逻辑函数的卡图化简法
1.4 逻辑函数的卡诺图化简法
例：试用卡诺图化简逻辑函数
F（W，X，Y，Z） m （ 1,3,7,11,15 ） d (0,2,5)
WX YZ 00 01 1 × 11 10 1 1 1 1 ×
00 × 01 11 10
《数字电子技术》
1.4 逻辑函数的卡诺图化简法
思考：由上例可得出什么结论和启示？
1.4 逻辑函数的卡诺图化简法
§1.5
具有无关项的逻辑函数及其化简
一、约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项 约束项——在某些情况下，输入变量的取值不是任意 的。当限制某些输入变量的取值不能出现时，可以用它们 对应的最小项恒等于0来表示。这些恒等于0的最小项叫约 束项。 任意项——有时输入变量的某些取值是1还是0皆可， 并不影响电路的功能。在这些变量取值下，其值等于1的 那些最小项称为任意项。 无关项——约束项和任意项统称为逻辑函数中的无关 项。“无关”指是否将这些最小项写入逻辑函数式无关紧 要，在卡诺图中用“×”表示无关项。在化简逻辑函数时， 可认为它是1，也可认为它是0。
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1.4 逻辑函数的卡诺图化简法
二、无关项在化简逻辑函数中的应用
化简具有无关项的逻辑函数时，如果能合理利用 这些无关项，一般都可以得到更加简单的化简结果。
合并最小项时，究竟把卡诺图上的“×”作为1 还是0，应以得到的相邻最小项矩形组合最大，而且 矩形组合数目最小为原则。 例：试化简逻辑函数
解答：此例有两种解法，从原理而言，两 种解法均正确，但就“最简”原则而言，只有一 种解法最简单、最可取。因此，在考虑卡诺图化 简不唯一性的同时，还应考虑“最简”原则。
《数字电子技术》
Y AC D ABC D ABC D
已知约束条件为：
ABC D ABCD ABC D ABCD ABCD ABCD 0
《数字电子技术》
1.4 逻辑函数的卡诺图化简法
ABLeabharlann CD 00 01 11 10
00 01
11 10
1
1 x 1 x x x
1 x x
《数字电子技术》
逻辑函数的卡诺图化简法
[例]已知:真值表如下,写出 已知:真值表如下, 该逻辑函数和其反函数的标 准与或式 解:由题可知: 由题可知:
F = XY Z + XY Z + XY Z + XYZ
= m0 + m2 + m5 + m7
= ∑ ( 0 ,2 ,5 ,7 ) m
∴ F =
QF + F = 1
∑ m (1, 3 , 4 , 6 )
例如 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 1 1 11 1 1 10 1 1 1 1 8 个相邻项合并消去 3 个变量 A ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD +ABCD+ABCD =ACD +ACD =AD
2 个相邻项合并消去 4 个变量， 个相邻项合并消去 个变量， 1 个变量，化简结果 2 个变量， 化简结果为相同变量相与。 化简结果为相同变量相与。 为相同变量相与。 为相同变量相与。
3. 已知一般表达式画函数卡诺图 的卡诺图。 [例] 已知 Y = AD + AB ( C + BD ) ，试画出 Y 的卡诺图。 解：(1) 将逻辑式转化为与或式 ) (2) 作变量卡诺图 ) Y = AD + AB + (C + BD ) (3) 根据与或式填图 ) = AD + AB + CBD CD 00 01 11 10 AB 1 1 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1
[例 ]
Y = ABC + ABC + ABC + ABC
合并最小项 三个圈最小项分别为： 三个圈最小项分别为：
逻辑函数的图形化简法
逻辑函数的图形化简法一、最小项1．最小项的特点（以三变量A，B，C为例）每项都只有三个因子（A，B，C）；每个变量都是它的一个因子；每一变量或以原变量(A，B，C)形式消失，或以非变量(A非，B非，C非)形式消失；每个乘积项的组合仅消失一次，且取值为1；最小项可以编码。
2．最小项表达式及书写形式：最小项表达式是由若干个最小项相加的与—或表达式。
任何一个规律表达式都可以化成最小项表达式。
2.一个规律函数，假如有n个变量，则有2n个最小项。
最小项的基本性质：a．只有一组取值使之为“1” b．任二最小项乘积与“0” c．所的最小项之和为“1”例：3变量A，B，C，有23＝8个最小项，其形式为：二、卡诺图（Karnaugh Map）1．卡诺图画法：三变量卡诺图:说明:三变量卡诺图由8个最小项m0—m7组成，每个最小项占一个方格；AB组合中左数位代表A变量，右数位代表B变量。
沿横向从一个方格进行到下一个方格时，两个数位只变化一个；原变量与非变量各占4格。
四变量卡诺图:说明:四变量卡诺图由16个最小项m0—m15组成，每个最小项占一个方格；纵向方向因有两个变量CD，增加了8个方格，CD变化规律同AB；原变量与非变量各占8格。
2．相邻的概念二小格相邻组合:例如:卡诺图中，有F（A，B，C，D）=∑m(2，3，8，10，12)（m8、m12）、（m2、m3）几何相邻，（m2、m10）规律相邻四小格相邻组合：四小格相邻时，4个最小项可合并成1项，且可消去两个变量。
