delaunay 三角剖分 步骤
上下扫描线的delaunay三角剖分算法
上下扫描线的delaunay三角剖分算法Delaunay三角剖分是一种广泛应用于计算几何和数值分析的算法，它主要用于生成二维平面上的三角形网格。
Delaunay三角剖分具有很多优良的性质，例如空外接圆性质和最小角最大性质等。
上下扫描线的Delaunay三角剖分算法是一种高效的Delaunay三角剖分算法，其基本思想是利用扫描线从上到下或从下到上扫描整个区域，并在扫描过程中对点进行插入和删除操作，从而生成Delaunay三角剖分。
具体步骤如下：
1. 将所有点按照y坐标从大到小排序。
2. 从上到下扫描整个区域，对于每个扫描到的点，将其插入到Delaunay三角剖分中。
具体做法是：找到该点的最近点，然后删除该点，并将该点和最近点之间的线段加入到Delaunay三角剖分中。
3. 重复步骤2，直到扫描完所有点。
该算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为点的数量。
这是因为需要将所有点排序，并且每次插入一个点都需要在已排序的点中进行二分查找。
需要注意的是，该算法只能处理凸多边形的边界，如果存在凹多边形或自相交的情况，需要使用其他算法进行处理。
三维空间 delaunay三角剖分的分治算法
三维空间 delaunay三角剖分的分治算法
三维空间的Delaunay三角剖分可以使用分治算法来实现。
分
治算法是一种将问题分解成更小的子问题来解决的算法思想。
以下是三维空间Delaunay三角剖分的分治算法的基本步骤：
1. 将输入的点集P按照x坐标进行排序，得到有序点集P_x。
2. 对P_x进行分割，将点集分成两部分，左边部分为P_l，右
边部分为P_r。
3. 递归调用Delaunay三角剖分算法，分别对P_l和P_r进行处理。
这两个子问题可以分别在不同的处理器或线程上进行处理，从而加快算法的执行速度。
4. 将子问题的结果合并，得到整体的Delaunay三角剖分结果。
在递归调用Delaunay三角剖分算法时，同样的分治策略可以
应用到三维空间中。
对于每一个子问题，可以按照y坐标对点集进行排序，然后再递归地将子问题分割成更小的子问题。
当子问题中的点个数达到一个阈值时，可以使用其他的三维空间Delaunay三角剖分算法进行解决，如增量法或基于四面体的
方法。
通过使用分治算法，可以将大问题划分成许多小问题，并行地解决这些小问题，从而提高算法的执行效率。
同时，在三维空间中使用分治算法可以减少问题的复杂性，使得算法更易于实现和理解。
带断层地震数据的Delaunay三角剖分算法
１２ 提 高三 角 网 的质 量 ．
由于地震 数据 比较 稠密 ，网格结 点无需 过散 乱 点 ，为了使 数据均匀 采样 ， 求三角 网相对均匀 。这 要 对 网格 的加密过程 有一定 的要求 。 常用生成加 密节点 的方 法有重心 布点法和最长边 中点布点法 。 常用 方法 存在 同一个缺点 ：同一尺度下 的加 密方法 ， 出现狭 会 长 的 、密度不 均 的三 角形 。文 献 【】 出了变尺度 加 ６提 密方 案 。该方案 的思 想是 ：先破坏 相对大 的三角形 ， 然后 逐次减小判 断三角形大小 的尺度 ， 到所 有三角 直 形都 符合要求 。 里在加密过程 中 ， 这 采用该方案 的思
非 约束 Ｄ ｌ ｎ ｙ三角 网 ，其次强行嵌 入约束边 。建 ｅ ｕａ ａ
网所耗 时间主要在 于搜索 当前数据 点影响 的三角形 。
规则 三角形构造地质模 型的方法 。 Ｉ Ｔ Ｎ可 以比较精确
地表 达边界和断层 ， 一种 比较理想 的表达三 维表面 是
为避免全 局搜索 ， 对数据边界进 行初剖分 ， 先 所得 三 角形覆 盖了数据 区域 。而在加密 过程 中， 根据 当前 加 密步 长计 算出数据点 的影响矩形 区域 Ｒ， 只有 当三角 形在 尺 内时 ， 才进行三角 形的外接 圆判 断 ， 高建 网 提 效率 。 据结构方 面 ， 数 三角 网格 的构建是个动态 添加
Ｘｉ ｎ７ ０ ５ ， ｈｎ ） ＇ １ ０ ４ Ｃ ｉａ ａ
Ａｂｓ ｒ ｔ ｔ ａｃ ：Ｈ ｕｇ ｅ ｓ ｃ ｄａ ａ ｇｒｄｄｉ ｓａ ｃｏ ｍ ｏｎ ｍ ｅｈｏｄ ｔ ｒ ｃ ｓ ｔ ｅ — ｉ ｅ ｉ ｎａ ｅ ｅ ｓ ｉ ｍｉ ｔ ｉ ｎｇ ｉ ｍ ｔ ｏ ｐ ｏ ｅｓ ｈｒ ｅ ｄ ｍ ｎｓｏ ｌｇ ｏｇｒ ｐ ｃ ｌｍ ｏ ｌｎｇ． ａ ｈｉ ａ ｄｅ ｉ Ｆａ ｔｉ ｉ ｅ ｓ ｌｇ ｇｒ ｐ ｃ ｐ ｎｏ ｅ ｕｌ ｓａ ｕｎ ｖ ｒ ａ ｅｏ ａ ｈｉ ｈｅ ｍ ｎｏｎ．Ｄｅ ａ ｌ ｕｎａ ｒａ ｙ ｔ ｎｇｕ ａ ｉ ｅｇ ｂｙ ｅ ａｔ ｉｈ ｆ ｕ ｔ ｓｒ ｌ ｔｖｅ ｙ ｃ ｉ ｌ ｔｏｎ ｍ ａ ｔ ｓ ｄ ａ ｗ ｔ ａ ｌｓｉ ｅ ａ ｉ ｌ ｏｍ —
Delaunay三角剖分的快速重建算法
潘 荣 丽
山东省 劳动厅 服务 技Ｘ 学校 山东 济 南 －
【 要 】 文 描述 了一种Ｄ ｌｕａ 角 剖分 的快 速 重建 算 法 ， 以节省 三角 网格 存 储和 传 输 时 摘 本 ｅ ｎｙ ａ 用
