第107课--三点共线问题
共线定理公式
共线定理公式
共线定理，亦称三点共线定理，是初中数学中的一个重要定理，
是关于三点是否共线的性质的判定条件之一。
本文将详细介绍共线定
理的公式、示例以及实际应用，帮助读者更好地理解和应用该定理。
公式：
三点A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)共线的条件是：S(ABC) = 0，即三角形ABC的面积为0。
其中，S(ABC)可以通过以下公式计算：S(ABC) = 1/2 * |x1(y2-
y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)|
示例：
想要判断三点A(2,3)，B(4,6)，C(6,9)是否共线，可以按照以下
步骤进行计算：
1. 根据上述公式，计算出S(ABC) = 1/2 * |2(6-9) + 4(9-3) +
6(3-6)|
2. 化简得S(ABC) = 0，因此A、B、C三点共线。
实际应用：
共线定理的应用十分广泛，特别是在地理、工程等领域中。
例如，在勘测测量中，需要确定三个测站是否在同一直线上，在道路、桥梁
等工程施工中，需要确定支撑点或者桥梁的位置是否合理，都可以使用共线定理来进行判断。
此外，共线定理还可以用于对于二次函数图像的性质进行判断。
关于 y = ax^2+bx+c 的二次函数图像，若存在三个不同的横坐标x1，x2，x3，使得它们对应的纵坐标y1，y2，y3 满足共线条件，那么该函数对应的图像一定经过共线点，即可作为判断二次函数是否有零点等的依据。
总之，共线定理是数学中一个基本而重要的定理，我们可以通过公式的运用和示例的理解，将其应用到实际问题中，并帮助我们更好地解决问题，提高我们对于问题解决的能力。
三点共线、线共点
MC 第三讲点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理 的应用。
1.点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线：证明两点的连线 必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。
力（心4）点共线可转化为三点 共线。
例1如图，设线段初的中点为G BFCG 。
乂作平行四边形67彻, 以M 和 伪为对角线作平行四边形力应D CGKE.求证：H. G &三点共线。
证连必；DG. HB 。
山题意，AD£EC£KG,知 平行四边形，于是恥％。
同 四边形肋弘是平行四边形， 互相平分。
而。
是曲中点， 故久G 〃三点共线。
例2如图所示，菱形個⑦中，ZJ=120° , ©0为△/!庞外接圆，〃为其上一 点，连接必交曲于£ 劝交3延长线于斤 求证：A E,尸三点共线。
CF _ CFMA ~CA~~CD乂因为AAMOBAC.所以△ AMC^^EAC.得MC AC AD证如图，连月G DF 、DE 。
因为弭在©0上， 则 Z&炉60° 二ZABUZACB, 有△如ezum 得四边形AKGD 是 样可证AK 邑HB 。
其对角线月S KH 线段胡过C 点，BF, P ，肋与 虑的延长线交于点III Q 作该圆的两条切线他和0；切点分 别为£ F 。
求证：P, E, F 三点共线。
证 如图。
连接尸@并在〃上取一点必使得B, C, 尸四点共圆，连QA 欣设厅与圆的另一交点为F ,并作％丄 PF,垂足为G 。
易如QE 二 QM ・ QKQC ・ QB ①APMOAABOAPDQ.从而G D, 0, %四点共圆，于是PM ・PgPC ・PD ②由①，②得PM ・ P3Q\I ・ PgPC ・ PD^QC ・ QB 、 艮卩PgQC • Q 陕PC ・PD.易知 PD ・ PUPE' ・ PF, 乂 QF 二QC ・ QB 、有PE'・ PHQF 二PD ・ PC+QC ・ AB=P©,即欣'・P &P Q-Q F 。
三点共线公式范文
三点共线公式范文三点共线指的是三个点所构成的直线，任意两点与第三点连线，都在同一直线上。
三点共线的判定方法和公式有以下几种。
1.行列式法：设三个点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，我们要判断A、B、C 三点是否共线，可以计算向量AB、向量AC的叉乘，即：x1y11x2y21，=0x3y31如果计算的结果等于0，说明三点共线；如果计算结果不等于0，说明三点不共线。
2.斜率法：如果三个点A、B、C在同一直线上，则连线AB、BC的斜率相等。
根据两点之间连线的斜率公式：斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)我们可以计算出两个斜率：k1=(y2-y1)/(x2-x1)，k2=(y3-y2)/(x3-x2)，如果k1=k2，说明三点共线；如果k1≠k2，说明三点不共线。
需要注意的是，当x2=x1时，斜率不存在，此时我们需要特别判断y2=y1是否成立。
同理，当x3=x2时，斜率不存在，此时我们需要特别判断y3=y2是否成立。
如果两个特殊情况成立，即三个点共线。
3.面积法：设三个点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，如果三个点共线，则△ABC的面积为0。
