人教A版高中数学选修4-4 1-1-2 平面直角坐标系中的伸缩变换 测试学生版 精品
1.1.2 平面直角坐标系中的伸缩变换
（检测学生版）
时间:50分钟 总分：80分
班级： 姓名：
一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1、.若点P (-2 015,2 016)经过伸缩变换后所得的点在曲线y'=上,则k=( )
A .1
B .-1
C .2 016
D .-2 016
2.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C 变为曲线x'2+8y'2=1,则曲线C 的方程为( )
A.49x 2+128y 2=1
B.49x 2+64y 2=1
C.49x 2+32y 2=1
D.x 2+y 2=1
3、将点P (－2，2)变换为P ′(－6，1)的伸缩变换公式为( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝2y
B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y
C.⎩
⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝1
2y D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，
y ′＝2y 4．在同一坐标系中，方程x 2
＋y 2
＝1经过伸缩变换⎩
⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，
y ′＝4y 后表示的图形是( )
A ．焦点在x 轴上，长轴长为5的椭圆
B ．焦点在x 轴上，长轴长为10的椭圆
C ．焦点在y 轴上，长轴长为5的椭圆
D ．焦点在y 轴上，长轴长为10的椭圆
5．如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 1
2
x 的图象( )
A ．将横坐标缩为原来的12，纵坐标也缩为原来的1
2
B ．将横坐标缩为原来的1
2，纵坐标伸长为原来的2倍
C ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍
D ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩为原来的1
2
6、y ＝cos x 经过伸缩变换⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x ，
y ′＝3y 后，曲线方程变为( )
A ．y ′＝3cos x ′
2
B ．y ′＝3cos 2x ′
C ．y ′＝13cos x ′
2
D ．y ′＝1
3
cos2x ′
二、 填空题（共4小题，每题5分，共20分）
7．将圆x 2
＋y 2
＝1经过伸缩变换⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝4x
y ′＝3y 后的曲线方程为________．
8、若点P (－2 016,2 017)经过伸缩变换⎩⎨⎧
x ′＝x 2 017
，
y ′＝y
2 016
后的点在曲线x ′y ′＝k 上，则k
＝________.
9．将点P (2,3)变换为点P ′(1,1)的一个伸缩变换公式为________.
10．平面直角坐标系中，在伸缩变换φ：⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ′＝λx (λ>0，λ≠1)，y ′＝μy (μ>0，μ≠1)，作用下仍是其本身的点为
________．
三、解答题（共2小题，每题15分，共30分）
11、在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪
⎧
x ′＝2x ，y ′＝1
4y 后，曲线C 变为曲线x ′2
16
＋4y ′2＝1，求曲线C 的方程并画出图形．
12、在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧
x ′＝x
3，
y ′＝y
2
后的图形．
(1)x 2－y 2＝1； (2)x 29＋y 2
8＝1.。
高中数学人教A版选修(4-4)1.1 教学设计 平面直角坐标系中的伸缩变换(人教A版)
《平面直角坐标系中的伸缩变换》
赵县实验中学 赵连霞
通过平面直角坐标系中伸缩变换，能够掌握图形的变化情况
【知识与能力目标】
理解平面直角坐标系中的伸缩变换；
【过程与方法目标】
了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；
【情感态度价值观目标】
学会应用平面直角坐标系的伸缩变换解决一些简单问题；
【教学重点】
伸缩变换在解题中的应用
【教学难点】
伸缩变换在解题中的应用
1、在三角函数中，什么是振幅变换、周期变换、相位变换？
2、你会把函数y=sinx
变为y=3sin(2x+
6
)吗？
3、准备几何画板资料
第二课时 平面直角坐标系中的伸缩变换
一．复习引入：
几何画板演示正弦曲线的伸缩变换过程，引出问题
二．讲解新课：
问题1、怎样由正弦曲线y=sinx 得到y=sin2x 的图像？
以上问题的实质是什么？
设P （x,y ）是平面直角坐标系中的任意一点，保持纵坐标y 不变，横坐标缩为原来的
2
1，得到新点'P ('',y x ),那么，你能写出这两个点坐标间的关系吗？
上式叫做平面直角坐标系中的一个___________________.
问题2：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?
