，每天多铺设铁路3km，因此提前2天完成计划，根据题意，可列方程为（）A．12012032x x=+-B．12012032x x=+-C．12012032x x=++D．12012032x x=++【答案】B【分析】表示出原计划和实际的工作效率，根据采用新技术，每天多铺设铁路3km，列出方程即可．【详解】解：原计划每天修建道路120xm，则实际用了（x﹣2）天，每天修建道路为1202x-m，根据采用新技术，每天多铺设铁路3km得，12012032x x=+-．故选：B．2．（2022·连云港市新海实验中学九年级二模）甲队3小时完成了工程进度的一半，为了加快进度，乙队也加入进来，两队合作1.2小时完成工程的另一半．设乙队单独完成此项工程需要x小时，据题意可列出方程为（）A．1.2 1.216x+=B．1.2 1.213x+=C．1.2 1.2162x+=D．1.2 1.2132x+=【答案】C【分析】根据题意可以得到甲乙两队的工作效率，从而可以得到相应的方程，本题得以解决．【详解】解：∵甲队3小时完成了工程进度的一半，∴甲队的工作效率为1 6设乙队单独完成此项工程需要x小时，∴甲队的工作效率为1 x由题意可得，1.2 1.21 62x+=，故选：C．3．（2022·哈尔滨市第十七中学校九年级开学考试）分式方程1xx+12x+-＝1的解是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3【答案】A【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可．【详解】解：112xx x++-＝1，去分母，方程两边同时乘以x（x﹣2）得：（x+1）（x﹣2）+x＝x（x﹣2），x2﹣x﹣2+x＝x2﹣2x，x＝1，经检验，x＝1是原分式方程的解．故选：A．4．（2022·福建省厦门第六中学）某次列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50km，则方程50s svx x++=所表达的等量关系是（）A．提速前列车行驶s km与提速后行驶(s＋50)km的时间相等B．提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v kmC．提速后列车行驶(s＋50)km的时间比提速前列车行驶s km多v hD．提速后列车用相同的时间可以比提速前多开50km【答案】B【分析】根据题意可以知道s+50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程，根据路程=速度×时间公式即可得到答案，【详解】解：∵用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50km∴s+50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程，∵某次列车平均提速v km/h，路程=速度×时间∴方程50s svx x++=表达的含义提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v km，故选B.5．（2022·四川巴中·中考真题）关于x 的分式方程2m x x +--3＝0有解，则实数m 应满足的条件是（ ） A ．m ＝﹣2B ．m ≠﹣2C ．m ＝2D ．m ≠2【答案】B【分析】 解分式方程得：63m x x +=-即46x m =-，由题意可知2x ≠，即可得到68m -≠.【详解】 解：302m x x+-=- 方程两边同时乘以2x -得：630m x x +-+=，∴46x m =-，∵分式方程有解，∴20x -≠，∴2x ≠，∴68m -≠，∴2m ≠-，故选B.6．（2022·全国九年级单元测试）一个不透明的布袋里装有3个红球、2个黑球、若千个白球．从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的是概率是310，袋中白球共有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 【答案】C【分析】设白球有x 个，根据摸出的球是红球的概率是310，利用概率公式列出方程，解之可得． 【详解】设白球有x 个， 由题意得：333210x =++， 解得x =5．经检验，x =5是方程的解，故答案为：C ．7．（2022·哈尔滨市第六十九中学校九年级一模）分式方程2152x x =+-的解是______． 【答案】9x =【分析】 方程两边都乘(5)(2)x x +-得出2(2)5x x -=+，求出方程的解，再进行检验即可．【详解】 解：2152x x =+-， 方程两边同乘(5)(2)x x +-，得2(2)5x x -=+，去括号，得245x x -=+移项得：9x =，经检验，9x =是原方程的解，故答案为：9x =．8．（2022·西安市铁一中学九年级开学考试）若关于x 的分式方程2x x -﹣2＝3m x -有增根，则m ＝___． 【答案】0【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据有增根求出x ，代入求值即可；【详解】2x x -﹣2＝3m x -， ()()()()32232x x x x m x ----=-，223210122x x x x mx m --+-=-，∴()271220x m x m -+--+=，∵方程有增根，∴()()230x x --=，∴2x =或3x =，当2x =时，41421220m m -+--+=，不存在；当3x =时，92131220m m -+--+=，解得0m =；故答案是0．9．（2022·山东济宁学院附属中学九年级期末）某商场准备在济宁义乌批发城采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B 型商品的进价多10元．（1）求一件A、B型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A、B型商品共160件进行试销，其中A型商品的件数不小于B型的件数，且总成本不能超过24840元，则共有几种进货方案？（3）已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润．