罗素悖论提出的背景研究
罗素悖论的产生原因及排除方法
㊀㊀㊀１３９㊀数学学习与研究㊀２０２１ １２罗素悖论的产生原因及排除方法罗素悖论的产生原因及排除方法Һ王海东㊀（天津市北方调查策划事务所㊀天津㊀３０００５０）㊀㊀ʌ摘要ɔ罗素悖论的产生原因在于没有将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象．罗素悖论的排除方法在于将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，要想将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，就必须在集合论中引入自我归属定理．ʌ关键词ɔ罗素悖论；属于关系；自我归属定理一个 幽灵 在集合论中徘徊．这个幽灵就是罗素悖论．罗素悖论：是指属于一个集合的元素不属于自己，或属于自己的元素不属于一个集合．二者必居其一．罗素悖论可以用以下公式表示：∃ｘ∀ｙ（ｙɪｘ↔ｙ∉ｙᶱｙɪｙ↔ｙ∉ｘ）从这个公式来看，如果罗素悖论成立，那么属于一个集合的元素不属于自己，包含这个元素的集合也不属于自己了．因为，在集合论的逻辑推理过程中，任何一个集合都有可能被定义为另一个集合的元素．这样一来，集合论就产生了一个集合都不属于自己的逻辑矛盾．有人认为，集合论公理系统（ＺＦＣ）能够从集合论中排除罗素悖论．因为，集合论公理系统（ＺＦＣ）包括外延公理㊁配对公理㊁并集公理㊁幂集公理㊁无穷公理㊁概括公理㊁替换公理㊁正则公理㊁选择公理等九个公理．外延公理可以用以下公式表示：∀ｘ∀ｙ（ｘ＝ｙ↔∀ｚ（ｚɪｘ↔ｚɪｙ））配对公理可以用以下公式表示：∀ｘ∀ｙ∃ｚ（ｚ＝（ｘ，ｙ））并集公理可以用以下公式表示：∀ｘ∃ｙ（ｙ＝ɣｘ＝（ａ｜∃ｂ（ｂɪｘɡａɪｂ）））幂集公理可以用以下公式表示：∀ｘ∃ｙ（ｙ＝ｐ（ｘ）＝（ａ｜ａ⊆ｘ））无穷公理可以用以下公式表示：∃ｘ（（∃ａ（ａɪｘ））ɡ（∀ｙ（ｙɪｘңｙɣ｛ｙ｝ɪｘ）））概括公理可以用以下公式表示：∀ｙ∃ｘ∀ｚ（ｙɪｘ↔ｙɪｚɡｐ（ｙ））替换公理可以用以下公式表示：∀ｕ∀ｖ∀ｗ（φ（ｕ，ｖ）ɡφ（ｕ，ｗ）ңｖ＝ｗ）ң∀ｘ∃ｙ（ｙ＝（ｖ｜∃ｕ（ｕɪｘɡφ（ｕ，ｖ））））正则公理可以用以下公式表示：∀ｘ（ｘʂφң∃ｙ（ｙɪｘɡｘɘｙ＝φ））选择公理可以用以下公式表示：∀ｘ（φ∉ｘ⇒∃ｆ：ｘңɣｘ＝∀ａ（ａɪｘ（ｆ（ａ）ɪａ））在这九个公理中，概括公理就是针对罗素悖论提出的一个公理．因为概括公理规定了集合概念的概括方法，所以概括公理限制了任意规定集合概念的现象．因为概括公理限制了任意规定集合概念的现象，所以概括公理消除了形成罗素悖论的可能性．又因为概括公理消除了形成罗素悖论的可能性，所以概括公理就把罗素悖论从集合论中排除出去了．但是，实际情况并非如此．即使有了概括公理，我们仍然消除不了形成罗素悖论的可能性．不管我们怎样在集合论中挥舞概括公理的 保护伞 ，罗素悖论的阴影仍然神出鬼没㊁无处不在．因为，我们可以从概括公理中推出以下公式：∀ｙ∃ｘ∀ｚ（ｙɪｘ↔ｙɪｚɡｐ（ｘ）↔ｚɪｐ（ｙ）↔ｙɪｐ（ｙ）↔ｙ∉ｙ）从这个公式来看，概括公理只是把罗素悖论从一个集合推向了另一个集合．如果这样推下去，罗素悖论将会出现在所有集合之中．由此可见，概括公理不仅没有把罗素悖论从集合论中排除出去，还把罗素悖论从集合论带进了集合论公理系统（ＺＦＣ）．因为，出现在概括公理之中的罗素悖论，同样可以出现在其他八个公理之中．我们可以从外延公理中推出以下公式：∀ｘ∀ｙ（ｘ＝ｙ↔∀ｚ（ｚɪｘ↔ｚɪｙ）↔ｚ∉ｚ）我们可以从配对公理中推出以下公式：∀ｘ∀ｙ∃ｚ（ｚ＝（ｘ，ｙ）↔（ｘɪｚ，ｙɪｚ）↔（ｘ∉ｘ，ｙ∉ｙ））我们可以从并集公理中推出以下公式：∀ｘ∃ｙ（ｙ＝ɣｘ＝（ａ｜∃ｂ（（ｂɪｘ↔ｂ∉ｂ）ɡ（ａɪｂ↔ａ∉ａ））））我们可以从幂集公理中推出以下公式：∀ｘ∃ｙ（ｙ＝ｐ（ｘ）＝（ａ｜ａ⊆ｘ↔ａɪｘ↔ａ∉ａ））我们可以从无穷公理中推出以下公式：∃ｘ（（∃ａ（ａɪｘ↔ａ∉ａ））ɡ（∀ｙ（（ｙɪｘ↔ｙ∉ｙ）ң（ｙɣ｛ｙ｝ɪｘ））））我们可以从替换公理中推出以下公式：∀ｕ∀ｖ∀ｗ（φ（ｕ，ｖ）ɡφ（ｕ，ｗ）ңｖ＝ｗ）ң∀ｘ∃ｙ（ｙ＝（ｖ｜∃ｕ（（ｕɪｘ↔ｕ∉ｕ）ɡφ（ｕ，ｖ））））我们可以从正则公理中推出以下公式：∀ｘ（ｘʂφң∃ｙ（（ｙɪｘ↔ｙ∉ｙ）ɡｘɘｙ＝φ））我们可以从选择公理中推出以下公式：∀ｘ（φ∉ｘ⇒∃ｆ：ｘңɣｘ＝∀ａ（ａɪｘ（ｆ（ａ）ɪａ）↔ａ∉ａ））从这些公式来看，集合论公理系统（ＺＦＣ）如同一个包含罗素悖论的公理系统．这个包含罗素悖论的公理系统肯定不是一个合理的公理系统，所以集合论公理系统（ＺＦＣ）的合理性将会受到严重质疑．