以上问题的实质是什么？
设P （x,y ）是平面直角坐标系中的任意一点，保持横坐标x 不变，纵坐标伸长为原来的3倍，
得到新点'P ('
',y x ),那么，你能写出这两个点坐标间的关系吗？ 上式叫做平面直角坐标系中的一个___________________.。
高中数学 第一章 坐标系 学业分层测评1 直角坐标系、平面上的伸缩变换 新人教A版选修44
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第一章坐标系学业分层测评1 直角坐标系、平面上的伸缩变换新人教A版选修4-4(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是( ) A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解析】∵M(2,2)在直线x＋y－4＝0上，∴点P的轨迹是过M与直线x＋y－4＝0垂直的直线．【答案】 A2．已知线段BC长为8，点A到B，C两点距离之和为10，则动点A的轨迹为( ) A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线【解析】由椭圆的定义可知，动点A的轨迹为一椭圆．【答案】 C3．若△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,1)，则△ABC的形状为( ) A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形【解析】|AB|＝－2＋－2＝2，|BC|＝－2＋－2＝5，|AC|＝－2＋－2＝5，|BC|＝|AC|≠|AB|，△ABC为等腰三角形．【答案】 A4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )A．πB．4πC．8πD．9π【解析】设P点的坐标为(x，y)，∵|PA|＝2|PB|，∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4.故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π.【答案】 B5．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝13cos 2x 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，后为( )A ．y ′＝cos x ′B ．y ′＝3cos 12x ′C ．y ′＝2cos 13x ′D ．y ′＝12cos 3x ′【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′3.代入y ＝13cos 2x ，得y ′3＝13cos x ′，∴y ′＝cos x ′. 【答案】 A 二、填空题6．若点P (－2 016,2 017)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x2 017，y ′＝y2 016后的点在曲线x ′y ′＝k 上，则k ＝________.【解析】∵P (－2 016,2 017)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x2 017，y ′＝y2 016，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2 0162 017，y ′＝2 0172 016，代入x ′y ′＝k ， 得k ＝－1. 【答案】 －17．将点P (2,3)变换为点P ′(1,1)的一个伸缩变换公式为________.【导学号：91060002】【解析】 设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝hxh ＞，y ′＝kyk ＞，由⎩⎪⎨⎪⎧1＝2h ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝12，k ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x2，y ′＝y3.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x2y ′＝y38．平面直角坐标系中，在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ>0，λ，y ′＝μy μ>0，μ，作用下仍是其本身的点为________．【解析】 设P (x ，y )在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ，y ′＝μyμ作用下得到P ′(λx ，μy )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λx ，y ＝μy ，其中λ>0，μ>0，λ≠1，μ≠1，∴x ＝y ＝0，即P (0,0)为所求． 【答案】 (0,0) 三、解答题9．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x3，y ′＝y2后的图形．(1)x 2－y 2＝1； (2)x 29＋y 28＝1.【解】 由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 3，y ′＝y2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′.①(1)将①代入x 2－y 2＝1得9x ′2－4y ′2＝1，因此，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 3，y ′＝y2后，双曲线x 2－y 2＝1变成双曲线9x ′2－4y ′2＝1，如图甲所示．(2)将①代入x 29＋y 28＝1得x ′2＋y ′22＝1，因此，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 3，y ′＝y2后，椭圆x 29＋y 28＝1变成椭圆x ′2＋y ′22＝1，如图乙所示．10．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处．求城市B 处于危险区内的时间．【解】 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B (40,0)， 以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x －40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区．台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ，N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ＝402＝20 2.求得|MN |＝2302－d 2＝20(km)，故|MN |20＝1，所以城市B 处于危险区的时间为1 h.[能力提升]1．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝0，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋36y 2＝0B ．9x 2＋100y 2＝0C ．10x ＋24y ＝0D.225x 2＋89y 2＝0 【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y ，代入2x ′2＋8y ′2＝0，得：2·(5x )2＋8·(3y )2＝0，即：25x 2＋36y 2＝0. 【答案】 A2．如图111，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域(含边界)，A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点P (x ，y )、点P ′(x ′，y ′)满足x ≤x ′且y ≥y ′，则称P 优于P ′.如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其他点优于点Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧( )图111A. AB ︵B. BC ︵C. CD ︵D. DA ︵【解析】 如图，过任一点P 作与坐标轴平行的直线，则两直线将平面分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，由题意，Ⅱ(包含边界)区域内的点优于P ，在圆周上取点，易知只有P 在AD ︵上时，Ⅱ(含边界)内才不含Ω内的点，故点Q 的集合为DA ︵.【答案】 D3．已知A (2，－1)，B (－1,1)，O 为坐标原点，动点M 满足OM →＝mOA →＋nOB →，其中m ，n ∈R ，且2m 2－n 2＝2，则M 的轨迹方程为________．【解析】 设M (x ，y )，则(x ，y )＝m (2，－1)＋n (－1,1)＝(2m －n ，n －m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m －n ，y ＝n －m .又2m 2－n 2＝2，消去m ，n 得x 22－y 2＝1.【答案】x 22－y 2＝14.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图112，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)，观测点A (4,0)，B (6,0)同时跟踪航天器．图112(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A ，B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647.因为D (8,0)在抛物线上，∴a ＝－17，∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )．根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1，y ＝－17x 2＋647，∴4y 2－7y －36＝0，解得y ＝4或y ＝－94(不合题意，舍去)，∴y ＝4.解得x ＝6或x ＝－6(不合题意，舍去)， ∴C 点的坐标为(6,4)，|AC |＝25，|BC |＝4.即当观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令．。
高二数学选修44432平面直角坐标系中的伸缩变换
y’=3y
后的图形。 〔1〕2x+3y=0; (2)x2+y2=1
2.在同一直角坐标系下，求满足下列 图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变 为曲线x’2+y’2=1 3.在同一直角坐标系下，经过伸缩变
换 x’=3x 后， y’=y
曲线C变为x’2－9y’2 =1，求曲线C的 方程并画出图形。
设点P〔x , y〕经变换得到点为P′ (x′, y′)
x′=x 2
y′=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的 一个坐标伸长变换。
问题分析：
〔3〕怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐
标不变，将横坐标x缩为原来的
1 2
，在此基础
上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线
y=3sin2x.