根据面积公式：△ABC=，1/2*(x1*(y2-y3)+x2*(y3-y1)+x3*(y1-y2))如果计算的面积等于0，说明三点共线；如果面积不等于0，说明三点不共线。
这三种方法可以判断三个点是否共线，其中行列式法的判断最为直观和准确，而斜率法和面积法则更加简单易懂。
接下来，我们用更多的字数来详细解释三点共线的原理和应用。
三点共线是解析几何中的基本概念，对于几何问题的研究起到了重要作用。
在平面直角坐标系中，每个点可以由其横坐标和纵坐标表示，也就是由(x,y)决定。
如果三个点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)在同一直线上，我们可以用其中一点到另外两个点的斜率来判定。
斜率定义为两点间纵坐标之差与横坐标之差的比值。
3点共线的条件
3点共线的条件共线是指三个或更多个点位于同一直线上。
在几何学中，我们可以通过以下三个条件来判断三个点是否共线：一、三点共线的基本条件是斜率相等或者两点之间的斜率相等。
对于三个不同的点A（x₁, y₁）、B（x₂, y₂）和C（x₃, y₃），如果斜率AB =斜率BC则可以得出结论A、B和C共线。
换句话说，如果两个线段的斜率相等，则它们与第三个点的连线也必然在同一条直线上。
二、叉积为零也是三点共线的一个重要条件。
设有三个不同的点A （x₁, y₁）、B（x₂, y₂）和C（x₃, y₃），我们可以计算以A和B为向量的叉积（AB × BC）。
如果叉积为零，则表示A、B和C三点共线。
叉积的计算公式为：(x₂ - x₁) * (y₃ - y₁) - (x₃ - x₁) * (y₂ - y₁)如果该计算结果等于零，则可以得出结论A、B和C共线。
三、三点共线的另一种判定方法是使用面积比较法。
设有三个不同的点A（x₁, y₁）、B（x₂, y₂）和C（x₃, y₃），我们可以计算以A、B和C为顶点的三角形的面积。
如果该三角形的面积为零，则表示A、B和C三点共线。
面积计算公式为：0.5 * abs((x₁ * y₂ + x₂ * y₃ + x₃ * y₁) -(y₁ * x₂ + y₂ * x₃ + y₃ * x₁))如果该计算结果等于零，则可以得出结论A、B和C共线。
这三个判定条件其实是等价的，即如果一个条件成立，则另外两个条件也必然成立。
因此，只需要满足其中一个条件即可判断三个点是否共线。
对于三点共线的直观理解，我们可以想象一个长串的项链。
无论我们选取其中的任意三个珠子，它们肯定是在同一条线上的。
同样地，当我们观察地球上的三个城市，无论这三座城市的位置如何，它们肯定也是共线的。
三点共线在几何学中具有重要的应用。
在平面几何中，共线的三个点可以定义一条直线。
这在勾股定理、二次函数图像的描绘以及直线和曲线的相交问题等等中起到了基础性的作用。
三点共线斜率关系
三点共线斜率关系
摘要：
1.引言：三点共线斜率关系的概念
2.三点共线斜率关系的推导
3.三点共线斜率关系的应用
4.结论：三点共线斜率关系的重要性
正文：
【引言】
在几何学中，三点共线是指三个点在同一个直线上。
而斜率是用来描述直线倾斜程度的物理量。
那么，三点共线与斜率之间存在怎样的关系呢？接下来，我们将探讨这个问题。
【三点共线斜率关系的推导】
假设三个点A、B、C的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）和（x3，
y3）。
如果这三个点共线，那么线段AB和线段AC的斜率相等，即：k_AB = (y2 - y1) / (x2 - x1)
k_AC = (y3 - y1) / (x3 - x1)
由此可得：
(y2 - y1) / (x2 - x1) = (y3 - y1) / (x3 - x1)
整理得：
y2 * (x3 - x1) - y1 * (x2 - x1) = y3 * (x2 - x1) - y1 * (x3 - x1)
【三点共线斜率关系的应用】
1.判断三点是否共线：通过计算三个线段的斜率，判断它们是否相等。
如果相等，则三点共线；否则，三点不共线。
2.求解直线方程：已知三点共线且知道其中两点的坐标，可以利用三点共线斜率关系求解第三个点的坐标。
然后，根据两点式求解直线方程。
【结论】
三点共线斜率关系在几何学中具有重要意义。
它不仅可以帮助我们判断三点是否共线，还可以求解直线方程。
掌握这个关系对于解决几何问题具有很大的实用价值。
解析几何三点共线
解析几何三点共线
三点共线，数学中的一种术语，属几何类问题，指的是三点在同一条直线上。
可以设三点为A、B、C ，利用向量证明：λAB=AC （其中λ为非零实数）。
简述
三点共线的意思：三点在同一条直线上。
证明方法
方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式 .代入第三点坐标看是否满足该解析式（直线与方程）.
方法二：设三点为A、B、C .利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）.
方法三：利用点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线.
方法四:用梅涅劳斯定理.
