高考数学一轮复习不等式的性质、一元二次不等式
解析：∵－1＜b＜0, ∴b＜b2＜1，又a＜0，∴ab＞ab2＞a，故 选D.
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13 2．不等式x＋22－x≥0 1 3 A.x|x＜－2或x＞2 1 3 B.x|x≤－2或x≥2 1 3 C.x|－2≤x≤2 1 3 D.x|－2＜x＜2
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1．两个实数比较大小的方法 a－b＞0⇔a ＞ b， (1)作差法a－b＝0⇔a＝b， a－b＜0⇔a ＜ b； a＞1⇔a ＞ ba∈R，b＞0， b a (2)作商法b＝1⇔a＝ba∈R，b＞0， a ＜ ba∈R，b＞0. ＜ 1 ⇔ a b
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2
5．不等式 ax ＋bx＋2＞0
－14 ． ________
1 1 的解集是－2，3，则
a＋b 的值是
1 1 解析：由题意知－ ， 是ax2＋bx＋2＝0的两根， 2 3 则a＝－12，b＝－2. 所以a＋b＝－14.
第六章 不等式 第一节 不等式的性质、一元二次不等式
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1．不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实 际背景． 2．一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型． (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元 二次方程的联系． (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求 解的程序框图．
的解集是(
)
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3 2－x≥0 1 3 解析： 法一 ：不等式 x＋2 2－x ≥0 可化为 x＋1≥0 2 3 2－x≤0 x＋1≤0 2 ①或
1 3 ②，解①得，－ ≤x≤ ，解②得，x∈∅，故选 C. 2 2
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易错通关ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0 时，有a＞b⇒ac2＞bc2；若无c≠0这个条件，a＞b⇒ac2＞bc2 就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)． 2．对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记讨论a＝0时的 情形． 3．当Δ＜0时，ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意 区别．
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4．(2018· 资阳诊断)已知 a，b∈R，下列命题正确的是( D ) A．若 a＞b，则|a|＞|b| 1 1 B．若 a＞b，则a＜b C．若|a|＞b，则 a2＞b2 D．若 a＞|b|，则 a2＞b2
解析：当a＝1，b＝－2时，选项A、B、C均不正确；对于D 项，a＞|b|≥0，则a2＞b2.
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1 3 1 3 法二：将不等式化为 x＋2 x－2 ≤0，故－ ≤x≤ . 2 2
法三：结合不等式中 x 的系数及不等号可排除 A，B 选项，又不 等式带等号，故选 C. 答案：C
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2．不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞ b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c ＞ b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac ＞ bc；a＞b＞0， c＞d＞0⇒ac ＞ bd；
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3．设 a，b∈[0，＋∞)，A＝ a＋ b，B＝ a＋b，则 A，B 的 大小关系是( B ) A ． A≤ B C ． A＜ B B．A≥B D．A＞B
解析：由题意得，B2－A2＝－2 ab≤0，且 A≥0，B≥0，可得 A≥B.
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2
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
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判别式 Δ＝b －4ac 一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
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(5)可乘方：a＞b＞0⇒an ＞ bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒ a ＞ n n b(n∈N，n≥2)．
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3．三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b －4ac 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
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[小题纠偏] 1．设a，b，c∈R，且a＞b，则( D ) A．ac＞bc C．a2＞b2 1 1 B.a＜b D．a3＞b3
解析：当c＜0时，ac＞bc不成立，故A不正确，当a＝1，b＝ －3时，B、C均不正确，故选D.
2
Δ＞0
Δ＝0 有两相等实根 b x1＝x2＝－ 2a
b x|x≠－ 2a
Δ＜0
2
有两相异实根 x1，x2(x1＜x2)
没有实 数根
{x|x＞x2 或 x＜x1}
R
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
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[小题诊断] 1．已知 a＜0，－1＜b＜0，那么( D ) A．a＞ab＞ab2 C．ab＞a＞ab2 B．ab2＞ab＞a D．ab＞ab2＞a
《高考数学第一轮复习课件》第41讲 不等式的性质与基本不等式及应用
(4)a>b,c>0 ac>bc ;a>b,c<0 11 ac<bc . 推论１ 推论１:a>b>0,c>d>0 12 ac>bd .
13 推论２ 推论２:a>b>0 an>bn .
n a > n b . 推论３ 推论３:a>b>0 14
3.基本不等式 基本不等式 定理1:如果 、 ∈ 那么 那么a 定理 如果a、b∈R,那么 2+b2≥ 如果 且仅当a=b时取“＝”号). 时取“ 且仅当 时取
第41讲 41讲
不等式的性质与基本不等 式及应用
1.了解现实世界与日常生活中的不 了解现实世界与日常生活中的不 等关系，了解不等式(组 的实际背景 的实际背景. 等关系，了解不等式 组)的实际背景 2.掌握并能运用不等式的性质，掌 掌握并能运用不等式的性质， 掌握并能运用不等式的性质 握比较两个实数大小的一般步骤. 握比较两个实数大小的一般步骤 3.掌握基本不等式，会用基本不等 掌握基本不等式， 掌握基本不等式 式解决简单的最大（ 值问题. 式解决简单的最大（小）值问题
新课标高中一轮 总复习
理数
第六单元 不等式及不等式选讲
知识体系
考纲解读
1.不等关系 不等关系. 不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解不等式（ 的实际背景. 了解不等式（组）的实际背景 2.一元二次不等式 一元二次不等式. 一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式 会从实际情境中抽象出一元二次不等式 模型. 模型 (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相 通过函数图象了解一元二次不等式与相 应的二次函数、一元二次方程的联系. 应的二次函数、一元二次方程的联系 (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二 会解一元二次不等式， 会解一元二次不等式 次不等式，会设计求解的程序框图. 次不等式，会设计求解的程序框图
2025届高中数学一轮复习课件《一元二次不等式的解法》ppt
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对点练 3 解关于 x 的不等式 x2－ax＋1≤0.