间。该算 法 既可 以在 基 于均匀 网格 的Ｄ ｌ ｎｙ 角化过 程 中， ｅａ ａ ｕ 直接 生成 点集序 列 ， 可 以推广 也 到 其他Ｄ ｌｕ ａ ＿ 角剖分 方 法 的输 出结 果 ， ｅ ｎｙ ａ ￣ 在Ｏ（ 的时 间 内生成点集 序 列。 简单遍 历这 个 点 ｎ） 集 序列就 可 以在０（ ） ／ 的时 间 内重建Ｄ ｌｕ ａ 角 剖分 。 与 以前 的算 法相 比． 算法具 有 重建 ＇ ｔ ｅ ｎｙ ａ 该 操 作简 单 、 行速度 快 、 执 拓扑信 息 完全 隐藏在 点集 序列 中、 需要增 量插入 操作 等特 点 。 不
的 一 个 重 要 问 题 。 着 广 泛 的应 用 背 景 ， 虚 拟 有 在 现 实 、 理 信 息 系统 （ Ｉ ） 许 多 方 面都 有 着 很 地 ＧＳ 等 重 要 的 意 义 。 实 际 应 用 中经 常 包 含 几 百 万 个 点
和 三 角 形 ，必 须 进 行 数 据 压 缩 才 能 适 应 现 有 的
④ 如 果Ｐ 属于 “ ” 洞 的情 况 （ Ｐ已经 出现 过 ， 不 但
等 于Ｑ． ｘ￣ ｒｖｏｓ ， ｅ ｔ ． ｅｉｕ ） 则把 Ｑ移 到Ｑ的末 尾 ， ｎ ＮＱ ｐ 输
出标 志
把 数 据点分 布 的平 面区 域划分 成 网格 ， 网格 使
单 元数 和 点数 大致 相 同。根 据点 的坐标 值 ， 把所 有 的点放 进 相应 的 网格 单 元 中。 靠 近 中间的 网格单 在 元 中找到一 个初 始点 ， 然后 找 一个距 离 初 始点最 近 的点 ． 把这 两个 顶点 填加 到一 个链 表Ｑ中
Delaunay三角网剖分注记自动配置算法研究
Delaunay三角网剖分注记自动配置算法研究1引言由于人工地图注记配置效率低，因此，有许多学者对计算机注记自动配置算法进行了研究，并且提出了一些非常好的算法。
其中针对面状要素的水平切割中点线法、长对角线法对于狭长多边形、扇形多边形、半环状多边形、等都不能取得较好的效果，甚至无法标注。
但Delaunay 三角网剖分法则可以适应多种多边形，故本文重点描述Delaunay三角网剖分注记自动配置算法。
2 化简面状要素面状要素：原始数据精度高，坐标点多，有些坐标点相距很近甚至重合，所以必须对原始多边形进行预处理，去除冗余数据，只保留特征点，才能很大程度上减少计算量，保证建网效率。
数据压缩的方法有很多，本文选取垂距法对面状元素进行压缩。
垂距法压缩数据的方法已经十分成熟，本文不再赘述。
3 基于最小距离简单多边形的Delaunay三角剖分算法3.1生成初始三角网算法描述（1）建立双链表L1，顺序存入简单多边形的各个结点及其凹凸性。
（2）根据每个结点的凹凸性算出对应的距离。
如果是第1次计算，就全部计算，否则只计算需要计算的结点，并将距离保存在双链表L1 中，其中凹點的距离为无穷大。
（3）在L1中找出最小的距离值及所对应的结点Pi。
建立单链表L2，存储结点Pi的前驱与后继，表示边；建立单链表L，存储结点Pi 及其前驱和后继表示三角形。
删除结点Pi，重新计算L1中与Pi 相关的点Pi+1，Pi-1 的距离及凹凸性，若第一次计算的点Pi+1 或Pi-1 为凸点，则不需计算它的凹凸性，反之则需要计算。
（4）重复（3），再判断L1中的结点数，若结点数<3，结束。
3.2 Delaunay 剖分三角网的算法综上所述，L中纪录了初始三角网的三角形，单链表L2中记录了三角网的边，用L和L2 进行三角网的Delaunay 剖分。
（1）取出L2中Pi 的数据，形成一条边Edge。
（2）在L中遍历找出共用Edge的两个三角形，判断这两个三角所组成的四边形的凹凸性。
Voronoi图和Delaunay三角剖分
Voronoi图和Delaunay三⾓剖分刷题的时候发现了这么⼀个新的东西：Voronoi图和Delaunay三⾓剖分发现这个东西可以O(nlogn)解决平⾯图最⼩⽣成树问题感觉⾮常棒然后就去学了..看的，感谢n+e的耐⼼教导..Voronoi图是个啥Delaunay三⾓剖分最优三⾓剖分就是使每⼀个三⾓形的外接圆都不包含其他的点的三⾓剖分这个算法就是求最优三⾓剖分的简单来说就是分治合并对于点数⼩于等于3的可以直接连边合并的时候1）先找到两边最下⾯的点，这个可以⽤凸包求，然后连边2）对于现在得到的两个点p1、p2，找到⼀个点连接着p1且由这三个点的外接圆不包含别的任何点，并删除这个外接圆经过的边，p2也是如此3）看现在找出来的两个点y1、y2，找其中⼀个点使得它与p1、p2的外接圆不包含另外⼀个点，使其与对应的点连边4）重复（2）（3）直到⽆边可连对n+e代码的修改⼀开始压根不知道怎么实现这个算法的时候去看了看n+e的代码..发现他的代码中每次都要遍历p1和p2的所有边，这样的做法在特殊的图⾥⾯是O(n2)的可以说他⾃⼰出的数据偏⽔？？（雾然后看了上⾯那篇详细的⽂章，发现它的边是按照顺时针或者逆时针的⽅向进⾏取边的，这样遇到的边要不删掉要不就是最优的所以我开了⼀个双向链表来储存边，使得边是按照(−π2,3π2]顺时针排列然后就会发现细节⼀⼤堆..调了我3天的东西就直接放上来好了判断⼀个点是否在某三个点的外接圆内在⾥⾯有讲，但是貌似图都爆掉了？？就是把点映射到z=x2+y2的抛物⾯上，这三个点就会形成⼀个新的平⾯，然后再判断剩下的那个点和这个平⾯的关系即可下⾯放⼏张n+e给我的图⽚⽅便理解？抛物⾯z=x2+y2其实第三张图应该很清晰了吧..在圆内的点都会在平⾯下⽅，⽽在圆外的都会在平⾯上⽅这个⽤三维叉积点积判⼀下就好了Code下⾯就贴⼀下我3天的成果吧..