【答案】（1）一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元；（2）有5种进货方案；（3）购进84件A型商品，76件B型商品时获得的销售利润最大，最大利润为12040元【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元，根据数量=总价÷单价结合用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进A型商品m件，则购进B型商品（160-m）件，根据“A型商品的件数不小于B型的件数，且总成本不能超过24840元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m 为整数即可得出各进货方案；（3）利用总利润=每件的利润×销售数量，可分别求出五个进货方案可获得的销售利润，比较后即可得出结论．【详解】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元，依题意得：160007500210x x=⨯+，解得：x=150，经检验，x=150是原方程的解，且符合题意，∴x+10=160．答：一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元．（2）设购进A型商品m件，则购进B型商品（160-m）件，依题意得：160160150(160)24840m mm m≥-⎧⎨+-≤⎩，解得：80≤m≤84，又∵m 为整数，∴m 可以为80，81，82，83，84，∴共有5种进货方案，方案1：购进80件A 型商品，80件B 型商品；方案2：购进81件A 型商品，79件B 型商品；方案3：购进82件A 型商品，78件B 型商品；方案4：购进83件A 型商品，77件B 型商品；方案5：购进84件A 型商品，76件B 型商品．（3）方案1可获得的销售利润为（240-160）×80+（220-150）×80=12000（元）；方案2可获得的销售利润为（240-160）×81+（220-150）×79=12010（元）；方案3可获得的销售利润为（240-160）×82+（220-150）×78=12020（元）；方案4可获得的销售利润为（240-160）×83+（220-150）×77=12030（元）；方案5可获得的销售利润为（240-160）×84+（220-150）×76=12040（元）．∵12000＜12010＜12020＜12030＜12040，∴购进84件A 型商品，76件B 型商品时获得的销售利润最大，最大利润为12040元． 10．（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）解方程：（1）225x x +=；（2）14733x x x-+=--．【答案】（1）11x =-21x =-（2）无解．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）去分母将分式方程化为整式方程，解方程，检验即可．【详解】解：（1）225x x +=，2(1)6x ∴+=，1∴+=x∴11x =-21x =-（2）去分母得，17(3)(4)x x +-=--，解得3x =，检验：当3x =时，30x -=， ∴3x =是方程的增根， 所以，原分式方程无解．。
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专题10分式方程【考查题型】【知识要点】解分式方程的一般步骤：1）去分母(方程两边同乘最简公分母，约去分母，把分式方程化成整式方程)。
2）解整式方程。
3）验根(把整式方程的解代入最简公分母，情况一：最简公分母为0，则该根不是分式方程的解，这个根叫原分式方程的增根；情况二：若最简公分母不为0，则该根是分式方程的解。
分式的化简求值：1）分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0； 2）灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式；3）化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义。
分式方程解决实际问题的步骤：1）根据题意找等量关系2）设未知数3）列出方程4）解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）5） 写答案考查题型一 解分式方程题型1．（2022·辽宁营口·中考真题）分式方程322x x =-的解是（ ） A ．2x =B ．6x =-C ．6x =D ．2x =-题型1-1．（2022·海南·中考真题）分式方程2101x -=-的解是（ ）A ．1x =B ．2x =-C ．3x =D ．3x =-题型1-2．（2022·山东济南·中考真题）代数式32x +与代数式21x -的值相等，则x ＝______． 题型1-3．（2022·四川内江·中考真题）对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝11a b-，若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x的值为 _____．题型1-4．（2022·湖南永州·中考真题）解分式方程2101x x -=+去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______．题型1-5．（2022·湖南常德·中考真题）方程()21522x x x x +=-的解为________．题型1-6．（2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是____． 先化简，再求值：314xx -+-，其中x =解：原式3(4)(4)4xx x x -=⋅-+--34x x =-+-1=-题型1-7．（2022·四川泸州·中考真题）若方程33122x x x-+=--的解使关于x 的不等式()230-->a x 成立，则实数a 的取值范围是________．题型1-8．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，11ba b a ⊗=+．若21(1)++⊗=x x x x，则x 的值为___________． 题型1-9．（2022·青海西宁·中考真题）解方程：22430x x x x-=+-．题型1-10．（2022·广西梧州·中考真题）解方程：24133x x -=--题型1-11．（2022·青海·中考真题）解分式方程：241244x x x x -=--+．