设点P〔x , y〕经变换得到点为P′ (x′, y′)
1
x′= 2 x
3
y′=3y
通常把 3 叫做平面直角坐标系中的一
个坐标伸缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点，在变换
:xy''xy
(0) (0)
4
1
纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 2 ，得到点
P′(x′, y′).坐标对应关系为：
坐标对应关系为：
1
x’= 2 x 1 y’=y
通常把 1 叫做平面直角坐标系中 的一个压缩变换。
问题分析：
〔2〕怎样由正弦曲线 y=sinx得到曲 线 y=3sinx? 写出其坐标变换。
问题分析：
在正弦曲线上任取一点P〔x , y〕，保持横坐标 x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲 线y=3sinx。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测题(答案解析)
一、选择题1．（理）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A ．0()R θρ=∈ 和cos 2ρθ= B ．()2R πθρ=∈和cos 2ρθ=C ．()2R πθρ=∈和cos 1ρθ= D ．0()R θρ=∈和cos 1ρθ=2．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C经过伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线3．已知圆C 与直线l 的极坐标方程分别为6cos ρθ=，sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 到直线l 的距离是（ ） A ．1B ．2CD．24．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（ ） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于直线()2R πθρ=∈对称5．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3πθ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（ ） A ．14BCD ．136．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C的极坐标方程为ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（ ）A ．1BC ．2D．7．221x y +=经过伸缩变换23x xy y ''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（ ）A．B．C ．4D ．68．将2216x y +=的横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍，则曲线的方程变为（ ）A ．22134x y +=B ．22213x y +=C ．222112x y +=D ．222134x y +=9．已知曲线C 与曲线5ρ=3cos?5sin?θθ-关于极轴对称，则曲线C 的方程为( )A ．10cos ρ=-π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10cos ρ=π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10cos ρ=-π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭D ．10cos ρ=π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭10．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22162x y+=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()36πρθ+=，射线M 的极坐标方程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2211OAOB+的最大值为（ ） A ．34B ．25C ．23D ．1311．极坐标方程cos ρθ=与1cos 2ρθ=的图形是（ ） A ． B ． C ． D ．12．在同一平面直角坐标系中，将曲线1cos 23y x =按伸缩变换23x x y y ''=⎧⎨=⎩后为（ ）A ．cos y x ''=B ．13cos 2y x ''= C ．12cos3y x ''= D ．1cos32y x ''=二、填空题13．在极坐标系中，曲线C 的方程为28cos 10sin 320ρρθρθ--+=，直线l 的方程为0()R θθρ=∈，0tan 2θ=，若l 与C 交于A ，B 两点，O 为极点，则||||OA OB +=________．14．在极坐标系中，直线sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4ρ=截得的弦长为______.15．（理）在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________．16．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 30cos sin θθ-=，则圆C截直线l 所得弦长为___________． 17．两条直线sin 20164πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin 20174πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的位置关系是_______ 18．点C 的极坐标是(2,)4π,则点C 的直角坐标为______________ 19．在极坐标系中0,02,ρθπ>≤<，曲线cos 1ρθ=-与曲线=2sin ρθ的交点的极坐标为_______________。
高中数学人教A版选修4-4课时跟踪检测(一) 平面直角坐标系 Word版含解析
课时跟踪检测(一) 平面直角坐标系一、选择题1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )A ．椭圆B ．比原来大的圆C ．比原来小的圆D ．双曲线解析：选D 由伸缩变换的意义可得．2．已知线段BC 长为8，点A 到B ，C 两点距离之和为10，则动点A 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：选C 由椭圆的定义可知，动点A 的轨迹为一椭圆．3．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN ―→|·|MP ―→ |＋MN ―→·NP―→＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：选B 由题意，得MN ―→＝(4,0)，MP ―→＝(x ＋2，y )，NP ―→＝(x －2，y )，由|MN ―→|·|MP―→|＋MN ―→·NP ―→＝0，得4(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0，整理，得y 2＝－8x .4．在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′y ＝13y ′ B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x y ′＝13y C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′y ＝3y ′ D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y 解析：选B 设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，则μy ＝sin λx ， 即y ＝1μsin λx .