图形变换的矩阵方法
复杂图形变换步骤及方法解析
复杂图形变换步骤及方法解析结合缩放矩阵和其他矩阵实现更复杂的图形变换是计算机图形学中的一项重要技术。
这种技术通常涉及多个变换矩阵的级联（即矩阵乘法），以同时实现缩放、旋转、平移等多种变换效果。
以下是如何结合缩放矩阵和其他矩阵实现更复杂图形变换的步骤和方法：一、理解基本变换矩阵首先，需要理解并掌握基本的变换矩阵，包括缩放矩阵、旋转矩阵和平移矩阵。
●●[cosθsinθ0−sinθcosθ0 001]●二、确定变换顺序由于矩阵乘法不满足交换律，因此变换的顺序很重要。
通常的变换顺序是先缩放、再旋转、最后平移，但这并不是绝对的，具体取决于所需的变换效果。
三、构建组合变换矩阵将缩放矩阵、旋转矩阵和平移矩阵按照确定的顺序相乘，得到组合变换矩阵。
这个矩阵将同时包含缩放、旋转和平移三种变换的效果。
四、应用组合变换矩阵将组合变换矩阵与表示图形顶点的齐次坐标相乘，得到变换后的新坐标。
这一步骤通常是在图形渲染管线的顶点着色器阶段完成的。
五、示例假设有一个二维图形，需要将其先缩放2倍（在x和y方向上），然后绕原点旋转45度，最后沿x轴平移10个单位。
可以按照以下步骤构建组合变换矩阵并应用它：1.S=[200 020 001]2.3.T=[1010 010 001]4.M=T∙R∙S5.应用组合变换矩阵：将M与图形的顶点坐标相乘，得到变换后的新坐标。
六、注意事项●变换顺序对结果有影响，应根据实际需求确定。
●在进行组合变换时，应确保变换矩阵的维度匹配。
●在实际应用中，可能还需要考虑图形的中心点或特定点作为变换的基准点，这时可能需要先对图形进行平移以将基准点移动到原点，再进行缩放和旋转，最后平移回原位置。
08 图形变换
=
x1’ y1’ 1 x2’ y2’ 1 . ..
. ..
Tx Ty 1
. ..
. ..
. .. xn yn 1
. .. xn + Tx yn + Ty 1
. .. xn’ yn ’ 1
如果点P(x,y)经T1变换后平移了（Tx1，Ty1），然后再经T2
变换后又平移了（Tx2，Ty2），那么将产生什么结果呢？从
xi ’= Sx . xi
yi ’= Sy . yi
（式8-2-3）
当Sx = Sy <1时，图形缩小；
当Sx = Sy =1时，图形不变；
当Sx = Sy >1时，图形放大；
当这S种x情≠况S。y 时， 图形发生畸变；不考虑
如图8-2-2所示。注意图形放大或缩小时， 图形位置都发生了变化。
2．比例变换
在 示点变P换(x矩,y阵)沿TX中和，Y取方a向=S相x，对d原=S点y，的它比们例分变别换表系 数，比例变换矩阵T为：
T=
Sx 0 0 0 Sy 0 001
（式8-2-6）
则比例变换可表示为：
P’=P•T =[x y 1] Sx 0 0 0 Sy 0 = [x Sx y Sy 1 ] 001
y
Ty
Tx x
图8-2-1 平移变换
y
Sx = Sy >1 Sx = Sy =1 Sx = Sy <1
x
图8-2-2 比例变换
3）对于旋转变换，先讨论平面上点绕坐标原 点的旋转变换。
一个平面图形绕坐标原点逆时针旋转θ角
度，图形的形状保持不变，但图形各顶点的位
置坐标相应地发生了改变。如图8-2-3所示，可
计算机数学-图形变换的矩阵方法
3.2 图形变换与矩阵乘法
变换
Ø
人是三维空间里的对象，人可以在三维空间里运动，移动位置就
是对象的运动。所以，程序员眼中的“空间”是一个容纳运动的对象 集合，即构成“空间”的要素为对象、对象的运动。空间对象的运动 称为变换，变换规定了对应空间的运动。数学上是如何表示空间对象 和空间变换呢？
Ø 在线性代数中，用向量表示一个对象，矩阵表示什么呢？矩阵在不同的 环境中有不同的语义，在同一环境中也可以有不同的解读，最常见的包 括：