还有什么问题请指教..bzoj4219#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <cmath>#include <vector>#define eps 1e-10using namespace std;const int Maxn = 100010;double _max(double x, double y) { return x > y ? x : y; }double _min(double x, double y) { return x < y ? x : y; }struct node {int y, nxt, frt, opp;}a[Maxn<<3]; int first[Maxn], last[Maxn], num[Maxn<<3], now;int sta[Maxn], tp;int pb(int x, int k, int y) {int u = num[now++];a[u].y = y; a[u].frt = k;if(k){a[u].nxt = a[k].nxt;if(a[k].nxt) a[a[k].nxt].frt = u;else last[x] = u;a[k].nxt = u;} else {if(first[x]) a[first[x]].frt = u;else last[x] = u;a[u].nxt = first[x]; first[x] = u;}return u;}int pf(int x, int k, int y) {int u = num[now++];a[u].y = y; a[u].nxt = k;if(k){a[u].frt = a[k].frt;if(a[k].frt) a[a[k].frt].nxt = u;else first[x] = u;a[k].frt = u;} else {if(last[x]) a[last[x]].nxt = u;else first[x] = u;a[u].frt = last[x]; last[x] = u;}return u;}void del(int x, int k) {num[--now] = k;if(a[k].nxt) a[a[k].nxt].frt = a[k].frt;else last[x] = a[k].frt;if(a[k].frt) a[a[k].frt].nxt = a[k].nxt;else first[x] = a[k].nxt;}double _abs(double x) { return x < 0 ? -x : x; }int zero(double x) { return _abs(x) < eps ? 1 : 0; }struct Point {double x, y;Point(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}bool operator<(const Point &A) const { return zero(x-A.x) ? y < A.y : x < A.x; } Point operator-(const Point &A) const { return Point(x-A.x, y-A.y); }}list[Maxn]; int n; double X, Y;double Cross(Point A, Point B) { return A.x*B.y-B.x*A.y; }double Dot(Point A, Point B) { return A.x*B.x+A.y*B.y; }double dis(Point A) { return sqrt(Dot(A, A)); }double dis(int x, int y) { return dis(list[y]-list[x]); }struct Point3 {double x, y, z;Point3(double x = 0, double y = 0, double z = 0) : x(x), y(y), z(z) {}Point3 operator-(const Point3 &A) const { return Point3(x-A.x, y-A.y, z-A.z); } };double Dot(Point3 A, Point3 B) { return A.x*B.x+A.y*B.y+A.z*B.z; }Point3 Cross(Point3 A, Point3 B) { return Point3(A.y*B.z-A.z*B.y, A.z*B.x-A.x*B.z, A.x*B.y-A.y*B.x); } Point3 t(Point A) { return Point3(A.x, A.y, A.x*A.x+A.y*A.y); }bool incir(Point D, Point A, Point B, Point C) {if(Cross(B-A, C-A) < -eps) swap(B, C);Point3 aa = t(A), bb = t(B), cc = t(C), dd = t(D);return Dot(Cross(bb-aa, cc-aa), dd-aa) < -eps;}bool