凸多边形的最优三角剖分
凸多边形的最优三角剖分
子问题重叠
1,5
1,1
2,5
1,2
3,5 3,3 4,5
1,3
4,5
……..
2,2
3,5
2,3
4,5
3,3
4,5
凸多边形的三角剖分与矩阵链乘法完全加括号方式之间具有十分紧密 的联系。正如所看到过的，矩阵连乘积的最优计算次序问题等价于矩 阵链的完全加括号方式。这些问题之间的相关性可从它们所对应的完 全二叉树的同构性看出。
r=4
t[1][4]=t[1][2]+t[3][4]+w(0,2,4)=19 t[2][5]=t[2][3]+t[4][5]+w(1,3,5)=27
例子
当k=i时 t[1][5]=t[1][1]+t[2][5]+w(0,1,5)=34
当k=i+1时
t[1][5]=t[1][2]+t[3][5+w(0,2,5)=30 t[1][5]=t[1][3]+t[4][5]+w(0,3,5)=30
例子
C:k=i+1 r=3 t[1][3]=t[1][2]+t[3][3]+w(0,2,3)=12 (v0v1v2和v0v2v3) t[2][4]=t[2][3]+t[4][4]+w(1,3,4)=21 t[3][5]=t[3][4]+t[5][5]+w(2,4,5)=15 (v2v3v4和v2v4v5)
T V0 Vn
Vk
分析两个基本要素
可以断言，由T确定的这两个子多边形的三角剖分也是最优的。因为 若有{V0,V1……Vk}和{Vk+1,……Vn}更小权的三角剖分，将导致T不 是最优三角剖分的矛盾（利用剪贴法）。因此，凸多边形的三角剖分 问题具有最优子结构性质。
3 剖分
p1
V ( pi ) H ( pi , p j )
i j
表示比其他点更接近 pi的点的轨迹是 n 1个半平面的交
对于S中每个点都可以作一个Voronoi多边形，这样的n个多 边形组成的图称为Voronoi图，记Vor(S)，该图中的顶点和 边分别称为Voronoi点与Voronoi边
证明：由每个V点 恰好是三条V边的 交点可以证明。
p6 p5 p3 v3 V边 v1 v 2 p2 p4
V点 p1
Voronoi图
定理：如果 pi、p j S，并且通过 pi与p j 有一个不包含 S中其他点 的圆，则线段 pi p j 是点集 S三角剖分的一条边
证明：由C(v)内不包含其 他点可以证明
多边形的三角剖分
定理：顶点数大于4的任意多边形至少有两个不重叠的耳 证明：三角剖分对偶T中的一个叶结点对应于一个耳，顶点 数大于4的多边形至少有两个叶结点
多边形的三角剖分
P2
P1
pi 1 pi 1
P3
算法：凸多边形的三角剖分算法 第1步：针对任一顶点Pi，计算距离
pi 2 pi pi pi 2
P5
多边形的三角剖分
定义：设链由多边形边 e1 , e2 ,, en 组成，L是平面上一条直线，如果与L垂直的直线L`与多 边形至多交于1点，则该多边形是关于L单调的
Y Pi Y C1 C2 C2 Pi
C1
Pj 多边形链单调 X
Pj 多边形链不单调 X
多边形的三角剖分
定义：设pi 1 , pi与pi 1是多边形P的三个相邻顶点， 并且pi 1与pi 1的Y坐标同大于或小于 pi的Y坐标 则pi为歧点
Pi Pi+1
Pi-1 Pi+1 Pi-1 P0 Pi
《算法设计与分析》第3章 动态规划法
最优解的递推关系 定义m[i:j]，表示矩阵连乘A[i:j]所需的最少计算 量 则有： i j 0 m[i ][ j ] i j minj{m[i ][ k ] m[k 1][ j ] pi 1 pk p j } i k
假设：N个矩阵的维数依序放在一维数组p中， 其中Ai的维数记为Pi-1×Pi
A=A1×A2×A3×…×An
A=(A1×A2×…×Ak) × (Ak+1×Ak+2×…×An)
B
C
1.2 穷举法
穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出 每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出 一种数乘次数最少的计算次序。
穷举法复杂度分析： 对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序有P(n)种。 由于每种加括号方式都可以分解为两个子连乘的加括号问题： (A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下：