解：由题意知，Δ＝a2－4.
①当 a2－4＞0，即 a＞2 或 a＜－2 时，方程 x2－ax＋1＝0 的两根为 x＝a± a22－4，∴
原不等式的解集为x a－
2a2－4≤x≤a＋
a2－4 2
.
②若 Δ＝a2－4＝0，则 a＝±2.
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第16页
解：(1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤43，
所以原不等式的解集为x－2≤x≤43
.
(2)原不等式等价于xx22－－xx－－22＞≤04， ⇔xx22－－xx－－26＞≤00， ⇔xx－－23xx＋＋12＞≤00， ⇔
逆向思维，－1,2 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根．
b(x－1)＋c＞2ax 的解集是( )
A．{x|0＜x＜3}
B．{x|x＜0 或 x＞3}
C．{x|1＜x＜3}
D．{x|－1＜x＜3}
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第30页
解析：由 a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，得 ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)＞0. ①
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第二章 不等式
第3讲 二次函数与一元二次不等式 第2课时 一元二次不等式的解法
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第2页
复习要点 1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的 联系.2.会解一元二次不等式和分式不等式.3.了解较简单的不等式恒成立问题的解法．
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当 a＞1 时，不等式的解集为x1a＜x＜1
高三数学 第一轮复习 02：不等式的性质及一元二次不等式
例1-6 下列命题正确的是 ( )
A．若 | a | b ，则 a2 b2 C．若 a2 b2 ，则 a | b |
B．若 a | b | ，则 a2 b2 D．若 a2 b2 ，则 1 1
m
x2
0
x1 m x2 m
0
f
(m )
0 ；（6） x1, x2 (m, n)
m
b n 2a
f (m) 0
f (n) 0
-3-
· 典例精讲 ·
模块01：不等式的性质及应用
① 不等式的基本性质：
例1-1 下列四个命题：
①若 a | b | ，则 a2 b2 ③若 a b ， c d ，则 ac bd 其中正确命题的个数有 ( )
D． b b m aa
【答案】： B
【解析】：向糖水（不饱和）中再加入
m
克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，可知浓度变大．由题意可得：b a
b a
m m
。
故选： B 。
例1-4 设 b a ， d c ，则下列不等式中一定成立的是 ( )
A． a c b d
B． ac bd
C． a d b c
*作商法：作商法比大小的变形要围绕与1比大小进行。
作商法的基本步骤是：
①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小。
（一般运用的范围在正数范围内，幂指运算，和后期的数列学习中）
模块02：一元二次不等式的解法
1、一般流程：
①将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2 bx c 0 或 ax2 bx c 0(a 0) 。
高三理数一轮讲义：7.1-不等式的性质与一元二次不等式(练习版)
第1节不等式的性质与一元二次不等式最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.知识梳理1.实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c ；a ＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2).3.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅[微点提醒] 1.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m (b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b .2.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记a ＝0时的情形.3.当Δ<0时，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a ＞b ⇔ac 2＞bc2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )2.(必修5P74例1改编)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞b c B.a d ＜b c C.a c ＞b dD.a c ＜b d3.(必修5P103A2改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝( )A.(－2，3)B.(－2，2)C.(－2，2]D.[－2，2]4.(2018·衡阳联考)若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( ) A.ac 2<bc 2 B.1a <1b C.b a >abD.a 2>ab >b 25.(2019·河北重点八所中学模拟)不等式2x 2－x －3>0的解集为________.6.(2018·汉中调研)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.考点一不等式的性质多维探究角度1比较大小及不等式性质的简单应用【例1－1】(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c 的大小关系是()A.c≥b>aB.a>c≥bC.c>b>aD.a>c>b(2)(一题多解)若1a＜1b＜0，给出下列不等式：①1a＋b＜1ab；②|a|＋b＞0；③a－1a＞b－1b；④lna2＞ln b2.其中正确的不等式是()A.①④B.②③C.①③D.②④角度2利用不等式变形求范围【例1－2】(一题多解)设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.规律方法 1.比较两个数(式)大小的两种方法2.与充要条件相结合问题，用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用.3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.4.在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.【训练1】(1)(2019·东北三省四市模拟)设a，b均为实数，则“a>|b|”是“a3>b3”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2018·天一测试)已知实数a ∈(1，3)，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14，则a b 的取值范围是________.考点二 一元二次不等式的解法【例2－1】 (1)(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________.【例2－2】 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).规律方法 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或∅).(3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.【训练2】 (1)不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3] (2)(2019·清远一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3)C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)考点三 一元二次不等式恒成立问题多维探究角度1 在实数R 上恒成立【例3－1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－2，2)D.(－2，2]角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】 (一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】 已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( )A.(－∞，2)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)规律方法 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)(2019·河南豫西南五校联考)已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是( ) A.