线性代数教案-向量组及其线性组合

线性代数教学教案第三章 向量组及其线性组合授课序号01教 学 基 本 指 标教学课题 第三章 第一节 向量组及其线性组合 课的类型 新知识课教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 向量组的线性组合、向量组的等价 教学难点 向量由向量组线性表示的判定方法、向量组等价的判定方法参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 理解n 维向量、向量组、向量组的线性组合、向量组等价的概念以及向量组与矩阵的对应熟悉向量能由向量组线性表示的判断方法；熟悉向量组B 能由向量组A 线性表示的判断方法和两向量组等价的判断方法。

教 学 基 本 内 容一、 向量的概念及运算：1. 维向量的定义：由个数组成的有序数组称为维向量. 若维向量写成的形式，称为维列向量；若维向量写成的形式，称为维行向量. 这个数称为该向量的个分量，其中称为第个分量．常用…来表示维列向量，而用,…来表示维行向量.当是复数时，维向量称为维复向量，当是实数时，维向量称为维实向量，本书所讨论的向量都是实向量.n n 12,,,n a a a n n 12n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭n n ()12,,,n a a a n n n i a i ,,,αβγn TTT,,αβγn 12,,,n a a a n n 12,,,n a a a n n分量都是零的向量称为零向量，记为，即或.向量称为向量的负向量，记为. 2. 向量的运算：由于向量可看成行矩阵或列矩阵，因此我们可用矩阵的运算来定义向量的运算，也就是：设，，则有（1）； （2）；我们称这两种运算为向量的线性运算. （3）； .二、向量组及其线性组合：向量组：由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组．线性组合：给定维向量组，对于任意一组数，表达式称为该向量组的一个线性组合.0000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0= ()0,0,,00= 12n a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ 12n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α-α1122,n n a b a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αβk ∈R 1122n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭ αβ12n ka ka k ka ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ α()12T 121122,,,n n n n b b a a a a b a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪⎝⎭ αβ()111121221222T 1212,,,n n n n n n n n a a b a b a b a a ba b a b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αβn 12,,,n ααα12,,,n k k k 1122+++n n k k k ααα线性表示：给定维向量组和一个维向量，如果存在一组数，使得，则称向量可由向量组线性表示，或者说向量是向量组的一个线性组合. 定理 1 向量可由向量组（唯一）线性表示的充分必要条件是线性方程组有（唯一）解.三、向量组的等价：向量组由向量组线性表示：设是个维向量组成的向量组，而是个维向量组成的向量组. 如果向量组中每一个向量均可由向量组线性表示，则称向量组可由向量组线性表示.向量组等价：如果向量组与向量组可以相互线性表示，则称向量组与向量组等价. 定理2 设有向量组与向量组. 令矩阵，，则向量组可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵方程有解. 向量组与向量组等价的充分必要条件是矩阵方程与同时有解.四、主要例题：例1 将线性方程组中第个未知量的系数写成一个维列向量，而该方程组的常数也写成一个维列向量n 12,,,n αααn β12,,,n k k k 1122+++n n k k k = βαααβ12,,,n αααβ12,,,n αααβ12,,,n ααα1122+++n n x x x = αααβA B :A 12,,,m αααm n :B 12,,,s βββs n B (1,2,,)j j s = β:A 12,,,m ααα:B 12,,,s βββ:A 12,,,m αααA B A B :A 12,,,m ααα:B 12,,,s βββ()12,,,m A =ααα()12,,,s B =βββB A =AX B A B =AX B =BY A 11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ i i x m ()121,2,,i i i mi a ai n a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭αm，则该方程组也可用向量的形式来表达：.例2 设矩阵，将矩阵与列向量组和行向量组对应. 例3 设向量组，将任一向量由线性表示. 例4 设有向量及向量组，试问能否由线性表示.例5 设向量组， 而，问：向量能否由向量组线性表示？若可以，求出线性表达式。

