矩形和正方形的判定
矩形和正方形的判定
矩形和正方形的判定矩形和正方形是几何学中常见的两种形状，它们在我们的日常生活和工作中无处不在。
虽然它们看起来很相似，但在几何学中，它们有着明确的定义和特征。
在本文中，我们将介绍如何判定一个图形是矩形还是正方形，并探讨它们之间的关系。
一、矩形的定义和特征矩形是一种具有四个直角的四边形。
直角指的是两条边相交时，交点的内角为90度。
矩形的特征包括：所有内角都是直角，相对的边相等，对角线相等且平分。
为了更好地理解矩形的特征，我们可以通过一些例子来加深印象。
比如，一张纸的形状就是一个矩形，因为它的四个角都是直角，且相对的两条边相等。
又如，一块长方形的地板砖，也是一个矩形，因为它的四个角都是直角，且相对的两条边相等。
二、正方形的定义和特征正方形是一种特殊的矩形，它的四个边长相等且内角都是直角。
可以说，正方形是具有最大对称性的矩形。
正方形的特征使得它在很多领域被广泛应用。
比如，我们常见的电视屏幕、手机屏幕和计算机屏幕，都是正方形的。
这是因为正方形的对称性可以更好地展示图像和文字，使得我们的观看体验更佳。
三、矩形和正方形的关系矩形和正方形之间存在着一定的关系。
可以说，正方形是矩形的一种特殊情况。
也就是说，每个正方形都是矩形，但不是每个矩形都是正方形。
正方形的特殊性在于它的四个边长相等，这就决定了它的内角都是直角。
而一般的矩形并没有这个限制，它的相邻边可以不相等，只要满足其他矩形的特征即可。
四、如何判定一个图形是矩形还是正方形当我们面对一个图形时，如何判断它是矩形还是正方形呢？这里给出两种方法。
方法一：判断边长关系我们可以通过判断图形的四个边长是否相等来判断它是矩形还是正方形。
如果四个边长都相等，那么它就是正方形；如果有两对边长相等，而且相邻边长不相等，那么它就是矩形；如果四个边长都不相等，那么它既不是矩形也不是正方形。
方法二：判断角度关系我们可以通过判断图形的内角是否为直角来判断它是矩形还是正方形。
如果四个内角都是直角，那么它就是矩形；如果四个内角都是直角且四边长相等，那么它就是正方形；如果有一个内角不是直角，那么它既不是矩形也不是正方形。
判断矩形和正方形
判断矩形和正方形矩形和正方形是我们常见的几何图形，它们在数学和几何学中有着重要的地位。
对于很多人来说，矩形和正方形可能很容易混淆，因为它们的形状非常相似。
但实际上，通过一些特定的属性可以很容易地判断一个图形是矩形还是正方形。
一、概念介绍矩形和正方形都属于四边形的一种，四边形是具有四条直线边和四个顶点的图形。
具体来说，矩形是一种具有四个直角的四边形，四条边分别相互平行，且相邻两边长度相等；而正方形则是一种特殊的矩形，它不仅满足上述条件，而且它的四条边长度都相等。
二、判断矩形的方法在几何学中，我们可以通过对矩形的属性进行判断来确定一个图形是否为矩形。
以下是判断矩形的两个基本方法：1. 角度判断法矩形的最基本特征是具有四个直角，即四个内角都是90度。
因此，如果一个四边形的四个内角都是直角，那么它就是一个矩形。
2. 边长判断法另一个判断矩形的方法是通过四边的长度关系来确定。
在矩形中，相对的两条边长度相等，即对边平行且相等。
因此，如果一个四边形的对边都相等且平行，那么它也是一个矩形。
三、判断正方形的方法正方形是矩形的一种特殊情况，具有矩形的所有特性，并且它的四条边长度都相等。
对于判断一个图形是否为正方形，我们只需要判断它是否同时满足矩形的两个判断方法：1. 角度判断法正方形的四个内角都是直角，因此，如果一个四边形的四个内角都是直角，那么它有可能是一个正方形。
但需要进一步判断它是否同时满足边长判断法。
2. 边长判断法正方形的四条边长度都相等，对边平行且相等。
因此，如果一个四边形的对边都相等且平行，那么它有可能是一个正方形。
但需要进一步判断它是否同时满足角度判断法。
如果一个四边形同时满足矩形的角度判断法和边长判断法，那么它就是一个正方形。
四、举例说明为了更好地理解和应用上述方法，我们来看几个例子：例一：给定一个四边形，四个内角都是直角，且两对相对边都相等，那么这个四边形既满足矩形的角度判断法，也满足矩形的边长判断法，因此是一个矩形。
手把手教你判定矩形和正方形,详解教案
一、教案基本信息1. 《手把手教你判定矩形和正方形，详解教案》2. 课时安排：每课时45分钟3. 教学对象：八年级数学4. 教学目标：使学生掌握矩形和正方形的判定方法，提高学生的几何思维能力二、教学内容1. 第一节：矩形的判定1.1 判定一个四边形为矩形的条件1.2 矩形的性质1.3 矩形在实际生活中的应用2. 第二节：正方形的判定2.1 判定一个四边形为正方形的条件2.2 正方形的性质2.3 正方形在实际生活中的应用3. 第三节：矩形和正方形的异同3.1 矩形和正方形的共同点3.2 矩形和正方形的不同点3.3 矩形和正方形在实际生活中的应用4. 第四节：矩形和正方形的判定练习4.1 判断题练习4.2 选择题练习4.3 解答题练习5. 第五节：总结与拓展5.1 本节课的主要知识点回顾5.2 矩形和正方形的实际应用案例分析5.3 拓展思考：如何判断一个四边形是否为菱形三、教学方法1. 采用讲解法，让学生掌握矩形和正方形的判定方法及性质2. 利用多媒体展示矩形和正方形的实际应用案例，增强学生的实践能力3. 通过练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力4. 组织小组讨论，让学生分享学习心得，培养学生的合作精神四、教学评价1. 课后作业：布置有关矩形和正方形的练习题，检验学生掌握程度2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况等3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括分享心得、合作态度等五、教学资源1. PPT课件：制作有关矩形和正方形的判定方法、性质及应用的PPT课件2. 练习题：准备判断题、选择题和解答题等练习题，用于巩固所学知识3. 多媒体设备：电脑、投影仪等，用于展示PPT课件和实际应用案例4. 