[0，1]B.(0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2019·安庆模拟)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( ) A.0 B.－2 C.－52 D.－3[思维升华]1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单. [易错防范]1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A.f (x )＝g (x ) B.f (x )＞g (x )C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化2.已知x ，y ∈R ，那么“x >y ”的充要条件是( ) A.2x >2y B.lg x >lg y C.1x >1yD.x 2>y 23.不等式|x |(1－2x )>0的解集为( ) A.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 4.若实数m ，n 满足m >n >0，则( ) A.－1m <－1n B.m －n <m －n C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12m>⎝ ⎛⎭⎪⎫12nD.m 2<mn5.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)二、填空题6.若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________.7.规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是________.8.(2019·阳春质检)设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值.10.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是( ) A.log 2a >0B.2a －b <12 C.log 2a ＋log 2b <－2 D.2a b ＋b a <1212.(2019·保定调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－2) B.(－2，0)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)13.已知－1<x ＋y <4，2<x －y <3，则3x ＋2y 的取值范围是________.14.(2019·济南质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x .若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围.。
2023年高考数学(文科)一轮复习——不等式的性质与一元二次不等式
第1节不等式的性质与一元二次不等式考试要求 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.1.实数大小比较的依据(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒n a＞n b n∈N，n≥2).3.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集 {x |x ＞x 2或x ＜x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}4.分式不等式与整式不等式(1)f （x ）g （x ）＞0(＜0)⇔f (x )·g (x )＞0(＜0). (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.1.有关分式的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m (b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b .2.绝对值不等式|x |＞a (a ＞0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |＜a (a ＞0)的解集为(－a ，a ).记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.3.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记a ＝0时的情形.4.当Δ<0时，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是，要注意区别.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)a＞b⇔ac2＞bc2.()(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R.()(4)x－ax－b≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞b⇒/ ac2＞bc2.(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为.(4)x－ax－b≥0等价于(x－a)(x－b)≥0且x－b≠0.2.已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝()A.(－2，3)B.(1，3)C.(3，4)D.(－2，4)答案 B解析由题意知A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－2<x<3}，所以A∩B＝(1，3).3.(易错题)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.ad＞bc B.ad＜bcC.ac＞bd D.ac＜bd答案 B解析因为c＜d＜0，所以0＞1c＞1d，两边同乘－1，得－1d＞－1c＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－ad ＞－bc＞0.两边同乘－1，得ad＜bc.4.(2021·烟台月考)不等式1－x2＋x≥0的解集为()A.[－2，1]B.(－2，1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞) 答案 B解析 原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（2＋x ）≥0，2＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x ＋2）≤0，x ＋2≠0，解得－2＜x ≤1. 5.(2022·北京海淀区调研)设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则ab 的值为( ) A.1 B.－14C.4D.－12答案 B解析 因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，所以方程ax 2＋bx ＋1＝0的解为－1和2，所以－1＋2＝－b a ，(－1)×2＝1a ，所以a ＝－12，b ＝12，所以ab ＝－14.6.(易错题)若关于x 的不等式kx 2－kx <1的解集是全体实数，则实数k 的取值范围是________. 答案 (－4，0]解析 当k ＝0时，0<1恒成立，当k ≠0时，要使kx 2－kx －1<0的解集是全体实数， 只需满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2＋4k <0，解得－4<k <0.综上可知，－4<k ≤0.考点一 不等式的性质及应用1.设a ＞b ＞0，c ≠0，则下列不等式恒成立的是( ) A.1a ＞1bB.ac 2＞bc 2C.ac ＞bcD.c a ＜c b答案 B解析 由不等式的性质易得，当a ＞b ＞0，c ≠0时，恒成立的是ac 2＞bc 2. 2.若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b 与q ＝a ＋b 的大小关系为( ) A.p <q B.p ≤q C.p >q D.p ≥q答案 B解析 (作差法)p －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b ＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b ＝(b 2－a 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1b ＝（b 2－a 2）（b －a ）ab ＝（b －a ）2（b ＋a ）ab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0. 若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ； 若a ≠b ，则p －q <0，故p <q . 综上，p ≤q .故选B.3.已知3＜a ＜8，4＜b ＜9，则ab 的取值范围是________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2解析 ∵4＜b ＜9，∴19＜1b ＜14， 又3＜a ＜8，∴19×3＜a b ＜14×8，即13＜ab ＜2.4.