那么，怎样才能从集合论中排除罗素悖论呢？显然，要想从集合论中排除罗素悖论，就必须找到罗素悖论的产生原因．只有找到罗素悖论的产生原因，才能找到罗素悖论的排除方法．只有找到罗素悖论的排除方法，才能从集合论中排除罗素悖论．那么，怎样才能找到罗素悖论的产生原因呢？显然，要想找到罗素悖论的产生原因，就必须从集合论的一个二元关系说起．这个二元关系就是在规定集合概念的数学公式中必须阐明的属于关系．属于关系就是某个数学对象属于另一个数学对象的二元关系．从属于关系来看，当某个数学对象属于另一个数学对. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀１４０数学学习与研究㊀２０２１ １２象的时候，这个数学对象就被包含在另一个数学对象之中了．因此，属于关系可以被理解为包含关系．包含关系就是某个数学对象包含另一个数学对象的二元关系．但是，属于关系不仅可以被理解为包含关系，而且还可以被理解为等于关系．等于关系就是某个数学对象等于另一个数学对象的二元关系．包含关系可以推广到等于关系．当某个数学对象等于另一个数学对象的时候，这个数学对象就如同被包含在另一个数学对象之中了．这种推广到等于关系的包含关系称为包含等于关系．包含等于关系就是某个数学对象包含等于另一个数学对象的二元关系．由于属于关系有两种理解方法，所以罗素悖论也有两种评价标准．如果我们把属于关系理解为包含关系，罗素悖论就是一个可以成立的悖论．如果我们把属于关系理解为等于关系，罗素悖论就是一个不能成立的悖论．由此可见，罗素悖论隐含着一个理论假设：某个数学对象既可以属于另一个数学对象，也可以属于某些包含另一个数学对象的数学对象，但是不能属于任何一个不包含另一个数学对象的数学对象．这个理论假设称为罗素假设．罗素假设就是罗素悖论的理论依据．罗素悖论就是根据罗素假设提出的．那么，罗素假设是否可以成立呢？显然，如果罗素假设可以成立，我们不仅可以从中推出罗素悖论，而且可以从中推出罗素悖论的悖论．罗素悖论的悖论可以用以下公式表示：∃ｘ∀ｙ∀ｚ（ｙɪｘ↔ｙ∉ｙ↔ｙɪｚ↔ｚɪｘ↔ｚ∉ｚ↔ｚɪｙ↔ｙɪｘ ）从这个公式来看，如果属于一个集合的元素不属于自己，这个元素就属于另一个元素了．如果这个元素属于另一个元素，属于一个集合的元素就不是这个元素了．按照这个推论不断推导下去，我们会陷入一个永无止境的循环推理过程．在这个永无止境的循环推理过程中，每一个罗素悖论都会遭到下一个罗素悖论的否定．由此可见，罗素假设是不能成立的，所以罗素悖论也是不能成立的．但是，问题并没有到此结束．因为，罗素假设不能成立并非意味着罗素假设绝对不能成立．罗素假设在一定条件下是可以成立的．这个假设是否成立是由某个数学对象的自身存在决定的．如果罗素假设不涉及某个数学对象的自身存在，罗素假设就是一个可以成立的假设．罗素假设如果涉及某个数学对象的自身存在，就是一个不能成立的假设．那么，这个成立条件又是怎样形成的呢？显然，要想回答这个问题，就必须从属于关系说到等价关系．等价关系也是集合论中的一个二元关系．这个二元关系具有自反性㊁对称性和传递性三个基本特征．自反性可以用以下公式表示：ａ＝ａ对称性可以用以下公式表示：ａ＝ｂ，ｂ＝ａ传递性可以用以下公式表示：ａ＝ｂ㊀ｂ＝ｃ⇒ａ＝ｃ如果上述三个公式都可以成立，等价关系可以用以下公式表示：ａ ｂ由此可见，等价关系是从等于关系中推导出来的．只要把属于关系理解为等于关系，我们就可以将自反性㊁对称性和传递性纳入属于关系．只要将自反性㊁对称性和传递性纳入属于关系，我们就可以使属于关系成为一种等价关系．属于关系的自反性可以用以下公式表示：ａɪａ属于关系的对称性可以用以下公式表示：ａɪｂ，ｂɪａ属于关系的传递性可以用以下公式表示：ａɪｂ㊀ｂɪｃ⇒ａɪｃ这样一来，我们就发现了一个十分重要的数学定理：在属于关系成为一种等价关系的条件下，某个数学对象在属于另一个数学对象的同时，不仅可以属于某些包含另一个数学对象的数学对象，而且可以属于一个不包含另一个数学对象的数学对象．这个不包含另一个数学对象的数学对象就是这个数学对象的自身存在．这个数学定理就是自我归属定理．我们可以用以下公式证明自我归属定理：已知ｐɪｑ，又知ｐ＝∃ｐ∀ｐ（ｐɪｐ↔ｐ＝ｐ）；ｑ＝∃ｑ∀ｑ（ｑɪｑ↔ｑ＝ｑ）因此∃ｐ∀ｐ（ｐɪｐ↔ｐ＝ｐ）ɪ∃ｑ∀ｑ（ｑɪｑ↔ｑ＝ｑ）．证毕．从这个证明过程来看，某个数学对象在属于另一个数学对象之前就已经属于自身存在了．某个数学对象只有在属于自身存在的条件下才能属于另一个数学对象．这种数学现象如同发生在我们身边的一种社会现象．