【程序】矩阵连乘的 穷举法实现 int MatrixChain::LookupChain(int i, int j) { if(i==j) return 0; int u=LookupChain(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j]; //k=i s[i][j]=i; //记录最优分解位置 for ( int k=i+1;k<j; k++ ) { //遍历k int t=LookupChain(i,k)+LookupChain(k+1,j) +p[i]*p[k+1]*p[j+1]; if (t<u) { u=t; s[i][j]=k; //记录最优分解位置 } } int MatrixChain::LookupChain() return u; { } return LookupChain(1,n);
凸多边形的三角划分卡特林数
凸多边形的三角划分卡特林数凸多边形的三角划分问题是指如何将一个凸多边形划分成一些不重叠的三角形。
这个问题在计算几何中具有重要的应用，如有限元分析、多边形网格生成等。
卡特林数是解决凸多边形的三角划分问题的一种计数方法。
卡特林数是一个组合数列，其中第n个卡特林数表示将一个凸n+2边形划分成三角形的不同划分数目。
首先，我们来介绍一下卡特林数的递归关系。
设C(n)表示将一个凸n+2边形划分成三角形的不同划分数目。
我们可以考虑凸n+2边形的一个顶点，将其与其他n+1个顶点分别连接，得到n+1个划分情况。
如果选择的顶点与其他顶点构成一条对角线，那么我们将得到两个凸多边形，分别是一个边长为k+2的凸多边形和一个边长为n-k+1的凸多边形。
其中k的取值范围是0到n，表示选择的对角线一侧顶点的个数。
因此有递推关系式：C(n) = C(0) * C(n) + C(1) * C(n-1) + C(2) * C(n-2) + ...+ C(n) * C(0)其中，C(0) = C(1) = 1，表示一个凸2边形和一个凸3边形的划分数目均为1。
我们可以使用动态规划的方法求解卡特林数。
设一个数组C，其中C[i]表示C(i-2)。
我们从小到大计算C[i]，通过递推关系式可以得到C[n]的值。
最终，C[n]就表示了将一个凸n+2边形划分成三角形的不同划分数目。
利用卡特林数，我们可以解决一些与凸多边形的三角划分相关的问题。
例如，我们可以计算一个凸n+2边形的所有不同划分数目。
对于划分数目较大的情况，我们可以使用大数计算来解决。
另外，卡特林数也可以求解一些特定的凸多边形划分问题。
例如，给定一个凸n+2边形，我们希望找到一条对角线，使得将凸多边形划分成的两个子多边形中，其中一个子多边形有恰好k条边。
我们可以利用卡特林数的递归关系式，在计算中判断划分的结果是否满足要求。
在实际应用中，我们可以将凸多边形的三角划分问题转化为求解卡特林数的问题，并通过动态规划的方法来求解。
凸多边形最优三角剖析_动态规划
凸多边形最优三⾓剖析_动态规划⼀、问题描述多边形的三⾓剖分：将多边形分割成互不相交的三⾓形的弦的集合T。
最优剖析：给定凸多边形的三⾓剖分，使得该三⾓剖分中诸三⾓形上权之和最⼩(是所有的三⾓形的权值之和，不是只计算边和弦的权值之和)。
⼆、解题思路及所选算法策略的可⾏性分析基本思路：动态规划。
最优⼦结构：若凸(n+1)边形p={V0,V1,…,VN}的最优三⾓剖分T包含三⾓形V0VkVn, 1<=k<n。
则T的权为3个部分权的和：三⾓形V0VkVn的权，⼦多边形{V0,V1,…,Vk}和{Vk,Vk+1,…,Vn}的权之和。
可断⾔，有T确定的这2个⼦多⼥性的三⾓剖析也是最优。
因为若有更⼩的三⾓剖析将导致T不是最优的三⾓剖析的⽭盾递归结构：定义t[i][j],1<=i<j<=n为凸⼦多边形{Vi-1，Vi,…,Vj}的最优三⾓剖分所对应的权函数值，即其最优值。
最优剖分包含三⾓形Vi-1VkVj的权，⼦多⼥性{Vi-1,Vi,…,Vk}和{Vk,Vk+1,…,Vj}的权之和。
凸(n+1)边形P的最优权值为t[1][n]。
T[1][n]=min{t[1][k]+t[k+1][n]+w(V0VkVn)|1<=k<n}设退化的多边形{Vi-1,Vi}具有的权值为0，因为此刻够不成多边形。
三、伪代码描述及复杂度分析伪代码：Public class triangle{初始化各点两两相连权重；初始化所有⼆顶点多边形权值为0；//循环求解t[i][j]For(⼦多边形的始末顶点间隔步长){For(起始点位置){该层循环起始点对应末点的位置；求解t[i][j];记录第三点位置；找到最⼩权值位置；}}}复杂度分析：对于n规模的问题，算法需要申请n*n空间的⼆位数组，所以空间复杂度为O(n^2)。
求解问题⽤到三层for循环，所以时间复杂度为O(n^3)。