incir(int D, int A, int B, int C) { return incir(list[D], list[A], list[B], list[C]); }void divi(int L, int R) {if(L == R) return;if(L+1 == R){int k1 = pb(L, 0, R); int k2 = pf(R, 0, L);a[k1].opp = k2; a[k2].opp = k1;return;}int mid = L+R>>1, i, j, k;divi(L, mid); divi(mid+1, R);int p1 = 0, p2 = 0; tp = 0;for(i = L; i <= R; i++){while(tp > 1 && Cross(list[i]-list[sta[tp-1]], list[sta[tp]]-list[sta[tp-1]]) > eps) tp--;sta[++tp] = i;}for(i = 1; i < tp; i++) if(sta[i] <= mid && sta[i+1] > mid){ p1 = sta[i]; p2 = sta[i+1]; break; }int kp1, kp2;for(kp1 = last[p1]; kp1; kp1 = a[kp1].frt){if(Cross(list[a[kp1].y]-list[p1], list[p2]-list[p1]) < eps || Cross(list[a[kp1].y]-list[p1], Point(0,1)) < -eps) break; }int k1 = pb(p1, kp1, p2);for(kp2 = first[p2]; kp2; kp2 = a[kp2].nxt){if(Cross(list[a[kp2].y]-list[p2], list[p1]-list[p2]) > -eps || Cross(list[a[kp2].y]-list[p2], Point(0,1)) > eps) break; }int k2 = pf(p2, kp2, p1);a[k1].opp = k2; a[k2].opp = k1;while(1){int np1 = 0, np2 = 0;for(; kp1; kp1 = a[kp1].frt){if(Cross(list[a[kp1].y]-list[p1], list[p2]-list[p1]) > -eps){if(Cross(list[a[kp1].y]-list[p1], Point(0,1)) > -eps) continue;else break;}if(a[kp1].frt && incir(a[a[kp1].frt].y, p1, p2, a[kp1].y)) del(a[kp1].y, a[kp1].opp), del(p1, kp1);else { np1 = kp1; break; }}for(; kp2; kp2 = a[kp2].nxt){if(Cross(list[a[kp2].y]-list[p2], list[p1]-list[p2]) < eps){if(Cross(list[a[kp2].y]-list[p2], Point(0,1)) < -eps) continue;else break;}if(a[kp2].nxt && incir(a[a[kp2].nxt].y, p1, p2, a[kp2].y)) del(a[kp2].y, a[kp2].opp), del(p2, kp2);else { np2 = kp2; break; }}if(!np1 && !np2) break;if(!np2 || (np1 && !incir(a[kp2].y, p1, p2, a[kp1].y))){p1 = a[kp1].y;k2 = pf(p2, kp2, p1);for(kp1 = last[p1]; kp1; kp1 = a[kp1].frt){if(Cross(list[a[kp1].y]-list[p1], list[p2]-list[p1]) < eps || Cross(list[a[kp1].y]-list[p1], Point(0,1)) < -eps) break; }k1 = pb(p1, kp1, p2);a[k1].opp = k2; a[k2].opp = k1;} else {p2 = a[kp2].y;k1 = pb(p1, kp1, p2);for(kp2 = first[p2]; kp2; kp2 = a[kp2].nxt){if(Cross(list[a[kp2].y]-list[p2], list[p1]-list[p2]) > -eps || Cross(list[a[kp2].y]-list[p2], Point(0,1)) > eps) break; }k2 = pf(p2, kp2, p1);a[k1].opp = k2; a[k2].opp = k1;}}}struct enode {int x, y; double d;enode(int x = 0, int y = 0, double d = 0) : x(x), y(y), d(d) {}bool operator<(const enode &A) const { return d < A.d; }}e[Maxn<<4]; int el;int fa[Maxn];int ff(int x) { return fa[x] == x ? x : fa[x] = ff(fa[x]); }int main() {int i, j, k;scanf("%d%lf%lf", &n, &X, &Y);for(i = 1; i <= n; i++) scanf("%lf%lf", &list[i].x, &list[i].y);now = 1;for(i = 1; i <= n<<3; i++) num[i] = i;sort(list+1, list+n+1);divi(1, n);for(i = 1; i <= n; i++){e[++el] = enode(i, n+1, _min(list[i].x, Y-list[i].y));e[++el] = enode(i, n+2, _min(list[i].y, X-list[i].x));for(k = first[i]; k; k = a[k].nxt) e[++el] = enode(i, a[k].y, dis(i, a[k].y)/2.0); }sort(e+1, e+el+1);for(i = 1; i <= n+2; i++) fa[i] = i;for(i = 1; i <= el; i++){int fx = ff(e[i].x), fy = ff(e[i].y);if(fx != fy){fa[fx] = fy;if(ff(n+1) == ff(n+2)){ printf("%lf\n", e[i].d); return 0; }}}return 0;}⼩总结？？虽然这次搞这个东西⽤的时间很长.. 但是收获还是很⼤的..最后差那么⼏个点wa还是很想放弃的..但是还是坚持下了来了嘛..加油啊..Processing math: 100%。
delaunay方法
delaunay方法
Delaunay方法，又称为Delaunay三角剖分，是前苏联数学家Delaunay在1934年提出的一种三角剖分方法。
该方法满足所谓的“最大-最小角”优化准则，即所有最小内角之和最大，从而使得划分的三角形不会出现某个内角过小的情况。
这种方法在二维情况下可以描述为：对于给定的平面点集，只存在着唯一的一种三角剖分方法，满足Delaunay三角剖分的条件，即任意一个三角形的外接圆内不包括其他结点。
Delaunay三角剖分方法在各种二维三角剖分中具有全局和局部最优性。
它可以应用于数值模拟的网格生成，尤其在复杂外形的非结构网格生成中有广泛应用。
此外，Delaunay 三角剖分方法还可以推广至多维问题，例如在三维情况下，四面体的外接球内不包含其他节点。
在具体实施过程中，三维情况下的Delaunay三角化可以包括以下步骤：在三维空间内定义一个大的凸壳区域以覆盖所有将要插入的点；根据网格步长分布要求在凸壳区域内引入一个新点；标记将被删除的四面体（其外接球包含新点的所有四面体）；建立空洞边界（由被标记的四面体组成的凸壳的外边界）；在剩余四面体中查找被标记四面体的邻居以
建立有效的空间连续性；利用空洞边界上每个三角形的三个顶点与新点组成新的四面体；建立空洞外原四面体和新生成的四面体的邻居关系。
三角剖分离散点的纹理坐标
三角剖分离散点的纹理坐标1. 什么是三角剖分三角剖分是指将一个简单多边形或一个曲面分割成一组三角形的过程。
在计算机图形学和计算几何学中，三角剖分是一个重要的技术，用于处理离散点和曲面的表示与计算。
三角剖分的目的是将一个复杂的几何形状分解为一组简单的三角形，以便于进行各种图形计算和渲染操作。
三角形是计算机图形学中最常用的基本图元，其具有简单性、可计算性和可视化性等优点。
2. 离散点的纹理坐标在计算机图形学中，纹理坐标是指在二维或三维纹理空间中的位置。
纹理坐标用于将纹理映射到几何图元上，以实现更加真实和细腻的渲染效果。
离散点的纹理坐标是指在离散点集合上定义的纹理坐标。
离散点通常是在平面或空间中随机或有序分布的点集，可以表示为二维或三维坐标。
通过给离散点分配纹理坐标，可以实现对离散点的纹理映射和渲染。
离散点的纹理坐标通常用于处理点云数据、地理信息系统、计算机辅助设计等领域。
通过将纹理坐标映射到离散点上，可以实现对离散点的纹理贴图、纹理滤波、纹理合成等操作。
3. 三角剖分离散点的纹理坐标算法三角剖分离散点的纹理坐标算法是指将离散点集合进行三角剖分，并为每个三角形分配纹理坐标的算法。
常见的三角剖分算法包括Delaunay三角剖分、EarClipping三角剖分、Bowyer-Watson算法等。
3.1 Delaunay三角剖分Delaunay三角剖分是一种常用的三角剖分算法，其基本思想是通过连接离散点集合中的点来构成三角形，使得任意两个三角形的外接圆不包含其他离散点。
Delaunay三角剖分具有唯一性和最大化最小角度的特性，适用于各种复杂的离散点集合。
Delaunay三角剖分算法的步骤如下： 1. 构建超级三角形：将离散点集合包围在一个超级三角形内，以保证剖分结果的完整性。
2. 插入点：依次将离散点插入到三角形中，使得剖分满足Delaunay条件。
3. 删除超级三角形：删除与超级三角形相关的三角形，得到最终的三角剖分结果。
