量子力学与统计物理

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《量子力学》的作用
一般工科：建立概念与启迪思维，重点在 了解。 材料学：重点是建立正确的、系统的、完 整的概念，为后续课程以及将来从事材料 学领域的研究奠定基础。 理科：四大力学之一，应该精通，并作为 日后从事研究的工具。
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学习《量子力学》时应注意的问题
概念是灵魂－建立起清晰的概念 数学是桥梁－不必过分拘泥于数学推导 结论是收获－铭记结论在材料学中的作用
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物质波的观点直接导致这样一个结论：
无法同时准确测量一个粒子的坐标和动量
qp / 2
q－坐标，p－动量 另有：能量和时间的不确定关系：
Et / 2
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量子力学的特点：
能量量子化； 波粒二象性； 不确定关系。 需要用一个完整的理论将这些离散的假 设和概念统一起来：《量子力学》应运 而生。
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参考书目
曾谨言《量子力学》，科学出版社 周世勋《量子力学教程》，高等教育出版 社
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能量量子化概念对难题的解释
黑体辐射 从能量量子化假设出发，可以推导出 同实验观测极为吻合的黑体辐射公式， 即Planck公式
E ( )
e
c2 / T
c1
3
1
2 3
E ( ) c1 e
3 c2 / T
E ( ) 8kT / c
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普朗克（Planck）大胆假设：无论是黑体辐射 也好，还是固体中原子振动也好，它们都是以 分立的能量 nh显示，即能量模式是不连续 的。
8kT 2 E ( ) 3 c
E υ
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4.光电效应的解释 光照射到金属材料上，会产生光电子。 但产生条件与光的频率有关，与光的强 度无关。
Light beam electric current
metal
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能量量子化的假设
造成以上难题的原因是经典物理学认为 能量永远是连续的。
பைடு நூலகம்
如果能量是量子化的，即原子吸收或发 射电磁波，只能以“量子”的方式进行， 那末上述问题都能得到很好的解释。
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2 实物粒子的波动
从德布罗意物质波的观点出发，就会得 出一种违背常理的结论：躲在靶子后面 仍然会被绕过来的子弹打中。 子弹之所以不能绕到靶子后面，是因为 子弹的波长λ= h /p太小了。 h＝6.62×10-34Js，p=mv
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3 电子与分子的衍射与干涉实验
电子衍射
C60分子干涉图
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4 波粒二象性既不是经典的粒子， 也不是经典的波
nh n
n 0,1,2,
所以，辐射的平均能量可如此计算得：
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在E E dE能量范围内， 经典的能量分布几率
e
E k T E k T e dE 0
dE
（玻尔兹曼几率分布）
所以对于连续分布的辐射平均能量为
E kT E kT E 0 E e dE 0 e dE E kT kT( E e 0 e E kTdE) 0
E kT dE 0 e
kT
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而对于Planck假设的能量分布几率，则为
e nh kT
n 0 nh kT nh kT nh kT e
从而
E nh e
n 0


d nx nx h e e dx n 0 n 0 d x 1 x 1 h (1 e ) (1 e ) dx h kT h (e 1)
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而一旦深入到分子、原子领域， 一些实验事实就与经典理论发生矛盾或 者无法理解。
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20世纪初物理学界遇到的几个难题
1 两朵乌云（W.Thomson) ①电动力学中的“以太”：人们无法通过实 验测出以太本身的运动速度
②物体的比热：观察到的物体比热总是低 于经典物理学中能量均分定理给出的值。
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2 原子的稳定性问题－原子塌缩 按照经典理论，电子将掉到原子核里， 原子的寿命约为1ns。 3 黑体辐射问题－紫外灾难 按照经典理论，黑体向外辐射电磁波的 能量E与频率 的关系为
杨氏干涉实验和惠更斯衍射实验都表明 了光的波动性。 光电效应又证实了光子的粒子性。
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1.3 微粒的波粒二象性
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1 物质波的概念
法国人De Broglie从光的量子论中得到 启发，假设任何物体，无论是静止质量 为零的光子，还是静止质量不为零的实 物粒子，都具有粒子波动两重性。其中 的波动，通称为物质波。认为物质波的 频率和波长分别为 υ=E/h，λ= h /p 这就是著名的德布罗意公式。
量子力学与统计物理
南京工业大学理学院 吴高建
