逻辑函数及其化简
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第二章-逻辑函数及其简化
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 1 0 0 1
例2 有X、Y、Z三个输入变量，当其中两个或两个以上取值 为1时，输出F为1；其余输入情况输出均为0。试写出描述此 问题的逻辑函数表达式。 解：三个输入变量有23=8种不同组合，根据已知条件可得真值表 如 下：
由真值表可知，使F=1的输入变量组合有4个，所以F的与—或 表达式为：
F XYZ X Y Z XY Z XYZ
2）逻辑函数的表示方法
（1）真值表 逻辑函数的真值表具有唯一性。逻辑函数有n个变量时， 共有2n个不同的变量取值组合。在列真值表时，变量取值 的组合一般按n位二进制数递增的方式列出。用真值表表 示逻辑函数的优点是直观、明了，可直接看出逻辑函数值 和变量取值之间的关系。
对偶关系
A(A+B)=AB
4）包含律
证明：
AB+AC+BC=AB+AC
AB+AC+BC =AB+AC+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B) =AB+AC
对偶关系
5) 关于异或和同或运算
对偶数个变量而言， 有 A1A2... An=A1 A2 ... An
对奇数个变量而言， 有 A1A2... An=A1 A2 ... An
异或和同或的其他性质:
A 0= A 1= A A= A (B C)=(A B ) C A (B C)=AB AC
A 1=A A 0 =A A A= 1 A (B C)=(A B) C A+(B C )=(A+B) (A+C)
第1章(2课) 逻辑函数常用公式和化简
（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，为某项配上其所能合并的项。
Y ABC ABC AB C A BC ( ABC ABC ) ( ABC AB C ) ( ABC A BC) AB AC BC
４、消去冗余项法
利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ， 将冗余项ＢＣ消去。
Y ( A, B, C, D) m(1,3,4,6,7,11 ,14,15)
AB CD 00 00 01 11 10 0 1 1 0 01 1 0 1 1 11 0 0 1 1 10 0 0 1
m1 m3
m4
m11
m7
m15
0
m6
m14
（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或 表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每 一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公 因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。
2、吸收法 （１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。 是另 项 是 Y1 A B A BCD( E F ) A B 多外 的 另 运用摩根定律 余 一 因 外 如 的个 子 一 果 。乘 ， 个 乘 Y2 A B CD ADB A BCD AD B 积则乘积 项这积项 ( A AD) ( B BCD) A B （２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ+Ｂ，消去多余的变量。 因项 的 Y AB C A C D BC D 子 的 反 Y AB A C B C 如 AB C C ( A B) D 是 因 是 果 多子 另 一 AB ( A B )C 余， 一 个 AB C ( A B) D 的则 个 乘 AB ABC AB C AB D 。这 乘 积 AB C 个积项 AB C D
Y ABC ABC AB C A BC ( ABC ABC ) ( ABC AB C ) ( ABC A BC) AB AC BC
４、消去冗余项法
利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ， 将冗余项ＢＣ消去。
Y ( A, B, C, D) m(1,3,4,6,7,11 ,14,15)
AB CD 00 00 01 11 10 0 1 1 0 01 1 0 1 1 11 0 0 1 1 10 0 0 1
m1 m3
m4
m11
m7
m15
0
m6
m14
（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或 表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每 一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公 因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。
2、吸收法 （１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。 是另 项 是 Y1 A B A BCD( E F ) A B 多外 的 另 运用摩根定律 余 一 因 外 如 的个 子 一 果 。乘 ， 个 乘 Y2 A B CD ADB A BCD AD B 积则乘积 项这积项 ( A AD) ( B BCD) A B （２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ+Ｂ，消去多余的变量。 因项 的 Y AB C A C D BC D 子 的 反 Y AB A C B C 如 AB C C ( A B) D 是 因 是 果 多子 另 一 AB ( A B )C 余， 一 个 AB C ( A B) D 的则 个 乘 AB ABC AB C AB D 。这 乘 积 AB C 个积项 AB C D
2 逻辑函数及其化简
=AB A B D A B D
AB A B ( D D )
AB AB
AB A B
A B &
&
AB
&
L
& &
AB
AB A B
（1-38）
利用逻辑代数的基本公式：
例2：
F ABC ABC ABC ABC AB (C C ) ABC AB 提出A A( BC B) A(C B) AC AB
A B( A A) A B
例如：A ABC DC A BC DC 被吸收
（1-17）
3.混合变量的吸收：
AB AC BC AB AC
1 证明： AB AC BC AB AC ( A A) BC
AB AC ABC ABC AB AC
普通代 数不适 用!
