人教版高中数学选修4-4课件1.2-极坐标系 (共38张PPT)
阶段小结
1、建立一个极坐标系需要哪些要素? 极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.
2、极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个.
3、一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ ，2kπ +θ ）
4、结论：
极坐标(, ) 与(, ＋2k)(k∈Z)表示同一个点. 和直角坐标不同，平
（3）在空间直角坐标系上，空间上所有点的集合与全体三元有序实数对（x , y , z）的集合建立一 一对应；
复习回顾
1. 直角坐标系
数
平面直角坐标
轴
系
R
（x , y)
空间直角坐标 系
（x , y , z)
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系中，应满 足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐标就能确 定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
区别吗？
思考: ①平面上一点的极坐标是否唯一？
若不唯一，那有多少种表示方法？ ②不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
1、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，
4
请说出点M的极坐标的表达式？
思考：这些极坐标之间有何异同？
M
O
4，π 4
+2kπ
X
极径相同，不同的是极角.
A
2
11 7
6
6
C
3
5
4
3
3
2
2
3
B
6
D
A
2
11
6
3
5
3
2
例1. 如图，在极坐标系中，写出点A，
数学运用
B，C的极坐标，并标出点 D(2, )，
E(4, 3 )，F (3.5, 5 ) 所在的位6置？
4
2
2
3
2
2
3
5
3
6
3
B
6
5
3
6E
B
6
D
6
A.(8, )
6
C. (－8,
5
6
)
B. (8, － 5 )
D.(－8,
－ 6
6
)
课堂小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素？ 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数.极径有正有负；极角也有正负且无数个。
2
3
2
2
3
5
3
3
B
5
3
B
6
6
6
6
D
A
2
A
2
7
6C
4
3
3
2
11 7
6
6
C
5
4
3
3
3
2
11
6
5
3
例1. 如图，在极坐标系中，写出点A，
B，C的极坐标，并标出点 D(2, )，
所在的位6 置？
数学运用
2
5
3
6
7
6C
4
3
2
3
B
6
2
53ຫໍສະໝຸດ 6E情况下，也允许取负值(<0): 当<0时如 ，何 点M规(定,(,)的)位对置应规的定点：的位置？
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2, 5)
6
6
° O
x
° O
x
•
•M(-2, 5) M (, )
6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作, 将射线OP“反向延
6
A.(3, C. (3,
6
－
)
5
6
)
B. (－3, － )
6
D. (－3, － 5 )
6
2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是( )D
A.(－ρ,θ)
B.(－ρ,－θ)
C.(－ρ,θ＋π) D.(－ρ,π－θ)
3.在极坐标系中,与点(－8, )关于极点对称的
点 的一个坐标是 ( A)
练习：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 极坐标
直角坐标 极坐标
(2 3,2)
(4, )
6
(0,1)
(1, )
2
(3,0) (3, )
(3, 3 ) 5
(2 3, ) 6
( 3,1)
(2, 7 )
6
(5,0)
(5,0)
练习： 1. 在极坐标系中，与点(－3,
)重合的点是( C )
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为 极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 设M是平
面内任意一点，它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,).
从下图可以得出它们之间的关系：
x cos , y sin. ① y
由①又可得到下面的关系式：
2 x2 y2, tan y (x 0)
这封享誉世界的另类情书，至今，还保存在欧洲笛卡尔的 纪念馆里。
复习回顾
1. 直角坐标系
y
P(x,y)
●
z
P(x,y,z)
●
●
●
oP
o
x
o
y
x
（1）在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应；
（2）在平面直角坐标系上，平面上所有点的集合与全体有序实数对 （x , y）的集合建立一一对应；
思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。
2、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一 的一点M
P
M (ρ,θ)
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ ＞0,0≤θ ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
1.2 极坐标系
1650年，斯德哥尔摩的街头，52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞 典公主克里斯汀。
那时，落魄、一文不名的笛卡尔过着乞讨的生活，全部的财 产只有身上穿的破破烂烂的衣服和随身所带的几本数学书籍。生 性清高的笛卡尔从来不开口请求路人施舍，他只是默默地低头在 纸上写写画画，潜心于他的数学世界。一个宁静的午后，笛卡尔 照例坐在街头，沐浴在阳光中研究数学问题。他如此沉溺于数学 世界，身边过往的人群，喧闹的车马队伍。都无法对他造成干扰。 突然，有人来到他旁边，拍了拍他的肩膀，“你在干什么呢？” 扭过头，笛卡尔看到一张年轻秀丽的脸庞，一双清澈的眼睛如湛 蓝的湖水，楚楚动人，长长的睫毛一眨一眨的，期待着他的回应。 她就是瑞典的小公主，国王最宠爱的女儿克里斯汀。
数学运用
例例32、、在极坐标系中，
（1）已知两点P（5、 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
若（3）中的 R，则M表示什么样的图形？
3、关于负极径 在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的
面内一个点的极坐标有无数种表示. 特别规定: 当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。
如果规定＞0，0≤＜2，那么除极点外，平面内的点可用惟一的 极坐标(,)表示；
同时，极坐标表示的点(,)也是惟一确定的.
