芝诺悖论的极限分析
芝诺悖论的数学解释
芝诺悖论的数学解释
芝诺悖论是古希腊思想家芝诺所提出的一个著名的悖论。
这个悖论通过一个有
趣的思想实验，挑战了数学中的一些基本概念，如无限、无限分割以及运动的性质。
该悖论的思想实验是这样的：假设我们要在一个径长为1米的赛道上走到终点，按照常识我们认为只需要分别走过1/2米、1/4米、1/8米……这样依次走下去就能
抵达终点。
但是，芝诺通过一个巧妙的推理来证明，按照这种方式，我们将永远走不到终点。
首先，假设我们已经达到了终点，也就是说，我们已经走过了完整的1米。
然后，我们回想一下之前的分割方式，我们每一次都是走过当前剩余距离的一半。
所以，在到达终点之前，我们还要走过剩下的1/2米、1/4米、1/8米......以此类推。
这个过程应该是无限的，因为我们可以不断把剩余的距离继续一分为二。
但是，无限是一个没有终点的概念，我们永远也无法真正走完所有的无限个分割。
这个悖论揭示了数学中无限性的一些非直觉的性质。
它告诉我们，我们虽然可
以一直不断地将距离分成更小的部分，但是有时候，在无限性面前，我们无法到达预定的目标。
换句话说，即使我们可能无限地将一条线段分割得越来越小，但它不能无限地延伸下去。
在这个例子中，我们永远无法走完所有的分割，即使我们看起来在不断前进。
芝诺悖论在古希腊时期引起了强烈的讨论和思考，对于当时的数学和哲学有着
深远的影响。
通过这种思考悖论，我们可以更好地理解无限性和运动的性质，并且对我们对数学和现实世界的理解带来了新的启示。
关于“芝诺悖论”的一些思考
关于“芝诺悖论”的一些思考王玉峰北京大学哲学系现在流传下来而广为人所知的所谓“芝诺悖论”共有九个：四个是关于运动的，三个是指向“多”的，一个是反对空间观念的，另一个则试图表明感觉是不可靠的。
[1]这些芝诺“悖论”长久以来就引起了人们的广泛兴趣，其中尤以关于所谓运动的那四个悖论最为著名。
而芝诺反对运动的那些论证其原著已经佚失，现有资料来自亚里士多德在《物理学》中的论述，主要是该书第六卷第九章。
[2]根据亚里士多德的记载，这四个所谓关于运动的悖论分别是：两分法，阿喀琉斯，飞矢不动和运动场。
[3]亚里士多德在其《物理学》中分别反驳了芝诺，指出了芝诺的这些“悖论”都是“错误”的。
后来的大多数学者们基本上是继承了亚里士多德的看法，而近代以来也有一些数学家和逻辑学家们借助于当时的数学和逻辑学成就，主要是微积分理论，来试图“解决”这些“悖论”。
表面上看来，这些学者们似乎是“解决”了这些“悖论”，可是带有悖谬性的是，正是通过这些“悖论”的“解决”，芝诺由一个哲学家变成了一个没有常识的人。
而在本文中，笔者则通过对芝诺关于所谓运动的这四个“悖论”的重新诠释，来试图恢复芝诺作为一个严肃的哲学家的本来面目。
根据这四个悖论的内容，我把它们分成两组来分别加以论述，那就是两分法和阿喀琉斯一组，飞矢不动和运动场一组。
我将表明芝诺的这两组悖论分别是针对当时在数学和物理学中流行的错误“前提”的，所以他的这些“悖论”没有什么所谓的“逻辑”错误。
（一）两分法与阿喀琉斯根据亚里士多德的记载，所谓的“两分法”是指，一个位移的事物在达到目的地之前必须先抵达一半处，可是这种一再二分的一半是为数无限的，因此不可能走完为数无限的路程，因此运动不存在。
[4]有人认为这和中国古代哲学中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的道理是一样的。
[5]而“阿喀琉斯”的悖论意思是说：“一个跑得最快的人永远追不上一个跑得最慢的人。