易错点总结：考查题型二 根据分式方程解的情况求值 题型2．（2022·四川德阳·中考真题）关于x 的方程211x ax +=-的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1B ．a ＞－1且a ≠0C ．a ＜－1D ．a ＜－1且a ≠－2题型2-1．（2022·内蒙古通辽·中考真题）若关于x 的分式方程：121222k x x--=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．2k < B ．2k <且0k ≠ C ．1k >-D ．1k >-且0k ≠题型2-2．（2022·黑龙江·中考真题）已知关于x 的分式方程23111x m x x--=--的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．4m >B ．4m <C ．4m >且5m ≠D ．4m <且1m ≠题型2-3．（2022·重庆·中考真题）关于x 的分式方程31133x a x x x-++=--的解为正数，且关于y 的不等式组92(2)213y y y a +≤+⎧⎪-⎨>⎪⎩的解集为5y ≥，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．13B ．15C ．18D ．20题型2-4．（2022·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组411351x x x a-⎧-≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为2x ≤-，且关于y 的分式方程1211y ay y -=-++的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．－26 B ．－24 C ．－15 D ．－13题型2-5．（2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x 的方程111(1)x ax x x x ++=++的解为负数，则a 的取值范围是__________． 易错点总结：考查题型三 分式方程无解的情况题型3．（2022·四川遂宁·中考真题）若关于x 的方程221mx x =+无解，则m 的值为（ ）A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4题型3-1．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）若关于x 的分式方程2233x a x x++=--无解，则a 的值为（ ） A ．3B ．0C ．1-D ．0或3题型3-2．（2021·四川宜宾·中考真题）若关于x 的分式方程322x mx x -=--有增根，则m 的值是（ ） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2题型3-3．（2021·西藏·中考真题）若关于x 的分式方程21x x -﹣1＝1m x -无解，则m ＝___． 易错点总结：考查题型四 列分式方程题型4．（2022·辽宁阜新·中考真题）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x 万人，根据题意，所列方程正确的是（ ） A ．3030201.2x x -= B ．3030 1.220x x -=- C ．3030201.2x x-= D ．30301.220x x-=- 题型4-1．（2022·山东淄博·中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x 元，则下列方程中正确的是（ ） A ．2000020000(115%)10x x ⨯-=-B ．2000020000(115%)10x x ⨯-=- C ．2000020000(115%)10x x ⨯-=+D ．2000020000(115%)10x x⨯-=+ 题型4-2．（2022·辽宁朝阳·中考真题）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km ，一部分学生乘慢车先行，出发30min 后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶x km ，根据题意，所列方程正确的是（ ） A ．60x ﹣601.5x ＝3060 B ．601.5x ﹣60x ＝3060 C ．60x ﹣601.5x＝30 D ．601.5x ﹣60x＝30题型4-3．（2022·贵州黔西·中考真题）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为（）A．363024x x=⨯-B．363024x x=⨯+C．363024x x=⨯-D．363024x x=⨯+题型4-4．（2022·山东潍坊·中考真题）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方法：267100% 6.6%4036⨯≈）．2022年3月当月增速为14.0%-，设2021年3月原油进口量为x万吨，下列算法正确的是（）A．4271100%14.0%4271x-⨯=-B．4271100%14.0%4271x-⨯=-C．4271100%14.0%xx-⨯=-D．4271100%14.0%xx-⨯=-题型4-5．（2022·湖北恩施·中考真题）一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/h，则符合题意的方程是（）A．144963030v v=+-B．1449630v v=-C．144963030v v=-+D．1449630v v=+题型4-6．（2022·广西·中考真题）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（）A．1.482.413xx-=-B．1.482.413xx+=+C．1.4282.4213xx-=-D．1.4282.4213xx+=+题型4-7．（2022·湖北荆州·中考真题）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3:4，结果甲比乙提前20min．．．