（1-15）
三、吸收规则 1.原变量的吸收： A+AB=A
证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A
利用运算规则可以对逻辑式进行化简。 例如：
AB CD AB D( E F ) AB CD
被吸收
（1-16）
2.反变量的吸收：
A AB A B
证明：A AB A AB AB
2、逻辑函数的化简方法
化简的主要方法： １．公式法（代数法） ２．图解法（卡诺图法） 代数化简法： 运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。 并项法:
A A 1
AB( C C ) AB
（1-36）
L AB C ABC
吸收法：
逻辑函数及其化简
A
若开关接通为“ 1” 、 断开为“ 0” 灯亮为“ 1” 、 不亮为 “0”， 则图 11-1 所示关系的真值表如表 11.1 所示。 F＝A·B
R
＋UCC RC R1 F A R2 F A 1
表11.3 真值表 A F 0 1 1 0
E
S
EL
－UBB
(a)
(b)
(c)
图 11.3
（a） 非逻辑；（b） 三极管“非”门电路； （c） 非门逻辑符号
例11.1化简逻辑函数：
L AD AD AB AC BD ABEF BEF
L A AB AC BD ABEF BEF （利用 解：
A AC BD BEF
A A 1
）
（利用A+AB=A）
A C BD BEF
（利用 A AB A B）
A BC CB BD DB
（利用A+AB=A） （配项法）
A BC(D D) CB BD DB(C C)
A BCD BC D CB BD DBC DBC
A BC D CB BD DBC
（利用A+AB=A）
F AB AB AB C
解： F AB AB AB C
AB AB AB C AB ( A B)( A B)C AB ABC ABC
AB(C C) ABC ABC ABC ABC ABC ABC
逻辑代数的基本公式和定理
2.逻辑函数的公式化简法
1)逻辑函数式的常见形式
一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相 转换。例如：
2 逻辑函数及其化简
1 1 1 1 1 1
AD
B
11
A 冗余项
AC
10
∴ F2 ( A, B, C, D) = AB + BC + AD
C
AB
例：用公式化简法得到下式，问是否最简， 若不是请化简之。
F3 ( A , B, C) = A B + AC + AB + BC
填项：
A
0 1
BC00
C
01 1 11 1 10
1
第二章 逻辑代数基础
§2.1 逻辑代数运算法则 §2.2 逻辑函数的化简 §2.3 卡诺图法
§2.1 逻辑代数运算法则
依据： 1.逻辑变量只取：0 、1两种状态。 2.与、或、非是三种最基本的逻辑运算。 与普通代数运算法则类似的：分配 律、结合律、交换律等。 与普通代数运算法则不同的： A•A=A A+A=A A = A (还原律）
= B + BD + ABD + ABCD
吸收消去
= B + BD
（长中含短，留下短）
吸收消去 （长中含反，去掉反） ∴F1 = B + D（最简与或式）
F2 = AD + AD + AB + AC + BD + ACEF+ BEF + DEFG
A
吸收消去 （长中含短，留下短）
(合并项)
= A + AC + BD + BEF + DEFG
ABD
D
01
（ + C) C
直接填入
11
10
01 11
1
1
B A
逻辑函数化简公式大全
逻辑函数化简公式大全逻辑函数化简是在布尔代数中常用的一种方法，它通过应用逻辑运算规则和布尔代数定律，将复杂的逻辑函数简化为更简洁的形式。
这种简化可以减少逻辑电路的复杂性，提高计算机系统的效率。
以下是一些常见的逻辑函数化简公式大全：1. 与运算的化简：- 与运算的恒等律：A∧1 = A，A∧0 = 0- 与运算的零律：A∧A' = 0，A∧A = A- 与运算的吸收律：A∧(A∨B) = A，A∧(A∧B) = A∧B- 与运算的分配律：A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C)- 与运算的交换律：A∧B = B∧A2. 或运算的化简：- 或运算的恒等律：A∨1 = 1，A∨0 = A- 或运算的零律：A∨A' = 1，A∨A = A- 或运算的吸收律：A∨(A∧B) = A，A∨(A∨B) = A∨B- 或运算的分配律：A∨(B∧C) = (A∨B)∧(A∨C)- 或运算的交换律：A∨B = B∨A3. 非运算的化简：- 非运算的双重否定律：(A) = A- 非运算的德摩根定律：(A∧B) = A∨B，(A∨B) = A∧B4. 异或运算的化简：- 异或运算的恒等律：A⊕0 = A，A⊕1 = A- 异或运算的自反律：A⊕A = 0- 异或运算的结合律：A⊕(B⊕C) = (A⊕B)⊕C- 异或运算的交换律：A⊕B = B⊕A5. 条件运算的化简：- 条件运算的恒等律：A→1 = 1，A→0 = A- 条件运算的零律：A→A' = 0，A→A = 1- 条件运算的反转律：A→B = A∨B- 条件运算的分配律：A→(B∧C) = (A→B)∧(A→C)这些公式是逻辑函数化简中常用的基本规则，通过灵活应用它们，可以将复杂的逻辑表达式简化为更简单的形式。
