芝诺悖论与微积分的关系
芝诺悖论
芝诺（埃利亚）（Zeno of Elea）生活在古代希腊的埃利亚城邦。
他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德（Parmenides）的学生和朋友。
关于他的生平，缺少可靠的文字记载。
柏拉图在他的对话《巴门尼德》篇中，记叙了芝诺和巴门尼德于公元前5世纪中叶去雅典的一次访问。
其中说：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发很白，但仪表堂堂。
那时芝诺约40岁，身材魁梧而美观，人家说他已变成巴门尼德所钟爱的了。
”按照以后的希腊著作家们的意见，这次访问乃是柏拉图的虚构。
然而柏拉图在书中记述的芝诺的观点，却被普遍认为是相当准确的。
据信芝诺为巴门尼德的“存在论”辩护。
但是不象他的老师那样企图从正面去证明存在是“一”不是“多”，是“静”不是“动”，他常常用归谬法从反面去证明：“如果事物是多数的，将要比是‘一’的假设得出更可笑的结果。
”他用同样的方法，巧妙地构想出一些关于运动的论点。
他的这些议论，就是所谓“芝诺悖论”。
芝诺有一本著作《论自然》。
在柏拉图的《巴门尼德》篇中，当芝诺谈到自己的著作时说：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将它窃去，以致我不能决断，是否应当让它问世。
”公元5世纪的评论家普罗克洛斯（Proclus）在给这段话写的评注中说，芝诺从“多”和运动的假设出发，一共推出40个各不相同的悖论。
芝诺的著作久已失传，亚里士多德的《物理学》和辛普里西奥斯（Simplici－us）为《物理学》作的注释是了解芝诺悖论的主要依据，此外只有少量零星残篇可提供佐证。
现在流传下来而广为人所知的所谓“芝诺悖论”共有九个：四个是关于运动的，三个是指向“多”的，一个是反对空间观念的，另一个则试图表明感觉是不可靠的，其中关于运动的4个悖论尤为著名。
直到19世纪中叶，亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是权威的，人们普遍认为芝诺悖论不过是一些诡辩。
英国数学家B．罗素感慨的说：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了。
之诺悖论
一、历史追溯芝诺的运动论辨全部得自亚里士多德在《物理学》中的转述，有四个：1、二分法。
物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半，这个要求可以无限的进行下去，所以，如果它起动了，它永远到不了终点，或者，它根本起动不了。
2、阿喀琉斯（一译阿基里斯）。
快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当它到达被追者的出发点，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。
3、飞矢不动。
任何东西占据一个与自身相等的处所时是静止的，飞着的箭在任何一个瞬间总是占据与自身相等的处所，所以也是静止的。
4、运动场。
两列物体Ｂ、Ｃ相对于一列静止物体Ａ相向运动，Ｂ越过Ａ的数目是越过Ｃ的一半，所以一半时间等于一倍时间。
四个论辨可分成两组，前两个假定时空是连续的，后两个假定时空是分立的，每组的第一个论证绝对运动不可能，第二个论证相对运动不可能。
关于多的论辨得自辛普里丘在《〈物理学〉注释》的转述，大意是：如果事物是多，那么大会大到无限大，小会小到零，因为任何数量都可以无限分割，若分割的结果等于零，则总和是零，若分割结果不是零，则无限总和是无限大。
以上转述从哲学史角度看都过于粗疏，不过对于讨论其哲学含义则差不多够了。
１９、２０世纪之交的绝对唯心主义者象布拉德雷（Ｂｒａｄｌｅｙ，Ｆ．Ｈ）全盘接受芝诺的论证和结论。
他视运动、时间空间为幻象，芝诺论辩正好符合他的主张，当然全盘接受。
在《现象与实在》中他写道：“时间与空间一样，已被最明显不过的证明为不是实在，而是一个矛盾的假象。
”除布拉德雷之外，哲学史上大部分哲学家认为芝诺的结论是荒谬的，其论证有问题。
不过，在不断检查其论证毛病的过程中，人们反倒发现了芝诺论辨的深刻之处。
常常是人们自以为解决了芝诺悖论，不多久就又发现其实并没有解决。
已知最早的批评来自亚里士多德。
关于二分法，他说，虽然不可能在有限的时间越过无限的点，但若把时间在结构上看成与空间完全一样，也可以无限分割，那么在无限的时间点中越过无限的空间点是可能的；关于阿喀琉斯，他说，如慢者永远领先当然无法追上，但若允许越过一个距离，那就可以追上了；关于飞矢不动，他说，这个论证的前提是时间的不连续性，若不承认这个前提，其结论也就不再成立了；关于运动场，他说，相对于运动物体与相对于静止物体的速度当然是不一样的，越过同样距离所花的时间当然也不一样。