在这种社会现象中，我们每一个人只有在属于自己的条件下才能属于一个社会组织，才能使自己成为一个社会组织的合法成员．除非这个社会组织是一个奴隶制的社会组织．因为，在一个奴隶制的社会组织中，奴隶主属于自己而奴隶不属于自己．这种不属于自己的人只能被视为奴隶主的一种财产，而不能被视为这个社会组织的合法成员．由此可见，如果将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，任何两个数学对象之间的属于关系都不会产生罗素悖论．如果不将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，任何两个数学对象之间的属于关系都会产生罗素悖论．综上所述，罗素悖论的产生原因在于没有将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，罗素悖论的排除方法在于将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象．要想将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，就必须在集合论中引入自我归属定理．ʌ参考文献ɔ［１］王元，文兰，陈木法．数学大辞典［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１７．［２］冯琦著．集合论导引［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１９．［３］石纯一．数理逻辑与集合论［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０００．［４］汪芳庭．数理逻辑．［Ｍ］北京：中国科技大学出版社，２０１０．. All Rights Reserved.。
罗素与罗素悖论
罗素与罗素悖论原创：南远景云卜堂今天罗素像罗素，是英国哲学家、数学家、逻辑学家，分析哲学的主要创始人，世界和平运动的倡导者和组织者。
1872年5月18日出生在英国蒙茅斯郡特雷勒克附近的雷文斯庄园。
由于父母早亡，他从 10 岁开始跟哥哥弗兰克学习欧几里德数学。
1890 年进入剑桥大学三一学院，毕业后，一直活跃于英国、德国、美国、法国等国的数学、哲学、逻辑学等领域。
1920 年，他访问了俄国和中国，并在北京讲学一年。
1950 年获诺贝尔文学奖。
代表作品有《西方哲学史》《哲学问题》《心的分析》等。
罗素的贡献是多方面的。
在政治领域，他是一名自由主义者，同时具有浓厚的社会主义倾向。
在哲学领域，他建立了逻辑原子论和新实在论，成为现代分析哲学创始人之一。
在历史学领域，他力图从历史的角度来观察哲学思想和发展，所著《西方哲学史》是一部脍炙人口的哲学史著作。
在经济学领域，他赞扬消费、反对节俭，提出的理论成为凯恩斯经济学的先导。
在文学领域，他创作了多部小说，获得1950年度诺贝尔文学奖。
在逻辑学领域，提出了著名的“罗素悖论”，推动了20世纪逻辑学和数学的发展。
罗素悖论是罗素于1902年提出来的，也叫理发师悖论。
理发师悖论可以这样表述：有一位理发师，他说他只给自己不理发的人理发，他不给自己理发的人理发。
那么，他给自己理不理发？如果他给自己理发，那么，根据第二条，他就不该给自己理发；如果他不给自己理发，那么，根据第一条，他就该给自己理发。
罗素悖论的数学表述为：设集合S是由一切不属于自身的集合所组成，即“S={x|x ∉ S}”。
那么问题是：S包含于S是否成立？首先，若S包含于S，则不符合x∉S，则S不包含于S；其次，若S不包含于S，则符合x∉S，S包含于S 。
理发师悖论与罗素悖论是等价的。
如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义为这个人理发的对象。
那么，理发师说，他的元素，都是不属于自身的那些集合，并且所有不属于自身的集合都属于他。
罗素悖论简介
罗素悖论简介1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。
此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。
这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。
触发了第三次数学危机。