因为追赶的人必须首先跑到被追的人的出发点，因此走的慢的人必然永远领先。
从芝诺悖论到无穷小分析
从芝诺悖论到无穷小分析前言：这是本人第一次写科普，解释可能并不很形象。
建议知识水平在初中以上的读者阅读（高中水平以下的建议先阅读后面的注释[0]）。
本人水平有限，如有错误，欢迎各位指正。
一、“可望不可即”——芝诺之惑一只运动速度为10米每秒的兔子与一只运动速度1米每秒的乌龟同向而行。
开始时，乌龟在兔子前方9米处。
问：何时兔子追上乌龟？[1]这道题即使是小学四五年级的学生应该也能立即答出“一秒”的答案来的。
然而，我们“聪明的”古希腊哲学家芝诺却为这个问题头疼不已。
他在脑中模拟，想：兔子在追上乌龟之前，先要抵达两者原距离的一半处，而此时乌龟已经向前走了一段距离，接下来，兔子又要先到两者第二次距离的一半处，这时乌龟又向前走了一段，如此往复，兔子永远也无法追上乌龟。
[2]芝诺的做法似乎无可非议，可问题在哪呢？有人认为，时空并非无限可分，存在某种最小单元[3]，因此，他的“如此往复”，必将终止于某一阶段。
那么，假如我们暂时抛却这个瑕疵，假设时空是无限可分的，芝诺的推理就对了吗？聪明的读者也许很快就会注意到：无穷的过程是否需要无限的时间？这便是这个问题的关键。
[4][5]为了避免文章中出现许多公式与符号，我们将这个问题简化成另一个等价的问题上：“永远无法抵达的终点”：当乌龟正为自己的秘术沾沾自喜时，却发现自己永远也抵达不了一米前的终点。
他首先要抵达终点的一半处，然后要抵达剩余路程的一半处，如此往复，自己永远也到达不了终点的地方。
再强化一点，将终点无限移近，那他甚至无法起动。
[6]果真如此吗？答案当然是否定的。
对于每一段，乌龟所花的时间分别是1111 ,,,, 24816乌龟所花的总时间111124816t=++++有一点级数知识的读者当然知道求解，但我这里要提供一个小学生也能看懂的办法[7]：111111111()248162224811111()224821111248++++=+⨯+++⇒⨯+++=⇒+++= 当然，更聪明的读者也许会说：在空间上，1111,,,,24816这些距离都是从1m 中分割出来的，而且除此之外也没有剩下的[8]，那它们的总和自然也是1。
古希腊哲学家芝诺德四大数学悖论
古希腊哲学家芝诺德四大数学悖论古希腊哲学家芝诺的四大数学悖论 1，二分法悖论:任何一个物体要想由A点运动到B点，必须首先到达AB中点C，随后需要到达CB中点D，再随后要到达DB 中点E。
依此类推。
这个二分过程可以无限地进行下去，这样的中点有无限多个。
所以，该物体永远也到不了终点B。
不仅如此，我们会得出运动是不可能发生的，或者说这种旅行连开始都有困难。
因为在进行后半段路程之前，必须先完成前半段路程，而在此之前又必须先完成前1/4路程......因此，物体根本不能开始运动，因为它被道路无限分割阻碍着。
2,阿基里斯追龟悖论:如果让乌龟先行一段路程，那么阿基里斯将永远追不上乌龟。
乌龟先行了一段距离，阿基里斯为了赶上乌龟，必须要到达乌龟的出发点A。
但当阿基里斯到达A点时，乌龟已经向前进到了B点。
而当阿基里斯到达B点时，乌龟又已经到了B前面的C点...........依此类推，两者虽越来越接近，但阿基里斯永远落在乌龟的后面而追不上乌龟。
3、飞矢不动悖论:任何一个东西呆在一个地方那不叫运动，可是飞动着的箭在任何一个时刻不也是呆在一个地方吗,既然飞矢在任何一个时刻都能呆在一个地方，那飞矢当然是不动的。
4、运动场悖论: 芝诺提出这一悖论可能是针对时间存在着最小单位一说,现在的普朗克—惠勒时间 Planck-Wheeler time)。