芝诺悖论”悖在哪里？
芝诺悖论”悖在哪里？一个朋友是大学里的哲学老师，前两天打电话说，我的博客里没什么哲学专业可以看的文章，所以，今天专门写一篇。
在“唯物辩证法”的教科书中，都会讲到古希腊时期的诡辩术，其中以“芝诺悖论”最为著名。
“芝诺”是一个人名，古希腊时代的人物。
一般教科书都不称他为哲学家，而称之为“诡辩论者”。
“芝诺悖论”有好几个，最著名的是“飞矢不动”和“阿基利斯追不上乌龟”。
先简单解释一下。
“飞矢不动”中的“矢”指的是弓箭中的箭。
正常的射箭，任何人都知道，只要箭离了弦，就能飞出去，经过一段空间运动后，到达另一个位置。
但是，芝诺说，按照他的解释，射出去的箭是不动的，因此是不能够到达另一个位置的。
他解释说，如果我们截取“飞矢”的每一个瞬间，它在空中都是“静止”的。
既然每一个瞬间都是静止的，所有的瞬间加起来也应该是静止的，所以，“飞矢”是“不动”的。
“阿基利斯追不上乌龟”中的“阿基利斯”也是一个古希腊人物，也就是“特洛伊战争”中那个著名的希腊将领。
传说中，阿基利斯武艺高强，而且奔跑速度极快，似乎还得过古代奥林匹克运动会的桂冠（待查）。
这个悖论有一个假设的前提，就是说，阿基利斯与乌龟赛跑，如果让乌龟先跑一步，阿基利斯就永远追不上乌龟。
芝诺的解释是这样的。
假设乌龟先跑出了一米，阿基利斯要追上乌龟，就必须先到达半米的地方。
但是，当阿基利斯到达半米的时候，乌龟与阿基利斯的距离不是半米，而是半米再加一点，比方说是0.6米。
如此推论循环下去，只要乌龟不停下脚步，阿基利斯便永远只能更接近乌龟，而不能追上或超过乌龟。
“芝诺悖论”之所以被称之为“悖论”，他自己也被后世称为“诡辩论者”，是因为他的悖论完全违反常理，但是，人们又不知道如何才能反驳他。
我在高中时期的哲学课上，第一次接触了“芝诺悖论”。
后来大学里的哲学课，老师又讲了一遍。
我的大学专业是理工科。
本科毕业后，我又学了第二个本科专业，学的是哲学，发的文凭是“法学”学士（我也不知道为何如此奇怪），算是改革开放以后，第一批获得“双学士”的人。
芝诺悖论
芝诺悖论解答芝诺悖论(Zeno's paradoxes)是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。
这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。
芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。
这些悖论中最著名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。
这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释，但还是无法用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存在广延（如，有广延的线段经过无限分割，还是由有广延的线段组成，而不是由无广延的点组成。
），而芝诺悖论中既承认广延，又强调无广延的点。
这些悖论之所以难以解决，是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表的的机械论的分歧点。
这些悖论其实都可以简化为：1/0=无穷。
留传下来的芝诺悖论共有8个，最为著名的主要有4个，分别为二分法悖论、阿基里斯(Achilles)悖论、飞矢不动悖论和游行队伍悖论。
二分法悖论的内容是：事物想要运动完全程，就必须运动完全程的一半，而全程的一半还有一半，一半的一半还是有一半，这样一来一半的概念是可以无限地划分的，因而，事物在运动的过程中是永远无法经过“一半”的。
因此，运动是永远无法终结和进行的，因而运动不存在。
这里的问题所在是把时间看作了一个有限的概念而把空间看做了一个无限的范畴。
因而认为无法在有限中完成无限。
然而事实上，根据马克思理论，事物的有限无限的概念完全是相对的，不能片面地承认一方面的存在而否定另外一方。
比如说，一条线段（距离）包括无限的点，人永远无法走完这无数的点，正如他永远无法数清这些点一样。
为什么人们不认为数不清这无数的点是个悖论，却认为走完这无数的点就成了悖论了呢？原因就在于数数和运动是不同性质的东西，数数是空间中的行为，运动是本身的时间中的行为，不能混淆时间和空间。
第二个悖论是最为复杂的阿基里斯(Achilles)悖论。
芝诺认为追赶者，即阿基里斯需要一定的时间才能达到被追赶者（乌龟）于该时间开始的出发之处。
透过第二次数学危机浅谈神秘可恨的微积分
