排列组合的应用
试论数学中排列组合在生活中的应用
试论数学中排列组合在生活中的应用【摘要】排列组合是数学中重要的概念，在生活中有着广泛的应用。
在旅行路线规划中，排列组合可以帮助人们选择最优的路线和交通工具，节省时间和成本。
购买商品时，排列组合可以帮助消费者选择最符合自己需求和预算的组合。
在密码学中，排列组合被用来生成安全的加密算法，保护个人信息不被窃取。
工程设计中，排列组合可以帮助工程师优化设计方案，提高效率和质量。
体育比赛的安排中，排列组合可以帮助赛事组织者合理分配比赛场次和参与者，确保比赛的公平和顺利进行。
排列组合在生活中的应用非常广泛，不仅提高了效率和便利性，也保障了安全和公平。
未来，随着科技的不断发展，我们可以期待排列组合在更多领域的创新和应用。
【关键词】排列组合、数学概念、旅行路线、购买商品、密码学、工程设计、体育比赛、应用、生活、广泛、发展1. 引言1.1 介绍排列组合在数学中的概念排列组合是数学中一个重要的概念，它在数学中起着重要的作用。
排列是指从一组元素中取出一部分，并按照一定顺序排列的方式，而组合则是指从一组元素中取出一部分，但不考虑其排列顺序。
排列和组合在数学中有着广泛的应用，涉及到许多不同的领域。
在排列和组合的概念中，排列和组合的性质和规律能够帮助我们更好地理解和解决问题。
通过排列和组合的运算，我们可以计算出在不同情况下可能的排列和组合数量，从而推断出最优解决方法。
排列和组合的概念也为数学家提供了一种解决复杂问题的思路，为数学研究提供了新的方向和思考。
排列和组合在数学中扮演着重要的角色，它们不仅仅是一种概念，更是一种解决问题的方法和工具。
排列和组合的运用不仅能够帮助我们更好地理解和掌握数学知识，还能够帮助我们解决实际生活中的问题，提高我们的思维能力和解决问题的能力。
排列和组合的应用范围非常广泛，涉及到我们生活中的方方面面，对于我们的生活和工作都有着积极的影响。
1.2 探讨排列组合的重要性排列组合在数学中是一种重要的概念，它涉及到对一组元素进行不同顺序的排列和组合。
试论数学中排列组合在生活中的应用
试论数学中排列组合在生活中的应用数学中的排列组合是一个重要的概念，它不仅在学术领域中发挥着作用，而且在日常生活中也有着广泛的应用。
本文将就数学中排列组合的应用展开讨论。
排列组合的定义排列和组合是两个不同的概念。
排列是指从一组对象中选出若干个进行排序，而组合则是从一组对象中选出若干个，不考虑顺序。
例如，从A、B、C、D四个人中选举两人，选出AB和BA是两种不同的排列，但是它们是相同的组合。
1. 抽奖活动在各种抽奖活动中，排列组合都有广泛的应用。
例如，某个活动中需要选取10个人获得奖品，而报名参加活动的有20个人，那么有多少种获奖方案呢？答案是20的10次方，即20 × 19 × 18 × … × 11种。
这一问题即涉及到组合问题。
2. 赛事安排在一些比赛或赛事中，需要安排不同的对战组合。
例如，在一次团队棋类比赛中，有4支队伍，每支队伍派出1名队员进行比赛，那么有多少种比赛组合呢？答案是4的二次方，即4 × 3 = 12种。
这个问题即涉及到排列问题。
3. 座位的安排在小型活动中及一些商业场所，如餐馆、咖啡厅等，座位的安排也需要运用排列组合。
例如在一个圆桌上，要安排10人就餐，他们需要坐在不同的位置上，每个位置只能坐一个人，那么有多少种座位方案呢？答案是9的阶乘，即9 × 8 × 7 × … × 2 × 1种。
这一问题即涉及到排列问题。
4. 生产安排在生产过程中，如何利用最少的时间和人力资源完成任务也需要排列组合的运用。
例如，一台机器可以在两个小时内完成一份任务，公司需要完成10份任务，那么至少需要多少台机器呢？答案是5台机器。
这一问题即涉及到组合问题。
总之，在生活中运用排列组合问题无处不在，因为它们可以用来解决各种问题。
无论是在科学研究领域还是在日常生活中，排列和组合都是重要的数学工具，具有广泛的应用。
试论数学中排列组合在生活中的应用
试论数学中排列组合在生活中的应用
数学中排列组合是一种重要的概念和方法，不仅在数学领域广泛应用，同时也在生活
中有着广泛的应用。
本文就从几个方面来介绍一下在生活中排列组合的应用。
一、购买物品
购买物品时，我们经常会遇到排列和组合的情况。
例如在超市购买水果时，需要从不
同种类的水果中选择一定数量的水果。
在这个过程中，我们需要考虑各种水果的种类和数量，从而进行排列和组合的计算，得到最合理的购买方案。
二、人员分配
在各种团体中，需要进行人员分组和分配任务等。
