演示文稿微分几何第二章曲面论第四节直纹面和可展曲面
微分几何 §4 直纹面与可展曲面
{
}
所以
v′ v ′ v b面
例.证明正螺面
v r = {u cos v, u sin v, av + b} 不是可展曲面。
v 证明：因为 r = {u cos v, u sin v, av + b} v 可以改写成 r = {0, 0, av + b} + u {cos v,sin v, 0} v v = a ( v ) + ub ( v ) .
命题2 一个曲面为可展曲面的充要条件是此曲面为单 参数平面的包络 命题3 一个曲面为可展曲面的充要条件是它的高斯曲 率等于0 命题4 曲面上的曲线是曲率线的充要条件是沿此曲线 的曲面法线构成可展曲面 命题5 可展曲面与平面成等距对应，可展曲面可在 平面上展开.
v 2 1 2 r = u + v, 2u 3 + uv, u 4 + u 2 v 例:证明曲面 3 3 是可展曲面。 v 1 2 2 2 3 4 证明：因为 r = u + 3 v, 2u + uv, u + 3 u v v 可以改写成 r = u 2 , 2u 3 , u 4 + v 1 , u, 2 u 2 3 3 v v = a ( u ) + vb ( u ) . v′ v′ 2 3 4 a ( u ) = {2u, 6u , 4u } , b ( u ) = 0,1, u ,
§4
直纹面与可展曲面
1、直纹面--由直线产生的曲面 生成轨迹的每条直线叫直母线 直纹面上与每条直母线相交的曲线-导线 曲线曲线 2、直纹面的方程 设导线 a = a(u) ，b(u ) 直母线单位方向向量 直纹面 r = ( u, v ) = a (u ) + vb(u ) 3、常见直纹面有柱面、或是锥面、 柱面、或是锥面、 柱面 是一条曲线的切线曲面、正螺面 是一条曲线的切线曲面、正螺面等
微分几何--第二章1曲面的概念1.2光滑曲面 曲面的切平面和法线
3、切平面的方程 设曲面上一点为 P0( u0 ,v0 )，R (X,Y,Z)为切平面上任一点， 则
( R r (u0 , v0 ), ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )) 0
或写成坐标表示式
X x(u0 , v0 ) Y y (u0 , v0 ) Z z (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) 0 zv (u0 , v0 )
（3）如果交换参数，则正向改变为负向，曲面为双侧。
du dv rv dt dt
(u0 ,v0 )
ru
可以看出，切向量 r (t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点有 无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数切方向，且有 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标曲线的 切向量 ru , rv 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
r , rv (u0 , v0 ) (u0 , v0 ) v
如果它们不平行，即 面的正常点。
ru× rv 在该点不为零，则称该点为曲
3、正规坐标网 由ru， rv 的连续性，若 ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零， 则总存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零，
于是在这片曲面上，有一族 u 线和一族 v 线，它们不 相切，构成一正规坐标网。
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
公式、曲面上向量的平行移动）
7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗
氏几何）
1.2
光滑曲面、曲面的切平面和法线
一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 1、若曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 或 r = r (u,v) 中的函
微分几何习题及答案解析
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
微分几何知识点整理——特殊曲线分析
微分几何——特殊曲线分析特殊曲线分析1． 直纹面：由连续族直线的轨迹形成的曲面:(,)()()S r u v a u b u v =+。
这里直纹面的v 曲线是直纹面的直母线，u 为一族与其相交的曲线。
2． 常Gauss 曲率曲面对于正常Gauss 曲率曲面，曲面的第一基本形式为222cos )I du dv =+； 对于Gauss 曲率恒为0的曲面，曲面的第一基本形式为22I du dv =+；对于负常Gauss 曲率曲面，曲面的第一基本形式为222c )I du h dv =+. 定理1 具有相同的Gauss 曲率的曲面总是等距等价的，这种等价也是局部的.3． 可展曲面：直纹面沿着它的每条直母线都只有一个切平面，或者说沿直母线，法向量平行，称其为可展曲面。