透过第二次数学危机浅谈神秘可恨的微积分作 者：华中师范大学 计算机科学系2010级 郑舒月 学号2010213877内容摘要：基于大家在学习微积分的过程中的困惑，本文试图透过第二次数学危机谈一谈这位既神秘又可恨可怜的“消失了的量的鬼魂”，以“贝克莱悖论（Berkeley paradox ）”、“芝诺悖论（Zeno paradox ）”等悖论了解牛顿和莱布尼兹关于微积分的理论及公式。
由于18世纪的微积分的理论并不严谨，这就有悖于数学这一学科的首要特点。
关于“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。
但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。
从而掀起了第二次数学危机。
关 键 词：第二次数学危机 微积分Abstract ：Based on most of students have the confusion in the process of studying calculus, from the second mathematical crisis,this paper tries to talk about this mysterious,hateful and poor "disappeared quantity of ghosts", with "Berkeley paradox ", "Zeno paradox" and so on, to know about the theories and formulas of Newton and Leibnitz. Because of calculus theori es were not rigorous in the 18th century, this is contrary to the primary feature of math.As the question-- " whether infinitely small quantity is zero" :as infinitely small quantity is concerned in practical application at that time, it must be zero, and is not zero at the same time. But from the view of the form logic , there is no doubt that this is a contradiction. Thus the second mathematical crisis broke out.Key words ：The second mathematical crisis calculus前言大家知道，在公元前5世纪出现了数学基础的第一次灾难性危机，这就是无理数的诞生。
芝诺曾提出四个运动的不可分性的哲学悖论有什么
B、C两个列队开始移动,如下图所示相对于观众席A,B和C分别向右和左各移动了一个距离单位.
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而此时,对B而言C移动了两个距离单位.也就是,队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位,也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位,这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾.因此队列是移动不了的.
二分法悖论：
这也是芝诺提出的一个悖论：当一个物体行进一段距离到达D,它必须首先到达距离D的二分之一,然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去.因此,这个物体永远也到达不了D.这些结论在实践中不存在,但是在逻辑上无可挑剔.
芝诺甚至认为：“不可能有从一地到另一地的运动,因为如果有这样的运动,就会有‘完善的无限’,而这是不可能的.”如果阿基里斯事实上在T时追上了乌龟,那么,“这是一种不合逻辑的现象,因而决不是真理,而仅仅是一种欺骗”.这就是说感官是不可靠的,没有逻辑可靠.
有人用物理语言描述这个问题说,在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间度量.一般度量方法是：假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为S,速度分别为V1和V2.当时间T=S/(V1-V2)时,阿基里斯就赶上了乌龟.
但是芝诺的测量方法不同：阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点,这个时间为T'.对于任何T',可能无限缩短,但阿基里斯永远在乌龟的后面.关键是这个T'无法度量T=S/(V1-V2)以后的时间.