这时就需要利用排列与组合的方法，根据不同情况来制定最佳的人员分配方案。
例如，一个公司需要从员工中选出若干人组成
团队进行新项目的开发，需要考虑员工的专业能力和团队的组织协调能力等因素，然后进
行排列和组合计算，得到最佳的人员分配方案。
三、排列组合游戏
四、社交娱乐活动
在社交娱乐活动中，排列组合也经常应用。
例如在聚餐时，需要考虑人员之间的相互
关系和座位的安排等因素，从而进行排列和组合计算，得到最佳的区位安排。
在生日派对中，需要将会员按照不同的年龄和性别进行排列和组合，制定游戏和纪念品赠送方案等。
总之，排列组合是一种非常简单但是却十分实用的数学方法，而且可以广泛应用于各
个领域。
通过排列组合的方法，我们可以将生活中非常复杂的问题转化为简单的计算，从
而得到最简单的答案。
同时，通过掌握排列组合的方法，可以帮助我们更好的理解生活中
的复杂问题。
排列与组合的实际应用
排列与组合的实际应用排列与组合是数学中的重要概念，它们在实际应用中具有广泛的用途。
无论是在科学研究、工程设计还是日常生活中，排列与组合都发挥着重要的作用。
本文将从几个具体案例探讨排列与组合的实际应用。
Case 1: 电子产品配件的组合在电子产品制造过程中，常常需要组合不同的配件。
假设某公司生产一款手机，有多种不同颜色的外壳、多种不同容量的电池和多种不同配置的摄像头可供选择。
若该公司想生产一万部不完全相同的手机，而又不希望出现完全相同的手机，那么如何组合这些配件就成了一个排列问题。
通过排列的方式，可以保证每部手机的配件组合都是独一无二的。
Case 2: 图书馆图书的排列在图书馆中，图书管理密切相关于排列与组合。
假设一图书馆有50个书架，每个书架上有10层，每层能摆放30本书。
馆内的图书种类繁多，数量庞大。
为了方便读者查找和借阅图书，图书管理员需要将图书按照一定顺序进行排列。
这就涉及到了排列问题，管理员需要考虑不同的排序方式，如按照图书的分类、作者的姓氏或出版日期等，合理安排图书的排列，以提高图书查找的效率。
Case 3: 密码的排列组合在电子信息时代，个人隐私和信息安全得到广泛关注。
为了保障个人账户和数据的安全，人们通常需要设置密码。
密码的选择涉及到排列与组合的思想。
以四位数字密码为例，每一位都有10个选择（从0-9），因此总共有10^4=10000种组合方式。
为了增加密码的安全性，人们一般会选择不容易被猜测到的组合，比如避免使用生日、电话号码等容易被他人猜测到的数字组合。
Case 4: 运动比赛的秩序安排在大型体育比赛中，如奥运会或世界杯足球赛等，组织者需要安排参赛队伍的比赛秩序。
这个秩序既要保证公平性，又要提高比赛的观赏性。
排列与组合的思想在比赛秩序安排中发挥着重要作用。
比如，在小组赛的情况下，比赛的组合方式可以通过排列来确定，其中几种组合方式可能会避免强队在同一组的情况。
Case 5: 商品组合的营销策略在商品销售中，排列与组合的思想也得到了广泛应用。
排列组合应用举例
排列组合应用举例排列组合是数学中的一个重要概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
通过排列组合的计算，我们可以解决很多实际问题，例如概率计算、密码学、组合优化等等。
本文将通过几个具体的例子来说明排列组合在实际生活中的应用。
1. 考试座位安排在学校考试中，为了避免作弊和公平公正地安排考试座位，通常需要进行合理的座位安排。
考虑一个班级有30名学生，需要在一间教室里安排座位。
假设教室有6行5列的座位，那么我们可以通过排列组合来计算共有多少种座位安排方案。
首先，我们需要从30名学生中选择6名学生来坐在第一行，这可以通过组合的方式计算，即C(30, 6)。
然后，从剩下的24名学生中选择5名学生坐在第二行，这可以通过C(24, 5)计算。
以此类推，我们可以计算出将所有30名学生安排到6行5列座位的方案数为：C(30, 6) * C(24, 5) * C(19, 5) * C(14, 5) * C(9, 5) * C(4, 5)这个数值就是可行的座位安排方案数，通过排列组合的计算，我们可以得知一间教室里可以有多少种不同的座位安排方式。
2. 电话号码的组合在电话号码的组合问题中，我们通常需要计算给定一组数字，有多少种不同的电话号码组合方式。
例如，假设电话号码由7个数字组成，每个数字取值范围是0-9。
为了方便理解，我们假设第一个数字不能为0。
那么，第一个数字有9种选择（1-9），第二个数字到第七个数字各有10种选择（0-9）。