方法五：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”.可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线[3]。
方法六：运用公（定）理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”.其实就是同一法.
方法七：证明其夹角为180°.
方法八：设A B C ，证明△ABC面积为0.
方法九：帕普斯定理.
方法十：利用坐标证明。
即证明x1y2=x2y1.
方法十一：位似图形性质.
方法十二：向量法，即向量PB=λ向量PA+μ向量PC，且λ+μ=1，则ABC三点共线
方法十三：张角定理。
三点共线定理证明过程
三点共线定理证明过程
嘿，朋友们！今天咱来唠唠三点共线定理的证明过程，这可有意思啦！
咱先想象一下，有三个点，就好像三个小伙伴站在那儿。
要证明它们共线，就像是要证明这三个小伙伴站成了一排。
那怎么证明呢？咱可以用向量的方法呀！向量就像是给这三个点装上了小翅膀，能带着我们找到答案呢。
比如说，咱有 A、B、C 这三个点。
那咱就先求出向量 AB 和向量AC 呗。
如果这两个向量之间存在某种特殊的关系，那不就能说明它们在同一条线上啦！
这就好比，你有两根绳子，你得看看它们是不是朝着一个方向直直地伸出去。
如果是，那它们不就共线了嘛！
咱还可以用斜率的方法呢！每个点都有自己的斜率，就好像每个人都有自己独特的性格一样。
要是 A 点到 B 点的斜率和 B 点到 C 点的斜率一样，那它们不就是在同一条线上“奔跑”嘛！
这就好像三个人走路，如果前两个人走的方向和后两个人走的方向一样，那肯定就是一路人呀，不就在一条线上了嘛！
还有一种方法呢，就是通过线段的长度关系。
要是 AB 加 BC 正好等于 AC，那这三个点不就是紧紧挨着在一条线上嘛！
你想想，这就跟拼积木一样，三块积木要是能严丝合缝地拼在一起，那它们肯定是在一条直线上呀！
哎呀，证明三点共线定理的方法是不是很有趣呀！咱通过各种巧妙
的办法，就像侦探破案一样，一点点找到线索，最终证明这三个点是
不是共线。
所以呀，数学并不枯燥，这里面充满了乐趣和惊喜呢！只要我们用
心去探索，就会发现好多好玩的东西。
就像三点共线定理，看似简单，里面却藏着这么多奥秘呢！大家是不是对数学又多了一份喜爱呢？哈哈！。
三点共线的证明方法
三点共线的证明方法
1.向量法证明：设三个点A、B、C的坐标分别为(Ax,Ay)，(Bx,By)，(Cx,Cy)。
首先求出向量AB和向量AC，然后计算这两个向量的叉积。
如
果叉积为0，则说明三个向量共线，即三个点共线。
2.斜率法证明：设A、B、C三个点的坐标分别为(Ax,Ay)，(Bx,By)，(Cx,Cy)。
首先计算直线AB的斜率k1，再计算直线AC的斜率k2、如果
k1等于k2，则说明两条直线重合或平行，即三个点共线。
3.距离法证明：设A、B、C三个点的坐标分别为(Ax,Ay)，(Bx,By)，(Cx,Cy)。
首先计算点A到线段BC的距离d1，再计算点B到线段AC的距
离d2，最后计算点C到线段AB的距离d3、如果d1=d2=d3=0，则说明三
个点共线。
4.合成三角形法证明：设A、B、C三个点的坐标分别为(Ax,Ay)，(Bx,By)，(Cx,Cy)。
可以将三角形ABC分别看作向量AB和向量AC的合成。
如果这两个向量的合成向量与向量BC重合，则说明三个点共线。
5.面积法证明：设A、B、C三个点的坐标分别为(Ax,Ay)，(Bx,By)，(Cx,Cy)。
首先计算以A、B、C为顶点的三角形ABC的面积S1，再计算以A、B、C为顶点的三角形OBC的面积S2，其中O为坐标原点。
如果S1=S2，则说明点A在直线BC上，即三个点共线。
以上是五种常见的三点共线的证明方法。
不同的方法可以根据具体的
题目情况选择使用，有时也可以结合使用多种方法来证明。
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第107课三点共线问题基本方法：三点共线问题解题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，再证明第三点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线.在处理三点共线问题时，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.一、典型例题1．已知椭圆22:12x C y +=，41,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点，若,R S 是椭圆C 上的两个点，线段RS 的中垂线l 的斜率为12且直线l 与RS 交于点P ，O 为坐标原点，求证：,,P O M三点共线．答案：见解析解析：因为线段RS 的中垂线l 的斜率为12，所以直线RS 的斜率为2-.所以可设直线RS 的方程为2y x m =-+.由222,1,2y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2298220x mx m -+-=.设点()11,R x y ，()22,S x y ，()00,P x y .