教学手册：提供相关知识点和案例分析，方便学生课后复习和拓展学习六、第六节：矩形的对角线6.1 矩形对角线的长度6.2 矩形对角线的性质6.3 矩形对角线在实际生活中的应用七、第七节：正方形的对角线7.1 正方形对角线的长度7.2 正方形对角线的性质7.3 正方形对角线在实际生活中的应用八、第八节：矩形和正方形的对称性8.1 矩形的对称性8.2 正方形的对称性8.3 矩形和正方形的对称性在实际生活中的应用九、第九节：矩形和正方形的面积计算9.1 矩形的面积计算9.2 正方形的面积计算9.3 矩形和正方形的面积计算在实际生活中的应用十、第十节：综合应用与拓展10.1 矩形和正方形在建筑学中的应用10.2 矩形和正方形在平面设计中的应用10.3 拓展思考：如何将矩形和正方形的知识运用到其他领域十一、教学内容1. 第十一节：菱形的判定11.1 判定一个四边形为菱形的条件11.2 菱形的性质11.3 菱形在实际生活中的应用十二、教学内容1. 第十二节：平行四边形的判定12.1 判定一个四边形为平行四边形的条件12.2 平行四边形的性质12.3 平行四边形在实际生活中的应用十三、教学内容1. 第十三节：矩形、正方形、菱形、平行四边形的比较13.1 矩形、正方形、菱形、平行四边形的共同点13.2 矩形、正方形、菱形、平行四边形的不同点13.3 矩形、正方形、菱形、平行四边形在实际生活中的应用十四、教学内容1. 第十四节：几何图形的综合练习14.1 判断题练习14.2 选择题练习14.3 解答题练习十五、教学内容1. 第十五节：总结与拓展15.1 本节课的主要知识点回顾15.2 几何图形在实际应用案例分析15.3 拓展思考：如何将几何图形的知识运用到其他领域十一、第十一节：菱形的判定与性质11.1 判定一个四边形为菱形的条件11.2 菱形的性质11.3 菱形的实际应用十二、第十二节：平行四边形的判定与性质12.1 判定一个四边形为平行四边形的条件12.2 平行四边形的性质12.3 平行四边形的实际应用十三、第十三节：矩形、正方形、菱形、平行四边形的比较13.1 矩形、正方形、菱形、平行四边形的共同点13.2 矩形、正方形、菱形、平行四边形的不同点13.3 矩形、正方形、菱形、平行四边形的实际应用十四、第十四节：几何图形的综合练习14.1 判断题练习14.2 选择题练习14.3 解答题练习十五、第十五节：总结与拓展15.1 本节课的主要知识点回顾15.2 几何图形在实际应用案例分析15.3 拓展思考：如何将几何图形的知识运用到其他领域重点和难点解析本文主要介绍了矩形、正方形、菱形、平行四边形四种几何图形的判定方法、性质及实际应用。
使用勾股定理判定矩形和正方形的教案
使用勾股定理判定矩形和正方形第一章：勾股定理的引入1.1 教师通过讲解直角三角形的性质，引入勾股定理的概念。
1.2 学生通过观察直角三角形模型，理解勾股定理的意义。
1.3 教师引导学生通过实际测量和计算，验证勾股定理的正确性。
1.4 学生进行小组讨论，分享彼此的验证结果。
第二章：矩形的性质2.1 教师介绍矩形的定义和性质，强调矩形的对角线相等的特性。
2.2 学生通过几何画图软件绘制矩形，观察和测量对角线的长度。
2.3 教师引导学生运用勾股定理计算矩形的对角线长度。
2.4 学生进行小组合作，探讨如何通过勾股定理判断一个四边形是否为矩形。
第三章：正方形的性质3.1 教师介绍正方形的定义和性质，强调正方形的四条边相等和对角线垂直平分的特性。
3.2 学生通过几何画图软件绘制正方形，观察和测量对角线的长度和垂直平分线。
3.3 教师引导学生运用勾股定理计算正方形的对角线长度。
3.4 学生进行小组合作，探讨如何通过勾股定理判断一个四边形是否为正方形。
第四章：判定矩形和正方形的方法4.2 学生通过实际操作，运用勾股定理判定给定的四边形是否为矩形或正方形。
4.3 教师提供一些判定题目，学生独立完成并解释解题思路。
4.4 学生进行小组讨论，分享彼此的解题经验和策略。
第五章：巩固练习5.1 教师提供一些巩固练习题目，学生独立完成。
5.2 学生向全班展示自己的解题过程和答案。
5.3 教师引导学生进行错题分析，解释错误原因并提供正确的解题方法。
5.4 学生进行小组合作，共同完成一些综合性的判定题目。
【教学评价】通过本章的学习，学生能够理解勾股定理的原理，并能够运用勾股定理判断矩形和正方形。
教师可以通过课堂观察、学生作业和小组讨论等方式，评估学生对勾股定理和矩形、正方形性质的理解程度，以及学生的解题能力和合作能力。
第六章：应用勾股定理解决实际问题6.1 教师通过展示一些实际问题，如测量房间的对角线长度，引导学生运用勾股定理解决。
矩形、菱形、正方形的性质及判定(四边形)
矩形、菱形、正方形的性质及判定一、知识提要1.矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；性质①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等.判定①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.2.直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半.3.菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.判定①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形.4.菱形的面积等于对角线乘积的一半.5.正方形定义四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形.性质正方形拥有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；判定①由一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形.二、精讲精练1.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则边与对角线组成的直角三角形的个数是________.2.（2011浙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC=16，则图中长度为8的线段有( ) A．2条B．4条ODC BA60°C ．5条D ．6条3. 矩形ABCD 中，AB =2BC ，E 为CD 上一点，且AE =AB ，则∠BEC = ___.4. 