因此，将所有数字组合起来的电话号码的组合方式数量为：9 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10通过排列组合的计算，我们可以得到电话号码的组合方式数量，这对于电话号码的生成、处理以及电话号码的统计有着重要的意义。
3. 字符串的排列在计算机科学和密码学中，字符串的排列问题是一个常见的应用。
给定一个字符串，我们需要计算其所有可能的排列方式。
例如，对于字符串"ABC"，其可能的排列方式有"ABC"、"ACB"、"BAC"、"BCA"、"CAB"和"CBA"。
数学教案二：在生活中应用排列组合
排列组合是数学中比较重要的一个概念，广泛应用于生活中的很多场景。
它可以帮助我们解决很多实际问题，例如从一组物品中选取特定数量的组合，计算各种排列的数量等等。
本文将从生活中的几个角度探讨排列组合在实际应用中的意义。
一、人员分组在学校组织活动、企业内部培训、职场团建等活动中，往往需要将参与者按照一定规则分成若干组。
此时，排列组合的概念就能派上用场了。
例如，在一个班级里，要将32名学生分成8个小组，每个小组必须有4名同学。
这时，我们可以将分组过程看成从32个人中选取4人组成一组，不重不漏地选择8次，此时的排列组合公式为：C（32，4）C（28，4）C（24，4）C（20，4）C（16，4）C（12，4）C（8，4）C（4，4）其中，C（n，m）表示从n个对象中选取m个对象的组合数。
二、奖品抽取在各种活动中，奖品抽取是很常见的一种方式。
例如，在年会上，每个人都可以获得一份礼物，但礼物种类和数量有限，如何做到公平、公正地抽取各自心仪的礼物，就需要排列组合的帮助。
假设某公司年会抽奖，共有200个人参加，公司提供了10份礼物，每份礼物都不相同。
此时，我们需要从这200人中抽取任意10人作为中奖者，其中每个人不能获得多个奖项。
抽取的方法有很多，最简单的是每次从200个人里抽1个中奖者，放回去再抽下一个，如此反复10次。
但是这样并不能保证每个人有且仅有一个中奖机会。
如果我们进行不重不漏的抽奖方法，排列组合的公式为：C（200，10）= 20,297,271,100可以看到，这个数字是非常大的，而这也意味着每个人获得奖励的机会是均等的。
三、批处理作业调度在计算机程序设计中，批处理系统是很常见的一种方式。
批处理系统可以在计算机闲置时间批量处理多个作业，提高计算机的利用率和效率。
但是如何合理地调度批处理作业，使得系统运转更加高效呢？此时，排列组合的概念也适用于这个问题。
假设某个批处理系统需要处理16个作业，每个作业需要的时间不同，且同时只能处理8个作业，如何合理地安排作业的处理顺序呢？这时，我们可以考虑采用排列组合的算法，列出不同的处理情况，并比较每个情况的处理时间，最终选择最优的方案。
费马帕斯卡排列组合原理在生活中应用
费马帕斯卡排列组合原理在生活中应用费马、帕斯卡排列组合原理是数学中常用的排列组合方法，它们在生活中有很多应用。
1. 费马原理：费马原理也被称为鸽巢原理或抽屉原理。
它指出，如果有n+1个物体放入n个容器中，那么至少有一个容器会放置两个或更多的物体。
这个原理在生活中的一个应用是抽屉中的袜子。
假设你有10只袜子，但只有9个抽屉可供放置袜子，根据费马原理，至少有一个抽屉中会有两只袜子。
2. 帕斯卡原理：帕斯卡原理是组合数学中的一个重要原理，它描述了二项式系数的性质。
根据帕斯卡原理，对于任意非负整数n和k，二项式系数C(n, k)等于C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
帕斯卡原理在生活中的一个应用是计算排列组合的方式。
例如，在一场比赛中，有10名选手参加，需要选出3名获奖者。
根据帕斯卡原理，可以使用组合数C(10, 3)来计算不同获奖者的组合方式。
除了以上两个原理，排列组合在生活中还有很多其他应用，例如：
3. 人员安排：在组织活动或制定班级课程表时，需要考虑不同人员的排列组合方式，以确保每个人都有机会参与或轮流担任某个职务。
4. 随机选择：排列组合方法可以用于随机选择物品。
例如，在抽奖活动中，通过排列组合可以计算出每个人中奖的概率。
5. 地址编码：在邮政编码系统中，不同的数字或字母组合可以用于表示不同的区域或地址。
总之，费马、帕斯卡排列组合原理在生活中有广泛的应用，帮助我们解决各种排列组合问题，优化资源利用和决策。
排列组合的应用
排列组合应用（一）排列解排列问题，首先必须认真审题，明确问题是否是排列问题，那是否有序，抓住问题本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时要讲究一些基本策略与方法技巧。
