第二节 芝诺悖论与无限
[两集合：有一一对应，元素个数相 等；部分小于全体，元素个数不相等。形 成悖论。]
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2.） 在无限集中，“有限”时成立的 许 多命题不再成立 （1）实数加法的结合律 在“有限”的情况下，加法结合律成 立: (a+b)+c=a+(b+c)
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在“无限”的情况下，加法结合律不
再 成立。如
1 (1) 1 (1) 1 (1) [1 (1)] [1 (1)] [1 (1)] 1 [(1) 1] [(1) 1] [ ] 0 1
3）|N| =可数无穷势a ， |Q|=a
4）|R| =不可数无穷（称连续统势c）,
ca
；无理数比有理数多得多。
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5）无穷集合可能有不同的势，其中 最小的是a ；不存在最大的势。 6）“连续统假设”长期未彻底解决 “连续统假设”：可数无穷是无限集中最 小 的势，连续统势是（否？）次小的势。 ac
的过程，认为无限只存在于人们的思维
中，只是说话的一种方式，不是一个实
体。
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从古希腊到康托以前的大多数哲学家和 数学家都持这种潜无限的观点。他们认为 “正整数集是无限的”来自我们不能穷举所 有正整数。例如，可以想象一个个正整数写 在一张张小纸条上，从1，2，3，…写起， 每写一张，就把该纸条装进一个大袋子里， 那么，这一过程将永无终止。因此，把全体 正整数的袋子看作一个实体是不可能的，它 只能存在于人们的思维里。
lim an 的过程。 k n 如： ； 自然数N，都 ，使 an N n k 时， 。
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3）无穷级数 通过有限的步骤，求出 无限次运算的结果，如 4）递推公式 an an1 d , d * 5）因子链条件（抽象代数中的术语）
1 1 i 1 2
i
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3. 数学中的无限在生活中的反映
1）大烟囱是圆的：每一块砖是直的 （整体看又是圆的） 2）锉刀锉一个光滑零件：每一锉锉下 去是直的（许多刀合在一起的效果是光滑 的）
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3） 不规则图形的面积：正方形的面积，长方形 的面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。规则 图形的面积→不规则图形的面积？ 法Ⅰ.用方格套（想像成透明的）。方格越小，所 得面积越准
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法II. 让每个旅游团占据某固定素数的方幂 由于素数有无穷多个，正整数又 “唯一析因”， 知，能安排住下，且还有空房， 3 4 1 2 p1 p1 p1 p1 … … 一团 1 2 3 4 二团 p2 p2 p2 p2 … … 2 3 1 4 三团 p3 p3 p3 p3 … … ………… ………… …… 附：证明“素数有无穷多个”（反证法）
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三、“有无限个房间”的旅馆
1. 客满后又来1位客人 1 2 3 4 ┅ k ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ ┅ 2 3 4 5 ┅ k+1 ┅ 空出1号房间 ┅
6
2. 客满后又来了一个旅游团，旅游团 中有无穷个客人
↓ ↓ ↓ 2 4
1 2 3 4 ↓ ┅ ↓ ┅ 6 8 ┅ ┅ k 2k ┅
┅
空下了奇数号房间
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3. 客满后又来了一万个旅游团，每个 团中都有无穷个客人
2 3 4 ┅ k ┅ ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ ┅ 10001 20002 30003 40004 ┅ 10001×k ┅ 1
给出了一万个、又一万个的空房间
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4. [思] 客满后又来了无穷个旅游团，
每个团中都有无穷个客人，还能否安排？
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四、无限与有限的区别和联系
3