到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3x km/h ．．．．，则依题意可列方程为（ ） A ．6110334x x+= B ．6102034x x+= C ．6101343x x -= D ．6102034x x-= 题型4-8．（2022·四川广元·中考真题）某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N 95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N 95口罩花费9600元．已知一次性医用外科口罩的单价比N 95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x 元，则列方程正确的是（ ） A ．960010x -＝1600xB ．960010x +＝1600xC ．9600x ＝160010x - D ．9600x ＝1600x+10 题型4-9．（2022·山东临沂·中考真题）将5kg 浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水kg x ，根据题意可列方程为（ ） A ．0.9850.75x ⨯= B ．0.9850.755x ⨯=+ C ．0.7550.98x ⨯=D ．0.7550.985x⨯=- 题型4-10（2022·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x=-，则方程中x 表示（ ） A ．足球的单价 B ．篮球的单价 C ．足球的数量 D ．篮球的数量题型4-11（2022·湖北襄阳·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x 天，则可列方程为（ ） A ．900900213x x =⨯+- B ．900900213x x ⨯=+- C ．900900213x x =⨯-+ D ．900900213x x ⨯=-+ 题型4-12．（2022·山东青岛·中考真题）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x 米/分，那么x 满足的分式方程为__________． 易错点总结：考查题型五分式方程的实际应用题型5．（2022·重庆·中考真题）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________．题型5-1．（2022·西藏·中考真题）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．(1)笔记本和钢笔的单价各多少元？(2)若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？题型5-2．（2022·宁夏·中考真题）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．(1)篮球和排球的单价各是多少元？(2)现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？题型5-3．（2022·山东东营·中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？题型5-4．（2022·贵州安顺·中考真题）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．(1)A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？题型5-5．（2022·贵州铜仁·中考真题）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？题型5-6．（2022·湖南益阳·中考真题）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．(1)甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？(2)某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小题型5-7．（2022·吉林长春·中考真题）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？题型5-8．（2022·山东聊城·中考真题）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．(1)求实际施工时，每天改造管网的长度；(2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？题型5-9．（2022·重庆·中考真题）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．题型5-10．（2022·山西·中考真题）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．题型5-11．（2022·四川自贡·中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．考查题型一 解分式方程题型1．（2022·辽宁营口·中考真题）分式方程322x x =-的解是（ ） A ．2x = B ．6x =- C ．6x = D ．2x =-题型1-1．（2022·海南·中考真题）分式方程2101x -=-的解是（ ） A ．1x = B ．2x =- C ．3x = D ．3x =-题型1-2．（2022·山东济南·中考真题）代数式32x +与代数式21x -的值相等，则x ＝______． 【答案】7题型1-3．（2022·四川内江·中考真题）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝11a b-，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为_____．题型1-4．（2022·湖南永州·中考真题）解分式方程211x x-=+去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______．题型1-5．（2022·湖南常德·中考真题）方程()22x x x x +=-的解为________． 