1、特殊元素的“优先按排法”。
例1、用0、1、2、3、4这五个数字，组成没有重复的三位数，其中偶数共有多少？（分析）由于三位数是偶数，故末尾数字必须是偶数，以“0”不能排在首位，所以“0”就是其中特殊元素，优先按排。
按“0”在末尾和不在末尾分为两类。
共A24+A12A13A13=30种。
2、相邻问题有“捆绑法”。
对于某几个元素要求相邻的排列问题，可将先相邻的元素“捆绑”起来，作为一个“大”的元素，与其他元素排列，然后再对相邻元素的内部进行排列。
例2、7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相邻有多少种不同的排法？（分析）先把甲乙丙三人“捆绑“看作一个元素，与其余4个元素进行排列再对甲、乙、丙三人进行排列。
共A55A33种。
3、不相邻问题有“插空法”。
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙间插入即可。
例3、7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人不相邻有多少种不同的排法？（分析）先让其余4人站好，有A44种排法，这时有5个“空隙”可供甲、乙、丙选取，即A35种。
共A44A35种排法。
4、间接法或淘汰法。
理解题中的要求，把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减。
例4、5名男生，5名女生排成一行，其中5名男生不排在一起，有几种排法？（分析）先计算出10人的全排列数，再减去5名男生排在一起的排列数即可。
共A1010—A55A66排法。
5、合理分类与准确分步。
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情发生的连续性分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
例5、五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，共有多少种不同站法（分析）若甲在第二位置上其余4人可自由按排，有A44种；若甲在第3、4、5位置上，则乙可站在其他3个位置上，有A13A13A33种；共A44+ A13A13A33种排法。
排列组合在生活中的应用
排列组合在生活中的应用排列组合是数学中一个重要的概念，它在生活中有着广泛的应用。
从日常生活中简单的事物到复杂的商业决策，排列组合都扮演着重要的角色。
在本文中，我们将探讨排列组合在生活中的各种应用，并且分析它们对我们生活的影响。
让我们从日常生活中的排列组合开始。
在日常生活中，我们可能没有意识到，但排列组合在我们的日常活动中发挥着关键作用。
当我们在超市购买食品时，我们经常需要选择不同的食材来制作菜肴。
这就涉及到了排列组合的概念，因为我们需要考虑不同食材之间的搭配，以确保我们能够制作出美味的菜肴。
当我们在家里整理书籍或者衣物时，也需要考虑不同的排列组合方式，以使空间得到最佳的利用。
这些都是排列组合在我们日常生活中的简单应用。
在商业中，排列组合更是应用广泛。
在餐厅经营中，菜单的设计就需要考虑不同菜品之间的排列组合，以吸引顾客并提高顾客满意度。
在生产和物流领域，排列组合也发挥着重要的作用。
在生产中，生产线的布局和产品的组合都需要考虑到排列组合的方式，以提高生产效率和降低成本。
在物流方面，货物的存储和运输也需要考虑不同的排列组合方式，以确保货物能够以最快的速度到达目的地。
在金融领域，排列组合的概念也被广泛应用。
比如在投资组合中，投资者需要考虑不同资产之间的排列组合方式，以达到风险分散和收益最大化的目的。
在风险管理中，排列组合也可以用来分析不同的风险因素之间的关系，以制定有效的风险管理策略。
排列组合在生活中有着广泛的应用，从日常生活到商业决策，都离不开排列组合的概念。
它不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以为我们的生活和工作带来便利和效益。
了解排列组合的概念以及如何应用它们对我们来说是非常重要的。
排列组合基本原理的应用
排列组合基本原理的应用一、排列组合的概念简介排列组合是数学中的一个重要概念，它是研究对象的各种排列和组合方式的方法。
排列和组合是离散数学中的一个分支，常用于解决问题的计数和概率计算。
