八年级数学二次函数
八年级数学下册综合算式专项练习题二次函数计算
八年级数学下册综合算式专项练习题二次函数计算综合算式专项练习题：二次函数计算一、解二次方程1. 解方程 $3x^2+5x-2=0$。
解：根据二次方程的求解公式，我们有：$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$将方程 $3x^2+5x-2=0$ 与上述公式进行比较，可以得出 $a=3$，$b=5$，$c=-2$。
代入公式，可以计算得出：$$x_1 = \frac{-5+\sqrt{5^2-4 \cdot 3 \cdot(-2)}}{2 \cdot 3} = \frac{-5+\sqrt{49}}{6} = \frac{-5+7}{6}=\frac{1}{3}$$$$x_2 = \frac{-5-\sqrt{5^2-4 \cdot 3 \cdot(-2)}}{2 \cdot 3} = \frac{-5-\sqrt{49}}{6} = \frac{-5-7}{6}=-2$$所以，方程 $3x^2+5x-2=0$ 的解为 $x=\frac{1}{3}$ 和 $x=-2$。
2. 解方程 $2x^2-3x+1=0$。
解：同样，根据二次方程的求解公式，将方程 $2x^2-3x+1=0$ 与公式比较，可知 $a=2$，$b=-3$，$c=1$。
代入公式，可以计算得出：$$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} =\frac{3 \pm \sqrt{1}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4}$$所以，方程 $2x^2-3x+1=0$ 的解为 $x=\frac{1}{2}$ 和 $x=1$。
二、求抛物线的顶点坐标3. 求抛物线 $y=2x^2-4x+3$ 的顶点坐标。
解：对于一般形式的二次函数 $y=ax^2+bx+c$，它的顶点坐标可以通过以下公式计算：$$x=-\frac{b}{2a}$$$$y=-\frac{b^2-4ac}{4a}$$将抛物线 $y=2x^2-4x+3$ 与上述公式进行比较，可知 $a=2$，$b=-4$，$c=3$。
数学《二次函数》优秀教案精选
数学《二次函数》优秀教案精选一、教学内容本节课选自人教版初中数学教材八年级下册第十七章《二次函数》。
具体内容包括：二次函数的定义、图像及性质，以及二次函数在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握二次函数的定义，能熟练绘制二次函数的图像，了解二次函数的性质，并能运用二次函数解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，增强学生的合作意识和探究精神。
三、教学难点与重点1. 教学难点：二次函数图像的性质及其应用。
2. 教学重点：二次函数的定义、图像及性质。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、铅笔、橡皮。
五、教学过程1. 导入：通过展示生活中抛物线的实例，如拱桥、篮球投篮等，引出本节课的研究对象——二次函数。
2. 新课导入：讲解二次函数的定义，板书定义并解释相关术语。
3. 图像绘制：引导学生通过观察、分析、归纳，掌握二次函数图像的绘制方法。
5. 例题讲解：选取具有代表性的例题，讲解解题思路，强调关键步骤。
6. 随堂练习：布置相关练习题，让学生当堂巩固所学知识，及时解答学生疑问。
7. 实践应用：设计实际问题，让学生运用二次函数知识解决问题，提高学生的应用能力。
六、板书设计1. 二次函数定义2. 二次函数图像绘制方法3. 二次函数图像性质4. 例题及解题步骤5. 随堂练习题七、作业设计1. 作业题目：y = x^2，y = 2x^2，y = x^2某公园的拱桥形状为抛物线，桥的最高点距离水面6米，桥长20米，求桥的最低点距离水面的高度。
2. 答案：（1）略（2）最低点距离水面4米八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生掌握了二次函数的定义、图像及性质，但部分学生在绘制图像和解决实际问题时仍存在困难，需要在今后的教学中加强训练。
2. 拓展延伸：引导学生探究二次函数与一次函数、反比例函数的关系，为学习高中阶段的导数知识打下基础。
八年级数学二次函数的解法与应用
八年级数学二次函数的解法与应用二次函数是一种常见的数学函数，其形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
二次函数具有许多重要的性质和特点，求解二次函数的解法和应用十分广泛。
本文将介绍八年级数学中关于二次函数的解法和应用。
一、二次函数的基本概念二次函数是指二次多项式构成的函数，可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c分别为实数，且a不等于0。
其中，a决定了函数的开口方向，正值代表开口向上，负值代表开口向下；b决定了函数的位置，正值表示向左平移，负值表示向右平移；c为函数在原点的纵截距。
二、二次函数的图像与性质二次函数的图像是抛物线，其性质如下：1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），其中f(x)=ax^2+bx+c。