若有Pa=b，我们就说P将向量a变换到向量b。从这个角 度看，“变换”和“乘法”是等价的，进行坐标变换等价于 执行相应的矩阵乘法运算，图形变换可以通过对表示图 形的坐标矩阵进行乘法运算来实现。
可见，向量和矩阵的运算是计算机图形处理技术的数学基础。
3.3图形基本变换
3.3.1 平移变换
3.3.2 以坐标原点为基准点的缩放变换
我们分析了“变换”与“乘法”是等价的。利用向量、矩阵做图形变换的 工具，通过向量乘以变换矩阵来实现坐标变换，接下来，关键问题就是构 造图形变换矩阵了。
3.4.2 基本图形变换矩阵
图形变换
缩放变换 旋转变换
变换矩阵
翻 折 变 换
错 切 变 换
变换方程的矩阵形式
课堂练习 3.4 1、点的坐标为行向量和列向量不同形式时，变换矩阵相同吗？与方程 组中系数矩阵有什么关系？表一中，若点的坐标为行向量形式，写出 各种变换的矩阵方程。 2、用矩阵方法计算下列图形变换 （1）将点（2,1）的横坐标伸长到原来的3倍
标沿x方向的移动量）。
cy>0，沿＋x方向错切（移动）； cy<0，沿－x方向错切（移动）； c=0即cy=0，不错切（恒等变换）。
图形学课件(第三章图形变换)
连续变换可以通过将一系列基本 变换矩阵按照时间顺序进行串联 来实现。每个基本变换对应一个 变换矩阵，将这些矩阵依次相乘 即可得到连续变换的总矩阵。
连续变换的应用
在计算机动画制作中，连续变换 被广泛应用于模拟物体的自然运 动和动态效果。通过连续变换， 可以逼真地模拟现实世界中的各 种运动轨迹和动态效果，提高动 画的逼真度和观赏性。
场景模拟
通过图形变换技术，可以模拟出各种真实场景，如城市街道、自然 风光、建筑模型等，为虚拟现实和增强现实应用提供逼真的视觉效 果。
交互体验
利用图形变换技术，用户可以在虚拟现实和增强现实环境中与场景 进行互动，如漫游、旋转、缩放等。
实时渲染
通过图形变换技术，可以实现高精度的实时渲染，为用户提供更加逼 真的虚拟现实和增强现实体验。
04 矩阵运算与组合变换
矩阵的乘法
矩阵的乘法规则
矩阵的乘法仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能进行。乘法结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个 矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
矩阵乘法的几何意义
在二维空间中，矩阵的乘法可以看作是先进行行变换再进行列变换的操作。在三维空间中，矩阵的乘法可以看作是先 进行旋转或缩放再进行平移的操作。
特殊矩阵
单位矩阵、零矩阵、转置矩阵等。
组合变换
组合变换的概念
组合变换是指将多个基本变换（如平移、旋转、缩放等）按照 一定的顺序进行组合，从而实现对图形的一系列变换。
组合变换的矩阵表示
组合变换可以通过将相应的基本变换矩阵进行乘法运算来实现 。例如，先进行平移再进行旋转的组合变换可以通过将相应的
平移矩阵和旋转矩阵相乘得到。
透视变换通常使用四个参数： 视点、视平面、主点、和灭点 来定义。
几何变换矩阵
几何变换矩阵几何变换矩阵是描述二维或三维空间中对图形进行旋转、平移、缩放等操作的数学工具。
在计算机图形学、机器人学、计算机视觉等领域中广泛应用。
下面是几种常见的几何变换矩阵及其作用：1. 平移矩阵平移矩阵描述图形在x、y、z方向上的平移，记作T=[1 0 0 tx; 0 1 0 ty;0 0 1 tz; 0 0 0 1]，其中tx、ty、tz为平移的距离，可以是正数、负数或零。
该矩阵作用于二维图形时只需取前两行两列即可。