已知矩形ABCD ，若它的宽扩大2倍，且它的长缩小四分之一，那么新矩形的面积等于原矩形ABCD 面积的__________．5. （2011四川）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分6. （2011江苏）在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是_______________(写出一种即可) 7. （2011山东）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A =30°，BC =2，AF =BF ，则四边形BCDE 的面积是（ ）A ．23B ．33C ．4D ．438. 如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE =DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF（2）若∠AFC =2∠D ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．9. （2011江苏）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm10. （2011河北）如图，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴对应的数分别为-4和1，则BC =_______．EFDCBAD CBAHFGE ADBC11. 菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°，则菱形的各角的度数为___________．12. (2011重庆)如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC =8，BD =6，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH =_________．13. 已知菱形周长是24cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为＿_____.14. 菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24cm 2，则AE =6cm ，则菱形ABCD的边长为_______.15. （2011山东）已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面积是（ ）A ．12cm 2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 2 16. 菱形有____条对称轴，对称轴之间具有________的位置关系． 17. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．两组对边分别平行B ．两组对边分别相等C ．一组邻边相等D ．对角线相互平分18. （2011四川）如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足__________条件时，四边形EFGH 是菱形.19. （2011浙江）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作AG ∥DB 交CB 的延长线于点G ． （1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G =90°，求证：四边形DEBF 是菱形．F E B C A D 20. （2011湖州）如图，已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE =DF . （1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若BC =10， BAC =90，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长.21. （2011湖南）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ） A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形22. 有一组邻边_______并且有一个角是________的平行四边形，叫做正方形． 23. （2010湖北）已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 .24. 已知正方形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，OE ⊥BC 于E ，若OE =2，则正方形的面积为____．25. 如图，已知，正方形ABCD 的对角线交于O ，过O 点作OE ⊥OF ，分别交AB 、BC 于E 、F ，若AE =4，CF =3，则EF 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．326. （2011贵州）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F . （1）求证: △ADE ≌△BCE ； （2）求∠AFB 的度数.FED CBA FE ODCBA三、测试提高【板块一】菱形的性质1. 若菱形两邻角的比为1:2，周长为24 cm ，则较短对角线的长为_____． 【板块二】菱形的判定2. （2011湖南）如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（ ） A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形 3. （2011湖北）顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（ ） A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形【板块三】菱形余矩形的性质4. （2011江苏）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补 【板块四】特殊四边形的判定5. 