六年级奥数-.数论综合.教师版.docx

数论综合（二）

教学目标：

1、掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；

2、重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想

例题精讲：

板块一质数合数

【例 1】有三张卡片，它们上面各写着数字1， 2， 3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来．

【解析】抽一张卡片，可写出一位数1， 2， 3；抽两张卡片，可写出两位数12， 13， 21， 23， 31， 32；抽三张卡片，可写出三位数123， 132，213， 231， 312，321 ，其中三位数的数字和均为6，都能被 3 整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3， 13， 23， 31．

【例 2】三个质数的乘积恰好等于它们和的11 倍，求这三个质数．

【解析】设这三个质数分别是 a 、b、 c ，满足 abc11( a b c) ，则可知 a 、b、 c 中必有一个为11，不妨记为 a ，那么bc 11 b c，整理得 (b 1)(c 1)12，又12 1 12 2 6 3 4，对应的、

b 2

c 13

或 b 3 、 c7 或 b 4 、 c 5 (舍去)，所以这三个质数可能是2， 11， 13 或 3， 7， 11．

【例 3】用 1， 2， 3， 4，5， 6， 7， 8， 9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数？

【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7 均为一位质数，这样还剩下1、4、6、

8、 9 这 5 个不是质数的数字未用．有1、 4、 8、 9 可以组成质数41、 89，而 6可以与 7 组合成质数

67．所以这 9 个数字最多可以组成 6 个质数．

【例 4】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少？

【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99 共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如33132 2 31330L L16 17 ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、 222、 333、 444、555、 666、 777、 888、999，每个数都是 111 的倍数，而11137 3 ，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两

位数相乘时，必有一个因数是37 或 37的倍数，但只能是37 的 2倍 (想想为什么？ )3 倍就不是两位数了．

把九个三位数分解：111373、22237 674 3、333379 、 444371274 6 、555 37 15 、 666 3718749、 7773721、 88837247412、 9993727．

把两个因数相加，只有 ( 74 3 )77 和( 37 18 )55的两位数字相同．所以满足题意的答案是74 和 3，37和 18．

板块二余数问题

【例 5】( 2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是 13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？

【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的 17 倍还多 13，则由“和倍问题” 可得：除数 =(2083-13) ÷(17+1)=115，所以被除数 =2083-115=1968 ．【例 6】已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？

【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10 即 1998的约数，同时还要满足大于10 这个条件．这样题目就转化为1998 有多少个大于10 的约数，

1998 2 3337 ，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2，3， 6， 9 是比 10 小的约数，

所以符合题目条件的自然数共有11 个．

【例 7】有一个整数，除39， 51， 147 所得的余数都是3，求这个数．

【解析】 (法 1) 39

3 36， 147 3

144 ， (36,144) 12

， 12 的 数是 1,2,3,4,6,12 ，因 余数 3

要小于除

数， 个数是 4,6,12

；

(法 2)由于所得的余数相同，得到 个数一定能整除 三个数中的任意两数的差，也就是 它是任意

两数差的公 数．

51 39 12， 147 39 108 ， (12,108) 12 ，所以 个数是 4,6,12 ．

【例 8】

(2005 年全国小学数学奥林匹克 )有一个整数，用它去除

70， 110， 160 所得到的 3 个余数之和

是 50，那么 个整数是 ______．

【解析】

(70 110

160) 50 290 ， 50

3 16...... 2，除数 当是 290 的大于 17 小于

70 的 数，只可能是

29 和 58， 110

58 1...... 52， 52 50 ，所以除数不是 58．

70

29 2

， 110 29 3...... ， 160 29 5...... ， 12

23 15 50 ，所以除数是

29

......12 23 15

【巩固】 (2002 年全国小学数学奥林匹克 )用自然数

n 去除 63， 91， 129 得到的三个余数之和

25，那

么 n=________．

【解析】

n 能整除 63 91 129 25 258 ．因 25 3 8...1，所以 n 是 258 大于 8 的 数． 然， n 不

能大于 63．符合条件的只有 43．

【例 9】

一个大于 10 的自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于 个自然数去除 220 后所得的余数，

个自然数是多少？

【解析】 个自然数去除

90、164 后所得的两个余数的和等于 个自然数去除 90 164 254 后所得的余数， 所以 254 和 220 除以 个自然数后所得的余数相同，因此 个自然数是 254

