2 二次函数零点的分布专题训练
二次函数零点的分布专题训练
一、单选题
1.若方程2
(1)230k x x --+=有两个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是( )
A .43k <
B .43k >
C .4
3k <,且1k ≠ D .43
k >,且1k ≠ 2.已知函数()2x
e f x x
=(其中无理数 2.718e =???),关于x 的方程
λ=有四个不等的实根,则实数λ的取值范围是( )
A .0,2e ?? ???
B .()2,+∞
C .2,2e e ??
++∞ ??? D .224,4e e ??++∞ ???
3.已知函数()10,0 lg ,0
x x f x x x -?≤=?>?,函数()()()()2
4g x f x f x t t R =-+∈,若函数
()g x 有四个零点,则实数t 的取值范围是( )
A .[)3,4
B .[)lg5,4
C .[){}3,4lg5?
D .(]3,4-
4.设ln ,0()2020,0
e x
x f x x x x ?>?=??≤?,2
()()(21)()2g x f x m f x =---,若函数()g x 恰有4
个不同的零点,则实数m 的取值范围为( ) A .0m <
B .1m <
C .2m >
D .1m
5.函数()()
2
3x
f x x e =-,关于x 的方程()()2
10f
x mf x -+=恰有四个不同实数根,
则正数m 的取值范围为( ) A .()0,2
B .()2,+∞
C .3360,6e e
??
+ ???
D .336,6e e ??
++∞ ???
6.已知()e x
f x x =,又2()()()1()
g x f x tf x t R =-+∈有四个零点,则实数t 的取值范围是( )
A .21,e e ??
++∞ ??? B .212,e e ??
+ ???
C .21,2e e ??
+-- ??? D .21,e e ??
+-∞- ??
?
7.已知函数1
2,0()21,0
x e x f x x x x -?>?=?--+≤??,关于x 的方程2
3())0()
(f f x a x a -+=∈R
有8个不等的实数根,则a 的取值范围是( ) A .13(3,
)4
B .(2,3)
C .4(,4)3
D .92,4?? ???
8.已知函数1222,0,()log ,0,
x x f x x x +?+≤?=?>??若关于x 的方程[]2
()2()30f x af x a -+=有六个
不相等的实数根,则实数a 的取值范围为( ) A .163,
5??
???
B .163,
5??
???
C .(3,4)
D .(]3,4
二、填空题
9
.2
1()4
f x x b =+-+(,a b 是正实数)只有一个零点,则ab 的最大值为_____. 10.若方程x 2+(k -2)x +2k -1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,则实数k 的取值范围是____________.
11.关于x 的方程mx 2+2(m +3)x +2m +14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,则m 的取值范围为________.
12.已知函数()cos f x x x =+,若方程()()2
30f x af x -+=有四个不等实根,则实数a
的取值范围为__________.
13.函数()f x 满足21,0(),0x x x f x e e x x
?-≤?=?->??,,若方程22
[()]2()20f x mf x m -+-=有
四个不相等的实数根,则实数m 的取值范围为_______________.
三、解答题
14.若函数235y x x a -=+的两个零点分别为12,x x ,且有1220,13x x -<<<<,试求出a 的取值范围.
15.关于x 的方程4(3)20x x
m m +-?+=有两个不等的实数根,求实数m 的取值范围.
16.已知函数2
1
()2
f x x mx m =-+在区间(0,4)上有两个不同的零点,求实数m 的取值范围.
17.试讨论当实数k 取不同值时,关于x 的方程()
2
21
21x x k --+=的解的个数.
参考答案
1.C 【解析】 【分析】
由题意可得()1041210k k -≠?
??=-->?
,从而可求出实数k 的取值范围.
【详解】
解:由方程有两个不相等的实数根可知,此方程为一元二次方程且判别式大于零,即可得
()1041210
k k -≠??
?=-->? ,解得4
3k <,且1k ≠. 故选:C. 【点睛】
本题考查了一元二次方程根的分布问题.本题的关键是由不同两根得判别式大于零.本题的易错点是忽略了1k ≠这一条件. 2.C 【解析】 【分析】
利用导数研究()f x 的单调性和极值,由此画出()f x 的图像.令()t g x ==
λ=有四个不等的实根转化为210t t λ-+=在0,,,22e e ????+∞ ? ?????
上各有一实根来求解,结合二次函数的根的分布列不等式,解不等式求得λ的取值范围. 【详解】
依题意可知函数()2x e f x x =的定义域为()(),00,-∞?+∞.且()()'
3
2x e x f x x
-=.所以()f x 在()(),0,2,-∞+∞上递增,在()0,2上递减,且()2
24
e f =,由此画出()f x 的图像
如下图所示.
令()t g x ==
()t x g =的单调性与()f x 相同,且()22
e g =
.
关于x
λ=有四个不等的实根,所以1t t
λ+=,即210t t λ-+=在
0,,,22e e ????+∞ ? ?????上各有一实根.令()()2
1,010h t t t h λ=-+=>,所以02e h ??< ???
,即21042
e e
λ-?+<,所以22e e λ>+.所以实数λ的取值范围是2,2e e ??++∞ ???.
故选:C
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值,考查根据方程零点的个数求参数的取值范围,考查数形结合的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题. 3.A 【解析】 【分析】
做出()f x 的图象,判断()f x m =的根的情况,根据()0g x =的根的个数判断
240m m t -+=的根的分布,利用二次函数的性质列出不等式组解出t 的范围.