对此，他做出如下论证:设想有三列实体，最初它们首尾对齐。
设想在最小时间单元内，C列不动，A列向左移动一位，B列向右移动一位。
相对B而言，A移动了两位。
就是说，我们应该有一个能让B相对于A移动一位的时间。
自然，这时间是单元时间的一半，但单元时间是假定不可分的，那么这两个时间就是相同的了，即最小时间单元与他的一半相等。
芝诺悖论二分法解释
芝诺悖论二分法解释
芝诺悖论是一个著名的哲学难题，涉及到无限分割的概念，常用的例子是“阿基里斯与乌龟赛跑”。
其中，阿基里斯每次前进一半的路程，而乌龟每次前进一小段距离。
根据常理，阿基里斯应该能追上乌龟，但是实际上无论他怎么努力，都追不上乌龟。
这似乎与我们的感性认识相悖，因此被称为“悖论”。
解决这个悖论的一种方法是运用“二分法”，即将距离无限分割成无数个小段，在每个小段内分别比较阿基里斯和乌龟的位置。
这样，我们就可以发现，在每个小段内，阿基里斯都能比乌龟快一些，因此他最终一定能赶上乌龟。
这种解释方式虽然可以解决芝诺悖论，但也暴露了哲学思辨的深度和难度。
无限分割的概念难以用常规的数学方法进行处理，而需要运用哲学上的抽象思维和逻辑推理。
这也使得芝诺悖论成为了哲学领域里的一个经典问题，对于我们深入理解世界和思考人生意义有着重要的启示作用。
- 1 -。
震惊：无穷带来的各种悖论
震惊：无穷带来的各种悖论“无穷”是一个非常神奇的东西。
一旦考虑到了无穷，就会出现各种不可思议的事情。
本文列举几个最有趣的无穷悖论，大家来体验一次前所未有的“头脑风暴”吧。
芝诺悖论（Zeno'sparadoxes）芝诺悖论是由古希腊哲学家芝诺（Zeno）提出的一组悖论。
其中的几个悖论还可以在亚里士多德（Aristotle）的《物理学》（Physics）一书中找到。
最有名的是以下两个。
阿基里斯与乌龟的悖论（AchillesandthetortoiseParadox）：在跑步比赛中，如果跑得最慢的乌龟一开始领先跑得最快的希腊勇士阿基里斯，那么乌龟永远也不会被阿基里斯追上。
因为要想追到乌龟，阿基里斯必须先到达乌龟现在的位置；而等阿基里斯到了这个位置之后乌龟已经又前进了一段距离。
如此下去，阿基里斯永远追不上乌龟。
二分法悖论（DichotomyParadox）：运动是不可能的。
你要到达终点，必须首先到达全程的1/2处；而要到达1/2处，必须要先到1/4处每当你想到达一个点，总有一个中点需要先到，因此你是永远也到不了终点的。
其实，你根本连动都动不了，运动是不可能的。
罗素（BertrandRussell）曾经说过，这组悖论“为从他那时起到现在所创立的几乎所有关于时间、空间以及无限的理论提供了土壤”。
阿尔弗雷德·诺斯·怀特海德（AlfredNorthWhitehead）这样形容芝诺：“知道芝诺的人没有一个不想去否定他的，所有人都认为这么做是值得的”，可见争议之大。
无数热爱思考的人也被这些悖论吸引，试图给这些出人意料的结论以合理的解释。
当古希腊哲学家第欧根尼（Diogenes）听到芝诺的“运动是不可能的”这个命题时，他开始四处走动，以证明芝诺的荒谬，可他并没有指出命题的证明错在哪里。
亚里士多德对阿基里斯悖论的解释是：当追赶者与被追者之间的距离越来越小时，追赶所需的时间也越来越小。
他说，无限个越来越小的数加起来的和是有限的，所以可以在有限的时间追上。
从极限角度解释芝诺悖论
芝诺悖论是古希腊哲学家芝诺提出的一系列关于运动和数学的悖论。
其中最著名的是“阿基米德螺旋”和“追不上的乌龟”。
这些悖论看似矛盾，但实际上反映了古希腊哲学家对数学和物理学的深刻思考。