220 34 的 数，又大 于 10， 个自然数只能是 17 或者是 34．

如果 个数是

34 ，那么它去除 90、 164、 220 后所得的余数分 是 22、28、 16，不符合 目条件； 如果 个数是

17，那么他去除 90、164、220 后所得的余数分 是 5、11、16，符合 目条件，所以 个自然数是 17．

【例 10】 甲、乙、丙三数分 603，939，393．某数 A 除甲数所得余数是

A 除乙数所得余数的 2 倍， A 除 乙数所得余数是 A 除丙数所得余数的 2 倍．求 A 等于多少？

【解析】 根据 意， 三个数除以 A 都有余数， 可以用 余除法的形式将它 表示出来：

603 A K 1 L L r 1 939 A

K 2 L L r 2 393 A K 3 L L r 3

由于 r 1

2r 2 ， r 2

2r 3 ，要消去余数 r 1 ， r 2 ， r 3 ，我 只能先把余数 理成相同的，再两数相减．

我 先把第二个式子乘以

2，使得被除数和余数都 大

2 倍，同理，第三个式子乘以

4．

于是我 可以得到下面的式子：

603 A K 1 L L r 1 939 2

A 2 K 2 L L 2r 2 393 4 A 2K 3 L L 4r 3

余数就 理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被

A 整除．

939 2 603 1275 ， 393 4

603 969，

1275,969 51 3 17 ．

51 的 数有

1、3、 17、 51，其中

1、3 然不 足， 17 和 51 可知 17 足，所以 A 等于 17． 【例 11】 (2003 年南京市少年数学智力冬令

) 22003 与 20032 的和除以 7 的余数是 ________．

【解析】 找 律．用

7 除 2， 2 2

， 2 3 ， 2 4 ， 2 5 ， 2 6 ， ?的余数分 是 2，4， 1， 2， 4， 1， 2， 4， 1， ?， 2 的个数是 3 的倍数 ，用

7 除的余数 1； 2 的个数是 3 的倍数多 1 ，用 7 除的余数 2；2 的个

数是 3 的倍数多 2 ，用 7 除的余数 4．因 2 2003 23 667

2

，所以 2 2003 除以 7 余 4．又两个数的

除以 7 的余数，与两个数分 除以 7 所得余数的 相同．而 2003 除以 7 余 1，所以 2003

2

除以 7 余

1．故 2

2003

与 20032 的和除以 7 的余数是 4 1 5 ．

【巩固】 22008 20082 除以 7 的余数是多少？

【解析】 23

8除以 7 的余数 1， 2008

3 669 1 ，所以 2

2008

23

669＋1

(23 )669

2 ，其除以 7 的余数 ：

669

2

2 ； 2008 除以

7 的余数

2

的余数等于

2

7 的余数，

1；所以

1

6， 2008 除以 7 6 除以 22008

20082 除以 7 的余数 ： 2

1 3 ．

【例 12】 (2009 年走美初 六年

)有一串数： 1，1， 2， 3， 5， 8， ??，从第三个数起，每个数都是前两个 数之和，在 串数的前

2009 个数中，有几个是 5 的倍数？

【解析】 由于两个数的和除以 5 的余数等于 两个数除以 5 的余数之和再除以 5 的余数．

所以 串数除以 5 的余数分 ： 1， 1， 2，3， 0， 3，3， 1， 4， 0， 4， 4， 3， 2，0， 2， 2， 4， 1，

0 ，1， 1， 2， 3， 0， ?? 可以 串余数中，每 20 个数 一个循 ，且一个循 中，每 5 个数中第五个数是

由于 2009 5 401L 4 ，所以前 2009 个数中，有 401 个是 5 的倍数．

5 的倍数．

【巩固】着名的裴波那契数列是 的：

1、 1、

2、

3、 5、 8、 13、 21?? 串数列当中第

2008 个数除以 3

所得的余数 多少？

【解析】 斐波那契数列的构成 是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定

理将裴波那契数列 被 3 除所得余数的数列：

1 、1、 2、 0、 2、 2、 1、 0、1、 1、 2、 0?? 第九 和第十 两个是 1，与第一 和第二 的 相同且位置 ，所以裴波那契数列被 3 除 的余数每 8 个一个周期循 出 ，由于 2008 除以 8 的余数 0，所以第 2008 被 3 除所得的余数 第 8 被 3 除所得的余数， 0．