八方格相邻组合：八方格相邻时，8个最小项可合并成1项，且可消去三个变量。
三、用卡诺图简化规律函数1．用卡诺图化简规律函数基本步骤：2．几个留意点：必需使每个方格(最小项)至少被包含一次；使每个组合包含尽可能多的方格；全部的方格包含在尽可能少的不同组合中。
未用最小项表示的规律函数的简化：规律函数未用(最小项)表示照样可以化简。
（/版权全部)假如F采纳与—或表达式，在填入卡诺图过程中先把函数绽开成标准与--或式，再填入卡诺图中进行化简。
逻辑函数的卡诺图化简法
① 3变量的卡诺图 有23个小方块；
相邻 相邻
② 几何相邻的必须
逻辑相邻：变量的 取值按00、01、11、 10的顺序（循环码 ） 排列 。
图1-11 三变量卡诺图的画法
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11
不 相邻
相邻
相邻
图1-12 四变量卡诺图的画法
正确认识卡诺 图的“逻辑相邻”： 上下相邻，左右相 邻，并呈现“循环 相邻”的特性，它 类似于一个封闭的 球面，如同展开了 的世界地图一样。
A因BB此C是N个三变变量量共函有数2的N个最最小小项项吗。？
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4
最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N 个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反 变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次， 那么就称P是这N个变量的一个最小项。
表1-17 三变量最小项真值表
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5
（2）最小项的性质
①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它 的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0；
②任意两个不同的最小项之积恒为0； ③变量全部最小项之和恒为1。
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6
最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小 项的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的 那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十 进制数，就是该最小项的编号。
ABC ABC AC
(A B)C ABC AC
AC BC ABC AC
（2） 根据与或表达式画出卡诺图，如下
图所示。
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BC
A
00 01 11 10
0
11 1
逻辑函数的卡诺图化简法
逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法由前面的学习得知，利用代数法可以使逻辑函数变成较简单的形式。
但要求熟练掌握逻辑代数的基本定律，而且需要一些技巧，特别是经化简后得到的逻辑表达式是否是最简式较难确定。
运用卡诺图法可以较简便的方法得到最简表达式。
但首先需要了解最小项的概念。
一、最小项的定义及其性质1.最小项的基本概念由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是1. 每项都只有三个因子2. 每个变量都是它的一个因子3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n ＝3时，最小项有23＝8个2.最小项的性质为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。
由此可见，最小项具有下列性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。
（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。
3.最小项的编号最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。
以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3按此原则，3个变量的最小项二、逻辑函数的最小项表达式利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。
下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。
例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式；（2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；（3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。