从极限角度解释芝诺悖论，我们可以将芝诺悖论转化为数学问题。
例如，芝诺悖论中的“追不上的乌龟”可以转化为无穷级数的形式。
这个级数收敛于0,但芝诺悖论表明它永远不会完全收敛。
这反映了芝诺悖论的本质:看似无限接近，却永远不能到达。
此外，从极限角度解释芝诺悖论还可以让我们更好地理解数学中的极限概念。
极限是数学中非常重要的一个概念，它描述了函数在趋近于某个点时的行为。
在芝诺悖论中，极限的概念被用来描述物体在趋近于无限接近的速度下，最终仍然无法追上物体的情况。
总之，从极限角度解释芝诺悖论可以帮助我们更好地理解这个著名的哲学悖论，同时也有助于我们更好地理解数学中的极限概念。
从极限角度解释芝诺悖论
从极限角度解释芝诺悖论题目：从极限角度解释芝诺悖论【导言】在古希腊数学史上，芝诺的悖论被视为数理逻辑领域中的一颗明珠。
它通过对质疑动态和时间的无限分割，挑战了人们对真实世界的直观理解。
本文将以极限的观点，解读芝诺悖论并探讨其含义。
【正文】1. 芝诺悖论的起源芝诺悖论起源于古希腊数学家芝诺提出的一系列非常反直觉的思维实验。
其中最著名的是“亚基里斯赛跑”和“阿喀琉斯之舟”两个悖论。
在亚基里斯赛跑中，亚基里斯每次都会落后于乌龟一点点，因此他永远都赶不上乌龟；而在阿喀琉斯之舟中，阿喀琉斯每次射箭之前，船总是移动到了箭射到的位置，所以他永远无法将箭射中目标。
2. 极限的观点要理解芝诺悖论，我们需要引入“极限”的概念。
极限是用来描述趋近于某个特定值或状态时的无限过程。
当我们观察运动变化或无限分割时，极限的思想可以帮助我们解释一些看似矛盾的现象。
3. 亚基里斯赛跑的极限分析在亚基里斯赛跑中，亚基里斯每次都会离乌龟更近一点，但永远不会赶上它。
然而，如果我们用极限的观点来看待这个过程，我们会发现每次迭代，亚基里斯离乌龟的距离会趋向于无穷小，但他永远不会达到乌龟的位置。
4. 阿喀琉斯之舟的极限分析在阿喀琉斯之舟中，船总是在阿喀琉斯射箭之前移动到箭射到的位置。
尽管看起来这种情况下箭无法射中目标，然而通过极限的思考，我们可以认识到，船的移动速度趋近于零、而箭射出的速度是有限的，所以当阿喀琉斯射箭的瞬间到来时，箭射中目标成为可能。
5. 芝诺悖论的启示芝诺悖论通过思考动态过程中的无限分割，揭示了我们的感官和直觉不能完全捕捉到真实世界的特性。
在现代数学中，通过引入极限、序列和无穷的概念，我们能够正式地处理芝诺悖论中的矛盾，并将其应用于数学推理中。
【总结】芝诺悖论作为古希腊数学史上的一颗明珠，挑战了人们对真实世界的直观理解。
通过极限的观点，我们可以解释亚基里斯赛跑和阿喀琉斯之舟这两个悖论，并在这个过程中进一步理解动态过程中的无限分割。
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芝诺悖论的极限分析学生姓名：王慧文指导教师：岳进摘要：古希腊哲学家芝诺提出了著名的“二分法”，其结论的荒谬性不言而喻，可是对他的论证我们似乎很难找出毛病，好像是可以接受的。
其结论之所以不可以接受，源于在他的论证中隐藏着一些谬论。
在极限方面过程中把带有统一度量单位的“无穷”混为一谈。
在哲学方面违反了辩证法的客观性原则、全面性原则和对立统一性原则；但芝诺悖论的提出，对辩证法的方法，以及运动过程中诸要素的多种矛盾，通过逻辑运算对芝诺悖论的荒谬性进行反驳，对数学的发展起了很大的作用。
同时本文利用数学求极限的方法,通过逻辑运算,揭示阿基里斯永远追不上乌龟结论的错误。