《微积分》课程的式教学法[论文]
![《微积分》课程的式教学法[论文]](https://img.taocdn.com/s3/m/4ce64e14fc4ffe473368ab9c.png)
《微积分》课程的探究式教学法摘要在传统的《微积分》课程教学中，教师讲解定理公式，学生被动接受，机械重复计算过程，学习热情和效率都不高。
本文提出应用探究式教学法于《微积分》课程的教学实践，并以“无穷级数”为例，说明探究式教学法，并总结了该方法的优点。
关键词探究式教学法《微积分》无穷级数中图分类号：g623.4 文献标识码：a探究式教学法，是指在教学过程中，教师提出例子和问题，让学生自己通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径去独立探究，主动发现并掌握相应的原理和结论的一种方法。
探究式教学的指导思想是在教师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地探索，掌握知识和解决问题的方法和步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的起因和事物内部的联系，从中找出规律，形成自己的概念。
在这一过程中，学生不仅获得了知识，而且学习的主体地位、自主能力都得到了加强。
探究式教学法，是相对于传统的课堂教学模式的改革。
传统教学是以教师为主体，教师讲授知识点，学生被动接受，主动性被抑制。
课堂缺少交流，难以做到因材施教。
学生往往会觉得课上枯燥无味，课后疲于应付练习。
探究式教学的先驱杜威认为，科学教育不仅仅是要让学生学习大量的知识，更重要的是要学习科学研究的过程或方法。
因此，有必要让学生从背诵记忆大量的定理公式，完成大量重复练习的学习过程中解放出来，充分调动他们的积极性，以达到更好的教学效果。
1 探究式教学法的实现过程举例在《微积分》课程的教学过程中，笔者尝试应用探究式教学，取得良好的效果。
下面以“无穷级数”为例，介绍探究式教学法的过程。
首先介绍芝诺悖论之一，阿基里斯追乌龟的例子。
听完介绍之后，学生先是觉得很疑惑：从常识和实际情况来看，速度快的阿基里斯一定可以追上速度慢的乌龟；可是在芝诺的论证里面到底哪里不正确？学生的好奇心和兴趣得到激发，就此展开分析和讨论。
不少学生提出“阿基里斯最终能追上乌龟”。
这时，需要引导学生明确“最终”的含义。
试从高等数学角度探讨芝诺悖论
试从高等数学角度探讨芝诺悖论摘要：古希腊哲学家爱利亚的芝诺曾为了给巴门尼德的存在论辩护，提出了四个著名的悖论。
两千多年来，这四个悖论引起了无数学者的争论。
其中大部分是从哲学角度对其作出解释或反驳，笔者试图从近代数学（微分、积分、极限）的角度，来探讨芝诺的飞矢不动悖论。
关键词：芝诺悖论、微积分、飞矢不动、极限1.芝诺悖论的提出巴门尼德的本体论转向使同时代尚处于直观阶段的希腊人难以容忍：“存在”怎么可能是唯一的、不动的呢？因此其哲学理论一直不被当时的哲人接受。
他的弟子爱利亚的芝诺并没有提出什么独特的哲学理论，但是在全力为老师的存在论的辩护中，为逻辑学留下得意的一笔，同时也是哲学论证发展的里程碑。
芝诺的悖论(paradox)其实都运用了我们所说的反证法，他首先假设“多”和“运动”的存在，然后根据逻辑推出不合理的结论，从而反对“多”和“运动”，也就是维护了巴门尼德的“存在”的“唯一”和“不动”。
无论是亚里士多德的记述还是芝诺的残篇，其表述都带着20多个世纪以前希腊人的含混，我们可以用浅白的语言归纳一下他反对存在运动的几个悖论：最著名的是“阿基里斯追不上龟”。
阿基里斯前面不远有一只乌龟，他和乌龟同时向前跑，每当乌龟向前爬动一段距离，阿基里斯才追到乌龟刚才的出发点，所以，阿基里斯永远都只能追到乌龟的前一刻的出发点，永远追不上乌龟。
其次是“飞矢不动”。
飞矢（箭）在空中飞行是由无数个时间无限小的瞬间组成的，而在这无限小的时间里，飞矢的移动距离只能为0，最终这些为0的移动叠加的结果也是0。
所以飞矢不动。
在反对运动上，芝诺还有“二分法”和“运动场”的论证，前者和阿基里斯追不上龟相似，后者具有明显的诡辩（或者用简单的近代物理中的相对运动原理，即可消解之，本文不表）。
2.传统对芝诺悖论的解释和批驳传统思想家对芝诺悖论的解释，多从哲学角度出发。
第一，从独断论的角度出发。
例如阿里士多德认为芝诺是错的，因为“时间并不是由不可分的瞬间组成的”。
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芝诺悖论与微积分的关系
芝诺悖论是古希腊数学家芝诺（约在公元前464-前461）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。
这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。
芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。
这些悖论是芝诺反对存在运动的论证。
其中最著名的两个是：“阿基里追不上乌龟”和“飞矢不动”。
“阿基里斯”悖论：“快跑者追不上慢跑者”。
因为追赶者必须先到慢跑者的起点，而在此同时，慢跑者又到达了前面的一点，就这样有无穷的起点在等着他。
那么，阿基里斯真的追不上乌龟了吗? 当然不是。
