高中数学必修5一元二次不等式及其解法
问：一次上网在多长时间以内能够保证选择 电信比选择网通所需费用少？
新课导入
分析：假设一次上网x小时， 则电信公司的收取费用为1.5x 根据题意知，网通公司收费1.7 ，1.6，1.5 ，1.4，……
∵1.7，1.6，1.5，1.4，…… 是以1.7为首项，以-0.1为公差的等差数列 ∴网通公司的收取费用为 1.7 x
3 x 1或x 2 即： 1 x 3
2 x 2 x 3 0 2 3 2 x x 0
，
， 也即 1 x 3
故函数 f ( x) 的定义域是 [1,3) 。
课堂小结
这节课我们学习了一元二次不等式的解法，同学们下去 可以多注意以下两点
2
探究新知
思考：
那么一元二次不等式 x 5 x 0 怎样 去求解呢？
2
探究新知
y
我们来考察与其所对的二次 2 y x 5x 的关系： 函数
（1）当 x （2）当 x
0 0
或
x 5 时，y 0 x 5 时，y 0
时，y
O
5
x
或
（3）当 0
x5
0
下结论：
高中数学必修5
一元二次不等式及其解法
共两课时 （第一课时）
新课导入
两个网络服务公司（Internet Serice Provider）的资费标准： 电信：每小时收费1.5元 网通：用户上网的第一小时内收费1.7元，第二 小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若用 户一次上网时间超过17小时，按17小时计算） <不妨设该同学一次上网不超过17小时>
结合图像知不等式 x 2 5 x 0 的解集
是 {x | 0 x 5}
推广：
2 ax bx c 0 那么对于一般的不等式
或 ax2 bx c 0(a 0)又怎样去寻求解集呢？
一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c (a>0)的图象 △>0
• 1、三个二次的关系，注意结合图像； • 2、将一元二次不等式化为标准形式；
作业：
课本80页习题3.2 A组第1、2题
R Φ
{x|x1< x <x2 }
Φ
例题讲解
x 一元二次不等式 例 1.解下列关于
（1）x x 6 0
2
( 2) 4 x 4 x 1 0
2
(3) x 2 x 3 0
2
解一元二次不等式的步骤：
• 1.化标准：将不等式化成标准形式（右边为 0、最高次的系数为正）； • 2.计算判别式的值： • 3.求根：若判别式的值为正或零，则求出相 应方程的两根； • 4.写解集：注意结果要写成集合或者区间的 形式
△=0
y x2 x x O x1 有两相等实根 b x1=x2= 2a {x|x≠ b Leabharlann 2a△<0y
y x1 O
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
O 没有实根
x
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
课堂练习：P80练习题1题（1）（3）（5）
求解一 元二次不等 式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程 序框图:
b x 2a
△ ≥0
x< x1或x> x2
例题讲解
) 例2.求函数 f ( x) 2 x 2 x 3 log 3 (3 2 x x 2的定义 域.
解：要使得函数有意义，则
x (35 x ) 如果能够保证选择电信公司比选择网通公司所需费用少，则1.5 x 20
整理得
x( x 1) x(35 x) (0.1) 2 20
x 2 5x 0
这是什么？
新知讲解
一元二次不等式
像 x 5x 0 这样只含一个 未知数，并且未知数最高次数 为2的不等式。
人教版高中数学必修课件一元二次不等式及其解法
人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
总结出： 解一元二次不等式
ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 的步骤是：
(1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0)
ax2+bx+c<0 (a>0)
(2) 写出ax2+bx+c=0判定△的符号，
当x取 0 < x <5 时，y<0?
(3).由图象写出：
不等式x2 -5x>0 的 解集为 ﹛x|x<0或x>5﹜ 。
不等式x2 -5x<0 的 解集为 ﹛x| 0 <x <5﹜ 。
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一元二次不等式及其解法
=(2x-1)2≥0
(2)解不等式 - x2 + 2x – 3 >0
解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0
因为△= 4 - 12 = - 8 < 0
方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根
所以原不等式的解集为ф
人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
(3)求出方程 的实根;画出函数图像
(4)（结合函数图象）写出不等式的解集.