四、代码实现package 动态规划;public class triangle {private int n;// n多边形private int[][] weight;// 边的权值数组public triangle(int n) {this.n = n;this.weight = new int[n][n];}public static void main(String[] args) {triangle triangulation = new triangle(6);initTriangulation(triangulation);int n = triangulation.getN();// 凸多边形的边数int[][] t = new int[n][n];// t[i][j]表⽰顶点{Vi-1,Vi...Vj}组成的多边形的最优三⾓形剖分的权值 int[][] s = new int[n][n];// s[i][j]表⽰与Vi-1和Vj⼀起构成三⾓形的第三个顶点的位置triangulation.minWeightTriangulation2(triangulation.getN() - 1, t, s);System.out.println(t[1][5]);}// 初始化weight数组的信息public static void initTriangulation(triangle triangulation) {int[][] weight = { { 0, 2, 2, 3, 1, 4 }, { 2, 0, 1, 5, 2, 3 }, { 2, 1, 0, 2, 1, 4 },{ 3, 5, 2, 0, 6, 2 }, { 1, 2, 1, 6, 0, 1 }, { 4, 3, 4, 2, 1, 0 } };triangulation.setWeight(weight);}// 得到最优的三⾓形剖分，n是总边数-1public void minWeightTriangulation(int n, int[][] t, int[][] s) {// 初始化所有的⼆顶点多边形权值为0for (int i = 1; i <= n; i++) {t[i][i] = 0;}// 循环求解t[i][j]for (int r = 2; r <= n; r++) {// (j-i)的范围[2,n]// 当r=2时，循环实际上是在给t赋边的值，即相邻的两个顶点的权值，例如t[1][2],t[2][3]... for (int i = 1; i <= n - r + 1; i++) {// i的范围[1,n+1-r]，这⾥i要保证i+r<=nint j = i + r - 1;t[i][j] = t[i + 1][j] + getWeight(i - 1, i, j);// 这⾥实际上就是k=i// t[i][j] = t[i][i] + t[i + 1][j] + getWeight(i - 1, i, j)s[i][j] = i;// i-1,i,j// 循环k，范围是[i+1,j-1]，求出最⼩的t[i][j]for (int k = i + 1; k < j; k++) {// k是i和j之间的中间顶点int u = t[i][k] + t[k + 1][j] + getWeight(i - 1, k, j);// 以k作为划分得到的权值if (u < t[i][j]) {// 如果权值更⼩，那么同时更新t[i][j]和s[i][j]t[i][j] = u;s[i][j] = k;}}}}}// 我的写法，在第⼆个循环这⾥不同，没有什么差别，只是我易于我理解public void minWeightTriangulation2(int n, int[][] t, int[][] s) {// 初始化所有的⼆顶点多边形权值为0for (int i = 1; i <= n; i++) {t[i][i] = 0;}// 循环求解t[i][j]for (int r = 1; r <= n; r++) {// r=(j-i)的范围[1,n]// 当r=1时，循环实际上是在给t赋边的值，即相邻的两个顶点的权值，例如t[1][2],t[2][3],t[3][4]... for (int i = 1; i <= n - r; i++) {// i的范围[1,n-r]，这⾥i要保证 j=i+r<=nint j = i + r;t[i][j] = t[i + 1][j] + getWeight(i - 1, i, j);// 这⾥实际上就是k=i// t[i][j] = t[i][i] + t[i + 1][j] + getWeight(i - 1, i, j)s[i][j] = i;// i-1,i,j// 循环k，范围是[i+1,j-1]，求出最⼩的t[i][j]for (int k = i + 1; k < j; k++) {// k是i和j之间的中间顶点int u = t[i][k] + t[k + 1][j] + getWeight(i - 1, k, j);// 以k作为划分得到的权值if (u < t[i][j]) {// 如果权值更⼩，那么同时更新t[i][j]和s[i][j]t[i][j] = u;s[i][j] = k;}}}}}// 计算⼀个三⾓形的权值之和public int getWeight(int i, int j, int k) {return weight[i][j] + weight[j][k] + weight[i][k];}public int getN() {return n;}public void setN(int n) {this.n = n;}public int[][] getWeight() {return weight;}public void setWeight(int[][] weight) {this.weight = weight;}}五、代码运⾏结果截图。