例6 已知向量组和，证明：向量组可由向量组线性表示.例7 已知向量组和，证明：向量组和向量组等价.12m b bb ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β1122n n x x x β+++= ααα111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A A 12100010,,,001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ e e e 12n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α12,,,n e e e 536⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭α1231011,2,1112-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββα123,,βββ1231230,1,2254-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα547⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ββ123,,ααα1212:1,011A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα123331:1,1,1210B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ123:,,B βββ12:,A αα123111:0,1,2125A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα123101:1,1,0011B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ123:,,A ααα123:,,B βββ授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题 第三章 第二节 向量组的线性相关性 课的类型 新知识课教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段黑板多媒体结合 教学重点 向量组线性相关性的概念、向量组线性相关性的判断教学难点 向量组线性相关性的概念参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 理解向量组线性相关、线性无关的概念；熟悉向量组线性相关、线性无关的判断方法； 理解向量组线性相关性理论的一些主要结论。

教 学 基 本 内 容一、向量组的线性相关与线性无关：线性相关：设有个维向量构成的向量组，如果存在一组不全为零的数，使得，则称向量组线性相关．线性无关：若当且仅当时，才有，则称向量组线性无关.定理1 个维向量构成的向量组线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解；线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解.二、向量组线性相关性的一些重要结论： 定理2 向量组线性相关的充分必要条件是存在某一个向量可由其余向量线性表示.推论1 两个向量线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例.推论2 设向量组是向量组的部分组. 若部分组线性相关，则向量组也线性相关. 推论3 若向量组线性无关，则其部分组也线性无关.m n 12,,,m ααα12,,,m k k k 1122m m k k k +++=0 ααα12,,,m ααα120m k k k ==== 1122m m k k k +++=0 ααα12,,,m αααm n 12,,,m ααα1122m m k k k +++=0 ααα120m k k k ==== ()12,,,2m m ≥ ααα(1)j j m ≤≤α12,ααB A B A A B推论4 设是个维向量组成的向量组，当时该向量组一定线性相关.特别地，个维向量一定线性相关.定理3 设向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量一定能由向量组线性表示，且表示式是唯一的.定理4 如果向量组可由向量组线性表示，并且，则向量组线性相关.推论5 如果向量组可由向量组线性表示，并且向量组线性无关，则.推论6 如果向量组与向量组均线性无关，并且这两个向量组等价，则.二、主要例题：例1 对于向量组，存在一组不全为零的数，使得，所以向量组线性相关. 而对于向量组，对任意一组数，有，显然，当且仅当时，才有，所以向量组线性无关. 例2 证明：任一含有零向量的向量组必定线性相关.12:,,,m A αααm n n m <1n +n 12:,,,m A ααα12:,,,,m A ' αααββ12:,,,m A ααα12,,,s ααα12,,,t βββs t >12,,,s ααα 12,,,s ααα12,,,t βββ12,,,s αααs t ≤12,,,s ααα12,,,t βββs t =1231231,2,5127⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα2,1,0-1231232021205127⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-+=-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0ααα123,,ααα12100010,,,001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e e 12,,,n k k k 12112212100010001n n n n k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e e 120n k k k ==== 1122n n k k k +++=0 e e e 12,,,n e e e例3 设有向量组，判断向量组的线性相关性.例4 已知向量组线性无关，，试证明：向量组也 线性无关.例5 设，，，则，因此线性相关. 而与的分量不对应成比例，与的分量也不对应成比例，从而线性无关，也线性无.例6 已知向量组线性无关，向量组线性相关，证明：向量可由向量组线 性表示.1231212,1,3112⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα123,,ααα123,,ααα112223331,,=+=+=+βααβααβαα123,,βββ1123⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α2369⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α3347⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α213=αα12,αα3α1α3α2α13,αα23,αα123,,ααα234,,ααα4α123,,ααα授课序号03教 学 基 本 指 标教学课题 第三章 第三节 向量组的秩与矩阵的秩 课的类型 复习、新知识课教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段黑板多媒体结合 教学重点 矩阵秩的定义、矩阵秩的求法、向量组秩的定义、向量组秩的求法、矩阵的秩与向量组的秩的关系教学难点 矩阵的秩、向量组的极大无关组、向量组的秩的定义参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题大纲要求 理解向量组的极大无关组的概念、向量组的秩的概念、矩阵秩的概念；理解矩阵的秩与向量组的秩之间的关系；熟练掌握矩阵秩的求法、向量组的秩与极大无关组的求法。