简记为：一化—二判—三求—四写
人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
高三数学一元二次不等式及其解法
3 2 1 x 1 -1 -2 -3 2 3
1 25 ( ,) 2 4
观察这个图象,可以看出,抛物线位于 观察这个图象,可以看出,抛物线位于x 轴上方的点的纵坐标大于零 纵坐标大于零, 轴上方的点的纵坐标大于零,因此这些点 的横坐标的集合
y
A={x| x<-2或x>3}是一元二 - 或 是一元二 次不等式x2-x-6>0的解集. 次不等式 - 的解集. 抛物线位于x轴下方的点 抛物线位于 轴下方的点 的纵坐标小于零, 的纵坐标小于零,因此这些 点的横坐标的集合 集合B={x| - 点的横坐标的集合 2<x<3}是一元二次不等式 2 是一元二次不等式x 是一元二次不等式 -x-6<0的解集. - 的解集.
y 3 2 1 x O -1 1 2 3
解:对于任意实数x, 对于任意实数 , x2-2x+3=(x-1)2+2>0, - , 因此不等式(1)的解集为 因此不等式( ) 实数集R, 实数集 , 不等式(2)无解,或说它 不等式( )无解, 的解集为空集. 的解集为空集
-1 O -1 y 3 2 1 x 1 2 3
解得
3 x ≤ 或x ≥ 1 2 1 < x < 3
因此1≤x<3,所求函数的定义域是[1,3). ,所求函数的定义域是 , 因此
�
通过以上两例, 通过以上两例,我们不难对一元二次 不等式ax 不等式 2+bx+c>0 (a>0)和ax2+bx+c<0 和 (a>0)解集的形式作一般性的分析. 解集的形式作一般性的分析. 解集的形式作一般性的分析 的判别式为△ 设方程ax 设方程 2+bx+c=0 (a>0)的判别式为△. 的判别式为 (1)当△>0时,二次方程 2+bx+c=0有两 ) 时 二次方程ax 有两 个不等的实数根x ,(设 个不等的实数根 1,x2,(设x1<x2). 考察这类二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象, 的图象, 考察这类二次函数 的图象 这时,函数的零点把x轴分成三个区间 这时,函数的零点把 轴分成三个区间
人教版高三数学必修五《一元二次不等式及其解法》教案及教学反思
人教版高三数学必修五《一元二次不等式及其解法》教案及教学反思一、教学目标1.知识与技能学习完本课程后，学生应该：1.掌握一元二次不等式的基本概念及其解法。
2.掌握对数函数的基本性质及其在解不等式中的应用。
3.掌握函数的单调性的影响及其在解不等式式中的应用。
4.能够独立解决基础的不等式问题。
2.过程与方法通过本节课的学习，学生应该：1.学会理性思维和逻辑推理，提高数学学习能力。
2.培养数学模型的运用能力和实际问题分析解决能力。
3.注重思想品德和道德感召，最终能够更好地用知识服务于社会。
二、教学内容1.预备知识1.函数基础知识：函数的定义，函数的图像，函数的性质。
2.对数函数：对数函数的定义，对数函数的基本性质。
3.函数的单调性：函数单调递增和单调递减的定义，单调性法则。
2.教学过程（1）概念解释首先让学生理解一元二次不等式的基本概念和解法，理解整个解题思路，理解式子的特点及其求解方法，体育教员教师可以给他们举一些实际应用的例子，让学生感受和理解学习的意义。
（2）基础分析接下来让学生分析一元二次不等式的基础概念及基础性质，理解函数图像及对数函数的基础概念，从而进一步掌握解题方法和套路。
（3）配套题目解析最后通过配套的习题集，让学生独立解决一些基本的不等式问题，并进行自主探究和总结。
3.教学重点•四个一元二次不等式基本形式解法•对数函数性质及其在解不等式中的应用•函数的单调性的影响及其在解不等式式中的应用•独立解决一些基础的不等式问题4.教学难点•对数函数在解不等式中的应用•函数单调性的影响及其在解不等式式中的应用三、教学方法1.运用启发式教学法此实用主要通过设计一些“启发-style”习题，让学生在思考中得到启示。
2.利用实例演练通过实际例子让学生观察和掌握一元二次不等式的规律。
3.实现分组教学该方法可以让教师更好地掌握每个学生的知识掌握程度及学生的思考问题，从而针对性更强地进行教学。
四、教学效果评估1.测试方法通过把学生放到实际场景中让其进行不等式求解工作，并通过随堂测试来评估学生的掌握情况，从而从微观角度评价教学效果。
高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目(附答案)
高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目（附答案）1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表题型一：一元二次不等式解法1.解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2＋4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.题型二：三个“二次”关系的应用2.若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则a ＋b 的值为( )A ．14B ．－10C ．10D ．－143.已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，求不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集．题型三：解含参数的一元二次不等式4.解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.巩固练习：1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a B ．{x |x >a } C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >a 或x <1aD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 3．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)4．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >14 B ．R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x <32 D ．∅5．函数y ＝17－6x －x 2的定义域为( )A ．[－7,1]B ．(－7,1)C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞)6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－1≥0}，则∁U A ＝________.7．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象与x 轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是________．8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0.若f (a )≤3，则a 的取值范围是________．9．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0. 10．若函数f (x )＝2 018ax 2＋2ax ＋2的定义域是R ，求实数a 的取值范围．参考答案：1.