时域和频域法计算4点卷积
第六章信号与系统的时域和频域特性
x(t)e j0t X ( j( 0 )) ——移频特性
7. Parseval 定理:
若 x(t) X ( j) 则
x(t) 2 dt 1 X ( j) 2d
2
这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以
在频域求得。由于 X ( j) 2表示了信号能量在频域的 分布，因而称其为“能量谱密度”函数。
yt由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过lti系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的频率响应
4.5 周期信号的傅里叶变换：
（ The Fourier Transform for periodic signals ） 至此，周期信号用傅里叶级数、非周期信号用傅里
若 x(t) X ( j) 则
dx(t) jX ( j) (可将微分运算转变为代数运算) dt
t (将 x(t) 1 X ( j)e jtd 两边对 微分即可证明)
2
t x( )d 1 X ( j) X (0) ()
j
——时域积分特性
cos 0t
1 [e j0t 2
e
j0t
]
X ( j) [ ( 0 ) ( 0 )]
X ( j)
0 0 0
例3： x(t) (t nT ) n
x(t)
X ( j)
(1)
t
2T T 0 T 2T
( 2 ) T
根据卷积特性，在频域有: Y ( j) X ( j)H ( j) • 频域分析的步骤：
时域卷积和频域卷积转换公式
时域卷积和频域卷积转换公式时域卷积和频域卷积是数字信号处理中常用的两种卷积方法。
它们可以互相转换，以便在不同的领域中进行信号处理。
时域卷积是指在时域中对两个信号进行卷积运算。
假设有两个信号x(t)和h(t)，它们在时域中的卷积运算可以表示为y(t) = x(t) * h(t)。
其中，*表示卷积运算。
卷积运算的计算公式如下：y(t) = ∫[x(τ) * h(t-τ)] dτ这个公式表示了在时域中的卷积运算，其中τ是一个积分变量，用来表示h(t)信号在时间轴上与x(t)信号相互叠加的位置。
频域卷积是指将时域信号转换为频域信号后进行卷积运算。
假设有两个信号X(f)和H(f)，它们在频域中的卷积运算可以表示为Y(f) = X(f) × H(f)。
其中，×表示点乘运算。
频域卷积的计算公式如下：Y(f) = X(f) × H(f)这个公式表示了在频域中的卷积运算。
在频域中进行卷积运算的好处是可以通过快速傅里叶变换（FFT）等算法，提高卷积运算的效率。
将时域卷积转换为频域卷积可以通过傅里叶变换实现。
具体步骤如下：1. 对信号x(t)和h(t)分别进行快速傅里叶变换，得到它们在频域中的表示X(f)和H(f)。
2. 将X(f)和H(f)相乘，得到频域中的卷积结果Y(f)。
3. 对Y(f)进行逆傅里叶变换，得到在时域中的卷积结果y(t)。
将频域卷积转换为时域卷积可以通过逆傅里叶变换实现。
具体步骤如下：1. 对信号X(f)和H(f)分别进行逆傅里叶变换，得到它们在时域中的表示x(t)和h(t)。
2. 将x(t)和h(t)进行卷积运算，得到时域中的卷积结果y(t)。
通过时域卷积和频域卷积的转换，我们可以在不同的领域中选择合适的方法进行信号处理，以满足不同的需求和要求。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的卷积方法可以提高计算效率和信号处理的质量。
数字信号处理知识点总结
数字信号处理知识点总结《数字信号处理》辅导一、离散时间信号和系统的时域分析 （一） 离散时间信号（1）基本概念信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。
连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。
模拟信号：是连续信号的特例。
时间和幅度均连续。
离散信号：时间上不连续，幅度连续。
常见离散信号——序列。
数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。
（2）基本序列（课本第7——10页）1）单位脉冲序列 1,0()0,0n n n δ=⎧=⎨≠⎩2）单位阶跃序列 1,0()0,0n u n n ≥⎧=⎨≤⎩3）矩形序列 1,01()0,0,N n N R n n n N ≤≤-⎧=⎨<≥⎩ 4）实指数序列 ()n a u n5）正弦序列 0()sin()x n A n ωθ=+ 6）复指数序列 ()j n n x n e e ωσ= （3）周期序列1）定义：对于序列()x n ，若存在正整数N 使()(),x n x n N n =+-∞<<∞ 则称()x n 为周期序列，记为()x n ，N 为其周期。
注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页）2）周期序列的表示方法： a.主值区间表示法 b.模N 表示法 3）周期延拓设()x n 为N 点非周期序列，以周期序列L 对作()x n 无限次移位相加，即可得到周期序列()x n ，即()()i x n x n iL ∞=-∞=-∑当L N ≥时，()()()N x n x n R n =当L N <时，()()()N x n x n R n ≠（4）序列的分解序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M ，任何序列()x n 都可以分解成关于/2c M =共轭对称的序列()e x n 和共轭反对称的序列()o x n 之和，即()()(),e o x n x n x n n =+-∞<<∞并且1()[()()]2e x n x n x M n *=+-1()[()()]2o x n x n x M n *=--（4）序列的运算 1）基本运算2）线性卷积：将序列()x n 以y 轴为中心做翻转，然后做m 点移位，最后与()x n 对应点相乘求和——翻转、移位、相乘、求和定义式：1212()()()()()m y n x m x n m x n x n ∞=-∞=-=*∑线性卷积的计算：A 、图解B 、解析法C 、不进位乘法（必须掌握）3）单位复指数序列求和（必须掌握）/2/2/2/2/2/21/2/2/2/2/2/2(1)/21()()/(2)1()()/(2)sin(/2)sin(/2)j N j N j N j N j N j N j N N j nj j j j j j j n j N e e e e e e e j ee e e e e e e j N e ωωωωωωωωωωωωωωωωωω------------=-----===---=∑如果2/k N ωπ=，那么根据洛比达法则有sin(/2)(0)(0)(()())sin(/2)N N k N N k N ωδδω===或可以结合作业题3.22进行练习（5）序列的功率和能量能量：2|()|n E x n ∞=-∞=∑功率：21lim |()|21NN n NP x n N →∞=-=+∑（6）相关函数——与随机信号的定义运算相同（二） 离散时间系统1．