把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有：P={A∣A ∈A} Q={A∣A∉A} 问，Q∈P 还是Q∈Q？若Q∈P，那么根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，但是Q中任何集合都有A∉A的性质，因为Q∈Q，所以Q￠Q，引出矛盾。
若Q∈Q，根据第一类集合的定义，必有Q∈P，而显然P∩Q=∅，所以Q∉Q，还是矛盾。
这就是著名的“罗素悖论”。
集合本身的概念就是一个没有限制性的概念，总的集合可任意分成若干集合，都是集合，确切地说我们不知道究竟是在那种意义前提限制下的集合。
子集合中存在悖论，或与别的集合之间存在悖论，子母集合之间也还存在悖论，因为在每种具体的子集合中都有属于它自身的规定规则，只在自身范围有效。
超越范围则失效，这是永远不可避免或取消的。
除非取消类的集合层次之间的区别，那么又不符合对待具体事物的态度，无法满足实际应用要求。
另外集合的本义与引申义常混合使用，有时与元素意义混同，集合在低层次相当于元素，当上升时为集合，当再次上升时又相当于元素，是累积式的。
罗素悖论在当它们还没有进行相互联系时是有效的，当它们进行相互联系时即它们已经成为一个类或一个整体，那么一个类或一个整体中是不允许或无法执行两种衡量标准或规定的，自我否定是和没说一个样，或等于没有规定一样。
罗素悖论的例子在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。
我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。
我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。
小学数学数学故事罗素悖论的由来
罗素悖论的由来
一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。
”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。
因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。
但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。
如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。
由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。
这是一个著名的悖论，称为“罗素悖论”。
这是由英国哲学家罗素提出来的，他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。
1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。
到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。
就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。
于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。
此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大量新成果，也带来了数学观念的革命。
罗素悖论
第三次数学危机
16级水保一班林南屏
Katalogue
什么是罗素悖论 罗素悖论的例子
罗素悖论的影响
悖论的解决
什么是罗素悖论
发现背景：
20世纪之初，数学界甚至整个科学界笼罩在一片喜悦祥和的气氛之中， 科学家们普遍认为，数学的系统性和严密性已经达到，科学大厦已经基 本建成。 例如，德国物理学家基尔霍夫(G．R．Kirchhoff)就曾经说过：“物理 学将无所作为了，至多也只能在已知规律的公式的小数点后面加上几个 数字罢了。” 英国物理学家开尔文(L．Kelvin)在1900年回顾物理学的发展时也说： “在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家只能做一些零碎的修补 工作了。” 法国大数学家亨利•彭迦莱(Jules Henri Poincaré)在1900年的国际数学 家大会上也公开宣称，数学的严格性，现在看来可以说是实现了。 然而好景不长，时隔不到两年，科学界就发生了一件大事，这件大 事就是罗素(Russell)悖论的发现。
NBG公理系统