所以1289m x x +=，()1212128222222299m m y y x m x m x x m m +=-+-+=-++=-⋅+=.所以120429x x m x +==，12029y y m y +==.因为0014y =，所以0014y x =.所以点P 在直线14y x =上.又点()0,0O ，41,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭也在直线14y x =上，所以,,P O M 三点共线.2．已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率e =过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥ ，求m 的取值范围；（3）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：（1）2215x y +=；（2）805m <<；（3）在x 轴上存在定点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得C 、B 、N 三点共线．解析：（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意1b =，又e ===，∴25a =，故椭圆方程为2215x y +=．（2）由（1）得右焦点(2,0)F ，则02m ≤≤，设l 的方程为(2)y k x =-（0k ≠）代入2215x y +=，得2222(51)202050k x k x k +-+-=，∴220(1)0k ∆=+>，设1122(,),(,),A x yB x y 则21222051k x x k +=+，212220551k x x k -=+，且1212(4)y y k x x +=+-，2121()y y k x x -=-．∴11221212(,)(,)(2,)MA MB x m y x m y x x m y y +=-+-=+-+ ，2121(,)AB x x y y =-- ，由()MA MB AB +⊥ ，得()0MA MB AB +⋅= ，则12211221()(2)()()()0MA MB AB x x m x x y y y y +⋅=+--++⋅-= ，即12211221(2)()(4)()0x x m x x k x x k x x +--++-⋅-=，即2222220202(4)05151k k m k k k -+-=++，得2085m k m =>-，所以805m <<，∴当805m <<时，有()MA MB AB +⊥ 成立．（3）在x 轴上存在定点N ，使得C 、B 、N 三点共线．依题意11(,)C x y -，直线BC 的方程为211121()y y y x x y x x +=---，令0y =，则121122112121()N y x x y x y x x x y y y y -+=+=++， 点,A B 在直线:(2)l y k x =-上，∴1122(2),(2)y k x y k x =-=-，∴122112************(2)(2)22()(2)(2)()4N y x y x k x x k x x kx x k x x x y y k x k x k x x k +-⋅+-⋅-+===+-+-+-222222205202255151220451k k k k k k k k k k -⋅-⋅++==⋅-+，∴在x 轴上存在定点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得C 、B 、N 三点共线．二、课堂练习1．抛物线2:4C y x =，已知斜率为k 的直线l 交y 轴于点P ，且与曲线C 相切于点A ，点B 在曲线C 上，且直线PB x 轴，P 关于点B 的对称点为Q ，判断点,,A Q O 是否共线，并说明理由.答案：点,,A Q O 共线，理由见解析解析：设直线:l y kx m =+，联立24y x y kx m⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得()222240k x mk x m +-+=(*)由()()2222441610mk m k mk ∆=--=-=，解得1m =，则直线1:l y kx =+，得10,P k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，211,4B k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又P 关于点B 的对称点为Q ，故211,2Q k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时，(*)可化为222120k x x k -+=，解得21x k =，故12y kx k k =+=，即212,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2OA OQ k k k ==，即点,,A Q O 共线.2．已知椭圆22143x y +=，点F 是椭圆的右焦点.是否在x 轴上存在定点D ，使得过D 的直线l 交椭圆于,A B 两点.