《算法分析与设计》期末考试复习题纲(完整版)
《算法分析与设计》期末复习题一、选择题1.算法必须具备输入、输出和（ D ）等4个特性。
A．可行性和安全性 B．确定性和易读性C．有穷性和安全性 D．有穷性和确定性2.算法分析中，记号O表示（ B ），记号Ω表示（ A ）A.渐进下界B.渐进上界C.非紧上界D.紧渐进界3.假设某算法在输入规模为n时的计算时间为T(n)=3*2^n。
在某台计算机上实现并完成概算法的时间为t秒。
现有另一台计算机，其运行速度为第一台的64倍，那么在这台新机器上用同一算法在t秒内能解输入规模为多大的问题（ B ）解题方法：3*2^n*64=3*2^xA．n+8 B．n+6C．n+7 D．n+54.设问题规模为N时，某递归算法的时间复杂度记为T(N)，已知T(1)=1，T(N)=2T(N/2)+N/2，用O表示的时间复杂度为（ C ）。
A．O(logN) B．O(N)C．O(NlogN) D．O(N²logN)5.直接或间接调用自身的算法称为（ B ）。
A．贪心算法 B．递归算法C．迭代算法 D．回溯法6.Fibonacci数列中，第4个和第11个数分别是（ D ）。
A．5，89 B．3，89C．5，144 D．3，1447.在有8个顶点的凸多边形的三角剖分中，恰有（ B ）。
A．6条弦和7个三角形 B．5条弦和6个三角形C．6条弦和6个三角形 D．5条弦和5个三角形8.一个问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征是问题的（ B ）。
A．重叠子问题 B．最优子结构性质C．贪心选择性质 D．定义最优解9.下列哪个问题不用贪心法求解（ C ）。
A．哈夫曼编码问题 B．单源最短路径问题C．最大团问题 D．最小生成树问题10.下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（ B ）。
A．备忘录法 B．动态规划法C．贪心法 D．回溯法11.下列算法中不能解决0/1背包问题的是（ A ）。
A．贪心法 B．动态规划C．回溯法 D．分支限界法12.下列哪个问题可以用贪心算法求解（ D ）。
凸多边形的最优三角剖分
t[3][5]=t[3][3]+t[4][5]+w(2,3,5)=17
(c)r=4时j=i+r-1 t[1][4]=t[1][1]+t[2][4]+w(0,1,4)=18 (v0v1v4和v2v3v4和v1v2v4)
t[2][5]=t[2][2]+t[3][5]+w(1,2,5)=25 (v2v3v4和v2v4v5和v1v2v5)
一个表达式的完全加括号方式对应于一棵完全二叉树， 人们称这棵二叉树为表达式的语法树。例如，与完全加括 号的矩阵链乘积((A1(A2A3))(A4(A5A6)))相对应的语法树如 图2(a)所示。
v0
A1 v1 A1 A2 A3 A4 A5 A2 A3 (b)
v5
A5 v4 A4 v3
v2 (a) 图2 表达式语法树与三角剖分的对应 图1(a)中凸多边形的三角剖分可用图2(b)所示的语法树来表示。该语法 树的根结点为边v0v6，三角剖分中的弦组成其余的内部结点。多边形中除 v0v6边外的每一条边是语法树的一个叶结点。树根v0v6是三角形v0v3v6的一 条边，该三角形将原多边形分为3个部分：三角形v0v3v6，凸多边形{v0 ,v1 ,… ,v3}和凸多边形{v3 ,v4 ,… ,v6}。三角形v0v3v6的另外两条边， 即弦v3v6和v0v3为根的两个儿子。以它们为根的子树分别表示凸多边形{v0 ,v1 ,… ,v3}和凸多边形{v3 ,v4 ,… ,v6}的三角剖分。
问题相关定义
（1）凸多边形的三角剖分：将凸多边形分割成互不相交
的弦的集合T。
（2）最优剖分：给定凸多边形P，以及定义在由多边形的
边和弦组成的三角形上的权函数w。要求确定该凸多边形
2022年职业考证-软考-软件设计师考试全真模拟专项剖析AB卷(带答案)试卷号：11
2022年职业考证-软考-软件设计师考试全真模拟专项剖析AB卷（带答案）一.综合题(共15题)1.单选题Python 语言的特点不包括（）。
问题1选项A.跨平台、开源B.编译型C.支持面向对象程序设计D.动态编程【答案】B【解析】本题考查python相关问题。
python语义的特点：跨平台、开源、简单易学、面向对象、可移植性、解释性、开源、高级语言、可扩展性、丰富的库、动态编程等等综上所述B选项错误，python不是编译型语言，而是解释型语言。