冯· 诺伊曼（von Neumann）等人提出的NBG系统等。在该公理系统 中，所有包含集合的"collection"都能被称为类(class)，凡是集合也能被称 为类，但是某些 collection太大了（比如一个collection包含所有集合）以 至于不能是一个集合，因此只能是个类。这同样也避免了罗素悖论。
悖论的解决
• ZF公理系统：
1908年，策梅罗（Ernst Zermelo）在自己这一原则基础上提出第一 个公理化集合论体系。这一公理系统在通过弗兰克尔（Abraham Fraenkel） 的改进后被称为ZF公理系统。在该公理系统中，由于分类公理（Axiom schema of specification）：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在 一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x)；因此{x∣x是一个集 合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集； 并且通过该公理，存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛 盾的，因此罗素悖论在该系统中被避免了。
简评“罗素悖论”
简评“罗素悖论”罗素于1901年提出“罗素悖论”以来，引发了历史上悖论研究的第三次高潮，我们自认为已经简明地消解了“说谎者”这个悖论和“亦引亦彼”这个悖论。
但是悖论由以产生的前提存在什么问题呢？从说谎者悖论、格雷林悖论、罗素的集合论悖论等几个著名的悖论来看，它们都具有一个共同特征，即自我指涉或自我相关。
人们于是认定，悖论产生与自我指涉密切相关，一种是直接循环式；另一种间接循环式，“表面上没有循环，但在兜了一个或大或小的圈子之后又回到了原处，最后依然是自我指称或自我相关”。
人们通过考察范围的扩大，认识到现有的悖论都具有一个共同特征——自我指涉。
这似乎进一步确证，悖论产生的祸根就是自我指涉。
因此消解悖论必须从自我指涉入手的观点，在悖论研究中一度颇为流行，至今仍有不少学者持这种观点。
“自涉”为解悖方案由来以久。
两千多年前，斯多葛学派的逻辑学家克吕亚波就曾经说过：“谁要是说出了‘说谎者悖论’的那一句话，”那就完全丧失了语言的意义，说那句话的人只是发出一些声音罢了，什么也没有表示。
中世纪威尼斯的保罗列举了15种解除悖论的方法，其中第5种就是：“当苏格拉底说他自己说谎时，他并没有说什么？”20世纪初，罗素对集合论悖论的研究，进一步阐述了“禁止自我指涉”的观点，罗素明确指出，所有悖论都来自同一种错误，即恶性循环，罗素主张，要避免悖论就必须禁止任何形式的恶性循环，也就是要禁止任何形式的自我相关或自我指称——“凡包含一个汇集的总体的事物，必不是这个汇集的分子。
”而当一个命题自我指涉时，罗素就视之为“无意义命题”——“关于其分子的总体的那个陈述是无意义的”，罗素提出的消解悖论的两种方案，简单类型论和分支类型论就是用限制和区别的方法避免命题的自我指涉。
罗素的研究使得悖论源于自我指涉的观点，进一步在学术界得到了确立和巩固。
班格特·汉生也认为，一切悖论都和“循环性命题”有关，“人们常说，悖论根源在于‘涉及自身’，总的说来，我也持这种观点”，但与罗素不同的是，汉生并不主张驱逐所有的自指命题，因为有的“涉及自身”的命题是无害的，不可论者要么全盘接受“自涉”，要么全盘拒斥“自涉”，犯“轻率概括”或“极代思考”谬误，相比之下，汉生也算是进了一大步。
西方法律逻辑学案例(3篇)
第1篇一、案例背景罗素悖论是20世纪初由英国哲学家、数学家、逻辑学家伯特兰·罗素提出的一个著名悖论。
这个悖论揭示了集合论中的逻辑矛盾，对后来的数学基础研究产生了深远影响。
本文将通过对罗素悖论的案例分析，探讨西方法律逻辑学在解决法律问题中的应用。
二、案例描述罗素悖论描述如下：假设存在一个集合R，它包含所有不包含自身作为元素的集合。
现在，我们来判断R是否属于自身。
如果R属于自身，那么根据定义，R不包含自身，与假设矛盾。
如果R不属于自身，那么根据定义，R应该包含自身，同样与假设矛盾。
无论R属于自身还是不属于自身，都会出现矛盾，这就形成了罗素悖论。
三、案例分析1. 悖论产生的原因罗素悖论的产生主要源于集合论中的公理化体系。
在公理化体系中，我们假设了一些基本概念和公理，然后通过逻辑推理得出新的结论。
然而，罗素悖论揭示了这种公理化体系的缺陷，即在某些情况下，我们的基本概念和公理可能存在矛盾。
2. 悖论对法律逻辑学的影响罗素悖论对法律逻辑学的影响主要体现在以下几个方面：（1）启示法律逻辑学在处理复杂问题时，应注重逻辑推理的严谨性，避免出现逻辑矛盾。