1. 四个芝诺悖论之一：阿基里斯追不 上乌龟。 2. 症结：无限段长度的和可能是有限 的；无限段时间的和也可能是有限的。 3. 芝诺悖论的意义： 1）促进了严格、求证数学的发展 2）最早的“反证法”及“无限”的 思想 3）尖锐地提出离散与连续的矛盾 空间和时间有没有最小的单位？
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芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间 是连续的”，后两个悖论则是反对“空间和 时间是离散的”。在芝诺看来，两种理论都 有毛病；所以，运动只是假象，不动不变才 是真实。 芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如 此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散 的问题，引起人们长期的讨论和发展，不能 不说是巨大的贡献。
例如：“甲是乙”与“甲不是乙” 这两个命题中总有一个是错的；但“本 句话是七个字”与“本句话不是七个字” 又均是对的，这就是悖论。
1
再如：“万物皆数”学说认为“任 何数都可表为整数的比”；但以1为边 的正方形的对角线之长却不能表为整数 之比，这也是悖论。
2
二、芝诺悖论
芝诺（前490？—前430？）是（南意大 利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。 他企图证明该学派的学说：“多”和“变” 是虚幻的，不可分的“一”及“静止的存在” 才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设 计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖 论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看 其中的一个悖论。
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有限半群若满足消去律则一定是群。 √ 无限半群若满足消去律则一定是群。 ×
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（2）有限级数一定有“和”。 √ n
a 是个确定的数
i 1 i
i
无穷级数一定有“和”。 × (1) 则不是个确定的数。称为该
i 1
级数“发散”。反之称为“收敛”。
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2. 联系
在“有限”与“无限”间建立联系的 手 段，往往很重要. 1）数学归纳法 通过有限的步骤，证 明了命题对无限个自然数均成立。 2）极限 通过有限的方法，描写无限
ad c
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康托1882年曾认为他证明了这一假
设，后来发现有错。直到现在，这一问题
仍吸引着一些数学家的兴趣。
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六．哲学中的无限
1．哲学对“无限”的兴趣
哲学是研究整个世界的科学。自从提
出“无限”的概念，就引起了哲学家广泛 的 关注和研究。现在我们知道哲学中有下边
一些命题：
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物质是无限的；时间与空间是无限
的；物质的运动形式是无限的。
一个人的生命是有限的；一个人对客
观世界的认识是有限的。
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2．数学对“无限”的兴趣
数学则更严密地研究有限与无限的关系，大大提
高了人类认识无限的能力。在有限环境中生存的有限
的人类，获得把握无限的能力和技巧，那是人类的智
慧；在获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，
那是人类的情感；对无限的认识成果，则是人类智慧 与热情的共同结晶。一个人，若把自己的智慧与热情
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但康托不同意这一观点，他很愿意把这 个装有所有正整数的袋子看作一个完整的实 体。这就是实无限的观点。 康托的工作是划时代的，对现代数学产 生了巨大的影响，但当时，康托的老师克罗 内克尔，却激烈反对康托的观点。所以康托 当时的处境和待遇都不太好。
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2．无限集合也有“大小”——从 “一一
对应”说起
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法Ⅱ.首先转化成求曲边梯形的面积， （不规则图形→若干个曲边梯形），再设法求 曲边梯形的面积：划分，矩形面积之和 ~ 曲边 f (i )xi，再取 梯形面积； 越小，就越精确； i 极限 0 ，就是曲边梯形的面积。