【答案】4x =【提示】根据方程两边同时乘以()22x x -，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．【详解】解：方程两边同时乘以()22x x -，()()222252x x ⨯-+=⨯-482510x x -+=-解得4x =经检验，4x =是原方程的解故答案为：4x =【名师点拨】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验．题型1-6．（2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是____． 先化简，再求值：314x x -+-，其中x =解：原式3(4)(4)4x x x x -=⋅-+--34x x =-+-1=-去分母得：3-x +2(x -4)=0，去括号得：3-x +2x -8=0，解得：x =5，经检验，x =5是方程的解，故答案为：5．【名师点拨】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．题型1-7．（2022·四川泸州·中考真题）若方程33122x x x-+=--的解使关于x 的不等式()230-->a x 成立，则实数a 的取值范围是________．题型1-8．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，11ba b a ⊗=+．若21(1)++⊗=x x x x ，则x 的值为___________． 【答案】12-##0.5-题型1-9．（2022·青海西宁·中考真题）解方程：22430x x x x -=+-． 【答案】7x =【提示】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：方程两边同乘()()11x x x +-，得()()41310x x --+=，解得7x =，检验：当7x =时，()()110x x x +-≠，所以，原分式方程的解为7x =．【名师点拨】本题主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解题的关键，注意解分式方程一定要验根． 题型1-10．（2022·广西梧州·中考真题）解方程：24133x x -=-- 【答案】5x =【提示】先方程两边同时乘以(3)x -，化成整式方程求解，然后再检验分母是否为0即可．【详解】解：方程两边同时乘以(3)x -得到：324x -+=，解出：5x =，当5x =时分式方程的分母不为0，∴分式方程的解为：5x =．【名师点拨】本题考查了分式方程的解法，属于基础题，计算过程中细心即可．题型1-11．（2022·青海·中考真题）解分式方程：241244x x x x -=--+．考查题型二 根据分式方程解的情况求值题型2．（2022·四川德阳·中考真题）关于x 的方程211x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1B ．a ＞－1且a ≠0C ．a ＜－1D ．a ＜－1且a ≠－2 【答案】D【提示】将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案．【详解】方程左右两端同乘以最小公分母x -1，得2x +a =x -1．解得：x =-a -1且x 为正数．所以-a -1＞0，解得a ＜-1，且a ≠-2.（因为当a =-2时，方程无意义）．故答案为：D【名师点拨】本题难度中等，易错点：容易漏掉了a ≠-2这个信息．题型2-1．（2022·内蒙古通辽·中考真题）若关于x 的分式方程：121222k x x--=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ）A ．2k <B ．2k <且0k ≠C ．1k >-D ．1k >-且0k ≠题型2-2．（2022·黑龙江·中考真题）已知关于x 的分式方程23111x m x x --=--的解是正数，则m 的取值范围是（ ）A ．4m >B ．4m <C ．4m >且5m ≠D ．4m <且1m ≠关于题型2-3．（2022·重庆·中考真题）关于x 的分式方程31133x a x x x-++=--的解为正数，且关于y 的不等式组92(2)213y y y a +≤+⎧⎪-⎨>⎪⎩的解集为5y ≥，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．13B ．15C ．18D ．20题型2-4．（2022·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组411351x x x a-⎧-≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为2x ≤-，且关于y 的分式方程1211y a y y -=-++的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．－26B ．－24C ．－15D ．－13【答案】D 【提示】根据不等式组的解集，确定a ＞-11，根据分式方程的负整数解，确定a ＜1，根据分式方程的增根，确定a ≠-2，计算即可．题型2-5．（2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x 的方程1(1)x x x x +=++的解为负数，则a 的取值范围是__________．关于考查题型三 分式方程无解的情况题型3．（2022·四川遂宁·中考真题）若关于x的方程221mx x=+无解，则m的值为（）A．0B．4或6C．6D．0或4原方程无解，题型3-1．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）若关于x的分式方程2233x ax x++=--无解，则a的值为（）A．3B．0C．1-D．0或3故选：C ．【名师点拨】本题考查了分式方程无解，解题关键是明确分式方程无解的条件，解方程，再根据分母为0列方程．题型3-2．（2021·四川宜宾·中考真题）若关于x 的分式方程322x m x x -=--有增根，则m 的值是（ ） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2题型3-3．（2021·西藏·中考真题）若关于x 的分式方程21x x -﹣1＝1m x -无解，则m ＝___．