下列命题中，正确命题是( )A ．两条对角线相等的四边形是平行四边形；B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；D ．两条对角线平分且相等的四边形是正方形；四、课后作业1. 矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB =60°，若BD =10 cm ，则AD =_____．2. 矩形周长为72cm ，一边中点与对边两个端点连线的夹角为直角，此矩形的长边为_______.3. 矩形的边长为10和15，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分的长度分别为_________.4. 过矩形ABCD 的顶点D ，作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于E ，则△DEB 是( ).A ． 不等边三角形B ． 等腰三角形C ． 等边三角形D ． 等腰直角三角形BACD5. 矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别交于E ，F ，则四边形AFCE 是___________．6. 菱形一个内角为120°，平分这个内角的一条对角线长12 cm ，则菱形的周长为_____．7. 若菱形两条对角线长分别为6 cm 和8 cm ，则它的周长是________，面积是_______．8. 菱形的一个角是60°，边长是8 cm ，那么菱形的两条对角线的长分别是_________．9. 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为_____. 10. 在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ， AF ⊥CD ，且BE =EC ， CF =FD ，则∠AEF 等于_______.11. 如图，小华剪了两条宽为2的纸条，交叉叠放在一起，且它们交角为45°，则它们重叠部分的面积为（ ）. A.22 B.1 C.332 D.2 12. （2011广东）如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A 、B 、D ，已知AB =BC =CD =DA =5公里，村庄C 到公路1l 的距离为4公里，则村庄C 到公路2l 的距离是（ ）. A ．3公里 B ．4公里C ．5公里D ．6公里13. 正方形的对角线__________且_________，每条对角线平分_____． 14. 如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE =AF ． 求证：△ACE ≌△ACF ．FE BCDA15. （2011山东）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，分别交AD 、BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．OFEDCBA。
矩形和正方形的判定方法及应用教案
矩形和正方形的判定方法及应用教案。
一、有关矩形和正方形的定义矩形和正方形都属于四边形，它们的定义如下：矩形：四个顶点都是直角的四边形。
由于其四条边都可以相互平行，所以对角线长度相等。
正方形：四条边长度相等，四个顶点都是直角的四边形。
因为其每条边都是相等的，所以它也可以被视为一种矩形。
矩形和正方形的共同点是它们都有四个顶点、四条边和四个直角。
区别在于它们的边长和对角线长度的关系不同。
二、判定矩形和正方形的方法1.判定矩形的方法矩形的判定方法有以下几种：（1）四边相等：若一个四边形的四条边的长度相等，则该四边形为矩形。
（2）对角线相等：若一个四边形的对角线长度相等，则该四边形为矩形。
（3）四个顶点均为直角：若一个四边形的四个顶点都是直角，则该四边形为矩形。
注意：判定正方形也可采用这些方法，在判定正方形时需要保证四边长度相等。
2.判定正方形的方法正方形的判定方法有以下两种：（1）四边相等、四个顶点都是直角：若一个四边形的四条边的长度都相等，且四个顶点都是直角，则该四边形为正方形。
（2）对角线相等：若一个四边形的对角线长度相等，则该四边形为正方形。
以上两种方法均可以判定正方形，其中方法1比方法2更加常用且易于理解。
三、矩形和正方形在实际应用中的教学案例矩形和正方形的应用非常广泛，我们在日常生活和工作中都可以看到它们的身影。
下面我们将介绍一些矩形和正方形在实际应用中的教学案例。
1.矩形在建筑工程中的应用教学建筑工程中常使用到矩形，例如钢筋混凝土框架结构、玻璃幕墙构造等等。
建筑师需要根据矩形的定义设计出具有坚固性和美观性的建筑结构。
教师可以带领学生参观一些矩形结构的建筑，让学生了解矩形的应用和优点，然后让学生自己设计一个具有矩形结构的建筑。
2.正方形在艺术设计中的应用教学正方形在艺术设计中有很多应用，例如平面设计、装饰设计等等。
教师可以让学生收集一些正方形的艺术设计信息，让学生学习正方形的美学价值和特点。
然后让学生使用图形软件设计一幅正方形的艺术画作，并通过展示和评分等形式来展示自己的设计。
矩形的判定