设点E 为点B 关于x 轴的对称点，且,,A F E 三点共线？若存在，求D 点坐标；若不存在，说明理由.答案：存在定点()4,0D 满足条件，理由见解析解析：由题意易知直线l 斜率不为0.设直线l 方程为x my t =+，(),0D t ，联立22143x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2223463120m y mt y t ++⋅+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,E x y -，则122212263431234mt y y m t y y m -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，且0∆>，由,,A F E 三点共线有()()2112110x y x y -+-=，即()()1212210my y t y y +-+=，()22231262103434t mt m t m m --∴⋅+-⋅=++，解得4t =，∴存在定点()4,0D 满足条件.三、课后作业1.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过点()1,0-，直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .证明：,,B F D 三点共线.解析：依题意，直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为()10x my m =-≠，由214x my y x=-⎧⎪⎨=⎪⎩消去x 整理得2440y my -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()11,D x y -，且12124,4y y m y y +==.又直线BD 的方程为()122221y y y y x x x x +-=--，即2222144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪ ⎪-⎝⎭，令0y =，得1214y y x ==.所以点()1,0F 在直线BD 上，即,,B F D 三点共线.2．已知椭圆:E 22162x y +=，其右焦点为F ，过x 轴上一点()3,0A 作直线l 与椭圆E 相交于,P Q 两点，设(1)AP AQ λλ=> ，过点P 且平行于y 轴的直线与椭圆E 相交于另一点M ，试问,,M F Q 是否共线，若共线请证明；反之说明理由.答案：,,M F Q 三点共线，理由见解析解析：设()11,P x y ，()22,Q x y ，则11(3,)AP x y =- ，22(3,)AQ x y =- ，由已知得方程组()12122211222233162162x x y y x y x y λλ-=-⎧⎪=⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪+=⎪⎩，注意到1λ>，解得2512x λλ-=，因为()()112,0,,F M x y -，所以11211211(2,)((3)1,),,22FM x y x y y y λλλλλ--⎛⎫⎛⎫=--=-+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又22(2,)FQ x y =- 21,2y λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以FM FQ λ=- ，从而三点共线.3．已知椭圆22:1x y E +=，过定点()3,4P -且斜率为k 的直线交椭圆E 于不同的两点,M N ，在线段MN 上取异于,M N 的点H ，满足PMMHPN NH =，证明：点H 恒在一条直线上，并求出这条直线的方程.答案：210x y -+=，证明见解析解析：设()()()112200,,,,,M x y N x y H x y ，由PMMHPN NH =，得01122033x x x x x x -+=+-，整理可得()1212012236x x x x x x x ++=++设直线():3434l y k x kx k =++=++，联立2234132y kx k x y =++⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()()2222363433460k x k k x k +++++-=由题0∆>，∴()12263432k k x x k -++=+，()21223346k x x k +-=+，则22122218241812122463232k k k k x x k k --++-++==++，()()22121222692416125472728423+3232k k k k k x x x x k k ++---++==++，∴072846710312241212k k x k k k++===-+---，而P 在l 上，则001053433411212k y kx k k k k k =++=-+++=-+--，∴00210x y -+=，即H 恒在直线210x y -+=上.。