考查题型四列分式方程题型4．（2022·辽宁阜新·中考真题）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是（）A．3030201.2x x-=B．30301.220x x-=-C．3030201.2x x-=D．30301.220x x-=-【详解】解：实际每天接种人数是原计划的又结果提前题型4-1．（2022·山东淄博·中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x 元，则下列方程中正确的是（）A．2000020000(115%)10x x⨯-=-B．2000020000(115%)10x x⨯-=-C．2000020000(115%)10x x⨯-=+D．2000020000(115%)10x x⨯-=+的关键．题型4-2．（2022·辽宁朝阳·中考真题）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶x km，根据题意，所列方程正确的是（）A．60x﹣601.5x＝3060B．601.5x﹣60x＝3060C．60x﹣601.5x＝30D．601.5x﹣60x＝30题型4-3．（2022·贵州黔西·中考真题）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为（）A．363024x x=⨯-B．363024x x=⨯+C．363024x x=⨯-D．363024x x=⨯+题型4-4．（2022·山东潍坊·中考真题）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方法：267100% 6.6%4036⨯≈）．2022年3月当月增速为14.0%-，设2021年3月原油进口量为x万吨，下列算法正确的是（）A．4271100%14.0%4271x-⨯=-B．4271100%14.0%4271x-⨯=-C．4271100%14.0%xx-⨯=-D．4271100%14.0%xx-⨯=-题型4-5．（2022·湖北恩施·中考真题）一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/h，则符合题意的方程是（）A．144963030v v=+-B．1449630v v=-C．144963030v v=-+D．1449630v v=+题型4-6．（2022·广西·中考真题）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（）A．1.482.413xx-=-B．1.482.413xx+=+C．1.4282.4213xx-=-D．1.4282.4213xx+=+题型4-7．（2022·湖北荆州·中考真题）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3:4，结果甲比乙提前20min．．．到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3x km/h．．．．，则依题意可列方程为（）A．6110334x x+=B．6102034x x+=C．6101343x x-=D．6102034x x-=题型4-8．（2022·四川广元·中考真题）某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的是（）A ．960010x -＝1600x B ．960010x +＝1600x C ．9600x ＝160010x - D ．9600x ＝1600x+10题型4-9．（2022·山东临沂·中考真题）将5kg 浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水kg x ，根据题意可列方程为（ ）A ．0.9850.75x ⨯=B ．0.9850.755x ⨯=+C ．0.7550.98x ⨯=D ．0.7550.985x⨯=-题型4-10（2022·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x=-，则方程中x 表示（ ） A ．足球的单价B ．篮球的单价C ．足球的数量D ．篮球的数量题型4-11（2022·湖北襄阳·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（）A．900900213x x=⨯+-B．900900213x x⨯=+-C．900900213x x=⨯-+D．900900213x x⨯=-+题型4-12．（2022·山东青岛·中考真题）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为__________．【名师点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．考查题型五分式方程的实际应用题型5．（2022·重庆·中考真题）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________．题型5-1．（2022·西藏·中考真题）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．(1)笔记本和钢笔的单价各多少元？(2)若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？【答案】(1)笔记本每本12元，钢笔每支10元题型5-2．（2022·宁夏·中考真题）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．(1)篮球和排球的单价各是多少元？(2)现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？【答案】(1)篮球的单价为110元，排球的单价为80元(2)最多购买6个篮球【提示】（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，由题意：330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．列出分式方程，解方程即可；（2）设购买排球y个，则购买篮球（20-y）个，由题意：购买篮球和排球的总费用不超过1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．。