比较y ＝3sin 2x 与y ＝1μsin λx ，则有1μ＝3，λ＝2.∴μ＝13，λ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y . 二、填空题5．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后，曲线方程变为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎨⎧ x ＝12x ′，y ＝13y ′，代入y ＝cos x ，得13y ′＝cos 12x ′，即y ′＝3cos 12x ′. 答案：y ＝3cos x ′26．把圆X 2＋Y 2＝16沿x 轴方向均匀压缩为椭圆x 2＋y 216＝1，则坐标变换公式是________． 解析：设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λX (λ>0)，y ＝μY (μ>0)， 则⎩⎨⎧ X ＝x λ，Y ＝y μ.代入X 2＋Y 2＝16得 x 216λ2＋y 216μ2＝1. ∴16λ2＝1,16μ2＝16.∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝14，μ＝1.故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝X 4，y ＝Y .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝X 4，y ＝Y7．△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则点A 的轨迹方程为________． 解析：∵△ABC 的周长为10，∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4，即有|AB |＋|AC |＝6＞4.∴点A 轨迹为椭圆除去B ，C 两点，且2a ＝6,2c ＝4.∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5.∴点A 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)． 答案：x 29＋y 25＝1(y ≠0) 三、解答题8. 在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．解：x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为⎝⎛⎭⎫x －422－9y 2＝1.① x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为(x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′－2＝x －42，y ′＝3y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝3y . 所以将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0的图象．9．已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |. 证明：以Rt △ABC 的直角边AB ，AC 所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B ，C 两点的坐标分别为(b,0)，(0，c )．则M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫b 2，c 2.由于|BC |＝b 2＋c 2，|AM |＝ b 24＋c 24＝12b 2＋c 2， 故|AM |＝12|BC |.10．如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左、右顶点，动圆C 1与椭圆C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．求直线AA 1与直线A 2B交点M 的轨迹方程．解：设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a (x －a )．② 由①②，得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③ 由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b2＝1.从而y 21＝b 2⎝⎛⎭⎫1－x 21a 2，代入③，得 x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)，此方程即为点M 的轨迹方程．。
高中数学人教A版选修4-4同步作业与测评：1.1.1-2 平面直角坐标系与曲线方程、平面直角坐标轴中的伸缩变换
1．1 平面直角坐标系与曲线方程 1．2 平面直角坐标轴中的伸缩变换1．平面直角坐标系与点的坐标在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的□01有序实数对(x ，y )与之对应；反之，对于任意的□02一个有序实数对(x ，y )，都有唯一的点与之对应．即在平面直角坐标系中，□03点和□04有序实数对是一一对应的． 2．平面直角坐标系中曲线与方程的关系曲线可看作是□05满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线C 上的□06点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的□07解； (2)以方程f (x ，y )＝0的□08解为坐标的点都在曲线C 上． 那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．3．平面直角坐标轴中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即□09改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在平面直角坐标系中，x 轴上点的纵坐标都是0．( ) (2)在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的．( )(3)方程2x2＋y2＝1表示的曲线是圆．()(4)如果x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的12，圆x2＋y2＝4的图形变为椭圆．()(5)在伸缩变换下，直线依然是直线．()答案(1)√(2)√(3) ×(4)√(5)√2．做一做(1)已知▱ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(－1，2)，(3，0)，(5，1)，则顶点D的坐标是()A．(9，－1) B．(－3，1)C．(1，3) D．(2，2)答案C(2)方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是()A．两条直线B．四条直线C．两个点D．四个点答案D(3)将一个圆作伸缩变换后所得的图形不可能是()A．椭圆B．比原来大的圆C．比原来小的圆D．双曲线答案D解析由伸缩变换的意义可得，A，B，C均有可能，D不可能．探究1利用平面直角坐标系确定位置例1由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米．某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s．若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？解设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，23)．∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上．k BC＝－3，线段BC的中点D(－4，3)，∴直线PD的方程为y－3＝13(x＋4)．①又|PB|－|P A|＝4，∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x24－y25＝1(x≥2)．②联立①②，解得P点坐标为(8，53)．∴k P A＝538－3＝3．因此甲舰行进的方位角为北偏东30°．1．解决本例的关键是如何建系，将几何位置量化，然后根据直线与双曲线的方程求解．2．建立坐标系的几个基本原则：(1)尽量把点和线段放在坐标轴上；(2)对称中心一般放在原点；(3)对称轴一般作为坐标轴．3．运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题．【跟踪训练1】 已知某荒漠上有两个定点A ，B ，它们相距2 km ，现准备在荒漠上开垦一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km ．(1)问农艺园的最大面积能达到多少？(2)该荒漠上有一条水沟l 恰好经过点A ，且与AB 成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问：暂不加固的部分有多长？解 (1)设平行四边形的另两个顶点为C ，D ，由围墙总长为8 km ，得|CA |＋|CB |＝4>|AB |＝2，由椭圆的定义知，点C 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长2a ＝4，焦距2c ＝2的椭圆(去除落在直线AB 上的两点)．以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．易知点D 也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD 的面积最大，则C ，D 为此椭圆短轴的端点，此时，面积S ＝23(km 2)．(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆x 24＋y 23＝1(y ≠0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l ：y ＝33(x ＋1)被椭圆截得的弦长，如图．因此，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33(x ＋1)，x 24＋y 23＝1⇒13x 2＋8x －32＝0，那么弦长＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋332×－8132－4×－3213＝4813，故暂不加固的部分长4813 km ．探究2 平面直角坐标系中曲线方程的确定例2(1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G的方程；(2)在边长为2的正三角形ABC中，若P为△ABC内一点，且|P A|2＝|PB|2＋|PC|2，求点P的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线．解(1)由已知设椭圆方程为x2 a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则2a＝12，知a＝6．又离心率e＝ca＝32，故c＝33．∴b2＝a2－c2＝36－27＝9．∴椭圆的标准方程为x236＋y29＝1．(2)以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设P(x，y)是轨迹上任意一点，又|BC|＝2，∴B(－1，0)，C(1，0)，则A(0，3)．∵|P A|2＝|PB|2＋|PC|2，∴x2＋(y－3)2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2，化简得x2＋(x＋3)2＝4．又∵P在△ABC内，∴y>0．∴P点的轨迹方程为x2＋(y＋3)2＝4(y>0)．其曲线如图所示为以(0，－3)为圆心，半径为2的圆在x轴上半部分圆弧．求动点轨迹方程常用的方法(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：①建立适当的平面直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；②写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}；③用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)＝0；④化简方程f(x，y)＝0；⑤检验或证明④中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则⑤可以省略．(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．(3)代入法(相关点法)：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求．【跟踪训练2】 如图，四边形MNPQ 是圆C 的内接等腰梯形，向量CM →与PN →的夹角为120°，QC →·QM→＝2． (1)求圆C 的方程；(2)求以M ，N 为焦点，过点P ，Q 的椭圆方程．解(1)建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意得，△CQM 为正三角形． ∴QC →·QM →＝r 2·cos60°＝2， ∴圆C 的半径为2． 又圆心为(0，0)，∴圆C 的方程为x 2＋y 2＝4．(2)由(1)知M (2，0)，N (－2，0)，Q (1，3)， ∴2a ＝|QN |＋|QM |＝23＋2， ∴a ＝3＋1，c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝23，∴椭圆方程为x 24＋23＋y 223＝1．探究3 平面直角坐标轴中的伸缩变换例3 在下列平面直角坐标系中，分别作出x 225＋y 29＝1的图形： (1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12．解 (1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，则x 225＋y 29＝1的图形如图①．(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 225＋y 29＝1的图形如图②． (3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 225＋y 29＝1的图形如图③．在平面直角坐标系中，改变x 轴或y 轴的单位长度会对图形产生影响，本题(2)中也可以看作⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 的伸缩变换，本题(3)中也可以看作⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y的伸缩变换．【跟踪训练3】 本例中，x 225＋y 29＝1不变，试在下列平面直角坐标系中，分别作出其图形：(1)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的53； (2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的35倍．解 (1)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的35，则x 225＋y 29＝1的图形如图①．(2)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的35，则x 225＋y 29＝1的图形如图②．1．曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( ) A ．(0，0) B ．15，15 C ．(1，5) D ．