定理2 直纹面S 可展⇔ ()'(),(),'()0a u b u b u =.定理3 可展曲面局部地或为柱面，或为锥面，或为某条空间曲线的切线曲面.定理4 无平点的曲面为可展曲面⇔高斯曲率0K ≡.4． 全脐点曲面：全部由脐点构成的曲面，曲面上满足L M N E F G==。
定理5 曲面是全脐点曲面当且仅当曲面是平面或球面（或它们的一部分）.5． 极小曲面：平均曲率恒为0的曲面。
平面、正螺面都是极小曲面。
由公式222()EN FM GL H EG F -+=-，其充要条件是20EN FM GL -+=。
极小曲面是使面积的第一变分变为零的曲面。
除平面外旋转极小曲面必为悬链面，直纹极小曲面必为正螺面。
相关命题命题1 常高斯曲率曲面中的常平均曲面是全脐点曲面（平面/球面）或圆柱面. 推论1.1 可展曲面中的常平均曲率曲面是平面或圆柱面.推论1.2 极小曲面中的常高斯曲率曲面是平面.命题2 直纹面中的常Gauss 曲率曲面是可展曲面.命题3 直纹面中的常平均曲率曲面是平面、正螺面或圆柱面.推论3.1 直纹面中的极小曲面是平面和正螺面.相关图示所有可展曲面都是直纹面，且仅有柱面、锥面、切线面三种，如下图：常高斯曲率旋转曲面，在高斯曲率小于零时是伪球面：极小旋转曲面是悬链面：。
微分几何第二章曲面论第四节直纹面和可展曲面分解
(1) F [ x, y, z , ( x, y, z )] 0 对于S上的点, 上式为恒等式. 其次在包络S上任取一条曲线 (C )：r r (t ), r x(t )e1 y(t )e2 z(t )e3 , 即
曲线(C )上点的坐标也应满足 (1)式, 必有恒等式： F [ x(t ), y(t ), z(t ), (t )] 0
消去参数而得 ( x, y, z ) 0. 证： 若曲面族{ S }存在包络S， 由包络的定义， , P S , 对P( x, y, z ) S， 即对包络S上每一个点对应于 的一个确定值， 因而为S上点的坐标( x, y, z )的函数 ( x, y, z ), 代入S的方程F ( x, y, z, ) 0得：
换言之, 对包络S上每一点 ( x, y, z ), 可以找到这样的值，
使得四个数x, y, z, 满足方程组(3). 从方程组(3) 消去 , 得方程 ( x , y, z ) 0.
{ S }的判别曲面 . 这个方程表示一个曲面 S , 叫做曲面族
(3)高斯曲率. 直纹面的参数方程为r a ( u) vb ( u) ru a(u) vb(u), rv b(u), ruu a vb, ruv b, rvv 0,
ru rv a b v(b b ) n ru rv EG F 2 a b v (b b ) L ruu n (a vb ) , 2 EG F a b v (b b ) ( b , a , b ) M ruv n b 2 EG F EG F 2 N rvv n 0 2 2 2 LN M ( b , a , b ) ( a , b , b ) K 0. , 即K 2 2 2 2 2 EG F ( EG F ) ( EG F )
第二章 曲面论
第二章 曲面论 §1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为 ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何第二章曲面论第四节直纹面和可展曲面讲课讲稿
(3)高 斯 曲 率.
直纹
面的
参
数 方 程
为
ra(u )vb(u )
ru a (u ) v b (u )r,v b(u),
ruu avb, ruvb, rvv 0,
nL M rrruruuuu vnrrn vv (a ba abv Eb G b)vE (ba FG v (2bF bb E ) 2bv G )(b F 2(b Eb),Ga ,bF,)2
直母线
柱面
锥面
(C )
导线
单叶双曲面
双曲抛物面
注 （1）直纹面上除之 了外 直， 母还 线可能直 有线 .其
如正螺面的轴 .
（2）直纹面可能不只直 一母 族线. 如以上两个曲面 .
本书只限于讨论一 母族 线直 中的直 . 线
2.参设 b(数u)是 表( 示过 C 导 ): 导a 线 (Ca )( 线 上 u )点a(u)
垂足M的极限位M置0
称为直母l上 线的腰.点a(uu)
腰点的轨迹称为腰曲线 .
注 腰曲线沿直纹面的狭窄
a(u)
M•0 M a(u)vb(u)
(C )
l
部位“围绕着”这直纹面.
方程 直设 则 纹M 导 面M 的线 (参C 数 )[ 的 a 方( 程u 方 为 程u ) 为 a r ( v a (a u ()v ， u ) )b ( u vb (u )u ) [ a ( ] u ) v b ( u )
上式 a 除 ( b u 以 )2得 ： b b v b v ( b b ) 0 ,
u u u u u u 当 假 ub 设 (u 0)时,0 上(对 式取b (极 于 u )限 0 得 的 a ： b 情 vb 20 ,以 况 ,v后 是 ab)2b ,再 柱 故腰点的向径表达式为 ： ra (u)a (u )b (u)b (u) 即腰曲线的方程 .