【例 13】 (1997 年全国小学数学奥林匹克

)将 12345678910111213......依次写到第 1997 个数字， 成一个

1997 位数，那么此数除以 9 的余数是 ________．

【解析】 本 第一步是要求出第 1997 个数字是什么，再 数字求和．

1～9 共有 9 个数字， 10～99 共有 90 个两位数，共有数字： 90 2 180 (个 )， 100～999共 900 个

三位数，共有数字： 900 3 2700 (个 )，所以数 写，不会写到 999，从 100 开始是 3 位数，每

三个数字表示一个数， (1997 9 180) 3 602......2 ，即有 602 个三位数， 第 603 个三位数只写了它

的百位和十位．从

100 开始的第 602 个三位数是 701，第 603 个三位数是

9，其中 2 未写出来．因

9 个自然数之和能被 9 整除，所以排列起来的 9 个自然数也能被 9 整除， 702 个数能分成的 数是：702 9 78 ( )，依次排列后， 它仍然能被 9 整除，但 702 中 2 未写出来，所以余数 9-2 7 ．

【例 14】 有 2 个三位数相乘的 是一个五位数， 的后四位是 1031，第一个数各个位的数字之和是 10，第

二个数的各个位数字之和是 8，求两个三位数的和 ．

【解析】 本 条件 出了两个乘数的数字之和，同 乘 的一部分已 出，即乘 的一部分数字之

和已 出，我 可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数．因 是一个一定正确的算式， 所以一定可以 足弃九法的条件，两个三位数除以 9 的余数分 1 和 8，所以等式一 除以

9 的

余数 8，那么□ 1031 除以 9 的余数也必 8，□只能是 3．将 31031 分解 因数 有一种情况可以 足是两个三位数的乘 ，

即 31031 31 1001 143 217

所以两个三位数是 143 和 217，那么两个三位数的和是

360

【例 15】20092009 的各位数字之和

A ， A 的各位数字之和

B ， B 的各位数字之和

C ， C 的各位数字

之和 D ，那么 D ？

9 的余数相同， 所以 20092009 与 A 、B 、C 、D

【解析】 由于一个数除以

9 的余数与它的各位数字之和除以

除

以 9 都同余，而 2009 除以 9 的余数 2， 2009

2009

除以 9 的余数与 2 2009 除以 9 的余数相同，而 2

6

64

除以 9 的余数

1，所以

2009

26 334 5

6 334

5

9 的余数 5

2

2 2 除以 2 除以 9 的余数，即 5．

另一方面，由于 2009 2009 100002009 108036 ，所以 20092009 的位数不超 8036 位，那么它的各位数字

之和不超 9 8036 72324 ，即 A ；那么

A 的各位数字之和

B 9 5 45 ， B 的各位数字之

72324

C D 5

和

， 小于 18 且除以 9 的余数 5，那么 5 或 14， 的各位数字之和 5，即 ．

C 9 2 18 C

C

板块三 完全平方数

【例 16】 从 1 到 2008 的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少个？

【解析】 完全平方数，其所有 因数必定成 出 ．

而 72 23

32

2 6 6 ，所以 足条件的数必 某个完全平方数的 2 倍，

由于 2 31 31 1922 2008 2 32

2

2

、??、 2

2

都 足 意，即

32 2048，所以 2 1 、 2 2 31 所求的 足条件的数共有

31 个．

【例 17】一个数减去100 是一个平方数，减去63 也是一个平方数，个数是多少？

【解析】个数减去

22

， A

2

B

2

A B A B1006337 37 1，

63 A，减去 100 B

可知 A B 37 ，且 A B 1 ，所以 A19，B18，个数 182100424 ．

【巩固】能否找到么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？

【解析】假能找到，两个完全平方数分A2、 B 2 ，那么两个完全平方数的差

54 A B A B ，由于 A B 和 A B的奇偶性相同，所以A B A B 不是 4的倍数，

就是奇数，不可能是像54是偶数但不是 4 的倍数．所以54不可能等于两个平方数的差，那么

中所的数是找不到的．

【例 18】有 5 个自然数，它的和一个平方数，中三数的和立方数，五个数中最小数的最

小．

【解析】考平方数和立方数的知点，同涉及到数量少的自然数，未知数的候有技巧：

一般是中的数，前后的数关于中的数是称的．

中数是 x，它的和5x，中三数的和3x． 5x 是平方数，5x

22

， x

2

，5a5a

3x 15a2 3 5 a 2是立方数，所以 a2至少含有 3和 5的因数各 2 个，即 a2至少是 225，中的

数至少是1125，那么五个数中最小数的最小1123．

板块四位值原理

【例 19】 (美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交后的新的两位数的差是45，求的两位数中最大的是多少？

【解析】原来的两位数ab ，交后的新的两位数ba ，根据意，

ab ba (10a b)(10b a ) 9(a b) 45 ，a b 5 ，原两位数最大，十位数字至多9，即a9 ，

b 4 ，原来的两位数中最大的是94．

【巩固】将一个四位数的数字序倒来，得到一个新的四位数(个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．