对于“阿基利斯追不上乌龟”这个悖论，从理论上说，芝诺只做了“微分”，而没有做“积分”，也就是说，他的工作只做了一半。
而且，他还偷换了概念。
无穷小的概念是：趋近于零，但不等于零。
在无穷小“dx”里，芝诺在乌龟那里只部分强调了“不等于零”的概念，而在阿基里斯那里只部分强调了“趋近于零”的概念。
换句话说，芝诺在同一个问题中，采取了两个不同的标准，得出悖论就很正常的。
而这种不同的标准，其实是一个概念的两个方面。
“飞矢不动”悖论：“飞着的箭是静止的”。
飞箭在任一瞬间必静止在一确定的位置上。
所以运动就是由许多的静止组成。
“飞矢不动”这个悖论最关键的地方，是所谓“瞬间”。
理论上的物理学“瞬间”意思是时间长短为零。
而在实际中，时间长短永远不可能为零。
简单来说，“芝诺悖论”的错误就在于，他将无穷小彻底等同于零。
无穷小等于零之后，再怎么相加、累积，最终的结果当然都是零，所以得出推论“飞矢”是“不动”的。
但是，真正的概念是无穷小只是趋近于零，无穷个“趋近于零”的无穷小相加、累积之后，就会有一个确切的值。
其实，“芝诺悖论”的这个隐蔽手段也经常出现在现实之中，比方说“自由”。
从一个侧面说，人的自由似乎是绝对的，是所谓“天赋人权”，但是在另一个方面，任何自由都必然要受到限制的。
我们在讨论问题的时候，如果仅仅只是强调“自由”的一个侧面，就会得出不同的结果。
如果在同一个问题上转换“自由”概念的不同侧面，就会造成自相矛盾。
芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。
前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可
分，因而运动是连续的观点，后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点。
芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大波。
它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但由于他们“对无穷的恐惧”和“对严密论证的追求”，使他们最终堵塞了通往无穷小分析发展的道路。
然而“芝诺悖论”却影响了许多代的数学思想，可以这么说，它是追究数学上的严谨性的开始。
无理数的发现和“芝诺悖论”的提出，迫使人们这样的思考：数学内部居然也有逻辑矛盾，那么数学能不能作为一门严格的科学呢？“芝诺悖论”的发现揭示了矛盾，动摇了数学基础；但也正应为揭露了矛盾，使人们发现了数学理论本身所存在的问题，然后设法解决问题，从而加固了数学的基础，促进了数学的发展。
芝诺不自觉的预示解决这些悖论的途径，但他本身并没有产生出解决悖论的办法。
不过“芝诺悖论”却以潜科学形态孕育辩证法和极限思想。
经过许多人多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。
牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分法互为逆运算。
由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题的重要工具。
同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。
关键问题就是无穷小量究竞是不是零？无穷小及其分析是否合理？
在推导一些定理和公式时，在逻辑上出现了前后矛盾，使人感到了不安，并且也给微积分带上了神秘的色彩，这个神秘主要体现在对无穷小量的解释上。
例如牛顿在推导中是这么处理无穷小量的，第一步，他用无穷小量作分母进行除法；
第二步，他又把无穷小量看做零，以去掉那些包含它的项。
例如在求函数
2x y =的导数，当时是这么计算的:2x y =→222)(2)(dx xdx x dx x dy y ++=+=+→2)(2dx xdx dy +=，当忽略不计式中的2)(dx 时xdx dy 2= 进而
x dx dy 2=。
在式子中，x 2就是函数2x y =的导数，这个运算结果是正确的，但他是在
忽略的2)(dx 基础上得到的，从正统的数学来看dx 应该是等于零的否则就不能把
2)(dx 去掉，但从式子中可以看出它不应该为零，因为它做除数了，而除数不能
为零。
牛顿看到了这个矛盾，但是他无法摆脱它，这就是微积分悖论。
“微积分悖论”的产生，由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。
从微积分悖论悖论的产生开始，人们便开始尝试着去解决它，其中包括达朗贝尔、阿贝尔、柯西、康托尔等，中间经历了半个多世纪，随着微积分悖论的解决，建立了实数理论，以及在实数理论上建立起的极限理论，从而使微积分理论建立在实数理论的严格基础上。
因此微积分悖论促进了微积分理论的发展，巩固了微积分理论的基础，对数学的发展产生了深远的影响。
因此一个数学理论中出现了悖论，并不一定证明这个数学理论是错误的。
一个数学理论中出现了悖论，也不用恐慌，应该勇敢的去正视它，面对它分析它。
数学悖论是数学的生长点，通过分析、解决一个数学理论中悖论的可能会完善发展该原有理论，也可能会创造新的数学理论，甚至产生数学革命，所以说数学悖论能促进数学的发展。
（10级数学与应用数学1班20号李慧凤）。