微分几何课程教案
微分几何课程教案【篇一：微分几何教学大纲】陕西广播电视大学开放教育本科数学与应用数学专业《微分几何》课程教学大纲一、本课程目的与任务微分几何课程是陕西广播电视大学数学与应用数学专业的一门专业基础课，其内容应为三维欧氏空间中的曲线，曲面的局部理论，其方法应以向量分析作为主要工具，同时也应注意到外微分形式及活动标架法的介绍、讨论和使用。
该课程的重点是曲面论，讲授时应自始至终把曲线、曲面上的附属标架场放在中心的地位，这样做在实践和理论上都有重要的意义。
本课程的开设应使学生掌握古典微分几何的基本思想,方法和内容，并能将其运用于其它学科及工程实际中去，同时，通过本课程的学习亦应为对微分几何有兴趣的学生，进一步学习近代微分几何打下一个坚实的基础和一个良好的开端。
建议本课程在三年级开设，周学时宜为4，共72学时（含习题课时间）。
二、课程内容与学时分配建议（不含习题课时间）（一）三维欧氏空间的曲线论（12学时）1. 空间曲线的表示式；2.向量函数；3.空间曲线的弧长、曲率、挠率；4.frenet标架, frenet公式；5.曲线在一点邻近的结构；6.空间曲线论的基本定理；7.特殊曲线。
（二）三维欧氏空间中的曲面论（36学时）1. 曲面的概念；1.1曲面的定义1.2切向量切平面1.3法向量1.4曲面的参数变换1.5例2.曲面的第一基本形式：2.1曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长2.2曲面上两方向的交角2.3正交曲线族和正交轨线2.4曲面域的面积2.5等距对应、共形对应3.曲面的第二基本形式3.1第二基本形式3.2法曲率3.3杜班(dupin)标形3.4渐近方向共轭方向3.5主方向和主曲率的计算、曲率线3.6 gauss曲率和平均曲率3.7曲面在一点邻近的结构3.8某些特殊的曲面4.直纹面和可展曲面4.1直纹面4.2曲面族的包络4.3可展曲面4.4直纹面为可展曲面的充要条件,法线组成的可展曲面5.曲面论基本定理5.1曲面上的活动标架，曲面的基本公式5.2曲面的基本方程5.3曲面的基本定理6.曲面上的测地线6.1测地曲率向量,测地曲率6.2 liouville 公式6.3测地线6.4测地坐标系6.5 gauss-bounet公式6.6曲面上向量的平行移动6.7常高斯(gauss)曲率的曲面*（三）外微分法和活动标架简介（6学时）1.外微分形式2.活动标架法3.用活动标架法研究曲线、曲面．*（四）整体微分几何简介1.平面曲线的整体性质2.空间曲线的整体性质3.曲面的整体性质注：（三）、（四）建议只讲一个，若时间不允许可以不讲。
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即可展 曲面为锥面.
(ii)当b 0时，b(u) 常 向 量 ，所有的直母线都互相平行，
即可展曲面为柱面.
(iii)当a 并且b
0, b 1,
b
0时b，,(aa,//bb, b，这) 时0，,直a母 b线是0，导
线的
切
线,
从 而 可 展 曲 面 可 视 为 导线 的 切 线 构 成 的,
v
b
v (b b) 0,
u u u u u
u
当假设ub(u0)时,0上(对式于取b极(u限) 得0：的a 情b况 是vb柱2 面0,以, 后v再 讨a论b)2b ,
故腰点的向径表达式为：
r
a(u)
a(u )
b(u)
b(u)
即 腰 曲 线 的 方 程.
b(u)2
若取
腰
曲线为导线则，r
即可展曲面为切线面.
反之,可以证明这三类曲面均为可展曲面（ . 留做习题）
注 （1）上面所说的柱面, 锥面,切线面都可能是平面 或其一部分.
（2）在上面的证明中，取了腰曲线为导线，
一般的证明可参见吴大任《微分几何讲义》
第四版P107 P108.
二.可展曲面作为单参数平面族的包络
1.单参数曲面族的包络
F( x, y, z) 0 表示一张曲面S.
F ( x, y, z, ) 0 (是 参 数)表 示 一 族 曲 面{S } .
称 为 单 参 数 曲 面 族.
假定F ( x, y, z, ) 0具有一阶与二阶连续偏导数. 定义 设{S } 是 一 个 单 参 数 曲 面 族S，是一张曲面，
b)2
(EG F 2 )2
,
即K
(a,
b,
b)2
(EG F 2 )2
0.
对 于 情 形1，K 0; 对于情形2，K 0.
(4)渐 近 曲 线.
直纹面上的直母线就是它的渐近线.