[解] (1)Δ＝49>0，方程2x 2＋5x －3＝0的两根为x 1＝－3，x 2＝12， 作出函数y ＝2x 2＋5x －3的图象，如图①所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <12.(2)原不等式等价于3x 2－6x ＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x 2－6x ＋2＝0，得x 1＝3－33，x 2＝3＋33，作出函数y ＝3x 2－6x ＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤3－33或x ≥3＋33. (3)∵Δ＝0，∴方程4x 2＋4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝－12.作出函数y ＝4x 2＋4x ＋1的图象如图所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12，x ∈R.(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，∵Δ＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为∅. 2.解：由已知得，ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，13，且a <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.3.解：因为x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16 .所以不等式qx 2＋px ＋1＞0即为－16x 2＋16x ＋1＞0，整理得x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．4.[解] 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }． 5.设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.5.解：(1)当a ＝0时， 不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}．(2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a <－12时，解不等式得－1a <x <2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x <2；②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a ，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a 或x >2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1a 或x >2. 练习：1.解析：选A 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12. 2.解析：选A ∵a <－1，∴a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0.又a <－1，∴1a >a ，∴x >1a 或x <a .3.解析：选B 由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2<0，所以－2<x <1.4.解析：选A 因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A.5.解析：选B 由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B.6.解析：∁U A ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}． 答案：{x |－1<x <1}7.解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8.解析：当a ≥0时，a 2＋2a ≤3，∴0≤a ≤1；当a <0时，－a 2＋2a ≤3，∴a <0.综上所述，a 的取值范围是(－∞，1]．9.解：将x 2－3ax －18a 2>0变形得(x －6a )(x ＋3a )>0， 方程(x －6a )(x ＋3a )＝0的两根为6a ，－3a .所以当a >0时，6a >－3a ，原不等式的解集为{x |x <－3a 或x >6a }；当a ＝0时，6a ＝－3a ＝0，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a <0时，6a <－3a ，原不等式的解集为{x |x <6a 或x >－3a }． 10.解：因为f (x )的定义域为R ，所以不等式ax 2＋2ax ＋2>0恒成立． (1)当a ＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；(2)当a ≠0时，有⎩⎨⎧ a >0，Δ＝4a 2－8a <0，即⎩⎨⎧a >0，0<a <2，所以0<a <2.综上可知，实数a 的取值范围是[0,2)．。
一元二次不等式及其解法课件ppt(人教A版必修5)
例4.不等式 ax bx 2 0 的解集为
2
1 1 {x | x }, 求 a, b. 2 3 1 1 2 , 是方程 ax bx 2 0 解:由题意可得,
2 3
的两个根,且a<0.
1 1 b 2 3 a 1 1 2 2 3 a
解得:
a 12, b 2.
的解集
x | x1 x x2
例题选讲
题型二.不含参数的一元二次不等式的解
例2.解下列不等式
(1)2x 5x 3 0
2
(2) 3x 15x 12 2 (3) 3x 6 x 2
2
(4)4x 4x 1 0
2
练习:P80 1
2
(5) x 2x 3 0
2
取值范围. 2.已知 A {x | x2 x 6 0}, B {x | x2 2x 8 0},
C {x | x2 4ax 3a2 0}, 若 A
B
题型八. 应用问题
一元二次方程
2
与x轴交点的横坐标。 下面我们来研究如何应用二次函数的图 象来解一元二次不等式。
一元二次不等式的解集如下表
b 2 4ac
二次函数
0
y
0
y
y
x1 = x2
0
0
没有实根
y ax2 bx c(a 0)
的图像 一元二次方程
x1
0
x2 x
0
x
x
ax2 bx c 0(a 0)
变式：已知关于x的不等式(a b) x (2a 3b) 0 1 的解集为(, )，求关于x的不等式 3 (a 3b) x (b 2a) 0的解.
一元二次不等式及其解法课件
§3.2
一元二次不等式及其 解法（1）
xxx
问题：某同学要把自己的计算机接入因特网，现有 两家ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元； 公司B的收费规则如图所示：即在用户上网的第1 小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每 小时减少0.1元（若超过17小时，按17小时计算）.
一般来说，一次上网 不会超过17个小时，所以， 假设一次上网时间总小于 17小时。那么，一次上网 在多长时间以内能够保证 选择公司A比选择公司B所 需费用少？
分析：假设一次上网 小时， 则： 公司A收取的费用为： 1.5 x （元） 公司B收取的费用为：
x 1.7 1.7 x 1 0.1 2
5
y0 2 所以， x 5x 0的解集为：
x 0 x 5.