问题探究
平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用 极坐标表示.那么，这两种坐标之间有什么关系呢？
D
C
E
120m
45o
50m
60o
A O 60m
B
A(0,0) B(60,0)
C (120, )
3
E(50, 3 )
4
D(60
3, ) 2
X
思考
在极坐标系中，(4, )， (4, 2 )，
(4,
4 )， (4,
6
2 )
6 表示的点有什么关系？
6
6
你能从中体会极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的
度， 叫做点M的极径， 叫做点M的 极角，有序数对（，）就叫做M的极 坐标。
O
M x
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从Ox 到OM的角度，即以Ox（极轴）为始边，OM 为终边的角。
例1. 如图，在极坐标系中，写出点A，
B，C的极坐标，并标出点 D(2, )，
r a(1 sin )
国王看不懂，以为这个方程里隐藏着两个人不可告人的秘 密，便把全城的数学家召集到皇宫，但是没有人能解开这个函 数式。他不忍看着心爱的女儿每天闷闷不乐，便把这封信给了 她。
拿到信的克里斯汀欣喜若狂，她立即明白了恋人的意图， 找来纸和笔，着手把方程图形画了出来，一颗心形图案出现在 眼前，克里斯汀不禁流下感动的泪水，这条曲线就是著名的 “心形线”。国王去世后，克里斯汀继承王位，登基后，她便 立刻派人去法国寻找心上人的下落，收到的却是笛卡尔去世的 消息，留下了一个永远的遗憾……
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系: （1）若图形有对称中心，则可选对称中心为坐标原点； （2）若图形有对称轴，则可选择对称轴为坐标轴； （3）建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
合集下载
高二数学选修4-44.1.21极坐标系课堂PPT.ppt
（x , y , z）的集合建立一一对应；
授课：XX
1
复习回顾
4.1.1 直角坐标系
数
平面直角
轴
坐标系
空间直角 坐标系
R
（x , y)
（x , y , z)
授课：XX
2
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系 中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐 标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
OM= 3
M
给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的 射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描 点。
授课：XX
19
5、负极径的实质
从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射
M
线OP“反向延长”。
而反向延长也可以看成是旋转 O
，因此，所谓“负极径”实
质是针对方向的。这与数学中
[1]作射线OP，使XOP=
P
[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使OM= ;
O
X
如图示：
M
授课：XX
15
新课讲解
2、负极径的实例
在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一
P = /4
点M，使OM= 3;
O
X
如图示： M（－3，/4）
[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？
有.（ ，2k ） 或（- ，2k π）
授课：XX
27
课堂小结
1、极坐标 （ρ，2kπ+θ） 和（-ρ，2kπ+θ+π）k其Z
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
2018年高中数学人教版选修4-4课件：极坐标系
x , y , 极坐标是
们之间的关 系式
, .从 图
:
① ①
y
M
O
x
y
N
x
图 1 14
解
x 5 cos
2 3
5 2
, y 5 sin
2 3
5 2
3
.
所以 , 点 M 的直角坐标为
5 5 3 , 2 2
.
解 11 F Nhomakorabea5 4
4 3 17 12 19 12 5 3
C
4 3 17 12 3 2 19 12 5 3
7 4
6
7 4
6
3 2
解
由图 1 11 , 可得点 A , B , C , 的极坐标分别为 4 , 5, .点 D , E , F 的位置如图 3
1 , 0 ,
4, 2
1 12 所示 .
解
以点 A 为极点 , AB 所在射 ( 单位长度为 1 m ), 建
D
120m
C
线为极轴 立极坐标系
(图 1 13 ) .
E
45
0
60
50m
60
0
3m
点 A , B , C , D , E 的极坐标分
别 为 0 , 0 , 60 , 0 , 120 , , 3
.