2.案例题阅读下列说明和代码，回答问题1和问题2，将解答写在答题纸的对应栏内。
【说明】凸多边形是指多边形的任意两点的连线均落在多边形的边界或内部。
相邻的点连线落在多边形边界上，称为边；不相邻的点连线落在多边形内部，称为弦。
假设任意两点连线上均有权重，凸多边形最优三角剖分问题定义为：求将凸多边形划分为不相交的三角形集合，且各三角形权重之和最小的剖分方案。
每个三角形的权重为三条边权重之和。
假设N个点的凸多边形点编号为V1,V2,……,VN,若在VK处将原凸多边形划分为一个三角形V1VkVN，两个子多边形V1,V2,…,Vk和Vk,Vk+1,…VN，得到一个最优的剖分方案，则该最优剖分方案应该包含这两个子凸边形的最优剖分方案。
用m[i][j]表示带你Vi-1,Vi,…Vj构成的凸多边形的最优剖分方案的权重，S[i][j]记录剖分该凸多边形的k值。
则其中：W(Vi-1VkVj)=Wi-1,k＋Wk,j＋Wj,i-1为三角形Vi-1VkVj的权重，Wi-1,k,Wk,j，Wj,i-1分别为该三角形三条边的权重。
求解凸多边形的最优剖分方案，即求解最小剖分的权重及对应的三角形集。
[C代码]＃include＜stdio.h＞＃define N 6 //凸多边形规模int m[N＋1] [N＋1]; //m[i][j]表示多边形Vi-1到Vj最优三角剖分的权值int S[N＋1] [N＋1]； //S[i][j]记录多边形Vi-1到Vj最优三角剖分的k值int W[N＋1] [N＋1]； //凸多边形的权重矩阵，在main函数中输入/*三角形的权重a，b，c，三角形的顶点下标*/int get_ triangle_weight（int a，int b，int c）{return W[a][b]＋W[b][c]＋W[c][a];}/*求解最优值*/void triangle_partition(){int i,r,k,j;int temp;/*初始化*/for(i=1;i{ /*r为子问题规模*/for(i=1;k {（2）;m[i][j]= m[i][j]+m[i+1][j]+get_triangle_weight(i-1,i,j); /*k=j*/S[i][j]=i;for(k=j+1;k { /*计算 [i][j]的最小代价*/temp=m[i][k]+m[k+1][j]+ge_triangle_ weight(i-1,k,j);if((3)){ /*判断是否最小值*/m[i][j]=temp;S[i][j]=k;}}}}}/*输出剖分的三角形i，j：凸多边形的起始点下标*/void print_triangle(int i,int j){if(i==j) return;print_triangle(i,S[i][j]);print_ triangle((4));print(“V%d- -V%d- -V%d\n“,i-1,S[i][j],j);}【问题1】（8分）根据题干说明，填充C代码中的空（1）~（4）。
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【题目名称、来源】
凸多边形最优三角剖分(duobian2.pas/in/out)
在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，可以把多边形剖分成若干个三角形。
现在的任务是输入凸多边形的边数N，和任意两个点的对角线长度L(i,j)，求一种剖分方案，使所有对角线长度之和最小。
例如当n＝7时，下面两个图就是两种不同的剖分方案。
输入：
n
L11 L12 L13 (1)
L21 L22 L23 (2)
……
Ln1 Ln2 Ln3……Lnn
输出：
最小对角线的和
【问题描述】
游艇路线设计
在某个公园中有一个圆形的湖，公园的管理人员准备开发一个游艇飞渡旅游项目，该项目要在沿湖的岸边建立若干个游艇出发点，游艇可以固定在某两个游艇出发点之间高速来回飞驶。
因为速度比较高，所以设计游艇的飞渡路线时一定不能使路线有交叉点。
你的任务是在给定出发点个数和任意两个出发点之间距离后，设计出一种游艇飞渡的路线方案，在路线条数最多的前提下，使路线总长度最小，因为这样可以节约汽油费。
例如，如果要在湖的周围建立5个出发点，出发点之间的距离为L(1,2)=4 L(1,3)=7
L(1,4)=7 L(1,5)=4 L(2,3)=4 L(2,4)=7 L(2,5)=6 L(3,4)=4 L(3,5)=6 L(4,5)=4
很明显，图中最多有7条游艇飞渡线路，总的路线长度＝3+3+3+4+4+6+6=29
输入：
n
L11 L12 L13 (1)
L21 L22 L23 (2)
……
Ln1 Ln2 Ln3……Lnn 输出：
最小总路线长度【所属专题】
【适合学习阶段】
【解题思路】
问题分析：
存储结构：【测试数据】
【源程序】。