设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________. 答案 [5，10]解析 法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b . 于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1). 又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故5≤f (－2)≤10.法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1). 又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故5≤f (－2)≤10.法三 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5， 当f (－2)＝4a －2b 过点B (3，1)时，取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10.感悟提升 1.比较两个数(式)大小的两种方法2.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.3.利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 考点二 一元二次不等式的解法例1 (1)不等式0<x 2－x －2≤4的解集为________. (2)不等式x ＋1x ≤3的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12或x <0 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x ≤12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12或x ≤0 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0≤x <12 答案 (1){x |－2≤x <－1，或2<x ≤3} (2)A 解析 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.故原不等式的解集为{x |－2≤x <－1，或2<x ≤3}. (2)原不等式化为x ＋1x －3≤0，即1－2x x ≤0，则⎩⎪⎨⎪⎧（1－2x ）·x ≤0，x ≠0，解得x ≥12或x <0，即不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12或x <0. 例2 解关于x 的不等式kx 2－2x ＋k ＜0(k ∈R ). 解 ①当k ＝0时，不等式的解为x ＞0.②当k ＞0时，若Δ＝4－4k 2＞0，即0＜k ＜1时，不等式的 解为1－1－k 2k ＜x ＜1＋1－k 2k ；若Δ≤0，即k ≥1时，不等式无解.③当k ＜0时，若Δ＝4－4k 2＞0，即－1＜k ＜0时， 不等式的解为x ＜1＋1－k 2k 或x ＞1－1－k 2k； 若Δ＜0，即k ＜－1时，不等式的解集为R ； 若Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解为x ≠－1， 综上所述，k ≥1时，不等式的解集为；0＜k ＜1时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1－1－k 2k ＜x ＜1＋1－k 2k ； k ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞0}； 当－1＜k ＜0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1＋1－k 2k ，或x ＞1－1－k 2k ； k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}； k ＜－1时，不等式的解集为R .感悟提升对含参的不等式，应对参数进行分类讨论(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系.(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.训练1 (2022·西安调研)关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(1，3)C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)答案 C解析关于x的不等式ax－b<0即ax<b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b<0，∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，∴所求不等式的解集是(－1，3).考点三一元二次不等式恒成立问题角度1在实数集R上恒成立例3 对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是()A.(－∞，2)B.(－∞，2]C.(－2，2)D.(－2，2]答案 D解析当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；当a－2≠0，即a≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[－2（a －2）]2－4×（a －2）×（－4）<0，解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2，2]. 角度2 在给定区间上恒成立例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________. 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 解析 要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立，故mx 2－mx ＋m －6＜0， 则m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立.法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3].当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0.法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0， 所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可. 因为m ≠0，所以m的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 角度3 给定参数范围的恒成立问题例5 对任意m ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围.解 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1，1]上，g (m )的值恒大于零，所以⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＝（x －2）×（－1）＋x 2－4x ＋4>0，g （1）＝（x －2）＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1，1]，函数f (x )的值恒大于零. 感悟提升 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.训练2 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)若当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若当x ∈[－2，2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若当a ∈[4，6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围.解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，解得－6≤a ≤2，∴实数a 的取值范围是[－6，2].(2)由题意可转化为x 2＋ax ＋3－a ≥0在x ∈[－2，2]上恒成立，令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则有①Δ≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a 2<－2，g （－2）＝7－3a ≥0，或③⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a 2>2，g （2）＝7＋a ≥0，解①得－6≤a ≤2，解②得a ∈，解③得－7≤a <－6.综上可得，满足条件的实数a 的取值范围是[－7，2].(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4，6]时，h (a )≥0恒成立.只需⎩⎪⎨⎪⎧h （4）≥0，h （6）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0， 解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞).一元二次方程根的分布一元二次方程的根即为对应二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此，一元二次方程的根的分布问题，可以借助二次函数图象，利用数形结合的方法来研究.往往根据方程根的情况结合对应二次函数的图象建立不等关系式(组)，求得参数的取值范围.例1 关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0满足下列条件，求m 的取值范围.(1)有两个正根；(2)有两个负根；(3)有一正一负根.解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（m －3）2－4m ≥0，3－m ＞0，m ＞0，解得0＜m ≤1.故m 的取值范围为(0，1].(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（m －3）2－4m ≥0，3－m ＜0，m ＞0，解得m ≥9.故m 的取值范围为[9，＋∞).(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，m ＜0，解得m ＜0. 故m 的取值范围为(－∞，0).例2 关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0满足下列条件，求m 的取值范围.(1)一个根大于1，一个根小于1；(2)一个根在(－2，0)内，另一个根在(0，4)内；(3)一个根小于2，一个根大于4；(4)两个根都在(0，2)内.解 令f (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，(1)若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一个根大于1，一个根小于1，则f (1)＝2m －2＜0，解得m ＜1.故m 的取值范围为(－∞，1).(2)若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一个根在(－2，0)内，另一个根在(0，4)内，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＝－m ＋10＞0，f （0）＝m ＜0，f （4）＝5m ＋4＞0，解得－45＜m ＜0. 故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，0. (3)若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一个根小于2，一个根大于4，则⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝3m －2＜0，f （4）＝5m ＋4＜0，解得m <－45. 故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－45. (4)若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两个根都在(0，2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝3m －2＞0，f （0）＝m ＞0，0＜－m －32＜2，Δ＝（m －3）2－4m ≥0，解得23＜m ≤1.故m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1.1.(2022·银川模拟)已知a ，b ，c 满足a ＞b ＞c ，且ac ＞0，则下列选项中一定能成立的是( )A.ab ＞acB.c (b －a )＞0C.ab (a －c )＞0D.cb 2＞ca 2答案 C解析法一取a＝－1，b＝－2，c＝－3，则ab＝2＜ac＝3，cb2＝－12＜ca2＝－3，排除A、D；取a＝3，b＝2，c＝1，则c(b－a)＝－1＜0，排除B.法二因为a＞b＞c，且ac＞0，所以a，b，c同号，且a－c＞0，所以ab(a－c)＞0.2.已知a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A.M＜NB.M＞NC.M＝ND.不确定答案 B解析M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，∴a1－1＜0，a2－1＜0.∴(a1－1)(a2－1)＞0，即M－N＞0，∴M＞N.3.(2021·烟台模拟改编)若0＜a＜b＜1，c＞1，则下列选项错误的是()A.c a＜c bB.ba c＜ab cC.b－ac－a＜bc D.log a c＜log b c答案 D解析对于A，当c＞1时，y＝c x单调递增，由a＜b可知c a＜c b，故A正确；对于B，当c＞1时，c－1＞0，所以y＝x c－1在(0，＋∞)上单调递增，由0＜a＜b ＜1可得a c－1＜b c－1，两边同时乘ab得ba c＜ab c，故B正确；对于C ，因为b －ac －a －b c ＝（b －a ）c －b （c －a ）（c －a ）c ＝a （b －c ）c （c －a ）， 又0＜a ＜b ＜1，c ＞1，所以c －a ＞0，b －c ＜0，所以a （b －c ）c （c －a ）<0，即b －a c －a ＜b c ，故C 正确；对于D ，当c ＞1时，y ＝log c x 在(0，＋∞)上单调递增，由0＜a ＜b ＜1可得log c a＜log c b ＜0，则1log c a ＞1log c b ，即log a c ＞log b c ，故D 错误，故选D. 4.不等式|x |(1－2x )＞0的解集为( )A.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 答案 A解析 当x ≥0时，原不等式即为x (1－2x )＞0，所以0＜x ＜12；当x ＜0时，原不等式即为－x (1－2x )＞0，所以x ＜0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 5.(2022·渭南质检)若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，那么不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c ＞2ax 的解集为( )A.{x |－2＜x ＜1}B.{x |x ＜－2或x ＞1}C.{x |0＜x ＜3}D.{x |x ＜0或x ＞3}答案 C解析 由a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c ＞2ax 整理得ax 2＋(b －2a )x ＋(a ＋c －b )＞0.① 又不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，所以a ＜0，且－1，2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－b a ，（－1）×2＝c a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，c a ＝－2.② 将①两边同除以a 得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋c a －b a ＜0， 将②代入得x 2－3x ＜0，解得0＜x ＜3，故选C.6.已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集是( )A.(－∞，－1)∪(0，＋∞)B.(－∞，0)∪(1，＋∞)C.(－1，0)D.(0，1)答案 C解析 由Δ＝[－(a ＋2)]2－4a ＝a 2＋4＞0知，函数f (x )必有两个不同的零点， 又f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则f (－2)·f (－1)＜0，即(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，解得－32＜a ＜－56.又a ∈Z ，所以a ＝－1，此时不等式f (x )＞1即为－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0.7.若不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________________.答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞)解析 由题意得Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16.∴a >4或a <－4.8.已知集合A ＝{－5，－1，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A 有且只有一个公共元素，这个不等式可以是________________.答案 (x ＋4)(x －6)>0(答案不唯一)解析 因为不等式(x ＋4)(x －6)>0解集为{x |x >6或x <－4}，解集中只有－5在集合A 中.9.设a ＜0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.答案 (－∞，－2]解析 令t ＝cos x, t ∈[－1，1]，则不等式f (t )＝t 2－(a －1)t －a 2≤0对t ∈[－1，1]恒成立，因此⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －a 2≤0，2－a －a 2≤0，∵a ＜0，∴a ≤－2.10.