关键词：悖论；无穷与有穷；运动与静止；连续与间断引言：数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态,它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾,对于这一矛盾的处理与研究,丰富了数学的内容,促进了数学的发展。
芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。
芝诺“二分法”悖论是说，你不能在有限的时间内穿过无穷的点。
在你穿过一定的距离的全部之前,你必须穿过这个距离的一半。
这样做下去就会陷入无止境,所以在任何一定的空间中都有无穷个点,你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。
运动只是假象，不动不变才是真实。
假如承认有运动，就得承认速度最快的赶不上速度最慢的”，即快的“只能无限地接近但永远不能赶上”慢的。
因为，快的要追上慢的，总要到达慢的所处，的所经过的每个出发点，而当它到达第一个出发点时，慢的已经往前走了“一段，即阿基里斯追赶乌龟的赛跑。
芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论和发展，不能不说是巨大的贡献。
本论文就是通过极限与哲学的分析，对芝诺悖论进行剖析。
1、悖论对数学产生的作用1.1从悖论说起什么是悖论？它既属于逻辑矛盾、语义矛盾,也属于思想方法上的矛盾。
简单地说，悖论一般表现为这样的命题：如果你认为它真，则可以推出它为假；如果你认为它假，则可以推出它为真[1]。
悖论往往以逻辑推理为手段，深入到原理论的基础之中深刻地揭露出该理论体系中的无法回避的矛盾，所以它的出现必然导致现存理论体系的危机。
1.2数学悖论及其引发的是三次数学危机数学悖论作为悖论的一种，主要产生在数学研究中。
数学悖论，是指在数学领域中既有数学规范中无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾能够在新的数学规范中得到解决。
数学史上的危机，指数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾。
这些矛盾促使数学的大发展，数学史上的三次危机都是由数学悖论引起的。
1.2.1第一次数学危机的产生及其影响希帕索斯悖论导致数学史上的第一次危机。
公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯发现等腰直角三角形一斜边与直角边的比不能归结为整数或整数之比[2]，这一发现严重地触犯了毕达哥拉斯学派的信条，在当时它直接导致了认识上的危机，希帕索斯的这个发现史称希帕索斯悖论，从而引发了数学史上的第一次危机。
在那以前，人们仅认识到自然数和有理数，有理数理论成为在当时占统治地位的数学规范，希帕索斯发现的无理数，披露了原有数认识，学规范的局限性，由此看来，希帕索斯悖论是由于主观认识上的错误造成的。
希帕索斯的发现，促使人们对无理数的认识，也告诉人们直觉和经验不一定是对的，而推理和证明才是可靠的。
但是，由于生产和科学技术的发展水平，毕达哥拉斯学派及此后的古希腊的数学家们没有也不可能建立严格的无理数理论，从而开始了几何优先发展的时期，在此后多年，希腊的几何学几乎成了全部数学的基础。
1.2.2第二次数学危机的产生及其影响第二次数学危机主要涉及微积分理论，而其理论基础是建立在无穷小分析之上的在实际应用中，无穷小分析必须既是零，又不是零，以求速度为例，瞬时速度是△s/△t，当△t变成零时的值。