【解析】原数 abcd ，新数dcba，

dcba abcd (1000d100c 10b a)(1000a 100b10c d)999( d a) 90(c b) ．

根据意，有 999( d a)90(c b)8802 ， 111(d a)10 (c b)97888890 ．

推知 d a8 ， c b9 ，得到 d9 ， a 1， c9 ， b0 ，原数1099．

【例 20】 (第五届希望杯培)有 3个不同的数字，用它成 6 个不同的三位数，如果 6 个三位数的和是 1554，那么 3 个数字分是多少？

【解析】六个不同的三位数abc,acb, bac,bca, cab, cba ，

因 abc100a10b c ， acb100a10c b ，??，它的和是：222 (a b c)1554 ，所以

a b c15542227 ，由于三个数字互不相同且均不0 ，所以三个数中小的两个数至少

1， 2，而 7 (1 2) 4 ，所以最大的数最大4；又1 2 367 ，所以最大的数大于 3，所以最大的数4，其他两数分是1， 2．

【巩固】 (迎春杯决 )有三个数字能成 6 个不同的三位数， 6 个三位数的和是2886，求所有的 6 个三位数中最小的三位数．

【解析】三个数字分a、 b、 c，那么 6 个不同的三位数的和：

abc acb bac bca cab cba2(a b c) 1002( a b c)102(a b c)222( a b c)

所以 a b c 288622213，最小的三位数的百位数1，十位数尽可能地小，由于十位

数与个位数之和一定，故个位数尽可能地大，最大9，此十位数13 19 3，所以所

有的 6 个三位数中最小的三位数139．

【巩固】 a ， b ， c 分别是 0 : 9 中不同的数码，用 a ， b ， c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是

2234 ，那么另一个三位数是几？

【解析】 由 a ， b ， c 组成的六个数的和是 222 (a b c) ．因为 2234 222 10 ，所以 a b c 10 ．

若 a

b c 11，则所求数为 222 11 2234 208 ，但 2 0 8 10 11 ，不合题意． 若 a b c 12 ，则所求数为 222 12 2234 430 ，但 4 3 0 7 12 ，不合题意． 若 a b c 13 ，则所求数为 222 13 2234 652 ， 6 5 2 13 ，符合题意．

若 a

b c

14 ，则所求数为 222 14 2234 874 ，但 8 7 4 19 14 ，不合题意． 若 a b

c 15 ，则所求数 222 15 2234 1096，但所求数为三位数，不合题意． 所以，只有 a b c 13时符合题意，所求的三位数为 652．

板块五

进制问题

【例 21】 在几进制中有 4 13 100？ 【解析】 利用尾数分析来解决这个问题：

由于 (4)10

(3)10 (12)10 ，由于式中为 100，尾数为 0，也就是说已经将

12 全部进到上一位．

所以说进位制 n 为 12 的约数，也就是 12， 6， 4，3， 2 中的一个． 但是式子中出现了 4，所以 n 要比 4 大，不可能是 4， 3， 2 进制． 另外，由于 (4)10 (13)10 (52)10 ，因为 52 100，也就是说不到 10 就已经进位，才能是 100，于是知

道 n 10 ，那么 n 不能是 12．所以， n 只能是 6 ．

【 巩固】算式 1534 25 43214是几进制数的乘法？

【解析】 注 意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为 4 5 20 ，但是现在为

4 ，说明进走

20 4 16 ，所以进位制为 16 的约数，可能为 16、 8、 4 或 2． 1534 25 38350 43214，所以在

因为原式中有数字 5，所以不可能为 4、 2 进位，而在十进制中有 原式中不到 10 就有进位，即进位制小于 10，于是原式为 8 进制． 【例 22】 在 6 进制中有三位数 abc ，化为 9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少 ？

【解析】 (abc)6 =a × 62＋ b × 6+c=36a+6b+c ； (cba)9=c × 92+b × 9+a=81c+9b+a ；所以 36a+6b+c=81c+9b+a ；于

是 35a=3b+80c ；因为 35a 是 5 的倍数， 80c 也是 5 的倍数．所以 3b 也必须是 5 的倍数，又(3，5)=1．所 以， b=0 或 5．

①当 b=0，则 35a=80c ；则 7a=16c ； (7，16)=1，并且 a 、c ≠ 0，所以 a=16， c=7．但是在 6，9 进制， 不可以有一个数字为 16．