若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (x ＋2)－f (x )＝16x 且f (0)＝2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若存在x ∈[1，2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)由f (0)＝2，得c ＝2，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋2(a ≠0)，由f (x ＋2)－f (x )＝[a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋2]－(ax 2＋bx ＋2)＝4ax ＋4a ＋2b ， 又f (x ＋2)－f (x )＝16x ，得4ax ＋4a ＋2b ＝16x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝16，4a ＋2b ＝0，故a ＝4，b ＝－8， 所以f (x )＝4x 2－8x ＋2.(2)因为存在x ∈[1，2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，即存在x ∈[1，2]，使不等式m <4x 2－10x ＋2成立，令g (x )＝4x 2－10x ＋2，x ∈[1，2]，故g (x )max ＝g (2)＝－2，所以m <－2，即m 的取值范围为(－∞，－2).11.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围.解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}.(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.12.(2022·绵阳诊断)已知正实数x ，y 满足ln x y ＞lg yx ，则下列选项正确的是()A.ln x ＞ln(y ＋1)B.ln(x ＋1)＜lg yC.3x ＜2y －1D.2x －y ＞1答案 D解析 因为正实数x ，y 满足ln x y ＞lg yx ，所以ln x －ln y ＞lg y －lg x ，所以ln x ＋lg x ＞ln y ＋lg y ，因为函数f (x )＝ln x ＋lg x 在(0，＋∞)上单调递增，所以x ＞y ，对于A ，取x ＝4，y ＝3，此时ln x ＝ln(y ＋1)；对于B ，取x ＝2，y ＝1，此时ln(x ＋1)＞lg y ；对于C ，取x ＝3，y ＝2，此时3x ＞2y －1，故C 错误；对于D ，因为x ＞y ，所以2x －y ＞20＝1，故D 正确.13.(2021·张家口月考)已知函数f (x )＝4x ＋a ·2x －a 在x ∈(0，＋∞)上的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是________.答案 (－4，＋∞)解析 函数f (x )＝4x ＋a ·2x －a 在x ∈(0，＋∞)上的图象恒在x 轴上方即4x ＋a ·2x －a ＞0在x ∈(0，＋∞)上恒成立.a (2x －1)＞－4x，∴a ＞－4x 2x －1， 令t ＝2x ，则4x ＝t 2，t ＞1，则0＜1t ＜1，故a ＞－t 2t －1＝t 21－t ＝11t 2－1t ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122－14， 显然⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122－14≥－14，故－t 2t －1≤－4， 故a ＞－4.14.解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R ).解 原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时，原不等式可化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0. 因为方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是；当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a ＜x ＜2. (2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2， 即原不等式的解集是{x |x ＞2}.(3)当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，由于1a ＜2.故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1a 或x ＞2. 综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1a 或x ＞2； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，不等式的解集为；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a ＜x ＜2.。
高考数学第一轮基础复习 不等式的性质及解法课件
●命题趋势 1．不等式的性质是主要考查点之一，主要以客观题 形式考查．常见考查方式： ①依据给定的条件，利用不等式的性质，判断不等 式或有关的结论是否成立； ②利用不等式的性质与实数的性质、函数的性质相 结合，比较数的大小； ③判断不等式中条件与结论之间的关系，是充分条 件或必要条件或充要条件； ④解证不等式中的等价变形．
2．解不等式主要是一次、二次、分式、指对不等式， 结合函数单调性的抽象不等式，一般都比较容易．与其 它知识揉合在一块命题是主要考查形式，如和函数的定 义域结合，和集合结合，和逻辑用语结合等等，要注意 含参数的讨论 3．基本不等式是考查的重点和热点，常与其它知识 交汇在一起．
4．线性规划是高考考查的重要内容之一，一般为客 观题． 5．证明不等式是考查的重点，经常与一次函数、二 次函数、指对函数、导数等函数知识相结合．有时也与 向量、数列、解析几何各种知识交汇命题，重点考查不 等式知识，试题的立意高、难度大、综合性强，这两年 高考命题难度稍降．
6．应用题是高考命题的热点，而且应用问题多数与 不等式相关，需要根据题意，建立不等关系，设法求解； 或者用均值不等式、函数单调性求出最值等．
●备考指南 1．加强与函数性质、三角、数列、平面向量、解析 几何、导数的交汇训练，难度不宜太大，注意体现不等 式的工具作用． (1)要加强对不等式性质的理解与复习，对于常混易 错点应反复训练强化．可通过判断不等式是否成立，找 不等式成立的条件，比较数的大小等形式命题练习．
3．二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①从实际情境中抽象出二元一次不等式组． ②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域 表示二元一次不等式组． ③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问 题，并能加以解决．
a＋b 4．基本不等式： ab≤ (a，b>0)． 2 ①探索并了解基本不等式的证明过程． ②会用基本不等式解决简单的最大 (小 )值问题．
高考数学(理)一轮知识点专题讲座：不等式的性质及解法(含答案)
【名师面对面】2015届数学一轮知识点讲座考点25 不等式的性质及解法加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标不等式的性质；一元二次不等式的解法 二.知识梳理1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0>-⇔>b a b a 0<-⇔<b a b a 0=-⇔=b a b a2.不等式的性质：（1）a b b a <⇔> ， a b b a >⇔< （反对称性）（2）c a c b b a >⇒>>, ，c a c b b a <⇒<<, （传递性） （3）c b c a b a +>+⇒>，故b c a c b a ->⇒>+ （移项法则） 推论：d b c a d c b a +>+⇒>>, （同向不等式相加） （4）bc ac c b a >⇒>>0,，bc ac c b a <⇒<>0, 推论1：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0推论2：n n b a b a >⇒>>0;推论3：n nb a b a >⇒>>03.解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式．(2)解一元二次不等式 (3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式． ①解一元高次不等式；②解分式不等式；③解无理不等式； ④解指数不等式；⑤解对数不等式；⑥解带绝对值的不等式； ⑦解不等式组．4.解不等式时应特别注意下列几点： (1)正确应用不等式的基本性质(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性 (3)注意代数式中未知数的取值范围5.不等式的同解性(1)f(x)g(x)0 f(x)0 g(x)0 f(x)0g(x)0·＞与＞＞或＜＜同解．⎧⎨⎩⎧⎨⎩ (2)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0·＜与＞＜或＜＞同解．