△t既等于零又不等于零,当时的英国大主教对当时的微积分学说进行了猛烈的抨击，他说牛顿先认为无穷小量不是零，然后又让它等于零，这违背了背反律，并且所得到的结果实际上是依靠双重错误得到不科学却正确的结果这是因为错误互相抵偿的缘故在数学史上，称之为贝克莱悖论[3]。
这一悖论的发现，导致了数学史上的第二次危机，引起人们对微积分基础理论的争论。
贝克莱悖论提出以后许多著名数学家试图把微积分重新建立在可靠的基础之上，法国数学家柯西建立起以极限为基础的现代微积分体系，但柯西的体系仍有尚待改进处，比如他关于极限的语言尚显模糊，依靠了运动、几何直观的东西，缺乏实数理论，法国数学家魏尔斯特拉斯是数学分析基础的主要奠基者之一，首次用-εδ方法叙述了微积分中一系列重要概念如极限、连续导数、和积分等，建立了该学科的严格体系。
1.2.3三次数学危机的产生及其响严格的实数理论和极限理论的建立，上述两次数学危机得到了解决，但是，由于严格的实数理论和极限理论都是以集合论为基础的，因而由集合论悖论所导致的第三次危机可以看作是前两次危机的继续与深化，它所涉及的问题比前两次更为广泛，因而危机感也更为深刻。
1902年，英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素（1872－1970）宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性史称罗素悖论，罗素悖论的发现，从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性，于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波，形成了数学史上的第三次危机[4]。
为了解决第三次数学危机，数学家们作了不同的努力，由于他们解决问题的出发点不同，所遵循的途径不同，所以在本世纪初就形成了不同的数学哲学流派，这就是以罗素为首的逻辑主义学派，以布劳威尔为首的直觉主义学派和以希尔伯特为首的形式主义学派，这三大学派的形成与发展，把数学基础理论研究推向了一个新的阶段，三大学派的数学成果首先表现在数理逻辑学科的形成和它的现代分支证明论等的形成上。
由上述数学悖论所引起的数学史上的三次危机，都是数学深入发展的结果，许多数学家为消除危机作了不懈的努力，这些努力促进了数学的发展，促进了数学基础的研究，对数学悖论的认识实际上是对数学这一科学历史局限性的认识，因而解决数学悖论的过程则是发展认识并超载这种历史局限性的过程，正如黑格尔所说：“矛盾正是对知性的局限性的超越和这种局限性的消解”。
在数学和逻辑史上，每一次悖论的发现和相对解决，都推进了数学和逻辑的发展。
2、芝诺悖论的内容及实质2.1二分法芝诺说:“运动没有真理性,运动者在到达目标以前必须走过空间一半。
”一半的空间又有其一半,所以运动者首先又须到达这一半的一半,如此类推,以至无穷。
这就使得运动者甚至连动都不能动。
任何人当然都可以一言不发地站起来走来走去,用行动来宣布运动是真实存在。
悖论是以空间的无限可分为基础的。
用现在的数学概念来解说,则悖论中对空间“一半一半”地分割如此进行下去,会在靠近物体的出发点处得到一个以零为极限的“无穷小量”。
于是悖论中包含的矛盾可以表述为:一方面我们要求分割得到的无穷小量能够达到零,好让运动从它的起点开始,换句话说,只有这个无穷小量最终达到了零,我们才会认为运动在一瞬间开始时不是在做“跳跃”(意味着速度无穷大);另一方面我们又要求这个无穷小量不能达到零,否则,无穷多个零怎么能构成有限的长度?这种自相矛盾的境地,就是我们承认空间无限可分产生的悖论。