使用这些规则，我们可以提高逻辑电路的效率和简洁性，并降低硬件成本。
逻辑函数及其简化
消去法
运用吸收律 A AB A B 消去多余因子。
L A AB BE A B BE ABE
L AB AC BC
AB A B C
AB ABC
AB C
AB AB C C ABC ABC
AB AC AB AC BC
将某一乘积项展开为两项，或添加某乘积项，再与其它乘积项 进行合并化简。
AB
A
C 00 01 11 10
00 0 1 0
C1 0 1 1 1
B
从逻辑表达式到卡诺图
（1）如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图,方法如下：
逻辑函数包含的最小项，其对应的方格填1。 逻辑函数不包含的最小项，其对应的方格填0。
用卡诺图表示3变量逻辑函数： F ABC ABC ABC ABC
所以：F F * * AC B D B F
不受变量数目的限制。
没有固定的步骤可循； 需要熟练运用各种公式和定理； 复杂的逻辑函数化简时需要技巧和经验； 有时很难判定化简结果是否最简。
1. 逻辑函数化简的意义和目标； 2. 逻辑函数的化简方法； 3. 公式法化简的方法和步骤。
逻辑函数的 卡诺图法化简
从真值表到卡诺图
已知某逻辑函数的真值表，用卡诺图表示该逻辑函数。
解 该函数有3个变量，先 画出3变量卡诺图，然 后根据真值表将8个最 小项的取值0或者1填入 卡诺图中对应的8个方 格中即可。
真值表
ABC L
000 0 001 0 010 0 011 1 100 0 101 1 110 1 111 1
A AC BD BEF （利用 A AB A ） A C BD BEF （利用 A AB A B ）
化简函数
F A A B A C B D A C E F B F D E F
逻辑函数及其化简
第2章逻辑函数及其化简内容提要本章是数字逻辑电路的基础，主要内容包含：（1）基本逻辑概念，逻辑代数中的三种基本运算（与、或、非）及其复合运算（与非、或非、与或非、同或、异或等）。
（2）逻辑代数运算的基本规律（变量和常量的关系、交换律、结合律、分配律、重叠律、反演律、调换律等）。
（3）逻辑代数基本运算公式及三个规则（代入规则、反演规则和对偶规则）。
（4）逻辑函数的五种表示方法（真值表法、表达式法、卡诺图法、逻辑图法及硬件描述语言）及其之间关系。
本章主要讲述了前三种。
（5）逻辑函数的三种化简方法（公式化简法、卡诺图法和Q–M法）。
教学基本要求要求掌握：（1）逻辑代数的基本定律和定理。
（2）逻辑问题的描述方法。
（3）逻辑函数的化简方法。
重点与难点本章重点：（1）逻辑代数中的基本公式、基本定理和基本定律。
（2）常用公式。
（3）逻辑函数的真值表、表达式、卡诺图表示方法及其相互转换。
（4）最小项和最大项概念。
（5）逻辑函数公式化简法和卡诺图化简法。
主要教学内容2.1 逻辑代数中的三种基本运算和复合运算2.1.1 三种基本运算2.1.2 复合运算2.2 逻辑代数运算的基本规律2.3 逻辑代数的常用运算公式和三个规则2.3.1 逻辑代数的常用运算公式2.3.2 逻辑代数的三个规则2.4 逻辑函数及其描述方法2.4.1 逻辑函数2.4.2 逻辑函数及其描述方法2.4.3 逻辑函数的标准形式2.4.4 逻辑函数的同或、异或表达式2.5 逻辑函数化简2.5.1 公式法化简2.5.2 卡诺图化简2.1 逻辑代数中的三种基本运算和复合运算2.1.1 三种基本运算1. 与运算（逻辑乘）2. 或运算（逻辑加）3. 非运算（逻辑非）2.1.2 复合运算1. 与非运算与非运算是与运算和非运算的组合，先进行与运算，再进行非运算。
2. 或非运算或非运算是或运算和非运算的组合，先进行或运算，再进行非运算。
3. 与或非运算与或非运算是与运算、或运算和非运算的组合，先进行与运算，再进行或运算，最后进行非运算。
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Y
≥1
按与-或式AB+C设计此逻辑电路，
& A BC
& & A B &
需两块芯片
二输入四或门74LS32一片
二输入四与门74LS10一片
按与非-与非式 AB· C 设计此逻辑电路，