⎧⎨⎩⎧⎨⎩ (3)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0(g(x)0)＞与＞＞或＜＜同解．≠⎧⎨⎩⎧⎨⎩(4)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0(g(x)0)＜与＞＜或＜＞同解．≠⎧⎨⎩⎧⎨⎩(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0) (6)|f(x)|＞g(x) 与①f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)；②g(x)＜0同解(7)f(x)g(x) f(x)[g(x)]f(x)0g(x)0f(x)0g(x)02＞与＞≥≥或≥＜同解．⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎩(8)f(x)g(x)f(x)[g(x)]f(x)02＜与＜≥同解．⎧⎨⎩(9)当a ＞1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＞g(x)同解， 当0＜a ＜1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＜g(x)同解(10)a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0a a 当＞时，＞与＞＞同解．⎧⎨⎩ 当＜＜时，＞与＜＞＞同解．0a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x) f(x)0g(x)0a a ⎧⎨⎪⎩⎪6.零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法 步骤：①形式：分母）移项，通分（不轻易去←>0)()(x Q x P ②首项系数符号>0——标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为正 ③判断或比较根的大小 7.绝对值不等式a x <与)0(>>a a x 型不等式cb ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法与解集：不等式)0(><a a x 的解集是{}a x a x <<-; 不等式)0(>>a a x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式)0(><+c c b ax 的解集为 {})0(|><+<-c c b ax c x ; 不等式)0(>>+c c b ax 的解集为 {})0(,|>>+-<+c c b ax c b ax x 或 8.解一元一次不等式)0(≠>a b ax①⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>a b x x a ,0 ②⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a b x x a ,0 9.韦达定理：方程02=++c bx ax （0≠a ）的二实根为1x 、2x ，则240b ac ∆=-≥且⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a cx x a b x x 2121①两个正根，则需满足⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆0002121x x x x ，②两个负根，则需满足1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪>⎩，③一正根和一负根，则需满足⎩⎨⎧<>∆0021x x10.一元二次不等式的解法步骤对于一元二次不等式()22000ax bx c ax bx c a ++>++<>或，设相应的一元二次方程()200ax bx c a ++=>的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：c方程的根→函数草图→观察得解，对于0a <的情况可以化为0a >的情况解决注意：含参数的不等式ax 2＋bx ＋c>0恒成立问题⇔含参不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集是R ；其解答分a ＝0(验证bx ＋c>0是否恒成立)、a ≠0（a<0且△<0）两种情况 三．考点逐个突破 1.不等式的性质例1.（1） 已知三个不等式：①ab>0 ②bc>ad ③a c >bd,以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成多少个正确的命题？并写出这些命题 解：可以组成下列3个命题命题一：若ab>0，a c >bd, 则bc>ad 命题二：若ab>0，bc>ad 则a c >bd,命题三：若a c >bd, bc>ad 则ab>0由不等式的性质得知这三个命题均为真命题（2）有三个条件：（1）ac 2>bc 2；(2)c a ＞c b；(3)a 2>b 2，其中能分别成为a>b 的充分条件的个数有A ．0B ．1C ．2D ．3解：（1）由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a>b ，故ac 2>bc 2是a>b 的充分条件（2）c<0时，a<b （3）a<0时，a<b ，故（2）、（3）不是a>b 的充分必要条件，故答案选B 2.数的大小的比较例2. 设0.533,log 2,cos 2a b c ===,则 A ．c <b a < B ．c a b << C ．a <b c <D ．b <c a <【答案】A【解析】0.531=>,,30log 21<<,,cos 20<,所以c b a <<,选A3.含绝对值不等式的解法例3. （1）已知不等式2x x ++≤的解集不是空集,则实数的取值范围是 A ． <2B ．≤2C ． >2D ．≥2【答案】D 因为2x x ++的最小值为2,所以要使不等式的解集不是空集,则有2a ≥,选D （2）如果不等式57|1|x x ->+和不等式220ax bx +->有相同的解集,则 A ．8,10a b =-=- B ．1,9a b =-= C ．4,9a b =-=- D ．1,2a b =-=【答案】C【解析】由不等式57|1|x x ->+可知50x ->,两边平方得22(5)49(1)x x ->+,整理得24920x x ++<,即24920x x --->.又两不等式的解集相同,所以可得4,9a b =-=-,选 C（3）解不等式（1）923<-≤x ；（2）x x 2143+>-解：（1）原不等式化为：⎩⎨⎧<<-≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-117519232x x x x x 或 }115,17{<≤-≤<-∴x x x 或原不等式的解为：（2）原不等式化为：⎩⎨⎧->-<-⎩⎨⎧->-≥-xx x x x x 21340432143043或解得 535<>x x 或 }5,53{><∴x x x 或不等式的解集为：4.一元二次不等式的解法例4.（1）已知不等式210{51}ax bx x x ++≥-≤≤的解集为a b 求、的值 解：由题意可知 0<a 且－5和1是方程012=++bx ax 的两根⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-=-∴54515141)5(b a a a b 故b a ,的值分别为54,51--（2）解不等式46522-<+-x x x 解：（1）当042≤-x 时，不等式的解集为∅ （2）当042≤-x 即22>-<x x 或时，有⎪⎩⎪⎨⎧>><⇔⎩⎨⎧<+->+-⇔-<+-<--222101050252465)4(2222x x x x x x x x x x 或 综上所述，原不等式的解集为}2{>x x 5.简单分式、高次不等式的解法例5.(1) 解不等式x x x xx ≤---2322解：由0)2)(1()1(23222≥-+-⇔≤---x x x x x x x x x 其零点分别为：-1,0,1(二重),2 ，画出数轴如下：由图知，原不等式的解集为(]{}()+∞-,210,1 (2) 求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集解法一：由题设x>0，xxx x +->+-2233，得033>+-x x ，即33<<-x ，30<<∴x ， 原不等式组等价于（1）⎩⎨⎧+->+-≤<)3)(2()2)(3(20x x x x x ；（2）⎩⎨⎧+->+-<<)3)(2()2)(3(32x x x x x由（1）得20≤<x ，由（2）得62<<x ，故原不等式组解集为{}60<<x x解法二：由已知条件可知033>+-xx两边平方，原不等式组等价于 ()()[]()()[]600)6)(6(03223022<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-+>⇔+->+->x x x x x x x x x x 即原不等式组解集为{}60<<x x(3) 不等式0121≤+-x x 的解集为 A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, 对【答案】A【解析】原不等式等价于0)12)(1(<+-x x 或01=-x ，即121<<-x 或1=x ，所以不等式的解为121≤<-x ，选A 6.指对不等式的解法 例6.