(5)腰 曲 线.
定义 当u 0时，
a(u
u)
(v
v)b(u
u)
M
l
垂 足M的 极 限 位 置M0
b即(aa, bb,
v b)
(b
b 0，
),
直母线
(C )
导线
当点P沿同一条直母线移动时，n
ru rv
保 持 不 变.
ru rv
沿 同 一 条 直 母 线 有 同 一个 切 平 面.
情形2：a
当 点P沿 同
b // b b,
即(a,
b,
一条直母线移动
时 b，)n0，ru
rv
发生转动，
ru rv
满满沿足足同((aa一,,bb条,,bb直 )) 母00的的线直直切纹纹平面面面不叫叫唯做做一可斜. 展直曲纹面面. ；
(3)高 斯 曲 率.
直
纹面
的
参 数 方
程
为r
a(u)
vb(u)
ru
a(u)
vb(u),
rv
b(u),
ruu a vb, ruv b, rvv 0,
（优选）微分几何第二章曲面论 第四节直纹面和可展曲面ppt讲 解
§4 直纹面和可展曲面
主要内容
1.直纹面； 2.可展曲面.
4.1 直纹面
1.定义 (直纹面)由一族直线生成的曲面叫做直纹面.
这 族 直 线 中 的 每 一 条 都叫 做 直 纹 面 的 直 母 线. 直 纹 面 上 和 所 有 直 母 线都 相 交 的 曲 线 叫 做 直 纹面 的 导 线. 例如：下列曲面都是直纹面.
称 为 直 母 线l上 的 腰 点. a(u u)
腰点的轨迹称为腰曲线.
注 腰曲线沿直纹面的狭窄
a(u)
M• 0 M
a(u) vb(u)
(C )
l
部位“围绕着”这直纹面.
方程
直设则纹 M导M面线(的C)[的 参a(u数 方程 方u为 程)a为r(va(au()，vu))b(uvb(u)u)]
[a(u)
vb(u)]
[a(u u) a(u)] (v v)b(u u) vb(u)
a vb vb(u u) a vb v(b b)
于即M是Ma[abbv,vMbbM bv((bbv(bbb))],bb)MM0b,0, b.
上式除以(u)2 得： a b b b
(C )
称 为 曲 线 的 主 法 线 曲 面.
一 条 曲 线 的 副 法 线 所 产生 的 c{oas法cvo,s线us,曲iansv面.i,nbv,}b(同}的学主自法证)线. 曲面为
4.2 可展曲面
一.可展曲面及其分类 定义 (可展曲面)直 纹 面r
a(u)，
a
b
0,
于是有：腰
曲
线是导线
a
b
0.b即2a
b.
4.曲线的基本三棱形的三条棱产生的直纹面
一曲条线(曲C )线：a的切a(线u)
所 产 生的 直 纹 面 称 为 曲
的 切线面方程为：
线
的 切线
面.(如
图)
r a(u) va(u)
一 条 曲 线 的 主 法 线 所 产生 的 直 纹 面
上的 单位向量，
a(u)
vb(u) 直纹面的参数表示.
r
3.性质与分类
或参数方程.
(1)坐 标 曲 线
v 曲 线(u 常 数)：直母线；
u 曲 线(v
(2)单
位法
向
量n常和数切)：平导面线.
的平
行线.
ru a(u) vb(u), rv b(u),
情r形u 1： rva (ab// bvb)b,
n
ru rv
a
b
v(b
b)
ru rv
L
ruu
n
(a
M
ruv
n
b
EG F
vb)
a
2
b
v(b
EG F a b v(b b)
EG F 2
b) ,
2
(b, a, b ) EG F 2
N K
rvv n 0 LN M 2 EG F 2
(b,
a,
a(u)
vb(u)
若
满
足(a,
b,
b)
0，
则称为可展曲面或称曲面可展.
命题1 每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线
证：取 设(i)腰 可的当曲 展切a 线 曲 线0为 面面时. 导 为反，ra线之(ua于)，，(u是这常) 有三向vab类量(ub曲)，，这 则面表0有，均示(a为 可腰, b展曲, b曲线 ) 面退.0，化为一点，
直母线
柱面
锥面
(C )
导线
单叶双曲面
双曲抛物面
注 （1）直纹面上除了直母线之外，还可能有其它的直线.
如正螺面的轴.
（2）直纹面可能不只一族直母线. 如以上两个曲面.
本书只限于讨论一族直母线中的直线.
2.参设b(数u导)是表线(过示C )导: a线(Ca)(上u)点a(u)
b(u)
的直母线 r a(u)