7 2 3 5 6 11 12 4 3 12
2
5 12
3
2
7 12
2
5 12
3
人教版高中数学选修4-4《§1.2极坐标系》
M (,)
没有说明 时 ≥0
O
x
例 在图中,用点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育 馆,图书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当的极 实验楼 坐标系,写出各点的极坐标. 图书馆
D
解： A0,0
B60,0
C
C 120, D 60 3, 3 2
基点 参照方向和角
实验楼
D
距离
图书馆
C
办公楼
E
45
60m B 教学楼 体育馆
A
60
(一) 极 坐 标 系：
在平面内取一个定点O,叫做极点; 自极点O引一条射线Ox,叫做极轴; 再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧 度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样建立了 一个极坐标系.
O
x
极坐标系内点的极坐标 |OM| ∠xOM (,) 极径 极角 M的极坐标
120, 4 3
120, 2 3
M (,)
极坐标(,)与(,+2k)(k) 表示同一个点
极点(0,) )( R)
给定和就可以在平面内惟一确定点M；
O
x
但给定平面内一点M,却有无数个极坐标与之对应
当规定>0,0≤<2,那么除极点外,平面内的点 可用惟一的极坐标(,)表示;而极坐标(,)表 示的点也是惟一确定.
数学家笛卡尔
瑞典公主克里斯汀
1 sin
作业
课本第12页习题1.2
y x y , tan x 0（直角坐标化极坐标） x
2 2 2
2 例1: 将点M的极坐标 5, 3
化成直角坐标 .
没有说明 时 ≥0
O
x
例 在图中,用点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育 馆,图书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当的极 实验楼 坐标系,写出各点的极坐标. 图书馆
D
解： A0,0
B60,0
C
C 120, D 60 3, 3 2
基点 参照方向和角
实验楼
D
距离
图书馆
C
办公楼
E
45
60m B 教学楼 体育馆
A
60
(一) 极 坐 标 系：
在平面内取一个定点O,叫做极点; 自极点O引一条射线Ox,叫做极轴; 再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧 度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样建立了 一个极坐标系.
O
x
极坐标系内点的极坐标 |OM| ∠xOM (,) 极径 极角 M的极坐标
120, 4 3
120, 2 3
M (,)
极坐标(,)与(,+2k)(k) 表示同一个点
极点(0,) )( R)
给定和就可以在平面内惟一确定点M；
O
x
但给定平面内一点M,却有无数个极坐标与之对应
当规定>0,0≤<2,那么除极点外,平面内的点 可用惟一的极坐标(,)表示;而极坐标(,)表 示的点也是惟一确定.
数学家笛卡尔
瑞典公主克里斯汀
1 sin
作业
课本第12页习题1.2
y x y , tan x 0（直角坐标化极坐标） x
2 2 2
2 例1: 将点M的极坐标 5, 3
化成直角坐标 .
测控指导高中数学人教A版选修4-4课件：1.2 极坐标系
重难聚焦
典例透析
-5-
目标导航
知识梳理 知识梳理
重难聚焦
典例透析
-6-
目标导航
知识梳理 知识梳理
重难聚焦
典例透析
-7-
目标导航
知识梳理 知识梳理
重难聚焦
典例透析
-8-
目标导航
知识梳理 知识梳理
重难聚焦
典例透析
-9-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
1.极坐标系的四要素 剖析:极坐标系的要素是:(1)极点;(2)极轴;(3)长度单位;(4)角度单 位和它的正方向,四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线, 它与极轴所在的直线是有区别的;极角θ的始边是极轴,它的终边随 着θ的大小和正负而位于不同的位置;θ的正方向通常取逆时针方 向,θ的值一般是以弧度为单位的(但不作机械规定);点M的极径ρ表 示点M与极点O的距离|OM|,因此ρ≥0.
-16-
目标导航
题型一 题型二 题型三
知识梳理
重难聚焦
典例透析
-17-
目标导航
题型一 题型二 题型三
知识梳理
重难聚焦
典例透析
-18-
目标导航
题型一 题型二 题型三
知识梳理
重难聚焦
典例透析
-19-
目标导航
题型一 题型二 题型三
知识梳理
重难聚焦
典例透析
-20-
目标导航
题型一 题型二 题型三
知识梳理
-13-
目标导航
题型一 题型二 题型三
知识梳理
重难聚焦
典例透析
-14-
目标导航
题型一 题型二 题型三
知识梳理
选修4-4 1.2 极坐标系
这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
y
M (1, 3)
θ
O
x
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
M ( 2, ∏ / 3)
1 3 2 （ ）
2 2
3 tan 3 1
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
有。（ρ，2kπ+θ）
思考:极坐标系中，点A的极坐标是(3, ) 6
11 (3, ) （1）点A关于极轴对称的点是_______________ 6 7 (3, ) （2）点A关于极点对称的点的极坐标是__________ 6 5 (3, ) （3）点A关于直线 ＝ 的对称点的极坐标是_______ 6 2
如图：OM的长度为4， 4 请说出点M的极坐标的其 他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
π 2kπ+ 4 本题点M的极坐标统一表达式：4，
( 3, 1)
化成极坐标.