3. 对称轴：抛物线的对称轴为直线x=-b/2a。
4. 零点：即函数的解，即满足f(x)=0的x值。
若Δ=b^2-4ac>0，则有两个不相等的实根；若Δ=0，则有两个相等的实根；若Δ<0，则没有实根。
5. 最值：当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。
6. 判别式：Δ=b^2-4ac，可用于判断二次函数的解的情况。
三、二次函数的解法求解二次函数一般可以通过以下两种方法：1. 因式分解法：适用于二次函数可以因式分解的情况。
将二次函数表示为y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为二次函数的根。
通过求解方程a(x-x1)(x-x2)=0，即可得到解。
2. 公式法：适用于二次函数无法因式分解的情况。
根据二次函数的标准形式，利用求根公式x=(-b±√Δ)/2a进行计算，其中Δ=b^2-4ac为判别式。
四、应用举例1. 题目：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像的顶点坐标为(2,-3)，且经过点(1,0)，求二次函数的解析式和另一个零点坐标。
八年级数学下二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质
1
y ( x 1) 2 1 …
2
再描点连线画图
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5
…
先列表
x
…
1
y ( x 1) 2 1 …
2
再描点画图.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
直线x=－1
思考：
1
2
抛物线 y ( x 1) 1
2
的对称轴、顶点、增减性?
1
y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
-10
y ( x 1) 2 1
2
二次函数
2
y
(
x
1
)
1
y x
(2)抛物线
与
2
2
有什么关系?
y
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
2
直线 x= n-m
称轴_____________________。
1 2
5.若二次函数 y x 经过平移变换
2
后顶点坐标为(-2,3) ,则平移后的函数解
1
2
y ( x 2) 3
析式为_________。
2
6.在平面直角坐标系中，如果抛物线 y 2 x 不动,
2
而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么
人教版八年级数学下册二次函数知识点总结
人教版八年级数学下册二次函数知识点总结本文将对人教版八年级数学下册二次函数知识点进行总结。
主要内容如下：一、二次函数的定义和性质1. 定义：二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c （a≠0）的函数，其中 a、b、c 是常数，a 称为二次函数的系数。
2. 基本性质：- 二次函数的图象为抛物线，开口方向由 a 的正负确定。
- 抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
- 当 a > 0 时，抛物线开口朝上；当 a < 0 时，抛物线开口朝下。
- 当a ≠ 0 时，抛物线的对称轴方程为 x = -b/2a。
二、二次函数的图象1. 抛物线与对称轴：- 抛物线关于对称轴对称。
- 对称轴方程为 x = -b/2a。
2. 抛物线的顶点：- 抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
3. 抛物线的焦点与准线：- 抛物线的焦点为 (p, q)，其中 p = -b/2a 且 q = c - b^2/4a。
- 抛物线的准线为 y = q。
4. 抛物线的开口方向：- 当 a > 0 时，抛物线开口朝上；当 a < 0 时，抛物线开口朝下。
三、二次函数的判别式和根的情况1. 判别式 D = b^2 - 4ac：- 若 D > 0，则二次函数有两个不相等的实根。
- 若 D = 0，则二次函数有两个相等的实根。
- 若 D < 0，则二次函数没有实根。
2. 根的情况：- 当 D > 0 时，二次函数的两个根分别为 x1 = (-b + √D) / (2a) 和x2 = (-b - √D) / (2a)。
- 当 D = 0 时，二次函数的解为 x = -b / (2a)。
- 当 D < 0 时，二次函数没有实根。
四、二次函数的应用1. 二次函数在物理学、经济学等领域有广泛的应用，例如：- 抛射运动的轨迹方程。
- 成本函数、收入函数等的建模。
- 其他需要模拟抛物线等曲线的问题。
八年级数学二次函数知识点
八年级数学二次函数知识点二次函数是初中数学中比较重要的一章，主要研究形如y=ax²+bx+c（a≠ 0）这样的函数。
下面我们来了解一下八年级数学二次函数的知识点。
一、二次函数的图像二次函数的图像通常为一条抛物线，开口方向由二次函数的系数a决定。