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delaunay 三角剖分步骤1. Delaunay三角剖分是用于将点集分割成不规则三角形的方法。
The Delaunay triangulation is a method for dividing a set of points into irregular triangles.2.首先选择一个点作为起始点。
First, select a point as the starting point.3.然后选择另外两个点与起始点构成一个三角形。
Then select two other points to form a triangle with the starting point.4.接着选择一个未被包含在任何三角形内的点。
Then select a point that is not included in any triangle.5.在所有的三角形中寻找能将这个新点包含进去的三角形。
Find a triangle among all the triangles that can include this new point.6.如果找到了这样的三角形，将这个三角形和新点围成的区域删除。
If such a triangle is found, remove the area enclosed by this triangle and the new point.7.在新的边缘上寻找新的三角形。
Find new triangles on the new edges.8.重复以上步骤，直到所有的点都被包含在三角形内。
Repeat the above steps until all points are included in triangles.9. Delaunay三角剖分具有无重叠、最小化夹角和最大化最小角的性质。
Delaunay triangulation has the properties of non-overlapping, minimizing angles, and maximizing minimum angles.10.可以使用Delaunay三角剖分来进行网格生成和空间分析。
Delaunay triangulation can be used for mesh generation and spatial analysis.11.在计算凸多边形的Delaunay三角剖分时，需要额外考虑多边形的凹角。
When computing the Delaunay triangulation of a convex polygon, we need to consider the concave angles of the polygon.12. Delaunay三角剖分也被广泛应用于计算机图形学和计算机视觉领域。
Delaunay triangulation is also widely used in the fields of computer graphics and computer vision.13.下面是一个简单的示例来演示Delaunay三角剖分的步骤。
Below is a simple example to demonstrate the steps of Delaunay triangulation.14.首先我们有一个点集。
First, we have a set of points.15.选择一个起始点。
Select a starting point.16.再选择两个点构成一个三角形。
Then select two points to form a triangle.17.然后选择一个未被包含在任何三角形内的点。
Then select a point that is not included in any triangle.18.寻找能将这个新点包含进去的三角形。
Find a triangle that can include this new point.19.如果找到了这样的三角形，将这个三角形和新点围成的区域删除。
If such a triangle is found, remove the area enclosed by this triangle and the new point.20.在新的边缘上寻找新的三角形。
Find new triangles on the new edges.21.重复以上步骤，直到所有的点都被包含在三角形内。
Repeat the above steps until all points are included in triangles.22.这样就完成了对点集的Delaunay三角剖分。
This completes the Delaunay triangulation of the point set.23. Delaunay三角剖分将点集分割成不规则的三角形。
The Delaunay triangulation divides the point set into irregular triangles.24.这些三角形满足无重叠、最小化夹角和最大化最小角的性质。