OFE D CBA ODCBA第三讲、矩形与正方形重点内容: ①具有的一切性质；②内角都是直角；③对角线相等；④全等三角形的个数；⑤等腰三角形的个数；⑥对称轴的条数；⑦斜边中线定理；⑧平方等式；⑨两种面积计算方法；⑩有一个直角的→矩形；⑾有三个直角的四边形→矩形；⑿对角线相等的→矩形. 1、 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；2、 矩形的性质：⎪⎩⎪⎨⎧分且相等；对角线：对角线互相平边：对边相等；角：四个角都是直角；3、 矩形的判定：⎪⎩⎪⎨⎧形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边的平行四边形；定义：有一个角是直角4、 正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形；5、 性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质；6、 正方形的性质：1 23 457、 判定：有一个角是直角的菱形是正方形；临边相等的矩形是正方形； 8、 四边形之间的关系：【练习题】1. 在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为_______________; 周长为_______________.2. 一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为__________________.3. 在△ABC 中, AM 是中线, ∠BAC=90︒, AB=6cm, AC=8cm, 那么AM 的长为_____________________.4. 如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, EF 经过O 点, 那么图中全等三角形共有_____________________对.5. 在矩形ABCD 中, AB=3, BC=4, P 为形内一点, 那么PA+PB+PC+PD 的最小值为__________________.6. 在矩形ABCD 内有一点Q, 满足QA=1, QB=2, QC=3, 那么QD 的长为____________________.7. 如图, 矩形ABCD 的对角线交于O 点, 若, 那么∠BDC 的大小为________________.ONM DCBA OEDCBA8. 如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, 且满足AM=BN, 给出以下结论: ①MN//DC; ②∠DMN=∠MNC; ③OM D ONC S S = . 其中正确的是______________.9. 一个平行四边形的四个内角的角平分线相交围成的四边形的形状是________________.10. 如图, 在矩形ABCD 中, AE 平分∠BAD, ∠CAE=15︒, 那么∠BOE 的度数为__________________.11.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________.12.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.13.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12， 则斜边上的中线等于 .14.如图，E 为矩形ABCD 对角线AC 上一点，DE ⊥AC 于E ，∠ADE: ∠EDC=2:3,则∠BDE 为_________.15.矩形的两邻边分别为4㎝和3㎝，则其对角线为 ㎝，矩形面积为 cm 2. 16.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是___________. 17.矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（ ）A. 对边相互平行B. 对角线相等C. 对角线相互平分D. 对角相等 18.矩形具备而平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．邻角互补C ．对角相等D ．对角线相等 19.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ）A ．对角线互相平分且相等B ．四个角相等C ．是轴对称图形D ．对角线互相垂直平分PHDCBA三、证明题：1、如图，平行四边形ABC D 中，AQ 、B N 、C N 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、B C D ∠、C D A ∠的平分线，AQ 与B N 交于P ，C N 与DQ 交于M ， 求证：四边形PQMN 是矩形．2、如图，已知在四边形ABC D 中，AC D B ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点， 求证：四边形E F G H 是矩形3、如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分∠CBH.NMQPDCBAHG OFEDCB A四边形的习题一、选择题1.下列图形中：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中既是中心对称图形又是轴对称图形的共有（ ）个．A 、1B 、2C 、3D 、4 2.在□ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是（ ）．A 、1:2:3:4B 、3:5:5:3C 、3:3:4:4D 、2:3:2:33.如图，在平行四边形ABCD 中，∠B ＝110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连接EF ，则∠E+∠F ＝（ ）．A.110°B.30°C.50°D.70°4. 如图，□ABCD 中，AE 平分∠DAB ，∠B=100°，则∠DAE 等于（）． A.40° B.80° C.60° D.100° 5.正方形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）条．A 、1条B 、2条C 、4条D 、无数条6.在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC=8cm ，BD=6cm ，则这个菱形的周长是（ ）． A 、40cm B 、20cm C 、10cm D 、16cm7.如图，在□ABCD 中，AB=12cm ，设它的两条对角线长为x 、y ，，则x 、y 可能是下列各组数中的（ ）． A 、8cm 和14cm B 、10cm 和14cm C 、18cm 和20cm D 、10cm 和38cm8.