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五、 潜无限与实无限
1．潜无限与实无限简史
潜无限是指把无限看成一个永无终止
…
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[思]：构造一个“部分到整体的一一 对应”：从[0，1）→[0，+∞）。
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精品课件！
37
精品课件！
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答
f :[0,1) 0,
x
1 1 1 x
即
1 f ( x) 1 1 x
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实无限的观点让我们知道，同样是无限集
合，也可能有不同的“大小”。正整数集合是 最 “小”的无限集合。实数集合比正整数集 “大”。
实数集合上全体连续函数的集合又比实数集合 更大。不存在最“大”的无限集合（即无限集
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这需要“一一对应”的观点。
1）“一一对应”——双射（单射+满射）
2）集合的势|A|——集合中元素的多少
p1
ps 1
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[思 ]
构造一个无穷多个运动员百
米赛跑，但结果没有第一名的例子。（要
求表达出每一个运动员的百米成绩，且要
求接近实际：不能跑进9秒）
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运动员
1
2
3
4
5
6
… …
百米成绩 10秒 9.9秒 9.89秒 9.889秒 9.8889秒
另
解
1 1 1 1 1 1 9 秒 9 秒 9 秒 9 秒 9 秒 9 秒 4 6 2 3 5 1
1. 区别 1） 在无限集中，“部分可以等于全 体”（这是无限的本质），而在有限的情 况下，部分总是小于全体。
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当初的伽利略悖论，就是没有看到 “无 限”的这一特点而形成的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n … ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ 2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 … n …
融入数学学习和数学研究之中，就会产生一种特别的
感受。如果这样，数学的学习不仅不是难事，而且会
充满乐趣。
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[思] 客满后又来了无穷个旅游团， 每个团中都有无穷个客人，还能否安排？
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答 ：能。 法I. 将所有旅游团的客人统一编号排成下 表，按箭头进入1，2，3，4，5，…各号房间 顺序入住，则所有人都有房间住。 一团：1.1→1.2 1.3 1.4 …… ↙ ↙ ↙ 二团：2.1 2.2 2.3 2.4 …… ↙ ↙ 三团：3.1 3.2 3.3 3.4 …… ……………………………………
芝诺悖论
芝诺悖论芝诺悖论是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。
这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。
芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。
这些悖论中最著名的两个是：“阿喀琉斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。
这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释。
两分法悖论运动是不可能的。
由于运动的物体在到达目的地前必须到达其半路上的点，若假设空间无限可分则有限距离包括无穷多点，于是运动的物体会在有限时间内经过无限多点。
这里的“运动”不是距离的概念，而是速度的概念。
从A点到B点的运动不仅仅涉及到距离，并且涉及到时间。
从A到B的运动如果发生在无限长的时间内，那么悖论就为真，因为此时速度为0。
速度这个概念虽然可以被表示为距离除以时间，但是速度是一个自然界的固有概念，并不依赖于时间和距离。
所以庄子的万世不竭反倒成为一个真实的叙述，而不是悖论。
阿奇里斯悖论“动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。