在实际应用中，排列组合常被用于解决组合优化、概率统计、编码等问题。
二、排列的应用排列是指从给定的若干个不同元素中取出一部分进行排序的方式。
排列的应用非常广泛，在工程领域、计算机科学领域都有具体的应用。
以下是排列应用的一些例子：- 组合优化问题：如机器的安排、人员的调度等，都可以通过排列方法求解最优解。
- 计算机编程：在编程中，排列的概念常用于算法设计和解决具体问题。
- 网络路由问题：网络中的路由选择可以利用排列方式进行优化。
- 交通流量优化：对于交通问题，如车辆调度和信号优化，也需要使用排列方法来进行解决。
三、组合的应用组合是指从给定的若干个不同元素中取出若干个元素进行组合的方式。
组合的应用也非常广泛，特别是在概率统计和组合优化中常常使用。
以下是组合应用的一些例子： - 概率统计问题：对于从集合中随机抽取若干个元素的概率计算，组合的方法可以用来求解。
- 高效存储编码：在信息论和通信中，组合方法可以用于设计高效的存储编码方案。
- 数据压缩：通过组合的方式，可以实现对数据进行压缩和解压缩的处理。
- 电路设计：在电路设计中经常用到布尔代数和组合逻辑等方法，用于解决电路的布线和优化问题。
四、排列组合的实际应用案例案例一：图书馆借书排列假设一家图书馆有10本书，有5个读者同时前来借书。
使用排列的方法，可以计算出所有可能的借书排列，从而解决如何最优安排借书顺序的问题。
以读者A、B、C、D、E为例，可以得到以下借书排列： - A, B, C, D, E - A, B, C, E, D - A, B, D, C, E - … 共计120种不同的借书排列方式。
案例二：抽奖组合问题假设一个抽奖活动中，有10个人参与抽奖，每次从中抽取3个人作为获奖者。
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排列组合应用（一）排列解排列问题，首先必须认真审题，明确问题是否是排列问题，那是否有序，抓住问题本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时要讲究一些基本策略与方法技巧。
1、特殊元素的“优先按排法” 。
例1、用0、1、2、3、4 这五个数字，组成没有重复的三位数，其中偶数共有多少？（分析）由于三位数是偶数，故末尾数字必须是偶数，以“ 0”不能排在首位，所以“ 0”就是其中特殊元素，优先按排。
按“ 0”在末尾和不在末尾分为两类。
共A24+A 12 A 13 A 13 =30种。
2、相邻问题有“捆绑法”。
对于某几个元素要求相邻的排列问题，可将先相邻的元素“捆绑”起来，作为一个“大”的元素，与其他元素排列，然后再对相邻元素的内部进行排列。
例2、7 人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相邻有多少种不同的排法？（分析）先把甲乙丙三人“捆绑“看作一个元素，与其余 4 个元素进行排列再对甲、乙、丙三人进行排列。
共A55A 33种。
3、不相邻问题有“插空法” 。
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙间插入即可。
例3、7 人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人不相邻有多少种不同的排法？分析）先让其余4 人站好，有A 44种排法，这时有5 个“空隙”可供甲、乙、丙选取，即 A 53种。
共 A 44 A 35种排法。
4、间接法或淘汰法。
理解题中的要求，把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减。
例4、5 名男生，5 名女生排成一行，其中5 名男生不排在一起，有几种排法？（分析）先计算出10人的全排列数，再减去 5 名男生排在一起的排列数即可。
共 A 1100 —A 55A 66排法。
5、合理分类与准确分步。
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情发生的连续性分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
例5、五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，共有多少种不同站法（分析）若甲在第二位置上其余4人可自由按排，有A 4种；若甲在第3、4、5位置上，则乙可站在其他3 个位置上，有A13A13A33 种；共A4 + A3A；A3种排法。