（2）为法律逻辑学提供了新的研究视角，即从数学基础理论出发，探讨法律逻辑学的发展。
（3）使法律逻辑学更加关注逻辑推理与现实问题的结合，为解决法律问题提供新的思路。
四、案例启示1. 严谨的逻辑推理是法律逻辑学的基础罗素悖论告诉我们，在法律逻辑学的研究过程中，必须注重逻辑推理的严谨性。
只有确保推理过程中的每一个步骤都是正确的，才能得出可靠的结论。
2. 法律逻辑学应关注现实问题罗素悖论启示我们，法律逻辑学不仅要关注理论体系的发展，还要关注现实问题的解决。
将法律逻辑学与实际问题相结合，才能更好地服务于法治建设。
3. 拓展法律逻辑学的研究领域罗素悖论为法律逻辑学提供了新的研究视角，即从数学基础理论出发。
这要求我们在研究法律逻辑学时，要关注相关领域的最新研究成果，不断拓展法律逻辑学的研究领域。
数学悖论
罗素的“悖论”英国现代数理学家、哲学家罗素，是数学中逻辑主义学派的代表人物。
1903年他提出了著名的“悖论”，导致了“集合论”理论的发展。
所谓悖论，是从一些貌似正确的或看来可接受的约定出发，经过简明正确的推理，却得到自相矛盾的结论。
例如，对一个命题，如果假定它为真，经过无懈可击的推理，却推出它为假；但假定它为假，又能推出它为真。
这样的命题就是一个悖论。
下面是罗素提出的一个命题：某理发师规定：他只给那些自己不给自己刮脸的人刮脸。
这个理发师该不该给自己刮脸呢？很显然，如果这个理发师给自己刮脸，那么按规定他就不该给自己刮脸；同时，如果他不给自己刮脸，那么按规定他又应该给自己刮脸。
多尴尬的理发师！这样自相矛盾的命题就是悖论。
聪明的读者，请你分析下面的一句话：安第斯山人迪皮克说：“所有安第斯山人说的话都是谎话。
”你能推出这句话中的悖论吗6参考答案：如果这句是真话，由于迪皮克是安第斯山人，他也是说谎者，因此这句话是谎话。
如果这句话是谎话，那么安第斯山人不都是说谎者，可是他的话说明是在说谎，因此是句真话。
摘要：本文主要通过数学史上的三次危机的产生与消除，针对它们的本质浅谈自己的认识，实际导致这三次危机原因在与人的认识。
第一次数学危机是人们对万物皆数的误解，随着无理数的发现，把第一次数学危机度过了。
第二次数学危机是人们对无穷小的误解，微积分的出现产生了一种新的方法，即分析方法，分析方法是算和证的结合。
是通过无穷趋近而确定某一结果。
罗素悖论的发现，给数学界以极大的震动，导致了数学史上的第三次危机。
为了探求其根源和解决难题的途径，在数学界逻辑界进行了不懈的探讨，提出了一系列解决方案，并在不知不觉中大大推动了数学和逻辑学的发展。
关键词：危机；万物皆数；无穷小；分析方法；集合一、前言数学常常被人们认为是自然科学中发展得最完善的一门学科，但在数学的发展史中，却经历了三次危机，人们为了使数学向前发展，从而引入一些新的东西使问题化解，在第一次危机中导致无理数的产生；第二次危机发生在十七世纪微积分诞生后，无穷小量的刻画问题，最后是柯西解决了这个问题；第三次危机发生在19世纪末，罗素悖论的产生引起数学界的轩然大波，最后是将集合论建立在一组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
罗素悖论提出的背景研究1902 年6 月16 日，罗素的着作《数学原理》( Principles of Mathematics) 发表前夕，他给弗雷格写了一封信，信中写道: “我在读您的着作《算术基础》( Grundgesetze derArithmetik) 时发现一个困境……。
” 他提到的这个困境可以描述为:设谓词w 表示: 不能描述自己的谓词。
那么w 能不能描述自己呢? 无论肯定还是否定的回答都会推出反面，因此我们只能说w 不是一个谓词。
罗素从这个困境想到了另一个看似不同但更一般的问题: 由所有不属于自己的集合组成的类也存在同样的困境。
因此，由这些不属于自身的集合( 每个都是一个总体) 形成的类( 总体)是不存在的。
这样，我们可以得出结论: 按照这种方式定义形成的类不能作为一个总体。
实际上，他们是两个截然不同的问题。
第一个问题涉及到谓词，一个不能描述自己的谓词。
正如弗雷格在关于概念和对象的理论中描述的那样，他在给罗素的回复中也强调，如果严格区分个体能够满足的谓词和谓词能够满足的( 高阶) 谓词的话，那么考虑自己描述自己的谓词是没有意义的。
“不能描述自己的谓词”是不存在的，因此，悖论也就不会发生。
当时，罗素并没有接受概念需要分类型的想法，而仅仅在《数学原理》的附录 B 中提到这种可能性。