系统性质 （1）线性性质定义：设系统的输入分别为1()x n 和2()x n ，输出分别为1()y n 和2()y n ，即1122()[()],()[()]y n T x n y n T x n ==统的输对于任意给定的常数a、b ，下式成立1212()[()()]()()y n T ax n bx n a y n by n =+=+则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。
(完整word版)离散傅里叶变换(DFT)试题汇总
第一章离散傅里叶变换（DFT ）3.1 填空题（1） 某序列的DFT 表达式为∑-==1)()(N n knM W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。
解：N ；Mπ2 （2）某序列DFT 的表达式是∑-==10)()(N k klM W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。
解： NM π2（3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。
解：纯实数、偶对称（4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为252)1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 ；系统的稳定性为 。
系统单位冲激响应)(n h 的初值为 ；终值)(∞h 。
解： 2,2121-=-=z z ；不稳定 ；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1-z 代表的物理意义是 ，其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是 ；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是 。
解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k Nk πω2=（6）已知}{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和][n h 的5点循环卷积为 。
解：{}]3[]2[][][][][---+⊗=⊗k k k k x k h k x δδδ{}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x（7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--===k n h k n x 则][][n h n x 和的4点循环卷积为 。
3-4卷积定理和相关定理
0
τ
0 -2+t t
τ
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②相关： 12 (t ) = ∫ 相关： R
+∞
−∞
f 1 (τ ) f 2 (τ − t )dτ
t < −3
0 t +2 ∫−1 (τ − t + 2) dτ f1 (t ) ∗ f 2 ( −t ) = 1 ∫ (τ − t + 2)dτ t 0
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3.4 卷积定理和相关定理
• 卷积定理 • 相关定理（6.6、6.7节）
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一、卷积定理
1．时域卷积定理 f1 (t ) ↔ F1 (ω ), f 2 (t ) ↔ F2 (ω ) ．
R12 (τ ) = ∫ f 1 (t ) f 2 (t − τ )dt = ∫ f 1 (t + τ ) f 2 (t )dt
−∞ −∞ +∞ +∞ +∞ +∞
R21 (τ ) = ∫ f 1 (t − τ ) f 2 (t )dt = ∫ f 1 (t ) f 2 (t + τ )dt
−∞ −∞
+∞ +∞
1 2π
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3．利用频域卷积定理求傅立叶变换 ． [例1]： f (t ) = G2 (t ) cos( t ) 的傅立叶变换 例 ： 2 1 π 解：ℱ[ f (t )] = ℱ[cos t ] ∗ ℱ[G2 (t )] 2π 2 1 π π = π [δ (ω − ) + δ (ω + )] ∗ 2Sa(ω ) 2π 2 2
3.8 卷积特性(卷积定理)
一、时域抽样
FT [ f s (t )] = Fs (ω ) FT [ f (t )] = F (ω ) FT [ p (t )] = P(ω )
f s (t ) = f (t ) p ((ω ) P(ω ) 2π
P(ω) = 2π ∑Pδ (ω nωs ) n
π π πt FT [cos( )] = π [δ (ω + ) + δ (ω )] τ τ τ
2
2
1 πt F (ω ) = G (ω ) FT [cos( )] 2π τ
G (ω ) = Eτ Sa (
ωτ
2
)
πt π π FT [cos( )] = π [δ (ω + ) + δ (ω )] τ τ τ
1
ω1 ω 0
0 ω2 ω0
ω0
2ω 0 ω 0 + ω1 ω 0 + ω 2
ω
10
ω2 ω0
ω1
ω1
ω0
ω2
1 FT[ f (t) cosω1t] = [F(ω +ω1) + F(ω ω1)] 2
1 2
ω1 ω 2 2 ω 1 ω 1 ω1 ω 2
0
ω 2 ω1 ω 1
2 ω 1 ω1 + ω 2
6
∫
∞
∞
F (ω )
2 sin ω
ω
e
j 2ω
dω = ?