（ ） 解: ( 3 ) 1 2
选修4-4 1.2 极坐标系
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
5 6
C E D O B A X
4
4 3
F
G
5 3
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4， 4 请说出点M的极坐标的其 他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
π 2kπ+ 4 本题点M的极坐标统一表达式：4，
C (5,0) E ( 3,3)
D (0,2)
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
求两点间的距离.
用余弦定理求 AB的长即可.
3
π 解：∠AOB =
6
B
A
2
推广： 在极坐标下，任意两点P ( 1 ,1 ), P2 ( 2 , 2 ) 1
o
x
之间的距离可总结如下：
2 PP2 12 2 2 1 2 cos(1 2 ) 1
选修4-4 1.2 极坐标系__ppt
P O X
如图示：
M
新课讲解
2、负极径的实例
在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一 点M，使OM= 3; 如图示： M（－3，/4）
●
P
= /4
O
X
M
练一练
题组3：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标
2
在刻画点的位置时的区别吗？
思考
小结 极坐标(, ) 与(, ＋2k)(k∈Z)表示 同一个点. 和直角坐标不同，平面内一个 点的极坐标有无数种表示.
特别规定: 当M在极点时，它的极坐标=0，可以 取任意值。
如果规定＞0，0≤＜2，那么除 极点外，平面内的点可用惟一的极坐标 (,)表示；同时，极坐标表示的点(,) 也是惟一确定的.
x cos , y sin .
2 2 2
①y
由①又可得到下面的关系式：
y x y , tan ( x 0) O x
x
M y N x
三、极坐标与直角坐标的互化 公式
y 直化极： x y , tan ( x 0) x
2 2 2
2
3
6
)
2 3
B A
3
5 6
2 3
2
3
E
B A D
6
2
11 6
7 6
2
11 6
7 6
C 4
3
3 2
5 3
C 4
3
F
3 2
5 3
例2：下图是某校园的平面示意图，点 A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图 书馆,实验楼,办公楼的位置,建立适当 的极坐标系,写出各点的极坐标。
人教版高中数学选修4-4极坐标系一等奖优秀课件
复习回顾
1. 直角坐标系 数 轴 平面直角坐标 系 空间直角坐标 系
R
（ x , y)
（ x , y , z)
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系中，应满 足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐标就能确 定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中飞猛进，他们之间也 开始变得亲密起来。笛卡尔向她介绍了他研究的新领域——直 角坐标系。通过它，代数与几何可以结合起来，也就是日后笛 卡尔创立的解析几何学的雏形。在笛卡尔的带领下，克里斯汀 走进了奇妙的坐标世界，她对曲线着了迷。每天的形影不离也 使他们彼此产生了爱慕之心。在瑞典这个浪漫的国度里，一段 纯粹、美好的爱情悄然萌发。然而，没过多久，他们的恋情传 到了国王的耳朵里。国王大怒，下令马上将笛卡尔处死。在克 里斯汀的苦苦哀求下，国王将他放逐回国，公主被软禁在宫中。 当时，欧洲大陆正在流行黑死病。身体孱弱的笛卡尔回到法国 后不久，便染上重病。
4 )，F ( 3.5,
2
数学运用
3
6
)
2 3
5 6
她蹲下身，拿过笛卡尔的数学书和草稿纸，和他交谈起来。 言谈中，他发现，这个小女孩思维敏捷，对数学有着浓厚的兴 趣。和女孩道别后，笛卡尔渐渐忘却了这件事，依旧每天坐在 街头写写画画。几天后，他意外地接到通知，国王聘请他做小 公主的数学老师。满心疑惑的笛卡尔跟随前来通知的侍卫一起 来到皇宫，在会客厅等候的时候，他听到了从远处传来的银铃 般的笑声。转过身，他看到了前儿天在街头偶遇的女孩子。慌 忙中，他赶紧低头行礼。从此，他当上了公主的数学老师。
办公楼
E
45o
50m A 教学楼