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为什么要学习量子力学和统计物理学？
1960年代，著名微波电子学家Pirls曾说，量 子力学、统计物理学是高度抽象的科学，不需 要所有的人都懂得这种理论物理科学。 然而，在1990年代，随着高技术科学的发展， 要求我们必须掌握理论物理学，包括量子力学 和统计物理学。例如：微电子器件的集成度越 来越高，组成器件的每一个元件的体积越来越 小。目前，元件的尺寸可以达到nm级。
2hc 2 hc kT E( , T) e 5
Wein公式
当 kT hc （低频区）
2 c E(, T) 4 kT
Rayleigh–Jeans公式
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能量量子化概念对难题的解释
对光电效应的解释
如果电子处于分立能级且入射光的能 量也是量子化的，那么只有当光子的能 量（E =hυ）大于电子的能级差，即E =hυ > En－Em时，光电子才会产生。如 果入射光的强度足够强，但频率υ足够 小，光电子是无法产生的。
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这面临着两个问题： 1、信号电磁波所覆盖的区域包括大量的 元件，每个元件的工作状态有随机性，但 器件的响应具有统计性； 2、构成元件的材料的体积属于原子团物 理的范畴，即每个粒子含有有限个原子 （102－109个原子）。这时的统计平均具 有显著的涨落，必须考虑量子效应。
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量子力学
第一章 绪论
南京工业大学理学院 吴高建
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能量量子化概念对难题的解释
原子寿命 ①原子中的电子只能处于一系列分立的能级之中。
即E1, E2, ……. En。
②当电子从能级En变化到Em时，将伴随着能量的
吸收或发射，能量的形式是电磁波。能量的大 小为E =hυ = En－Em
③由此，提出了产生电磁波的量子论观点，即电
磁波源于原子中电子能态的跃迁。从而，电子 就不会掉到原子核里，原子的寿命就会很长。
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n 0
e
于是，用电动力学和统计力学导出的公式
2 2 E ( , T ) kT （ Rayleigh – Jeans ） c2
应改为
E ( , T )
2h3 c2
(e h kT 1)
这就是Planck假设下的辐射本领，它与 实验完全符合。
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当 kT hc （高频区）
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1.1 经典物理学的困难
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19世纪末，物理学界建立了牛顿力 学、电动力学、热力学与统计物理， 统称为经典物理学。其中的两个结论 为 1、能量永远是连续的。 2、电磁波（包括光）是这样产生的： 带电体做加速运动时，会向外辐射电 磁波。
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经典物理学的成就
牛顿力学-支配天体和力学对象的运动； 杨氏衍射实验-确定了光的波动性； Maxwell方程组的建立-把光和电磁现象建立在 牢固的基础上； 统计力学的建立。
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1.2 光的波粒二象性
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对光电效应的解释是爱因斯坦于 1905年 做出的，他也因此获得诺贝尔奖。其中， 他对光子的能量E是如此假定的
E h
1 2 爱因斯坦方程 h mv W 2
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光子的能量与动量
并用υ= c / λ和狭义相对论中的公式 p =E/c推出光子的动量p为 p=h/λ，E=hν. υ－频率， λ－波长， h－普朗克常数
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学习量子力学，其困难在于：
a. 发现它与我们熟悉的经典物理学中的习惯 或概念不一致； b. 量子力学中的新的物理概念不是直观的；
c. 处理问题时，与经典物理学在手法上截然 不同。它的重要性在状态，算符和演化。
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所以，我们强调
a. 掌握实验事实，及它给我们的启示，不直 接与主观经验联系，不先入为主； b.掌握和理解量子力学的基本概念。新的概 念的依据和特点，新在什么地方，如何理解； c.掌握理论中建立的方程和所用的数学方法 以及处理它们的思路和步骤。
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光的波粒二象性
波粒二象性，又称为波动粒子两重性， 是指物体，小到光子、电子、原子，大 到子弹、足球、地球，都既有波动性， 又有粒子性。 频率为υ的单色光波是由能量为E =hυ 的一个个粒子组成的，这样的粒子被称 为光子，或光量子。 光子的粒子性－光电效应； 光子的波动性－光的衍射和干涉。
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光的波粒二象性
5 物理意义：概率波与概率幅
概率波（M.Born,1926)：物质波描述了 粒子在各处发现的概率。 概率幅：波函数ψ也叫概率幅，概率密 2 度 波的叠加是概率幅叠加，而非概率叠加 2 2 2 P P 12 1 2 1P 2 1 2
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1.4 不确定关系