F (ω) = F(ω) 1
2sin ω
ω
e j 2ω
f1(t) = f (t) FT 1[2Sa(ω)e j 2ω ]
∫
∞
∞
F(ω)
1
2sin ω
数字信号处理作业-2012
《数字信号处理Ⅰ》作业姓名：学号：学院：2012 年春季学期第一章 时域离散信号和时域离散系统月 日一 、判断：1、数字信号处理和模拟信号处理在方法上是一样的。
（ ）2、如果信号的取值和自变量都离散，则称其为模拟信号。
（ ）3、如果信号的取值和自变量都离散，则称其为数字信号。
（ ）4、时域离散信号就是数字信号。
（ ）5、正弦序列都是周期的。
（ ）6、序列)n (h )n (x 和的长度分别为N 和M 时，则)n (h )n (x *的长度为N+M 。
（ ）7、如果离散系统的单位取样响应绝对可和，则该系统稳定。
（ ）8、若满足采样定理，则理想采样信号的频谱是原模拟信号频谱以s Ω（采样频率）为周期进行周期延拓的结果。
（ ）9、序列)n (h )n (x 和的元素个数分别为21n n 和，则)n (h )n (x *有（1n n 21-+）个元素。
（ ）二、选择1、R N (n)和u(n)的关系为（ ）：A. R N (n)=u(n)-u(n-N)B. R N (n)=u(n)+u(n-N)C. R N (n)=u(n)-u(n-N-1)D. R N (n)=u(n)-u(n-N+1)2、若f(n)和h(n)的长度为别为N 、M ，则f(n)*h(n)的长度为 （ ）： A.N+M B.N+M-1 C.N-M D.N-M+13、若模拟信号的频率范围为[0，1kHz],对其采样，则奈奎斯特速率为（ ）： A.4kHz B. 3kHz C.2kHz D.1kHz4、LTIS 的零状态响应等于激励信号和单位序列响应的（ ）： A.相乘 B. 相加 C.相减 D.卷积5、线性系统需满足的条件是（ ）：A.因果性B.稳定性C.齐次性和叠加性D.时不变性 6、系统y(n)=f(n)+2f(n-1)(初始状态为0)是（ ）： A. 线性时不变系统 B. 非线性时不变系统 C. 线性时变系统 D. 非线性时变系统7、、若模拟信号的频率范围为[0，Fs],对其采样，则奈奎斯特间隔为（ ）：A.1/4FsB. 1/3FsC.1/2FsD.1/Fs 三、填空题1、连续信号的（ ）和（ ）都取连续变量。
卷积计算方法
卷积计算方法
卷积计算方法是一种数字信号处理技术，通常用于图像处理、语音识别、人工智能等领域。
以下是常见的卷积计算方法：
1. 离散卷积计算：
- 线性卷积：使用滑动窗口将输入信号与卷积核进行逐点相乘，然后将结果求和得到输出的对应点。
- 快速卷积：利用卷积的因果性质和快速傅里叶变换 (FFT)
的性质，通过将输入信号和卷积核进行傅里叶变换、逐点相乘、逆傅里叶变换等步骤来实现。
2. 卷积神经网络计算：
- 前向传播：将输入图像通过一系列的卷积层、激活函数层、池化层、全连接层等操作，最终得到预测结果。
- 反向传播：通过损失函数计算预测结果与真实标签之间的
误差，然后利用链式法则逆向计算各层的梯度，并利用梯度下降法来更新网络的参数。
3. 转换矩阵计算：
- 利用矩阵的乘法运算，将输入信号和卷积核转换成矩阵形式，然后进行矩阵乘法运算，最后再将结果转换回信号形式。
4. 快速卷积计算方法：
- 基于频域：将输入信号和卷积核进行傅里叶变换，然后进
行频域的乘法运算，最后再进行逆傅里叶变换，得到输出信号。
- 基于时域：通过输入信号的循环移位和卷积核的翻转操作，实现快速的卷积计算。
以上方法各有优缺点，适用于不同的应用场景和计算需求。