对于罗素来说，第一个悖论是最重要的。
他只是在考虑其他理论，比如弗雷格的理论时，才在这些理论中描述第二个悖论的相关形式。
相反地，弗雷格却立刻意识到第二个悖论揭示出了他的系统中存在的问题。
仅仅 6 天之后，6 月22 日，弗雷格马上给罗素写了回信，信中这样写道:看来一个等式的一般形式不一定总能写成赋值过程的等式①，我提出的基本定律V②是错的，§31 中的解释也不足以保证我给出的符号组合在任何情况下都有意义。
罗素的确是在考虑康托定理时想到了这个悖论。
在康托定理中，如果万有集存在，那么对于任意一个集合，都不存在它的幂集( 所有子集的集合) 到该集合的一一映射。
在康托定理的证明中，所有不包含自身的集合构成的悖论集是在万有集的幂集上添加得到的。
然而罗素自己并没有意识到康托集合中的这个问题，当他最早在《数学原理》中提到这个悖论时，类被称为“类概念”，实际上是用来表示类中的元素。
类中的元素可以是一个或多个，而恰恰是在只有一个元素的类中，这个元素可以作为这个类的代表。
这样，“不能描述自身”这个谓词正好可以用在它自身上，这就导致了矛盾的产生。
本文会追溯第二个悖论更早一点的历史，这个悖论是由策梅罗( Zermelo) 预言的。
E.施罗德引发了这个问题的讨论，后来弗雷格，胡塞尔都参与了讨论。
最终，它出现在策梅罗给弗雷格的信中，同时希尔伯特也得出了他自己的形式。
因此，说起这个悖论的历史，远比罗素给弗雷格写信的时间更早。
罗素只是对悖论的第一种形式感兴趣，他写信给弗雷格只是为了说明弗雷格的《算术基础》中也有类似的问题。
讨论谁先提出悖论的第二形式就像介入了数学家们关于“首发现”的争论，但它确实引出了逻辑史上的一系列趣事，有些被大家所熟知，但之前并没有被联系起来。
其中最有名的“首发现”声明是策梅罗于1908 年在他的论文《良序可能性的新证明》( “A new proof ofthe possibility of a well-ordering”) 中提出的。
当策梅罗提到罗素的《数学原理》中的“集合论悖论”时，他加了一个脚注( 编号9) :……然而，我已经独立于罗素发现了这个悖论，并于1903 年之前就与希尔伯特教授等人讨论过。
③1903 年希尔伯特在给弗雷格的信中，除了感谢弗雷格提供《算术基础》第二卷中关于罗素悖论的讨论的副本外，希尔伯特还提到他在几年前就听策梅罗提起过这个悖论。
这一点恰好印证了策梅罗的声明。
实际上，希尔伯特自己也提出过类似的悖论，是关于数的集合到其自身的所有“自映射”序列所构成的集合。
希尔伯特用对角线法证明了不存在这样的“自映射”④在策梅罗的传记中，艾宾浩斯沿袭了“哥廷根”的惯例，把这个悖论的发现归功于策梅罗一个人。
( 实际上，艾宾浩斯在传记中更倾向于使用 A. 弗莱恩克( Abraham Fraenkel) 给出的术语“策梅罗———罗素悖论”⑤。
)“希尔伯特悖论”和“策梅罗悖论”很相似，同样证明了某种集合不存在。
但在“希尔伯特悖论”构造的集合中，可以给出标准集合论的运算。
我们可以根据希尔伯特1905 年7 月10日的讲稿重新构建这个悖论⑥。
希尔伯特通过构造数集M 上的自映射构成的集合到数集M 的映射，然后使用集合论的两个原理推出了矛盾。
第一个集合论的原理允许我们“把几个甚至无数个集合并成一个集合”，另一个原理认为“任何情况下，良定义的集合都可以通过自映射运算从良定义集合中生成”。
因此，有了集合M，我们就可以描述出所有从M 到M 的映射集合MM。
希尔伯特考虑任意多次使用并集运算和自映射生成的集合U，然后他再次对U 使用自映射原理得到 F =UU。
这样，F 应该是U 的子集，但运用与证明康托定理类似的对角线法，我们可以得到 F 中一个不属于U 的元素。
但是，希尔伯特的描述并不精确，尤其是他提到“任意多次”使用两种运算来生成U。
有人猜测 F 是下面无限多个集合的并集构成的:MM，( MM)M，MM∪( MM)M，( ( MM)M)M) ，MM∪( MM)M∪( ( MM)M)M) ，…如果我们任意多次重复这个过程，那么UU中的任意元素都已经被包含在这个过程中，因此这个过程生成的元素不会多于U 中的元素。
这样我们立刻知道所谓“任意多次的”运算应该超出所有的序数，对M 迭代ω 多次后作并集，在每个序数上都重复这个过程做并或做幂，如此反复。
这样看来，“希尔伯特悖论”证明了所有序数的集合是不存在的。
据说，希尔伯特怀疑其他描述这个悖论的形式中所用的“哲学”概念，例如“所有集合的集合”，或“所有序数的集合”，因此他愿意使用更一般的数学概念，如映射，“任意多次”运算。