如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，BE=5cm ，EC=3cm ，则这个矩形的周长为（ ）． A 、26cm B 、27cm C 、22cm D 、28cm 9.如图，在ABCD 中，AB ＝5，AD ＝8，∠BAD 、∠ADC 的平分线分别交BC 于E 、F ，则EF 的长为( ).A 、1B 、2C 、3D 、4E FABCD第3题第8题图ECDB A第4题图EDCBA第7题图OCCBA10.如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，BD=AD ， 且∠BCD=110°，∠CBD=30°，则∠ADB 的度数为( ). A、80° B 、90° C 、100° D 、110° 11.正方形对角线（ ）．A 、互相平分，但不相等B 、相等，但不垂直C 、互相垂直、平分且相等D 、互相垂直，但不相等 二、填空题（每小题3分，共24分）12.请你写一条菱形具有而平形四边形不具有的性质：____________．13.已知矩形的面积为48，一边长是6，那么这个矩形的对角线长是___________．14.平行四边形的一个内角比它的邻角大24°，则这个平行四边形四个内角的度数分别为______，______，______，______．15.菱形ABCD 中, ∠A=120°,周长为16cm,则较短的对角线长为_________．16.如果边长分别为4cm 和9 cm 的矩形与一个正方形的面积相等,那么这个正方形的边长为_______ cm ． 17．正方形的一条对角线长为4 cm ，则它的面积是_________ cm 2.18．如图，□ABCD 的周长为20 cm,对角线交于O 点, ∆AOB 的周长比∆BOC 的周长短 4 cm, 则AB ＝__________,BC=__________．19.如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD=AB,BC=BD, ∠A=100°,则∠C=______．第9题图第10题图CBAD第18题图第19题图DCBA三、 解答题20.（10分）如图，在菱形ABCD 中，AB=AC=3cm ，求： （1）菱形的周长； （2）菱形的四个内角．21.（10分）如图，以正方形ABCD 的一边AB 为边向外作正三角形ABE ，连接EC 、ED ，求∠DEC 的大小．22. （10分） 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， CE ∥DA ，已知AB=8cm ，DC=5cm ，DA=6cm ，求 CEB 的周长．DCBAEDCBAED CBA23.（12分）如图，□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB=6cm ，△AOB 的周长为16cm ，△BOC 的周长为18cm ，求AD 的长．24.（12分）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E 点，若∠CAE=15°，求∠BOE 的度数．EODCBAODCBA。
初中数学《矩形和正方形的判定》教案
初中数学《矩形和正方形的判定》教案一．学生情况分析学生已经学习了平行四边形的性质和判定，也学习了一种特殊的平行四边形菱形的性质和判定，对于类似的问题有一定的学习精力、经验和感受，这将更有利于学生对本节课的学习。
二．教学任务分析教学目标：知识目标：1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。
3.正确运用正方形的性质解题。
能力目标：1.通过四边形的从属关系渗透集合思想。
2．在直观操作活动和简单的说理过程中，发展学生初步的合情推理能力、主动探究习惯，逐步掌握说理的基本方法。
情感与价值观1.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点教学重点：正方形的性质的应用．教学难点：正方形的性质的应用．【三】教学过程设计课前准备教具准备: 一个活动的平行四边形木框、白纸、剪刀．学生用具：白纸、剪刀教学过程设计分成四分环节：第一环节：巧设情境问题，引入课题第二环节：讲授新课第三环节：新课小结第四环节：布置作业第一环节巧设情境问题，引入课题进入正题，提出本节课的研究主题正方形第二环节讲授新课主要环节〔1〕呈现两种通过不同途径得到正方形的过程，给正方形下定义〔2〕讨论正方形的性质〔3〕通过练习加强对正方形性质的理解〔4〕寻找平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的相互关系。
〔5〕寻找正方形的判定方法目的：1．正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形，因此想得到一个正方形，可以在矩形的基础上强化边的条件得到，也可以在菱形的基础上强化角的条件得到。
于是在课上呈现这两种变化，为后面寻求平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系打下基础。
2．由于采用了两种正方形形成的方式，因此正方形的性质和判定方法都可以从中挖掘和发现。