2. 旋转矩阵旋转矩阵描述图形绕x、y、z轴旋转的角度，记作Rx(θ)=[1 0 0 0; 0 cosθ -sinθ 0; 0 sinθ cosθ 0; 0 0 0 1]、Ry(θ)=[cosθ 0 sinθ 0; 0 1 0 0; -sinθ 0 cosθ 0; 0 0 0 1]、Rz(θ)=[cosθ -sinθ 0 0; sinθ cosθ 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]，其中θ为旋转的角度，可以是正数或负数。
3. 缩放矩阵缩放矩阵描述图形在x、y、z方向上的缩放比例，记作S=[sx 0 0 0; 0 sy 0 0; 0 0 sz 0; 0 0 0 1]，其中sx、sy、sz为在x、y、z方向上的缩放比例，可以是大于1的正数、小于1的正数或等于1。
4. 复合矩阵复合矩阵是多个几何变换矩阵的乘积，可以将多个变换操作合并为一个操作。
例如，将平移、旋转和缩放操作合并为一个复合矩阵，记作M=T*R*S，其中T为平移矩阵，R为旋转矩阵，S为缩放矩阵。
几何变换矩阵在计算机图形学中具有广泛的应用，在3D建模、角色动画、特效制作等方面均有涉及。
同时，它也为机器人学、计算机视觉等领域的研究提供了重要的数学基础。
在实际应用中，我们可以根据具体的需求选择不同的变换矩阵进行操作，以达到预期的效果。
平移变换的矩阵表示
平移变换的矩阵表示平移变换是计算机图形学中常用的一种基本的图形变换方式，它可以沿着指定的方向将图形的位置整体移动到新的位置上。
在二维平面上，平移变换可以通过矩阵来表示并实现。
在进行平移变换时，我们需要考虑一个重要的因素，即平移的方向和距离。
平移变换是一种向量平移，其中平移向量指定了平移的方向和距离。
在二维平面上，平移可以沿着x轴和y轴进行。
因此，我们可以使用二维矩阵来表示平移变换。
设平移向量为(Tx, Ty)，其中Tx表示在x轴上平移的距离，Ty表示在y轴上平移的距离。
为了将平移表示为一个矩阵运算，我们可以使用一个3x3的矩阵来表示平移变换，该矩阵如下所示：```[1 0 Tx][0 1 Ty][0 0 1 ]```在矩阵中，第一行表示x轴方向的平移，第二行表示y轴方向的平移，第三行始终保持不变，分别表示着世界坐标系的x、y和z轴。
接下来，我们来看一个具体的例子，假设有一个点p(x, y)，我们想将该点沿x轴方向平移5个单位，沿y轴方向平移3个单位。
通过平移矩阵和点的坐标相乘的方式，可以将点p进行平移变换：```[1 0 5] [x] [x+5][0 1 3] × [y] = [y+3][0 0 1] [1] [ 1]```在上述例子中，我们可以看到，点的坐标分别增加了5和3，达到了平移的效果。
需要注意的是，在执行矩阵乘法时，矩阵的每一行与点的坐标进行相乘后求和，得到新的坐标值。
最后得到的结果为点进行平移变换后的坐标。
平移变换的矩阵表示可以方便地与其他变换如旋转、缩放等进行组合操作，并且能够通过一次矩阵运算实现多个点的平移。
因此，平移变换的矩阵表示在计算机图形学中具有重要的应用价值。
总结起来，平移变换是一种常用的图形变换方式，通过矩阵运算可以方便地表示和实现。
平移变换的矩阵表示采用3x3的矩阵形式，其中平移向量指定了平移的方向和距离。
通过将平移矩阵与点的坐标相乘，可以实现对点进行平移变换。
图形变换的矩阵方法
例：设矩形ABCD相应旳矩阵为
A B C
0 2 2
0
0
1.5
设θ=30°
D 0 1.5
D′ D
C′ C
B′
A′A
B
T
cos 30 sin 30
sin 30 cos 30
0.866 0.5 0.5 0.866
旋转变换后旳矩阵为
0
1.732
0.982
0 A
1
B
2.299 C
0.75 1.299 D
3
3
B
二、图形变换
3 1 C
是指对图形进行平移、旋转、缩放、投影（透视）等 变换。
图形变换旳实质是变化图形旳各个顶点旳坐标。
4
所以，图形变换能够经过对表达图形坐标旳矩阵进 行运算来实现，称为矩阵变换法。
矩阵变换法旳一般形式：
原来的