或用间接法：①甲在第一位置，乙在第二位置有A 3种；②甲在第一位置，乙不在第二位置有A3A3种；③甲不在第一位置，乙在第二位置有A3A3种；即共有A 3+ A3A3+ A3A3种不符合要求，则符合要求的有A5—（A3 + A；A3+ A；A3）种。
6、顺序固定问题有“除法” 。
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。
例7、五人排列，甲在乙前面的排法有多少种？（分析）先将5人全排列有A5种排法，而甲、乙之间排法有A2种排法，而甲在乙前的排法只有一种符合，故符合条件的排法有笃种。
A2例8由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数？（分析）6的倍数的数既是2的倍数不是3的倍数，其中3的倍数又满足“各个数位上的数字和是3的倍数”的特征。
把6个数字分成4 组：（1, 5）（2, 4）（3）（6），每组数字之和为3的倍数，因而可分成两类，一类由1、5、2、4、6作为数码，另一类由1、5、2、4、3 作为数码，且末尾数字为偶数即可。
第一类有A；A 4种，第二类有共有A；A：种，共有A3A4+ A2A4种。
巩固练习1、有3名男生、4名女生、排成一排（1）选其中5人排成一行（2）甲只能在中间或两头（3）甲、乙二人必须在两头（4）甲不在排头，乙不在排尾（5）男生、女生各站一边（6）男生必须排在一起（7）男生、女生各不相邻（8）男生不能相邻（9）甲、乙、丙三人中甲必须在前，丙必须在后，但三人不一定相邻（10）甲、乙中间必须有3人，各有多少种不同的排法(答案)(1) A5(2) A；A6 (3) A2A5 (4) 3720 (5) A3A4A2 (6)A3A5 (7) A3A4(8) A4A5 (9)峑(10) Z2、由数字0、1、2、2、4、5组成（各位上数字不允许重复）（1）多少六位数？（2）多少个六位偶数（3）多少个被5整除的五位数？（4）多少个被3整除的五位数（5）比240135大的六位数有多少个？允许重复呢？例1求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻.例3 某小组6个人排队照相留念.（1）若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？（2）若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？（3）若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？⑷ 若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？（5）若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？（6）若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？（答案）（1）A；A：（2）312（3）216（4）216（5）407（二）组合组合与排列有许多联系，在解决组合问题中常借用解决排列问题的方法。
以下是解决组合问题的几种方法1、直接法或间接法例1、在100件产品中有98件合格品，2件次品。
从这100件产品中任意取出3件（1）一共有多少种不同的取法（2）恰好取出1（答案）（1）C 9 （2）C ；C ；8（3） C 2C ；1 9（5）C 0C 5+ C 3C 4 +23 （或 c ： - 2件次品，有多少种取法（3）至少有1件次品，有多少种取法?练习：要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求有多少种 不同选法？ （ 1）A 、B 、C 三人必须入选（2）A 、B 、C 三人不能入 选（3）A 、B 、C 三人只有一人入选（4）A 、B 、C 三人至少一人入 选（5）A 、B 、C 三人至多二人入选（答案）（1）C 2 （2）C 9 （3）C 3 C 9 （4）C 3 C 4 +C 3 C 3 +C 3 C 2 2、分组分配 例2、六本不同的书按下列条件各有多少种不同的分法？（1） 分给甲、乙、丙三人，每人两本子（2）分成三份，每份两本（3）分成三份，一份一本，一份二本，一份三本（4）分给甲、乙、 丙三人，一人一本，一人二本，一人三本（分析）（1）先分给甲有C 6种，再分给乙有C 4种，最后为丙有C 2种, 共 C 2 C 4 C 2=90种（2） 问题（1）也可以分成两步完成：第一步先把六本书均分成三份， 设有x 种分法，第二步把已分好的书分给甲、乙、丙三人有 A 3种，即 有xA 3= C 6 C 2 C 2 C 2C 2C 2X = CT = 15 种说明：（1） （2）两题的区别在于（2）只分组不分配，（1）既分组又 分配。