由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。
因此被追者总是在追赶者前面。
”—亚里士多德, 物理学 VI:9, 239b15如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。
首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的"1>0.999..., 1-0.999...>0"思想。
然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的"1=0.999..., 但1-0.999...>0"思想。
最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的"1-0.999...=0, 或1-0.999...>0"思想。
譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s,乌龟在前面100m。
追乌龟要涉及到极限问题:t=lim(n->∞)(1/2+1/4+....1/ n)=1，而极限是个无限过程，这涉及到潜无限问题，即无限过程无法完成，即1只能无限逼近，不能达到1，乌龟是不能被追上的。
芝诺悖论的数学解释
芝诺悖论的数学解释
芝诺悖论是古希腊思想家芝诺所提出的一个著名的悖论。
这个悖论通过一个有
趣的思想实验，挑战了数学中的一些基本概念，如无限、无限分割以及运动的性质。
该悖论的思想实验是这样的：假设我们要在一个径长为1米的赛道上走到终点，按照常识我们认为只需要分别走过1/2米、1/4米、1/8米……这样依次走下去就能
抵达终点。
但是，芝诺通过一个巧妙的推理来证明，按照这种方式，我们将永远走不到终点。
首先，假设我们已经达到了终点，也就是说，我们已经走过了完整的1米。
然后，我们回想一下之前的分割方式，我们每一次都是走过当前剩余距离的一半。
所以，在到达终点之前，我们还要走过剩下的1/2米、1/4米、1/8米......以此类推。
这个过程应该是无限的，因为我们可以不断把剩余的距离继续一分为二。
但是，无限是一个没有终点的概念，我们永远也无法真正走完所有的无限个分割。
这个悖论揭示了数学中无限性的一些非直觉的性质。
它告诉我们，我们虽然可
以一直不断地将距离分成更小的部分，但是有时候，在无限性面前，我们无法到达预定的目标。
换句话说，即使我们可能无限地将一条线段分割得越来越小，但它不能无限地延伸下去。
在这个例子中，我们永远无法走完所有的分割，即使我们看起来在不断前进。
芝诺悖论在古希腊时期引起了强烈的讨论和思考，对于当时的数学和哲学有着
深远的影响。
通过这种思考悖论，我们可以更好地理解无限性和运动的性质，并且对我们对数学和现实世界的理解带来了新的启示。
芝诺悖论
如果世界真是如此构建的话，那么时空也就变成了“一份一份”的单元，我们就能得到一个最最极限的长度，一个最最极限的面积，一个最最极限的体积（圈量子理论认为，这个长度是普朗克长度10^-33厘米，面积是普朗克长度的平方，体积则是普朗克长度的立方）。而这在原则上就否定了芝诺第一、二悖论关于时空是连续的假设。
时空是否可以无限分割芝诺悖论的关键是使用了两种不同的时间测度。原来，我们用来测量时间的任何一种“钟”都是依靠一种周期性的过程作标准的。如太阳每天的东升西落，月亮的圆缺变化，一年四季的推移，钟摆的运动等等。人们正是利用它们循环或重复的次数作为时间的测量标准的。 芝诺悖论中除了普通的钟以外，还有另一种很特别的“钟”，就是用阿基里斯每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环。
已知最早的批评来自亚里士多德。关于二分法，他说，虽然不可能在有限的时间越过无限的点，但若把时间在结构上看成与空间完全一样，也可以无限分割，那么在无限的时间点中越过无限的空间点是可能的；关于阿喀琉斯，他说，如慢者永远领先当然无法追上，但若允许越过一个距离，那就可以追上了；关于飞矢不动，他说，这个论证的前提是时间的不连续性，若不承认这个前提，其结论也就不再成立了；关于运动场，他说，相对于运动物体与相对于静止物体的速度当然是不一样的，越过同样距离所花的时间当然也不一样。亚氏批评的意义主要在于使芝诺论辨显得更为明了，前面对诸论辨的转述就显然参照了亚里士多德的这些批评。
然而我想，近年来科学家们正在研究的时空可能的量子结构也许会为芝诺悖论带来一个新的思考方向。
具体来说，在人们的传统观念中，时间和空间（也可以结合起来说成是时空）都是连续的。正如100多年前，绝大多数人和科学家认为物质是连续的。尽管自古以来一些哲学家和科学家曾经推测如果把物质分解到足够小的块，就会发现它们是由微小的原子组成，然而当时几乎没有人认为能够证实原子的存在。今天我们已经得到了单个原子的图像，也研究了组成原子的粒子。物质的粒子性已经是过时的新闻了。 在最近几十年中，物理学家和数学家想知道空间是否也由离散块组成的。它是连续的，就像我们在学校里学到的那样，还是更像一块布，由根根纤维编织而成？如果能探测到足够小的尺度，我们是否能看到空间的“原子”，它们的体积不能被分割成更小的形态？对时间来说，情况又怎样呢？自然界是连续变化的，还是世界以一系列微小的步伐来进化。