只需要：二输入四与非门74LS00一片
C
常用的公式化简方法：
三、逻辑函数的公式化简法（自学）
利用基本公式和常用公式，再配合并项法、吸收法、配项法。
m1 m3 m2 m5 m7 m6
m2 m3 m6 m7 m4 m5
4、四变量全部最小项的卡诺图 Y= F（A、B、C、D）
Y CD AB 00 00 m0 01 11 01 11 10
YD 0 ABC 000 m0 001 011
1
10
m4 m12 m8
m1 m5 m13 m9
m3 m7 m15 m11
Y 0 1 1 0
所以： Y= AB + AB = m1 + m2 = （ m1 ， m2 ）
三、 逻辑图表示法
A 1
四、 波形图表示法
AB
≥1 Y
&
&
A
1
B
B
Y
AB
五、卡诺图表示法（在本章第七节中讲）
2-5-3
逻辑函数的两种标准形式
标准形式：最小项之和形式 、 最大项之积形式。 这里，重点介绍最小项之和形式。
0 0 1 1
0 1 0 1
m0 m1 m2 m3
3、四变量的全部最小项 编号为 m0~ m15 （略）
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
（二） 逻辑函数式表示法 在真值表中，将为“1”的输出 逻辑值所对应的输入变量的最小项相 加，即得对应的函数式。
已知：
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
当ABC=000 时，输出停机码00； 当只有A=1时，输出加法操作码01； 当只有B=1时，输出减法操作码10；
当只有C=1时，输出乘法操作码11； 其它输入状态不允许出现， 试画电路的逻辑图。
1 、 列真值表 A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1
2、约束项(无关项)的表示
例2：将Y2=Σ (m0 m2 m4 m6 m8 ~ m15 )化简为最简与或式。
Y2 CD AB 00 01 0 00 1 0 01 1 11 1 1 10 1 1 11 0 0 10 1 1 1 1 Y2 = A + D 此例说明，为了使化简结果 最简，可以重复利用最小项。 Y2 CD AB 00 01 0 00 1 0 01 1 11 1 1 10 1 1 11 0 0 1 1 10 1 1 1 1
m2 m6 m14 m10
010
110 111 101
注意： 在卡诺图中，
100
m2 m6 m4 m12 m14 m10 m8
m1 m3 m7 m5 m13 m15 m11 m9
左右、上下； 每一行的首尾； 的最小项都是逻辑相邻的。 每一列的首尾；
二、用卡诺图表示逻辑函数
方法一： 1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。 2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应 的方格中填 1，其余方格中填 0。 例： Y = AC + AC + BC + BC 用卡诺图表示之。 解： Y=A(B+B)C + A(B+B)C + (A+A)BC + (A+A)BC Y BC 00 A 0 0 卡诺图： 方法二： 1 1 根据函数式直接填卡诺图 Y BC 00 A 对于AC有： 对于AC有： 0 0 对于BC有： 对于BC有： 1 1
将Y1=AC+AC+BC+BC 化简为最简与或式。 Y BC Y BC 00 01 11 00 01 11 10 A A 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1
Y1 = A B + A C + BC
例1：
10 1 1
Y1 = AC + BC + A B
上两式的内容不相同，但函数值一定相同。 此例说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。
1 1
例3：用圈 0 法化简Y2。
解：若卡诺图中1的数目远远 大于0的数目，可用圈 0 的方法。
Y2 = AD
Y2 = AD =A+D
§2-8 具有无关项的逻辑函数的化简
2-8-1 无关项
在实际的数字系统中，会出现这样一种情况：函数式中没 有包含的某些最小项，写入或不写入函数式,都不影响原函数的 值,不影响原函数表示的逻辑功能，这样的最小项叫“无关项”。 无关项由“约束项”和“任意项”形成，这里只介绍由约 束项形成的无关项. 例: 一个计算机操作码形成电路， 有三个输入端A B C ，有两个输出端Y1、Y0；
§2-7 逻辑函数的卡诺图化简法
一、卡诺图（n 变量全部最小项的卡诺图）