These triangles satisfy the properties of non-overlapping, minimizing angles, and maximizing minimum angles.25. Delaunay三角剖分通常被用于计算机图形学中的三角网格生成。
Delaunay triangulation is commonly used for triangle mesh generation in computer graphics.26.除了点集，Delaunay三角剖分也可以应用于线段和多边形。
In addition to point sets, Delaunay triangulation can also be applied to line segments and polygons.27.在Delaunay三角剖分中，边缘上没有空洞或重叠。
In Delaunay triangulation, there are no holes or overlap on the edges.28.当进行Delaunay三角剖分时，需要选择一种合适的算法以确保得到正确的结果。
When performing Delaunay triangulation, an appropriate algorithm needs to be selected to ensure correct results.29. Delaunay三角剖分还被广泛应用于地理信息系统和空间分析领域。
Delaunay triangulation is also widely used in geographic information systems and spatial analysis.30. Delaunay三角剖分的结果在计算机视觉中可以用于形状识别和模式识别。
The results of Delaunay triangulation can be used for shape recognition and pattern recognition in computer vision.31. Delaunay三角剖分也可以在地理信息系统中用于地图的拓扑关系分析。
Delaunay triangulation can also be used in geographic information systems for topological relationship analysis of maps.32.当点集在二维平面上时，Delaunay三角剖分可以得到一个松散的三角网格。
When the point set is on a two-dimensional plane, Delaunay triangulation can result in a sparse triangle mesh.33.这种三角网格可以用于地形重建和地图绘制。
This kind of triangle mesh can be used for terrain reconstruction and map drawing.34.如果点集在三维空间中，Delaunay三角剖分可以得到一个立体的三角网格。
If the point set is in three-dimensional space, Delaunay triangulation can result in a solid triangle mesh.35.这种三角网格可以用于建模和仿真。
This kind of triangle mesh can be used for modeling and simulation.36.在地理信息系统中，Delaunay三角剖分可以用于空间插值和地形分析。
In geographic information systems, Delaunay triangulation can be used for spatial interpolation and terrain analysis.37. Delaunay三角剖分在空间分析中有着重要的应用价值。
Delaunay triangulation has important application value in spatial analysis.38.除了在地理信息系统中，Delaunay三角剖分还可以用于医学图像处理和工程设计中。
In addition to geographic information systems, Delaunay triangulation can also be used in medical image processing and engineering design.39. Delaunay三角剖分是计算机图形学和空间分析领域的重要基础知识。
Delaunay triangulation is an important foundational knowledge in the fields of computer graphics and spatial analysis.40.他们使用Delaunay三角剖分将地图数据转换为三角网格以供模拟风场。
They use Delaunay triangulation to convert map data intoa triangle mesh for simulating wind fields.41. Delaunay三角剖分的结果可以用于计算地表的坡度和方向。