图形顶点 坐标矩阵
变换 ·矩阵
=
变换后的 图形顶点 坐标矩阵
x1 y1
x2
xn
y2
a ·c
yn
n2
b
d
=
22
x2
xn
y2
yn
n2
6
设二维平面旳一种点坐标为[x y]，对其进行矩阵变换：
x
y
a c
b
d
ax
cy
bx dy
变换后该点旳坐标为：
x y
ax bx
cy dy
经过对变换矩阵 T 中各元素旳不同取值，能够实现多 种不同旳二维基本变换。
1
xm2
xmn
该向量集合实际上就是一种矩阵。
假如这些点代表一种空间图形旳顶点，也就是说， 我们能够用矩阵来描述（表达）空间中旳图形。x1 y1 对源自二维空间，用x2y2
计算机图形学图形变换
(X0,y0)
绕任意点的旋转
1 0 0
• 用矩阵表示各个过程
T1
0
1 0
x 1y 11 xy1 T 1
x0 y0 1
x 2y 21 x 1y 11 T 2
cos T2 sin
sin cos
0 0
x ' y ' 1 x 2 y 21 T 3
0
0 1
1 0 0
x ' y ' 1 x 2 y 21 T 3
cos
sin
0
TT1T2T3 sin
cos
0
x0(1co)sx0siny0co sy0 1
复合矩阵可以减少计算量
• 不进行矩阵合并 往往在屏幕上划定一个平行于设备坐标轴的矩形区域作为图形显示区。
点P(x,y)在X’轴上的投影可用点乘得到， 常用的方法是在图形坐标系中取一个与x轴、y轴平行的矩形窗口，只显示窗口内的图形内容。
计算机图形学图形 变换
二维图形平移
• 二维图形平移是将图形上任 意一点P(x,y)在x轴方向y轴方 向分别平移距离tx,ty，则变 换后的新坐标
x’=x+tx
ty
y’=y+ty
• 用矩阵表示
1 [x',y'][x,y]0
1 0tx,ty
P’ p
tx
二维图形旋转
• 二维图形旋转是将图形绕圆
点旋转。图形上任意一点
2. 3次变换需要3×9=27次乘法。 这不仅可以节省运算量，还可以明确一个矩阵代表一种变换的概念。
Y’轴的单位方向矢量为（a21,a22) 这不仅可以节省运算量，还可以明确一个矩阵代表一种变换的概念。 复合矩阵可以减少计算量 我们希望将一种变换用一个矩阵来表示，这样就可以用矩阵合并的方法将一系列的简单变换用一个复杂变换来表示。 有时采用活动坐标系模式，是为了更好地理解变换前后两个对应物体之间的坐标关系。 表示变换前的模型上任意一点 仿射变换的特点是变换前的平行线在变换后依然平行。 变换图形、变换关系式和变换矩阵 合并矩阵与一个点向量相乘得到一个点向量，需要9次乘法。 固定坐标系模式：坐标系不变、图形变动。
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§1 概述
1
x11 x 21 xm1
x12 x 22
xm 2
x1 n x2n x mn
该向量集合实际上就是一个矩阵。 如果这些点代表一个空间图形的顶点，也就是说， 我们可以用矩阵来描述（表示）空间中的图形。
x1 x 2 对于二维空间，用 xn
y1 y2 yn
2
B (3,3)
A (1,1)
C(3,1)
表示图形( 其中xi yi是顶点坐标）。
二、图形变换 是指对图形进行平移、旋转、缩放、投影（透视）等 变换。 图形变换的实质是改变图形的各个顶点的坐标。
1 1 A 3 3 例：如图所示的△ABC，用矩阵表示为 B 3 1 C
因此，图形变换可以通过对表示图形坐标的矩阵进 行运算来实现，称为矩阵变换法。 矩阵变换法的一般形式：
x ax a 0 y ax by 即 y dy 0 d
11 ㈡对称变换 包括三类：对坐标轴的对称变换，对直线的对称变换， 对坐标原点的对称变换。 ⒈对坐标轴的对称变换 A C ⑴对x轴的对称变换
㈠比例变换（缩放变换）
6
x