将 n 变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有 逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻，所得图形叫 n 变量 全部最小项的卡诺图。
1、一变量全部最小项的卡诺图
一变量Y=F（A）， 全部最小项： A， A Y A 0 1 YA 0 1 卡诺图： m0 m1 A A
§2-5 逻辑函数及其表示方法
2-5-1 逻辑函数 2-5-2 逻辑函数的表示方法
真值表表示法、逻辑函数式表示法、 逻辑图表示法、波形图表示法、 卡诺图表示法等。
例：某一逻辑电路，对输入两路信号A、B进行比较， A、B相异时，输出为1；相同 时，输出0。 试表示其逻辑关系。 输出 输入 A B Y 一、真值表表示法 0 0 0 0 1 1 （状态表表示法） 1 0 1 1 1 0
=∑(m1 , m2 ,m3 , m4 , m5 , m6 )
01 1 1 01 1 1
11 1 0 11 1 0
10 1 1 10 1 1
2-7-2
逻辑函数的卡诺图化简法
化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。 （画矩形圈）。 化简规则：能够合并在一起的最小项是2 n 个 如何最简： 圈的数目越少越简；圈内的最小项越多越简。 特别注意：卡诺图中所有的 1 都必须圈到， 不能合并的 1 必须单独画 圈。
二、逻辑函数式表示法 的乘项积，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在 m 中出现一次，则称m 为该组变量的最小项。 1、二变量的全部最小项 2、三变量的全部最小项 A B 最小项 AB AB AB AB 编号 ABC 000 001 010 011 100 101 110 111 最小项 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 编号
3 、 写逻辑函数式
Y1 Y0
0 1 1 X 0 1 0 X
1 1 1 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 X X X
1 X X X
当限制某些输入变量的取值不能 出现时，可以用它们对应的最 小 项恒等于0来表示。 ABC = 0 ABC = 0 本例的约束项为 ABC = 0 ABC = 0 或：ABC+ABC+ABC+ABC=0 或： ∑（m 3 ，m 5 ，m 6 ，m 7 ，）= 0 Y1= m1+ m2 Y0= m1+ m4 约束项：m 3+m 5+m 6+m 7 = 0
一、最小项
（已讲过）
二变量全部最小项有m0~m3共4个； 三变量全部最小项有m0~m7共8个；
四变量全部最小项有m0~m15共16个；
最小项的性质：
1）在输入变量的任何取值下必有一个且仅有一个最小项的值为1； 2）全体最小项之和为1； 3）任意两个最小项的乘积为0；
4）具有相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子。 只有一个因子不同的两个最小项是具有相邻性的最小项。 例如: ABC 和 ABC 具有逻辑相邻性。 将它们合并，可消去因子: ABC+ABC =（A+A） BC = BC
二、逻辑函数的最小项之和形式
利用基本公式 A+A=1 可以把任何逻辑函数化为最小项 之和 的标准形式。
例1：Y=AB+B 可化为
Y= AB + B = AB +AB +AB （A+A） = m 3 + m 2 + m 0 =∑（m0，m2，m3） 例2：Y=AB+C 可化为 Y=AB(C+C) + (A+A)(B+B)C =ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC =m7+m6 +m7+m3 +m5 +m1 = ∑（m 1，m 3，m 5，m 6，m 7）
§2-6
一、最简标准
逻辑函数的公式化简法
逻辑函数式中，包含的或运算的项最少；每一项中 包含与运算的因子最少，则此函数式为最简函数式
二、常用的最简形式
有与-或式和与非-与非式。 将与-或式取两次非可得与非-与非式。 例：Y=AB+AC+BC 化为
Y=AB+(A+B)C = AB+ABC = AB+C（最简与或式） = AB+C = AB· C （最简与非-与非式）
2、二变量全部最小项的卡诺图 Y AB 00 01 11 10 Y= F（A、B） AB AB AB AB Y B 0 1 A 0 m0 m 1 01 11 10 Y AB 00 m0 m 1 m3 m 2 1 m2 m 3
3、三变量全部最小项的卡诺图 Y=F（A、B、C） Y BC 00 A 0 m0 1 m4 01 11 10 YC 0 1 AB 00 m0 m1 01 11 10