《线性代数及其应用》第一章Ch1.7

▪ 证: 把这些向量重新编号，我们可设 v1 0 ， 关于。是方程1v1 0v2 ... 0v p 0 证明了S线性相
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仅有平凡解。
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一个或两个向量的集合
▪ 仅含一个向量, 例如由 v 形成的集合线性无关，当 且仅当 v 不是零向量。
▪ 这是因为当 v 0 时，向量 x1v 0 仅有平凡解。
▪ 零向量是线性相关的，因为
有许多非平
凡解。
1 线性代数及其应用
1.7
线性无关
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线性无关
▪ 定义: ¡ n 中的一组向量{v1, v2,..., v p} 称为 线性无关的，若向量方程
x1v1 x2v2 ... xpv p 0
仅有平凡解.
向量组{v1, v2,..., v p}称为线性相关的，若存在
▪ 证: 设 A v1 L v p . ▪ 则 A 是 n p 矩阵，方程 Ax 0 对应于p个未知
量的n个方程 。
▪ 若 p n ，未知量比方程多，所以必定有自由变
量。
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两个或更多个向量的集合
▪ 因此 Ax 0 必有非平凡解, 所以 A的各列线性相
▪ 则 x1 10 ，x2 5。
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线性无关
▪ 把这些值带入 (1) ，得到如下方程：
10v1 5v2 5v3 0
▪ 这是v1, v2, v3的一个 (无穷多个之中的一个) 可能 的线性关系。
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...
c j1 cj
v j .1
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两个或更多个向量的集合
▪ 定理 7 没有说在线性相关集中每一个向量都是它 前面的向量的线性组合。
▪ 线性相关集中某个向量可能不是其他向量的线性
组合。
3
1
▪ 例 2: 设 u 1 ，v 6 ，叙述u 和 v,
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矩阵各列的线性无关
▪ 让我们考虑矩阵A a1 L 组。
an 来替代考虑向量
▪ 矩阵方程 Ax 0 ，可以写成 x1a1 x2a2 ... xnan 0
▪ 矩阵A 的各列之间的每一个线性相关关系对应于方程 Ax=0 的一个非平凡解。
▪ 矩阵A的各列线性无关，当且仅当方程 Ax=0
▪ 这向量必是 w, 因为 v 不是u的倍数。
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两个或更多个向量的集合
▪ 因此 w 属于 Span {u, v}. 如下图所示
▪ 例 2 可推广到 ¡ 3 中任意集合 {u, v, w}，其中 u 和
v 线性无关.
x10 0
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一个或两个向量的集合
▪ 两个向量的集合 {v1, v2}线性相关，当且仅当其中 一个向量是另一个向量的倍数。
▪ 这个向量组是线性无关的，当且仅当其中任一个 向量不是另一个向量的倍数。
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把方程两边减去 vj 就产生一个线性关系，其中vj 的权为 (1)。
▪ [例如，如果 v1 c2v2 c3v3 , 那么 0 (1)v1 c2v2 c3v3 0v4 ... 0v p .]
▪ 于是 S 是线性相关的。 ▪ 反之，设 S 是线性无关的。 ▪ 若v1 为零, 则它是S中其它向量的一个（平凡）线
1 4 2 0
x1
2
x2
5
x3
1
0
3 6 0 0
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线性无关
▪ 把增广矩阵进行行变换，得到
1 4 2 0 1 4 2 0 2 5 1 0 : 0 3 3 0 . 3 6 0 0 0 0 0 0
▪ x3 是自由变量， x1 和 x2 是基本变量 。 ▪ x3 的 每个非零值确定(1)的一组非平凡解。 ▪ 因此， v1, v2, v3 是线性相关的。
性组合。
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两个或更多个向量的集合
▪ 另外的,若 v1 0, 存在 c1, …, cp, 不全为零,使得： c1v1 c2v2 ... cpv p 0.
▪ 设 j 是使 c j 0 的最大下标。
▪ 若 j 1 , 则 c1v1 0 , 这是不可能的，因为v1 0，
当且仅当S中至少有一个向量是其他向量的线性组 合.
▪ 事实上，若S 线性相关，且v1 0 ，则某个vj (j 1) 是它前面几个向量 v1, …, v j1 的线性组合。
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两个或更多个向量的集合
▪ 证: 若S中的某个 vj 是其它向量的线性组合，那么
个平面。
▪ Span {u, v} 就是 x1x2-平面 (即x3 0 ). ▪ 若w 是 u 和 v的线性组合, 则由定理7知 {u, v, w}
线性相关。
▪ 反之， 设 {u, v, w} 线性相关。
▪ 由定理 7, {u, v, w} 中某一向量是它前面的向量的
线性组合 (因 u 0 ).
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三个向量的集合
▪ {u,v, w}线性相关
{u,v, w}线性无关
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两个或更多个向量的集合
▪ 定理 7: （线性相关集的特征）
▪ 两个或更多个向量的集合S {v1,..., v p} 线性相关，
1
4
2
▪
例1：设
v1 2 ,
v2
5
,
和
v3
1.
3
6
0
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线性无关
a. 确定向量组 {v1, v2, v3} 是否线性相关。 b. 可能的话，求出 v1, v2, 和 v3的一个线性相
关关系。
▪ 解: 我们需要确定下列方程是否有非平凡解。
不全为零的权c1, …, cp, 使得
c1v1 c2v2 ... cpv p 0
----(1)
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线性无关
▪ 方程 (1) 称为向量 v1, …, vp 之间的线性相关 关系，其中权不全为零。
▪ 一组向量为线性相关，当且仅当它不是线 性无关的。
▪ 集合 {u, v, w} 线性相关，当且仅当 w 在u 和 v所生 成的平面上。
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两个或更多个向量的集合
▪ 定理 8: 若一个向量组的向量个数超过每个向量元
素个数，那么这个向量组线性相关。就是说，¡ n 中任意向量组 {v1, …, vp} ，当 p n 时线性相关。
关。 ▪ 下图给出了这个定理的矩阵说明。
▪ 定理 8 没有涉及向量组中向量个数不超过每个向 量中元素个数的情形。
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个或更多个向量的集合
▪
定理 9: 若集合 S
线性相关。
{v1,..., v p}包含零向量，则它
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线性无关
b. 为了求出 v1, v2, v3 的线性关系，继续化简 增广矩阵，写出新的方程组:
1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 0
x1 2x3 0 x2 x3 0
00
▪ 那么, x1 2x3,x2 x3, x3 是自由变量。 ▪ 选取 x3任意一个非零值，例如 x3 5 。
0
0
生成的集合，并说明向量w 属于 Span {u, v} 当且 仅当 {u, v, w} 线性相关。
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两个或更多个向量的集合
▪ 解: 向量 u 和 v 是线性无关的，因为它们之中任何
一个不是另一个的倍数，所以它们生成 ¡ 3中的一
故 j 1, 且
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两个或更多个向量的集合
c1v1 ... cjv j 0v j 0v j1 ... 0v p 0 c j v j c1v1 ... c j v 1 j1
vj
c1 cj
v1