(4，4) 答案 D解析 将答案代入验证知D 正确．2．直角坐标系中到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是( ) A ．|x |－|y |＝1 B ．|x －y |＝1 C ．||x |－|y ||＝1 D ．|x ±y |＝1 答案 C解析 由题知C 正确．3．已知一椭圆的方程为x 216＋y 24＝1，如果x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12，则该椭圆的形状为( )答案 B解析如果y轴上的单位长度不变，x轴上的单位长度变为原来的12，则对应的图形为B．4．椭圆伸缩后可能是________；双曲线伸缩后为________；抛物线伸缩后为________．答案椭圆或圆双曲线抛物线5．已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍．求动点M的轨迹C的方程．解如图，设点M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|，由此得|4－x|＝2(x－1)2＋y2，化简得x24＋y23＝1，∴动点M的轨迹C的方程为x24＋y23＝1．A级：基础巩固练一、选择题1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是() A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0答案C解析因为圆心是(1，2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C．2．方程x2＋xy＝0表示的曲线是()A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线答案C解析x2＋xy＝x(x＋y)＝0，即x＝0或x＋y＝0．故方程x2＋xy＝0表示两条直线．3．一个正方形经过平面直角坐标轴中的伸缩变换后，其图形可能是() A．正方形B．矩形C．菱形D．正方形、菱形或矩形答案D解析正方形在平面直角坐标轴中进行伸缩变换后，图形的形状是由其在平面直角坐标系中的位置决定的．若顶点在坐标轴上，则是菱形或正方形；若顶点在象限内，则是矩形或正方形．4．在平面直角坐标系中，将x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的2倍，则椭圆x225＋y216＝1进行伸缩变换后的图形是()答案B解析在平面直角坐标系中，将x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的2倍，则椭圆x 225＋y 216＝1的图形变为B ．5．平面内有一条固定线段AB ，|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|OP |的最小值是( )A ．32B ．12 C ．2 D ．3 答案 A解析以AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，则点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的一部分．2c ＝4，c ＝2，2a ＝3，∴a ＝32，∴b 2＝c 2－a 2＝4－94＝74．∴点P 的轨迹方程为x 294－y 274＝1x ≥32．由图可知，点P 为双曲线与x 轴的右交点时，|OP |最小，|OP |的最小值是32． 6．已知△ABC 的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，且sin B －sin C ＝12sin A ，若以底边BC 为x 轴、底边BC 的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A 的轨迹方程是( )A ．x 29－y 227＝1B ．x 29－y 227＝1(x <－3)C ．x 227－y 29＝1D ．x 227－y 29＝1(x <－3) 答案 B解析 由题意知，B (－6，0)，C (6，0)， 由sin B －sin C ＝12sin A ，得b －c ＝12a ＝6， 即|AC |－|AB |＝6．所以点A 的轨迹是以B (－6，0)，C (6，0)为焦点，2a ＝6的双曲线的左支且y ≠0．其方程为x 29－y 227＝1(x <－3)．二、填空题7．在x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中，以原点为圆心，4为半径的圆的图形变为________．答案 椭圆解析 如果x 轴上的单位长度不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，圆x 2＋y 2＝16的图形变为中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆．8．已知点A (－2，0)，B (－3，0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2＋1，则点P 的轨迹方程是________．答案 y 2＋5x ＋5＝0解析 由题意得P A →＝(－2－x ，－y )， PB→＝(－3－x ，－y )， ∴P A →·PB →＝(－2－x )(－3－x )＋(－y )2＝x 2＋1， 即y 2＋5x ＋5＝0．9．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是________________．答案y2＝23x－19解析过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连接PH，PM，可证PH⊥A1D1，设P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1，得x2＋1－x－132＋y2＝1，化简得y2＝23x－19．三、解答题10．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，求城市B处于危险区内的时间．解以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B 点坐标为(40，0)，以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x －40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ，N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ＝402＝202． 求得|MN |＝2302－d 2＝20(km)．所以|MN |20＝1，所以城市B 处于危险区内的时间为1 h ．11．在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线x 216－y 29＝1的图形： (1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12．解 (1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，双曲线x 216－y 29＝1的图形如图所示．(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x216－y29＝1的图形如图所示．(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x216－y29＝1的图形如图所示．B 级：能力提升练学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M 0，647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8，0)．观测点A (4，0)，B (6，0)．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，航天器离观测点A ，B 分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？解 (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647， ∵点D (8，0)在抛物线上，∴a ＝－17， ∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647． (2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1， ①y ＝－17x 2＋647，②得4y 2－7y －36＝0．y ＝4或y ＝－94(舍去)，∴y ＝4， 得x ＝6或x ＝－6(舍去)． ∴C 点的坐标为(6，4)， ∴|AC |＝25，|BC |＝4．所以当航天器离观测点A ，B 的距离分别为25，4时，应向航天器发出变轨指令．由Ruize收集整理。