【详解】
解:作出函数()10,0
lg ,0x x f x x x -?≤=?>?
的图象如图,
令()f x m =,则()0g x =化为240m m t -+=, 由图象可知当m 1≥时,()f x m =有两解,
∵()g x 有四个零点,∴240m m t -+=在[1,+∞)有两个不等实数根,
∴2164021140t m t ?=->??
>??-+≥?
,解得34t ≤<, ∴实数t 的取值范围是[)3,4. 故选:A. 【点睛】
本题考查了函数零点的个数判断,基本初等函数的性质,属于中档题. 4.A 【解析】 【分析】
求函数()f x ',研究函数的单调性和极值,作出函数()f x 的图象,设()t f x =,若函数()g x 恰有4个零点,则等价为函数2()(21)2h t t m t =---恰有两个零点,且满足1t <,利用一元二次方程根的分布进行求解即可. 【详解】
解:当0x >时,2
(1)
()e lnx f x x -'=
, 由()0f x '>得:10lnx ->,解得0x e <<, 由()0f x '<得:10lnx -<,解得x e >,
即当x e =时,函数()f x 取得极大值,同时也是最大值,()1f e =, 当x →+∞,()0f x +
→, 当0x +→,()f x →-∞, 作出函数()f x 的图像如图,
设()t f x =,则2
()()(21)()2g x f x m f x =---,等价为2()(21)2h t t m t =---,
函数()g x 恰有4个不同的零点等价于2()(21)2h t t m t =---有两个零点,且1t <, 因为2()(21)2h t t m t =---过定点()0,2-,开口朝上, 所以只需2(1)1(21)1220h m m =--?-=->,即0m < 故选:A 【点睛】
本题主要考查函数与方程的应用,利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及求函数的导数,研究函数的()f x 的单调性和极值是解决本题的关键,属于难题. 5.D 【解析】 【分析】
利用导函数讨论函数单调性与极值情况,转化为讨论210t mt -+=的根的情况,结合根的分布求解. 【详解】
()()()()22331x x x x e x f e x x =+-=+-',令()0f x '=,得3x =-或1x =,
当3x <-时,()0f x '>,函数()f x 在(),3-∞-上单调递增,且()0f x >; 当31x -<<时,()0f x '<,函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时,()0f x '>,函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()3
6
3f e -=
,极小值()12f e =-,作出大致图象:
令()f x t =,则方程210t mt -+=有两个不同的实数根, 且一个根在360,
e ?? ???内,另一个根在36,e ??
+∞ ???
内,
或者两个根都在()2,0e -内.
因为两根之和m 为正数,所以两个根不可能在()2,0e -内. 令()2
1g x x mx =-+,因为()010g =>,所以只需360g e ??
<
?
??
,即6336610m e e -+<,得3
366e m e >+,即m 的取值范围为336,6e e ??++∞ ???
.
故选:D 【点睛】
此题考查复合函数零点问题,根据零点个数求参数范围,关键在于准确讨论函数
()()23x f x x e =-图象特征,结合二次方程根的分布知识求解.
6.A 【解析】 【分析】
由题意首先将函数写成分段函数的形式研究函数()f x 的性质,然后结合二次函数的性质研究复合函数()g x 的性质即可确定实数t 的取值范围. 【详解】
,0
()e ,0x x
x
xe x f x x xe x ?≥==?-
, 当x ?0时,()0x x
f x e xe
'=+恒成立,所以f (x )在[0,+∞)上为增函数;
当x <0时,()(1)x
x
x
f x e xe e x '
=--=-+,
由f ′(x )=0,得x =?1,当x ∈(?∞,?1)时,f ′(x )=?e x (x +1)>0,f (x )为增函数, 当x ∈(?1,0)时,f ′(x )=?e x (x +1)<0,f (x )为减函数, 所以函数f (x )=|xe x |在(?∞,0)上有一个最大值为1
(1)f e
-=, 则函数()f x 的大致图象如图所示:
令f (x )=m ,要使方程f 2(x )?tf (x )+1=0(t ∈R )有四个实数根, 则方程m 2-tm +1=0应有两个不等根,且一个根在10,
e ?? ???
内,一个根在1,e ??
+∞ ???内. 再令h (m )=m 2
?m +1,因为h (0)=1>0,则只需10h e ??< ???,即2
1110t e e
??-?+< ???,解得21e t e +>
. 故选A. 【点睛】
本题主要考查导函数研究函数的单调性,导函数研究函数的零点等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7.D 【解析】 【分析】
根据题意,作出函数()f x 的图象,令()f x t =,()2
3g t t t a =-+,结合函数()f x 的图
象可知,只需函数()g t 在区间()1,2上与t 轴有两个不同的交点,利用二次函数的性质求出
实数a 的取值范围即可. 【详解】
根据题意,作出函数()f x 的图象如图所示:
令()f x t =,由图可知,关于t 的方程230-+=t t a 在区间()1,2上有两个不等的实数根, 令()2
3g t t t a =-+,则函数()g t 在区间()1,2上与t 轴有两个不同的交点,
所以()()113024603
990242
g a g a g a ?
?=-+>??
=-+>?????=-+< ?????,解得924< 所以实数a 的取值范围为9 24