按希尔伯特的方式，悖论可以从两个非常简单的运算( 函数空间和对已构造出来的事物集合求并集) 得出，所以它不仅仅是集合或类这种概念内部所产生的矛盾。
正如策梅罗所说，它是一个理论内部的矛盾，一个真正的悖论( antinomy) 。
希尔伯特认为悖论是可以通过构建( 可证明的) 一致的公理集合论来避免的。
1902 年4 月16 日，策梅罗给他以前的老师———E. 胡塞尔( Edmund Husserl) 写了封信。
信中策梅罗报告了他几年前的一个结果⑦，胡塞尔在信上的批注可以在胡塞尔的档案中找到⑧。
这封信源于胡塞尔1891 年为施罗德的《逻辑代数》( Algebra der Logik) 写的书评⑨。
施罗德在书中证明了如果包含“所有可以想到的东西”的万有类存在，那么一定会导致矛盾。
( 这样看来，施罗德和康托都是最早发现这个不能扩充的概念的人。
)为了在德国的逻辑学家中推广C. 皮尔士( Charles S. Peirce) 的工作以及“他的学院”瑏瑠施罗德进行了一系列的讲演。
在第四次关于类的理论的演讲中，施罗德通过定义“包含”( Subsumption) 这个概念提出了类之间的代数运算。
称一个集合a 包含于集合b，用符号表示为，读作“a 是b”或“所有的 a 是b”，显然这就是我们现在所谓的“a 是b 的子集”，表示为 a b。
施罗德关于集合运算的内容与布尔提出的“论域”的概念是相悖的，布尔用 1 表示类代数中的论域( 全集) 。
下面是弗雷格引用施罗德的论述:就像前面提到的，0 被包含在每个类中，可以从拓扑空间 1 中去掉; ……0 可以满足每个谓词。
假设用 a 表示一个类，类中元素是等价于 1 的拓扑空间类( 只要我们把所有能想到的都放入拓扑空间中 1 中，这显然是允许的) ，那么，a 中显然只包含一个拓扑空间类，即符号 1 自身，或者说是整个拓扑空间。
除此之外，这个类还包含“什么也没有”，即0。
因此，0 和 1 是等价于 1 的类，进而我们不仅有 1 =1，还有0 =1。
因为在这个例子中，作用于类的谓词是“恒等于1”。
根据第二条原理，对于作用于类的谓词，这个谓词必须也能作用于类中的每个个体。
对于施罗德来说，所有的谓词都是关于“包含”的论断，谓词“等于1”，就是其中的一个，我们现在一般写作“x=1”。
如果我们用0 表示空集，空集包含于任意集合 a 就可以表示为0a，当然也就包含于等于0 的集合，因此我们就能得到0 = 1，得出矛盾瑏瑶! 施罗德此处给出的是不存在绝对的万有类 1 的证明。
存在不包含于 1 的集合，尤其是空类0。
胡塞尔在书评中认为施罗德混淆了子集( 概念“subordinate class”) 和元素的概念。
虽然空类是任何集合的子集，但它不是任何集合的元素。
尤其从“0 是等于 1 的元素组成的集合的子集”并不能推出“0 等于1”。
而前面的矛盾正是源于 1 是所有集合构成的集合这个假设的。
策梅罗后来在给胡塞尔的信中指出: “关于这一点，如果不考虑证明的方法，施罗德是对的……”从原始的德文加比斯伯格速记法中得到的相关论述如下:由自身的子集m，m‘，……为元素形成的集合M 是不一致的，即，这样的集合( 如果我们非要把它看作集合的话) 会导致矛盾。
证明: 我们考虑那些不以自己为元素的子集m。
M 中的元素是M 自己的子集，那么M 的子集也会包含子集作为元素，他们自己( 不)是元素。
现在我们考虑的恰是那些不含有自己的子集m，但可能包含其他的子集。
) 上述所有m 构成了集合M0( 即M 的所有不含自身作为元素的子集形成的集合) ，我们证明M0具有下面的性质，( 1) M0不是M0自身的元素。
( 2) M0是M0自身的元素。
考虑( 1) : M0作为M 的子集是M 的元素，但不是M0的元素。
否则，M0就包含一个元素( 即M0本身，也是M 的子集) ，这个元素以自身为元素。
这与M0的定义矛盾。
考虑( 2) : 因为由( 1) 可知，M0是M 的子集，且不包含自身作为元素。
那么根据M0的定义，M0是M0中的元素。
这个证明表明任何集合都不可能包含自己的所有子集使之作为元素。
一个包含所有东西的万有集当然包含自己的子集，因为它们也是集合。
集合M0中的元素是所有不以自身为元素的万有集的子集，我们简单地用M0表示由所有不包含自身的集合组成的集合。
这样，M0就是罗素集，M0会导致矛盾的证明与罗素给出的是相同的: 如果说M0是自身的元素则可以推出反面，反之，如果说M0不属于自己却又推出应该属于。
我们的矛盾和罗素信中提到的是一样的，二者都可以通过直接对所有集合构成的集合( 在策梅罗的悖论中，集合至少包含它自己的所有子集) 使用康托定理得到。