第二节 芝诺悖论与无限

[两集合：有一一对应，元素个数相 等；部分小于全体，元素个数不相等。形 成悖论。]
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2.） 在无限集中，“有限”时成立的 许 多命题不再成立 （1）实数加法的结合律 在“有限”的情况下，加法结合律成 立: (a+b)+c=a+(b+c)
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在“无限”的情况下，加法结合律不
再 成立。如
1 (1) 1 (1) 1 (1) [1 (1)] [1 (1)] [1 (1)] 1 [(1) 1] [(1) 1] [ ] 0 1
3）|N| =可数无穷势a ， |Q|=a
4）|R| =不可数无穷（称连续统势c）,
ca
；无理数比有理数多得多。
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5）无穷集合可能有不同的势，其中 最小的是a ；不存在最大的势。 6）“连续统假设”长期未彻底解决 “连续统假设”：可数无穷是无限集中最 小 的势，连续统势是（否？）次小的势。 ac
的过程，认为无限只存在于人们的思维
中，只是说话的一种方式，不是一个实
体。
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从古希腊到康托以前的大多数哲学家和 数学家都持这种潜无限的观点。他们认为 “正整数集是无限的”来自我们不能穷举所 有正整数。例如，可以想象一个个正整数写 在一张张小纸条上，从1，2，3，…写起， 每写一张，就把该纸条装进一个大袋子里， 那么，这一过程将永无终止。因此，把全体 正整数的袋子看作一个实体是不可能的，它 只能存在于人们的思维里。
lim an 的过程。 k n 如： ； 自然数N，都 ，使 an N n k 时， 。
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3）无穷级数 通过有限的步骤，求出 无限次运算的结果，如 4）递推公式 an an1 d , d * 5）因子链条件（抽象代数中的术语）
1 1 i 1 2
i
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3. 数学中的无限在生活中的反映
1）大烟囱是圆的：每一块砖是直的 （整体看又是圆的） 2）锉刀锉一个光滑零件：每一锉锉下 去是直的（许多刀合在一起的效果是光滑 的）
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3） 不规则图形的面积：正方形的面积，长方形 的面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。规则 图形的面积→不规则图形的面积？ 法Ⅰ.用方格套（想像成透明的）。方格越小，所 得面积越准
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法II. 让每个旅游团占据某固定素数的方幂 由于素数有无穷多个，正整数又 “唯一析因”， 知，能安排住下，且还有空房， 3 4 1 2 p1 p1 p1 p1 … … 一团 1 2 3 4 二团 p2 p2 p2 p2 … … 2 3 1 4 三团 p3 p3 p3 p3 … … ………… ………… …… 附：证明“素数有无穷多个”（反证法）
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三、“有无限个房间”的旅馆
1. 客满后又来1位客人 1 2 3 4 ┅ k ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ ┅ 2 3 4 5 ┅ k+1 ┅ 空出1号房间 ┅
6
2. 客满后又来了一个旅游团，旅游团 中有无穷个客人
↓ ↓ ↓ 2 4
1 2 3 4 ↓ ┅ ↓ ┅ 6 8 ┅ ┅ k 2k ┅
┅
空下了奇数号房间
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3. 客满后又来了一万个旅游团，每个 团中都有无穷个客人
2 3 4 ┅ k ┅ ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ ┅ 10001 20002 30003 40004 ┅ 10001×k ┅ 1
给出了一万个、又一万个的空房间
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4. [思] 客满后又来了无穷个旅游团，
每个团中都有无穷个客人，还能否安排？
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四、无限与有限的区别和联系
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1. 四个芝诺悖论之一：阿基里斯追不 上乌龟。 2. 症结：无限段长度的和可能是有限 的；无限段时间的和也可能是有限的。 3. 芝诺悖论的意义： 1）促进了严格、求证数学的发展 2）最早的“反证法”及“无限”的 思想 3）尖锐地提出离散与连续的矛盾 空间和时间有没有最小的单位？
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芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间 是连续的”，后两个悖论则是反对“空间和 时间是离散的”。在芝诺看来，两种理论都 有毛病；所以，运动只是假象，不动不变才 是真实。 芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如 此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散 的问题，引起人们长期的讨论和发展，不能 不说是巨大的贡献。
例如：“甲是乙”与“甲不是乙” 这两个命题中总有一个是错的；但“本 句话是七个字”与“本句话不是七个字” 又均是对的，这就是悖论。
1
再如：“万物皆数”学说认为“任 何数都可表为整数的比”；但以1为边 的正方形的对角线之长却不能表为整数 之比，这也是悖论。
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二、芝诺悖论
芝诺（前490？—前430？）是（南意大 利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。 他企图证明该学派的学说：“多”和“变” 是虚幻的，不可分的“一”及“静止的存在” 才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设 计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖 论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看 其中的一个悖论。