那么为什么在（2）中也就是只分组的问题中要除去 A m 呢？比如A 、B 、C 、D 四个元素要均分为两组，先取 AB 再取CD 为一 种即｛ CB 或先取CD 再取AB 为另一种即｛CD ，由于只分组即ABb) c ：c C nlr •••C 2r C rrm ! • m! （答C ^G 1与CD 间是无序的因而只能算一种分法。
因而“分组分配”有如下一 般结论:C n C na ）将2n 个元素均分为两组方法数：筈1种C n C n C n 将3n 个元素均分为三组方法数：C 3n C 2n C n种3! n nnc ） 将kn 个元素均分为k 组方法数：C kn C2）n. n 种。
k!d ） 将n 个元素均分为 m 组每组r 个（m 汀二n ）方法数:m!e ） 若再将m 组分配给m 个对象，则分配方法有 3、隔板法例3、某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市 课外知识竞赛，使代表中每个班至少有 1人参加的选法有多少种？ （分析）由于 12 个名额是不可区分的，所以将问题转化为：把排成 一行的 12 个“ 0”分成 7 份的不同方法数。
12 个“ 0”形成 11个空 隙，用6个隔板可将其分成7组，有C 6i 种不同的插法，即C ：i =462种。
练习： 10个相同的球放入 6 个盒中，每个盒中至少一个的放法有多 少种。
（答案） C 95=1264、插空法例4、某城市新修建的一条道路上有12 盏路灯，为了节约用电又不影响照明，可以熄灭其中的 3 盏，但两端的灯不能熄，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灭的方法共有多少种？（分析）把要熄灭的三盏灯去掉，有九盏灯亮着，则有8 个空隙，在这8个空隙中安排3盏灯故有C3种。
练习：一排无区别的座位10个，3 个人来坐，都不能坐两头，且两人之间至少有一个座位，问有多少种不同的坐位？（答案）C365、递推法例5、一楼梯共10 级，如果规定每次只能跨下一级或两级，要走上这10 级楼梯，共有多少种不同的走法？（分析）设上n级楼梯的走法为a n种，则a i=1,a2=2，当n》2时，上n 级楼梯的走法可分两类：一类是最后一步跨一级有a n-1种走法，另一类是最后一步跨二级有a n-2种走法，则有a n= a n-1+环-2由a3=a2+a1=3,a 4=a3+a2=5,a 5=a4+a3=8,a 6=a5+a4=13,a7=a6+a5=21,a 8=34, a?=55,a io=89练习：一个楼梯共18级台阶，一步可跨一级或两级台阶，若12步登完共有多少种不同的走法？3 先分一本，再分二本，最后分三本，即得分三组的方法数共有c；c2c3=6O种；、x y = 12（分析）一步一台阶x个，一步二台阶y个则有x- y18得x=6,y=6,即无论哪种走法都有6个一步一台阶6个一步二台阶的,因而转化为求12步中任选6步的不同选法：C：2=924巩固练习1、从五双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配在一双的可能性有多少种?2、有20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不少于盒子的编号数，问有多少种不同的放法？3、某校高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生要按排到该年级的两个班，每班二名有多少不同的方案？4、四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子则恰好一个空盒的放法有多少种？5、平面内有n个点，如果有m个点共线，其余各点任何三点不共线，则这几个点能形成多少条直线？多少个三角形？（答案）1、130 2、C： 3、C2C2 4、C4A3=1445、C n - C m+1，C n - C m（4）先要把收分成三组有C6c5c3=60种，再分配给三人有A3种共有A3c6c5c3=36O种。