当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的轴对称线二次函数的图像是对称的，称为轴对称。
轴对称线是图像上的一条直线，将图像分成两个完全相同的部分。
轴对称线的方程为x=-b/2a。
三、二次函数的零点二次函数与x轴的交点称为零点，也可称为根。
一般地，二次函数有两个零点，可用求根公式(-b±√(b²-4ac))/2a来计算。
若b²-4ac<0，则二次函数没有实数根，也就是没有与x轴相交的点。
四、二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值为f(-b/2a) = c-b²/4a；当a<0时，二次函数的最大值为f(-b/2a) = c-b²/4a 。
此时的x=-b/2a称为二次函数的顶点。
五、二次函数的基本变形除了y=ax²+bx+c的二次函数外，还有一些变形，如y=a(x-h)²+k的标准式，y=a(x-p)(x-q)的因式分解式等。
需要根据题目的要求，进行不同形式之间的转化。
六、二次函数的应用二次函数在不同领域有广泛的应用，如物理学中的抛体运动，金融学中的股票指数走势预测等。
在运用中需合理选择二次函数的形式，适用于不同的实际问题。
通过学习八年级数学二次函数的知识点，我们可以更好地理解二次函数的概念，掌握求零点、最值等基本技能，为以后更深入的学习打下坚实的基础。
上海教育出版社八年级数学上册二次函数
间？
知识点2 根据具体问题确定二次函数解析式
例2 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场
地，场地面积 S(m²)与矩形一边长a(m)
之间的关系是什么？是哪种函数关系？
并求出自变量的取值范围？
解：S = a( -a) = a(30 －a)
自变量的取 值范围应符 合实际意义
= －a²+ 30 a 是二次函数关系式。 自变量的取值范围：0＜a＜30
有即唯：一的值与之对应，即 y 是③x 的函数．
函数y=6x2 , m 1 n2 1 n , y=20x2+40x+20 ,
22
有什么共同点?
一次项
上述三个函数都是用自变量的二次式表示的。
一般地，形如y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
的函数，叫做二次函数。其中x是自变量，a，b，
上面问题中变量之间的关系可以用二次函数来表示.
这就是我们今天要学习的内容.
知识点1
推进新课
二次函数的概念
正方体的表面积y与棱长x的关系式 为 y=6x2 ，y是x的函数吗？ 是
显然，对于x的每一个值，y都有一个对应 值，即y是x的函数，它们的函数关系式为 .
y=6x2①
我们再来看几个问题。
问题1 n个球队参加比赛，每两队之间进行 一场比赛。比赛的场次数m与球队数n有什 么关系？
其中，y是x的一次函数有_(_1)_、__(_3)___
变
量
之 间 的
函 数
关
系
一次函数
概念 图象和性质
与相应方程的联系
实际问题
新课导入
广
场
喷
水
池
喷
八年级数学二次函数(201912)
y=6x2 y=-5x²+100x+60000 y=100x²+200x+100
1、y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？
2、定义：一般地，形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫 做二次函数。
n
n边形有＿＿＿个顶点，从一个顶点出发，连接与这点
不相邻的各顶点，可作＿n＿-3＿＿条对角线。因此，n边
形的对角线总数 d =＿＿＿＿＿＿。
问题3：某果园有100棵橙子树，每一棵树平 均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以 提高产量，但是如果多种树，那么树之间的 距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根 据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就 会少结5个橙子。 （1）问题中有那些变量？
26.1二次函数
浙江临海中学 初三数学组
变 量 之 间函 的数 关 系
一次函数
正比例函数
y=kx (k≠0)
y=k/x (k≠0)
二次函数
问题1； 正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为 x ，表面积 为 y ，则 y 关于x 的关系式为＿＿＿＿＿＿＿。
问题2： 多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？
（2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共 有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个 橙子？
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么请 你写出y与x之间的关系式。
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