2.2阿基里斯两个物体朝着同一方向运动,其中一个运动得较慢,但是走在前面,另一个运动得较快,追赶着前面的物体。
芝诺说:“那走得慢的物体永远不会为那走得较快的追赶上。
”因为当第二个到达第一个的出发点的时候,第一个已经前进了,留下一段新的空间,这又需要第二个花费一定分时间才能走过,依此类推,以至无穷。
这个论证通常被说成是阿基里斯追赶乌龟的赛跑。
这样就会出现与第一个悖论中类似的矛盾:一方面我们要求这个无穷小量达到零,好让阿基里斯追上目标;另一方面我们又要求这个无穷小量不能为零,否则无穷多个零怎么能够组成一段时间呢?因此可以从根本上被归结为同样一个问题:无穷小量到底能不能等于零?这也是数学史上长期争论的的重大基础理论问题。
“因此首先我们且承认点和瞬间,并与这个较简单的或至少熟悉的假设和联系来考察这些问题”[5]。
3、芝诺悖论的辨析3.1芝诺二分法悖论的数学极限辨析运动着的物体要到达终点，首先必须经过路途的一半，为此它又必须先走完这一半的一半，以此类推，以至无穷。
假如承认有运动，这运动着的物体连一个点也不能越过。
这个论证过程可以还原如下：（1）任何运动都是从一个地点到达另外一个地点；因此，如果证明了不可能从任何一个地点到达另外一个地点，那就证明了不可能有运动。
（2）如果一个地点与另外一个地点之间的距离是无穷的，那就不可能从一个地点到达另外一个地点。
（3）以上两点结合证明，如果任何一个地点与另外一个地点之间的距离都是无穷的，那就不可能有运动。
（4）任何两地点间的距离都总是可以无穷地分解下去，也就是可以分为无穷多个无穷小的距离，这个事实说明，任何一个地点与另外一个地点之间的距离都是无穷的。
（5）以上两点结合，得出最终结论，运动总不可能。
的确，表面上每一个步骤都可接受，似乎都是正确的。
假若接受了（4），即所有的距离都是“无穷”的，那么“有穷”的距离就不存在了，即根据我们千百次的反复经验凝结而成的常识，难道任何情况下都不可能走完？而如果走完是可能的，那我们还可能同时接受（2）么？假如接受了（2），即“无穷”的距离都不可能走完，那么像“半寸”、“一尺”、“两米”这类有着确定数量和确定度量单位的距离，我们还能够真心诚意地把它们归入“无穷”距离这个范畴中去么？如果不可能归入，那么我们还可能同时接受（4）么？可见，按照我们的“常识”，（2）与（4）想要同时成立，它们中的“无穷”概念就不可能是同一的，因此，如果我们居然认为它们两者的结合可以推出确定的结论，那么必然违反同一律；而要不违反同一律，我们就必须承认它们两者之一不可接受。
既然一个论证中至少有一个不可或缺的前提，因为与我们的客观经验不符而不被我们认可。
在常识中，我们有“无穷是走不完的”这样的说法，也有“一个距离无论长短，都可以不断分解为无穷多个无穷小的距离”这样的想法。
并且，两者中的“无穷”，单纯地看数量，也都并非一个确定的数值，芝诺正是利用这一点，故意完成他那表面上看起来完美无缺的论证。
其实，深入下去就会发现，常识的两个说法中，“无穷”有着根本的差异。
实际上，关于无穷小量在19世纪由柯西等数学家解决：无穷小量自身不为零，但其极限为零[6]。
我们知道长跑家匀速从一点出发跑到另一点，跑完全程。
首先，他要跑完路程的前一半，再跑剩下一段的前一半，再跑剩下的前一半的一半，以致无穷。
假设所需的时间为：+24816T T T T T ++++这个加法不可完结，无穷个数相加，长跑家永远跑不到终点，但实际经验告诉我们，若等速行进，设跑一半路程的时间为T ，则跑完全程需要2T 时间。