6.逻辑函数的卡诺图化简法(数字系)
B
0
1
0 1
1 0 1 1
1
1
1 1
1
0
0
1
输出变量Y的值
例2：三输入变量
A 0 0 0 0 1 1 1 1
Y1 B C Z 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1
Y ABC ABC ABC
BC 00 A 0 0 1 01 11 10
10
0 1
ABC ABC BC
1 1
ABC
0
该方框中逻辑函数的取值与变量A无关，当 B=1、C=1时取“1”。
化简过程： BC 00 A 0 0 BC 01
0 0
11
1 1
10
0 1
1
0
AB
F=AB+BC
卡诺图适用于输入变量为3、4个的逻辑代数式的 化简；化简过程比公式法简单直观。
利用卡诺图化简的规则
例2：化简
CD 00 AB 00 1
01
01 11 10
1 1 0 1
1 1 0 1
1 1 1 1
FA
1 1 1
FD
11 10
FB
F A B D
例2：解二
CD 00 AB 00 1
01 11 10
01 11 10
1 1 0 1
1 1 0 1
1 1 1 1
ABD
1 1 1
F ABD A+B+D
A 0 0 0 0 1 1 1 1
Z1 B C 编号 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 2 0 1 1 1 3 0 0 0 4 1 0 1 0 5 1 0 1 6 7 1 1 1
逻辑函数的卡诺图化简法
0 0 4
0 1 0 5
0 3 0 7
0 2 0 6
1 1 0 1 12 13 15 14 1 8 1 9 1 11 1 10
3.合并最小项 3.合并最小项
(1) 画包围圈………. 画包围圈………. 根据含有1的相邻方格画包围圈…… 根据含有1的相邻方格画包围圈…… (2) 消去因子（消元） 消去因子（消元） 根据所画包围圈消去相应的因子…… 根据所画包围圈消去相应的因子……
第三步 画圈消元
BC AB
ACD ACD
ABCD
01 11 10
BD
(1) L = ∑m ( 3,4,5,6,9,12,13,14,15 )
第一步 ……. 第二步 画卡诺图 第三步 画圈消元 第四步 化简结果
BC AB
ACD ACD
ABCD
BD
L = AB + BC + BD + ACD + ACD + ABCD
L = ∑m ( 0, 2, 4, 6, 9, 13 )
(2)
第一步 ……. 第二步 画卡诺图
00 01Байду номын сангаас11 10
+ ∑d ( 1, 3, 5, 7, 11, 15 )
CD 00 AB 01 11 10
0 4
1 5
3 7
2 6
12 13 15 14 8 9 11 10
L = ∑m ( 0, 2, 4, 6, 9, 13 )
↑ 11
↑ 8
↑ 9
↑ 10
↑
↑ 12
↑ 13
14
L( A, B, C, D) = ∑m (8, 9, 10, 11, 12, 13, 14)
逻辑函数的图形化简法
4
每个乘积 项因子最 少，即卡 诺圈最大
卡诺图上的最小项合并规律
具有相邻性的最小项 可合并，消去不同因子
卡诺图化简
在卡诺图中，最小项的相邻性 可以从图形中直观地反映出来
1、两个相邻项的合并：消去一对因子
卡诺圈中保持不变的变量相与，每个与项最后相或，得到最后 化简的结果
A' B '
卡诺圈
AC'
2、四个相邻项的合并：消去2对因子
逻辑函数的卡诺图化简法
化简步骤
1、函数化为最小项之和形式
2、用卡诺图表示逻辑函数
3、找出可合并的最小项
4、化简后的乘积项相加（卡诺圈中保持 不变的变量相与，每个与项最后相或）
卡诺图化简原则
卡诺图化简原则
1
卡诺圈中包含 的1的个数一 定是2^n个
2
化简后的 乘积项应 包含函数 式的所有 最小项
3
乘积项的 数目最少 ，即卡诺 圈个数最 少
圈“1”的方式不同 ，可导致化简结果 不唯一
卡诺图化简 总结 圈“0”步骤：用卡诺图表达 出待化简的逻辑函数，然后 在图上圈“0”，并且，0表示 原变量，1表示反变量，变量 相“或”得到每一个或项， 最后所有的或项相“与”
如果卡诺图圈“0” ，会是什么形式？---最简或与式
1、同一个“1”可以被圈在多个卡诺圈里； 2、每个卡诺圈必须拥有至少一个“1”是自己独有的；
BC
AB
3、八个相邻项的合并：消去3对因子
D'
AB
00 00 1 01 1 11 1 10 1
Hale Waihona Puke CD01 0 0 1 1
11 0 0 1 1
A
10 1 1 1 1
逻辑函数的卡诺图化简法
若两个最小项只有一个因子不同，则称这两个最小项具有相邻性。
单元4 逻辑函数的卡诺图化简法
4.1 逻辑函数的最小项
《数字电子技术》
3、最小项编号
为了表达方便起见，将最小项进行编号，编号的方法是
把使最小项的值为1的那一组变量取值，当成二进制数，将
其转换成相应的十进制数，就是该最小项的编号。
4、最小项表达式
单元4 逻辑函数的卡诺图化简法
《数字电子技术》
• 4．焊接连接
• 焊接法较上述任何连接法都经济、方便、 严密。无论是钢管、有色金属管、聚氯 乙烯管均可焊接，故焊接连接管路在化 工厂中已被广泛采用，且特别适宜于长 管路。但对经常拆除的管路和对焊缝有 腐蚀性的物料管路，以及不允许动火的 车间中安装管路时，不得使用焊接。焊 接管路中仅在与阀件连接处要使用法兰