大致教学过程呈现一个平行四边形变成正方形的全过程．〔演示〕由于平行四边形具有不稳定性，所以先把平行四边形木框的一个角变为直角，再移动一条短边，截成有一组邻边相等，此时平行四边形变成了一个正方形．这个变化过程，可用如以下图表示由此可知：正方形是一组邻边相等的矩形．即：一组邻边相等的矩形叫做正方形．这个平行四边形木框还可以这样变化：先移动一条短边，截成有一组邻边相等的平行四边形，再把一个角变成直角，此时的平行四边形也变成了正方形．这个变化过程，也可用图表示你能根据上面的变化过程，给正方形下定义吗？一组邻边相等的平行四边形是菱形．正方形是一个角为直角的菱形，所以可以说：有一个角是直角的菱形叫做正方形．由此可知：正方形是特殊的矩形，即是邻边相等的矩形，也是特殊的菱形，即是有一个角是直角的菱形．因为正方形是平行四边形、菱形、矩形，所以它的性质是它们的综合，不仅有平行四边形的所有性质，也有矩形和菱形的特殊性质，即：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质．正方形的性质：边：对边平行、四边相等角：四个角都是直角对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．正方形是轴对称图形吗？如是，它有几条对称轴？正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，即：两条对角线，两组对边的中垂线．例题［例1］如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O，求AOB，OAB的度数．分析：此题是正方形的性质的直接应用．正方形的性质很多，要恰当运用，此题主要用到正方形的对角线的性质，即正方形的轴对称性．解：正方形ABCD是菱形，对角线AC，BD一定互相垂直，所以AOB=90．正方形ABCD是矩形，又是菱形，所以：BAD=90且对角线AC平分BAD，因此：OAB=45拿出准备好的剪刀、白纸来做一做将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？〔学生动手折叠，想，剪切〕只要保证剪口线与折痕成45角即可．因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形．正方形是平行四边形、矩形、又是菱形，那么它们四者之间有何关系呢？正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间有什么关系呢？它们的包含关系如图：此图给出了正方形的判别条件，即怎样判定一个平行四边形是正方形？先判定一个四边形是平行四边形，再判定这个平行四边形是矩形，然后再判定这个矩形是菱形；或者先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件不一样，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断．第三环节课堂练习教材随堂练习1，2第四环节课时小结正方形的定义：一组邻边相等的矩形．正方形的性质与平行四边形、矩形、菱形的性质可比较如下：〔出示小黑板〕第五环节课后作业课本习题4.7 1，2，3．四．教学设计反思在教材中，并没有明确的给出正方形的判定定理。
矩形与正方形有什么不同？
矩形与正方形有什么不同？矩形和正方形都是几何学中常见的形状，它们都属于多边形的一种，并且都具有特定的性质和特点。
然而，矩形和正方形之间还是存在着一些明显的区别。
本文将从几何性质、边长比例、角度特性和应用领域等方面来详细介绍矩形和正方形的不同之处。
一、几何性质矩形是一种四边形，其两对相邻边相等且平行，四个角都为直角的多边形。
矩形的对角线相等且平分，且两条对角线相交于中点，呈均分角。
正方形是一种特殊的矩形，它的四条边长度相等且都平行，四个角也都为直角，且对角线相等且平分，两条对角线相交于中点，呈均分角。
二、边长比例矩形的边长可以不相等，它的两对相邻边的长度可以不同。
正方形的边长必须相等，四条边的长度一致。
三、角度特性矩形的四个角都是直角。
正方形的四个角也都是直角。
四、应用领域由于矩形的边长可以不相等，因此在实际应用中，我们会看到很多长方形、横向矩形和纵向矩形。
长方形在建筑设计、画布制作、排版设计等方面都有广泛应用。
正方形则常被运用于图像处理、计算机编程、棋盘游戏等领域。
它由于边长一致的特点，所以在图像处理方面可以更加方便地进行操作和计算。
综上所述，矩形和正方形作为几何学中的两种多边形，在形状和性质上存在一定的差异。
矩形的边长可以不相等，而正方形的边长必须完全相等；除此之外，矩形和正方形在应用领域上也有些许差异。
对于几何学的学习和应用来说，理解和区分矩形和正方形的特点是非常重要的。
只有深入了解它们的不同之处，才能更好地应用于实际生活和工作中。
总结起来，矩形和正方形虽然在某些方面具有相似之处，但它们在几何性质、边长比例、角度特性和应用领域等方面存在明显差异。
通过深入了解它们的特点，我们可以更好地应用于实际生活和工作当中，从而提升我们的数学几何学水平。
正方形的八个判定方法
正方形的八个判定方法一、从边的角度来看1.1 四条边都相等的四边形是正方形。
这就好比一个团队，每个成员都有着相同的实力，大家齐心协力，组成了一个完美的正方形。
就像四条长度一样的木棍，首尾相连，规规矩矩地形成一个正方形。
这是正方形最基本的边的判定方法，如果一个四边形的四条边参差不齐，那肯定不是正方形啦。
1.2 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
想象一下，一个平行四边形本来就规规矩矩的，就像一个规行矩步的人，然后它的一组邻边还相等，就像两只手臂一样长，而且还有一个角是直角，那就像是一个完美的直角拐弯，这样就成了正方形。
这就像一个人本来就品行端正，然后又有了独特的优秀品质，就变得更加完美，就像平行四边形变成正方形一样。
二、从角的角度出发2.1 四个角都是直角的四边形是正方形。
这就像一个房间的四个墙角，都方方正正的，都是直角。
要是一个四边形的角歪七扭八，那肯定不是正方形。
四个直角就像是正方形的灵魂，缺了一个都不行。
这就如同我们做人，要堂堂正正，不能有一点歪斜，正方形的四个直角就是这样的存在，端端正正地摆在那里。
2.2 有三个角是直角的四边形是矩形，而邻边相等的矩形是正方形。
这就好比一个人已经具备了大部分的优秀品质，已经是个不错的矩形了，但是还需要最后一点小提升，那就是邻边相等。
就像一个学生成绩已经很好了，再把某一门学科的成绩也提升到和其他学科一样好，那就更完美了，就像矩形变成正方形一样。
2.3 对角线互相垂直且相等的矩形是正方形。
矩形就像一个已经很规整的框架，但是要成为正方形还需要特殊的条件。
对角线互相垂直且相等就像是给这个框架加上了特殊的加固和装饰，让它成为了正方形。
这就像一件事情本来已经做得不错了，再加上一些独特的元素，就变得更加出色。
三、从对角线的角度考虑3.1 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