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有限半群若满足消去律则一定是群。 √ 无限半群若满足消去律则一定是群。 ×
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（2）有限级数一定有“和”。 √ n
a 是个确定的数
i 1 i
i
无穷级数一定有“和”。 × (1) 则不是个确定的数。称为该
i 1
级数“发散”。反之称为“收敛”。
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2. 联系
在“有限”与“无限”间建立联系的 手 段，往往很重要. 1）数学归纳法 通过有限的步骤，证 明了命题对无限个自然数均成立。 2）极限 通过有限的方法，描写无限
ad c
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康托1882年曾认为他证明了这一假
设，后来发现有错。直到现在，这一问题
仍吸引着一些数学家的兴趣。
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六．哲学中的无限
1．哲学对“无限”的兴趣
哲学是研究整个世界的科学。自从提
出“无限”的概念，就引起了哲学家广泛 的 关注和研究。现在我们知道哲学中有下边
一些命题：
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物质是无限的；时间与空间是无限
的；物质的运动形式是无限的。
一个人的生命是有限的；一个人对客
观世界的认识是有限的。
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2．数学对“无限”的兴趣
数学则更严密地研究有限与无限的关系，大大提
高了人类认识无限的能力。在有限环境中生存的有限
的人类，获得把握无限的能力和技巧，那是人类的智
慧；在获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，
那是人类的情感；对无限的认识成果，则是人类智慧 与热情的共同结晶。一个人，若把自己的智慧与热情
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但康托不同意这一观点，他很愿意把这 个装有所有正整数的袋子看作一个完整的实 体。这就是实无限的观点。 康托的工作是划时代的，对现代数学产 生了巨大的影响，但当时，康托的老师克罗 内克尔，却激烈反对康托的观点。所以康托 当时的处境和待遇都不太好。
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2．无限集合也有“大小”——从 “一一
对应”说起
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法Ⅱ.首先转化成求曲边梯形的面积， （不规则图形→若干个曲边梯形），再设法求 曲边梯形的面积：划分，矩形面积之和 ~ 曲边 f (i )xi，再取 梯形面积； 越小，就越精确； i 极限 0 ，就是曲边梯形的面积。
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五、 潜无限与实无限
1．潜无限与实无限简史
潜无限是指把无限看成一个永无终止
…
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[思]：构造一个“部分到整体的一一 对应”：从[0，1）→[0，+∞）。
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精品课件！
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精品课件！
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答
f :[0,1) 0,
x
1 1 1 x
即
1 f ( x) 1 1 x
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实无限的观点让我们知道，同样是无限集
合，也可能有不同的“大小”。正整数集合是 最 “小”的无限集合。实数集合比正整数集 “大”。
实数集合上全体连续函数的集合又比实数集合 更大。不存在最“大”的无限集合（即无限集
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这需要“一一对应”的观点。
1）“一一对应”——双射（单射+满射）
2）集合的势|A|——集合中元素的多少
p1
ps 1
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[思 ]
构造一个无穷多个运动员百
米赛跑，但结果没有第一名的例子。（要
求表达出每一个运动员的百米成绩，且要
求接近实际：不能跑进9秒）
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运动员
1
2
3
4
5
6
… …
百米成绩 10秒 9.9秒 9.89秒 9.889秒 9.8889秒
另
解
1 1 1 1 1 1 9 秒 9 秒 9 秒 9 秒 9 秒 9 秒 4 6 2 3 5 1
1. 区别 1） 在无限集中，“部分可以等于全 体”（这是无限的本质），而在有限的情 况下，部分总是小于全体。
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当初的伽利略悖论，就是没有看到 “无 限”的这一特点而形成的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n … ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ 2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 … n …
融入数学学习和数学研究之中，就会产生一种特别的
感受。如果这样，数学的学习不仅不是难事，而且会
充满乐趣。
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[思] 客满后又来了无穷个旅游团， 每个团中都有无穷个客人，还能否安排？
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答 ：能。 法I. 将所有旅游团的客人统一编号排成下 表，按箭头进入1，2，3，4，5，…各号房间 顺序入住，则所有人都有房间住。 一团：1.1→1.2 1.3 1.4 …… ↙ ↙ ↙ 二团：2.1 2.2 2.3 2.4 …… ↙ ↙ 三团：3.1 3.2 3.3 3.4 …… ……………………………………