高二下学期数学人教A版选修4-4第一讲1.1.2平面直角坐标系中的伸缩变换 同步练习
伸缩变换知识点：点的变换例题：将点()1,3A 按照伸缩变换23x xy y ''=⎧⎨=⎩后得到的点A '的坐标为（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,9⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,1D ．()2,9例题：将点()2,3变成点()3,2的伸缩变换是（ ）A ．2'33'2x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩B ．3'22'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C ．''x y y x =⎧⎨=⎩D ．'1'1x x y y =+⎧⎨=-⎩知识点：三角函数的变换例题：在同一直角坐标系中，曲线πsin()4y x =+经过伸缩变换123x x y y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩后所得到的曲线（ ） A ．1πsin(2)34y x =+B ．11πsin()324y x =+ C ．π3sin(2)4y x =+D ．3cos 2y x =例题：将正弦曲线sin y x =先保持纵坐标y 不变，将横坐标缩为原来的12；再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以得到曲线3sin 2y x =，上述伸缩变换的变换公式是（ ）A ．1'2'3x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．'2'3x xy y =⎧⎨=⎩C ．'21'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩例题：在同一坐标系中，将曲线3sin 2y x =变为曲线'sin 'y x =伸缩变换是（ ）A ．2'1'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩B ．'21'3x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．2'3'x x y y =⎧⎨=⎩D ．'2'3x xy y =⎧⎨=⎩知识点：直线的变换例题：在平面直角坐标系中，直线3220x y --=经过伸缩变换132x xy y⎧=⎪⎨⎪='⎩'后的直线方程为（ ） A ．420x y --=B ．20x y --=C ．9420x y --=D ．920x y --=例题：将直线1x y -=变换为直线326x y -=的一个伸缩变换为（ ）A ．23x xy y ''=⎧⎨=⎩B ．32x xy y ''=⎧⎨=⎩C ．1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩D ．1213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩知识点：圆，椭圆，双曲线，抛物线的变换例题：曲线C 的方程为22231x y +=，曲线C 经过伸缩变换'2'3x xy y =⎧⎨=⎩，得到新曲线的方程为（ ） A ．228271x y +=B ．2218121x y +=C ．22123x y +=D ．22149x y +=例题：双曲线22:164y C x -=.经过3:2x x y y ϕ'=⎧⎨'=⎩变换后所得到曲线的方程为（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．229116y x -=D ．2291256y x -=例题：曲线C 经过伸缩变换123x xy y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩后，对应曲线的方程为：221x y +=，则曲线C 的方程为（ ）A ．22914x y +=B ．22419y x += C ．22149x y +=D ．22491x y +=例题：将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将其纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）得到的图象对应的函数解析式为（ ）A ．1(2)3y f x =B ．3(2)y f x =C ．1()32x y f =D ．3()2xy f =例题：将曲线(),0F x y =上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的13，得到的曲线方程为（ ）A ．,302x F y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2,03y F x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．,023x yF ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()2,30F x y =例题：在同一平面直角坐标系中满足由曲线221x y +=变成曲线22194x'y'+=的一个伸缩变换为（ ）A ．'3'2x xy y =⎧⎨=⎩B ．1'31'2x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C ．'9'4x xy y =⎧⎨=⎩D ．1'91'4x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。
选修4-4第一讲-1平面直角坐标系及其伸缩变换习题课
5.在同一直角坐标标系中，经过伸缩换xy
3x后， y
曲线C变为曲线x2 9 y2 9,求曲线C的方程。
x2 y2 1
课本第8页
x x
(1)
y
4
y
(2)xy
2x 1y 2
小结：
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系： （1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
即|AB|-|AC|=
1 2
a（定值）
（-
a ，B0) 2
A（x，y)
y
（a ，0) 2
Cx
由双曲线的定义，实轴
2a 1 a得a 1 a,半焦距c 1 a,
2
4
2
得b2 c2 a2 3 a2 16
轨迹方程为
例2:已知直线L1⊥直线L2,垂足为M,点N ∈L2,(如图)以A,B为端点 的曲线段C上任意一点到L1的距离与到N的距离相等.若ΔAMN为 锐角三角形,且|AM|=√17,|AN|=3,|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲 线段C的方程.
[思路分析]:坐标系的建立是本题的
突破口,由于L1⊥L2,故可选择它们 为坐标轴;也可以以线段MN的垂直
L1
y B
A
平分线为y轴.(哪一种更好呢?)由 M 题设可知曲线段C为抛物线的一部
N L2 x
分,L1为准线,N为焦点,很显然选择 标准方程y2=2px(p>0).下面的关键
是求出p的值,而ΔAMN为锐角三角
形及|BN|=6又起什么作用呢?请大
家认真思考.