其中，a为x方向的缩放因子，d为y方向的缩放因子。 根据a、d取值的不同，分为几种情况： ⒈当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放 ⑴当a=d>1，图形沿x、y方向等比例放大 例：设△ABC对应的矩阵为
A 0 0 B 1 2 C 2 1
C′
C
A A′
㈠比例变换（缩放变换）
7
x
⒈当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放 ⑴当a=d>1，图形沿x、y方向等比例放大 ⑵当0<a=d<1，图形沿x、y方向等比例缩小 例：设△ABC对应的矩阵为
A 4 4 B 1 3 C 3 1
x ax a 0 y ax by 即 y dy 0 d
A′
C
㈠比例变换（缩放变换）
8
x
⒈当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放 ⑴当a=d>1，图形沿x、y方向等比例放大 ⑵当0<a=d<1，图形沿x、y方向等比例缩小 ⑶当a=d=1，图形不发生变化 图形不变的变换称之为恒等变换。 ⒉当a≠d，图形产生畸变
x ax a 0 y ax by 即 y dy 0 d
3
变换后的 原来的 变换 图形顶点 = 图形顶点 · 矩阵 坐标矩阵 坐标矩阵
本章讨论的问题：如何利用变换矩阵实现对二维、三 维图形的各种变换。
§2 二维图形变换
4
分为两类：二维基本变换，二维组合变换。 二维基本变换：比例变换（缩放）、对称变换、错切 变换、旋转变换、平移变换。 二维组合变换：由多种基本变换组合而成的变换。 一、二维基本变换 矩阵变换法的形式为：
⒈当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放 ⒉当a≠d，图形产生畸变
D′ D A C C′
x ax a 0 y ax by 即 y dy 0 d
A′
B
B′
㈠比例变换（缩放变换）
10
x
⒈当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放 ⒉当a≠d，图形产生畸变 有几种特殊情况： ⑴当a、d之一为1，图形沿单方向放大或缩小 a =1，d≠1，图形沿y方向放大或缩小； d =1，a≠1，图形沿x方向放大或缩小。 ⑵当a、d之一为0，图形变换为x轴或y轴上的线段 a＝0，d≠0，图形变换为y轴上的线段； d＝0，a≠0，图形变换为x轴上的线段。 ⑶当a、d均为0，图形压缩为一点（即原点）
x ax a 0 y ax dy 即 y dy 0 d
B′ B
设T
2 0 ，对△ABC进行变换： 0 2 A 0 0 0 0 A 2 0 B B 1 2 2 4 0 2 C 2 1 4 2 C
A B B′ C′
0.5 0 设T ，对△ABC进行变换： 0 0.5 A 4 4 2 A 2 0 .5 0 B B 1 3 0 . 5 1 . 5 0 0 . 5 C 3 1 1.5 0.5 C
㈠比例变换（缩放变换）
9
x
A 0 0 B 2 0 例：设正方形ABCD的矩阵为 C 2 2 D 0 2 1.5 0 设T 0 2 ，对□ABCD进行变换： A 0 0 0 0 A 1.5 0 3 0 B B 2 0 C 2 2 0 2 3 4 C D 0 2 0 4 D
x1ห้องสมุดไป่ตู้x 2 xn
y1 y 2 a b · = c d 22 y n n2
x1 x 2 n x
y1 y2 y n n 2
设二维平面的一个点坐标为[x y]，对其进行矩阵变换：
5
a b x y ax cy bx dy c d x ax cy 变换后该点的坐标为： y bx dy
通过对变换矩阵 T 中各元素的不同取值，可以实现各 种不同的二维基本变换。 ㈠比例变换（缩放变换） 变换矩阵： a 0
T 0 d