所以，当一次上网在5小时内，选择A公司的费用 少；超过5小时，选择B公司的费用少。 事实上，上述方法我们可以推广到求一般一元二 2 2 次不等式 ax bx c 0 或 ax bx c （ 0 a 0) 的解 集。
R
ax 2 bx c 0 x x1 x x 2 (a 0)的解集
求解一元二 次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序 框图:
△≥0
b x 2a
x< x1或x> x2
典例剖析 规范步骤
例1. 解不等式 2x2－3x－2 > 0 .
解:因为△ >0,
方程2x2－3x－2 ＝0的解是
2 x 容易知道，方程 5 x 0 的两个实数根:
x1 0, x2 5
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法课件
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
高中数学必修5《一元二次不等式及其解法》PPT
创设情景 引入新课
学校要在长为8,宽为6 的 一块长方形地面上进行绿化, 计划四周种花卉,花卉带的宽
x x
x x
度相同,中间种植草坪(图中
阴影部分)为了美观,现要求
草坪的种植面积超过总面积 的一半,此时花卉带的宽度的
x x
x x
取值范围是什么?
设:花卉带的宽为x(0 x 3) ,则依题意有
(8
2x)(6
整2理x)得
1 2
86
整理得
x2 7x60
一元二次不等式的定义：
只含有一个未知数，并且未知数最高次 数是2 的不等式叫做一元二次不等式.
一元二次不等式的一般形式： ax2 bx c 0 或 ax2 bx c （0 a 0)
互动探究 发现规律
探究一元二次不等式 x2 7x6 0的解集
y>0
oo
01 y<0
y>0 x
o
当x取 x<1 或 x>6 时，y>0？ 当x取 1 < x <6 时，y<0?
(3)由图象得：
不等式x2 -7x+6>0 的解集﹛为x|x<1或x>6﹜
。
不等式x2 -7x+6<0 的解集为﹛x| 1 <x <6﹜
。
大于0取两边，小于0取中间.
启发引导 形成结论
典例剖析 规范步骤
例3 解不等式 4x2 4x 1 0 .
解： 0，方程 4x2 4x 1 0
的解是
x1
x2
1 2
.
原不等式的解集是 x
x
1 2
.
一元二次不等式及其解法
x y O -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4-3 -2 -1 12 3 4一元二次不等式及其解法一、教学内容本节课是新课标人教A 版高中数学必修5第三章第2节《一元二次不等式及其解法》第一课时。
二、教学目标（1）知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数之间的关系；掌握图像法解一元二次不等式的解法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法。
（2）情感与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神。
三、教学重点和难点（1）教学重点：一元二次不等式的解法。
（2）教学难点：理解一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
四、教学过程(一)设置情境问题：①解方程032=-x ；②作出函数32-=x y 的图像；③解不等式032>-x 。
试分析一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系？ 答：一元一次方程的解就是对应的一次函数与x 轴的交点，一元一次不等式的解集可以从对应的一次函数图像上看出。
在这里我们发现一元一次方程，一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。
利用这种联系我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解。
类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来找到其求解方法呢？(二)探索与研究（1）探究一元二次不等式022>--x x 的解集。
①解方程022=--x x；②作出函数22--=x x y 的图像；③解一元二次不等式022>--x x 。
答：①方程022=--x x 的解为}21|{=-=x x x 或；xy O -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4-3-2 -1 12 3 4 ②观察函数图像，可知：当21>-<x x 或时，函数图像位于x 轴上方，此时，0>y ，即022>--x x 。
当21<<-x 时，函数图像位于x 轴下方，此时0<y ，即022<--x x 。
高中数学必修5第三章3.2一元二次不等式式及其解法
≤
3 2
或x
≥1
1 x 3
因此1≤x<3，所求函数的定义域是[1，3).
思考题1
已知ax2 +2x
+c
>
0的解集为 禳镲睚x
-
1
<
x
<
1
,
镲铪 3 2
试求a, c的值，并解不等式 - cx2 +2x - a > 0。
解：对于任意实数x，
x2－2x+3=(x－1)2+2>0，
因此不等式（1）的解集为
实数集R，
y
3
不等式（2）无解，或说它 2
的解集为空集.
1
x
-1 O 1 2 3 -1
练习2．解不等式1－x－4x2>0.
解：原不等式可化为4x2+x－1<0，
因为△=12－4×4×(－1)>0，
方程4x2+x－1=0的根是
一元二次不等式及其解法
定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次 数是2的不等式，叫一元二次不等式。
一元二次不等式的一般表达式为 ax2+bx+c>0 (a≠0)，或ax2+bx+c<0 (a≠0)
其中a，b，c均为常数。
一元二次不等式一般表达式的左边，恰 是关于自变量x的二次函数f(x)的解析式，
2a
韦达定理
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
(2)二次函数
y ax2 bx c(a 0)
开口方向；
b 对称轴 x