例3:已知ΔABC底边BC的长为2a(a>0),又知tanBtanC=t(t≠0).(a,t均为
数学人教A版选修4-4课后导练 第一讲一平面直角坐标系
课后导练基础达标1.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x 3,5后,曲线C 变为曲线2x′2+8y′2=1,则曲线C 的方程为( )A.50x 2+72y 2=1B.9x 2+100y 2=1C.25x 2+36y 2=1D.252x 2+98y 2=1 解析:把伸缩变换公式代入2x′2+8y′2=1,知A 成立.答案:A2.将曲线x 2+y 2=1伸缩变换为9422y x '+'=1的伸缩变换公式为( ) A.⎩⎨⎧='='y y x x 32 B.⎩⎨⎧='='yy x x 23 C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 3121 D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 2131 解析:观察知x=2x ',y=3y ',∴⎩⎨⎧='='yy x x 32选A. 答案:A 3.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 3121后的图形.(1)5x+2y=0;(2)x 2+y 2=1.解:由伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 3121,得⎩⎨⎧'='=y y x x 32①将⎩⎨⎧>='>=')0(),0(μμλλy y x x ①代入5x+2y=0得5x′+3y′=0, 经后仍为直线.(2)将①代入x 2+y 2=1中得914122y x '+'=1,圆变成了椭圆.综合运用4.在同一平面直角坐标系中,将曲线x 2-36y 2-8x+12=0变成曲线x′2-y′2-4x′+3=0,求满足图象变换的伸缩变换.解:设伸缩变换为⎩⎨⎧>='>=')0(),0(μμλλy y x x 将其代入方程x′2-y′2-4x′+3=0,得 λ2x 2-μ2y 2-4λx+3=0,与x 2-36y 2-8x+12=0比较系数得1238436122===λμλ,∴λ=21,μ=3. ∴变换为⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 321.5.△ABC 中,若BC 的长度为4,中线AD 的长为3,则点A 的轨迹方程是____________. 解析:A 点在以D(0,0)为圆心,以DA=3为半径的圆上.答案:x 2+y 2=9(y≠0)拓展探究6.在平面直角坐标系中,有一个以F 1(0,3-)和F 2(0,3)为焦点,离心率为23的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P 在C 上,C 在点P 处的切线与x,y 轴的交点分别为A,B,且向量+=.求:(1)点M 的轨迹方程; (2)|OM |的最小值.解:(1)椭圆方程可写为2222a x a y +=1,式中b<a, 且⎪⎩⎪⎨⎧==-,233,322a b a ,得a 2=4,b 2=1,故曲线C 的方程为x 2+42y =1(x>0,y>0). y=212x -(0<x<1),y′=212x x--.设P(x 0,y 0),因P 在C 上,有0<x 0<1,y 0=2201x -,y′0x x ==004y x -,得切线AB 的方程为 y=004y x -(x-x 0)+y 0.设A(x,0),B(0,y),由切线方程得x=01x ,y=04y . 由OB OA OM +=得M 的坐标为(x,y),由x 0,y 0满足C 的方程,得点M 的轨迹方程为2241yx ==1(x>1,y>2). (2)∵|OM |2=x 2+y 2且y 2=2114x -=4+142-x , ∴|OM |2=x 2-1+142-x +5≥4+5=9. 且当x 2-1=142-x 时,即x=3>1时,上式等号成立. 故||的最小值为3.。
选修4-4伸缩变换
在正弦曲线上任取一点P（x , y），保持横坐标x不变，
将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
即：设点P（x , y）经变换得到点为P′ (x′, y′)
x′=x
2
y′=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。
问题分析：
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?
的伸缩变换是
x'2 16 y'2 4 x' 0
.
x' 2 x 与伸缩变换
y' y
5 在伸缩变换
单位圆
变成曲线
x' 2 x
y' 2 y
x y 1 分别变成什么图形？
2
2
的作用下，
7 在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变
换：曲线 4x2+9y2=36 变为曲线 x’2+y’2=1
8 在同一直角坐标系下，经过伸缩变换
x 3 2 =1,求曲线C的方程,并画出图形。
写出其坐标变换。
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横
1
坐标x缩为原来的 2 ，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，
就得到正弦曲线y=3sin2x.
即：设点P（x , y）经变换得到点为P′ (x′, y′)
1
x′= 2 x
y′=3y
3
通常把 3 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。
:
y' y
( 0)
( 0)
下，椭圆是否可以变成圆？抛物线，双曲线变
成什么曲线？