（1）10log 110log 210log 4732++介于两个连续自然数之间，这两个数是答案：3, 4 提示：10log 110log 210log 4732++=lg(24×32×7)=lg1008, ∴3<10log 110log 210log 4732++<4 （2）a>0, a ≠1，P ＝log a (a 3+1), Q=log a (a 2+1), 则P 、Q 的大小关系是A.P>QB.P<QC.P=Q D 不能确定 答案：A(3) 设a>b>0, 0<x<π, 则a ·lg(sinx)与b ·lg(sinx)的大小关系是 A.a ·lg(sinx)> b ·lg(sinx) B.a ·lg(sinx)< b ·lg(sinx) C.a ·lg(sinx)≥ b ·lg(sinx) D.a ·lg(sinx)≤ b ·lg(sinx) 答案：D 提示：lg(sinx)≤0, ∴a ·lg(sinx)≤ b ·lg(sinx) 7.简单无理不等式例7. 若a>0, b>0, a ＋b=1，比较大小：12++a 2答案: ≤8.含参数不等式的问题例8. (1)解关于的不等式)(,)]1([)1(222b a x b ax x b x a ≠-+≥-+ 解：原不等式化为2222222222()()2()()()0()0001a b x b a b x a b bx b a b x x a b a b x x x -+≥-+-+⇒--≤≠∴->∴-≤≤≤则{01}x x ≤≤故原不等式的解集为(2)若不等式13642222<++++x x kkx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围 解：∵13642222<++++x x k kx x ⇔013642222<-++++x x k kx x ⇔03643)3(2222>++-+--x x kx k x ⇔ 03)3(222>-+--k x k x (∵4x2+6x+3恒正)，∴原不等式对x 取任何实数均成立，等价于不等式2x 2-2(k-3)x+3-k>0对x 取任何实数均成立 ∴=[-2(k-3)]2-8(3-k)<0⇔k2-4k+3<0⇔1<k<3 ∴k 的取值范围是（1，3）(3)设f(x)=ax 2+bx,且1≤f(－1) ≤2, 2≤f(1) ≤4 ,求f(－2)的取值范围分析：因为f(－1)=a －b, f(1)=a+b,而1≤a －b ≤2, 2≤a+b ≤4;又a+b 与a －b 中的a,b 不是独立的，而是相互制约的，因此，若将f(－2)用a －b 与a+b,表示，则问题得解 解：设f(－2)=m f(－1)+n f(1), (m,n 为代定系数)则4a －2b=m(a －b)+n(a+b) 即4a －2b=（m+n ）a －(m －n)b,于是得{42=+=-n m n m 得：m=3, n=1∴f(－2)=3 f(－1)+ f(1)∵1≤f(－1) ≤2, 2≤f(1) ≤4∴5≤3f(－1)+ f(1) ≤10, 故5≤f(－2)≤10,另法：以上解题过程简化如下：由{(1)(1)a b f a b f -=-+=得1[(1)(1)]21[(1)(1)]2a f fb f f =+-=--⎧⎨⎩∴f(－2)=4a －2b=3 f(－1)+ f(1)点评:严格依据不等式的基本性质和运算法则,是正确解答此类题目的保证若先将参数a,b 的范围求出,而后再求f(－2)的范围,这样操作是错误的,因为解题过程没有忠实题目所给条件,即变形不等价,由所求的参数a,b 的范围并不能得到已知条件所给的f(－1)及f(1)的范围,这样,已经改变了题目的条件,当然,所求的结果就不是实际的结果因此,在解题的过程中,务必尽可能保持变形的等价性,以免发生错误。
高考数学一轮复习专题02 一元二次函数、方程与不等式
专题02 一元二次函数、方程与不等式（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1 等式性质与不等式性质1、等式性质2、不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a 可逆2 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c 同向3 可加性 a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4 可乘性 a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5 同向可加性 a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6 正数同向可乘性 a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向 7正数乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正知识点2 一元二次不等式的解集有两相异实根x 1，x 2有两相等实根x 1＝x 2没有实数根x |x <x 1或x >x 2xx ≠－b 2a {x |x ∈R }∅1、重要不等式：()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.变形公式：()2222()()a b a b a b R +≥+∈，22a b+≤（1）基本不等式成立的条件：0,0a b >> （2）等号成立的条件：当且仅当a b =时取等号． （3）算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为2a b +基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3、利用基本不等式求最值 已知x >0，y >0，则（1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)（2）如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)重难点01 利用基本不等式求最值的方法法一、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系【典例1】（2024·重庆·模拟预测）若实数a ，b 满足2ab =， 则 222a b +的最小值为（ ） A ．2B．C ．4D．【典例2】（2024·四川成都·三模）若正实数,a b 满足22a b m +=，则a b +的最大值为（ ） ABC．D ．2m法二、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.1不等式的性质及一元二次不等式课件理
合A,再求解.
(2)利用指数函数的性质,将原不等式化为关于x的一元
二次不等式求解即可.
【规范解答】(1)选C.A={x|1<x<3}， B={x|2<x<4}, 故A∩B={x|2<x<3}.
(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增，所以 <4可化
为x2-x<2，解得-1<x<2.所以 <4的解集是 a(x 1 ) a
B．2个
C．433个，
D．4个
【解析】选C.运用倒数性质，
由a>b，ab>0可得 {x|2x
4}.
②④正确．又正数大于3 负数，①正确，③错误.
2.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一
定成立的是 ( )
A.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2
D.ac(a-c)<0
A.n>m>p
B.m>p>n
C.m>n>p
D.p>m>n
【解题导引】(1)根据已知条件可判断出x和z的符号, 然后由不等式的性质便可求解. (2)根据不等式性质和函数单调性求解.
【规范解答】(1)选C.因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,
z<0.所以由 1 可得xy>xz. (2)选B.因为ax >1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,即a2+1>2a,
第六章 不等式、推理与证明 第一节
不等式的性质及一元二次不等式
ab
1
a
2024届新高考一轮复习人教A版 第1章 第5讲 一元二次不等式及其解法 课件(80张)
题组二 走进教材
2．(必修1P53T1改编)不等式(x－1)2<x＋5的解集是( B )
A．{x|1<x<4}
B．{x|－1<x<4}
C．{x|－4<x<1}
D．{x|－1<x<3}
[解析] 原不等式可化为x2－3x－4<0，即(x＋1)(x－4)<0，故其解集
为{x|－1<x<4}．
3 ． ( 必 修 1P55T3 改 编 ) 已 知 集 合 A ＝ {x|x2 － x － 6>0} ， 则 ∁ RA 等 于 ( B)
___∅___
___∅___
1 ． ax2 ＋ bx ＋ c>0(a≠0) 恒 成 立 的 充 要 条 件 是 ： a>0 且 b2 － 4ac<0(x∈R)．
2 ． ax2 ＋ bx ＋ c<0(a≠0) 恒 成 立 的 充 要 条 件 是 ： a<0 且 b2 － 4ac<0(x∈R)．
注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次项系数中 含有参数，应先对二次项系数为0的情况进行分析，检验此时是否符合 条件．
实数根
判别式 Δ>0
Δ＝b2－4ac
Δ＝0
Δ<0
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
_____{_x|_x_>_x_2或___x_<_x_1}_____
__{_x_|x_∈__R__且__x_≠__x1_}__
___R___
ax2＋bx＋c<0 ______{_x_|x_1_<_x_<_x_2_}______ (a>0)的解集
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式