• 铸铁管、耐酸陶瓷管、水泥管常用承插 式连接。管子的一头扩大成钟形，使一 根管子的平头可以插入。环隙内通常先 填塞麻丝或石棉绳，然后塞入水泥、沥 青等胶合剂。它的优点是安装方便，允 许两管中心线有较大的偏差，缺点是难 于拆除，高压时不可靠。
单元4 逻辑函数的卡诺图化简法
《数字电子技术》
• 2．螺纹连接
2、用卡诺图表示逻辑函数
先将逻辑函数化为最小项之和的形式，然后将逻辑函数中包含的最小 项，在卡诺图相应的小方块中填1，其余的位置上填入0，就得到了表示该 逻辑函数的卡诺图。
[例4-1] 用卡诺图表示逻辑函数
解：
逻辑函数 卡诺图
注意：任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中填入1的那些最小项之和。
单元4 逻辑函数的卡诺图化简法
任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最小项之和的形式， 这样的逻辑表达式称为最小项表达式。
逻辑函数的卡诺图化简法(可编辑修改word版)
第十章数字逻辑基础补充：逻辑函数的卡诺图化简法1.图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图。
优点：有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比较容易。
缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。
公式化简法优点：变量个数不受限制缺点：结果是否最简有时不易判断。
2.最小项（1）定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。
注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项 1 次。
如：Y=F（A，B）（2 个变量共有4 个最小项AB AB AB AB ）Y=F（A，B，C）（3 个变量共有 8 个最小项ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ）结论： n 变量共有 2n个最小项。
三变量最小项真值表（2）最小项的性质①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为 1：②任意两个最小项的乘种为零；③全体最小项之和为 1。
（3）最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用 mi表示。
3.最小项表达式——标准与或式任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。
而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。
例 1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA解：Y=AB( C +C)+BC( A +A)+CA( B +B)= ABC +ABC +ABC +ABC +ABC +ABC= ABC +ABC +ABC +ABC= m7 +m6+m5+m3例 2.写出下列函数的标准与或式：Y =AB +AD +BC解：Y =（A +B)( A +D)(B +C)= ( A +BD)(B +C)=AB +AB +AC +BCD=ABC +ABC +ABC +ABCD +ABCD=ABCD + _ ABCD +ABCD +ABCD +ABCD +ABCD +ABCD=m7 +m6+m5+m4+m1+m+m8＝∑m(0,1,4,5,6,7,8）列真值表写最小项表达式。
3-3 逻辑函数的卡诺图化简法
F A, B, C BC A A BC ABC ABC m2 m6
A BC 0 1 00 0 0 01 0 0 11 0 0 10 1 1
方法二：将逻辑式表示成与或式，与项代表的最小项 在卡诺图中出现在行变量与列变量的交叉位置。在与项中 未出现的变量既以原变量形式出现，也以反变量形式出现。
2345任何n个变量的卡诺图是一块矩形区域该区域被划分为2个小方格每个小方格代表一个最小项所有最小项按一定顺序排列使几何相邻的最小项在逻辑上也相邻
3.5 逻辑函数的卡诺图化简法
3.5.1 最小项与最大项
1. 最小项与最大项的定义 最小项：n个变量的最小项是这n个变量的逻辑乘，每 个变量以原变量或反变量的形式出现且只出现一次。
ABC ABC ABC m7 m6 m0 m 0,6,7
或与标准型：任何一个逻辑式都可以表示成若干个最大项 积的形式。 F A, B, C m 0,6,7
m1 m2 m3 m4 m5 m1 m2 m3 m4 m5 M1M 2 M3M 4 M5 M 1,2,3,4,5
最大项：n个变量的最大项是这n个变量的逻辑和，每 个变量以原变量或反变量的形式出现且只出现一次。
三变量最小项和最大项的表示方法
2. 最小项和最大项的性质 (1) 给定n个变量的一组取值，这n个变量的2n个最小项中只 有一个等于1，2n个最大项中只有一个等于0。
(2) 全部最小项之和恒等于1；全部最大项之积恒等于0。 (4) 若干个最小项的和等于其余最小项和的反。
m2 m6
m18