芝诺悖论
芝诺悖论一尺之棰，日取其半，万世不竭就拿“阿喀琉斯与乌龟赛跑”的例子来说好了，等乌龟先跑出一段后阿喀琉斯再起跑追赶，结果则是飞毛腿阿喀琉斯怎么也追不上乌龟：当人追上乌龟的上一段的出发点时，乌龟已经往前走了一段路。
并且最关键的是，这个过程可以无限地重复下去。
可是大家想一想，这里的这个“无限”是什么意思呢？假设人一开始在乌龟后方10m，人的速度为11m/s，乌龟的速度为1m/s，小学生都会算这个追及问题——人追上乌龟要1秒的时间。
可是芝诺悖论是怎么算的呢：人先走到乌龟的第一段出发点要10/11秒，再走到乌龟的第二段出发点要10/121秒，再走到乌龟的第三段出发点要………（其实把这些所有所需的无限段时间加起来，你会发现其实就等于1秒）所以，悖论本身对于“无限”隐含的定义其实是“这个步骤无限重复下去，时间无限接近于1秒”！无限接近于一秒（其实还不到1秒），人当然还是追不上乌龟的。
但我们直觉上却认为，一个步骤重复无限次，就必然需要无穷无尽的时间。
因此我们直觉上以为这里“无限”的定义是无穷无尽的时间。
所以芝诺悖论其实告诉我们的是：不管时间再如何无限逼近1秒，只要没到1秒，人就追不上乌龟。
而芝诺自己和我们却错误地理解成了：即使有几百几千年无限的时间，人也追不上乌龟。
说到底，定义标准不统一罢了。
芝诺悖论讲了一个很有趣的事情，说是阿基里斯追不上乌龟。
（阿基里斯就是特洛伊战争中被射穿脚踵的那个，肯定比乌龟跑的快）理由是当阿基里斯跑到乌龟位置时，乌龟就向前走一段距离。
所以永远都追不上。
在这个明显的错误面前，我居然找不到错误所在。
不过在思考了n分钟后，我终于想到了问题之所在。
其实就是一个简单的数学问题。
假设阿基里斯与乌龟之间距离为s，阿基里斯与乌龟的速度分别为a和b，则在阿基里斯到达第一次乌龟的位置时，所需时间为s/a，此时两者之间距离为sb/a。
同理，当阿基里斯到达第二次乌龟的位置时，所需时间为sb/a^2，此时两者之间距离为sb^2/a^2。
芝诺悖论数学报告
•
• •
由 芝 争在芝
芝 诺 议那诺
诺悖
么悖
芝
悖论 论究
长论 的究
诺
引竟 发应
时竟 间有
悖
的该 讨怎
洪着 流怎
论
论样 解
中样 备的
解
释
受魅 为著名的三个 悖论内容是： （1）二分法，（2）阿基 琉斯跑不过乌龟，（3）飞 矢不动
悖论的错误之处
• 从二分法说起，一个人要到一个目的地，首先要通过路程的一半，
数学报告
芝诺悖论
大学需要学习的东西
• 大学需要学习至少两类知识 • 一类是实实在在的东西 • 第二类是奇奇怪怪的东西。
两类知识的重要性分析
实实在在的东西
• 即知识，知识可以帮助我们解
决问题，提高我们的办事能力， 修炼我们为人处世的气质
奇奇怪怪的东西
• 助我们思考，探索，研究。培
养良好的自学能力，以及思考 能力，可以提高我们发现问题 的能力
隔
• 普朗克长度正是光在普朗克时间里所传播的长度
普朗克时间与长度与元电荷量的类比
• 既然时间，长度不是无限可分
的，那么总有那么一次乌龟的
时间乘以他的速度不够飞毛腿
的行程；既然时间不是连续可
分，那么箭也不可能静止，因 为根本就没有为零的时间间隔
• 这就像高中学的元电荷带有的
电荷量是最小电荷量，不可以 继续分割。
然后要通过一半的一半，再通过剩下路程的一半，因为每一段路程 都有剩下的一半所以旅行者永远也到不了终点。
• 解释：每一段确实都有二分之一，就算每一次走过一半，那么芝诺
并没有考虑到旅行者还有自己的脚，他的脚也是有长度的，总有一 次他的脚的长度会比最后的二分之一长。那么此时就是他即将通过 终点之际
芝诺悖论
芝诺悖论解答芝诺悖论(Zeno's paradoxes)是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。
这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。
芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。
这些悖论中最著名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。
这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释，但还是无法用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存在广延（如，有广延的线段经过无限分割，还是由有广延的线段组成，而不是由无广延的点组成。
），而芝诺悖论中既承认广延，又强调无广延的点。
这些悖论之所以难以解决，是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表的的机械论的分歧点。
这些悖论其实都可以简化为：1/0=无穷。
留传下来的芝诺悖论共有8个，最为著名的主要有4个，分别为二分法悖论、阿基里斯(Achilles)悖论、飞矢不动悖论和游行队伍悖论。