这就像是一个神秘的规则，对角线就像四边形的两条神秘线，当它们互相垂直平分且相等的时候，这个四边形就像被施了魔法一样，变成了正方形。
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矩形和正方形的判定
第四章四边形性质探索４．矩形、正方形（二）黄凌
一．学生情况分析学生已经学习了平行四边形的性质和判定，也学
习了一种特殊的平行四边形――菱形的性质和判定，对于类似的问题有一定的学习精力、经验和感受，这将更有利于学生对本节课的学习。
二．教学任务分析教学目标：知识目标： 1.掌握正方形的定义，
弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2.掌握正方形的性
质定理1和性质定理2。
3.正确运用正方形的性质解题。
能力目标：1.通过四边形的从属关系渗透集合思想。
2．在直观操作活动和简单的说理过程中，发展学生初步的合情推理能力、主动探究习惯，逐步掌握说理的基本方法。
情感与价值观 1.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点教学重点：正方形的性质的应用．教学难点：正方形的性质的应用．
三、教学过程设计课前准备教具准备: 一个活动的平行四边形木框、白纸、剪刀．学生用具：白纸、剪刀教学过程设计分成四分环节：第一环节：巧设情境问题，引入课题第二环节：讲授新课第三环节：新课小结第四环节：布置作业
第一环节巧设情境问题，引入课题进入正题，提出本节课的研究
主题――正方形
第二环节讲授新课主要环节（1）呈现两种通过不同途径得到正
方形的过程，给正方形下定义（2）讨论正方形的性质（3）通过练习加强对正方形性质的理解（4）寻找平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的相互关系。
（5）寻找正方形的判定方法目的： 1．正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形，因此想得到一个正方形，可以在矩形的基础上强化边的条件得到，也可以在菱形的基础上强化角的条件得到。
于是在课上呈现这两种变化，为后面寻求平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系打下基础。
2．由于采用了
两种正方形形成的方式，因此正方形的性质和判定方法都可以从中挖掘和发现。
大致教学过程呈现一个平行四边形变成正方形的全过程．（演示）由于平行四边形具有不稳定性，所以先把平行四边形木框的一个角变为直角，再移动一条短边，截成有一组邻边相等，此时
平行四边形变成了一个正方形．这个变化过程，可用如下图表示由此可知：正方形是一组邻边相等的矩形．即：一组邻边相等的矩形叫做正方形．这个平行四边形木框还可以这样变化：先移动一条短边，截成有一组邻边相等的平行四边形，再把一个角变成直角，此时的平行四边形也变成了正方形．这个变化过程，也可用图表示你能根据上面的变化过程，给正方形下定义吗？一组邻边相等的平行四边形
是菱形．正方形是一个角为直角的菱形，所以可以说：有一个角是直角的菱形叫做正方形．由此可知：正方形是特殊的矩形，即是邻边
相等的矩形，也是特殊的菱形，即是有一个角是直角的菱形．因为
正方形是平行四边形、菱形、矩形，所以它的性质是它们的综合，不仅有平行四边形的所有性质，也有矩形和菱形的特殊性质，即：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质．正方形的性质：边：对边平行、四边相等角：四个角都是直角对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
正方形是轴对称图形吗？如是，它有几条对称轴？正方形是轴对称
图形，它有四条对称轴，即：两条对角线，两组对边的中垂线．
例题［例1］如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O，求∠AOB，∠OAB的度数．分析：本题是正方形的性质的直接应用．正方形的性质很多，要恰当运用，本题主要用到正方形的对角线的性质，即正方形的轴对称性．解：正方形ABCD是菱形，对角线AC，BD一
定互相垂直，所以∠AOB=90°．正方形ABCD是矩形，又是菱形，所以：∠BAD=90°且对角线AC平分∠BAD，因此：∠OAB=45°
拿出准备好的剪刀、白纸来做一做将一张长方形纸对折两次，然后
剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？（学生动手折叠，想，剪切）只要保证剪口线与折痕成45°角即可．因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形．
正方形是平行四边形、矩形、又是菱形，那么它们四者之间有何关系呢？正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间有什么关系呢？它们的包含关系如图：
此图给出了正方形的判别条件，即怎样判定一个平行四边形是正方形？
先判定一个四边形是平行四边形，再判定这个平行四边形是矩形，然后再判定这个矩形是菱形；或者先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所
给出的条件不一样，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断．
第三环节课堂练习教材随堂练习1，2
第四环节课时小结
正方形的定义：一组邻边相等的矩形．正方形的性质与平行四边形、矩形、菱形的性质可比较如下：（出示小黑板）
第五环节课后作业课本习题4.7 1，2，3．
四．教学设计反思在教材中，并没有明确的给出正方形的判定定理。
那么教师在课堂上应该帮助学生理清思路，使他们明确判定的方法。
为了实现这个目标，在本节课的开始，教师就采取了两种方式呈现正方形的形成过程，在直观上帮助学生认识了正方形与矩形、正方形与菱形之间的关系；在讲解正方形性质的过程中又再次强化了这种认识。
通过层层铺垫，让学生明确矩形＋邻边相等就是正方形，菱形＋一个直角就是正方形，如何判定图形是矩形或是菱形，前面已经学习过，因此关于正方形的判定是需要一个条件一个条件“叠加”完成的。