②当 b=5，则 35a=3× 5+80c ；则 7a=3+16c ；mod 7 后， 3+2c ≡ 0．所以 c=2 或者 2+7k(k 为整数 )．因

为有 6 进制，所以不可能有 9 或者 9 以上的数， 于是 c=2；35a=15+80× 2，a=5．所以 (abc)6 =(552)6

=5× 62+5× 6+2=212．这个三位数在十进制中为

212．

课后练习：

练习 1． 三个质数的乘积恰好等于它们的和的 7 倍，求这三个质数．

【解析】设这三个质数分别是

a 、

b 、

c ，满足 abc 7( a b c) ，则可知 a 、 b 、 c 中必有一个为 7，不妨记 为 a ，那么 bc 7 b c ，整理得 (b 1)(c 1)

8 ，又 8 1 8 2 4 ，对应的 b 、c 舍去 或 b 、

2 9( )

3 c

5，所以这三个质数可能是 3， 5，7

练习 2． 有一个大于 1 的整数，除 45,59,101 所得的余数相同，求这个数 ．

【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同

余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差 的公约数． 101 45 56 ， 45 14 ， 14 ， 的约数有 1,2,7,14 ，所以这个数可能为 2,7,14．

59 (56,14) 14 练习 3． 将 1 至 2008

这 2008 个 自 然 数 ， 按 从 小 到 大 的 次 序 依 次 写 出 ， 得 一 个 多 位 数 ：

12345678910111213 L

20072008，试求这个多位数除以

9 的余数．

【解析】 以 19992000 这个八位数为例，它被 9 除的余数等于

1 9 9 9

2 0

0 0 被 9 除的余数，但是

由于 1999 与 1 9 9 9 被 9 除的余数相同， 2000 与 2 0

0 被 9 除的余数相同， 所以 19992000

就与 1999

2000 被 9 除的余数相同．

由此可得，从 1 开始的自然数 12345678910111213 L 20072008

被 9 除的余数与前 2008 个自然数之 和除以 9 的余数相同．

根据等差数列求和公式， 个和 ： 1 2008 2008 9 除的余数 1．

2 2017036 ，它被

另外 可以利用

9 个自然数之和必能被 9 整除 个性 ，将原多位数分成 123456789 ， 101112131415161718 ，??， 199920002001200220032004200520062007

，2008 等数，可 它被

9 除

的余数与 2008 被 9 除的余数相同． 因此，此数被

9 除的余数 1．

4． 在 7 制中有三位数 abc ，化 9 制 cba ，求 个三位数在十 制中 多少？

【解析】 首先 原 十 制：

(abc )7

a 72

b 7

c 49a 7b c ； (cba)9

c

92 b

9 a 81c 9b

a ．

于是 49a 7b c 81c 9b a ；得到 48a 80c 2b ，即 24a 40c b ．

因 24a 是 8 的倍数， 40c 也是 8 的倍数，所以 b 也 是

8 的倍数，于是 b 0 或 8．

但是在 7 制下，不可能有 8 个数字．于是 b 0 ， 24a 40c ， 3a 5c ．

所以 a 5 的倍数， c 3 的倍数．

所以， a 0 或 5，但是，首位不可以是 0，于是 a 5 ， c

3 ；

所以 (abc)7 (503)7 5 49 3 248 ．

于是， 个三位数在十 制中

248．

月 ：

【 1】某 数加

6 或减 6 得到的数仍是 数，在

50 以内你能找出几个 的 数？把它 写出来

．

【解析】 有六个 的数，分 是

11，13， 17， 23，37， 47．

【 2】 (2002 年全国小学数学奥林匹克

)两数相除，商 4 余 8，被除数、除数、商数、余数四数之和

等于 415， 被除数是 _______．

（415 4

8 8）（4 1） 79

【解析】 因 被除数减去

8 后是除数的

，

4 倍，所以根据和倍 可知， 除数

所以，被除数 79 4 8 324．

【 3】 1016 与正整数 a 的乘 是一个完全平方数， a 的最小 是 ________．

【解析】 先将 1016

分解 因数： 1016 3

1016 a 是一个完全平方数，所以至少 4

2

2 127 ，由于 2 127 ，故

a 最小 2

127 254．

【4】在几 制中有 125 125 16324？

【解析】 注 意 (125)10 (125)10 (15625)10 ，因 15625

16324，所以一定是不到

10 就已 位，才能得到

16324，所以 n 10．

再注意尾数分析，

(5)10

(5)10 (25)10 ，而 16324 的末位

4，于是 25

4 21 到上一位．

所以 位制 n

21 的 数，又小于 10，也就是可能

7 或 3．

因 出 了

6，所以 n

只能是 7．