二分法悖论的内容是：事物想要运动完全程，就必须运动完全程的一半，而全程的一半还有一半，一半的一半还是有一半，这样一来一半的概念是可以无限地划分的，因而，事物在运动的过程中是永远无法经过“一半”的。
因此，运动是永远无法终结和进行的，因而运动不存在。
这里的问题所在是把时间看作了一个有限的概念而把空间看做了一个无限的范畴。
因而认为无法在有限中完成无限。
然而事实上，根据马克思理论，事物的有限无限的概念完全是相对的，不能片面地承认一方面的存在而否定另外一方。
比如说，一条线段（距离）包括无限的点，人永远无法走完这无数的点，正如他永远无法数清这些点一样。
为什么人们不认为数不清这无数的点是个悖论，却认为走完这无数的点就成了悖论了呢？原因就在于数数和运动是不同性质的东西，数数是空间中的行为，运动是本身的时间中的行为，不能混淆时间和空间。
第二个悖论是最为复杂的阿基里斯(Achilles)悖论。
芝诺认为追赶者，即阿基里斯需要一定的时间才能达到被追赶者（乌龟）于该时间开始的出发之处。
芝诺悖论无穷级数求解
芝诺悖论无穷级数求解芝诺悖论是一种古老而有趣的数学悖论，涉及到无穷级数的求解。
该悖论最早由古希腊数学家芝诺提出，他认为对一个无限的任务集合进行求和，将无法完成。
芝诺悖论的核心在于无穷级数的求和问题。
无穷级数是一系列数的和，其中每一项与前一项之间有规律的关系。
例如，常见的无穷级数可以表示为1+1/2+1/4+1/8+...，其中每一项都是前一项的一半。
芝诺悖论的思考方式是，假设我们从第一项开始，每一步都能加上前一项，那么我们应该可以得到一个有限的总和。
然而，如果我们将这个无穷级数的总和表示为S，我们可以通过以下方式推算：S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...将S乘以1/2得到：1/2 * S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...将这个等式的两侧相减：(1 - 1/2) * S = 1化简得到：1/2 * S = 1解得：S = 2根据上述计算，我们得到了一个令人惊讶的结果，即无穷级数1+1/2+1/4+1/8+...的总和等于2。
然而，这与我们的直觉不符。
我们知道这个无穷级数是无限接近于2，但却不等于2。
这就是芝诺悖论的核心所在。
无穷级数的求和并不是一种直观的操作。
尽管我们可以进行一系列推导，看似得到了有理的结果，但这个结果与我们的直觉和实际情况不符。
实际上，芝诺悖论表明了无穷级数求和的难题。
数学家们在近几个世纪里一直在探索如何更准确地定义和求解无穷级数。
他们提出了一系列概念和方法，如级数的收敛性、绝对收敛等，以便更好地处理无穷级数。
总的来说，芝诺悖论向我们展示了数学中的困难和悖论。
它提醒我们，在处理无穷级数时需要谨慎，并不是所有的推导都可以直接应用于无穷情况。
数学家们仍然在努力解决这个问题，以更好地理解和解释无穷级数的求解。
芝诺悖论的极限分析
芝诺悖论的极限分析学生姓名：王慧文指导教师：岳进摘要：古希腊哲学家芝诺提出了著名的“二分法”，其结论的荒谬性不言而喻，可是对他的论证我们似乎很难找出毛病，好像是可以接受的。
其结论之所以不可以接受，源于在他的论证中隐藏着一些谬论。
在极限方面过程中把带有统一度量单位的“无穷”混为一谈。
在哲学方面违反了辩证法的客观性原则、全面性原则和对立统一性原则；但芝诺悖论的提出，对辩证法的方法，以及运动过程中诸要素的多种矛盾，通过逻辑运算对芝诺悖论的荒谬性进行反驳，对数学的发展起了很大的作用。
同时本文利用数学求极限的方法,通过逻辑运算,揭示阿基里斯永远追不上乌龟结论的错误。
关键词：悖论；无穷与有穷；运动与静止；连续与间断引言：数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态,它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾,对于这一矛盾的处理与研究,丰富了数学的内容,促进了数学的发展。
芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。
芝诺“二分法”悖论是说，你不能在有限的时间内穿过无穷的点。
在你穿过一定的距离的全部之前,你必须穿过这个距离的一半。
这样做下去就会陷入无止境,所以在任何一定的空间中都有无穷个点,你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。
运动只是假象，不动不变才是真实。
假如承认有运动，就得承认速度最快的赶不上速度最慢的”，即快的“只能无限地接近但永远不能赶上”慢的。
因为，快的要追上慢的，总要到达慢的所处，的所经过的每个出发点，而当它到达第一个出发点时，慢的已经往前走了“一段，即阿基里斯追赶乌龟的赛跑。
芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论和发展，不能不说是巨大的贡献。
本论文就是通过极限与哲学的分析，对芝诺悖论进行剖析。
1、悖论对数学产生的作用1.1从悖论说起什么是悖论？它既属于逻辑矛盾、语义矛盾,也属于思想方法上的矛盾。
简单地说，悖论一般表现为这样的命题：如果你认为它真，则可以推出它为假；如果你认为它假，则可以推出它为真[1]。
论芝诺悖论
芝诺悖论摘要巴门尼德的学生芝诺在哲学上被亚里士多德誉为辩证法的创始人，他曾提出四个悖论：二分法、阿基里和乌龟赛跑、飞矢不动、一倍的时间等于一半的时间。
《西方哲学通史》中作者对芝诺的四个悖论是这样描述的：“第一个悖论指出运动的路程是无限可分的，第二个悖论则侧重说明运动的时间是无限可分的，第三个悖论说明运动路程和时间的无限可分性造成的速度是静止的，第四个悖论纯属数学游戏。
”但是通过不同时代人们的论证，证明芝诺的四个悖论是荒谬的，虽然人们论证了芝诺悖论的不合理性，但是这并不能抹杀芝诺的四个悖论在哲学上、数学上、思维方法上的伟大意义。
关键字：芝诺悖论；时间；运动；有限性；无限性AbstractsParmenides’ student, Zeno was called the founder of dialectics in philosophy by Aristotle, he put forward four tense paradoxes: dichotomy, Aki racing with tortoise, the moving arrow is unmoved, and a time is equal to half of the time. It is described that:”the first paradox is the distance of movement is divided limitlessly; the second is puts particular emphasis on the time of movement is divided infinitely; the fourth is just a numbers game” in The History of Western Philosophy by Zhao Dunhua. However, it is proved ridiculous by scholars of separated epochs, although Zeno’s Paradoxes are unreasonable, there is great significance to Zeno’s Paradoxes on philosophy, math, and the way of thinking.Key words: Zeno’s Paradoxes; time; movement; limitations; unlimitedness1.概述1.1芝诺简介芝诺（Zenon）生活在古代希腊的埃利亚城邦，他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德(Parmenides)的学生和朋友，关于他的生平，缺少可靠的文字记载。
浅析芝诺悖论中的无限思想
浅析芝诺悖论中的无限思想作者：杨旭曾丽来源：《现代职业教育·中职中专》2019年第08期［摘 ; ; ; ; ; 要］ ;悖论的产生可能引起数学危机，但是通过解决数学危机得以促进数学的发展。
结合芝诺悖论中的“二分法”与庄子的无限分割思想阐述有限与无限之间的辩证关系。
［关 ; ;键 ; 词］ ;芝诺悖论；二分法；一尺之锤；无限［中图分类号］ ;O173 ［文献标志码］ ;A ; ［文章编号］ ;2096-0603（2019）23-0172-02悖论通常是指它的结论实际上违背客观实际，但其推理过程却看似合情合理。
数学中某个悖论的提出在很长时期困扰着一些数学家及数学爱好者，但在其不断推理的过程中却推动了数学的发展。
如芝诺提出的“二分法”“追龟论”“飞矢不动”“二倍等于一半”四大悖论，其结果荒谬，但推理过程却又似乎合乎逻辑，引起广泛的争论。
根据亚里士多德的记载，芝诺四个悖论的主要内容有以下几点：1.“二分法”悖论是指运动不存在。
芝诺认为一位运动者要想从起点到达终点，在这一运动过程中，他必须要先走到原来路程的一半，才有可能抵达终点，而原来路程的一半还会有它的一半，这样每个一半都有它的一半，如此类推下去，以至无穷，那么运动者连动也不能动。
2.“追龟论”是指阿基里斯（古希腊神话中跑步非常快的人）永远都追不上他前方爬的较慢的乌龟。
芝诺提出，阿基里斯要想追上他前面慢跑的乌龟，必须要先追到乌龟爬行的起始位置，每一次当他追到乌龟的起始位置，乌龟又爬到了下一个起始位置，周而复始，纵使阿基里斯速度很快，他却永远追不上乌龟。
3.“飞矢不动悖论”是指射出去的箭矢是不动的。
芝诺介绍道，射出去的箭矢在某一瞬间，它占据着一个固定的位置，并且每一个瞬间它都占据着一个固定的位置。
运动是位置的变化，而箭矢在飞出之后由于任何时刻都待在一个固定的位置，因而飞矢不运动即飞矢在每个时刻都是静止的。
4.“二倍等于一半”：假定时空由最小不可分单位“瞬时”与“此地”组成有两个物体，一物体在瞬时向左移一个单位，另一物体在这瞬时向右移动一个单位，这样，在这瞬间两物体相距了两个单位。